\magnification=1200

\hsize=11.25cm    
\vsize=18cm       
\parindent=12pt   \parskip=0pt     
\pageno=1 

\ifnum\mag=1000
\hoffset= 0 mm    % offset horizontal en \magnification=1000
\voffset=10 mm    % offset vertical en \magnification=1000
\fi

\ifnum\mag=1200
\hoffset=7 mm   % offset horizontal en \magnification=1200
\voffset=8 mm   % offset vertical en \magnification=1200
\fi

\ifnum\mag=1440
\hoffset=0 mm   % offset horizontal en \magnification=1440
\voffset=-3 mm  % offset vertical en \magnification=1440
\fi 

% ��������������������������� Reglages ���������� 
% ����������� auquels il ne vaut mieux pas toucher ������ 

\pretolerance=500 \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000


% �������������������� Debut des macros privees ������ 
\catcode`\@=11
% ��������������������� Les fontes ��������������� 

\font\eightrm=cmr8         \font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8        \font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8        \font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8        \font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6           \font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

% Fontes AMS

\font\tengoth=eufm10       \font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm8      \font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7      \font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6        \font\fivegoth=eufm5

% Pour que les accents se placent correctement en mode math en corps 8 et 6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Nouvelles familles pour les maths

\newfam\gothfam           \newfam\bboardfam

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm\let\bigf@nt=\tenrm\let\smallf@nt=\sevenrm}%
  \textfont1=\teni  \scriptfont1=\seveni  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \tensy}%
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\tenbboard}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit\let\bigf@nt=\tenit \let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf\let\bigf@nt=\tenbf \let\smallf@nt=\sevenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=13pt plus 3pt minus 9pt
   \belowdisplayskip=11pt plus 3pt minus 9pt
    \abovedisplayshortskip=6pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=11pt plus 3pt minus 9pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=13pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm\let\bigf@nt=\eightrm\let\smallf@nt=\sixrm}%
  \textfont1=\eighti  \scriptfont1=\sixi  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \eightsy}%
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\eightbboard}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit\let\bigf@nt=\eightit\let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf\let\bigf@nt=\eightbf\let\smallf@nt=\sixbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 3pt minus 6pt
   \belowdisplayskip=\abovedisplayskip
    \abovedisplayshortskip=4pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=9pt plus 3pt minus 6pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=10pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\tenpoint

\def\cal#1{{\calfont#1}}
\def\bb#1{{\bbfont#1}}
\def\goth#1{{\gothfont#1}}

\def\pc#1|{#1}
 \def\pd#1 {\pc#1| }

%���������������������� dactylographie francaise ��������� 
%������������ dactylographie fran\c caise �������������������

{\catcode`\;=\active
  \catcode`\:=\active
   \catcode`\!=\active
    \catcode`\?=\active
\gdef\frenchdactylography{\frenchspacing
      \catcode`\;=\active
       \catcode`\:=\active
        \catcode`\!=\active
         \catcode`\?=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}%
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}%
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}%
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}%
}}
% fin \frenchdactylography

\frenchdactylography
% \frenchspacing

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}


% ���������������� Le format de sortie ������������� 
% Haut et bas de page 

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}

\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche   \newtoks\hautpagedroite 
  
\hautpagegauche={\tenrm\rlap{\folio}\tenit\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\tenit\hfil\the\titrecourant\hfil\tenrm\llap{\folio}}

\newtoks\baspagegauche      \baspagegauche={\hfil} 
\newtoks\baspagedroite      \baspagedroite={\hfil}

\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue  

% \nopagenumbers : c'est un peu violent, mais \c ca marche. Alors ...

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}  

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
            \else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
             \else\the\hautpagegauche
              \fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre\else
            \ifodd\pageno\the\baspagedroite
             \else\the\baspagegauche
              \fi\fi
               \global\pagetitrefalse}

% Redefinition de \raggedbottom pour avoir plus de mou en bas de page
% (necesssaire quand il y a beaucoup de grumeaux, des grosses
% formules centrees et pas beaucoup de texte entre)

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt\r@ggedbottomtrue}

%��������������������������������������������������� 
%���������������������� Macros de mise en page ����������� 
%��������������������������������������������������� 

% Un point-tiret

\def\pointir{\unskip . --- \ignorespaces}

\def\picture #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{picture #3 scaled #4}}}


  %%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%
 %%%%%   LabelFig.tex FOR LABELLING FIGURE INSERTS %%%%%
  %%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%
 %%%  AUTHOR: Laurent Siebenmann
  %%    lcs@matups.matups.fr
  %%
 %%%  VERSION: July 1991
  %%
 %%%  PURPOSE:
  %%  Occasionally, figures imported into TeX lack some labels.
  %%  It may then be most convenient to use TeX to provide
  %%  the labels.  Several macro sets, notably the 
  %%  LaTeX picture environment, provide means to insert 
  %%  labels.  LabelFig.tex is a small (4Ko) and fast macro file
  %%  offering labelling capability for other TeX formats such
  %%  as Plain and AmSTeX.  Hopefully it will work in essentially
  %%  all TeX environments.
  %%
 %%%  THE IDEA:
  %%  Nothing distinctly new here. 
  %%  Each label is located with respect
  %%  to a grid laid down on the figure --- as in LaTeX.
  %%  The device of using TeX to print the grid in proof versions
  %%  is apparently not in LaTeX but has been since used by
  %%  others.  Many thanks to to Raymond Seroul (Strassbourg) for
  %%  pointing it out to me back in 1989.  
  %%  (It was used in a Plain TeX hack of the picture  
  %%  environment by Desarmenien, Ostromoukhov, and Seroule
  %%  that seems not to have been released.)
  %%
 %%%  POSTINGS (soon!!): anonymous ftp
  %%  ---  ftp 28.146.7.200 (alias shape.mps.ohio-state.edu);
  %%  login: anonymous;  password: <anything>; 
  %%  directory pub/osutex
  %%  ---  ftp 130.84.128.100 (alias rsovax.circe.fr);
  %%  login: anonymous; password: <anything>; directory
  %%  [anonymous.siebenmann]
  %%
 %%%% DOCUMENTATION:
  %%  --- see Labelfig.doc 
  %% (may be included at end, after \endinput)
  %%
 %%%% EXAMPLE OF USAGE:
  %%    \input \LabelFig.tex
  %%    \SetLabels
  %%      (.3*.7) first label\\
  %%         % label will go to position .3 from left 
  %%         % and .7 from bottom
  %%      \L(.61*.333) $\Lambda_1\leq\Gamma$\\
  %%         % \L places left edge of label 
  %%         % (rather than the center)
  %%         % similarly use \R for right edge;
  %%         % and \B for bottom or \T for top
  %%      \T\R(.3*.7) last label \\
  %%    \endSetLabels
  %%    \ShowGrid
  %%         % lays grid on figure to label; 
  %%         % delete for final printing
  %%    \AffixLabels{\BoxedEPSF{MyFigure}}
  %%         % argument of \AffixLabels#1 should be a TeX box
  %%         % covering the inserted figure to be labelled.
  %%         % (Here \BoxedEPSF is the figure insertion macro
  %%         % of my package \BoxedEPS.tex (same sources) 
  %%         % for inserting encapsulated PostScript graphics. 
  %%         % But any other means of inserting 
  %%         % the figure can be used.)



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%% FORBID REREADING %%%%%
  %
  \ifx\LabelFigloaded\MYundefined
  \else
    \immediate\write16{ !!! LabelFig.tex ALREADY loaded.}
  \endinput\fi

  \def\LabelFigloaded{\relax}% now loaded


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %%% Beyond this point we use some control sequences
  %%% that are 'padlocked'  with @ of category 11

  \chardef\LabelFigCatAt\the\catcode`\@
  \catcode`\@=11

 %%temporarily suppress Plain's logging of allocations
 \let\LabelFigwlog@ld\wlog
 \def\wlog#1{\relax}


 \ifx\\\MYundefined@
    \let\\\relax
 \fi

 \def\N@wif{\csname newif\endcsname }
 \def\Temp@ {\N@wif\ifIN@}
 \ifx\INN@\MYundefined@
    \else \let\Temp@\relax
 \fi
 \Temp@

  %%% \IN@0#1@#2@ : Is 1st exp of #1 in 1st exp of #2 ??
   %% Answer in \ifIN@
  %\newif\ifIN@
  \def\IN@{\expandafter\INN@\expandafter}
  \long\def\INN@0#1@#2@{\long\def\NI@##1#1##2##3\ENDNI@
    {\ifx\m@rker##2\IN@false\else\IN@true\fi}%
     \expandafter\NI@#2@@#1\m@rker\ENDNI@}
  \def\m@rker{\m@@rker}
 
   %%% \Shifted@@#1#2#3 puts #3 in \hbox
   %% leaves basepoint as is
   %% then translates ink only by dims #1,#2
   %% with Postscript convention
   %% For simplicity use only on scrunched boxes
 \def\Shifted@@#1#2#3{\setbox0=\hbox{#3}%
   \raise -\dp0\vbox {\kern-#2%
       \hbox {\kern#1\box0\kern-#1}%
           \kern#2}}



 \newcount\gridcount
 \newbox\auxGridbox@ \newbox\hGridbox@ \newbox\vGridbox@
 \newbox\Labelbox@ \newbox\auxLabelbox@
 \newbox\Coordinatebox@
 \newtoks\Labeltoks@
 \newdimen\Wdd@ \newdimen\Htt@

 \def\hRule@{\advance\gridcount -2%
   \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil
   \llap{\smash{\raise -2.5pt
     \hbox{.\number\gridcount\kern2pt}}}%
           \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil}

 \def\vRule@{\advance\gridcount 2%
   \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil
   \setbox\auxGridbox@=\vbox to 0pt
      {\vskip \Htt@\vskip 2pt
        \hbox{\kern-3.5pt.\number\gridcount}\vss}%
      \wd\auxGridbox@=0pt \box\auxGridbox@
   \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil}

 \def\PlaceGrid@@{\gridcount=10%
  \setbox\hGridbox@=%
    \hbox{\hbox{{\hskip-.4pt\vrule}%
             \vbox to \Htt@{\offinterlineskip\parindent=\z@%
                {\vskip-.4pt\hrule}\vfil
                \hRule@\hRule@\hRule@\hRule@
                  \vskip-.2pt\hrule\vskip-.2pt\vfil
                \hbox to \Wdd@{\hfil}%
             {\hrule\vskip-.4pt}}%
         {\vrule\hskip-.4pt}}}%
  \gridcount=0%
  \setbox\vGridbox@=
     \hbox{\vbox{\offinterlineskip\parindent=0pt\hsize=0pt
       {\vskip-.4pt\hrule}%
             \hbox to \Wdd@{%
                {\hskip-.4pt\vrule}\hfil
                \vtop to \Htt@{\vfil}%
                     \vRule@\vRule@\vRule@\vRule@
                     \hskip-.2pt\vrule\hskip-.2pt\hfil
             {\vrule\hskip-.4pt}}%
         {\hrule\vskip-.4pt}}}%
  %
  \wd\hGridbox@=0pt\ht\hGridbox@=0pt
  \wd\vGridbox@=0pt\ht\vGridbox@=0pt
  %
 \hbox{\box\hGridbox@\box\vGridbox@}%
  }

 \def\setlabels#1\endsetlabels{%
   \Labeltoks@={#1}}


 \let\PlaceGrid@\relax
 \def\showgrid{\let\PlaceGrid@\PlaceGrid@@}

\let\hidegrid=\relax

 \def\bAdjust@@{%
     \setbox\auxLabelbox@=\hbox{\raise \dp\auxLabelbox@
            \box\auxLabelbox@}}
 \def\bAdjust@{\let\vAdjust@\bAdjust@@}

 \def\tAdjust@@{%
     \setbox\auxLabelbox@=\hbox{\raise-\ht\auxLabelbox@
            \box\auxLabelbox@}}
 \def\tAdjust@{\let\vAdjust@\tAdjust@@}

 \let\vAdjust@\relax

 \def\lAdjust@{\let\hAdjust@\rlap}
 \def\rAdjust@{\let\hAdjust@\llap}

 \let\hAdjust@\relax\let\vAdjust@\relax

 \def\FetchLabel@#1(#2*#3)#4\\#5\endFetchLabel@{%
     %\globaldefs=1\setbox0=\hbox{#1}\globaldefs=0%
     \ignorespaces#1\unskip
     \Labeltoks@={#5}%
     \setbox\auxLabelbox@=%
        \hbox to 0pt{\hss\ignorespaces\hAdjust@
          {\ignorespaces#4\unskip}\hss}%
     \vAdjust@
     \let\hAdjust@\relax\let\vAdjust@\relax
     \setbox\Labelbox@=\hbox to 0pt{%
       \box\Labelbox@
       \Shifted@@{#2\Wdd@}{#3\Htt@}{\box\auxLabelbox@}}%
     \ht\Labelbox@=0pt\dp\Labelbox@=0pt
     }

 \def\PlaceLabels@@{\bgroup\def\Cr@{\\}%
     \let\L\lAdjust@\let\R\rAdjust@
     \let\B\bAdjust@\let\T\tAdjust@
     \loop
     \IN@0\Cr@ @\the\Labeltoks@ @\relax
     \ifIN@ \expandafter
       \FetchLabel@\the\Labeltoks@\endFetchLabel@
     \repeat
     \box\Labelbox@\egroup}%

 \let \PlaceLabels@\PlaceLabels@@

\def\placelabels#1\endplacelabels{\setbox\Coordinatebox@=\hbox{#1}%
      \Wdd@=\wd\Coordinatebox@ \Htt@=\ht\Coordinatebox@
      \advance\Htt@ \dp \Coordinatebox@
      \hbox{\copy\Coordinatebox@\kern-\Wdd@%
           \Shifted@@{0pt}{-\dp\Coordinatebox@}%
            {\PlaceGrid@\PlaceLabels@}%
           \kern\Wdd@}}

 %%% Restoring
   \let\wlog\LabelFigwlog@ld %%restore logging
   \catcode`\@=\LabelFigCatAt  %%12 or 13

%��������������������������������������������������� 
% Texte centre dans une boite : le resultat est le plus petit 
% rectangle qui contient le texte. Ce resultat est
% place dans une boite centree.
% SYNTAXE : le passage a la ligne definit les lignes
%     \ctexte
%     La petite fille
%     est all\'ee \`a l'\'ecole
%     \endctexte

{\obeylines%
  \gdef\ctexte%
       {\begingroup\obeylines%
         \let^^M=\cr\makectexte}}

\def\makectexte#1\endctexte%
    {\hbox{$\vcenter{\halign{\hfill##\hfill\crcr#1\crcr}}$}%
      \endgroup%
       }

%���������������������������������� 
% pour etre en mode centre dans une boite
% Syntaxe {\centermode ... \par}
% ne pas oublier le \par, sinon la derniere ligne
% ne sera pas centree !
% VARIANTE POSSIBLE :
% \leftskip=0pt plus 25pt (au lieu de 1fill)

\def\centermode 
    {\parindent=0pt
      \leftskip=0pt plus 1fill
       \rightskip=\leftskip
        \parfillskip=0pt
         }

%������������������������������� 
% Titre centre (en gras)

\def\ctitre 
    {\vglue 24 pt plus 3pt minus 3pt
      \begingroup
       \centermode
        \baselineskip=17pt
         \parskip=0pt
          \obeylines\bf
           }

\def\endctitre 
    {\par\endgroup
      \nobreak\bigskip
       }
%����������������������������������� 
% on redefinit d'abord \bigbreak et \medbreak
% pour attenuer les \penalty

\def\bigbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\bigskipamount
                \removelastskip\penalty-100\bigskip
                 \fi
                  }

\def\medbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\medskipamount
                \removelastskip\penalty-50\medskip
                 \fi
                  }

\def\smallbreak{\par
                 \ifdim\lastskip<\smallskipamount
                  \removelastskip\penalty-25\smallskip
                   \fi
                    }
%���������������������������������������� 
% Materiel pour la numerotation automatique

\newif\ifsubsectiontitle
\newcount\sectionnumber   \sectionnumber=0
\newcount\subsectionnumber

\def\secsubnumber{\the\sectionnumber.\the\subsectionnumber}

\def\withnum 
    {\ifsubsectiontitle\global\advance\subsectionnumber by 1
      \the\sectionnumber.\the\subsectionnumber.\enspace\ignorespaces
       \else\global\advance\sectionnumber by 1
        \global\subsectionnumber=0
         \the\sectionnumber.\enspace\ignorespaces
          \fi}
%������������������������������������ 
% Les sections

\long\def\section#1\endsection 
      {\global\subsectiontitlefalse
        \bigbreak{\bf#1\unskip}\pointir}

\long\def\sectiona#1\endsection 
     {\global\subsectiontitlefalse
       \bigbreak\vbox{\bf#1\unskip}\par\nobreak}

%������������������������������������� 
% Les sous-sections

\long\def\subsection#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak{\it#1\unskip}\pointir}

\long\def\subsectiona#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak\vbox{\it#1\unskip}\par\nobreak}

%��������������������������������������
% Nouvelles d\'efinitions de \sectiona et \subsectiona
% o\`u l'on contr\^ole l'indentation automatiquement
% et o\`u les blancs avant et apr\`es section sont
% red\'efinis

%�������������������������������������������������
\def\removeindentation{{\setbox0=\lastbox}}
\newif\ifVariableIndentation  \VariableIndentationtrue
\newif\ifneedindent

\def\controlledindentation
{\ifVariableIndentation
  \ifneedindent
   \else\removeindentation \needindenttrue
    \fi
     \else\ifneedindent
            \needindentfalse
             \else\removeindentation
       \fi\fi}

\everypar={\controlledindentation}
%--------------------------------------
\newskip\beforesectionskip     \beforesectionskip=12pt plus 4pt
\newskip\aftersectionskip       \aftersectionskip=6pt 
\newskip\beforesubsectionskip   \beforesubsectionskip=6pt plus 3pt  
\newskip\aftersubsectionskip     \aftersubsectionskip=2pt 

\font\sectionfont=cmbx10   \let\subsectionfont=\it
%--------------------------------------
\long\def\sectiona #1\endsection
      {\par 
        \removelastskip
         \vskip\beforesectionskip
          \global\subsectiontitlefalse    
           \vbox{\sectionfont \noindent #1\par}
            \needindentfalse 
             \par\nobreak\vskip\aftersectionskip
              }

\long\def\subsectiona#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak\vbox{\it#1\unskip}\par\nobreak}

\long\def\subsectiona #1\endsubsection
      {\par 
        \removelastskip
         \vskip\beforesubsectionskip
          \global\subsectiontitletrue          
           \vbox{\subsectionfont \noindent #1\par}
            \needindentfalse 
             \par\nobreak\vskip\aftersectionskip
              }

%��������������������������������������� 
% Differentes manieres de commencer un nouveau paragraphe

\def\newparwithcolon#1\endnewparwithcolon 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip:}  
       }

\def\newparwithpointir#1\endnewparwithpointir 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\pointir
       }

\def\newpara#1\endnewpar 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\par\nobreak\smallskip
       }

%��������������������������������������� 
% Exemples d'utilisation des macros precedentes
% 
% \def\remarque{\newparwithcolon
%                \withnum\pc REMARQUE|
%                 \endnewparwithcolon}
% 
% \def\remarques{\newpara
%                 \pc REMARQUES|
%                  \endnewpar}

% \def\exemple{\newparwithcolon
%               \pc EXEMPLE|
%                \endnewparwithcolon}
% 
% \def\exemples{\newpara
%                \pc EXEMPLES|
%                 \endnewpar}
% 
% \def\definition{\newparwithpointir
%                  \pc D\'EFINITION|
%                   \endnewparwithpointir}
% 
% \def\definitions{\newpara
%                   \pc D\'EFINITIONS|
%                    \endnewpar}
% 
% \def\demonstration{\newparwithcolon
%                     \it D\'emonstration
%                      \endnewparwithcolon}


%������������ r\'esum\'e ����������������������

\def\resume{\bgroup\eightpoint\noindent R\'esum\'e\pointir} 
 \def\endresume{\par\egroup}     

%���������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation APRES
% #1 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #2 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

%------- pour que les parentheses et la ponctuation
%-------- ne soit pas en italique 

\def\virg@le{\relax
     \ifmmode\string,
      \else{\rm\string,}%
       \fi}

\def\point@virgule{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font
        {\rm\string;}%
         \else\ifmmode
          \mathpunct{\string;}%
           \fi\fi}

\def\deux@points{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \penalty\@M\space{\rm \string:}%
        \else\ifmmode
         \mathrel{\string:}%
          \fi\fi}

{\catcode`\(=\active 
  \catcode`\)=\active 
   \catcode`\,=\active 
    \catcode`\;=\active 
     \catcode`\:=\active 
\gdef\specialit{%
      \catcode`\(=\active  \gdef({\ifmmode\string(\else{\rm\string(}\fi}%
       \catcode`\)=\active  \gdef){\ifmmode\string)\else{\rm\string)}\fi}%
        \catcode`\,=\active  \gdef,{\virg@le}%
         \catcode`\;=\active  \gdef;{\point@virgule}%
          \catcode`\:=\active  \gdef:{\deux@points}%
           \it}}
%---------------------------- 
\def\th#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\def\endth{\ifdim\lastskip<4pt\vskip-\lastskip\medskip\fi\egroup
            \frenchdactylography}
%-----------------------------
\def\tha#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%��������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation AVANT
% #1 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #2 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

\def\Th#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 \pc#2| {#3\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\long\def\Tha#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 {\pd#2 } #3\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%������������������������������������� 
% les differents retraits
% on peut aussi utiliser \item et \itemitem)

\def\decale#1{\smallbreak
               \noindent\hskip 28pt\llap{\rm #1}\
                \ignorespaces}

\def\decaledecale#1{\smallbreak
                     \noindent\hskip 34pt\llap{\rm #1}\ 
                            \ignorespaces}

\def\puce{\smallbreak
           \noindent\hskip 6pt$\scriptstyle\bullet$\enspace\ignorespaces}

% ��������������������������������������������� 
% �������������� ce que Knuth n'a pas fait ������������ 
% ���������������������������������������������� 
% Math\'ematiques centr\'ees
% �������������������������

%--------- pour couper une formule trop longue 
% DANS un \displaylines
%----- syntaxe (pas besoin de \cr) :
%
%    $$\displaylines{
%    .....
%    \cutdisplay
%    ......
%    \cutdisplay
%    ......
%    }$$

\def\cutdisplay{{}\hfill\cr\hfill{}} 
\let\cut=\cutdisplay
\def\cutdisplays[#1]{{}\hfill\cr\vspace[#1]\hfill{}}
\let\cuts=\cutdisplays

%----------------------------------
% un ``small''displaylines analogue \`a une matrice ;
% fabrique une boite centree, donc \leqno possible

\def\smalldisplaylines#1{\displ@y\vcenter{\halign{&\strut
$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$\crcr#1\crcr}}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui num\'erote \`a droite.
% La syntaxe est la meme que celle de \eqalignno

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui numerote a gauche.
% La syntaxe est la meme que celle de \leqalignno

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \eqalign qui accepte plusieurs alignements verticaux
% Motif : \hfil # & # \hfil & \hfil # & # \hfill, etc.

\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{\strut
\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}

%--------------------------------------------
% Un eqalign avec numerotation a gauche ET a droite
% syntaxe :
% numero gauche & A & = B & numero droit \cr

\def\fulleqalignno#1{\displ@y\tabskip=\z@skip
      \halign to\displaywidth {
       \rlap{$##$}  \tabskip=\centering &
        \hfil $\@lign \displaystyle {##}$ \tabskip \z@skip &
         $\@lign \displaystyle {{}##}$\hfil  \tabskip \centering &
          \llap {$\@lign ##$}  \tabskip \z@skip \crcr 
           #1\crcr}}
%--------------------------------------------
% idem avec \displaylines

\def\fulldisplaylinesno#1{\displ@y \tabskip=\z@skip
     \halign to\displaywidth{%
      \rlap{$##$}\tabskip=\centering &
       $\@lign \hfil \displaystyle ##\hfil $&
        \llap{$##$}\tabskip=\z@skip\crcr 
         #1\crcr}}

%--------------------------------------------
% Systeme d'equations precede d'une accolade.
% Copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice
% syntaxe : signe & coef & inconnue
% les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef)
% et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil)
% attention : un seul & ou deux && avant le signe =
% selon la justification choisie !
% Exemple : $$\system{
%             &2 &x &- &3 & y & = &&  -5 \cr
%            -&  &x &+ &  & y & = &&   6 \cr
%           }$$

\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$&\hfil$##$&$##$\hfil&&
        \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}


% ������������������������������������������ 
% ����������������� Divers gadgets �������������� 
% ������������������������������������������� 

% Pour se rendre la vie facile : \up{er}, \up{i\`eme}, n\up{0}, etc.
\def\up#1{\raise 0.85ex\hbox{\smallf@nt#1}}
%----------------------------
% Utilisation : \cf. \etc. \ie. (ne pas oublier le point a la fin !
%----------------------------
\def\cf{{\it cf}} \def\etc{{\it etc}} \def\ie{{\it i.e}}
%----------------------------
\def\qed{\lower 2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
                                             \vfill
                                             \hrule}\vrule}}

\def\cqfd{\unskip\penalty 500\kern 10pt\qed}
%----------------------------
% virgule apres une fraction
\def\virg{\raise .4ex\hbox{,}}   
%----------------------------
\def\pv{\ ;\enspace} % point-virgule de ponctuation en maths

%----------------------------
% Pour obtenir un cadre rectangulaire :
% Entoure #2 (le texte) d'un filet. 
% Le filet est ecarte de #1 du texte
% La ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \boxit[5pt]{...}. 

\def\boxit[#1]#2%
    {\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%  
         \setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
          \advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1 
           \advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2  \box1\relax
            }
%-----------------------------
% analogue, mais avec effet d'ombre
% #1 = epaisseur de l'ombre
% #2 = blanc qui separe le filet du texte
% #3 = ce qu'on veut mettre dans la boite ombree
% la ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \shadebox[3pt][5pt]{...}

\def\shadebox[#1][#2]#3%
    {\setbox1=\hbox{\kern#2{#3}\kern#2}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #2 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #2 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2 width 0.2pt
                        \box1
                         \vrule  width 0.2pt}%  
          \setbox1=\vbox{\hrule height 0.2pt
                          \box1
                           \hrule height 0.2pt}%
             \dimen3=\wd1 \advance\dimen3 by -#1 
              \dimen4=\ht1 \advance\dimen4 by -#1
               \setbox2=\hbox{\vrule height #1 depth 0pt width\dimen3
                               \vrule height\ht1 depth 0pt width #1}%
                 \advance\dimen1 by .2pt 
                  \ht1=\dimen1 
                   \advance\dimen2 by .2pt \advance\dimen2 by #1
                    \dp1=\dimen2  
                     \box1\kern-\dimen3\lower\dimen2\box2\relax
                      }

%������������������������������������������ 
% quand il faut smasher seulement le dessus ou le dessous d'une formule 
% Ne tient pas compte du style !!!

\def\smashtop#1{\setbox0=\hbox{#1}\ht0=0pt\box0}
\def\smashbot#1{\setbox0=\hbox{#1}\dp0=0pt\box0}

%������������������������������������������ 
% \date : 15 Novembre 1987
% j'ai abandonne \date qui provoquait des conflits
% avec le token \date que j'utilise dans les bibliographies

\def\today
    {\ignorespaces\space\the\day\space
      \ifcase\month\or janvier\or f\'evrier\or mars\or avril
       \or mai\or juin\or juillet\or ao\^ut\or septembre
        \or octobre\or novembre\or d\'ecembre\fi\space\the\year
         }
%��������������������������������������� 
% fractions intelligentes (sans parentheses, puis avec parentheses)

\def\frac#1#2{\mkern 1.5mu {#1\over #2}\mkern 1.5mu }

\font\ninerm=cmr9

\def\sfrac#1#2{\mkern 1.5mu
     \ifmmode\ifinner 
       {\textstyle{\raise 0.5pt\hbox{\sevenrm #1}\over
        \lower 0.5pt\hbox{\sevenrm #2}}} 
         \else 
          {{\textstyle{\hbox{\ninerm #1}\over
            \lower 1.5pt\hbox{\ninerm #2}}}}
             \fi\fi\mkern 1.5mu}

\def\demi{\sfrac 12}

\def\pfrac#1#2{
     \bgroup\mathchoice
      {\Bigl({#1\over #2}\Bigr)}  % \displaystyle 
       {({#1\over #2})}           % \textstyle
        {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  % \scriptstyle
         {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  %\scriptscriptstyle
          \egroup}

%��������������������������������������� 
% crochets de taille que l'on definit soi-meme
% #1 : dimension qui monte ou descend le crochet
% #2 : la taille du crochet

\def\lbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left[\vcenter to #1{}\right. $}}
\def\rbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left.\vcenter to #1{}\right]$}}

%��������������������������������������� 
% pour surligner convenablement
% remplace avantageusement \overline si l'on desire
% de bons resultats

\def\lineover#1#2#3{\mkern#1mu\overline{\mkern-#1mu#2\mkern-#3mu}\mkern#3mu}

%��������������������������������������� 
% regle graduee en cm
% utile pour la mise au point 
% de la largeur de certaines boites
% syntaxe : \reglegraduee

\def\Graduation{\vrule height 5pt depth 0pt width 0.2pt\kern -0.2pt}
 \def\tiret{\Graduation\vrule height 0.2pt depth 0pt width 5mm}
  \def\nombre#1{\kern 10mm\hbox to 0pt{\hss\sevenrm#1\hss}}

\def\reglegraduee
    {\hrule width 12cm
      \vbox{\count10=24
       \hbox to 0pt{\loop\ifnum\count10>0
                     \tiret
                      \advance\count10 by -1
                       \repeat
                        \Graduation\hss}
          \nointerlineskip\smallskip
           \hbox to 0pt{\count10=1
                         \loop\ifnum\count10<13
                          \nombre{\the\count10}%
                           \advance\count10 by 1
                            \repeat
                             \hss}
               }}

%������������������������������������������� 
% fleche horizontale dirig\'ee vers la droite et intelligente
% si elle n'a pas de decoration (indice ou exposant)
% c'est une \rightarrow
% si l'indice et l'exposant ne sont pas trop longs,
% c'est une longrightarrow
% sinon, elle s'allonge en cons\'equence
% Syntaxe : \arrow{...}{...}
% le premier groupe est l'exposant, le deuxieme l'indice
% ces deux groupes (memes vides) sont obligatoires !!!

\newdimen\lengtharrow
 \newbox\exponant \newbox\indice
  \newbox\arrowbox

%------------------------------------------------------------
% la longueur d'une \longrightarrow est de 16.11...pt
% la longueur de \arrow sera donc celle d'une \longrightarrow
% tant que l'exposant ne d\'epasse pas 8pt de large
% sinon, on rajoute 4pt de part et d'autre.
% Cas particulier : s'il n'y a ni indice, ni exposant,
% on retrouve \rightarrow

\def\dimmax#1#2{\ifdim#1<#2 #2\else #1\fi}

\def\arrow#1#2%
    {\setbox\exponant=\hbox{$\scriptstyle#1$}
      \setbox\indice=\hbox{$\scriptstyle#2$}
       \lengtharrow=\dimmax{\wd\indice}{\wd\exponant}
        \ifdim \lengtharrow=0pt \setbox\arrowbox=\hbox{$\rightarrow$}
         \else \ifdim\lengtharrow<8pt
                \lengtharrow=16pt
                 \else \advance\lengtharrow by 8pt
                  \fi
                   \setbox\arrowbox=\hbox to\lengtharrow{\rightarrowfill}
                    \ht\arrowbox=3.66875pt \dp\arrowbox=0pt 
                     \setbox\arrowbox=\hbox{$\mathop{\box\arrowbox}\limits
                                            _{\box\indice}^{\box\exponant}$}
                       \fi
                \mathrel{\box\arrowbox}}

%����������������������������������������� 
% generalise le \buildrel de plain
% exemples de syntaxe avec une fleche dirigee a gauche
% \build\longleftarrow_{...}\endbuild
% \build\longleftarrow^{...}\endbuild
% \build\longleftarrow_{...}^{...}\endbuild
% l'indice ou l'exposant sont facultatifs
% ne surtout pas oublier le \endbuild !!!!

\def\build#1{\mathrel\bgroup\mathop{#1\kern 0pt}\limits}
 \let\endbuild=\egroup

%������������������������������������������ 
% commodites pour la construction de tableaux
% \vmove[5pt]{...} deplace le groupe vers le haut de 5pt
% SANS RIEN DERANGER DANS LE TABLEAU

\def\vmove[#1]#2{\setbox1=\hbox{\raise#1\hbox{#2}}%
                 \ht1=0pt \dp1=0pt\box1}

%---------------------------------------
% \vspace[5pt] ecarte deux lignes d'un tableau
% \vspace[-2mm] rapproche deux lignes d'un tableau
% (ne peut fonctionner qu'apres un \cr)

\def\vspace[#1]{\noalign{\vskip#1}}

%������������������������������������������ 
% pour ne pas avoir a chosir entre \hat et \widehat,
% \tilde et \widetilde

\def\hat#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>6pt
                \mathaccent "0362 {#1}
                 \else\mathaccent"705E {#1}
                  \fi
                   }

\def\tilde#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>6pt
                \mathaccent "0365 {#1}
                 \else\mathaccent"707E {#1}
                  \fi
                   }

% ������������������������������������� 
% pour qu'il la ferme le plus possible...

\showboxbreadth=-1  \showboxdepth=-1

% ������������������������������������� 
% pour avoir des messages raisonnables avec les lettres accentu\'ees
% et les petites capitales

\let\@ldmessage=\message

 \def\message#1%
     {\begingroup
       \def\pc##1{\string\pc\space##1}%
        \def\'{\string'}\def\`{\string`}%
         \def\^{\string^}\def\"{\string"}%
          \@ldmessage{#1}%
           \endgroup
            }


%����������������������������
% Pour les tableaux
%-----------------------
% syntaxe \tableau\preambule...\endtableau
% pour les filets horizontaux
% utiliser \cr\th ou encore
% \th\vspace[2pt]\th
% en cas de traits espaces

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}

%-------------------------
\def\tableau
    {\vtop\bgroup
      \def\th{\noalign{\hrule}}
       \offinterlineskip\halign\expandafter\bgroup
        }

\def\endtableau{\egroup\egroup}

%-----------------------
% divers preambules (liste non exhaustive !)
%-----------------------
% justification a droite, pas de filet, mode math

\def\preambuleI[#1]{% 
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\cr}
%-----------------------
% justification a droite, filets verticaux, mode math

\def\preambuleItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv\cr}

%-----------------------
% mode centre, pas de filet, mode math

\def\preambuleII[#1]{%
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\cr}

%-----------------------
% mode centre, filets verticaux, mode math

\def\preambuleIItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\tv\cr}

%������ guillements fran\c cais (pis-aller)

\def\og{\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$}}
\def\fg{\ignorespaces\leavevmode\raise 1pt\hbox{$\,\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}




% ���������������������������������� 
% fin des macros privees
% ���������������������������������� 

\catcode`\@=12
%%%%%%% bibliographie selon AMS style %%%%%%%%%%%
%%%%%%% inspir\'e de TUGboat 11 (1990), p. 609 %%%%%%%


\newbox\auteurbox
\newbox\titrebox    
\newbox\editeurbox
\newbox\datebox
\newbox\nomrevuebox
\newbox\tomebox
\newbox\pagesbox
\newbox\textebox
\newbox\diversbox
\newbox\refbox

%--------------------------------------------
\def\makebox#1#2{\par\egroup
                     \setbox#1=\vbox\bgroup
                      \leftskip=0pt   
                       \hsize=\maxdimen \noindent#2}
%--------------------------------------------
\def\ref{\par\vskip 3pt plus 30pt
           \setbox0=\vbox\bgroup\makebox\refbox\bf}
%--------------------------------------------
\def\auteur{\makebox\auteurbox\pd}
 \def\titre{\makebox\titrebox\sl}
  \def\editeur{\makebox\editeurbox\rm}
   \def\nomrevue{\makebox\nomrevuebox\rm}
    \def\tome{\makebox\tomebox\bf}
%--------------------------------------------
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           \gdef\date{\makebox\datebox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm \string-\string-}}%
              \oldstyle}}
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\def\addref#1{\setbox0=\vbox{\unvbox#1%
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\newif\iffirstitem        
\def\separateur{\iffirstitem\pointir\global\firstitemfalse
                   \else, \ignorespaces\fi}
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\def\voidallboxes
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\def\makedivers
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\def\endref
{\egroup\global\firstitemtrue
  \vskip 3pt plus 2pt minus 1pt
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%--------------------------------------------
\def\putrefI{\noindent[\addref\refbox]\quad}
\def\putrefII{\noindent\llap{[\addref\refbox]\enspace}}
\def\putrefIII{\noindent}
\def\putrefIV{\leftskip=15pt\noindent\hskip-\leftskip}

\def\styleI{\let\putref=\putrefI}
\def\styleII{\let\putref=\putrefII}
\def\styleIII{\let\putref=\putrefIII}
\def\styleIV{\let\putref=\putrefIV}

\styleI

%\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi 



\def\illustration #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{illustration #3 scaled #4}}}

% exemple 
%\illustration 200mm by 200mm (foata3.88) scaled {1000}
%


\def\picture #1 by #2 (#3) scaled #4{\dimen1=#2
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\vtop to \dimen1{\dimen1=#1
\divide\dimen1 by 1000
\multiply\dimen1 by #4
\hsize=\dimen1\vss
\noindent\special{picture #3 scaled #4}}}






%�������������������������
\def\E{{\enslettre E}}
 
\def\F{{\enslettre {F}}}
\def\S{{\enslettre S}}
\def\A{{\enslettre A}}
\def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits}
\def\ev{\mathop{\rm ev}\nolimits}
\def\hauteur{\mathop{\rm hauteur}\nolimits}


\def\abxy{{\bf a},{\bf b},{\bf x}, {\bf y}}
\def\abx1y#1{{\bf a},{\bf b},{\bf x}+{\bf #1}, {\bf y}}
\def\kmoins#1{{(k-#1)}}

\def\enslettre#1{\font\zzzz=msbm10 \hbox{\zzzz #1}}

%���������������������������������������
{
\eightpoint
\noindent
Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 
\par\noindent
Actes 24e S\'eminaire Lotharingien,
461/S-24, p.77-85, 1993.
}

\pagetitretrue
\auteurcourant={\vtop{\rightline{\tenit Guo-Niu HAN}
                 \smallskip\hrule}}
\titrecourant={\vtop{\leftline{\tenit 
Escaliers \'evalu\'es et nombres classiques}\smallskip\hrule}}

\vskip 10mm

\centerline{\bf Escaliers \'evalu\'es et nombres classiques }
\medskip
\centerline{Guo-Niu \pc Han|}

\centerline{\eightpoint I.R.M.A., CNRS et ULP}
\centerline{\eightpoint   7, rue Ren\'e-Descartes}  
\centerline{\eightpoint F-67084 Strasbourg}
\bigskip
%�����������������������������������

\resume{
Nous \'etablissons une involution sur l'ensemble des couples
compos\'es d'un escalier et d'une application sur cet escalier.
En utilisant cette involution, on retrouve directement
plusieurs d'identit\'es sur les nombres classiques et leurs
variations. }

%��������������������������������������� 
\sectiona 
1. Introduction
\endsection

Dans la th\'eorie combinatoire des nombres de Genocchi, \pc
Dumont| [Dum] a introduit 
la notion d'{\it application
surjective exc\'edante} {\footnote{${}^1$}{\eightpoint appel\'e
plus tard {\it pistoles} dans [DuVi].}}. 
Pour \'etudier les propri\'et\'es de sym\'etrie
trivari\'ee des polyn\^omes de Dumont-Foata,
nous avons prolong\'e dans [Han] cette notion en \'etudiant les
propri\'et\'es g\'eom\'etriques des 
{\it escaliers
\'evalu\'es} (ou {\it escaliers gauches \'evalu\'es}). 
Il est remarquable de voir que si on choisit d'autres
\'evaluations que celles qui \'etaient impos\'ees par l'\'etude de ces
polyn\^omes,
on retrouve un cadre g\'eom\'etrique commun pour l'\'etude de
plusieurs familles de polyn\^omes r\'ecemment 
introduits par   
\pc Dumont|, \pc Foata|,
\pc Randrianarivony| et \pc Zeng|(\cf. [DuFo], [DuRa],
[RaZe]). 
En particulier, les propri\'et\'es pourtant tr\`es classiques des
nombres de Stirling de seconde esp\`ece trouvent une nouvelle 
jouvence dans ce contexte des {\it escaliers \'evalu\'es}.

Le but de ce m\'emoire
est de pr\'esenter une \'etude g\'en\'erale de ces objets et de donner
toutes les \'evaluations utiles permettant de retrouver les
r\'esultats sur les diff\'erents polyn\^omes d\'eriv\'es des nombres
classiques, Genocchi, Stirling, \ifmmode\ldots\else\dots\fi 

\medskip

Soient $n\ge k\ge 0$ deux entiers; un {\it escalier} de hauteur $k$
et de longueur $n$ est d\'efini comme une suite d'entiers
croissante 
$${E}=(E_1=1, E_2, \ifmmode\ldots\else\dots\fi , E_n=k)$$
telle que $E_{i+1}-E_i=0$ ou $1$ pour tout $i$. L'ensemble des
escaliers de hauteur $k$ et de longueur $n$ est not\'e
$\E(n,k)$. Un escalier peut \^etre repr\'esent\'e par le diagramme de
Ferrers justifi\'e \`a droite (voir l'exemple ci-dessous) en posant
$$\Diag ({E})=\{ (i,j) \mid 1\le  i\le n, 1\le j\le E_i \} \ .$$
Une {\it application}
{\footnote{${}^2$}{\eightpoint Ce sont les {\it tableaux 0-1}
dans [DeLe], mais on ne fait pas la m\^eme chose.} 
$f : [n] \to  [k]$ est dite {\it dans } $E$
si $1\le f(i)\le E_i$ pour tout $i\in [n]$.
Autrement dit, le {\it diagramme } $\{(i,f(i)) \mid i\in [n]\}$ de
$f$ est un sous-ensemble de $\Diag({E})$ tel que toute
verticale contient exactement un point du diagramme. Une
application $f$ est dite {\it surjective} sur $E$ si $f[n]=[k]$. 

Par exemple, l'escalier ${E}=(1,1,2,2,2,2,3,4,4)$ est de
hauteur $k=4$ et de longueur $n=9$. Le diagramme suivant
pr\'esente cet escalier et une application 
surjective $f$ dans cet escalier :

\centerline{\picture 115mm by 52mm (1escalier) scaled {500} }
\bigskip

Les escaliers pr\'ec\'edemment d\'efinis sont aussi appel\'es
{\it $1$-escaliers}. Pour $\delta =1,2,3,\ifmmode\ldots\else\dots\fi $ \`a partir d'un 1-escalier
$E^1\in \E^1(n,k)$, on construit, d'une fa\c con bijective, un
$\delta $-escalier $E^\delta \in \E^\delta (n,k)$ par
$$E^\delta =(E_1,E_1,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,E_1,E_2,E_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,E_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,E_n,E_n,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,E_n)$$
o\`u chaque $E_i$ est r\'ep\'et\'e $\delta $ fois. 
Ce $\delta $-escalier est encore dit de {\it hauteur} $k$ et de
{\it longueur} $n$.

\medskip
Fixons maintenant l'entier $\delta $. Par abus de langage, on ne
reproduira pas cette lettre $\delta $, bien que d\'esormais on
\'etudiera toujours des $\delta $-escaliers.

On remarque qu'il y a exactement un seul \'el\'ement dans
$\E(n,k)$, appel\'e {\it escalier ordinaire} et not\'e $EO_n$,
dont la hauteur est \'egale \`a la longueur. Dans [Han] (Lemme 3.2),
on a donn\'e une involution dans le cas o\`u $\delta =2$.
Celle-ci peut \^etre
facilement g\'en\'eralis\'ee dans le cas g\'en\'eral comme suit :

\th Th\'eor\`eme 1
\enonce Il existe une involution $\Phi  : (E,f) \mapsto (E',f')$
sur l'ensemble
$$\F_n=\{(E,f)\mid 
\hbox{\rm $E$ : un escalier de longueur
$n$; f : une application dans $E$} \}$$
ayant les propri\'et\'es :
\decaledecale{(C1)} si $E=EO_n$ et $f$ est surjective, alors
$\Phi (E,f)=(E,f)$;
\decaledecale{(C2)} sinon, alors
$|\hauteur (E) -\hauteur (E')|=1$. \cqfd
\endth

\medskip
En faisant intervenir les \'evaluations sur le couple $(E,f)$,
on retrouve plusieurs d'identit\'es sur les nombres classiques :
les nombres de Stirling, les nombres factoriels centraux,
les nombres de Genocchi et d'Euler; ainsi que leurs variations.
%���������������������������������
\sectiona
2. Les applications \'evalu\'ees
\endsection

On fixe encore l'entier $\delta $ comme dans la section pr\'ec\'edente. Soit
$$\A=\{a_1,a_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,a_\delta ,b_1,b_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,b_\delta ,
x_1,x_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,x_\delta ,y_1,y_2,\ifmmode\ldots\else\dots\fi ,y_\delta \}$$
un alphabet ou un ensemble de variables commutatives. On
pose ${\bf a}=a_1a_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi a_\delta $.
Un {\it remplissage} est un ensemble de mots en l'alphabet
$\A$ de la forme 
$$\cal R= [b_1b_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi b_\delta [a_1a_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi a_\delta ]^*]^*
[y_1y_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi y_\delta [x_1x_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi x_\delta ]^*]=[\bf b\bf a^*]^*[\bf yx^*]$$
qui permet d'associer \`a chaque case de tout escalier une lettre
de $\A$; plus pr\'ecis\'ement, \`a l'aide de $\cal R$, on remplit
toutes les cases d'un escalier $E$ par les lettres de $\A$
selon les r\`egles suivantes :
\decaledecale{(R1)} $(\bf{yxx\ifmmode\ldots\else\dots\fi x})$ pour la derni\`ere ligne
(celle du bas); 
\decaledecale{(R2)} $(\bf{baa\ifmmode\ldots\else\dots\fi a})$ pour les
autres lignes. \smallskip

Par exemple, pour le 2-escalier ($\delta =2$)
$E=(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3)$, le remplissage
$\cal R=[b_1b_2[a_1a_2]^*]^*[y_1y_2[x_1x_2]^*]$
donne le diagramme suivant :

$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.06*0.145) $y_1$\\
(0.158*0.145) $y_2$\\
(0.256*0.145) $x_1$\\
(0.353*0.145) $x_2$\\
(0.451*0.145) $x_1$\\
(0.548*0.145) $x_2$\\
(0.647*0.145) $x_1$\\
(0.744*0.145) $x_2$\\
(0.842*0.145) $x_1$\\
(0.94*0.145) $x_2$\\
%
(0.451*0.448) $b_1$\\
(0.548*0.448) $b_2$\\
(0.647*0.448) $a_1$\\
(0.744*0.448) $a_2$\\
(0.842*0.448) $a_1$\\
(0.94*0.448) $a_2$\\
%
(0.842*0.750) $b_1$\\
(0.94*0.750) $b_2$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 128mm by 40mm (2escalier) scaled {500} 
\endplacelabels }
$$

Pour un remplissage $\cal R$ fix\'e, on d\'efinit l'\'evaluation
$\ev$ de tout couple $(E,f)\in \F_n$ par la formule
$$\ev(E,f)=(-1)^{n-k} \prod _{i=1}^n \cal R_E(i,f(i)), \leqno
(1)$$
o\`u $\cal R_E$ est la restriction du remplissage $\cal R$ \`a
l'escalier $E$, et $k$ est la hauteur de $E$. Dans le cas o\`u il
n'y a pas de confusion, on \'ecrit aussi $\ev (f)=\ev (E,f)$.

D'apr\`es le th\'eor\`eme 1 et la construction de l'involution $\Phi $,
on v\'erifie facilement que la condition (C2) dans le th\'eor\`eme 1
peut \^etre remplac\'ee par la condition plus forte suivante :
\decaledecale{(C2$'$)} sinon, alors $\ev (E,f)=-\ev (E',f')$.
\medskip

Ceci d\'emontre le r\'esultat suivant :
\th Th\'eor\`eme 2
\enonce Avec les notations pr\'ec\'edentes, on a :
$$\sum _{(E,f)\in \F_n} \ev (f) = \sum _{f\in \S_n} \ev (f) ,\leqno (2)
$$
o\`u $\S_n$ est l'ensemble des applications surjectives dans $EO_n$
. \cqfd
\endth

%�������������������������������
\sectiona
3. Interpr\'etations alg\'ebriques
\endsection

Notons 
$$F_n(\abxy)=\sum _{(E,f)\in \F_n} \ev(f).\leqno(3)$$
le polyn\^ome g\'en\'erateur de $\F_n$.
En faisant une d\'emonstration 
analogue \`a celle donn\'ee dans [Han] (lemme
3.1), on a%
{\footnote{${}^3$}{\eightpoint Th\'eoriquement, on peut aussi 
d\'emontrer ce th\'eor\`eme en faisant intervenir le coefficient d'un
mon\^ome , en les $4\delta $ variables $a_i, b_i, x_i, y_i$, d'une
forme fix\'ee, comme dans [Dum] ou plut\^ot comme dans [DuFo]. }} :


\th Th\'eor\`eme 3
\enonce Les polyn\^omes $F_n(\abxy)$ peuvent \^etre
caract\'eris\'es par la relation de r\'ecurrence suivante :
$$\cases{
F_1(\abxy)=1;\cr
F_n(\abxy)=(b_1+x_1)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (b_\delta +x_\delta )F_{n-1}(\abx1y{a})
\cr 
\kern 50mm
-x_1x_2\ifmmode\ldots\else\dots\fi x_\delta F_{n-1}(\abxy) .\cqfd\cr }\leqno(4)
$$
\endth

D'autre part, on d\'efinit les polyn\^omes ($t_{n,k}$), qui sont les
analogues des nombres de Stirling et des nombres factoriels
centraux, par la relation de r\'ecurrence suivante :
$$\cases{
t_{n,0}=t_{0,k}=0, \hbox{\rm\qquad sauf pour }\ t_{0,0}=1 ; \cr
t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+t_{n-1,k}\prod _{i=1}^\delta (x_i+(k-1)a_i) 
\qquad (n,k\ge 1) .\cr
}\leqno(5)$$

En examinant les derni\`eres colonnes des escaliers, on
v\'erifie que le polyn\^ome $t_{n,k}$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur de
l'ensemble 
$$\F_n'=\{(E,f)\mid E\in \E(n-k,k); 
f : \hbox{ une application dans\
} E \},$$
avec l'\'evaluation $\ev'$ d\'eduite du remplissage 
$\cal R'=[[\bf a\bf a^*]^*[\bf xx^*]$. 
On a donc : 
$$t_{n,k}=\sum _{(E,f)\in \F_n'}|\ev'(E,f)|.$$
ou encore :
$$t_{n,k}\prod _{i=1}^\delta  y_i(x_i+b_i)(x_i+b_i+a_i)\ifmmode\ldots\else\dots\fi 
(x_i+b_i+\kmoins{2}a_i)=\sum |\ev(E,f)|\leqno(6)$$
o\`u la somme est faite pour tous les couples $(E,f)\in \F_n$
tels que la hauteur de $E$ est $k$.
D'o\`u
\th Th\'eor\`eme 4
\enonce Avec les notations pr\'ec\'edentes, on a :
$$\eqalign{
F_n(\abxy)=&\sum _{k=1}^n (-1)^{n-k}t_{n,k}
\Bigl\{ \prod _{j=1}^\delta  y_i(x_i+b_i)\cr
\vspace[-3pt]
&\kern 10mm \times (x_i+b_i+a_i)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x_i+b_i+\kmoins{2}a_i)\Bigr\}
.\cqfd\cr } 
\leqno(7)$$
\endth

%��������������������������������

\sectiona 
4. Les exemples des 1-escaliers
\endsection

Dans le cas o\`u $\delta =1$, ces \'etudes sont li\'ees aux nombres de
Stirling et leurs variations. C'est un cas tr\`es particulier
o\`u il y a exactement une seule surjection dans $EO_n$.
D'apr\`es le th\'eor\`eme 2, les polyn\^omes $F_n$ sont simplement des
mon\^omes (\cf. [DeLe] pour les travaux
analogues).

\subsection
4.1 
\endsubsection
%________________________________
On prend le remplissage $\cal R=[b1^*]^*[b1^*]$
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.065*0.085) $b$\\
(0.172*0.085) $1$\\
(0.279*0.085) $1$\\
(0.386*0.085) $1$\\
(0.493*0.085) $1$\\
(0.6*0.085) $1$\\
(0.706*0.085) $1$\\
(0.813*0.085) $1$\\
(0.92*0.085) $1$\\
%
(0.279*0.323) $b$\\
(0.386*0.323) $1$\\
(0.493*0.323) $1$\\
(0.6*0.323) $1$\\
(0.706*0.323) $1$\\
(0.813*0.323) $1$\\
(0.92*0.323) $1$\\
%
(0.706*0.562) $b$\\
(0.813*0.562) $1$\\
(0.92*0.562) $1$\\
%
(0.813*0.80) $b$\\
(0.92*0.80) $1$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 58.2mm by 26.4mm (1esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$
D'apr\`es (5), le nombre $t_{n,k}$ n'est rien d'autre que
le nombre de Stirling $S_{n,k}$. D'o\`u la formule (7) s'\'ecrit
sous une forme bien connue : 
$$b^n=\sum _{k=1}^n
(-1)^{n-k}b(b+1)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (b+k-1)S_{n,k}
=\sum _{k=1}^n(-1)^nk!S_{n,k} {b\choose k} .$$


\subsection
4.2
\endsubsection
%________________________________
On d\'efinit un analogue des nombres de Stirling
$(t_{n,k})$ par la relation de r\'ecurrence :
$$\cases{
t_{n,0}=t_{0,k}=0, \hbox{\rm\qquad sauf pour }\ t_{0,0}=1 ; \cr
t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+(x+(k-1)a)t_{n-1,k}\qquad (n,k\ge 1) .\cr
}$$

Le remplissage correspondant est $\cal
R=[ba^*]^*[bx^*] $
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.065*0.085) $b$\\
(0.172*0.085) $x$\\
(0.279*0.085) $x$\\
(0.386*0.085) $x$\\
(0.493*0.085) $x$\\
(0.6*0.085) $x$\\
(0.706*0.085) $x$\\
(0.813*0.085) $x$\\
(0.92*0.085) $x$\\
%
(0.279*0.323) $b$\\
(0.386*0.323) $a$\\
(0.493*0.323) $a$\\
(0.6*0.323) $a$\\
(0.706*0.323) $a$\\
(0.813*0.323) $a$\\
(0.92*0.323) $a$\\
%
(0.706*0.562) $b$\\
(0.813*0.562) $a$\\
(0.92*0.562) $a$\\
%
(0.813*0.80) $b$\\
(0.92*0.80) $a$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 58.2mm by 26.4mm (1esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$

On a donc d'apr\`es (7) :
$$b^n=\sum _{k=1}^n
(-1)^{n-k}b(b+x)(b+x+a)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (b+x+\kmoins{2}a)t_{n,k}
.$$

%������������������������������������
\sectiona
5. Les exemples des 2-escaliers
\endsection
Dans le cas des 2-escaliers ($\delta =2$), ces \'etudes sont li\'ees aux
nombres de Genocchi, aux nombres d'Euler et nombres 
factoriels centraux, ainsi qu'\`a leurs variations.
Les exemples d\'ecrits ci-dessous ont \'et\'e \'etudi\'es
originalement
par \pc Gandhi|, \pc Dumont|, \pc Foata|, \pc Randrianarivony|
et \pc Zeng|(voir les r\'ef\'erences
correspondantes).

\subsectiona
5.1. Polyn\^omes de Gandhi 
\endsubsection
Ces polyn\^omes $(F_n(x))$ sont d\'efinis par 
la relation de r\'ecurrence [Gan] :
$$\cases{
F_1(x)=1;\cr
F_n(x)=(x+1)^2 F_{n-1}(x+1) -x^2F_{n-1}(x).
\cr 
}
$$

Le remplissage correspondant est $\cal
R=[11(11)^*]^*[11(xx)^*] $
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.055*0.110) $1$\\
(0.152*0.110) $1$\\
(0.250*0.110) $x$\\
(0.348*0.110) $x$\\
(0.446*0.110) $x$\\
(0.544*0.110) $x$\\
(0.642*0.110) $x$\\
(0.739*0.110) $x$\\
(0.837*0.110) $x$\\
(0.935*0.110) $x$\\
%
(0.446*0.430) $1$\\
(0.544*0.430) $1$\\
(0.642*0.430) $1$\\
(0.739*0.430) $1$\\
(0.837*0.430) $1$\\
(0.935*0.430) $1$\\
%
(0.837*0.75) $1$\\
(0.935*0.75) $1$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 64.5mm by 20.1mm (2esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$

Les nombres (ou polyn\^omes) $(t_{n,k})$ sont des analogues des
nombres  factoriels centraux, d\'efinis par la formule de
r\'ecurrence : $$\cases{
t_{n,0}=t_{0,k}=0, \hbox{\rm\qquad sauf pour }\ t_{0,0}=1 ; \cr
t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+(x+k-1)^2t_{n-1,k}\qquad (n,k\ge 1) .\cr
}$$


On a donc d'apr\`es (7) :
$$F_n(x)=\sum _{k=1}^n
(-1)^{n-k}\bigl((x+1)(x+2)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x+k-1)\bigr)^2t_{n,k}
.$$
En posant $x=1$, on retrouve la formule suivante :
$$G_{2n+2}=\sum _{k=1}^n
(-1)^{n-k}k!^2T_{2n,2k},$$
o\`u $G_{2n+2}$ est le nombre de Genocchi, et $T_{2n,2k}$ est le nombre
factoriel central (\cf. par exemple [RiSt]).

\subsectiona
5.2. Polyn\^omes de Dumont-Foata 
\endsubsection
Ces polyn\^omes $(F_n(x,y,z))$ sont d\'efinis par 
la relation de r\'ecurrence [DuFo] :
$$\cases{
F_1(x,y,z)=1;\cr
F_n(x,y,z)=(x+y)(x+z) F_{n-1}(x+1,y,z) -x^2F_{n-1}(x,y,z).
\cr 
}
$$

Le remplissage correspondant est $\cal
R=[yz(11)^*]^*[11(xx)^*] $
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.055*0.110) $1$\\
(0.152*0.110) $1$\\
(0.250*0.110) $x$\\
(0.348*0.110) $x$\\
(0.446*0.110) $x$\\
(0.544*0.110) $x$\\
(0.642*0.110) $x$\\
(0.739*0.110) $x$\\
(0.837*0.110) $x$\\
(0.935*0.110) $x$\\
%
(0.446*0.430) $y$\\
(0.544*0.430) $z$\\
(0.642*0.430) $1$\\
(0.739*0.430) $1$\\
(0.837*0.430) $1$\\
(0.935*0.430) $1$\\
%
(0.837*0.75) $y$\\
(0.935*0.75) $z$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 64.5mm by 20.1mm (2esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$

On retrouve une formule obtenue pour la premi\`ere fois par
Carlitz[Car] : $$\setbox80=\hbox{$\displaystyle
F_n(x,y,z)=\sum _{k=1}^n
(-1)^{n-k}\Bigl\{(x+y)(x+y+1)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x+y+k-2)$} \displaylines{
\smash{\box80}\hfill\cr
\kern 45mm \times (x+z)(x+z+1)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x+z+k-2)\Bigr\} t_{n,k},\cr
}$$
o\`u les nombres $(t_{n,k})$ sont ceux d\'efinis dans le
paragraphe pr\'ec\'edent.

En particulier, pour $x=1$ et $z=y$, on a :
$$F_n(1,y,y)=\sum _{k=1}^n(-1)^{n-k}
\Bigl((y+1)(y+2)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (y+k-1)\Bigr)^2 T_{2n,2k}.$$

\subsectiona
5.3. Polyn\^omes de Dumont-Randrianarivony  
\endsubsection
Ces polyn\^omes $(F_n(x,y))$ sont d\'efinis par 
la relation de r\'ecurrence  [DuFo] :
$$\cases{
F_1(x,y)=1;\cr
F_n(x,y)=(x+1)(y+1) F_{n-1}(x+1,y+1) -xyF_{n-1}(x,y).
\cr 
}
$$

Le remplissage correspondant est $\cal
R=[11(11)^*]^*[11(xy)^*] $
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.055*0.110) $1$\\
(0.152*0.110) $1$\\
(0.250*0.110) $x$\\
(0.348*0.110) $y$\\
(0.446*0.110) $x$\\
(0.544*0.110) $y$\\
(0.642*0.110) $x$\\
(0.739*0.110) $y$\\
(0.837*0.110) $x$\\
(0.935*0.110) $y$\\
%
(0.446*0.430) $1$\\
(0.544*0.430) $1$\\
(0.642*0.430) $1$\\
(0.739*0.430) $1$\\
(0.837*0.430) $1$\\
(0.935*0.430) $1$\\
%
(0.837*0.75) $1$\\
(0.935*0.75) $1$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 64.5mm by 20.1mm (2esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$

Les nombres $(t_{n,k})$ sont des analogues des nombres
factoriels centraux, d\'efinis par la formule de r\'ecurrence :
$$\cases{
t_{n,0}=t_{0,k}=0, \hbox{\rm\qquad sauf pour }\ t_{0,0}=1 ; \cr
t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+(x+k-1)(y+k-1)t_{n-1,k} \qquad (n,k\ge 1).\cr
}$$

On retrouve  :
$$\setbox80=\hbox{$\displaystyle 
F_n(x,y)=\sum _{k=1}^n(-1)^{n-k}
   \Bigl\{(x+1)(x+2)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x+k-1)$}
\displaylines{
\smash{\box80}\hfill\cr
\kern 35mm \times (y+1)(y+2)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (y+k-1)\Bigr\} t_{n,k}.\cr
}$$
 
\subsectiona
5.4. Polyn\^omes de Randrianarivony-Zeng 
\endsubsection
Ces polyn\^omes $(F_n(x,y))$ sont d\'efinis par 
la relation de r\'ecurrence [RaZe] :
$$\cases{
F_1(x,y)=1;\cr
F_n(x,y)=x(y+1) F_{n-1}(x+2,y+2) -xyF_{n-1}(x,y).
\cr 
}
$$

Le remplissage correspondant est $\cal
R=[01(22)^*]^*[11(xy)^*] $
$$ 
\hbox{%
%\showgrid
\setlabels
(-0.25*0.5) \cal R\ =\\
(0.055*0.110) $1$\\
(0.152*0.110) $1$\\
(0.250*0.110) $x$\\
(0.348*0.110) $y$\\
(0.446*0.110) $x$\\
(0.544*0.110) $y$\\
(0.642*0.110) $x$\\
(0.739*0.110) $y$\\
(0.837*0.110) $x$\\
(0.935*0.110) $y$\\
%
(0.446*0.430) $0$\\
(0.544*0.430) $1$\\
(0.642*0.430) $2$\\
(0.739*0.430) $2$\\
(0.837*0.430) $2$\\
(0.935*0.430) $2$\\
%
(0.837*0.75) $0$\\
(0.935*0.75) $1$\\
%
\endsetlabels
\placelabels 
\picture 64.5mm by 20.1mm (2esc) scaled {707} 
\endplacelabels }
$$

Les nombres $(t_{n,k})$ sont des analogues des nombres
factoriels centraux, d\'efinis par la formule de r\'ecurrence :
$$\cases{
t_{n,0}=t_{0,k}=0, \hbox{\rm\qquad sauf pour }\ t_{0,0}=1 ; \cr
t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+(x+2\kmoins{1})(y+2\kmoins{1})t_{n-1,k}
\qquad (n,k\ge 1) .\cr }$$

On retrouve  :
$$\setbox80=\hbox{$\displaystyle 
F_n(x,y)=\sum _{k=1}^n(-1)^{n-k}
   \Bigl\{x(x+2)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (x+2k-4)$}
\displaylines{
\smash{\box80}\hfill\cr
\kern 25mm \times (y+1)(y+3)\ifmmode\ldots\else\dots\fi (y+2k-3)\Bigr\} t_{n,k}.\cr
}$$
 

\vfill\eject

%������������������������������
%--------------------------------------------------------
 %reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
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    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}

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\vglue 2cm
\centerline{BIBLIOGRAPHIE}
\nobreak
\vskip 1cm
\overfullrule=0pt


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