ABSTRACTS

Analyses: Computer aided geometry teaching and learning. Part 1
Part 2

Entwicklungen bei didaktisch-orientierten Softwarewerkzeugen zur Geometrie. Vom interaktiven Programmieren zur direkten Interaktion
Rolf Biehler, Bielefeld (Germany)

Entwicklungstendenzen in der Unterrichtssoftware zur Geometrie werden am Beispiel der drei werkzeugartigen Programme LOGO, geometric Supposer, Cabri Geometre in historischer Perspektive aufgezeigt. Für die Beurteilung der Software und der mit ihr verbundenen didaktischen Intentionen wird ihre didaktische Offenheit, ihre Eignung als kognitives Werkzeug für die Lernenden sowie ihr Verhältnis zu mathematischem Wissen untersucht, welches sowohl die neu eingeführten Repräsentationsmittel als auch die curriculare Topographie, die Epistemologie und die Arbeitsweise der Mathematik betrifft.

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Trends in the development of didactically oriented software tools for geometry. From interactive programming to direct interaction. The historical succession of tool-like programs for geometry teaching is analyzed. LOGO, the Geometric Supposer, and Cabri Geometre are taken as representatives for a typical development towards a new kind of interactive software. In which sense can this development be regarded as 'progress'? The pedagogical openess of the software, its qualification as a cognitive tool for the learners is analyzed as well as the relation to mathematical knowledge. The focus is on the new mathematial representations that are offered by the software and on the effects on the curricular topography, epistemology and working style of mathematics.

Solving problems in computer-based geometry environments: The influence of the features of the software
Colette Laborde, Grenoble (France)

The aim of this paper is to discuss the features of geometry software that may affect the solving process of pupils when they are faced with geometrical problems to solve by means of computer software. Three specific programs used in schools in different countries are chosen for the discussion which mainly deals with the available primitives and feedback provided by software. After a general discussion, a case study of two problems is presented. We attempt to argue that although the use of software extends the range of actions of the pupil, it may also introduce a new complexity and require new behaviours that must be learned with the aid of the teacher.

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Problemlösen in computerunterstützten Geometrieumgebungen: Einflüsse von Softwaremerkmalen. In diesem Artikel werden die Merkmale von Geometriesoftware analysiert, die den Problemlöseprozess der Schüler beeinflussen, wenn sie geometrische Aufgaben mit Hilfe von Computern und entsprechender Software lösen. Es werden dabei drei Programme verglichen, die in Schulen verschiedener Länder eingesetzt werden. Die Diskussion bezieht sich vor allem auf die in den Programmen angebotenen Befehle, primitiven Objekte und die Informationen, die die Programme den Schülern als 'Feedback' anbieten. Nach einer allgemeinen Analyse werden zwei Aufgabenstellungen fallstudienartig genauer untersucht. Dabei dürfte klar werden, dass der Einstz der Programme zwar die Handlungsmöglichkeiten der Schüler erweitert, aber auch neue Komplexität und neue Schwierigkeiten mit sich bringt. Der Umgang mit diesen neuen Möglichkeiten und Schwierigkeiten sollte mit Hilfe des Lehrers gelernt werden.

Computerunterstützung beim Lösen geometrischer Konstruktionsaufgaben
Gerhard Holland, Gießen (Germany)

Für jede der vier Phasen beim Lösen einer geometrischen Konstruktionsaufgabe werden die Möglichkeiten einer Computerunterstützung diskutiert. In einer ersten analytischen Phase werden mit Hilfe von Begriffs- und Satzwissen aus den Bedingungen der Zielkonfiguration Folgerungen deduziert, die bei der Plangenerierung vorausgesetzt werden. Die zweite Phase der Plangenerierung verwendet neben Strategie- und Methodenkenntnissen Wissen über geometrische Ortslinien. In der dritten algorithmischen Phase wird die Konstruktion durchgeführt. Die anschließende Phase der Verifikation dient dem Nachweis der Richtigkeit der Konstruktion. - Computerunterstützung in der dritten Phase bedeutet die Durchführung der Konstruktion mit Hilfe eines geeigneten Konstruktionsprogramms (2.). Für die drei anderen Phasen erfordert eine Computerunterstützung die Implementation wissensbasierter tutorieller Moduln (3. und 4.).

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Solving geometrical construction problems with the aid of computers. The possibilities of computer support are discussed for each of the four phases in the process of solving geometrical construction problems. The problem solving process starts with an analytical phase in which geometrical knowledge of concepts and theorems is used to deduce consequences from the goal configuration. The second phase of plan generation presupposes, besides knowledge of strategies and method, knowledge of geometrical loci. The following algorithmic phase serves the realization of the plan. In a last analytical phase the correctness of the construction has to be demonstrated. Computer support in the third phase means the realization of the construction with the medium computer (2.). Computer support in the other three phases of the problem solving process presupposes the implementation of knowledge based tutorial modules (3. - 4.).

Interaktives Berechnen an geometrischen Konfigurationen
Heinz Schumann, Weingarten (Germany)

Die Erweiterung von interaktiven 2-D-Grafiksystemen für das schulgeometrische Konstruieren um Werkzeuge für das interaktive Berechnen an geometrischen Konfigurationen gibt Anlass zu einer Reflexion und Analyse aus didaktischer Sicht. - In diesem Beitrag werden Eigenschaften dargestellt, die ein interaktives Werkzeug für das schulgeometrische Berechnen in der Planimetrie besitzen könnte (und sollte). Anhand von Beispielen wird die Funktionsweise eines prototypischen Berechnungsmoduls (Berechnungsmodul des Cabri-Geometre) erläutert. Es wird eine erste Bewertung der sich ergebenden didaktischen Möglichkeiten vorgenommen und anschließend auf spezielle und generelle Probleme der Nutzung solcher Werkzeuge eingegangen.

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Interactive computing on geometric configurations. The extension of 2d interactive graphics systems for geometric constructing in secondary schools through tools for the interactive calculating on geometric configurations provides from a didactic point of view an opportunity for reflection and analysis. In this article qualities will be presented which an interactive tool for calculating in planimetry could and should possess. With reference to examples the functioning of a prototype calculation module (calculation module of Cabri-Geometre) will be described. A first evaluation will be made of the didactic potentialities involved and finally special and general problems of the use of such tools will be discussed.

Computerunterstütztes modulares Konstruieren im Geometrieunterricht
Thomas Weth, Würzburg (Germany)

Obwohl sich viele fachdidaktische Veröffentlichungen darum bemühen, den Geometrieunterricht mit interessanten (und neuen) Inhalten zu beleben, wird doch immer wieder der 'Untergang' der Schulgeometrie beklagt (vgl. Holland 1974, Bender 1983). Ein Grund für diese Situation könnte u.a. darin liegen, dass beispielsweise die klassischen Konstruktionsprobleme mit Zirkel und Lineal angesichts der modernen CAD-Methoden antiquiert erscheinen. Sowohl die Kluft zwischen der Beschreibung einer Konstruktion (als Abbild der Gedanken) und der konkreten Ausführung (als Abbild der Fähigkeit, die Ideen zu übersetzen und 'handwerklich' durchzuführen) als auch der Weg von einer real ausgeführten Konstruktion zur Abstraktion einer allgemeingültigen Beschreibung erweisen sich als Probleme beim Lösen von geometrischen Aufgaben. Abhilfe bieten evtl. moderne Konstruktionsprogramme, mit welchen es möglich ist, die auf Euklid zurückgehende Idee des 'modularen Beschreibens' beim Konstruieren direkt aufzugreifen und auszuführen. Die Möglichkeiten und die Gefahren, die computerunterstütztes, modulares Konstruieren mit sich bringt, sollen dargestellt und abgeschätzt werden.

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Computer aided modular construction in elementary geometry. Although many didactical publications try hard to give new life to geometry lessons by providing interesting (and new) contents, the 'decline' of geometry in school is continually deplored (Holland 1974, Bender 1983). One reason for this situation may be for example that the classical construction problems with compasses and rulers, appear obsolete in view of the modern CAD-methods. The gap between the description of a construction (as an image of thoughts) and the concrete realisation (as an image of the ability to translate the ideas and to execute them 'in practice) as well as the way from a realized construction to the abstraction of a general description turn out to be a problem in solving a geometrical task. Modern computer programs for geometrical constructions, which manage to snatch up the Euclidean idea of a 'modular description' of a geometrical construction and to realize this idea might be a remedy. The facilities and the risks of computer supported, modular constructing are to be represented and appraised.

Zur mathematischen Ausbildung der Mathematiklehrer
Fritz Schweiger, Salzburg (Austria)

Vier Thesen dienen zur inhaltlichen Gliederung dieses Beitrags: Eine solide mathematische Ausbildung ist Voraussetzung für guten Mathematikunterricht; Didaktische Mängel sind (oft) auf Mängel fachlicher Art zurückzuführen; Der Mathematiklehrer ist kein Mathematiker; Mathematik kann als Bedrohung erlebt werden. Jede These wird diskutiert und dient zugleich als Ansatzpunkt für offene Fragen und weitere didaktische Forschung.

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Mathematical training of mathematics teachers. The topic is approached by four statements: A sound mathematical training is a necessary condition for any good teaching; Failures in mathematical teaching may be failures in mathematical competence; The mathematics teacher is not a mathematician; Mathematics can be experienced as a threat. Each assertion will be discussed and will be seen as a source for open questions and further research.

    
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