Ерофеев С. Ю., Романьков В. А.
О группах унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп
Дано описание структуры группы унитреугольных автоморфизмов Un относительно свободной группы Gn конечного ранга n произвольного многообразия групп  , позволяющее ввести эффективное понятие нормальной формы элемента и представить группу Un через порождающие элементы и определяющие соотношения. Случаи n = 1, 2 очевидны: группа U1 тривиальна, группа U2 циклическая. При n ≥ 3 доказано следующее. Если группа Gn - 1 нильпотентна, то группа унитреугольных автоморфизмов Un также нильпотентна. Если группа Gn - 1 почти нильпотентна, то группа Un допускает точное представление матрицами. Если же многообразие отлично от многообразия всех групп и группа Gn - 1 не почти нильпотентна, то группа Un не допускает точного представления матрицами ни над каким полем. Таким образом, дана исчерпывающая классификация точной матричной представимости групп унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга собственных многообразий групп, что дополняет известные результаты Ольшанского о точной матричной представимости полных групп автоморфизмов AutGn. Также введено понятие длины автоморфизма произвольной относительно свободной группы Gn и дана оценка длины обратного автоморфизма в случае его унитреугольности. |
Erofeev S. Yu., Roman’kov V. A.
On the groups of unitriangular automorphisms of relatively free groups
We describe the structure of the group Un of unitriangular automorphisms of the relatively free group Gn of finite rank n in an arbitrary variety of groups. This enables us to introduce an effective concept of normal form for the elements and present Un by using generators and defining relations. The cases n = 1, 2 are obvious: U1 is trivial, and U2 is cyclic. For n ≥ 3 we prove the following: If Gn - 1 is a nilpotent group then so is Un . If Gn - 1 is a nilpotent-by-finite group then Un admits a faithful matrix representation. But if the variety is different from the variety of all groups and Gn - 1 is not nilpotent-by-finite then Un admits no faithful matrix representation over any field. Thus, we exhaustively classify linearity for the groups of unitriangular automorphisms of finite rank relatively free groups in proper varieties of groups, which complements the results of Olshanskii on the linearity of the full automorphism groups AutGn . Moreover, we introduce the concept of length of an automorphism of an arbitrary relatively free group Gn and estimate the length of the inverse automorphism in the case that it is unitriangular.
|
