Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 031.29402
Autor: Erdös, Paul; Piranian, George
Title: A note on transforms of unbounded sequences. (In English)
Source: Bull. Am. Math. Soc. 53, 787-790 (1947).
Review: Sei A\equiv ||ank|| eine reguläre Toeplitz-Matrix, welche die Folge sk in die Folge tn transformiert [ tn = sumk = 0oo ank sk (1) ]. Das Ziel dieser Arbeit ist die Widerlegung folgender Vermutungen:
a) Es existiert eine reguläre Toeplitz-Matrix, welche jede Folge sk in eine solche tn transformiert, welche wenigstens einen Limespunkt im Endlichen besitzt.
b) Man kann zu jeder regulären Toeplitz-Matrix eine Folge sk angeben, so daß die transformierte Folge tn ins Unendliche monoton wächst.
Zur Widerlegung dieser Vermutungen werden folgende Sätze bewiesen:
1. Ist A eine reihen-finite reguläre Toeplitz-Matrix, so existiert eine Folge sk, so daß die ihr nach (1) entsprechende Folge tn so beschaffen ist, daß |tn| mit beliebiger Geschwindigkeit ins Unendliche wächst.
2. Ist A eine reguläre Toeplitz-Matrix, so kann man eine Folge sk so angeben, daß die ihr entsprechende Folge tn keinen Limespunkt in der endlichen Ebene besitzt.
2a) Zur beliebigen regulären Toeplitz-Matrix A existiert eine solche Folge sk, daß wenn tn = \rhonei\theta n gilt, limn ––> oo \rhon = oo und limn ––> oo \thetan = 0 ist. Ist A reell, so kann man die Folge sk so angeben, daß tn auch reell und positiv sei.
3. Ist f(n) eine beliebige reelle Funktion mit der Eigenschaft: limn ––> oo f(n) = oo, so existiert eine reguläre Toeplitz-Matrix, welche jede Folge sk in eine solche transformiert, welche der Ungleichung |tn| < f(n) genügt (n > N).
4. Es läßt sich eine reguläre Toeplitz-Matrix konstruieren, welche die beliebige Folge sk in eine solche transformiert, für welche |tn| nicht monoton wächst.
Reviewer: St.Fenyö
Classif.: * 40C05 Matrix methods in summability
Index Words: Series, summability
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