Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 414.10053
Autor: Erdös, Paul; Nathanson, Melvyn B.
Title: Systems of distinct representatives and minimal bases in additive number theory. (In English)
Source: Number theory, Proc. Conf., Carbondale 1979, Lect. Notes Math. 751, 98- 107 (1979).
Review: [For the entire collection see Zbl 405.00004.]
Mit A\subseteqN0 und h in N ist wie üblich hA: = {z in N0| z = sumjxj; aj in A; xj in N0; sumjxj = h}. Sei U\subseteqN0 mit |U| = oo, eine Menge B\subseteqN0 heißt (asymptotische) Basis h-ter Ordnung für U, wenn es ein N gibt, so daß für jedes z in U mit z > N gilt z in hB. Wenn B Basis h-ter Ordnung für U ist, aber keine echte Teilmenge von B diese Eigenschaft besitzt, heißt B Minimalbasis h-ter Ordnung für U. Eine Menge A\subseteqN0 heißt (asymptotische) Nichtbasis h-ter Ordnung für U, wenn es unendlich viele z in U gibt mit z\notin hA. Wenn A Nichtbasis h-ter Ordnung für U ist, aber keine echte Obermenge von A Nichtbasis h-ter Ordnung für U ist, heißt A maximale Nichtbasis h-ter Ordnung für U. Ist A Nichtbasis h-ter Ordnung für U und C\subseteqN0, aber A\cup{c} ist Basis h-ter Ordnung für U für jedes c in C\ A, dann heißt A maximale Nichtbasis h-ter Ordnung für U bezüglich C.
In der vorliegenden Arbeit wird nun weiterhin h = 2 betrachtet. Für eine Menge A\subseteqN0 bedeutet rA(n) die Anzahl der Darstellungen einer Zahl n in der Form n = ai+aj mit ai,aj in A und ai \leq aj. Dann werden u.a. folgende Sätze bewiesen:
Satz 1: Sei B Basis 2. Ordnung für U = {u1 < u2 < ...} mit der Eigenschaft (*) rs(un) > c log n für alle n \geq N1, wobei die Konstante c > log-1(4/3) ist. Ferner gebe es zu jedem b1 in B unendlich viele bj in B, so daß b1+bj in U. Dann enthält B als Teilmenge eine Minimalbasis 2. Ordnung für U.
Satz 3: Mit dem Lebesgue-Maß auf dem Wahrscheinlichkeitsraum aller Zahlenfolgen \subseteqN enthält eine Folge mit Wahrscheinlichkeit 1 eine Minimalbasis 2. Ordnung für N.
Satz 4: Die Menge der quadratfreien Zahlen enthält als Teilmenge eine Minimalbasis 2. Ordnung für N.
Satz 5: Die Menge {p,pq| p,q ungerade Primzahlen} enthält als Teilmenge eine Minimalbasis 2. Ordnung für die Menge der positiven geraden Zahlen. Die weiteren Sätze machen Aussagen über Nichtbasen. Als Analogon zu Satz 1 hat man
Satz 6: Sei B Basis 2. Ordnung für U mit der oben genannten Eigenschaft (*). Ferner gebe es zu jedem L \geq 1 unendlich viele un in U, so daß N\cap[un-L,un]\subseteq B. Dann enthält B als Teilmenge eine maximaleNichtbasis 2. Ordnung für U. Von den weiteren Aussagen sei noch erwähnt
Satz 9: Sei B Basis 2. Ordnung für U mit der Eigenschaft (*). Fernergebe es zu jeder endlichen Teilmenge F\subseteq B unendlich viele un in U mit un-b in B für alle b in F. Dann gibt es eine Teilmenge A\subseteq B, die Nichtbasis 2. Ordnung für U bezüglich B ist. (Für einige der hier bewiesenen Resultate über quadratfreie Zahlen vgl. auch P.Erdös and M.B.Nathanson, J. Number Theory 11, 197-208 (1979; Zbl 409.10042).)
Reviewer: E.Härtter
Classif.: * 11B13 Additive bases
Keywords: minimal asymptotic basis of order h; representations of integers
Citations: Zbl.409.10042; Zbl.405.00004
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