ABSTRACTS

Introduction to the theme: Mathematical beliefs
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland); Günter Törner, Duisburg (Germany)

The Finnish-German MAVI (= Mathematics Views) group is presented. Research into mathematical beliefs is a part of the research work of this group.

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Einführung in das Thema "mathematische Beliefs". Die finnisch-deutsche Gruppe MAVI, die sich u.a. mit der Erforschung mathematischer Beliefs befaßt, wird vorgestellt.

Mathematical beliefs and different aspects of their meaning
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland); Günter Törner, Duisburg (Germany)

During the last decade, researchers around the world have increasingly been paying attention to mathematics learning from the viewpoint of metacognitions, especially in the form of pupils' and teachers' beliefs. The spectrum of an individual's beliefs is very large, and its components influence each other. The central role of beliefs for successful learning of mathematics has been pointed out again and again by several mathematics educators. An individual's beliefs also give a good estimation of his experiences with mathematics learning and teaching. Still another meaning of beliefs lies in their inertia force for change: Experienced teachers believe to know through their long-term practice, what kind of mathematics teaching is (in their eyes) good. One of the still open questions is how pupils' mathematical beliefs will develop within school instruction, and which are the most influential factors in this development. As a hypothesis, one may set that optimal instructional organisation of the development of beliefs demands from the teacher profound mathematics knowledge and pedagogical skills, also the most developed view of mathematics and flexibility in realisation of instruction. The topicality of belief research is discussed and referring to many viewpoints, as well as the demand for international comparisons. As an endnote, the most important topics for belief research are pointed out: Birth and influence of beliefs in different teaching institutes, beliefs delivered by others than teachers, change in teachers' beliefs, and methodology of belief research.

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Mathematische beliefs und verschiedene Aspekte ihrer Deutung. Während des letzten Jahrzehnts haben Forscher dem Aspekt, Mathematiklernen unter dem Blickwinkel von Metakognitionen zu betrachten, zusehends Aufmerksamkeit gewidmet. Dabei wurde erkannt, daß den Schüler- und Lehrervorstellungen, kurz den mathematischen Weltbildern (Beliefs) eine hohe Bedeutung zugewiesen werden muß. Offensichtlich ist das Spektrum der mathematischen Beliefs weit, es besteht aus unterschiedlichen Komponenten, die intern vielfach verflochten sind. In zahlreichen wissenschaftlichen Publikationen wurde die zentrale Rolle der Beliefs für das Mathematiklernen hervorgehoben. Mathematische Beliefs haben vielfältige Indikatorfunktion, z. B. über das erlebte Lernen von Mathematik in der Vergangenheit. Zugleich wirken sie wie Trägheitsmomente. Bislang unbefriedigend beantwortet ist die Frage, wie sich Beliefs innerhalb der Schulzeit etablieren und entwickeln und welche Beeinflussungsfaktoren als wesentlich anzusehen sind. Basishypothese ist derzeit die Überzeugung, daß adäquate Wissensrepräsentation (Bild von Mathematik) und geeignete pädagogische Fähigkeiten des Lehrenden wie dessen Flexibilität Voraussetzungen für den Aufbau von ausgewogenen mathematischen Beliefs bei den Schülern sind. In der Arbeit wird überdies auf den aktuellen Stand der Beliefs-Forschung unter den verschiedenen Blickwinkeln eingegangen und die Bedeutung von internationalen Vergleichen herausgestellt. Als zentrale Forschungsthemen werden herausgearbeitet: Genese und Einflußbereiche von Beliefs, Spektrum von Lehrerbeliefs in Abhängigkeit von der Schulform, weitere Beliefs, Veränderungen von Lehrer-Beliefs und die Methodik der Belief-Forschung.

On the structure of mathematical belief systems
Günter Törner, Duisburg (Germany); Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland)

The paper deals with the theoretical and empirical findings on the structure of teachers' and pupils' mathematical belief systems. Some theoretical considerations of Green (1971) on the dimensions of belief structures are firstly discussed. As an example, a mathematics teacher's empirically found belief structure is explained, according to the results shown in the dissertation of Jones (1990). Another example is provided by the dissertation of Grigutsch (1996) who sketches the structure of pupils' mathematical beliefs with the aid of factor analysis.

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Zur Struktur mathematischer Belief-Systeme. Die Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, in welcher Weise mathematische Beliefs sich auf der Basis von empirischen Daten strukturieren lassen und sogenannte Belief-Systeme konstituieren. Ausgangspunkt sind die klassischen Überlegungen von Green (1971) über mögliche Dimensionen von Belief-Systemen. Vor diesem Hintergrund werden die Ergebnisse der Dissertation von Jones (1990) über Beliefs von Mathematiklehrern dargestellt. Als weiteres alternatives Beispiel, was unter mathematischen Belief-Systemen verstanden werden kann, werden die empirischen Resultate aus der Grigutsch-Dissertation präsentiert, bei denen sich die Belief-Strukturen aus den partiellen Korrelationen von Faktoren aus den Erhebungsdaten ableiten lassen.

Thompson's levels and views about mathematics. An analysis of Finnish pre-service teachers' beliefs
Sinikka Lindgren, University of Tampere (Finland)

In this paper the origin and structure of beliefs about teaching mathematics is examined. The target group consisted of 163 prospective elementary school teachers. In the data obtained from the Likert-scale questionnaires, and the factor analyses produced, some clear points of convergence with the theory of Thompson could be seen. Nevertheless, evidence for a hierarchy of the levels could not be proved from the data. In this paper I introduce a model of three partly overlapping levels: Level RR for the teachers' preference of discussions and games, and Level OA referring to an open-approach method. Level DG is divided to three levels: GR (games and routines), GRO (games, routines and open-approach), and RO (routines and open-approach). These cases with very low or very high Level OA are described with both qualitative and quantitative data. The distributions of the levels for these groups show clearly how the preferred teaching methods are quite opposite. In the interviews of the 12 students selected, the different levels are also clearly seen. Statements taken from their interviews are given in the paper. The possible connections of the defined levels with the persons' experiences and success in mathematics are also analysed. The open-approach (OA) method is preferred by those with good achievement in mathematics. Level DG - discussions and games - can be seen to be the more popular the lower the students' achievement has been.

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Thompsonsche Stufen und Ansichten über Mathematik. Eine Analyse der Beliefs zukünftiger finnischer Lehrer. In diesem Artikel werden Ursprung und Struktur von Vorstellungen über Mathematikunterricht untersucht. Die Zielgruppe bestand aus 163 zukünftigen Lehrern der Elementarstufe: Das durch die Likert-Skala-Methode erhaltene Datenmaterial und die Faktoranalyse zeigen in einigen Punkten klare Konvergenz mit der Theorie von Thompson. Die Stufenhierarchie konnte jedoch nicht aufgrund des Datenmaterials bewiesen werden. In diesem Artikel wird ein Modell von drei teilweise übereinander liegenden Stufen vorgestellt. Die Stufe RR bedeutet die Neigung des Lehrers zu rules and routines (Regeln und Routinen), die Stufe DG die Neigung des Lehrers zu discussions and games (Diskutieren und Spielen) und die Stufe OA weist zur open approach-Methode hin. Innerhalb der DG-Stufe können drei weitere Stufen gefunden werden: GR (Spiele und Routinen), GRO (Spiele, Routinen und open approach-Methode), und RO (Routinen und open approach-Methode). Die Fälle mit sehr wenigem und sehr hohem Anteil von OA werden durch qualitative und quantitative Daten beschrieben. Die Verteilung der verschiedenen Stufen in diesen Gruppen zeigt deutlich, daß die bevorzugten Lehrmethoden im Gegensatz zueinander stehen. In den Interviews der zwölf ausgewählten Studenten zeigen sich die Unterschiede deutlich. Äußerungen aus ihren Interviews werden in diesem Artikel dokumentiert. Es werden hier auch eventuelle Zusammenhänge zwischen den definierten Stufen und den Erfahrungen und dem Erfolg in Mathematik der jeweiligen Personen analysiert. Die open approach-Methode wird von Personen bevorzugt, die sehr gute Leistungen in Mathematik zeigen. Die DG-Methode ist wieder bei Studenten mit niedrigeren Leistungen beliebter.

"What is a good mathematics teacher?" Results of an inquiry of students at a Gymnasium in North Rhine-Westphalia
Hans-Joachim Sander, Vechta (Germany)

This paper is on an investigation of the views of more than one hundred students at a Gymnasium (highest-ranking high school in Germany) on mathematics, mathematics teaching, and the mathematics teacher. The students who were from five classes or courses (forms 6, 9, 10, 11, and a former advanced level course) were asked to fill in a questionnaire. The first part of the questionnaire consisted of 32 statements which were to be accepted or rejected by the students using a +3 to -3 scale (+3 full agreement, -3 full rejection). In this part, among other things, the acceptance of discovery learning is surprising. The second part of the questionnaire consisted of six free-response questions or open situations on which the students were asked to comment. The answers clearly show that the teacher's reaction to wrong answers or mistakes by the students is, in their view, decisive for the learning atmosphere. Thus, the motivation to learn mathematics and the effectiveness of teaching mathematics are also affected.

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"Was ist ein guter Mathematiklehrer?" Ergebnisse einer Untersuchung mit Schülern eines Gymnasiums in Nordrhein-Westfalen. In diesem Artikel wird über eine Untersuchung berichtet, in der mehr als hundert Schüler eines Gymnasiums in Nordrhein-Westfalen zu ihrer Einstellung zur Mathematik, zum Mathematikunterricht und zum Mathematiklehrer befragt werden. Die Schüler von fünf Klassen bzw. Kursen (Jahrgangsstufen 6, 9, 10, 11 und ein ehemaliger Leistungskurs) erhielten einen zweiteiligen Fragebogen, der im ersten Teil aus 32 Aussagen bestand, denen auf einer Skala von +3 (völlige Zustimmung) bis -3 (völlige Ablehnung) zugestimmt bzw. die abgelehnt werden sollten. In diesem Teil überrascht u.a. die Akzeptanz des aktiv-entdeckenden Lernens. Der zweite Teil bestand aus sechs offenen Situationen bzw. Fragen, zu denen die Schüler mit eigenen Worten Stellung nehmen sollten. Hier zeigt sich u.a., daß die Reaktion des Lehrers auf falsche Antworten oder Fehler der Schüler aus deren Sicht entscheidend ist für die Lernatmosphäre und damit für die Motivation, Mathematik zu lernen, und die Effektivität des Mathematikunterrichts.

Self-confidence in students' mathematical belief structures
Marja-Liisa Malmivuori, Helsinki (Finland)

The study was designed to consider students' self-confidence in mathematics against some other mathematical belief structures and to find out gender differences in these patterns behind self-confidence. Variables of the study were based on 375 seventh-grade Finnish students' responses to a structured questionnaire measuring students' beliefs about self, about mathematics, and about mathematics learning and teaching. The results revealed, that the most important influences of mathematical belief constructions on students' self-confidence levels were mediated through their preference for independent learning and active regulation of own learning processes. Gender differences were found in the connections between females' and males' self-confidence and their motivational aspects in mathematics learning, females' self-confidence in mathematics depending more on direct motivational processes than the self-confidence of males.

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Selbstvertrauen in mathematischen Belief-Strukturen von Schülern. Ziel der Untersuchung war zum einen eine Betrachtung des mathematischen Selbstvertrauens von Schülern im Vergleich zu anderen mathematischen Beliefs-Strukturen. Zum anderen sollten Geschlechtsunterschiede in den dem Selbstvertrauen zugrunde liegenden Mustern herausgefunden werden. Die Variablen der Untersuchung basierten auf den Antworten von 375 finnischen Siebtkläßlern auf eine strukturierte Befragung über die Schülereinstellungen zu sich selbst, zur Mathematik und zum Lehren und Lernen von Mathematik. Die Ergebnisse zeigen, daß das Niveau des Selbstvertrauens der Schüler im wesentlichen durch die mathematischen Beliefs beeinflußt werden, die sich auf ihre Vorliebe für unabhängiges Lernen und aktive Regulierung ihres eigenen Lernprozesses beziehen. Geschlechtsunterschiede wurden gefunden in der Beziehung zwischen dem Selbstvertrauen von Jungen, wobei das mathematische Selbstvertrauen der Mädchen mehr von direkten Motivationsprozessen abhängt als das der Jungen.

    
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