Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  047.06303
Autor:  de Bruijn, N.G.; Erdös, Pál
Title:  Some linear and some quadratic recursion formulas. II. (In English)
Source:  Indag. Math. 14, 152-163 (1952); Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A 55, 152-163 (1952).
Review:  [Teil I. s. Zbl 044.06003]
Die Verff. untersuchen die Lösungen f von

f(1) = 1,   f(n) = sumk = 1n-1 ck f(n-k)   (n = 2,3,...),

falls die ck > 0 sind und

limsupk ––> oo ck1/k = oo:

Sie beweisen:
1. Für n ––> oo ist limsup cn/f(n) = 0, limsup cn/f(n+1) = 1.
2. Die explizite Lösung ist:

f(n) = sumh = 1n-1 sum ci(1) ci(2)··· ci(h),

wo in der inneren Summe die Summationsvariablen den Bedingungen i(1) > 0,...,i(h) > 0, i(1)+i(2)+···+i(h) = n-1 genügen. Falls In der größte unter den 2n-2 Summanden ist, so gilt: limn ––> oo {f(n)/In}1/n = 1.
3. Falls cn+1/cn ––> oo, so gilt auch f(n+1)/ f(n) ––> oo.
4. falls cn+1/cn monoton wächst, so gilt dasselbe für f(n+1)/f(n), und es ist

limsupn ––> oo {f(n+1) \over f(n)} · {cn-1 \over cn} = 1,    limn ––> oo [{f(n)\over cn-1}]1/n = 1.


5. Falls cn+1/cn monoton wächst und cn+1/cn > Cn\alpha (n = 1,2,...) (wo C > 0, \alpha > 0), so gilt f(n+1)/cn ––> 1, falls n ––> oo.
Die Verff. geben weiter einige Beispiele, aus denen hervorgeht, daß die erhaltenen Resultate nicht erheblich verschärft werden können. Sie wenden die erhaltenen Resultate an auf die Lösungen von

f(1) = 1,   f(n) = sumk = 1n-1 ck,n f(k) f(n-k)  (n = 2,3,...),

wo die ck,n > 0 sind. Sie geben hinreichende Bedingungen dafür an, daß {f(n)}-1/n für n ––> oo einen endlichen Grenzwert hat.
Reviewer:  H.D.Kloosterman
Classif.:  * 40A05 Convergence of series and sequences
Index Words:  series, summability

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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