 Séminaires et Congrès - 13 - pages 343-366 | |
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Groupes de Galois arithmétiques et différentiels. Actes du colloque du CIRM (Luminy, 8-13 Mars 2004)
Daniel Bertrand - Pierre Dèbes (Éd.)
Séminaires et Congrès 13 (2006), xxii+391 pages
The group theory behind modular towers
Darren Semmen
Séminaires et Congrès 13 (2006), 343-366
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Résumé :
Théorie des groupes pour les tours modulaires
Des considérations géométriques permettent d'identifier quelles propriétés nous souhaitons pour la suite canonique de groupes finis qui sont utilisés pour définir les tours modulaires. Par exemple, les groupes doivent être de centre trivial pour que les espaces de Hurwitz constituant la tour modulaire soient des espaces de modules fins. Notre suite est donnée par la série de Frattini, qui est définie inductivement: chaque groupe est le domaine d'un épimorphisme canonique, lequel a comme noyau un p-groupe abélien élémentaire, et le groupe précédent comme image. En plus de satisfaire les propriétés désirées, ce choix s'interprète naturellement en termes de théorie des représentations modulaires.
Chaque épimorphisme entre deux groupes induit (de manière covariante) un morphisme entre les espaces de Hurwitz correspondants. La factorisation de l'épimorphisme de groupes en épimorphismes irréductibles intermédiaires permet de déterminer plus simplement comment l'application entre espaces de Hurwitz se ramifie et quand les composantes connexes ont des images inverses vides. Pour cela, seuls comptent les épimorphismes intermédiaires qui ont un noyau central d'ordre p. Les plus importants de ces épimorphismes sont ceux à travers lesquels le p-revêtement universel de Frattini se factorise; ils sont classifiés par le p-groupe élémentaire abélien des multiplicateurs de Schur.
Cet article, le deuxième de trois sur les tours modulaires dans ce volume, revient, à l'intention des arithméticiens-géomètres, sur la théorie des groupes nécessaire à cette théorie, pour aboutir à l'état actuel des connaissances sur les p-groupes de multiplicateurs de Schur de notre suite de groupes.
Mots clefs : Tour modulaire, revêtement universel, Frattini, représentation modulaire, multiplicateurs de Schur
Abstract:
Geometric considerations identify what properties we desire of the canonical sequence of finite groups that are used to define modular towers. For instance, we need the groups to have trivial center for the Hurwitz spaces in the modular tower to be fine moduli spaces. The Frattini series, constructed inductively, provides our sequence: each group is the domain of a canonical epimorphism, which has elementary abelian p-group kernel, having the previous group as its range. Besides satisfying the desired properties, this choice is readily analyzable with modular representation theory.
Each epimorphism between two groups induces (covariantly) a morphism between the corresponding Hurwitz spaces. Factoring the group epimorphism into intermediate irreducible epimorphisms simplifies determining how the Hurwitz-space map ramifies and when connected components have empty preimage. Only intermediate epimorphisms that have central kernel of order p matter for this. The most important such epimorphisms are those through which the universal central p-Frattini cover factors; the elementary abelian p-Schur multiplier classifies these.
This paper, the second of three in this volume on the topic of modular towers, reviews for arithmetic-geometers the relevant group theory, culminating with the current knowledge of the p-Schur multipliers of our sequence of groups.
Key words: Modular tower, universal cover, Frattini, modular representation, Schur multiplier
Class. math. : Primary 20C20; Secondary 14G32, 20C05, 20D25, 20E18, 20E22, 20F69, 20J05, 20J06.