Медных А. Д., Медных И. А.
О классах эквивалентности голоморфных отображений римановой поверхности рода три на риманову поверхность рода два

Обозначим через $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ множество всех голоморфных отображений римановой поверхности $S_3$ рода три на риманову поверхность $S_2$ рода два. Два отображения $f$ и $g$ из $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ будем называть эквивалентными, если существуют конформные автоморфизмы $\alpha$ и $\beta$ римановых поверхностей $S_3$ и $S_2$ соответственно такие, что $f\circ\alpha=\beta\circ g$. Известно, что $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ всегда состоит не более чем из двух классов эквивалентности. Получены следующие результаты. Предположим, что множество $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ образовано двумя классами эквивалентности. Тогда обе римановы поверхности $S_3$ и $S_2$ задаются вещественными алгебраическими уравнениями. При этом для любой пары неэквивалентных отображений $f$ и $g$ из $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ существуют антиконформные автоморфизмы $\alpha^-$ и $\beta^-$ – такие, что $f\circ\alpha^-=\beta^-\circ g$. С точностью до конформной эквивалентности существует ровно три пары римановых поверхностей $(S_3,S_2)$, для которых множество $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ состоит из двух классов эквивалентности.

A. D. Mednykh, I. A. Mednykh
The equivalence classes of holomorphic mappings of genus 3 Riemann surfaces onto genus 2 Riemann surfaces

Denote the set of all holomorphic mappings of a genus 3 Riemann surface $S_3$ onto a genus 2 Riemann surface $S_2$ by $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$. Call two mappings $f$ and $g$ in $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ equivalent whenever there exist conformal automorphisms $\alpha$ and $\beta$ of $S_3$ and $S_2$ respectively with $f\circ\alpha=\beta\circ g$. It is known that $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ always consists of at most two equivalence classes.
We obtain the following results: If $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ consists of two equivalence classes then both $S_3$ and $S_2$ can be defined by real algebraic equations; furthermore, for every pair of inequivalent mappings $f$ and $g$ in $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ there exist anticonformal automorphisms $\alpha^-$ and $\beta^-$ with $f\circ\alpha^-=\beta^-\circ g$. Up to conformal equivalence, there exist exactly three pairs of Riemann surfaces $(S_3,S_2)$ such that $\operatorname{Hol}(S_3,S_2)$ consists of two equivalence classes.

DOI 10.17377/smzh.2016.57.612
Ключевые слова: риманова поверхность, голоморфное отображение, антиконформная инволюция, вещественная кривая, конформный автоморфизм

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file