ABSTRACTS
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Analyses

CAS in general mathematics education
Werner Peschek; Edith Schneider; Klagenfurt (Austria)

A rational discussion of the use of Computer algebra systems (CAS) in mathematics teaching in general education needs an explicit image of (general) mathematics education, an explication of global perspectives and goals on mathematics teaching focusing on general education (chapter 1). The conception of general education according to the "ability of communication with experts" described in chapter 2 can be such an orientation for analysing, considering, classifying and assessing the didactical possibilities of using CAS. CAS are materialised mathematics allowing for more or less exhaustive outsourcing of operative (also symbolically) knowledge and skills to the machine. This frees up space of time as well as mental space for the development of those competences being in our view relevant for general mathematics education. In chapter 3 the idea of outsourcing and the role of CAS for it is discussed more detailed as well as consequences being possible for the CAS-supported teaching of mathematics. Beyond, CAS can be didactically used and reflected as a model of communication between (mathematical) experts and lay-persons (chapter 4). Chapter 5 outlines some research perspectives.

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CAS in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht. Eine rationale Argumentation zur Frage des CAS-Einsatzes in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht bedarf eines explizierten Bildes von mathematischer (Allgemein-)Bildung, einer Explizierung von globalen Sichtweisen und Zielsetzungen eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts (Kapitel 1). Einen solchen Orientierungsrahmen für die Auslotung, Einordnung und Bewertung der didaktischen Möglichkeiten des CAS-Einsatzes kann das in Kapitel 2 beschriebene Allgemeinbildungskonzept "Kommunikationsfähigkeit mit ExpertInnen" darstellen. CAS sind materialisierte Mathematik und ermöglichen eine mehr oder weniger weitgehende Ausla-gerung (auch symbolischen) operativen Wissens und Könnens an die Maschine. Dies führt zu zeitlichen wie mentalen Freiräumen für die Entwicklung jener Kompetenzen, die von uns als zentral für eine mathematische Allgemeinbildung angesehen werden. Kapitel 3 setzt sich mit der Idee von Auslagerung und der Rolle von CAS dabei sowie mit möglichen Auswirkungen auf einen CAS-unterstützten Mathematikunterricht auseinander. CAS können darüber hinaus auch als ein Modell einer Kommunikation zwischen (mathematischen) ExpertInnen und LaiInnen didaktisch genutzt und reflektiert werden (Kapitel 4). In Kapitel 5 wird auf Forschungsperspektiven verwiesen.
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Teachers in transition: Moving towards CAS-supported classrooms
Margaret Kendal; Kaye Stacey; Melbourne (Australia)

In the near future many teachers may be required to incorporate CAS into their teaching practices. Based on classroom observations and interviews over two years, this paper reports how two teachers made the transition from using graphics calculators to CAS calculators while teaching differential calculus to upper secondary school students. Both teachers taught with CAS in ways that were consistent with their beliefs about learning and teaching. Over two years, the teachers’ teaching approaches and purpose for use of technology were stable and seemed to be underpinned by their beliefs about learning. In contrast, both teachers made changes to the content they taught (and thus what they used technology for) in response to new institutional knowledge. Content choice seemed to be underpinned by the teachers’ purpose for teaching. Other influences impacted on what the teachers taught and how they taught it: the teachers’ content knowledge, their pedagogical content knowledge, and the lack of legitimacy of CAS as a tool for learning and during examinations in the trial school and wider educational community. The extent of differences noted between the responses of just two teachers indicates that there will be many responses to using CAS in classrooms, as teachers aim to achieve different learning goals and interpret their responsibilities to students in different ways.

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LehrerInnen im Übergang: Entwicklung in Richtung eines CAS-unterstützten Mathematikunterrichts. In naher Zukunft könnte von vielen LehrerInnen gefordert werden, CAS in ihren Unterricht zu integrieren. Auf der Basis von Unterrichtsbeobachtungen und Interviews, die über zwei Jahre hindurch durchgeführt wurden, wird in diesem Beitrag berichtet, wie zwei Lehrer im Bereich der Differenzialrechnung mit SchülerInnen der Sek II den Übergang vom Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern zu CAS gestalteten. Beide Lehrer unterrichteten mit CAS in einer Weise, die mit ihrer Sicht von Lehren und Lernen übereinstimmte. Die von den Lehrern gewählten Zugänge und die Ziele des Technologieeinsatzes blieben dabei in den zwei Jahren unverändert, sie schienen durch ihre Sichtweise von Lernen bestimmt. Im Gegensatz dazu kam es bei beiden Lehrern aufgrund neuer (institutioneller) Rahmenbedingungen zu Veränderungen im unterrichteten Inhalt (und dabei wofür Technologie verwendetet wurde). Die Auswahl des Inhalts schien durch ihre Unterrichtsziele bestimmt zu werden. Andere Einflüsse hatten Auswirkungen auf das, was die Lehrer unterrichteten und wie sie es unterrichteten: fachliches Wissen der Lehrer, ihr pädagogisches und didaktisches Wissen sowie die fehlende Legitimierung von CAS sowohl als Lernmedium als auch während der Prüfungen in der Versuchsschule wie auch darüber hinaus. Das Ausmaß der Unterschiede allein in den Antworten dieser beiden Lehrer weist darauf hin, dass es viele Antworten auf die Frage der Verwendung von CAS im Unterricht geben wird, da LehrerInnen die Erreichung unterschiedlicher Lernziele anstreben und ihre Verantwortlichkeiten den SchülerInnen gegenüber unterschiedlich sehen.
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Mastering by the teacher of the instrumental genesis in CAS environments: necessity of intrumental orchestrations
Dominique Guin;Luc Trouche; Montpellier (France)

Umgang der LehrerInnen mit der instrumentalen Genese in CAS-Umgebungen: Notwendigkeit von instrumentalen Orchestrierungen. In diesem Beitrag werden didaktische Phänomene diskutiert, die bei der Integration von CAS (implementiert in Taschenrechnern) in den Unterricht auftreten. Basierend auf diesen Untersuchungen wird der Nutzen eines instrumentalen Zugangs für das Verständnis des Einflusses von Werkzeugen auf mathematische Zugänge und für den Aufbau von SchülerInnenwissen gezeigt: durch einen Prozess – instrumentale Genese – wird ein Taschenrechner zu einem mathematischen Werkzeug; dieser Prozess ist abhängig von den Grenzen und Potenzialen dieses Werkzeugs, vom Wissen der SchülerInnen und von den Arbeitssituationen im Unterricht. Für die Analyse von Unterschieden in der instrumentalen Genese wird dann das Verhalten von SchülerInnen untersucht und eine Methode vorgeschlagen, die es ermöglicht, eine Typologie extremer Arbeitsweisen in Umgebungen symbolischer Rechner anzugeben. Eine Berücksichtigung der unterschiedlichen instrumentalen Genesen erfordert vom Lehrer bzw. der Lehrerin eine besondere Organisation von Raum und Zeit der Arbeit im Unterricht. Es wird vorgeschlagen diese Organisation als instrumentale Orchestrierung zu bezeichnen. In der Folge wird gezeigt, wie eine solche Vorstellung eine bessere Definition der Ziele, der Strukturen und der Umsetzungsformen verschiedener Anordnungen ermöglicht, die darauf abzielen, für jede/n SchülerIn kohärente Systeme von Instrumenten zu schaffen.
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Developing mathematical modelling skills: The role of CAS
John Berry; Plymouth (United Kingdom)

Mathematical modelling as one component of problem solving is an important part of the mathematics curriculum and problem solving skills are often the most quoted generic skills that should be developed as an outcome of a programme of mathematics in school, college and university. Often there is a tension between mathematics seen at all levels as ‘a body of knowledge’ to be delivered at all costs and mathematics seen as a set of critical thinking and questioning skills. In this era of powerful software on hand-held and computer technologies there is an opportunity to review the procedures and rules that form the ‘body of knowledge’ that have been the central focus of the mathematics curriculum for over one hundred years. With technology we can spend less time on the traditional skills and create time for problem solving skills. We propose that mathematics software in general and CAS in particular provides opportunities for students to focus on the formulation and interpretation phases of the mathematical modelling process. Exploring the effect of parameters in a mathematical model is an important skill in mathematics and students often have difficulties in identifying the different role of variables and parameters. This is an important part of validating a mathematical model formulated to describe a real world situation. We illustrate how learning these skills can be enhanced by presenting and analysing the solution of two optimisation problems.

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Entwicklung von Modellbildungsfähigkeiten: Die Rolle von CAS. Mathematische Modellbildung als eine Komponente von Problemlösung ist ein wichtiges Element des mathematischen Curriculums, Problemlösefähigkeiten sind die am häufigsten genannten generischen Fähigkeiten, die im Rahmen der Mathematikausbildung in Schule, College und Universität entwickelt werden sollten. Häufig besteht ein Spannungsverhältnis zwischen der Sichtweise von Mathematik als ein "Wissensspeicher", dessen Inhalt in jeder Stufe um jeden Preis weitergegeben werden soll und der Sichtweise von Mathematik als eine Sammlung von Fähigkeiten zum kritischen Denken und Hinterfragen. Im Zeitalter leistungsstarker Handheld- und Computersoftware bietet sich nun die Möglichkeit die Verfahren und Regeln, die den Inhalt des "Wissensspeicher" ausmachen, der über hundert Jahre zentrales Element des mathematischen Curriculums war, einer Revision zu unterziehen. Mit Hilfe der Technologie ist es möglich, weniger Zeit für traditionelle Fähigkeiten aufzuwenden und Zeit für Problemlösefähigkeiten zu schaffen. Wir sind der Ansicht, dass mathematische Software im Allgemeinen und CAS im Besonderen für SchülerInnen Möglichkeiten liefert, sich auf die Darstellungs- und Interpretationsphase im Modellbildungsprozess zu konzentrieren. Die Erkundung von Auswirkungen von Parameter in einem mathematischen Modell ist eine wichtige mathematische Fähigkeit und SchülerInnen haben oft Schwierigkeiten, die verschiedenen Aspekte von Variablen und Parametern auszumachen. Dies ist ein wichtiger Aspekt der Bewertung mathematischer Modelle als Beschreibungen realer außermathematischer Sachverhalte. Anhand der Lösung zweier Optimierungsprobleme und ihrer Analyse wird gezeigt wie das Lernen dieser Fähigkeiten verbessert werden kann.
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Learning mathematics in a computer algebra environment: obstacles are opportunities
Paul Drijvers; Utrecht (The Netherlands)

Using computer algebra is not as easy as it may seem. Students often encounter obstacles while working in a computer algebra environment. In this paper, global and local obstacles are distinguished, and obstacles from both categories are identified. The theory of instrumentation provides a framework for interpreting an obstacle as an unbalance of the conceptual and technical aspects of an instrumentation scheme. It is argued that making the obstacles explicit and trying to overcome them leads to conceptual development. Therefore, obstacles are opportunities for learning.

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Mathematiklernen in einer Computeralgebra-Umgebung: Hindernisse sind Möglichkeiten.Die Verwendung von Computeralgebra ist nicht so einfach wie sie erscheinen mag. SchülerInnen begegnen beim Arbeiten in einer Computeralgebra-Umgebung häufig Hindernissen. In diesem Beitrag wird zwischen globalen und lokalen Hindernissen unterschieden und Hindernisse beider Kategorien werden indentifiziert. Die Theorie der Instrumentierung bietet einen Rahmen, ein Hindernis als eine Unausgewogenheit zwischen konzeptuellen und technischen Aspekten eines Instrumentierungsschemas zu deuten. Es werden Argumente dafür angeführt, dass eine Explizierung von Hindernissen und der Versuch sie zu überwinden zu einer konzeptuellen Entwicklung führt. Hindernisse bieten daher Möglichkeiten zu lernen.
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ICMI Study 14: Applications and Modelling in Mathematics Education – Discussion Document

The purpose of this Discussion Document is to raise some important issues related to the theory and practice of teaching and learning mathematical modelling and applications, and in particular to stimulate reactions and contributions to these issues and to the topic of applications and modelling as a whole
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