\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\title{Spur-kompatible Polynomfolgen \"uber endlichen K\"orpern}
\author{Alfred Scheerhorn\\
Deutsche Bundespost Telekom\\
	 Forschungs- und Technologiezentrum, FZ 123b\\
	 64276 Darmstadt\\
	 Germany}
\date{ }

% Abk\"urzungen
\def\N{\hbox{\rm I\kern-0.2em N}}
\def\Z{\hbox{\rm Z\kern-0.3em Z}}

\renewcommand{\gcd}{\hbox{\rm ggT}}
\newcommand{\lcm}{\hbox{\rm kgV}}
\newcommand{\Char}{\hbox{\rm char}}
\newcommand{\AI}{(\alpha_n)_{n\in I}}
\newcommand{\Sub}[2]{\scriptsize{\begin{array}{c} #1\\ #2 \end{array}}}
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\newcommand{\rf}[1]{(\ref{#1})}

\newtheorem{theorem}{Satz}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{corollary}[lemma]{Korollar}

\hyphenation{end-licher Ele-men-tes Ele-men-te-fol-gen un-gera-der
selbst-reziprok}

\maketitle

\section{Einf\"uhrung}

Spur-kompatible Polynomfolgen \"uber endlichen K\"orpern finden
Anwendung in
der Computeralgebra bei der Implementierung des
algebraischen Abschlusses endlicher K\"orper (siehe \cite{dis}).
Es wird beschrieben,
wie in einigen speziellen F\"allen sehr schnell spur-kompatible Folgen
erzeugt werden k\"onnen. Die Beweise s\"amtlicher hier auf\-ge\-f\"uhr\-ter
S\"atze findet man in \cite{dis}.

Die Definition des Begriffes Spur-Kompatibilit\"at erfordert einige
Vorbereitungen.
Es bezeichne $q>1$ eine Primzahlpotenz und $K=\GF(q)$ den endlichen
K\"orper der Ordnung $q$.
Sei $\alpha$ ein Element des Erweiterungsk\"orpers $E=\GF(q^m)$,
$m\in\N$, und $E$ die kleinste Erweiterung von $\GF(q)$, die $\alpha$
enth\"alt.
Die Elemente
\[
\alpha,\alpha^q,\ldots,\alpha^{q^{m-1}}
\]
hei{\ss}en die {\em Konjugierten} von $\alpha$ \"uber $\GF(q)$.
Die {\em Spur} $\T_{E/K}(\alpha)$ von $\alpha$ \"uber $\GF(q)$
ist definiert als die Summe der Konjugierten von $\alpha$ \"uber $\GF(q)$:
\[
\T_{E/K}(\alpha) = \sum_{i=0}^{m-1}\alpha^{q^i}.
\]
Eine Basis $\{\alpha,\alpha^q,\dots,\alpha^{q^{m-1}}\}$ von $\GF(q^m)$
\"uber $\GF(q)$,
die aus den Konjugierten eines Elements $\alpha\in\GF(q^m)$ besteht,
wird {\em Normalbasis} genannt. Erzeugt $\alpha$ eine Normalbasis von
$\GF(q^m)$ \"uber $\GF(q)$, dann hei{\ss}t $\alpha$
{\em normal} in $\GF(q^m)$ \"uber $\GF(q)$.
Mit $\alpha$ wird auch das Minimalpolynom
\[
f(X)=\prod_{i=0}^{m-1}(X-\alpha^{q^i})\in\GF(q)[X]
\]
von $\alpha$ \"uber $\GF(q)$ normal genannt.

Zur die Definition der Kompatibilit\"at sei
$I$ eine unter Teilbarkeit abgeschlossenen Menge nat\"urlicher Zahlen,
d.h. mit $n\in I$ geh\"oren auch alle Teiler von $n$ zu $I$.

\begin{definition}
Eine Folge $\AI$ von Elementen  $\alpha_n\in\GF(q^n)$ hei{\ss}t
{\em spur-kom\-pa\-ti\-bel} \"uber $\GF(q)$,
wenn f\"ur alle $n\in I$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $\alpha_n$ ist normal in $\GF(q^n)$ \"uber $\GF(q)$ und
\item F\"ur alle Teiler $d$ von $n$ gilt f\"ur die Spur
$\T_{n:d}(\alpha_n)$ von $\GF(q^n)$ auf $\GF(q^d)$:
\[ \T_{n:d}(\alpha_n)=\alpha_d. \]
\end{enumerate}
Eine Folge $(f_n)_{n\in I}$ von Polynomen
$f_n\in\GF(q)[X],\ \deg(f_n)=n$, hei{\ss}t
{\em spur-kom\-pa\-ti\-bel} \"uber $\GF(q)$,
wenn f\"ur alle $n\in I$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $f_n$ ist normal \"uber $\GF(q)$  und
\item F\"ur jede Wurzel $\alpha\in\GF(q^n)$ von $f_n$ ist die Spur
$\T_{n:d}(\alpha)$ von $\alpha$ \"uber $\GF(q^d)$ eine Wurzel von $f_d$,
f\"ur alle Teiler $d$ von $n$.
\end{enumerate}
\end{definition}
Die Existenz spur-kompatibler Elementefolgen
$(\alpha_n)_{n\in{\N}}$ wird in \cite{S91} bewiesen.

Sei nun $(\alpha_n)_{n\in{\N}}$ spur-kompatible \"uber
$\GF(q)$.
Wenn man f\"ur alle $n\in\N$ die Elemente von $\GF(q^n)$
bez\"uglich der von  $\alpha_n$ erzeugten Normalbasis darstellt,
erh\"alt man leicht berechenbare Einbettungen zwischen den
Normalbasis-Darstellungen verschiedener Erweitrungen:
$\gamma\in\GF(q^d)$ habe die Darstellung
\[
\gamma=\sum_{i=0}^{d-1}c_i\alpha_d^{q^i},\ \ c_i\in\GF(q),
\]
bez\"uglich der von $\alpha_d$ erzeugten Normalbasis.
Wegen \[
\T_{m:d}(\alpha_m)=\sum_{j=0}^{(m/d)-1}\alpha^{q^{dj}}=\alpha_d,
\]
folgt nun
\[
\gamma=\sum_{i=0}^{d-1}c_i\T_{m:d}(\alpha_m)^{q^i}=
\sum_{i=0}^{d-1}c_i\sum_{j=0}^{(m/d)-1}\alpha_m^{q^{jd+i}}=
\sum_{i=0}^{m-1}c_{(i\ \bmod\ d)}\alpha_m^{q^i}.
\]
Die Einbettung der Normalbasis-Darstellung von $\GF(q^d)$ in
die von $\GF(q^m)$ \mbox{entspricht} somit einer $(m/d)$-fachen
Konkatenation des Koordinatenvektors $(c_0,c_1,\dots,c_{d-1})$ von
$\gamma$.


Mit dem folgendem Satz l\"a{\ss}t sich die Bestimmung eines spur-kompatiblen
Elementes in $\GF(q^n)$, $n=\prod p^{e_p}$, reduzieren auf
die Bestimmung  spur-kompatibler Elemente in den Erweiterungen
der Primzahlpotenzgrade $p^{e_p}$ \"uber $\GF(q)$.

\begin{theorem}
F\"ur Primzahlen $p$ seien bereits spur-kompatible Elementefolgen
$(\alpha_{p^e})_{e\geq 0}$ \"uber $\GF(q)$ gegeben.
Dann ist die Folge $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ spur-kompatibel \"uber $\GF(q)$,
wenn  f\"ur alle zusammengesetzten $n\in\N$ mit der Primfaktorisierung
$n=\prod_{i=1}^rp_i^{e_i}$ definiert wird:
\[
\alpha_n=\alpha_1^{1-r}\prod_{i=1}^r\alpha_{p_i^{e_i}}.
\]
\end{theorem}

In \cite{dis} Kapitel 2.6 wird ein Algorithmus zur
Berechnung spur-kompatibler Elementefolgen $(\alpha_{p^e})_{e\geq 0}$,
$p$ prim, \"uber $\GF(q)$ beschrieben, der eine Komplexit\"at von
$O(m^3\log m\log q)$ $\GF(q)$-Operationen hat.
Wir beschreiben im folgenden, wie f\"ur spezielle Paare $(q,p)$
auf einfachere Weise  spur-kompatible Folgen berechnet werden k\"onnen.

\bigskip

\section{Der Fall $\Char(\GF(q))=p$}

Diese Situation ist aus der Artin-Schreier-Theorie wohl\-be\-kannt.
Die Untersuchungen orientieren sich an Trinomen der Form
\[
X^p-X-\alpha.
\]
Hier gilt ein sehr einfaches Normalit\"atskriterium: Ein Element
$\alpha_n$ vom Grad $p^n$ \"uber $\GF(q)$ ist genau dann normal \"uber
$\GF(q)$, wenn die Spur von $\alpha_n$ \"uber $\GF(q)$ ungleich $0$ ist.
Diese Spur ist am Minimalpolynom von $\alpha_n$ \"uber
$\GF(q)$ ablesbar.

Zur Beschreibung des folgenden Ergebnisses ben\"otigen wir
{\em reziproke} Polynome.
F\"ur $f(X)=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots+a_1X+a_0$ aus $\GF(q)[X]$
hei{\ss}t
\[
f^*(X):=\frac{1}{a_0}(a_0X^m+a_1X^{m-1}+\ldots+a_{m-1}X+1)=
\frac{1}{a_0}X^mf(\frac{1}{X})
\]
das zu $f$ reziproke Polynom.

\begin{theorem}\label{spur-kompp3}
Sei $K=\GF(q)$ ein endlicher K\"orper der Charakteristik $p$
und $\beta_0\in K$ mit absoluter Spur $\T_K(\beta_0)\neq 0$ und
$\T_K(\beta_0^{-1})\neq 0$.
Weiter sei $f_1(X)=X^p-X-\beta_0^{-1}\in K[X]$.
F\"ur $n>0$ definieren wir bei ungeradem $p$ rekursiv jedes
Polynom $g_n\in K[X]$
durch Wahl einer der drei M\"oglichkeiten
\begin{enumerate}
\item $ g_n(X)=-f_n^*(-1-X)$ oder
\item $ g_n(X)=-f_n^*(1-X)$ oder
\item $ X^{p^n}g_n(X-X^{-1}) = -f^*(-X)f(X)$,
\end{enumerate}
f\"ur $p=2$ definieren wir $g_n(X)=f_n^*(X+1)$.
Unabh\"angig von der Charakteristik sei
$f_{n+1}\in K[X]$ durch $f_{n+1}(X)=g_n^*(X^p-X)$ definiert.
Dann ist die Folge von Polynomen $(g_n)_{n\geq 1}$ spur-kompatibel
\"uber $K$.
\end{theorem}

Auf die folgende Weise l\"a{\ss}t sich ein Element
$\beta_0\in K=\GF(p^r)$ berechnen, dessen absolute Spur
$\T_K(\beta_0)\neq 0 \neq \T_K(\beta_0^{-1})$ ist:

Gilt $\gcd(p,r)=1$, dann w\"ahlen wir $\beta_0=1\in K$ und haben
$\T_K(\beta_0) = \T_K(\beta^{-1}_0) = r \neq 0$.

Gilt $\gcd(p,r)>1$ dann sei $r=p^su$ mit $\gcd(u,p)=1$.
Jetzt liefert uns Satz~\ref{spur-kompp3} angewandt auf $K=\GF(p^u)$ und
$\beta_0=1$ ein Polynom $g_s\in \GF(p^u)[X]$, dessen Wurzeln in
$\GF(p^r)$ die gew\"unschten Bedingungen erf\"ullen.


\bigskip

\section{Der Fall $p=2$, $q$ ungerade}

F\"ur geeignete Polynome $f_1\in\GF(q)[X]$ vom Grad 2 sind alle Polynome
der Folge $(f_n)_{n\geq 1}$, definiert durch
\[
f_{n+1}(X)=(2X)^{2^n}f_{n}(\frac{X+X^{-1}}{2}), \ \ n\geq 1,
\]
irreduzibel \"uber $\GF(q)$ (vergleiche {\lit Cohen} \cite{Co91}).
In \cite{dis} Kapitel 3.3 wird gezeigt, da{\ss} die Polynome dieser Folge
(bei geeignetem $f_1$)
f\"ur $q\equiv \pm 3\bmod 8$ und $q\equiv 9\bmod 16$ normal
\"uber $\GF(q)$ sind. Durch eine leichte Ab\"anderung der
obigen Rekursionsvorschrift zu
\[
g_{n+1}(X)=X^{2^n}g_n(X+2^{-2n}X^{-1}), \ \ n\geq 1,
\]
erh\"alt man (bei geeignetem $g_1$) in den angegebenen F\"allen
eine spur-kompatible Polynomfolge.
Wir vermuten, da{\ss} das dieses Verfahren unabh\"angig von $q$ in
ungerader Charakteristik eine spur-kompatible Polynomfolge liefert.

\begin{theorem}\label{twotrcomp}
Sei $q\equiv\pm 3\bmod 8$ oder $q\equiv 9 \bmod 16$ und sei
$g_1\in \GF(q)[X]$ normiert, irreduzibel vom Grad 2 und
normal \"uber $\GF(q)$. Im Falle $q\equiv 1\bmod 4$
sei $g_1$ selbstreziprok gew\"ahlt.
Weiter sei $g_1(1)g_1(-1)$ kein Quadrat in $\GF(q)$.
Dann ist die Folge $(g_n)_{n\geq 1}$, definiert durch
\[
g_{n+1}(X) = X^{2^n} g_n(X+2^{-2n}X^{-1}),\ \ n\geq 1,
\]
spur-kompatibel \"uber $\GF(q)$.
\end{theorem}
An der folgenden \"Uberlegung erkennt man, da{\ss} es Startpolynome
$f=g_1$ f\"ur solche Folgen gibt.
\begin{itemize}
\item
Sei $q\equiv 1 \bmod 4$. Es gibt nach {\lit Cohen} \cite{Co69}
$(q-1)/2$ selbstreziproke, irreduzible, normierte Polynome vom Grad $2$
\"uber $\GF(q)$. Zu diesen Polynomen geh\"ort nicht $(X^2+1)$,
da $-1$ ein Quadrat in $\GF(q)$ ist.
Deshalb sind alle irreduziblen Polynome der Art
$f(X)=X^2+aX+1$ normal \"uber $\GF(q)$, d.h.~es gilt $a\neq 0$.
Wegen der Irreduzibilit\"at von $f$ ist $4-a^2=f(1)f(-1)$ kein
Quadrat in $\GF(q)$.
\item
Sei $q\equiv 3 \bmod 4$. Dann gibt es keine selbstreziproken,
irreduziblen,
normierten Polynome $f$ vom Grad $2$ \"uber $\GF(q)$, f\"ur die
$f(1)f(-1)$ kein Quadrat in $\GF(q)$ ist.
Denn $f(X)=X^2+aX+1$ ist genau dann irreduzibel, wenn $a^2-4$ kein
Quadrat in $\GF(q)$ ist. Damit ist aber $-(a^2-4)=f(1)f(-1)$
ein Quadrat in $\GF(q)$.

Sei nun $f(X)=X^2+aX+b$ irreduzibel und $f(1)f(-1)$ kein Quadrat
in $\GF(q)$.
Dann ist $f$ auch schon normal \"uber $\GF(q)$, denn $a=0$ w\"urde
$f(1)f(-1)=(1+b)^2$ implizieren.
Die Anzahl der gesuchten Polynome $f$ stimmt \"uberein
mit der Anzahl selbstreziproker, irreduzibler, normierter
Polynome vom Grad $4$ \"uber $\GF(q)$, die nach {\lit Cohen} \cite{Co69}
durch $(q^2-1)/4$ gegeben ist.
\end{itemize}


\bigskip

\section{Der Fall $p|(q-1)$, wobei $q\equiv 1\bmod 4$, falls $p=2$}

F\"ur $n\geq 0$ bezeichne $\xi_n$ eine primitve $p^n$-te
Einheitswurzel \"uber $\GF(q)$ mit
\[
\xi_{n+1}^p=\xi_n\ \ \hbox{und} \ \ K_n:=\GF(q^{p^n}).
\]
Sei $r$ der Exponent von $p$ in $(q-1)$:
\[
q-1=p^ru,\ \ \gcd(p,u)=1.
\]
Dann gilt $\xi_1,\ldots,\xi_r\in\GF(q)$ und nach
\cite{LN83} Theorem~3.75 ist $X^{p^n}-\xi_r$ f\"ur
alle $n\geq 0$ irreduzibel \"uber $\GF(q)$, so da{\ss}
\[
\xi_{r+n}\in K_n \ \ \hbox{und} \ \ K_{n+1}=K_n(\xi_{n+1+r}).
\]
Nun gilt
\begin{lemma}\label{pq4spur}
F\"ur alle $n\geq 1$ ist $(\xi_{n+r}-1)^{-1}$ normal in $K_n$ \"uber
$\GF(q)$ mit der Spur
\[
\T_{K_n/K_{n-1}}\big(\frac{1}{\xi_{n+r}-1}\big)=
p\frac{1}{\xi_{n-1+r}-1}.
\]
\end{lemma}
Diese Lemma erlaubt die Konstruktion spur-kompatibler Folgen mit
\begin{theorem}\label{pq5s1}
Die Folge $(\gamma_n)_{n\geq 0}$, definiert durch
\[
\gamma_n=\frac{1}{p^n}\cdot\frac{1}{\xi_{n+r}-1},
 \ \ n\geq 0,
\]
ist spur-kompatible \"uber $\GF(q)$.
\end{theorem}
F\"ur $n\geq 0$ ist $f_n(X)=X^{p^n}-\xi_r$ das Minimalpolynom von
$\xi_{n+r}$ \"uber $\GF(q)$. Deshalb ist
\[\Big(p^{np^n}f_n(\frac{X}{p^n}+1)\Big)^*\] das Minimalpolynom
von $\gamma_n$ \"uber $\GF(q)$. Dieses Polynom hat die
explizite Form
\[
f_n(X)=X^{p^n}-\frac{1}{\xi_r-1}
\sum_{0\leq i<p^n}{{p^n} \choose i}(p^n)^{i-p^n}X^i.
\]


\bigskip

\section{Der Fall $p|(q+1)$, $p$ ungerade}

Es bezeichne wiederum $\xi_n$ eine primitive $p^n$-te Einheitswurzel
\"uber $\GF(q)$, $K_n=\GF(q^{p^n})$ und $r$ den Exponenten von
$p$ in $(q^2-1)$.
Wegen $p|(q^2-1)$ und \cite{LN83} Theorem~3.75 ist in diesem Fall
$\xi_{n+r}\in\GF(q^{2p^n})$ vom Grad $2p^n$ \"uber $\GF(q)$.
Aus $p|\!\!/(q-1)$ folgt $p^r|(q+1)$, so da{\ss}
\[
\T_{\GF(q^2)/\GF(q)}(\xi_r)=\xi_r+\xi_r^q=\xi_r+\xi_r^{-1}.
\]
Allgemeiner ist $(\xi_{n+r}+\xi_{n+r}^{-1})\in K_n$ vom Grad $p^n$
\"uber $\GF(q)$.
Nun gilt
\begin{lemma}\label{pq4etaspur}
F\"ur $n\geq 1$ ist $(\xi_{n+r}+\xi_{n+r}^{-1})^{-1}$ normal
in $K_n$ \"uber $\GF(q)$ mit der Spur
\[
\T_{K_n/K_{n-1}}(\frac{1}{\xi_{n+r}+\xi_{n+r}^{-1}}) = p(-1)^{(p-1)/2}
\frac{1}{\xi_{n-1+r}+\xi_{n-1+r}^{-1}}.
\]
\end{lemma}
Diese Lemma erlaubt die Konstruktion spur-kompatibler Folgen mit
\begin{theorem}\label{pq5s2}
Sei $c=p(-1)^{(p-1)/2}$. Dann ist die Folge $(\gamma_n)_{n\geq 0}$,
definiert durch
\[
\gamma_n=\frac{1}{c^n}\cdot\frac{1}{\xi_{n+r}+\xi_{n+r}^{-1}},
\]
spur-kompatible \"uber $\GF(q)$.
\end{theorem}
Zur Berechnung der Minimalpolynome dieser Elemente ben\"otigen wir
{\em normali\-sier\-te Tschebyscheff-Polynome 1.Art} $C_n$, die
rekursiv definiert sind durch
\[
C_0(X)=2,\  C_1(X)=X,\  C_{n+1}(X)=XC_n(X)-C_{n-1}(X),\ n\geq 1.
\]
Diese Polynome erf\"ullen
$$C_n(X+X^{-1})=X^n+X^{-n}$$ f\"ur $n\geq 0$ und sind unter Komposition
abgeschlossen, d.h. f\"ur $n,m\in\N$ gilt
$$C_n(C_m)=C_{nm}=C_m(C_n).$$
Das Minimalpolynom von $(\xi_{n+r}+\xi_{n+r}^{-1})$ l\"a{\ss}t sich damit
ausdr\"ucken als
$f_n(X):=C_{p^n}(X)-\xi_r-\xi_r^{-1}$.
Weiter ergibt sich das Minimalpolynom des Elementes $\gamma_n$ zu
\[\Big(c^{np^n}f_n(\frac{X}{c^n})\Big)^*,\]
wobei $c=p(-1)^{(p-1)/2}$. Dieses Polynom hat die explizite Form
\[
f_n(X)=X^{p^n}-\frac{1}{\xi_r+\xi_r^{-1}}
\sum_{i=0}^{(p^n-1)/2}\frac{p^n}{p^n-i}{{p^n-i} \choose i}
(-1)^i\Big(\frac{X}{c^n}\Big)^{2i}.
\]




\bigskip

\section[d]{Der Fall: $q$ primitiv modulo
$p$ und \\$q^{p-1}\not\equiv 1\bmod p^2$}


In diesem Fall ist $q$ f\"ur alle $n\geq 1$ primitiv modulo $p^n$.
Weiter impliziert diese Bedingung, da{\ss} $p$ ungerade ist und
jede primitive $p^{n+1}$-te Einheitswurzel
\[
\xi_{n+1}\in\GF(q^{(p-1)p^n})
\]
f\"ur alle $n\geq 0$ vom Grad $p^n$ \"uber $\GF(q^{(p-1)})$ ist.
\begin{theorem}\label{pq2s1}
F\"ur $n\geq 1$ bezeichne $\alpha_n$ die Spur von $\xi_{n+1}$ auf
$\GF(q^{p^n})$.
Weiter sei $s$ das multiplikative Inverse von $p$ modulo
der Charakteristik von
$\GF(q)$: $sp\equiv 1 (\bmod\ \Char\ \GF(q))$.
Dann ist die Folge $(\gamma_n)_{n\geq 0}$, definiert durch
\[
\gamma_0=1,\ \ \gamma_n=(\alpha_n+s)\gamma_{n-1},\ \ n\geq 1,
\]
spur-kompatibel \"uber $\GF(q)$.
\end{theorem}

\bigskip

\begin{thebibliography}{ABCD89}

\bibitem{Co69}
   {Cohen S.D.,}
   {On Irreducible Polynomials of certain Types over Finite Fields,}
   {{\em Proc.~Camb.~Phil.~Soc.} {\bf 66}, S. 335-344, (1969).}
\bibitem{Co91}
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    Polynomials over Finite Fields,}
   {{\em Designs, Codes and Cryptography} {\bf 2}, S.169-174, (1992).}
\
\bibitem{LN83}
   {Lidl R., Niederreiter H.,}
   {{\em Finite Fields}, Encyclopedia of Mathematics and
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   {Addison-Wesley, Reading, Mass. (1983).}
\bibitem{S91}
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   {Trace- and Norm-Compatible Extensions of Finite Fields,}
   {erscheint in {\em Appl.~Alg.~in Eng., Comm.~and Comp.}}
\bibitem{dis}
   {Scheerhorn A.,}
   {{\em Darstellungen des algebraischen Abschlusses
    endlicher K\"orper und spur-kompatible Polynomfolgen},}
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\end{thebibliography}


\end{document}

