ZDM 30(June 1998)No.3: Abstracts

Volume 30 (June 1998) Number 3

ZDM

Zentralblatt für Didaktik der Mathematik

International Reviews on Mathematical Education

Articles • Electronic Edition • ISSN 1615-679X

ABSTRACTS

Analyses: Mathematics, peace and ethics

Mathematics, peace and ethics. An introduction
Ubiratan D'Ambrosio, Sao Paulo (Brazil); Marianne Marmé, Karlsruhe (Germany)

This introduction contains a survey of the contributions to the ZDM analyses "Mathematics, peace and ethics" (ZDM 1998/No.3) and some additional literature references.

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Mathematik, Frieden, Ethik. Einführung. Diese Einführung enthält eine Übersicht über die Beiträge zu den ZDM-Analysen "Mathematik, Frieden, Ethik" (ZDM 1998/H.3) sowie einige zusätzliche Literaturhinweise.

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Mathematics and peace: Our responsibilities
Ubiratan D'Ambrosio, Sao Paulo (Brazil)

I am concerned with peace in its several dimensions: inner peace, social peace, environmental peace and military peace. This paper addresses the global responsibilities of mathematicians and mathematics educators in the quest for peace. It is observed that the evolution of mathematics is intimately related to the evolution of Western society, hence mathematics cannot be dissociated of human behavior. After some reflections on the specifity of the human species and the production of knowledge, I claim a symbiotic relation between human search of ways of explaining and coping with the environment and the development of mathematics. This leads to a broader approach to the history and pedagogy of mathematics and to some hints for the subordination of mathematics development to a global ethics, which incorporates the goal of peace in its multiple dimensions.

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Mathematik und Frieden: unsere Verantwortung. Mein Anliegen ist Frieden in seinen verschiedenen Dimensionen: innerer Frieden, sozialer Frieden, ökologischer Frieden und militärischer Frieden. Der Beitrag handelt von der globalen Verantwortung von Mathematikern und Mathematikdidaktikern im Streben nach Frieden. Beobachtungen zeigen, daß die Entwicklung der Mathematik eng mit der Entwicklung der westlichen Gesellschaft verbunden ist; Mathematik kann also nicht vom menschlichen Verhalten abgetrennt werden. Nach einigen Überlegungen über das Besondere der menschlichen Spezies behaupte ich, daß es eine symbiotische Beziehung zwischen der menschlichen Suche nach Wegen, die Umwelt zu erklären, mit ihr umzugehen, und der Entwicklung der Mathematik gibt. Dies führt zu einem breiteren Zugang zur Geschichte und zur Pädagogik der Mathematik sowie zu einigen Hinweisen, wie die Entwicklung der Mathematik einer globalen Ethik unterworfen werden kann, die den Frieden in seinen verschiedenen Dimensionen als Ziel miteinschließt.

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The mathematics of war
Michele Emmer, Rome (Italy)

During the Desert Storm, the Gulf war, it was possible to read in the newspapers words such as: "In mathematical terms, war is becoming more and more electronically controlled and, as a result, it is moving away from the battlefield. Then, when war comes down to earth, it becomes bloody, it loses its mathematical asceticism." Reading the newspapers in those days, one had the impression that modern warfare is based on mathematics, as if it were not men but computers that decided where to carry out "surgical operations". By contrast, the volume published a few years before the Gulf war, conceived as a didactic unit to be used in schools with a guide for the teacher with the title "La matematica della guerra" (The Mathematics of War) published by Gruppo Abele in Turin, begins with the words: "Mathematics, like any other discipline, lends itself to building several paths towards education for peace." The volume, written by a group of teachers belonging to an anti-violence organisation forming part of the "education for peace" project, highlights the power or ambiguitiy of mathematical models used to simulate war or conflict situations and demonstrates that in some cases the use of mathematics leads to a better understanding of the situation, but in other cases, the mathematical model itself can lead to conclusions which are either wrong or morally unacceptable.

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Mathematik des Krieges. Während des Golfkriegs konnte man folgendes in den Zeitungen lesen: "Kriege werden - mathematisch gesprochen - mehr und mehr elektronisch kontrolliert. Das bedeutet, sie werden vom Schlachtfeld entfernt. Wenn der Krieg dann aber wieder 'zur Erde zurückkehrt', wird er blutig, er verliert seine mathematische Reinheit". Die Zeitungen zu jener Zeit erweckten den Eindruck, modernes Kriegswesen sei auf Mathematik gegründet, als ob nicht Menschen, sondern Computer für die Ausführung "chirurgischer Operationen" verantwortlich seien. Ein anderes Bild hingegen vermittelt eine Lehrerhandreiching "La matematica della guerra" (Mathematik des Krieges), die einige Jahre vor dem Golfkrieg von der Turiner Gruppe Abele entwickelt wurde. Sie beginnt mit den Worten: "Wie jede andere Disziplin kann auch die Mathematik mehrere Wege zu einer Erziehung zum Frieden bauen". Der Band beleuchtet die Macht bzw. manchmal auch die Zweifelhaftigkeit mathematischer Modelle zur Simulation von Kriegs- und Konfliktsituationen und zeigt, daß der Gebrauch der Mathematik in manchen Fällen zu einem besseren Verständnis der Situation beitragen, in anderen Fällen jedoch das mathematische Modell selbst zu falschen oder moralisch nicht vertretbaren Schlüssen führen kann.

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Which is more fundamental: Outward peace or being true to our humanity?
Munir Fasheh, Ramallah (Palestine)

How we perceive and define concepts should be a major concern for teachers and educators in general and for math teachers and educators in particular. This issue, however, is usually ignored or marginalised in curricula and classrooms, where textbooks form the major source of information, knowledge, meanings and definitions. The two words in the theme of this ZDM-issue -- math and peace -- are themselves good examples to explore. "What do we include in the math curriculum and what do we exclude, and why?" and "What do we mean by peace, and whose peace, and at what human and environmental cost?" are questions that the article raises and tries to point out how we should go about dealing with them.

The article challenges the absolute meanings of concepts and stresses the importance of discussing meanings only within context. This concern requires giving teachers and students a greater say in the curriculum, to explore and discuss issues that affect their lives profoundly. The article challenges current values and goals, and suggests what it considers more fundamental values. In particular, it suggests that when there is conflict between peace and being true to our humanity, the latter should be given priority as a guiding value.

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Was ist wesentlicher: äußerer Friede oder unserer Menschlichkeit gerecht zu werden? Die Frage, wie wir Begriffe wahrnehmen und definieren, sollte ein Hauptanliegen von Lehrern und Didaktikern im allgemeinen und für Mathematiklehrer und -didaktiker im besonderen sein. Dies wird jedoch in Lehrplänen und im Unterricht meistens marginalisiert, und die Hauptquelle für Informationen, Wissen, Bedeutungen und Definitionen sind Schulbücher. Die beiden Worte im Titel dieser Veröffentlichung - Mathematik und Frieden - sind zwei gute Beispiele für entsprechende Untersuchungen. Dieser Beitrag wirft Fragen auf wie "Was gehört in den Mathematiklchrplan und was nicht, und warum?" und "Was verstehen wir unter Frieden, wessen Frieden, und auf Kosten welcher menschlicher und umweltbezogener Aspekte?", er versucht aufzuzeigen, wie mit solchen Fragen umgegangen werden kann.

Dieser Beitrag stellt absolute Bedeutungen von Begriffen in Frage und betont, wie wichtig es ist, Begriffe nur im Zusammenhang zu diskutieren. Dieses Anliegen erfordert es, Lehrern und Schülern sowohl ein größeres Mitspracherecht im Hinblick auf Lehrpläne und Curricula zu geben, als auch die Möglichkeit, Themen zu untersuchen und zu diskutieren, die ihr Leben wesentlich beeinflussen. Werte und Ziele in der heutigen Zeit werden in Frage gestellt und grundlegendere Werte vorgeschlagen. Insbesondere wird die Ansicht vertreten, daß, falls eine Entscheidung zwischen Frieden und einem Gerechtwerden unserer Menschlichkeit zu treffen ist, letzterem der Vorzug gegeben werden sollte.

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Ethics in mathematical education
Ernesto Rottoli, Bergamo (Italy)

The rising of non-Euclidean geometries forces mathematicians to go beyond the criterion of truth and to pose as priority the criterion of freedom. This criterion gains meaning in the circular path that links ethos with logos and it makes us able of experimenting with the wealth of the values of theory. Mathematical education thus finds a new dimension: it abandons the ambit of only formal constructions and finds again its role in the determination of the frames on which the originary ethos constructs its "intrinsic geometry".
The role of Bayes' law in education to tolerance is an example of these frames.

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Ethik im Mathematikunterricht. Das Entstehen nichteuklidischer Geometrien zwingt Mathematiker dazu, dem Kriterium der Freiheit eine höhere Priorität als dem der Wahrheit beizumessen. Dieses Kriterium gewinnt Bedeutung durch die kreisförmige Verbindung zwischen Ethos und Logos. Es befähigt uns, mit dem Reichtum an Werten einer Theorie zu experimentieren. Die mathematische Erziehung findet so eine neue Dimension: sie verläßt den Bereich der rein formalen Konstruktionen und findet ihre Rolle wieder in der Bestimmung von "frames" (Rahmen), innerhalb derer das originäre Ethos seine "intrinsinsche Geometrie" konstruiert. Die Rolle des Satzes von Bayes für die Erziehung zur Toleranz dient als Beispiel für einen solchen Rahmen.

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Can mathematics educate for peace?
Anna Rosa Scarafiotti, Annarosa Giannetti, Torino (Italy)

In this paper we simulate a discussion with our students, in which we alternate specific mathematical issues (as the PERT (Program Evaluation and Review Technique) in 1.2, a discrete dynamical system in 2.1 and the fractals in 2.2) that can be applied in situations such as the evolution of populations (2.1) or other well-known contexts such as the economic equilibrium theory or the ecological systems. The students are given occasions to deepen both the meaning and use of the studied model.

We emphasize those cases where the model leads to analyses of behaviour depending on parameters whose values highlight stable states of dynamic systems (regions of peace) and regions where control over the system evolution is lost, and where the system passes from bifurcations to chaos (regions of war).

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Kann Mathematik zum Frieden erziehen? In diesem Beitrag simulieren wir eine Reflexion mit unseren Studenten, in der wir spezielle mathematische Themen (wie PERT (Program Evaluation and Review Technique) in 1.2, ein diskretes dynamisches System in 2.1 sowie Fraktale in 2.2) ansprechen, die in der Populationsdynamik (2.1) oder anderen bekannten Zusammenhängen wie ökonomische Gleichgewichtstheorie oder Ökosysteme angewandt werden können. Dabei wird den Studenten Gelegenheit gegeben, über Bedeutung und Anwendung der untersuchten Modelle zu reflektieren.

Insbesondere werden solche Fälle betrachtet, bei denen das Modellverhalten in Abhängigkeit bestimmter Parameter zu analysieren ist. Die Werte dieser Parameter bestimmen stabile Zustände dynamischer Systeme (Friedensregionen) und Regionen, in denen die Kontrolle über die Evolution des Systems verloren geht und wo das System von Bifurkationen ins Chaos übergeht (Kriegsregionen).

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Aporism: Uncertainty about mathematics
Ole Skovsmose, Copenhagen (Denmark)

Neither absolutism nor aposteriorism have questioned the progressive elements associated with the applications and the social functions of mathematical knowledge. Aporism raises this question by discussing the thesis of the formatting power of mathematics. This thesis unites linguistic relativism applied to mathematics and the idea that technology is a structuring principle in society. We are no longer surrounded by "nature", instead we live in a techno-nature. Mathematical abstractions can be projected outside the sphere of mathematics, and in this way they modulate and eventually constitute fundamental categories of techno-nature.

The Vico paradox expresses the difficulties of specifying the nature and function of technological actions: We are not even able to grasp and to understand what we have ourselves constructed. A critique cannot be guaranteed by scientific (or mathematical) thinking itself. Critique becomes a much more complex activity including reflections on technological actions. A critique includes ethical considerations, and therefore a critique of mathematics is also ethical.

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Aporismus: Unsicherheit bzgl. der Mathematik. Weder Absolutismus noch Aposteriorismus haben die progressiven Elemente, die mit den Anwendungen und sozialen Funktionen des mathematischen Wissens assoziiert werden, in Frage gestellt. Der Aporismus stellt diese Frage, indem er die These der formenden Macht der Mathematik diskutiert. Diese These vereinigt den auf die Mathematik angewandten linguistischen Relativismus und die Idee, daß Technologie ein Strukturprinzip der Gesellschaft ist. Wir sind nicht länger von "Natur" umgeben, stattdessen leben wir in einer "Techno-Natur". Mathematische Abstraktionen können nach außerhalb der mathematischen Sphäre projiziert werden, und auf diesem Wege regulieren und konstituieren sie eventuell sogar grundlegende Kategorien der Techno-Natur.

Das Vico-Paradox bringt die Schwierigkeiten, Natur und Funktion technologischer Aktionen zu spezifizieren, zum Ausdruck: wir sind nicht mehr fàhig, das zu begreifen und zu verstehen, was wir selbst geschaffen haben. Kritik kann nicht durch wissenschaftliches (oder mathematisches) Denken selbst garantiert werden. Kritik wird zu einer viel komplexeren Tätigkeit, die Reflexionen über technologische Aktionen miteinschließt. Kritik enthält auch ethische Betrachtungen, und deshalb ist eine Kritik der Mathematik auch eine ethische.

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Information

On the notion of space in geometry
Vagn Lundsgaard Hansen, Lyngby (Denmark)

The development of the notion of space in geometry is traced from the early axiomatization in Euclid's Elements over the discovery of non-Euclidean geometries to geometry of manifolds in relativity theory and in gauge and string theories in contemporary physics. The notion of space is considered in a historic-philosophical perspective including a short discussion of the contributions of artists to visualization of spatial objects.

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Über den Raumbegriff in der Geometrie. Die Entwicklung des Raumbegriffs in der Geometrie wird skizziert von der frühen Axiomatisierung in den Elementen von Euklid über die Entdeckung nichteuklidischer Geometrien zur Geometrie der Mannigfaltigkeiten in der Relativitätstheorie sowie in der Eichtheorie und in der Stringtheorie der modernen Physik. Der Raumbegriff wird in einer historisch-philosophischen Perspektive betrachtet, wobei auch Beiträge von Künstlern zur Visualisierung räumlicher Objekte angesprochen werden.

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