ABSTRACTS

Analyses: Geometry in Israel. Part 2
Part 1

Proof as answer to the question why
Tommy Dreyfus, Holon (Israel); Nurit Hadas, Rehovoth (Israel)

Students' concept of proof, their appreciation for its need as well as for its roles, depends on the curriculum, on the activities students are asked to carry out, on the questions they are asked and on how they are asked these questions. It is shown how the empirical approach to geometry (which is often associated with computer based dynamic geometry software) can be used as a basis for creating didactic situations in which students require proof. Classroom experiences are reported, which show how situations arose in which students felt the need for proof in order to either explain phenomena they couldn't explain otherwise, or in order to convine themselves of counter-intuitive results.

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Beweis als Antwort auf die Frage warum. Das Konzept, das Schüler von einem Beweis haben, und ihre Einschätzung seiner Notwendigkeit und Rolle hängen ab vom Lehrplan, von den Aktivitäten, die den Schülern abverlangt werden, von den Fragen, die ihnen gestellt werden, und wie sie ihnen gestellt werden. Es wird gezeigt, wie ein empirischer Einstieg in die Geometrie (der oft mit einer computerunterstützten dynamischen Geometriesoftware verbunden ist) als Grundlage für didaktische Situationen dienen kann, in denen Schüler selbst nach Beweisen verlangen. Unterrichtserfahrungen werden beschrieben, die zeigen, wie Situationen entstehen können, in denen Schüler das Bedürfnis nach einem Beweis hatten, entweder um etwas zu erklären, was sie anders nicht erklären konnten, oder um sich selbst von etwas zu überzeugen, was ihrer Intuition zuwiderlief.

The paper-folder's link between geometry and number theory
Peter Hilton, Binghamton, NY (USA); Jean Pedersen, Santa Clara, CA (USA)

Systematic paper-folding algorithms are described for constructing arbitrarily good approximations to regular convex n-gons and regular star $\lbrace$b/a$\rbrace$-gons. Given n, or b/a, instruction may be derived for folding a strip of paper, down so many times at the top edge, up so many times at the bottom edge, to create, by the so-called FAT-algorithm, the desired configuration. Instructions are periodic and may be represented by a vector (k$\sb 1$, k$\sb 2$, .., k$\sb r$) over N. If r=2, we have the important special case of 2-period folding. The recognition and study of this case leads to an investigation of the properties of integers of the form $t{\sp xy}$-1/t$\sp x-$1, where t $\ge$ 2 is a fixed integer and x $\ge$ 1, y $\ge$ 2 are arbitrary integers. Only the base t=2 relates directly to paper-folding, but the number theory is greatly enriched by allowing other bases. The elucidation of folding instructions of arbitrary period leads to the introduction of a special symbol. Such a symbol not only encodes instructions for folding star $\lbrace$b/2$\sp j$a$\sb i$ $\rbrace$-gons, provided $2{\sp j + 1}$a$\sb i$ $<$ b. It also forms the basis of a quasi-order theorem asserting that, if k = $\sum$ki, then k is the smallest positive integer such that 2$\sp k$ $\equiv$ $\pm$ 1 mod b, and that, in fact, 2$\sp k$ $\equiv$ (-1)$\sp r$ mod b. This theorem may be generalized to arbitrary bases t.

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Papierfalten - eine Verbindung zwischen Geometrie und Zahlentheorie. Es werden systematische Algorithmen zum Papierfalten beschrieben, die beliebig gute Approximationen regulärer konvexer n-Ecks und regulärer sternförmiger {b/a}-Ecks liefern. Sei n bzw. b/a gegeben, dann können Instruktionen abgeleitet werden, einen Papierstreifen so oft von der oberen Ecke hinunter und von der unteren Ecke hinauf zu falten, so daß man, durch den sogenannten FAT-Algorithmus, die gewünschte Figur erhält. Die Anweisungen sind periodisch und können durch einen Vektor (k1, k2, ..., kr) über N dargestellt werden. Für r=2 hat man den bedeutenden Spezialfall der Faltung von Periode 2. Das Erkennen und die Untersuchung dieses Falls führt zu einer Untersuchung der Eigenschaften ganzer Zahlen der Form t$\sp {xy}$-1/t$\sp {x-1}$, wobei $t\ge2$ eine feste ganze Zahl ist und x $\ge$ 1, y $\ge$ 2 beliebige ganze Zahlen sind. Nur die Basis t=2 führt direkt zum Papierfalten, aber die Zahlentheorie wird wesentlich bereichert, wenn auch andere Basen zugelassen werden. Die Beschreibung der Faltanweisungen beliebiger Periode führt zur Einführung eines speziellen Symbols. Solch ein Symbol kodiert nicht nur das Falten sternförmiger $\lbrace$b/2$\sp j$a$\sb i$$\rbrace$- Ecks für $2\sp {j+1}a\sb i$ $<$ b. Sondern es bildet auch die Basis für ein Quasiordnungs-Theorem, das besagt, daß k mit k = $\Sigma$ki die kleinste positive ganze Zahl ist, für die gilt: 2k $\equiv$ $\pm$ 1 mod b, und in der Tat ist 2k $\equiv$ (-1)r mod b. Dieser Satz kann für beliebige Basen t verallgemeinert werden.

Chaosspiel und Cantor-Staub
Herbert Zeitler, Bayreuth (Germany)

Es ist für Lehrer und Schüler gleichermaßen überraschend, daß sich das klassische Sierpinski-Dreieck "erwürfeln" läßt. Diese seltsame Tatsache wird in der vorliegenden Arbeit nicht nur mitgeteilt, sondern auch bewiesen. Erweiterungen des Verfahrens zur Entdeckung von "N-Eck Cantor-Staub" sollen Eigeninitiativen anregen.

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