Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 409.10042
Autor: Erdös, Paul; Nathanson, Melvyn B.
Title: Bases and nonbases of square-free integers. (In English)
Source: J. Number Theory 11, 197-208 (1979).
Review: Eine Menge B\subseteqN0 heißt (asymptotische) Basis (2. Ordnung), wenn jedes n in N (n \geq N) darstellbar ist als n = bi+bj mit bi,bi in B. Eine Basis B heißt Minimalbasis, wenn keine echte Teilmenge von B Basis ist. - Eine Menge A\subseteqN0 heißt (asymptotische) Nichtbasis (2. Ordnung), wenn A keine Basis ist. Eine Nichtbasis heißt maximale Nichtbasis, wenn jede echte Obermenge von A eine Basis ist. - Weiter heißt eine Basis B r-Minimalbasis (r in N), wenn für beliebige b1,b2,...,bk in B die Menge B\{ b1,...,bk} Basis ist, falls k < r, aber Nichtbasis ist, falls k \geq r. Demnach sind 1-Minimalbasen die oben definierten Minimalbasen. Diese Definition wird auch auf r = \aleph0 erweitert: Eine Basis B heißt \aleph0-Minimalbasis, wenn für jede endliche Teilmenge B^*\subseteq B die Menge B\ B^* Basis ist, aber für jede unendliche Teilmenge B^*\subseteq B die Menge B\ B^* Nichtbasis ist. Eine Menge \aleph0-Minimalbasis ist also eine Basis, die keine Minimalbasis im oben definierten Sinn enthält. - Eine Nichtbasis A heißt s-maximale Nichtbasis (s in N) bezüglich einer Menge C\subseteqN0, wenn für beliebige s1,c2,...,ck in C\ A die Menge A\cup{c1,...,ck} Nichtbasis ist, falls k < s, aber Basis ist, falls k \geq s. Mit Hilfe einiger Lemmata über die Menge Q der positiven quadratfreien Zahlen werden dann folgende interessanten Sätze bewiesen: Theorem 1: Es gibt eine Teilmenge von Q, die \aleph0-Minimalbasis ist. Theorem 2: Für jedes r in N gibt es eine Teilmenge von Q, die r-Minimalbasis ist. Theorem 3: Es gibt keine Teilmenge von Q, die maximale Nichtbasis ist. Theorem 4: Für jedes s in N gibt es eine Teilmenge von Q, die s-maximale Nichtbasis bezüglich Q ist. Theorem 5: Es gibt eine Teilmenge von Q, die Nichtbasis ist, aber nicht enthalten ist in einer bezüglich Q maximalen Nichtbasis \subseteq Q.
Reviewer: E.Härtter
Classif.: * 11B13 Additive bases
Keywords: minimal basis; nonbasis; square-free numbers
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag