Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 039.04902
Autor: Erdös, Pál
Title: Some remarks on set theory. (In English)
Source: Proc. Am. Math. Soc. 1, 127-141 (1950).
Review: 1. Der Verf. bestimmt für jedes natürliche n die Maximalanzahl f(n) verschiedener Ordinalzahlen, die man durch beliebige Addition von n Ordinalzahlen erhalten kann: f(n) = maxk \leq n-1 [(k2k-1+1) f(n-k)].
2. Es sei X eine Menge und m ihre Mächtigkeit. Zwei Mengen A und B von Teilmengen A und B von X heißen k-orthogonal, wenn für A in A und B in B die Mächtigkeit des Durchschnittes A \cap B stets kleiner als \alephk ist; A und B heißen vollständig k-orthogonal, wenn A und B k-orthogonal sind, zu A oder B jedoch keine Mengen \subseteq X hinzugefügt werden können, ohne die k-Orthogonalität zu zerstören. Der Verf. zeigt, daß die Kardinalzahl der vollständig k-orthogonalen Paare A,B gleich 2m\alephk ist (der Beweis verwendet die verallgemeinerte Kontinuumshyposthese 2\alephk = \alephk+1).
3. Der Verf. zeigt: Jede unendliche Teilmenge des k-dimensionalen Euklidischen Raumes enthält eine Teilmenge M gleicher Mächtigkeit derart, daß keine zwei Punktepaare aus M gleiche Abstände haben.
4. Es sei G ein Graph der Ordnung m (unendliche Kardinalzahl), d. h. jeder Eckpunkt von G sei Endpunkt von m "Strecken". Jeder Eckpunkt sei mit m verschiedenen Eckpunkten durch "Strecken" verbunden. Der Verf. zeigt, daß dann G das Produkt von Linearfaktoren ist (d.h. von Teilgraphen der Ordnung 1 mit denselben Ecken wie G).
5. Es sei S eine Menge und m ihre Mächtigkeit. Jedem a in S sei eine Menge f(a)\subseteq S mit a \not in f(a) zugeordnet. a in S und b in S heißen unabhängig, wenn a \not in f(b) und b \not in f(a). S' \subseteq S heißt unabhängig, wenn je zwei Elemente aus S' unabhängig sind oder der Durchschnitt S' \cap f(S'') leer ist. Der Verf. zeigt: Ist n eine Kardinalzahl < m und hat jedes f(a) eine Mächtigkeit < n, so existiert eine unabhängige Menge S' \subseteq S mit der Mächtigkeit m (der Beweis benutzt die verallgemeinerte Kontinuumshypothese).
7. Der Verf. zeigt, daß es für jedes natürliche k eine Hamel-Basis (a1,a2,...) gibt derart, daß Hk das Maß 0 hat und Hk+1 nicht meßbar ist (Hk ist die Menge aller sumr = 1k crar mit rationalen cr).
Reviewer: Nöbeling (Erlangen)
Classif.: * 04A99 Miscellaneous topics in set theory
04A10 Ordinal and cardinal numbers; generalizations
Index Words: set theory
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