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Actes des journées mathématiques à la mémoire de Jean Leray - (Nantes, 2002)
Laurent Guillopé - Didier Robert (Éd.)
Séminaires et Congrès 9 (2004), xviii+208 pages

Singularités réelles isolées et développements asymptotiques d'intégrales oscillantes
Daniel Barlet
Séminaires et Congrès 9 (2004), 25-50

Résumé :
Soit $(X_{ \mathbb {R} }, 0)$ un germe de sous-ensemble analytique réel à l'origine de $\mathbb {R} ^N$ de dimension pure n+1 ayant une singularité isolée en . Soit

$$(f_{ \mathbb {R} }, 0): (X_{ \mathbb {R} }, 0) \to ( \mathbb {R} , 0)$$

un germe de fonction analytique réelle ayant une singularité isolée en telle que sa complexifiée $f_{ \mathbb {C} }$ s'annule sur le lieu singulier S de $X_{ \mathbb {C} }$. Nous supposerons également que la variété analytique réelle $X_{ \mathbb {R} } \setminus \lbrace 0 \rbrace$ est orientable.
À chaque $A \in H^0(X_{ \mathbb {R} } \setminus \lbrace 0 \rbrace , \mathbb {C} )$ nous associons un n-cycle $\Gamma (A)$ (explicitement décrit) dans la fibre de Milnor complexe de $f_{ \mathbb {C} }$ en tel que les termes non triviaux dans les développements asymptotiques quand $\tau \to \pm \infty$ des intégrales oscillantes $\int _A e^{i\tau f(x)} \varphi (x)$ soient détectés par la décomposition spectrale de $\Gamma (A)$ par rapport à la monodromie de $f_{ \mathbb {C} }$ en .

Mots clefs : Phase stationnaire, intégrale fibre, singularité d'hypersurface

Abstract:
Isolated real singularities and asymptoytic expansions for oscillating integrals
Let $(X_{ \mathbb {R} }, 0)$ be a germ of real analytic subset in $( \mathbb {R} ^N, 0)$ of pure dimension n+1 with an isolated singularity at . Let

$$(f_{ \mathbb {R} }, 0): (X_{ \mathbb {R} }, 0) \to ( \mathbb {R} , 0)$$

a real analytic germ with an isolated singularity at , such that its complexification $f_{ \mathbb {C} }$ vanishes on the singular set S of $X_{ \mathbb {C} }$. We also assume that $X_{ \mathbb {R} } \setminus \lbrace 0 \rbrace$ is orientable.
To each $A \in H^0(X_{ \mathbb {R} } \setminus \lbrace 0 \rbrace , \mathbb {C} )$ we associate a n-cycle $\Gamma (A)$ (« explicitly » described) in the complex Milnor fiber of $f_{ \mathbb {C} }$ at such that the non trivial terms in the asymptotic expansions of the oscillating integrals $\int _A e^{i\tau f(x)} \varphi (x)$ when $\tau \to \pm \infty$ can be read from the spectral decomposition of $\Gamma (A)$ relative to the monodromy of $f_{ \mathbb {C} }$ at .

Key words: Stationnary phase, fiber-integral, hypersurface singularity

Class. math. : 32S40, 32C30

ISBN : 2-85629-160-0
ISSN : 1285-2783