\magnification=1200
%��������������� version du 30/09/92 ���������������

%��������������������� Reglages generaux ����������� 
%��������������������� que vous pouvez modifier ������ 
%���������������������� sans faire de degats �������� 
%\input tex8bits

\hsize=11.25cm    
\vsize=18cm       
\parindent=12pt   \parskip=0pt     
\pageno=1 

\ifnum\mag=1000
\hoffset= 0 mm    % offset horizontal en \magnification=1000
\voffset=10 mm    % offset vertical en \magnification=1000
\fi

\ifnum\mag=1200
\hoffset=7 mm   % offset horizontal en \magnification=1200
\voffset=8 mm   % offset vertical en \magnification=1200
\fi

\ifnum\mag=1440
\hoffset=0 mm   % offset horizontal en \magnification=1440
\voffset=-3 mm  % offset vertical en \magnification=1440
\fi 

% ��������������������������� Reglages ���������� 
% ����������� auquels il ne vaut mieux pas toucher ������ 

\pretolerance=500 \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000


% �������������������� Debut des macros privees ������ 
\catcode`\@=11
% ��������������������� Les fontes ��������������� 

\font\eightrm=cmr8         \font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8        \font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8        \font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8        \font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6           \font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

% Fontes AMS

\font\tengoth=eufm10       \font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm8      \font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7      \font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6        \font\fivegoth=eufm5

% Pour que les accents se placent correctement en mode math en corps 8 et 6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Nouvelles familles pour les maths

\newfam\gothfam           \newfam\bboardfam

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm\let\bigf@nt=\tenrm\let\smallf@nt=\sevenrm}%
  \textfont1=\teni  \scriptfont1=\seveni  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \tensy}%
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\tenbboard}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit\let\bigf@nt=\tenit \let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf\let\bigf@nt=\tenbf \let\smallf@nt=\sevenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=13pt plus 3pt minus 9pt
   \belowdisplayskip=11pt plus 3pt minus 9pt
    \abovedisplayshortskip=6pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=11pt plus 3pt minus 9pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=13pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm\let\bigf@nt=\eightrm\let\smallf@nt=\sixrm}%
  \textfont1=\eighti  \scriptfont1=\sixi  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \eightsy}%
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\eightbboard}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit\let\bigf@nt=\eightit\let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf\let\bigf@nt=\eightbf\let\smallf@nt=\sixbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 3pt minus 6pt
   \belowdisplayskip=\abovedisplayskip
    \abovedisplayshortskip=4pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=9pt plus 3pt minus 6pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=10pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\tenpoint

\def\cal#1{{\calfont#1}}
\def\bb#1{{\bbfont#1}}
\def\goth#1{{\gothfont#1}}


\def\pc{\pcprep}
%\def\pcprep{\bgroup\def\'##1{\expandafter\accent 19 ##1}\def\'e{\'E}\dosmallcap}
\def\pcprep{\bgroup\dosmallcap} % Han Modifie
\def\dosmallcap #1#2|%
    {\edef\firstletter{#1}% 
      \edef\otherletters{#2}%         
       \bigf@nt\expandafter\uppercase\expandafter{\firstletter}%
        \smallf@nt\expandafter\uppercase\expandafter{\otherletters}\egroup}

\def\pd#1 {\pc#1| }

%���������������������� dactylographie francaise ��������� 
%������������ dactylographie fran\c caise �������������������

{\catcode`\;=\active
  \catcode`\:=\active
   \catcode`\!=\active
    \catcode`\?=\active
\gdef\frenchdactylography{\frenchspacing
      \catcode`\;=\active
       \catcode`\:=\active
        \catcode`\!=\active
         \catcode`\?=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}%
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}%
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}%
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}%
}}
% fin \frenchdactylography

\frenchdactylography
% \frenchspacing

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}


% ���������������� Le format de sortie ������������� 
% Haut et bas de page 

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}

\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche   \newtoks\hautpagedroite 
  
\hautpagegauche={\tenrm\rlap{\folio}\tenit\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\tenit\hfil\the\titrecourant\hfil\tenrm\llap{\folio}}

\newtoks\baspagegauche      \baspagegauche={\hfil} 
\newtoks\baspagedroite      \baspagedroite={\hfil}

\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue  

% \nopagenumbers : c'est un peu violent, mais \c ca marche. Alors ...

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}  

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
            \else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
             \else\the\hautpagegauche
              \fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre\else
            \ifodd\pageno\the\baspagedroite
             \else\the\baspagegauche
              \fi\fi
               \global\pagetitrefalse}

% Redefinition de \raggedbottom pour avoir plus de mou en bas de page
% (necesssaire quand il y a beaucoup de grumeaux, des grosses
% formules centrees et pas beaucoup de texte entre)

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt\r@ggedbottomtrue}

%��������������������������������������������������� 
%���������������������� Macros de mise en page ����������� 
%��������������������������������������������������� 

% Un point-tiret

\def\pointir{\unskip . --- \ignorespaces}

%��������������������������������������������������� 
% Texte centre dans une boite : le resultat est le plus petit 
% rectangle qui contient le texte. Ce resultat est
% place dans une boite centree.
% SYNTAXE : le passage a la ligne definit les lignes
%     \ctexte
%     La petite fille
%     est all\'ee \`a l'\'ecole
%     \endctexte

{\obeylines%
  \gdef\ctexte%
       {\begingroup\obeylines%
         \let^^M=\cr\makectexte}}

\def\makectexte#1\endctexte%
    {\hbox{$\vcenter{\halign{\hfill##\hfill\crcr#1\crcr}}$}%
      \endgroup%
       }

%���������������������������������� 
% pour etre en mode centre dans une boite
% Syntaxe {\centermode ... \par}
% ne pas oublier le \par, sinon la derniere ligne
% ne sera pas centree !
% VARIANTE POSSIBLE :
% \leftskip=0pt plus 25pt (au lieu de 1fill)

\def\centermode 
    {\parindent=0pt
      \leftskip=0pt plus 1fill
       \rightskip=\leftskip
        \parfillskip=0pt
         }

%������������������������������� 
% Titre centre (en gras)

\def\ctitre 
    {\vglue 24 pt plus 3pt minus 3pt
      \begingroup
       \centermode
        \baselineskip=17pt
         \parskip=0pt
          \obeylines\bf
           }

\def\endctitre 
    {\par\endgroup
      \nobreak\bigskip
       }
%����������������������������������� 
% on redefinit d'abord \bigbreak et \medbreak
% pour attenuer les \penalty

\def\bigbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\bigskipamount
                \removelastskip\penalty-100\bigskip
                 \fi
                  }

\def\medbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\medskipamount
                \removelastskip\penalty-50\medskip
                 \fi
                  }

\def\smallbreak{\par
                 \ifdim\lastskip<\smallskipamount
                  \removelastskip\penalty-25\smallskip
                   \fi
                    }
%���������������������������������������� 
% Materiel pour la numerotation automatique

\newif\ifsubsectiontitle
\newcount\sectionnumber   \sectionnumber=0
\newcount\subsectionnumber

\def\secsubnumber{\the\sectionnumber.\the\subsectionnumber}

\def\withnum 
    {\ifsubsectiontitle\global\advance\subsectionnumber by 1
      \the\sectionnumber.\the\subsectionnumber.\enspace\ignorespaces
       \else\global\advance\sectionnumber by 1
        \global\subsectionnumber=0
         \the\sectionnumber.\enspace\ignorespaces
          \fi}
%������������������������������������ 
% Les sections

\long\def\section#1\endsection 
      {\global\subsectiontitlefalse
        \bigbreak{\bf#1\unskip}\pointir}

\long\def\sectiona#1\endsection 
     {\global\subsectiontitlefalse
       \bigbreak\vbox{\bf#1\unskip}\par\nobreak}

%������������������������������������� 
% Les sous-sections

\long\def\subsection#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak{\it#1\unskip}\pointir}

\long\def\subsectiona#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak\vbox{\it#1\unskip}\par\nobreak}


%�������������������������������������������������
\def\removeindentation{{\setbox0=\lastbox}}
\newif\ifVariableIndentation  \VariableIndentationtrue
\newif\ifneedindent

\def\controlledindentation
{\ifVariableIndentation
  \ifneedindent
   \else\removeindentation \needindenttrue
    \fi
     \else\ifneedindent
            \needindentfalse
             \else\removeindentation
       \fi\fi}

\everypar={\controlledindentation}
%--------------------------------------
\newskip\beforesectionskip     \beforesectionskip=12pt plus 4pt
\newskip\aftersectionskip       \aftersectionskip=6pt 
\newskip\beforesubsectionskip   \beforesubsectionskip=6pt plus 3pt  
\newskip\aftersubsectionskip     \aftersubsectionskip=2pt 

\font\sectionfont=cmbx10   \let\subsectionfont=\it
%--------------------------------------
\long\def\sectiona #1\endsection
      {\par 
        \removelastskip
         \vskip\beforesectionskip
          \global\subsectiontitlefalse    
           \vbox{\sectionfont \noindent #1\par}
            \needindentfalse 
             \par\nobreak\vskip\aftersectionskip
              }

\long\def\subsectiona#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak\vbox{\it#1\unskip}\par\nobreak}

\long\def\subsectiona #1\endsubsection
      {\par 
        \removelastskip
         \vskip\beforesubsectionskip
          \global\subsectiontitletrue          
           \vbox{\subsectionfont \noindent #1\par}
            \needindentfalse 
             \par\nobreak\vskip\aftersectionskip
              }

%��������������������������������������� 
% Differentes manieres de commencer un nouveau paragraphe

\def\newparwithcolon#1\endnewparwithcolon 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip:}  
       }

\def\newparwithpointir#1\endnewparwithpointir 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\pointir
       }

\def\newpara#1\endnewpar 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\par\nobreak\smallskip
       }

%��������������������������������������� 
% Exemples d'utilisation des macros precedentes
% 
% \def\remarque{\newparwithcolon
%                \withnum\pc REMARQUE|
%                 \endnewparwithcolon}
% 
% \def\remarques{\newpara
%                 \pc REMARQUES|
%                  \endnewpar}

% \def\exemple{\newparwithcolon
%               \pc EXEMPLE|
%                \endnewparwithcolon}
% 
% \def\exemples{\newpara
%                \pc EXEMPLES|
%                 \endnewpar}
% 
% \def\definition{\newparwithpointir
%                  \pc D\'EFINITION|
%                   \endnewparwithpointir}
% 
% \def\definitions{\newpara
%                   \pc D\'EFINITIONS|
%                    \endnewpar}
% 
\def\dem{\it D\'emonstration}


%������������ r\'esum\'e ����������������������

\def\resume{\bgroup\eightpoint\noindent R\'esum\'e\pointir} 
 \def\endresume{\par\egroup}     

%���������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation APRES
% #1 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #2 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

%------- pour que les parentheses et la ponctuation
%-------- ne soit pas en italique 

\def\virg@le{\relax
     \ifmmode\string,
      \else{\rm\string,}%
       \fi}

\def\point@virgule{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font
        {\rm\string;}%
         \else\ifmmode
          \mathpunct{\string;}%
           \fi\fi}

\def\deux@points{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \penalty\@M\space{\rm \string:}%
        \else\ifmmode
         \mathrel{\string:}%
          \fi\fi}

{\catcode`\(=\active 
  \catcode`\)=\active 
   \catcode`\,=\active 
    \catcode`\;=\active 
     \catcode`\:=\active 
\gdef\specialit{%
      \catcode`\(=\active  \gdef({\ifmmode\string(\else{\rm\string(}\fi}%
       \catcode`\)=\active  \gdef){\ifmmode\string)\else{\rm\string)}\fi}%
        \catcode`\,=\active  \gdef,{\virg@le}%
         \catcode`\;=\active  \gdef;{\point@virgule}%
          \catcode`\:=\active  \gdef:{\deux@points}%
           \it}}
%---------------------------- 
\def\th#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\def\endth{\ifdim\lastskip<4pt\vskip-\lastskip\medskip\fi\egroup
            \frenchdactylography}
%-----------------------------
\def\tha#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%��������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation AVANT
% #1 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #2 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

\def\Th#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 \pc#2| {#3\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\long\def\Tha#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 {\pd#2 } #3\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%������������������������������������� 
% les differents retraits
% on peut aussi utiliser \item et \itemitem)

\def\decale#1{\smallbreak
               \noindent\hskip 28pt\llap{\rm #1}\
                \ignorespaces}

\def\decaledecale#1{\smallbreak
                     \noindent\hskip 34pt\llap{\rm #1}\ 
                            \ignorespaces}

\def\puce{\smallbreak
           \noindent\hskip 6pt$\scriptstyle\bullet$\enspace\ignorespaces}

% ��������������������������������������������� 
% �������������� ce que Knuth n'a pas fait ������������ 
% ���������������������������������������������� 
% Math\'ematiques centr\'ees
% �������������������������

%--------- pour couper une formule trop longue 
% DANS un \displaylines
%----- syntaxe (pas besoin de \cr) :
%
%    $$\displaylines{
%    .....
%    \cutdisplay
%    ......
%    \cutdisplay
%    ......
%    }$$

\def\cutdisplay{{}\hfill\cr\hfill{}} 
\let\cut=\cutdisplay
\def\cutdisplays[#1]{{}\hfill\cr\vspace[#1]\hfill{}}
\let\cuts=\cutdisplays

%----------------------------------
% un ``small''displaylines analogue \`a une matrice ;
% fabrique une boite centree, donc \leqno possible

\def\smalldisplaylines#1{\displ@y\vcenter{\halign{&\strut
$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$\crcr#1\crcr}}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui num\'erote \`a droite.
% La syntaxe est la meme que celle de \eqalignno

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui numerote a gauche.
% La syntaxe est la meme que celle de \leqalignno

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \eqalign qui accepte plusieurs alignements verticaux
% Motif : \hfil # & # \hfil & \hfil # & # \hfill, etc.

\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{\strut
\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}

%--------------------------------------------
% Un eqalign avec numerotation a gauche ET a droite
% syntaxe :
% numero gauche & A & = B & numero droit \cr

\def\fulleqalignno#1{\displ@y\tabskip=\z@skip
      \halign to\displaywidth {
       \rlap{$##$}  \tabskip=\centering &
        \hfil $\@lign \displaystyle {##}$ \tabskip \z@skip &
         $\@lign \displaystyle {{}##}$\hfil  \tabskip \centering &
          \llap {$\@lign ##$}  \tabskip \z@skip \crcr 
           #1\crcr}}
%--------------------------------------------
% idem avec \displaylines

\def\fulldisplaylinesno#1{\displ@y \tabskip=\z@skip
     \halign to\displaywidth{%
      \rlap{$##$}\tabskip=\centering &
       $\@lign \hfil \displaystyle ##\hfil $&
        \llap{$##$}\tabskip=\z@skip\crcr 
         #1\crcr}}

%--------------------------------------------
% Systeme d'equations precede d'une accolade.
% Copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice
% syntaxe : signe & coef & inconnue
% les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef)
% et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil)
% attention : un seul & ou deux && avant le signe =
% selon la justification choisie !
% Exemple : $$\system{
%             &2 &x &- &3 & y & = &&  -5 \cr
%            -&  &x &+ &  & y & = &&   6 \cr
%           }$$

\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$&\hfil$##$&$##$\hfil&&
        \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}


% ������������������������������������������ 
% ����������������� Divers gadgets �������������� 
% ������������������������������������������� 

% Pour se rendre la vie facile : \up{er}, \up{i\`eme}, n\up{0}, etc.
\def\up#1{\raise 0.85ex\hbox{\smallf@nt#1}}
%----------------------------
% Utilisation : \cf. \etc. \ie. (ne pas oublier le point a la fin !
%----------------------------
\def\cf{{\it cf}} \def\etc{{\it etc}} \def\ie{{\it i.e}}
%----------------------------
\def\qed{\lower 2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
                                             \vfill
                                             \hrule}\vrule}}

\def\cqfd{\unskip\penalty 500\kern 10pt\qed}
%----------------------------
% virgule apres une fraction
\def\virg{\raise .4ex\hbox{,}}   
%----------------------------
\def\pv{\ ;\enspace} % point-virgule de ponctuation en maths

%----------------------------
% Pour obtenir un cadre rectangulaire :
% Entoure #2 (le texte) d'un filet. 
% Le filet est ecarte de #1 du texte
% La ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \boxit[5pt]{...}. 

\def\boxit[#1]#2%
    {\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%  
         \setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
          \advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1 
           \advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2  \box1\relax
            }
%-----------------------------
% analogue, mais avec effet d'ombre
% #1 = epaisseur de l'ombre
% #2 = blanc qui separe le filet du texte
% #3 = ce qu'on veut mettre dans la boite ombree
% la ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \shadebox[3pt][5pt]{...}

\def\shadebox[#1][#2]#3%
    {\setbox1=\hbox{\kern#2{#3}\kern#2}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #2 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #2 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2 width 0.2pt
                        \box1
                         \vrule  width 0.2pt}%  
          \setbox1=\vbox{\hrule height 0.2pt
                          \box1
                           \hrule height 0.2pt}%
             \dimen3=\wd1 \advance\dimen3 by -#1 
              \dimen4=\ht1 \advance\dimen4 by -#1
               \setbox2=\hbox{\vrule height #1 depth 0pt width\dimen3
                               \vrule height\ht1 depth 0pt width #1}%
                 \advance\dimen1 by .2pt 
                  \ht1=\dimen1 
                   \advance\dimen2 by .2pt \advance\dimen2 by #1
                    \dp1=\dimen2  
                     \box1\kern-\dimen3\lower\dimen2\box2\relax
                      }

%������������������������������������������ 
% quand il faut smasher seulement le dessus ou le dessous d'une formule 
% Ne tient pas compte du style !!!

\def\smashtop#1{\setbox0=\hbox{#1}\ht0=0pt\box0}
\def\smashbot#1{\setbox0=\hbox{#1}\dp0=0pt\box0}

%������������������������������������������ 
% \date : 15 Novembre 1987
% j'ai abandonne \date qui provoquait des conflits
% avec le token \date que j'utilise dans les bibliographies

\def\today
    {\ignorespaces\space\the\day\space
      \ifcase\month\or janvier\or f\'evrier\or mars\or avril
       \or mai\or juin\or juillet\or ao\^ut\or septembre
        \or octobre\or novembre\or d\'ecembre\fi\space\the\year
         }
%��������������������������������������� 
% fractions intelligentes (sans parentheses, puis avec parentheses)

\def\frac#1#2{\mkern 1.5mu {#1\over #2}\mkern 1.5mu }

\font\ninerm=cmr9

\def\sfrac#1#2{\mkern 1.5mu
     \ifmmode\ifinner 
       {\textstyle{\raise 0.5pt\hbox{\sevenrm #1}\over
        \lower 0.5pt\hbox{\sevenrm #2}}} 
         \else 
          {{\textstyle{\hbox{\ninerm #1}\over
            \lower 1.5pt\hbox{\ninerm #2}}}}
             \fi\fi\mkern 1.5mu}

\def\demi{\sfrac 12}

\def\pfrac#1#2{
     \bgroup\mathchoice
      {\Bigl({#1\over #2}\Bigr)}  % \displaystyle 
       {({#1\over #2})}           % \textstyle
        {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  % \scriptstyle
         {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  %\scriptscriptstyle
          \egroup}

%��������������������������������������� 
% crochets de taille que l'on definit soi-meme
% #1 : dimension qui monte ou descend le crochet
% #2 : la taille du crochet

\def\lbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left[\vcenter to #1{}\right. $}}
\def\rbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left.\vcenter to #1{}\right]$}}

%��������������������������������������� 
% pour surligner convenablement
% remplace avantageusement \overline si l'on desire
% de bons resultats

\def\lineover#1#2#3{\mkern#1mu\overline{\mkern-#1mu#2\mkern-#3mu}\mkern#3mu}

%��������������������������������������� 
% regle graduee en cm
% utile pour la mise au point 
% de la largeur de certaines boites
% syntaxe : \reglegraduee

\def\Graduation{\vrule height 5pt depth 0pt width 0.2pt\kern -0.2pt}
 \def\tiret{\Graduation\vrule height 0.2pt depth 0pt width 5mm}
  \def\nombre#1{\kern 10mm\hbox to 0pt{\hss\sevenrm#1\hss}}

\def\reglegraduee
    {\hrule width 12cm
      \vbox{\count10=24
       \hbox to 0pt{\loop\ifnum\count10>0
                     \tiret
                      \advance\count10 by -1
                       \repeat
                        \Graduation\hss}
          \nointerlineskip\smallskip
           \hbox to 0pt{\count10=1
                         \loop\ifnum\count10<13
                          \nombre{\the\count10}%
                           \advance\count10 by 1
                            \repeat
                             \hss}
               }}

%������������������������������������������� 
% fleche horizontale dirig\'ee vers la droite et intelligente
% si elle n'a pas de decoration (indice ou exposant)
% c'est une \rightarrow
% si l'indice et l'exposant ne sont pas trop longs,
% c'est une longrightarrow
% sinon, elle s'allonge en cons\'equence
% Syntaxe : \arrow{...}{...}
% le premier groupe est l'exposant, le deuxieme l'indice
% ces deux groupes (memes vides) sont obligatoires !!!

\newdimen\lengtharrow
 \newbox\exponant \newbox\indice
  \newbox\arrowbox

%------------------------------------------------------------
% la longueur d'une \longrightarrow est de 16.11...pt
% la longueur de \arrow sera donc celle d'une \longrightarrow
% tant que l'exposant ne d\'epasse pas 8pt de large
% sinon, on rajoute 4pt de part et d'autre.
% Cas particulier : s'il n'y a ni indice, ni exposant,
% on retrouve \rightarrow

\def\dimmax#1#2{\ifdim#1<#2 #2\else #1\fi}

\def\arrow#1#2%
    {\setbox\exponant=\hbox{$\scriptstyle#1$}
      \setbox\indice=\hbox{$\scriptstyle#2$}
       \lengtharrow=\dimmax{\wd\indice}{\wd\exponant}
        \ifdim \lengtharrow=0pt \setbox\arrowbox=\hbox{$\rightarrow$}
         \else \ifdim\lengtharrow<8pt
                \lengtharrow=16pt
                 \else \advance\lengtharrow by 8pt
                  \fi
                   \setbox\arrowbox=\hbox to\lengtharrow{\rightarrowfill}
                    \ht\arrowbox=3.66875pt \dp\arrowbox=0pt 
                     \setbox\arrowbox=\hbox{$\mathop{\box\arrowbox}\limits
                                            _{\box\indice}^{\box\exponant}$}
                       \fi
                \mathrel{\box\arrowbox}}

%����������������������������������������� 
% generalise le \buildrel de plain
% exemples de syntaxe avec une fleche dirigee a gauche
% \build\longleftarrow_{...}\endbuild
% \build\longleftarrow^{...}\endbuild
% \build\longleftarrow_{...}^{...}\endbuild
% l'indice ou l'exposant sont facultatifs
% ne surtout pas oublier le \endbuild !!!!

\def\build#1{\mathrel\bgroup\mathop{#1\kern 0pt}\limits}
 \let\endbuild=\egroup

%������������������������������������������ 
% commodites pour la construction de tableaux
% \vmove[5pt]{...} deplace le groupe vers le haut de 5pt
% SANS RIEN DERANGER DANS LE TABLEAU

\def\vmove[#1]#2{\setbox1=\hbox{\raise#1\hbox{#2}}%
                 \ht1=0pt \dp1=0pt\box1}

%---------------------------------------
% \vspace[5pt] ecarte deux lignes d'un tableau
% \vspace[-2mm] rapproche deux lignes d'un tableau
% (ne peut fonctionner qu'apres un \cr)

\def\vspace[#1]{\noalign{\vskip#1}}

%������������������������������������������ 
% pour ne pas avoir a chosir entre \hat et \widehat,
% \tilde et \widetilde

\def\hat#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>6pt
                \mathaccent "0362 {#1}
                 \else\mathaccent"705E {#1}
                  \fi
                   }

\def\tilde#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>6pt
                \mathaccent "0365 {#1}
                 \else\mathaccent"707E {#1}
                  \fi
                   }

% ������������������������������������� 
% pour qu'il la ferme le plus possible...

\showboxbreadth=-1  \showboxdepth=-1

% ������������������������������������� 
% pour avoir des messages raisonnables avec les lettres accentu\'ees
% et les petites capitales

\let\@ldmessage=\message

 \def\message#1%
     {\begingroup
       \def\pc##1{\string\pc\space##1}%
        \def\'{\string'}\def\`{\string`}%
         \def\^{\string^}\def\"{\string"}%
          \@ldmessage{#1}%
           \endgroup
            }


%����������������������������
% Pour les tableaux
%-----------------------
% syntaxe \tableau\preambule...\endtableau
% pour les filets horizontaux
% utiliser \cr\th ou encore
% \th\vspace[2pt]\th
% en cas de traits espaces

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}

%-------------------------
\def\tableau
    {\vtop\bgroup
      \def\th{\noalign{\hrule}}
       \offinterlineskip\halign\expandafter\bgroup
        }

\def\endtableau{\egroup\egroup}

%-----------------------
% divers preambules (liste non exhaustive !)
%-----------------------
% justification a droite, pas de filet, mode math

\def\preambuleI[#1]{% 
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\cr}
%-----------------------
% justification a droite, filets verticaux, mode math

\def\preambuleItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv\cr}

%-----------------------
% mode centre, pas de filet, mode math

\def\preambuleII[#1]{%
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\cr}

%-----------------------
% mode centre, filets verticaux, mode math

\def\preambuleIItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\tv\cr}

%������ guillements fran\c cais (pis-aller)

\def\og{\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$}}
\def\fg{\ignorespaces\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\,\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}




% ���������������������������������� 
% fin des macros privees
% ���������������������������������� 

\catcode`\@=12
%%%%%%% bibliographie selon AMS style %%%%%%%%%%%
%%%%%%% inspir\'e de TUGboat 11 (1990), p. 609 %%%%%%%


\newbox\auteurbox
\newbox\titrebox    
\newbox\editeurbox
\newbox\datebox
\newbox\nomrevuebox
\newbox\tomebox
\newbox\pagesbox
\newbox\textebox
\newbox\diversbox
\newbox\refbox

%--------------------------------------------
\def\makebox#1#2{\par\egroup
                     \setbox#1=\vbox\bgroup
                      \leftskip=0pt   
                       \hsize=\maxdimen \noindent#2}
%--------------------------------------------
\def\ref{\par\vskip 3pt plus 30pt
           \setbox0=\vbox\bgroup\makebox\refbox\bf}
%--------------------------------------------
\def\auteur{\makebox\auteurbox\pd}
 \def\titre{\makebox\titrebox\sl}
  \def\editeur{\makebox\editeurbox\rm}
   \def\nomrevue{\makebox\nomrevuebox\rm}
    \def\tome{\makebox\tomebox\bf}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\date{\makebox\datebox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm \string-\string-}}%
              \oldstyle}}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\pages{\makebox\pagesbox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm\string-\string-}}%
              \rm}}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\divers{\makebox\diversbox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm\string-\string-}}%
              \rm}}
%--------------------------------------------
\def\addref#1{\setbox0=\vbox{\unvbox#1%
                \global\setbox1=\lastbox}%
                 \unhbox1 \unskip\unskip\unpenalty}
%--------------------------------------------
\newif\iffirstitem        
\def\separateur{\iffirstitem\pointir\global\firstitemfalse
                   \else, \ignorespaces\fi}
%--------------------------------------------
\def\voidallboxes
{\setbox0=\box\auteurbox
  \setbox0=\box\titrebox 
   \setbox0=\box\editeurbox
    \setbox0=\box\datebox
     \setbox0=\box\nomrevuebox
      \setbox0=\box\tomebox
       \setbox0=\box\pagesbox
        \setbox0=\box\textebox
         \setbox0=\box\diversbox
          \setbox0=\box\refbox
           \setbox0=\null}
%--------------------------------------------
\def\makelivre 
    {\ifdim\ht\auteurbox>0pt   \addref\auteurbox\fi 
      \ifdim\ht\titrebox>0pt     \separateur\addref\titrebox\fi
       \ifdim\ht\editeurbox>0pt   \pointir\global\firstitemfalse
                                      \addref\editeurbox\fi
         \ifdim\ht\datebox>0pt      \separateur\addref\datebox\fi}
%--------------------------------------------
\def\makearticle 
   {\ifdim\ht\auteurbox>0pt     \addref\auteurbox\fi 
     \ifdim\ht\titrebox>0pt      \separateur\addref\titrebox\fi
      \ifdim\ht\nomrevuebox>0pt  \separateur\addref\nomrevuebox\fi
       \ifdim\ht\tomebox>0pt      \separateur t.~\addref\tomebox\fi
        \ifdim\ht\datebox>0pt      \separateur\addref\datebox\fi
         \ifdim\ht\pagesbox>0pt     \separateur p.~\addref\pagesbox\fi}
%--------------------------------------------
\def\makedivers
   {\ifdim\ht\auteurbox>0pt     \addref\auteurbox\fi 
     \ifdim\ht\diversbox>0pt      \separateur\addref\diversbox\fi}
%--------------------------------------------
\def\endref
{\egroup\global\firstitemtrue
  \vskip 3pt plus 2pt minus 1pt
   \putref
    \ifdim\ht\nomrevuebox>0pt \makearticle
     \else\ifdim\ht\editeurbox>0pt \makelivre
      \else\ifdim\ht\diversbox>0pt \makedivers
       \fi\fi\fi
       .\voidallboxes}
%--------------------------------------------
\spaceskip=3pt plus 3pt minus 1pt 
\xspaceskip=3pt plus 3pt minus 1pt
\frenchspacing

%--------------------------------------------
\def\putrefI{\noindent[\addref\refbox]\quad}
\def\putrefII{\noindent\llap{[\addref\refbox]\enspace}}
\def\putrefIII{\noindent}
\def\putrefIV{\leftskip=15pt\noindent\hskip-\leftskip}

\def\styleI{\let\putref=\putrefI}
\def\styleII{\let\putref=\putrefII}
\def\styleIII{\let\putref=\putrefIII}
\def\styleIV{\let\putref=\putrefIV}

\styleI

\def\Grille{\setbox13=\vbox to 5mm{\hrule width 110mm\vfill}
\setbox13=\vbox{\offinterlineskip
   \copy13\copy13\copy13\copy13\copy13\copy13\copy13\copy13
   \copy13\copy13\copy13\copy13\box13\hrule width 110mm}
\setbox14=\hbox to 5mm{\vrule height 65mm\hfill}
\setbox14=\hbox{\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14
   \copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14
   \copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\copy14\box14}
\ht14=0pt\dp14=0pt\wd14=0pt
\setbox13=\vbox to 0pt{\vss\box13\offinterlineskip\box14}
\wd13=0pt\box13}

\def\grille{\noalign{\nointerlineskip\Grille\nointerlineskip}}

%������������������������������������������������������������������

\def\fleche(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
\noalign{\nointerlineskip\leftput(#1,#2){\vector(#3,#4){#5}}\nointerlineskip}}

%������������������������������������������������������������������

\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt\lineskip=5pt}
\matrix{#1}}

\def\hfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\rightarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\gfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\leftarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\vfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\downarrow\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}

%������������������������������������������������������������������


 \message{`lline' & `vector' macros from LaTeX}
 \catcode`@=11
\def\{{\relax\ifmmode\lbrace\else$\lbrace$\fi}
\def\}{\relax\ifmmode\rbrace\else$\rbrace$\fi}
\def\newcount{\alloc@0\count\countdef\insc@unt}
\def\newdimen{\alloc@1\dimen\dimendef\insc@unt}
\def\newwrite{\alloc@7\write\chardef\sixt@@n}

\newwrite\@unused
\newcount\@tempcnta
\newcount\@tempcntb
\newdimen\@tempdima
\newdimen\@tempdimb
\newbox\@tempboxa

\def\@spaces{\space\space\space\space}
\def\@whilenoop#1{}
\def\@whiledim#1\do #2{\ifdim #1\relax#2\@iwhiledim{#1\relax#2}\fi}
\def\@iwhiledim#1{\ifdim #1\let\@nextwhile=\@iwhiledim
        \else\let\@nextwhile=\@whilenoop\fi\@nextwhile{#1}}
\def\@badlinearg{\@latexerr{Bad \string\line\space or \string\vector
   \space argument}}
\def\@latexerr#1#2{\begingroup
\edef\@tempc{#2}\expandafter\errhelp\expandafter{\@tempc}%
%% error help message pieces.
\def\@eha{Your command was ignored.
^^JType \space I <command> <return> \space to replace it
  with another command,^^Jor \space <return> \space to continue without it.}
\def\@ehb{You've lost some text. \space \@ehc}
\def\@ehc{Try typing \space <return>
  \space to proceed.^^JIf that doesn't work, type \space X <return> \space to
  quit.}
\def\@ehd{You're in trouble here.  \space\@ehc}

\typeout{LaTeX error. \space See LaTeX manual for explanation.^^J
 \space\@spaces\@spaces\@spaces Type \space H <return> \space for
 immediate help.}\errmessage{#1}\endgroup}
\def\typeout#1{{\let\protect\string\immediate\write\@unused{#1}}}

% line & circle fonts
\font\tenln    = line10
\font\tenlnw   = linew10
%\font\tencirc  = circle10
%\font\tencircw = circlew10


\newdimen\@wholewidth
\newdimen\@halfwidth
\newdimen\unitlength 

\unitlength =1pt

%\newbox\@picbox
%\newdimen\@picht

\def\thinlines{\let\@linefnt\tenln \let\@circlefnt\tencirc
  \@wholewidth\fontdimen8\tenln \@halfwidth .5\@wholewidth}
\def\thicklines{\let\@linefnt\tenlnw \let\@circlefnt\tencircw
  \@wholewidth\fontdimen8\tenlnw \@halfwidth .5\@wholewidth}

\def\linethickness#1{\@wholewidth #1\relax \@halfwidth .5\@wholewidth}



\newif\if@negarg

\def\lline(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@linelen=#3\unitlength
\ifnum\@xarg =0 \@vline
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hline \else \@sline\fi
\fi}

\def\@sline{\ifnum\@xarg< 0 \@negargtrue \@xarg -\@xarg \@yyarg -\@yarg
  \else \@negargfalse \@yyarg \@yarg \fi
\ifnum \@yyarg >0 \@tempcnta\@yyarg \else \@tempcnta -\@yyarg \fi
\ifnum\@tempcnta>6 \@badlinearg\@tempcnta0 \fi
\setbox\@linechar\hbox{\@linefnt\@getlinechar(\@xarg,\@yyarg)}%
\ifnum \@yarg >0 \let\@upordown\raise \@clnht\z@
   \else\let\@upordown\lower \@clnht \ht\@linechar\fi
\@clnwd=\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\wd\@linechar \def\@tempa{\hskip -2\wd\@linechar}\else
     \let\@tempa\relax \fi
\@whiledim \@clnwd <\@linelen \do
  {\@upordown\@clnht\copy\@linechar
   \@tempa
   \advance\@clnht \ht\@linechar
   \advance\@clnwd \wd\@linechar}%
\advance\@clnht -\ht\@linechar
\advance\@clnwd -\wd\@linechar
\@tempdima\@linelen\advance\@tempdima -\@clnwd
\@tempdimb\@tempdima\advance\@tempdimb -\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\@tempdimb \else \hskip \@tempdimb \fi
\multiply\@tempdima \@m
\@tempcnta \@tempdima \@tempdima \wd\@linechar \divide\@tempcnta \@tempdima
\@tempdima \ht\@linechar \multiply\@tempdima \@tempcnta
\divide\@tempdima \@m
\advance\@clnht \@tempdima
\ifdim \@linelen <\wd\@linechar
   \hskip \wd\@linechar
  \else\@upordown\@clnht\copy\@linechar\fi}

%\def\@hline{\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi
%\vrule \@height \@halfwidth \@depth \@halfwidth \@width
%\@linelen \ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi}


\def\@hline{\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi
\vrule height \@halfwidth depth \@halfwidth width \@linelen
\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi}

\def\@getlinechar(#1,#2){\@tempcnta#1\relax\multiply\@tempcnta 8
\advance\@tempcnta -9 \ifnum #2>0 \advance\@tempcnta #2\relax\else
\advance\@tempcnta -#2\relax\advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}

\def\vector(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@linelen=#3\unitlength
\ifnum\@xarg =0 \@vvector
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hvector \else \@svector\fi
\fi}

\def\@hvector{\@hline\hbox to 0pt{\@linefnt
\ifnum \@xarg <0 \@getlarrow(1,0)\hss\else
    \hss\@getrarrow(1,0)\fi}}

\def\@vvector{\ifnum \@yarg <0 \@downvector \else \@upvector \fi}

\def\@svector{\@sline
\@tempcnta\@yarg \ifnum\@tempcnta <0 \@tempcnta=-\@tempcnta\fi
\ifnum\@tempcnta <5
  \hskip -\wd\@linechar
  \@upordown\@clnht \hbox{\@linefnt  \if@negarg
  \@getlarrow(\@xarg,\@yyarg) \else \@getrarrow(\@xarg,\@yyarg) \fi}%
\else\@badlinearg\fi}

\def\@getlarrow(#1,#2){\ifnum #2 =\z@ \@tempcnta='33\else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta \sixt@@n \advance\@tempcnta
-9 \@tempcntb=#2\relax\multiply\@tempcntb \tw@
\ifnum \@tempcntb >0 \advance\@tempcnta \@tempcntb\relax
\else\advance\@tempcnta -\@tempcntb\advance\@tempcnta 64
\fi\fi\char\@tempcnta}

\def\@getrarrow(#1,#2){\@tempcntb=#2\relax
\ifnum\@tempcntb < 0 \@tempcntb=-\@tempcntb\relax\fi
\ifcase \@tempcntb\relax \@tempcnta='55 \or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -6 \else \ifnum #1=3 \@tempcnta=49
\else\@tempcnta=58 \fi\fi\or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -3 \else \@tempcnta=51\fi\or
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta -\tw@ \else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta 7 \fi\ifnum #2<0 \advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}



\def\@vline{\ifnum \@yarg <0 \@downline \else \@upline\fi}


\def\@upline{\hbox to \z@{\hskip -\@halfwidth \vrule
  width \@wholewidth height \@linelen depth \z@\hss}}

\def\@downline{\hbox to \z@{\hskip -\@halfwidth \vrule
  width \@wholewidth height \z@ depth \@linelen \hss}}

\def\@upvector{\@upline\setbox\@tempboxa\hbox{\@linefnt\char'66}\raise
     \@linelen \hbox to\z@{\lower \ht\@tempboxa\box\@tempboxa\hss}}

\def\@downvector{\@downline\lower \@linelen
      \hbox to \z@{\@linefnt\char'77\hss}}

%INITIALIZATION
\thinlines

\newcount\@xarg
\newcount\@yarg
\newcount\@yyarg
\newcount\@multicnt
\newdimen\@xdim
\newdimen\@ydim
\newbox\@linechar
\newdimen\@linelen
\newdimen\@clnwd
\newdimen\@clnht
\newdimen\@dashdim
\newbox\@dashbox
\newcount\@dashcnt
 \catcode`@=12


% macros supplementaires (J.D.)

\newbox\tbox
\newbox\tboxa

%\def\picbox(#1,#2,#3)#4{\setbox\tbox=\hbox{#4}%
%     \ht\tbox=#1 \wd\tbox=#2 \dp\tbox=#3 \box\tbox}

\def\leftzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{#1\hss}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}

\def\rightzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{\hss #1}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}

\def\centerzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{\hss #1\hss}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}

% sytaxe: \image(hauteur totale reservee, distance
%    verticale de l'origine par rapport au bas de
%    la place reservee){materiel a inserer}
% L'origine est toujours centre horizontalement
%
\def\image(#1,#2)#3{\vbox to #1{\offinterlineskip
    \vss #3 \vskip #2}}

% \leftput place le materiel avec son point de reference
%    en #1,#2 unites \unitlength
% De meme pour \centerput et \rightput

\def\leftput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\leftzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\def\rightput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\rightzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\def\centerput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\centerzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\unitlength=1mm

\let\cput=\centerput

\def\put(#1,#2)#3{\noalign{\nointerlineskip
                               \centerput(#1,#2){$#3$}
                                \nointerlineskip}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% version 1994/3/20
% �������������

\def\smallmatrix#1{\vcenter{\offinterlineskip
     \halign{\vrule height 4pt depth 2pt width 0pt 
      \hfil$\scriptstyle##$\hfil&&\kern
       3pt\hfil$\scriptstyle##$\hfil \crcr#1\crcr}}}

%--------------------------------------------------------
 %reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}

%-----------------------------------------------------------------------------------
\def\dem{\pc D\'emonstration|\pointir}
\def\enslettre#1{\font\zzzz=msym10 \hbox{\zzzz #1}}
\def\smallenslettre#1{\font\zzzz=msym7 \hbox{\zzzz #1}}

%--------------------------------------- � Verifier -------------
\def\tableauHAN#1{\vcenter{\baselineskip=8pt
       \halign{$\scriptstyle##$&&$\;\scriptstyle##$\crcr
       #1\crcr}}}

\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt
    \lineskip=10pt\lineskiplimit=1pt} \matrix{#1} }

\def\hfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #3mm{\rightarrowfill}}
        \limits^{\textstyle#1}_{\textstyle#2}}}

\def\hflinto#1#2#3{\smash{\mathop{\hookrightarrow\mathrel{{\hbox to
#3mm{\rightarrowfill}}}}
        \limits^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\hfli#1#2#3{\smash{\mathop{\mapstochar\mathrel{{\hbox to
#3mm{\rightarrowfill}}}}
        \limits^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\hflleft#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #3mm{\leftarrowfill}}
        \limits^{#1}_{#2}}}
\def\hflright#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #3mm{\rightarrowfill}}
        \limits^{#1}_{#2}}}


\def\vfli#1#2{\llap{$\scriptstyle#1$} 
   \vcenter{
    \hbox{\vrule height 0.2pt depth 0pt width 2pt}
   \nointerlineskip
   \hbox{\hskip -2.2pt$\left\downarrow \vbox to 6mm{}\right.$\hskip-3.5pt}
   }\rlap{$\;\scriptstyle#2$}}

\def\vfl#1#2{\llap{$\scriptstyle#1$} 
   \vcenter{
   \nointerlineskip
   \hbox{\hskip -2.2pt$\left\downarrow \vbox to 6mm{}\right.$\hskip-3.5pt}
   }\rlap{$\;\scriptstyle#2$}}

\def\flecheHAN(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
\noalign{\nointerlineskip\leftput(#1,#2){\lline(#3,#4){#5}}\nointerlineskip}}


%-----------------------------------------------------
\def\date{le\space\the\day\space
\ifcase\month\or janvier\or f\'evrier\or mars\or avril
\or mai\or juin\or juillet\or ao\^ut\or septembre
\or octobre\or novembre\or d\'ecembre\fi\space{\oldstyle\the\year}}

%��������������������������������
% pour les insertions de figures

\def\squeeze#1{\ht#1=0pt\dp#1=0pt
                  \wd#1=0pt\box#1}


%������������������
% l'unit� est la graduation de \Boite
% donc, pas de mm ou de points !!!!!

\newbox\putbox

\def\put#1(#2,#3){\setbox\putbox=\hbox{\raise #3mm
                      \hbox to 0pt{\hskip#2mm $#1$\hss}}%
                       \squeeze{\putbox}}

\def\boite#1{\vtop{\offinterlineskip#1}}


\def\resume#1{\vbox{\leftskip=\parindent \rightskip=\parindent
    \eightpoint {\bf R\'esum\'e}\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\leftskip=\parindent \rightskip=\parindent
    \eightpoint {\bf Abstract}\pointir #1}}


%����������������������
% adaptation au nouveau TeX 8 bits

\catcode`\�=\active   \def�{\sum}
\catcode`\�=\active   \def�{\prod}



\def\illustration #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{illustration #3 scaled #4}}}

% exemple 
%\illustration 200mm by 200mm (foata3.88) scaled {1000}
%


\def\picture #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{picture #3 scaled #4}}}

\def\picture #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{picture #3 scaled #4}}}


  %%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%
 %%%%%   LabelFig.tex FOR LABELLING FIGURE INSERTS %%%%%
  %%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%% FORBID REREADING %%%%%
  %
  \ifx\LabelFigloaded\MYundefined
  \else
    \immediate\write16{ !!! LabelFig.tex ALREADY loaded.}
  \endinput\fi

  \def\LabelFigloaded{\relax}% now loaded


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%% Beyond this point we use some control sequences
  %%% that are 'padlocked'  with @ of category 11

  \chardef\LabelFigCatAt\the\catcode`\@
  \catcode`\@=11

 %%temporarily suppress Plain's logging of allocations
 \let\LabelFigwlog@ld\wlog
 \def\wlog#1{\relax}


 \ifx\\\MYundefined@
    \let\\\relax
 \fi

 \def\N@wif{\csname newif\endcsname }
 \def\Temp@ {\N@wif\ifIN@}
 \ifx\INN@\MYundefined@
    \else \let\Temp@\relax
 \fi
 \Temp@

  %%% \IN@0#1@#2@ : Is 1st exp of #1 in 1st exp of #2 ??
   %% Answer in \ifIN@
  %\newif\ifIN@
  \def\IN@{\expandafter\INN@\expandafter}
  \long\def\INN@0#1@#2@{\long\def\NI@##1#1##2##3\ENDNI@
    {\ifx\m@rker##2\IN@false\else\IN@true\fi}%
     \expandafter\NI@#2@@#1\m@rker\ENDNI@}
  \def\m@rker{\m@@rker}
 
   %%% \Shifted@@#1#2#3 puts #3 in \hbox
   %% leaves basepoint as is
   %% then translates ink only by dims #1,#2
   %% with Postscript convention
   %% For simplicity use only on scrunched boxes
 \def\Shifted@@#1#2#3{\setbox0=\hbox{#3}%
   \raise -\dp0\vbox {\kern-#2%
       \hbox {\kern#1\box0\kern-#1}%
           \kern#2}}



 \newcount\gridcount
 \newbox\auxGridbox@ \newbox\hGridbox@ \newbox\vGridbox@
 \newbox\Labelbox@ \newbox\auxLabelbox@
 \newbox\Coordinatebox@
 \newtoks\Labeltoks@
 \newdimen\Wdd@ \newdimen\Htt@

 \def\hRule@{\advance\gridcount -2%
   \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil
   \llap{\smash{\raise -2.5pt
     \hbox{.\number\gridcount\kern2pt}}}%
           \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil}

 \def\vRule@{\advance\gridcount 2%
   \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil
   \setbox\auxGridbox@=\vbox to 0pt
      {\vskip \Htt@\vskip 2pt
        \hbox{\kern-3.5pt.\number\gridcount}\vss}%
      \wd\auxGridbox@=0pt \box\auxGridbox@
   \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil}

 \def\PlaceGrid@@{\gridcount=10%
  \setbox\hGridbox@=%
    \hbox{\hbox{{\hskip-.4pt\vrule}%
             \vbox to \Htt@{\offinterlineskip\parindent=\z@%
                {\vskip-.4pt\hrule}\vfil
                \hRule@\hRule@\hRule@\hRule@
                  \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil
                \hbox to \Wdd@{\hfil}%
             {\hrule\vskip-.4pt}}%
         {\vrule\hskip-.4pt}}}%
  \gridcount=0%
  \setbox\vGridbox@=
     \hbox{\vbox{\offinterlineskip\parindent=0pt\hsize=0pt
       {\vskip-.4pt\hrule}%
             \hbox to \Wdd@{%
                {\hskip-.4pt\vrule}\hfil
                \vtop to \Htt@{\vfil}%
                     \vRule@\vRule@\vRule@\vRule@
                     \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil
             {\vrule\hskip-.4pt}}%
         {\hrule\vskip-.4pt}}}%
  %
  \wd\hGridbox@=0pt\ht\hGridbox@=0pt
  \wd\vGridbox@=0pt\ht\vGridbox@=0pt
  %
 \hbox{\box\hGridbox@\box\vGridbox@}%
  }

 \def\setlabels#1\endsetlabels{%
   \Labeltoks@={#1}}


 \let\PlaceGrid@\relax
 \def\showgrid{\let\PlaceGrid@\PlaceGrid@@}

\let\hidegrid=\relax

 \def\bAdjust@@{%
     \setbox\auxLabelbox@=\hbox{\raise \dp\auxLabelbox@
            \box\auxLabelbox@}}
 \def\bAdjust@{\let\vAdjust@\bAdjust@@}

 \def\tAdjust@@{%
     \setbox\auxLabelbox@=\hbox{\raise-\ht\auxLabelbox@
            \box\auxLabelbox@}}
 \def\tAdjust@{\let\vAdjust@\tAdjust@@}

 \let\vAdjust@\relax

 \def\lAdjust@{\let\hAdjust@\rlap}
 \def\rAdjust@{\let\hAdjust@\llap}

 \let\hAdjust@\relax\let\vAdjust@\relax

 \def\FetchLabel@#1(#2*#3)#4\\#5\endFetchLabel@{%
     %\globaldefs=1\setbox0=\hbox{#1}\globaldefs=0%
     \ignorespaces#1\unskip
     \Labeltoks@={#5}%
     \setbox\auxLabelbox@=%
        \hbox to 0pt{\hss\ignorespaces\hAdjust@
          {\ignorespaces#4\unskip}\hss}%
     \vAdjust@
     \let\hAdjust@\relax\let\vAdjust@\relax
     \setbox\Labelbox@=\hbox to 0pt{%
       \box\Labelbox@
       \Shifted@@{#2\Wdd@}{#3\Htt@}{\box\auxLabelbox@}}%
     \ht\Labelbox@=0pt\dp\Labelbox@=0pt
     }

 \def\PlaceLabels@@{\bgroup\def\Cr@{\\}%
     \let\L\lAdjust@\let\R\rAdjust@
     \let\B\bAdjust@\let\T\tAdjust@
     \loop
     \IN@0\Cr@ @\the\Labeltoks@ @\relax
     \ifIN@ \expandafter
       \FetchLabel@\the\Labeltoks@\endFetchLabel@
     \repeat
     \box\Labelbox@\egroup}%

 \let \PlaceLabels@\PlaceLabels@@

\def\placelabels#1\endplacelabels{\setbox\Coordinatebox@=\hbox{#1}%
      \Wdd@=\wd\Coordinatebox@ \Htt@=\ht\Coordinatebox@
      \advance\Htt@ \dp \Coordinatebox@
      \hbox{\copy\Coordinatebox@\kern-\Wdd@%
           \Shifted@@{0pt}{-\dp\Coordinatebox@}%
            {\PlaceGrid@\PlaceLabels@}%
           \kern\Wdd@}}

 %%% Restoring
   \let\wlog\LabelFigwlog@ld %%restore logging
   \catcode`\@=\LabelFigCatAt  %%12 or 13

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%end Label.fig %%%%%

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}






\auteurcourant={\vtop{\rightline{\tenit G.-N. HAN}
                       \smallskip\hrule}}
\titrecourant={\vtop{\leftline{\tenit Une version g\'eom\'etrique}
                      \smallskip\hrule}}

{\eightpoint
S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B31a(1994), 15pp.
\par
\noindent
Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1994/021, p. 71-85.
}

\bigskip
\vskip 1cm
\centerline{\bf Une version g\'eom\'etrique de la construction de}
\medskip
\centerline{\bf  Kerov-Kirillov-Reshetikhin}
\bigskip
\centerline{\pc Par|}
\medskip
\centerline{\pc Guo-Niu|  HAN\footnote{$(^*)$}{Avec le concours du
programme des Communaut\'es Europ\'eennes en Combinatoire
Alg\'ebrique.}}
\bigskip



\def\SE{{\cal S}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\cal C}}
\def\T{{\cal T}}
\def\vskipm{\vskip -3pt}
%\def\needindenttrue{}
%��������������������������������������
\vskip 2cm
\sectiona
1. Introduction
\endsection
\needindenttrue
%
Les tableaux de Young, standard ou g\'en\'eraux, sont des objets
combinatoires classiques, riches, mais difficiles \`a \'etudier. 
Beaucoup de probl\`emes les concernant sont encore ouverts.
Par exemple,
pour trouver le nombre de tableaux de forme et d'\'evaluation
donn\'ees, ou plus g\'en\'eralement, pour calculer les polyn\^omes
de Kostka, on n'a pas de m\'ethode efficace comme des formules de
r\'ecurrence: on 
en est r\'eduit \`a \'enum\'erer tous les
tableaux d'un type donn\'e.
On est alors confront\'e au probl\`eme de trouver une
m\'ethode pour engendrer tous les tableaux. Si l'on travaille sur le
mono\"ide plaxique [LS1], qui est un objet \'equivalent \`a l'alg\`ebre
des tableaux, il est difficile d'\'enum\'erer tous les mots non
congrus par rapport \`a la relation plaxique [Kn]. Force est donc de rester attentif \`a
toute nouvelle approche qui rendrait cette alg\`ebre de tableaux plus accessible.

Par une d\'emarche totalement diff\'erente des m\'ethodes utilis\'ees
jusqu'ici,  S. V.  Kerov, A.-N.  Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont  
introduit des nouveaux objets ({\it rigged configurations} en
anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young (\cf.
[KKR], [KR], [Ki]). 
Les sources physiques qui ont conduit les trois auteurs
pr\'ec\'edents \`a introduire ces objets restent bien myst\'erieuses.
Par contre, on peut donner une version tr\`es
combinatoire de ceux-ci et  rendre plus compr\'ehensible 
l'approche de ces auteurs
en utilisant des mod\`eles
g\'eom\'etriques,
essentiellement des {\it chemins polygonaux}. 
Le r\'esultat fondamental de KKR se traduit de la fa\c con
suivante dans le mod\`ele combinatoire que nous allons d\'ecrire ici :  {\it Les tableaux de
Young sont en bijection avec les matrices dont tous les coefficients
sont des chemins.}

L'int\'er\^et du mod\`ele KKR est qu'il permet de traiter plusieurs
probl\`emes. D'abord, on peut \'enum\'erer les
tableaux de Young par bloc, ce qui permet de calculer les polyn\^omes de
Kostka tr\`es rapidement. D'autre part, certaines op\'erations
fondamentales sur les tableaux ou sur le mono\"ide plaxique, comme la
{\it standardisation} introduite par Lascoux et 
Sch\"utzenberger [LS2], qui semblent peu naturelles (sauf pour
leurs inventeurs!) deviennent tr\`es explicites avec ces nouveaux
objets. A l'aide de ceux-ci, il semble que de nouvelles
propri\'et\'es sur les tableaux de Young pourront \^etre
\'etudi\'ees. 


L'objet de ce m\'emoire est d'expliciter le r\'esultat fondammental de
KKR (section 2), de d\'ecrire ensuite deux algorithmes sur les {\it
matrices de chemins}, enfin de red\'emontrer le th\'eor\`eme fondamental
de KKR, dans le cas $q=1$, en \'etablissant une bijection entre les
matrices de  chemins et les tableaux de Young (section 4).

%�����������������������������������
\sectiona 
2. Le th\'eor\`eme de KKR
\endsection
\needindenttrue
%
D\'efinissons d'abord
trois {\it op\'erations de diff\'erence} sur l'ensemble des
matrices des entiers, index\'ees Est, Sud, Ouest et not\'ees
respectivement $D_E$, $D_S$ et $D_O$. Soient 
$m=(m_{ij})_{1\leq i\leq l,\  1\leq j\leq c}$ et
$n=(n_{ij})_{1\leq i\leq l,\  1\leq j\leq c}$ deux matrices de $l$
lignes et de $c$ colonnes. On d\'efinit :
$$\leqalignno{
n=D_E(m) \quad \Leftrightarrow\quad
&\cases{
n_{ij}= m_{ij}          &  si $j=c$, \cr
n_{ij}= m_{ij}-m_{i,j+1}&  si $j<c$ ; \cr}
&\rm (i) \cr
\vspace[5pt]
n=D_S(m) \quad \Leftrightarrow\quad
&\cases{
n_{ij} = m_{ij}          & si $i=l$, \cr
n_{ij} = m_{ij}-m_{i+1,j}& si $i<l$ ; \cr}
&\rm (ii)\cr
\vspace[5pt]
n=D_O(m) \quad \Leftrightarrow\quad
&\cases{
n_{ij} = m_{ij}          & si $j=1$, \cr
n_{ij} = m_{ij}-m_{i,j-1}& si $j>1$ ; \cr}
&\rm (iii)\cr
%\vspace[5pt]
%n=D_N(m) \quad \Leftrightarrow\quad
%&\cases{
%n_{ij} = m_{ij}          & si $i=1$, \cr
%n_{ij} = m_{ij}-m_{i-1,j}& si $i>1$ ; \cr}
%&\rm (iv)\cr
}$$
Il est clair que $D_OD_S=D_SD_O$ et que $D_OD_E=D_ED_O$ . Soit
$m$ une matrice de taille $l\times c$. On 
introduit cinq autres matrices de m\^eme taille $e,E,V,F,f$ 
d\'efinies
par les
relations d\'ecrites dans le sch\'ema suivant\footnote{$(^*)$}{Cette
forme planaire est sugg\'er\'ee par les professeurs A. Lascoux et
M.-P. Sch\"utzenberger.} :   
$$
\matrix{
e&  \hflleft{D_E}{}{10} & E &  \hflleft{D_O}{}{10} &m\cr
\vspace[5pt]
&                        &\vfl{}{D_S} &&\vfl{}{D_S}\cr
\vspace[5pt]
&                         &  V & \hflleft{D_O}{}{10}&F  \cr
\vspace[5pt]
&&&&\vfl{}{D_S}\cr
\vspace[5pt]
&&&&f\cr
}$$
Puisque l'inverse des op\'erations de diff\'erence existe, 
l'une quelconque de ces six matrices permet de calculer les
cinq autres de fa\c con unique.
Les matrices $e=(e_{ij}), E=(E_{ij}), m=(m_{ij}), F=(F_{ij}),
f=(f_{ij})$ et $V=(V_{ij})$ sont appel\'ees, respectivement, {\it
escalier d'\'evaluation, matrice d'\'evaluation, matrice centrale,
matrice de forme, escalier de forme} et {\it matrice de charge}.
\medskip


Une matrice centrale  $m$ est dite {\it admissible}, si les deux
escaliers associ\'es $e$ et $f$ sont des matrices \`a coefficients
positifs (ceci  implique que les trois autres matrices $E$, $m$,
$F$ sont toutes positives, mais $V$ ne l'est pas n\'ecessairement).
\'Evidemment, la combinaison lin\'eaire  de deux matrices
admissibles (centrales) \`a coefficients positifs est encore une
matrice admissible. On d\'esigne $\M(l,c)$ l'ensemble de toutes
les matrices centrales admissibles de taille $l\times c$.
Soit $m$ une matrice admissible.
La derni\`ere colonne de la matrice de forme associ\'ee $F$, lue de
haut en bas, est forc\'ement une suite {\it d\'ecroissante}. On
identifie cette suite \`a une {\it partition} d'entier, qu'on appelle
{\it forme} de $m$. De la m\^eme fa\c con, la premi\`ere ligne de la
matrice d'\'evaluation associ\'ee $E$, lue de gauche \`a droite, est
d\'ecroissante et peut aussi \^etre identifi\'ee \`a une partition
d'entier. La {\it transpos\'ee} de cette partition est appel\'ee {\it
\'evaluation} de $m$.
Le {\it poids} de $m$ est
d\'efini comme le poids de sa forme. On v\'erifie imm\'ediatement que c'est
aussi le poids de son \'evaluation, ou encore le plus grand
coefficient de $m$.
Le {\it nombre de Kostka} associ\'e \`a $m$ est d\'efini par :
$$
K_m=\prod_{i=1}^{l-1} \prod_{j=1}^c 
{e_{i+1,j} + f_{i,j} \choose e_{i+1,j}}.
$$

Rappelons que le polyn\^ome $q$-binomial est d\'efini par
$$
{x+y \brack x} =
\cases{
0,                                        & si  $x<0$ ou $y<0$ ; \cr
\vspace[10pt]
\displaystyle{[x+y]! \over [x]!\ [y]! },  & sinon ; \cr
}
$$
%
\noindent
o\`u $[x]!=1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{x-1}$ si $x\geq 1$ et $[0]!=1$.
 

On d\'efinit plus g\'en\'eralement le {\it polyn\^ome de Kostka} associ\'e \`a $m$
comme \'etant  
$$K_m(q)=q^{c(V)}
\prod_{i=1}^{l-1} \prod_{j=1}^c 
         {e_{i+1,j} + f_{ij} \brack e_{i+1,j}}.$$
o\`u $V$ est la matrice de charge associ\'ee \`a $m$ et o\`u
l'on a pos\'e 
$c(V)={\sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^c   {V_{ij}(V_{ij}-1) / 2}}$.


Consid\'erons, par exemple, les six matrices  donn\'ees par 
%------------------------------------------------------
$$\def\\{{\hphantom{0}}}
\matrix{
e=\pmatrix{9& 2& 0\cr   2& 0& 1\cr   0& 1& 0\cr} 
&E=\pmatrix{11&\\ 2&\\ 0\cr \\ 3&\\ 1&\\ 1\cr \\ 1&\\ 1&\\ 0\cr}
&m=\pmatrix{11&13&13\cr \\ 3&\\ 4&\\ 5\cr \\ 1&\\ 2&\\ 2\cr}   \cr
&V=\pmatrix{\\ 8&\\ 1&\! -1\cr \\ 2& \\ 0&\\ 1\cr \\ 1&\\  1&\\
0\cr}  
&F=\pmatrix{\\ 8&\\ 9&\\ 8\cr \\ 2&\\ 2&\\ 3\cr \\ 1&\\
2&\\ 2\cr} \cr 
&&f=\pmatrix{  \\ 6&\\ 7&\\ 5\cr \\ 1&\\ 0&\\ 1\cr
\\ 1&\\ 2&\\ 2\cr}\cr }
$$
%------------------------------------------------------
La forme de $m$ est la partition $8,3,2$; et l'\'evaluation est la
transpos\'ee de la partition $11,2,0$, c'est-\`a-dire  la partition
$2^21^9$. Le nombre de Kostka est donc :
$$K_m=
{2+6 \choose 2}{ 0+7\choose 0}{ 1+5\choose 1} 
{0+1 \choose 0}{ 1+0\choose 1}{ 0+1\choose 0 }=168.
$$
%------------------------------------------------------
Le polyn\^ome de Kostka est 
$$
K_m(q)=q^{30}
{2+6 \brack 2}{ 0+7\brack 0}{ 1+5\brack 1} 
{0+1 \brack 0}{ 1+0\brack 1}{ 0+1\brack 0 }=q^{30}{ 8\brack 2 }{ 6\brack 1 } .
$$


Prenons un escalier d'\'evaluation $e$ de taille $l\times c$,
et ajoutons lui quelques lignes et quelques colonnes 
ne contenant que des z\'eros. Nous obtenons un nouvel escalier
d'\'evaluation $e^*$, de taille $l^*\times c^*$ o\`u $l\leq l^*$ et
$c\leq c^*$. Autrement dit, on pose $e^*_{ij}=e_{ij}$ pour
$1\leq i\leq l$ et $1\leq j\leq c$; et $e^*_{ij}=0$ pour les
autres indices $i,j$. La traduction de cette op\'eration sur les
matrices centrales est obtenue par le diagramme commutatif
suivant : 
$$
\matrix{
m & \longrightarrow &m^*\cr
\vspace[5pt]
\downarrow &&\downarrow\cr
\vspace[5pt]
e & \longrightarrow&e^*  \cr}
$$
%
On v\'erifie facilement que si $m$ est admissible, alors $m^*$ est
aussi admissible. L'application $m\mapsto m^*$ d\'efinit ainsi une
injection de $\M(l,c)$ dans $\M(l^*,c^*)$. 
Nous constatons que $m$ et $m^*$
admettent la m\^eme forme, la m\^eme \'evaluation, le m\^eme poids et le
m\^eme nombre de Kostka. On forme donc la limite inverse
en d\'efinissant :
$$\M=\lim_{{}^{\leftarrow}_{l,c}}    \M(l,c).$$
Les \'el\'ements $m\in \M$ sont appel\'es encore {\it matrices
(centrales) admissibles}. On
parle aussi de la forme, de l'\'evaluation, du nombre de Kostka
associ\'es \`a $m$ de fa\c con canonique.

Soient $\lambda ,\mu $ deux partitions. On note $K_{\lambda ,\mu }$ le nombre de
Kostka {\it usuel} et $\M_{\lambda ,\mu }$ l'ensemble des matrices
admissibles  de forme $\lambda $ et d'\'evaluation
$\mu $ (\cf. [M]). Le r\'esultat fondamental de KKR est consign\'e
dans le th\'eor\`eme suivant.

\th Th\'eor\`eme 1 (KKR)
\enonce On a :
$$K_{\lambda, \mu} =\sum_{m\in \M_{\lambda ,\mu }} K_m .$$
\endth


Le $q$-analogue de ce r\'esultat est aussi obtenu par  ces m\^emes
auteurs et s'\'enonce ainsi.

\th Th\'eor\`eme $q$-1 (KKR)
\enonce On a :
$$K_{\lambda, \mu}(q) =\sum_{m\in \M_{\lambda ,\mu }} K_m(q) .$$
\endth
 

Par exemple, pour la forme $\lambda=321$ et l'\'evaluation
$\mu=1^6$, les deux matrices admissibles possibles sont  
$\left(\smallmatrix{6&6\cr 2&3\cr 1&1\cr}\right)$ et
$\left(\smallmatrix{6\cr 3\cr 1\cr}\right)$; 
et les nombres de Kostka correspondant
sont respectivement  ${2\choose 1}{4\choose 1}$ et ${2\choose
1}{4\choose 1}$, d'o\`u le nombre de Kostka
$K_{321,1^6}=16$. Les polyn\^omes de Kostka correspondants
aux deux matrices admissibles sont respectivement  $q^7{2\brack 1}{4\brack 1}$ et
$q^4{2\brack 1}{4\brack 1}$, d'o\`u le polyn\^ome de Kostka
$$K_{321,1^6}(q)=q^4(1+q)(1+q^3)(1+q+q^2+q^3).$$


La d\'emonstration du th\'eor\`eme 1 est reproduite \`a la fin de la
section 4. Quant \`a la d\'emonstration du th\'eor\`eme $q$-1,
il faudra insister aupr\`es des auteurs pour obtenir la
d\'emonstration de quelques lemmes !

%�����������������������������������
\sectiona 
3. Matrices de chemins
\endsection
\needindenttrue
%
Un {\it chemin} $w$ est un mot dont les lettres sont $a$ et $b$,
qui repr\'esentent respectivement les pas horizontal ``|'' (vers
l'Est) et vertical ``$|$'' (vers le Sud); leurs nombres 
d'occurrences dans $w$ sont not\'es respectivement $|w|_a$ et
$|w|_b$. La longueur d'un chemin $w$ est donc 
$|w|=|w|_a+|w|_b$ (\cf. [Lo]). La {\it direction} de $w$ est
indiqu\'ee par sa derni\`ere lettre; autrement dit, si la derni\`ere
lettre de $w$ est $a$ (resp. $b$), on dit que la {\it direction} de
$w$ est vers l'Est (resp. vers le Sud). Un chemin vide n'a pas de
direction. Ainsi, le mot $w=abbaaba$ repr\'esente le chemin vers
l'Est suivant :
$$
\setbox1=\hbox{\vbox{\hrule height 0.4pt depth 0pt width 6pt}}
\setbox2=\hbox{{\vrule height 0pt depth 6pt width 0.4pt}}
\setbox3=\hbox{{\vrule height 0pt depth 0.4pt width 0pt}}
\setbox4=\hbox{{\vrule height 0pt depth 0pt width 0.4pt}}
%
\offinterlineskip
\hbox{\vbox{\hbox{\vbox{\hbox{\copy1 \vtop{\copy2\copy3 \copy2}}\copy3\copy3}%
\copy1\copy4\copy1\copy2}%
\copy3\copy3}\copy1}
$$

Une matrice dont tous les coefficients sont des chemins et dont
tous les coefficients de la premi\`ere ligne sont des chemins {\it
sans} pas horizontal est dite {\it matrice de chemins}. 
Voici une matrice de chemins $W$ de taille $5\times 4$ :
$$W=
\boxit[2pt]{\hbox{$\matrix{
bb  &  bb & .  &bbb \cr
aaa &aaab &aaa &abba\cr
b   & a   & ab &aaa \cr
b   & a   & aa &aa  \cr
a   &a    &a   &a   \cr}$}}
$$

Sur une matrice de chemins, 
dont la premi\`ere ligne contient au moins un chemin non vide,
on d\'efinit deux algorithmes
fondamentaux : {\it ``marcher"} et {\it ``d\'eplacer"}.

\subsection
``Marcher"
\endsubsection
Imaginons que la matrice de chemins repr\'esente une ville et que
ses coefficients sont des b\^atiments rectangulaires s\'epar\'es par des
rues se coupant en angle droit, comme le montre la figure
ci-apr\`es. Chaque intersection de rues --- \`a l'exclusion de celles
se trouvant le plus \`a droite ou tout en bas --- est munie d'un
panneau de signalisation. On reproduit sur ce panneau le chemin
affect\'e au b\^atiment situ\'e au Sud-Est de cette intersection.
Si le chemin est vide, rien n'est report\'e sur le panneau :
l'intersection ne comporte aucune direction \`a suivre. Dans le cas
contraire, on convient que la {\it direction}  \`a suivre est celle
du chemin reproduit sur le panneau. On fait une promenade dans
cette ville suivant les directions indiqu\'ees par les panneaux.

Le point d'entr\'ee est l'intersection la plus \`a gauche dans la
premi\`ere ligne comportant une direction \`a suivre. Partant de ce
point initial, on parcourt les rues de la ville en respectant
chaque fois les directions \`a suivre. On s'arr\^ete d\`es qu'on atteint
une intersection sans direction. On dit que la ville est {\it bien
faite}, si on s'arr\^ete \`a une intersection de la colonne la plus \`a
droite (sortie de la ville); et qu'elle est {\it mal faite}, dans le
cas de  contraire.
Le parcours ainsi r\'ealis\'e est appel\'e {\it trace} (le grand chemin
dans la figure ci-apr\`es), qui peut \^etre identifi\'e \`a la suite des
directions lues sur chaque panneau. Dans l'exemple suivant la
trace est identifi\'ee au mot $bababaa$.



On d\'efinit enfin deux entiers associ\'es \`a la matrice des
chemins $W$ : le rang $R(W)$ est le nombre de pas verticaux dans
la trace, et la lettre $L(W)$ le nombre de pas verticaux dans les
chemins de la premi\`ere ligne de $W$.

Pour l'exemple pr\'ec\'edent, on a  $R(W)=3$ et $L(W)=7$. La ville et
la trace associ\'ee sont dessin\'ees comme suit :
$$
\vbox{
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(0.04*0.5) ($W$, trace)$=$ \\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\qquad \qquad\picture 186mm by 128mm (villeW) scaled {400}
\endplacelabels }}
$$
%------------------------------------------
\subsection
``D\'eplacer"
\endsubsection
%
Cet algorithme consiste \`a construire une autre matrice de
chemins $U$, \`a partir de $W$, en d\'epla\c cant certains pas d'un
chemin sur un autre. La r\`egle g\'en\'erale est la suivante :

Quand on marche dans une rue horizontale vers l'Est, le
chemin au-dessous de cette rue a toujours la direction ``|"(le
r\`egle de ``marcher"), on d\'eplace ce pas vers le chemin
au-dessus. Autrement dit, soient $\underline w=x_1x_2\cdots x_i$
et $\overline w=y_1y_2\cdots y_ja$ le chemin du haut et celui du
bas de la rue dans laquelle on  marche horizontalement dans
$W$ (voir le dessin ci-apr\`es), 
On d\'efinit les chemins correspondants $\underline u$ et $\overline
u$ de la matrice des chemins $U$ par : 
$\underline
u=x_1x_2\cdots x_ia$ et $\overline u =y_1y_2\cdots y_j$. De la
m\^eme fa\c con, si on marche verticalement vers le Sud, on d\'eplace la
direction ``$|$" du chemin \`a droite vers le  chemin \`a gauche de
cette rue. Les dessins suivants illustrent ces mouvements : $$
\matrix{&W&&U\cr \vspace[5pt]
\hbox to 3cm {\rm pas horizontal : } &\hflright{x_1x_2\cdots
x_i}{y_1y_2\cdots y_ja}{15}  &\Longrightarrow
 &\hflright{x_1x_2\cdots x_ia}{y_1y_2\cdots y_j}{15} \cr
\vspace[20pt]
\hbox to 3cm {\rm pas vertical : } &\vfl{x_1x_2\cdots x_i}{y_1y_2\cdots
y_jb}  &\qquad\Longrightarrow\qquad
 &\vfl{x_1x_2\cdots x_ib}{y_1y_2\cdots y_j} \cr
}
$$
\subsection
Remarques
\endsubsection
Si on marche verticalement dans la rue de la premi\`ere colonne, le
chemin \`a gauche n'existe pas, on supprime donc seulement la
direction du chemin \`a droite; de la m\^eme fa\c con, puisqu'on \'etudie
seulement les matrices dont la premi\`ere ligne ne contient pas de
pas ``|", si on marche dans la rue de la deuxi\`eme ligne, on
supprime simplement la direction du chemin du bas.

{\it  En r\'esum\'e, on obtient une application $\varphi :W\mapsto U$
d\'efinie sur l'ensemble des matrices de chemins bien faites, \`a
valeurs dans l'ensemble des matrices de chemins quelconques.}

Si on reprend la matrice de chemins $W$ pr\'ec\'edente, qui
est bien faite,
la matrice $U$ correspondante se pr\'esente comme suit :
$$
\vbox{
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(0.04*0.5) $U=$ \\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\qquad \qquad\picture 186mm by 128mm (villeU) scaled {400}
\endplacelabels }}
$$
%�������������������������������
\sectiona
4. Bijection entre les matrices de chemins et les tableaux de Young
\endsection
\needindenttrue
%
D'apr\`es la section pr\'ec\'edente, \`a toute matrice de chemins $W$,
on peut faire correspondre un et un seul entier $n\ge 0$, tel que 
les $n$ matrices de chemins $$\varphi ^0(W), \varphi ^1(W), \varphi ^2(W), \cdots,
\varphi ^{n-1}(W)$$  sont bien faites, et tel que $\varphi ^n(W)$ ne l'est pas.
Cette matrice $W$ est dite {\it admissible}, si $\varphi ^n(W)$ est \'egale
\`a la matrice dont tous les chemins sont vides. Dans ce cas, on dit
que le {\it poids} de $W$ est $n$.

\medskip
{\pc D\'efinition|}\pointir
Soient $W=(w_{ij})_{1\leq i \leq l+1, \ 1\leq j \leq c}$ une matrice de chemins de
taille $(l+1)\times c$ et $m\in \M(l,c)$. On dit que $W$ et $m$ sont {\it compatibles} si,
pour tout $1\le j\le c$ et tout $1\le i\le l$, on a
$$
\cases{|w_{i,j}|_b=e_{i,j},\quad  |w_{l+1,j}|_b=0 ;& \cr
|w_{i+1,j}|_a=f_{i,j},   \quad |w_{1,j}|_a=0 ;& \cr
}
$$
o\`u $e,f$ sont les deux escaliers associ\'es \`a $m$.

Par exemple, la matrice de chemins $W$ dans la section pr\'ec\'edente est compatible avec
la matrice admissible $m$ suivante 
(on reproduit aussi les matrices $e$, $E$, $F$ et $f$ pour une
v\'erification directe) :


{%\eightpoint
$$
\matrix{
e = \pmatrix{2&2&0&3\cr 0&1&0&2\cr 1&0&1&0\cr 1&0&0&0\cr}
&
E = \pmatrix{7&5&3&3\cr 3&3&2&2\cr 2&1&1&0\cr 1&0&0&0\cr}
&
m = \pmatrix{7&12&15&18\cr 3&6&8&10\cr 2&3&4&4\cr 1&1&1&1\cr}\cr
%
f = \pmatrix{3&3&3&2\cr 0&1&1&3\cr 0&1&2&2\cr 1&1&1&1\cr}
&
F=\pmatrix{4&6&7&8\cr 1&3&4&6\cr 1&2&3&3\cr 1&1&1&1\cr}
&\cr
}
$$
}


\th Lemme 2
\enonce Si la matrice de chemins $W$ est compatible avec une
matrice centrale admissible non nulle $m$, alors $W$ est bien
faite. De plus, $\varphi (W)$ est compatible avec une autre matrice
centrale admissible $m'$ telle que
$$
\hbox{poids}(W)=\hbox{poids}(m)=\hbox{poids}(\varphi (W))+1
=\hbox{poids}(m')+1. 
$$
\endth

\dem
(i) Il faut d\'emontrer qu'on n'arrive jamais \`a une intersection sans
direction avant de sortir de la ville.
Soient $e,f$ les deux escaliers associ\'es \`a $m$ et $e_{ij}=f_{i-1,j}=0$. On
reproduit les matrices $e$, $E$, $m$ et $f$ dans un cas arbitraire,
 mais on inscrit seulement la partie utile autour des coefficients
d'indices $i,j$. ($f_{i-1,j}=y$ et $e_{ij}=\beta - \beta'$) :
$$
\matrix{
e = \pmatrix{
*&\alpha-\alpha'&*\cr *&\beta-\beta'&*\cr *&\gamma-\gamma'&*\cr}
&
E = \pmatrix{
*&\alpha&\alpha'\cr *&\beta&\beta'&\cr *&\gamma&\gamma'&\cr}
\cr
m=\pmatrix{
A&A+\alpha&A+\alpha+\alpha'\cr B&B+\beta&B+\beta+\beta'\cr
C&C+\gamma&C+\gamma+\gamma'\cr}
&
f=\pmatrix{x&y&z\cr *&*&*\cr *&*&*\cr}
\cr}
$$
Les conditions peuvent \^etre rassembl\'ees ainsi :
$$\system{
A-2B+C&               &           &=x &\geq 0 \cr
A-2B+C&+\alpha-2\beta+\gamma&     &=y &=0     \cr
A-2B+C&+\alpha-2\beta+\gamma&+\alpha'-2\beta'+\gamma'& =z&\geq 0 \cr
\beta-\beta'&&&=0& \cr
}$$
\noindent
cela implique 
$\alpha+\gamma\leq 2\beta =2\beta'\leq  \alpha'+\gamma'$;
d'o\`u $\alpha=\alpha'$ et $\beta=\beta'$.
De plus, on a $x=0$ et $z=0$.
Autrement dit,  le chemin situ\'e
au-dessus ou au-dessous (resp. \`a gauche ou \`a droite) d'un
chemin vide n'a pas de pas vertical (resp. horizontal). D'o\`u $W$ est bien
faite.

(ii) D'apr\`es la construction de $\varphi (W)$, il est facile d'obtenir 
explicitement une matrice centrale admissible $m'$ compatible avec $\varphi (W)$,
\`a partir de $m$. La trace de $W$ s\'epare $W$ en deux parties. Si $(i,j)$
est un point dans la partie sup\'erieure-droite (resp.
inf\'erieure-gauche), on pose $m'_{i,j}=m_{i,j}-1$ (resp.
$m'_{i,j}=m_{i,j}$). Le dessin suivant aide \`a v\'erifier que $m'$
et $\varphi (W)$ sont compatibles : 
{
\def\+{\hbox{$\scriptscriptstyle +$}}
\def\-{\hbox{$\scriptscriptstyle -$}}
\def\pppp{$\smallmatrix{\+\cr\+ \cr\+\cr\+\cr}$}
\def\mmmm{$\smallmatrix{\-\cr\- \cr\-\cr\-\cr}$}
$$
\vbox{
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
% pour e E
(0.06*0.740) $e$ \\
(0.055*0.940)\pppp \\
(0.088*0.940)\mmmm \\
(0.135*0.840)\pppp \\
(0.167*0.840)\mmmm \\
(0.43*0.740) $E$ \\
(0.435*0.940)\mmmm \\
(0.514*0.840)\mmmm \\
% pour m
(0.78*0.740) $m$ \\
(0.782*0.940)\mmmm \\
(0.808*0.940)\mmmm \\
(0.834*0.940)\mmmm \\
(0.861*0.940)\mmmm \\
(0.887*0.940)\mmmm \\
(0.913*0.940)\mmmm \\
(0.939*0.940)\mmmm \\
(0.965*0.940)\mmmm \\
%
(0.861*0.840)\mmmm \\
(0.887*0.840)\mmmm \\
(0.913*0.840)\mmmm \\
(0.939*0.840)\mmmm \\
(0.965*0.840)\mmmm \\
%
(0.861*0.894)\- \\
(0.887*0.894)\- \\
(0.913*0.894)\- \\
(0.939*0.894)\- \\
(0.965*0.894)\- \\
% pour V
(0.43*0.400) $V$ \\
(0.435*0.570)\- \\
(0.515*0.570)\+ \\
(0.515*0.460)\- \\
%pour F
(0.78*0.400) $F$ \\
(0.783*0.570)\- \\
(0.809*0.570)\- \\
(0.835*0.570)\- \\
%
(0.863*0.460)\- \\
(0.889*0.460)\- \\
(0.915*0.460)\- \\
(0.941*0.460)\- \\
(0.967*0.460)\- \\
%pour f
(0.78*0.05) $f$ \\
(0.783*0.212)\- \\
(0.809*0.212)\- \\
(0.835*0.212)\- \\
%
(0.863*0.118)\- \\
(0.889*0.118)\- \\
(0.915*0.118)\- \\
(0.941*0.118)\- \\
(0.967*0.118)\- \\
%
(0.783*0.232)\+ \\
(0.809*0.232)\+ \\
(0.835*0.232)\+ \\
%
(0.863*0.138)\+ \\
(0.889*0.138)\+ \\
(0.915*0.138)\+ \\
(0.941*0.138)\+ \\
(0.967*0.138)\+ \\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 200mm by 200mm (six) scaled {500}
\endplacelabels }}
$$
}

Nous \'enon\c cons maitenant un crit\`ere d'admissibilit\'e utile.
\th Th\'eo\`eme 3
\enonce Une matrice de chemins $W$ est admissible, si et seulement
si elle est compatible avec une matrice centrale admissible $m$.
\endth
\dem
(i) La partie ``si". Si $m$ est nulle, alors $W$ est admissible
avec le poids $n=0$; sinon, d'apr\`es le lemme pr\'ec\'edent, on sait
que $\varphi (W)$ est compatible avec une autre matrice admissible
$m'$. Puisque le poids  diminue strictement, on obtient forc\'ement la
matrice nulle en it\'erant  l'application $\varphi $ un nombre fini de fois.

(ii) La partie ``seulement si". Si $W$ est admissible, alors
$\varphi (W)$ l'est aussi. D'apr\`es  l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, $\varphi (W)$ est
compatible avec une matrice admissible $m'$.  On construit la
matrice $m$ \`a partir de $m'$ en appliquant 
l'inverse de l'algorithme d\'ecrit 
dans  la partie (ii) de la d\'emonstration du lemme pr\'ec\'edent.
\cqfd

Soient $W$ une matrice de chemins admissible
de poids $n$. Pour tout $1\le i\le n$, on note $L_i=L(\varphi ^{i-1}(W))$
et $R_i=R(\varphi ^{i-1}(W))$ la lettre et le rang de la matrice de
chemins $\varphi ^{i-1}(W)$, respectivement. On obtient ainsi 
un bimot 
$$
\pmatrix{R\cr L\cr}=\pmatrix{R_1  R_2 \cdots  R_n\cr
L_1  L_2  \cdots  L_n\cr }. 
$$
Il est clair que le mot du bas $L$ est faiblement
d\'ecroissant. 
En utilisant la commutation de
Cartier-Foata [CF] (consistant \`a permuter deux
colonnes cons\'ecutives si les deux lettres du haut sont
diff\'erentes), on peut envoyer le bimot 
 $\eightpoint \pmatrix{ R\cr
 L\cr}$
sur le bimot
$\eightpoint \pmatrix{ R\cr
 L\cr}$
dont le mot du haut $\widetilde  R$ est
faiblement croissant.
On a le r\'esultat suivant :  
\th Th\'eor\`eme 4 
\enonce 
Le retournement du mot $\widetilde  L$
est un tableau de Young $t$. La lettre $L_i$ figure sur la ligne
$R_i$ dans $t$.  De plus, si $W$ est compatible avec la matrice
centrale admissible $m$, alors $t$ et $m$ ont la m\^eme forme et
la m\^eme \'evaluation. 
\endth
Avant de d\'emontrer ce th\'eor\`eme, donnons  un exemple
qui utiliser de nouveau la matrice de chemins $W$ 
de la
section 3, qui est compatible avec la matrice $m$ de la section~4.
La forme et l'\'evaluation de $m$ sont respectivement $\lambda =8,6,3,1$ et
$\mu =4,4,4,2,2,1$. La figure suivante donne le calcul complet 
permettant de trouver le bimot 
$$ \pmatrix{R\cr L\cr}=
\pmatrix{341223112312221111\cr 765544333322221111\cr}.
$$
%------- Pour  les  19  matrices de chemins -----------------------
$$
\leftput(1,9.5){\lline(0,-1){2.9}}
\leftput(1,6.6){\lline(1,0){5}}
\leftput(6,6.6){\lline(0,-1){2.4}}
\leftput(6,4.2){\lline(1,0){7}}
\leftput(13,4.2){\lline(0,-1){2.3}}
\leftput(13,1.9){\lline(1,0){12}}
%
\leftput(27,9.5){\lline(0,-1){10}}
\leftput(27,-0.5){\lline(1,0){24.5}}
%
\leftput(58,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(58,6.6){\lline(1,0){19.6}}
%
\leftput(80,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(80,6.6){\lline(1,0){13.5}}
\leftput(93.5,6.6){\lline(0,-1){2.3}}
\leftput(93.5,4.2){\lline(1,0){6.5}}
%
\smallmatrix{
\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
bb  &  bb & .  &bbb \cr
aaa &aaab &aaa &abba\cr
b   & a   & ab &aaa \cr
b   & a   & aa &aa  \cr
a   &a    &a   &a   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   &  bb & .  &bbb \cr
aab &aaaa &aaa &abba\cr
b   & b   & aa &aaaa \cr
b   & a   & a  &a   \cr
a   &a    &a   &a   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &  bb & .  &bbb \cr
aa  &aaaa &aaa &abba\cr
.   & b   & aa &aaaa \cr
a   & aa  & aa &aa  \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   &  b & .  &bbb \cr
aa  &aaa &aa  &abb \cr
.   & b   & aa &aaaa \cr
a   & aa  & aa &aa  \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}            \cr \cr
L=7,\ R=3& L=6,\ R=4 & L=5,\ R=1& L=5,\ R=2 \cr
}$$
\vskipm
$$\leftput(3,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(3,6.6){\lline(1,0){4}}
\leftput(7,6.6){\lline(0,-1){2.4}}
\leftput(7,4.2){\lline(1,0){9.5}}
%
\leftput(18.7,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(18.7,6.6){\lline(1,0){2.3}}
\leftput(21,6.6){\lline(0,-1){5}}
\leftput(21,1.6){\lline(1,0){15}}
%
\leftput(47,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(47,6.6){\lline(1,0){6.5}}
%
\leftput(61,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(61,6.6){\lline(1,0){9.5}}
%
\leftput(74.5,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(74.5,6.6){\lline(1,0){7}}
\leftput(81.5,6.6){\lline(0,-1){2.4}}
\leftput(81.5,4.2){\lline(1,0){5.3}}
%
\leftput(89,9.3){\lline(0,-1){7.4}}
\leftput(89,1.9){\lline(1,0){13}}
%
\smallmatrix{
\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &  b & .  &bbb \cr
a   &aa &ab  &aba \cr
.   & b   & aa &aaa \cr
a   & aa  & aa &aa  \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   & . & .  &bbb \cr
a   &ab &aa  &abaa \cr
.   & b   & a  &aa  \cr
a   & aa  & aa &aa  \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   & . & .  &bbb \cr
b   &a  &aa  &abaa \cr
b   & a   & aa &aaa \cr
a   & a   & a  &a   \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   & . & b  &bb  \cr
b   &a  &aa  &aba  \cr
b   & a   & aa &aaa \cr
a   & a   & a  &a   \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   & b & .  &bb  \cr
b   &a  &a   &ab   \cr
b   & a   & aa &aaa \cr
a   & a   & a  &a   \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   & . & .  &bb  \cr
b   &.  &b   &aa   \cr
b   & a   & aa &aa  \cr
a   & a   & a  &a   \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}                        \cr \cr
L=4,\ R=2& L=4,\ R=3 & L=3,\ R=1& L=3,\ R=1
&L=3,\ R=2&L=3,\ R=3\cr }
$$
\vskipm
%
$$
\leftput(12.5,9.3){\lline(0,-1){2.7}}
\leftput(12.5,6.6){\lline(1,0){5.5}}
%
\leftput(28,9.3){\lline(0,-1){5}}
\leftput(28,4.3){\lline(1,0){9.5}}
%
%
\leftput(42.5,9.3){\lline(0,-1){5}}
\leftput(42.5,4.3){\lline(1,0){11.8}}
%
\leftput(56.5,9.3){\lline(0,-1){5}}
\leftput(56.5,4.3){\lline(1,0){14}}
%
\leftput(87,9.1){\lline(0,-1){2.6}}
\leftput(87,6.5){\lline(1,0){5}}
%
\smallmatrix{
\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   & . & .  &bb  \cr
.   &.  &b   &aa   \cr
a   & aa  &aaa &aaa \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   & . & b  &b  \cr
.   &.  &b   &a   \cr
a   & aa  &aaa &aaa \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}} 
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &b  & .  &b  \cr
.   &b  &a   &aa  \cr
a   & aa  &aa  &aa  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   &.  & .  &b  \cr
b   &a  &aa  &aaa \cr
a   & a   &a   &a   \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &.  & .  &b  \cr
a   &aa &aaa &aaaa \cr
.   & .   &.  &.  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\qquad \cr \cr
 L=2,\ R=1& L=2,\ R=2 &L=2,\ R=2& L=2,\ R=2 & L=1,\ R=1&\qquad
\cr }$$
\vskipm
$$
\leftput(7.5,9.1){\lline(0,-1){2.6}}
\leftput(7.5,6.5){\lline(1,0){10.5}}
%
\leftput(23,9.1){\lline(0,-1){2.6}}
\leftput(23,6.5){\lline(1,0){11.5}}
%
%
\leftput(37.5,9.1){\lline(0,-1){2.6}}
\leftput(37.5,6.5){\lline(1,0){9.7}}
%
\smallmatrix{
\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &.  & b  &.  \cr
a   &aa &aaa &aaa  \cr
.   & .   &.  &.  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &b  & .  &.  \cr
a   &aa &aa  &aa   \cr
.   & .   &.  &.  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
b   &.  & .  &.  \cr
a   &a  &a   &a    \cr
.   & .   &.  &.  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}
&\boxit[2pt]{\hbox{$\smallmatrix{
.   &.  & .  &.  \cr
.  &.  &.   &.    \cr
.   & .   &.  &.  \cr
.   &.   & .  &. \cr
.   &.    &.   &.   \cr}$}}  
&\qquad\qquad\qquad  \qquad\qquad\qquad    \cr \cr
L=1,\ R=1&L=1,\ R=1& L=1, R=1 & & \cr
}$$
%---------------------------------------------------------------------
On a ainsi 
$$
\pmatrix{\widetilde  R\cr \widetilde  L\cr}=
\pmatrix{111111112222223334\cr 533211115432227436\cr}.
$$
Le retournement de $\widetilde  L$ fournit le le tableau de Young :
$$
t=634722234511112335=\matrix{
6& & & & & & & & &\cr
3&4&7& & & & & & &\cr
2&2&2&3&4&5& & & &\cr
1&1&1&1&2&3&3&5& &\cr
}
$$
On v\'erifie que $t$ est de forme $\lambda $ et d'\'evaluation $\mu $.

\dem
Par r\'ecurrence, on suppose que $\varphi (W)$ correspond au tableau $t'$.
On ajoute maintenant la lettre $L_1$ \`a la fin de la ligne $R_1$
dans le tableau $t'$ et l'on obtient un objet $t$.
D'une part, on v\'erifie facilement que la ``forme" de $t$ est la forme
de la matrice $m$. D'autre part, la lettre $L_1$ est la plus grande
lettre (faiblement) dans $t$. De plus, si
$L_1=L_2=\cdots=L_k$, alors $R_1\le R_2\le \cdots\le R_k$ (v\'erifier !).
On a donc ajout\'e une plus grande lettre \`a une ligne plus
bas que les autres grandes lettres. Ainsi, on sait que $t$ est un
tableau de Young.
\cqfd

{\it En r\'esum\'e, on obtient  une application $\psi :W\mapsto t$ d\'efinie
sur l'ensemble des matrices de chemins admissibles, \`a valeurs
dans l'ensemble des tableaux de Young $\T$. } 


On note $\C(l,c)$ l'ensemble des
matrices de chemins compatibles avec une matrice $m\in\M(l,c)$.
Soient $l^*\ge l$ et $c^*\ge c$ deux entiers,  on peut v\'erifier qu'il
existe une {\it injection canonique} satisfaisant le diagramme
commutatif suivant :  
$$
\leftput(18,8){\vector(-1,-1){11}}
\matrix{
&&\C(l,c) & \hflright{\hbox{\quad compatibilit\'e\quad }}{}{5}
&\M(l,c)\cr 
\vspace[5pt]
&\qquad {}^\psi &\vfl{}{\matrix{\hbox{injection}\cr
\vspace[-3pt]\hbox{canonique}\cr}} &&
\vfl{}{\matrix{\hbox{injection de}\cr
\vspace[-3pt]\hbox{la section 2}\cr}}\qquad \cr
\vspace[5pt] 
\T&\hflleft{\psi }{}{10}&\C(l^*, c^*) &
\hflright{\hbox{\quad compatibilit\'e\quad}}{}{5}&\M(l^*, c^*)  \cr} 
$$

On forme la limite inverse
$\displaystyle \C=\lim_{{}^{\leftarrow}_{l,c}}    \C(l,c)$.
Soient $\lambda ,\mu $ deux partitions, on note $\C_{\lambda ,\mu }$
l'ensemble des \'el\'ements de $\C$ compatibles avec une
matrice $m\in \M_{\lambda ,\mu }$.
\th th\'eor\`eme 5
\enonce L'application $\psi $ est une bijection de $C_{\lambda ,\mu }$ sur
$\T_{\lambda ,\mu }$, o\`u $\T_{\lambda ,\mu }$ est l'ensemble de tableaux de
Young de forme $\lambda $ et d'\'evaluation $\mu $.
\endth
\dem
Il suffit de montrer que $\psi $ est inversible. Pour tout $t\in
\T_{\lambda ,\mu }$, il est facile de  construire le bimot $\eightpoint
\pmatrix{\widetilde R\cr \widetilde L\cr}$. On retrouve le
bimot $\eightpoint  \pmatrix{ R\cr L\cr}$ en utilisant la
commutation de Cartier-Foata tel que le mot du bas $L$ est
faiblement d\'ecroissant. Maintenant, on prend une matrice de
chemins vide de ``grande taille" ayant  par exemple  $|L|$ lignes
et $|L|$ colonnes. Pour une taille fix\'ee, les deux algorithmes
``marcher" et ``d\'eplacer" sont inversibles. On peut ainsi
reconstruire la matrice de chemins $W$ de taille fix\'ee qui
peut \^etre  identifi\'ee \`a un \'el\'ement de $\C_{\lambda ,\mu }$.
\cqfd

D'apr\`es cette bijection $\psi $, puisque le nombre de matrices
de chemins compatibles avec $m\in \M_{\lambda ,\mu }$ n'est d'autre
que $K_m$, on a 
$$
K_{\lambda ,\mu }=\# \T_{\lambda ,\mu } =\# \C_{\lambda ,\mu } =\sum_{m\in
\M_{\lambda ,\mu }}K_m. 
$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration du th\'eor\`eme 1.

%���������������������������������
\vfill\eject
\vglue 44pt
{\eightpoint
\centerline{R\'EF\'ERENCES}
\vskip 10pt

\livre CF|P. {\pc Cartier|}, D. {\pc Foata|}|Probl\`emes combinatoires de
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{\oldstyle 1979}|

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%��������������������������������������
\bigskip\bigskip\bigskip

\rightline{\vtop{\hbox{Guo-Niu {\pc Han|},}
             \hbox{Institut de Recherche Math\'ematique Avanc\'ee, }
              \hbox{ULP et CNRS,}
              \hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,}
             \hbox{F-67084 Strasbourg, France.}
            \hbox{email : {\eightrm guoniu@math.u-strasbg.fr}}}
\quad}


%��������������������������������
\end
