wo die c_k > 0 vorausgesetzt werden, so daß auch f(n) > 0 (n = 1,2,...). Es werde C(x) = sum_{n = 1}^oo c_nxⁿ und F(x) = sum_{n = 1}^oo f(n) xⁿ gesetzt. Es ist dann F(x) = x+C(x)F(x). Es sei \gamma die obere Grenze aller Zahlen \alpha \geq = mit C(\alpha) \leq 1 und R der Konvergenzradius der Potenzreihe für C(x). Fünf Fälle werden unterschieden:
1. \gamma = R = 0; 2. 0 < \gamma < R \leq oo, C(\gamma) = 1; 3. 0 < \gamma = R < oo, C(\gamma) = 1, 0 < C'(\gamma) < oo; 4. 0 < \gamma = R < oo, C(\gamma) = 1; C'(\gamma) = oo; 5. 0 < \gamma = R < oo, 0 < C(\gamma) < 1.
Die Verff. zeigen zunächst, daß lim {f(n) }^-1/n immer existiert (sogar in einem allgemeineren Fall, wo die c_k noch von n abhängen) und = \gamma ist. Komplizierter istdie Frage nach der Existenz von lim f(n)/f(n+1), der dann ebenfalls = \gamma ist, was in den Fällen 2. und 3. immer zutrifft, nicht immer aber in den übrigen Fällen. Es sei \alpha = liminf f(n)/f(n+1) und \beta = limsup f(n)/f(n+1). Die Verff. geben ein Beispiel, wo \beta > \alpha = 0 ist. Eine hinreichende Bedingung für \alpha > 0 ist sum c_k/f(k) < oo. Im 5. Fall ist aber sum c_k/f(k) = oo. Die Verff. zeigen noch, daß in den Fällen 2, 3, und 4 immer c_n = o{f(n)} ist, falls entweder lim f(n)/f(n+1) oder lim c_n+1/c_n existiert. Für die Fälle 2, 3, 4 und 5 geben sie zwei zugleich notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von lim f(n)/f(n+1). In diesen 4 Fällen sind folgende Bedingungen (jede für sich) hinreichend:
a) lim c_n/c_n+1 = \gamma;
b) sum_{n = 1}^oo |\gamma c_n-c_n-1|{f(n)}^-1 < oo;
c) sum c_n /f(n) < oo;
d) c_n+1c_n-1 \geq c ²/_n (n > 1),
a) und d) auch im Fall 1.
Reviewer:  Hendrik Douwe Kloosterman
Classif.:  * 40A05 Convergence of series and sequences
Index Words:  series, summability

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