Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 102.28401
Autor: Erdös, Pál; Hajnal, András
Title: On the structure of set-mappings (In English)
Source: Acta Math. Acad. Sci. Hung. 9, 111-131 (1958).
Review: Sei S eine Menge und I eine Menge ihrer Teilmengen. Für X in I sei f(X)\subseteq S eine Funktion mit der Eigenschaft X \cap f(X) = Ø. Dann heiße f(X) eine Mengenabbildung (abgekürzt: MA) von S vom Typus I. Eine Teilmenge S' von S heiße frei bezüglich f(X), wenn für alle X\subseteq S', X in I gilt: S' \cap f(X) = Ø. Der Verf. untersucht solche MA, bei denen I entweder aus allen Teilmengen von S mit vorgeschriebener Mächtigkeit t besteht oder aus allen Teilmengen von S mit Mächtigkeiten < t. Diese MA sollen dann vom Typus t bzw. < t heißen. Wenn \overline {\overline{f(X)}} < n für X in I, so heiße f(X) von der Ordnung n. Mit dem Symbol (m,n,t) ––> p bzw. (m,n < t) ––> p wird die Aussage bezeichnet, daß es von einer Menge S der Mächtigkeit m eine Teilmenge S' der Mächtigkeit p gibt, die frei bezüglich einer MA f(X) der Ordnung n vom Typus t bzw. < t ist. Die Verneinung dieser Aussage wird durch (m,n,t) (not)––> p bzw. (m,n, < t) (not)––> p symbolisiert.
Einige der nachstehend aufgeführten Resultate werden vom Verf. durch Voranstellen des Zeichens (*) bzw. (**) markiert. Das soll bedeuten, daß sie auf Grund der Hypothese (*) bzw. (**) bewiesen sind, wobei (*) die allgemeine Kontinuumhypothese bedeutet und (**) die folgende Annahme: In der Menge aller Teilmengen einer Menge S, die eine streng unerreichbare Kardinalzahl \overline {\overline {S}} = m besitzt, läßt sich ein zweiwertiges Maß \mu(X) so erklären, daß \mu(S) = 1, \mu({x}) = 0 für x in S gilt und \mu für weniger als m Summanden additiv ist.
Resultate: Bei MA des Typus t \geq \aleph0 gibt es keine nicht-trivialen freien Mengen, d.h. es gilt (m,2,t) (not)––> t für t \geq \aleph0. Folgerung: (m,2 < t) (not)––> \aleph0 für \aleph0.
Somit lassen sich Bejahungen nur noch erwarten für (m,n,k) ––> p mit k < \aleph0 und für (m,n < \aleph0) ––> p. Das letzte Pfeilsymbol wird vom Verf. durch das kürzere (m,n,\omega) ––> p ersetzt. Dann ergibt sich (m,2, \omega) (not)––> \aleph0 für m < \aleph\omega. Folgerung: (\aleph\omega , 2, \omega) (not)––> \aleph1. Problem: (\aleph\omega,2,\omega) ––> \aleph0 ?
Dagegen das überraschende positive Ergebnis: (**) (m,n,\omega) ––> für n < m und streng unerreichbares m.
Die MA vom Typus \omega hängen zusammen mit folgendem Problem (P.Erdös und R.Rado, Zbl 048.28203): Kann man für jedes k, 1 \leq k < \aleph0 die k-elementigen Teilmengen einer unendlichen Menge S so in zwei Klassen verteilen, daß zu jeder unendlichen Teilmenge S1 von S stets ein k existiert, zu dem es in beiden Klassen k-elementige Teilmengen von S1 gibt? In der jetzigen Abhandlung wird bewiesen: Eine solche Verteilung ist möglich, wenn \overline{\overline{S}} = m unterhalb der kleinsten streng unerreichbaren Kardinalzahl > \aleph0 liegt. (**) Wenn m > \aleph0 und m streng unerreichbar ist, so gibt es ein \bar S1 \subseteq S mit \overline{\overline{S1}} = m, so daß für jedes k alle k-elementigen Teilmengen von S1 in derselben Klasse liegen.
Ergebnisse bezüglich MA von endlichem Typ k: (*)(m,n,1) ––> m für n < m und m \geq \aleph0 (vermutet von Ruziewicz, bewiesen von P. Erdös, Zbl 039.04902).
(m,n,k) ––> m für n < m m streng unerreichbar; folgt aus (**) (m,n,\omega) ––> m, s.o.
(*) (m,n,k) ––> m für n < m = \aleph\alpha \alpha Limeszahl, \aleph\alpha nicht unerreichbar.
(\aleph\alpha+k-1, \aleph\alpha,k) (not)––> k+1 (k = 1,2,...,\alpha beliebig); hingegen (\aleph\alpha+k,\aleph\alpha,k) ––> \aleph\alpha+1; jedoch (\aleph\alpha+k, \aleph\alpha k) (not)––> \aleph\alpha+k für k \geq 2. Offen bleibt die Frage nach dem größten p, für welches bei festem k \geq 3 gilt: (\aleph\alpha+k,\aleph\alpha,k) ––> p.
Ergebnisse für MA mit unendlichem m und endlicher Ordnung l+1 (l = 1,2,...): (m,l+1,k) ––> \aleph0; (*) (\aleph\alpha+k-1,l+1,k) ––> \aleph\alpha (k = 1,2,...); (*) (\aleph\alpha+1,2,2)\not ––> \aleph\alpha+1
Bei endlichem m wird für maximales, von m,l,k abhängiges p mit (m,l+1,k) ––> p die Abschätzung c1m1/(k+1) < p < c2 (m log m)1/k gegeben, wobei c1 und c2 positive reelle Zahlen sind, die von k und l abhängen.
Reviewer: W.Neumer
Classif.: * 05D10 Ramsey theory
03E55 Large cardinals
04A20 Combinatorial set theory
03E05 Combinatorial set theory (logic)
Index Words: set theory
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