Quelques Résultats d’Indépendance Algébrique

François Gramain

Abstract. We describe a theorem of Yu. Nesterenko [Nes1] on algebraic independence of values of Eisenstein series, together with some corollaries. The most impressive of these is the algebraic independence of π, e^{π} and Γ(1/4). Finally we give some indications on new methods of proving algebraic independence.

1991 Mathematics Subject Classification: 11J85, 11J89, 11J91, 11F11 Keywords and Phrases: Algebraic Independence, Modular Functions

La théorie des nombres transcendants a donné lieu ces dernières années à de nombreux résultats importants. Cependant, nous nous limiterons ici à la description du théorème de Yu. Nesterenko sur l’indépendance algébrique de valeurs de fonctions modulaires et à quelques corollaires. Un dernier paragraphe sera consacré aux méthodes apparues récemment dans les preuves d’indépendance algébrique. Bien que beaucoup des résultats cités aient des analogues p−adiques, nous parlerons surtout du cas complexe.

1. Fonctions elliptiques et modulaires : notations Les résultats classiques rappelés dans ce paragraphe sont traités en détail dans [Cha], [Ser], [Lan1] et [Lan2].

Soit L = Zω_{1} + Zω_{2} le réseau de C engendré par les nombres complexes ω_{1} et ω_{2} linéairement indépendants sur R. Dans toute la suite on supposera que τ = ω_{2}/ω_{1} est dans le demi-plan de Poincaré H = {τ ∈ C ; Im(τ) > 0}. Le groupe quotient C/L est la courbe elliptique paramétrée par (1 : ℘(z) : ℘′(z)) dans P_{2}(C), où ℘(z) = z^{−2} + ∑_{ω∈L\{0}} ((z − ω)^{−2} − ω^{−2}) est la fonction de Weierstrass associée au réseau L. Son équation affine est

y^{2} = 4 x^{3} − g_{2}(L) x − g_{3}(L),

où les invariants g_{2}(L) et g_{3}(L) sont donnés par

g_{2}(L) = 60 ∑_{ω∈L\{0}} ω^{−4} et g_{3}(L) = 140 ∑_{ω∈L\{0}} ω^{−6} .

L’ensemble des périodes de la fonction ℘ est le réseau L et, à toute période ω ∈ L est associée une quasi-période η = η(ω) par η = ζ(z + ω) − ζ(z), où la fonction ζ est une primitive de −℘.

À chaque réseau L est associé son invariant j(L) = 1728 \frac{g_{2}^{3}(L)}{g_{2}^{3}(L) − 27 g_{3}^{2}(L)} ,

et deux courbes elliptiques C/L et C/M sont (analytiquement) isomorphes si et seulement si j(L) = j(M).

Par homogénéité, l’invariant j est en fait une fonction de τ ∈ H qui satisfait

j(τ + 1) = j(τ) et j(−1/τ) = j(τ) , donc

j (\frac{aτ + b}{cτ + d}) = j(τ) pour tout τ ∈ H et tout \binom{a b}{c d} ∈ SL_{2}(Z).

Plus généralement, une fonction f holomorphe sur le demi-plan supérieur H = {τ ∈ C ; Im(τ) > 0} est modulaire de poids 2k (k ∈ N) si

f (\frac{aτ + b}{cτ + d}) = (cτ + d)^{2k} f(τ) pour tout τ ∈ H et tout \binom{a b}{c d} ∈ SL_{2}(Z).

En particulier on a f(τ + 1) = f(τ), de sorte que f possède un développement de Fourier à l’infini f(τ) = F (z) = ∑_{n∈Z} a_{n} z^{n}, où z = e^{2iπτ}. Si la série F a seulement un pôle en 0, on dit que f est une fonction modulaire. Ainsi l’invariant modulaire j est une fonction modulaire de poids 0 et

j(τ) = J(z) = z^{−1} + 744 + 196 884 z + 21 493 760 z^{2} + ∑_{n≥3} c(n)z^{n}, où la série J est convergente dans le disque unité pointé D = {z ∈ C ; 0 < |z| < 1}.

Une forme modulaire est une fonction modulaire qui est holomorphe sur H et à l’infini de sorte que la série F est entière. L’algèbre graduée des formes modulaires est engendrée par les séries d’Eisenstein Q et R (notations de Ramanujan) : Si, pour n ∈ N, on pose σ_{k}(n) = ∑_{d|n} d^{k}, alors, en notant z = e^{2iπτ} où τ ∈ H, Q(z) = E_{4}(z) = 1 + 240 ∑_{n≥1} σ_{3}(n) z^{n} = 12 (2π)^{−4} g_{2}(τ) est une forme modulaire de poids 4 et R(z) = E_{6}(z) = 1 − 504 ∑_{n≥1} σ_{5}(n) z^{n} = 216 (2π)^{−6} g_{3}(τ) est une forme modulaire de poids 6. On a noté g_{i}(τ) = g_{i}(Z + τZ), de sorte que la formule donnant j en fonction de g_{2} et g_{3} s’écrit J = 1728 Q^{3} /(Q^{3} − R^{2}).

L’opérateur différentiel Θ = z \frac{d}{dz} = \frac{1}{2iπ} \frac{d}{dτ} a une grande importance dans la théorie des formes modulaires bien qu’il fasse intervenir une série d’Eisenstein qui n’est pas une forme modulaire : P (z) = E_{2}(z) = 1 − 24 ∑_{n≥1} σ_{1}(n) z^{n} ne définit pas une forme modulaire de poids 2, mais presque, comme le montre la formule P (e^{−2iπ/τ}) = τ^{2} P (e^{2iπτ}) + 6 τ/(i π).

Les séries d’Eisenstein sont liées par le système différentiel

12 ΘP = P^{2} − Q , 3 ΘQ = P Q − R , 2 ΘR = P R − Q^{2}. Comme conséquence immédiate de ces relations on obtient

\frac{ΘJ}{J} = −\frac{R}{Q} 6 \frac{Θ^{2}J}{ΘJ} = P − \frac{4R}{Q} − \frac{3Q^{2}}{R}

et les relations réciproques

P = 6 \frac{Θ^{2}J}{ΘJ} − 4 \frac{ΘJ}{J} − 3 \frac{ΘJ}{J − 1728} , Q = \frac{(ΘJ)^{2}}{J (J − 1728)} , R = \frac{−(ΘJ)^{3}}{J^{2} (J − 1728)} ,

de sorte que, en notant f(z) la fonction z ↦ f(z), on a l’identité des corps Q(z, P (z), Q(z), R(z)) = Q(z, J(z), ΘJ(z), Θ^{2}J(z)) = Q(z, J(z), J′(z), J′′(z)). Quand on passe des fonctions aux valeurs qu’elles prennent en un point, les facteurs J et J − 1728 en dénominateur obligent à exclure quelques points : pour τ ≢ i et τ ≢ ρ = e^{2iπ/3} mod SL_{2}(Z), les corps engendrés sur Q par les nombres q = e^{2iπτ}, P (q), Q(q) et R(q) ou par e^{2iπτ}, j(τ), j′(τ)/π et j′′(τ)/π^{2} ont le même degré de transcendance sur Q.

Enfin, les valeurs des fonctions P, Q et R sont liées aux périodes et quasipériodes des fonctions de Weierstrass : Soient ℘ la fonction elliptique de Weierstrass associée au réseau L = Zω_{1} + Zω_{2}, où τ = ω_{2}/ω_{1} est dans H, et η_{1} la quasi-période associée à ω_{1}, alors on a :

P (q) = 3 (ω_{1}/π) (η_{1}/π) , 4 Q(q) = 3 (ω_{1}/π)^{4} g_{2}(L) , 8 R(q) = 27 (ω_{1}/π)^{6} g_{3}(L) .

2. Le théorème de Yu. Nesterenko Le premier résultat de transcendance concernant l’invariant modulaire j (ou J) obtenu par des méthodes modulaires est le Théorème stéphanois ([BDGP] 1995). Si q ∈ D est algébrique, alors J(q) est transcendant.

Ce résultat avait été conjecturé par K. Mahler ([Mah1] 1969) et sa preuve s’adapte sans difficulté au cas p−adique conjecturé en 1971 par Yu. V. Manin [Man]. Il est contenu dans le théorème de Yu. Nesterenko obtenu moins d’un an plus tard : Théorème 1 (Yu. Nesterenko 1996). Pour q ∈ D = {z ∈ C ; 0 < |z| < 1} on a degtr_{Q} Q (q, P (q), Q(q), R(q)) ≥ 3.

D’après le paragraphe précédent, cet énoncé est équivalent au suivant : Théorème 1’. Pour tout réseau L = Zω_{1} + Zω_{2} on a

degtr_{Q} Q (g_{2}(L), g_{3}(L), ω_{1}/π, η_{1}/π, e^{2iπω_{2}/ω_{1}}) ≥ 3 . Comme pour le théorème stéphanois, la preuve du Théorème 1 n’utilise que les

fonctions modulaires (et pas du tout les fonctions elliptiques), alors que les autres résultats antérieurs qu’il contient ont été démontrés par des procédés elliptiques. En voici deux exemples : le résultat suivant (dû à Th. Schneider, 1937, voir [Sch]) Si ω ≠ 0 est une période d’une fonction ℘ de Weierstrass d’invariants algébriques g_{2} et g_{3}, alors ω/π est un nombre transcendant est équivalent à ce corollaire du théorème de Nesterenko : Pour q ∈ D les nombres Q(q) et R(q) ne sont pas tous deux algébriques et il implique le suivant : Pour q ∈ D et J(q) ∉ {0, 1728} les nombres J(q) et qJ′(q) ne sont pas simultanément algébriques.

D. Bertrand a été le premier à étudier systématiquement la correspondance entre énoncés elliptiques et énoncés modulaires. C’est l’équivalence précédente qui l’a inspiré en 1975 ([Ber1]) pour obtenir l’analogue p−adique du résultat de Th. Schneider en utilisant les fonctions elliptiques de Jacobi-Tate au lieu des fonctions de Weierstrass. Notons que K. Barré [Bar1] a obtenu en 1995 le dernier résultat cité dans les cas complexe et p−adique par une preuve purement modulaire.

De façon analogue, ce résultat de G. V. Chudnovsky (1977, voir [Chu]) Si η est la quasi-période associée à la période ω ≠ 0 de la fonction elliptique ℘ de Weierstrass d’invariants g_{2} et g_{3}, alors degtr_{Q} Q (g_{2}, g_{3}, ω/π, η/ω) ≥ 2 est équivalent à Pour q ∈ D on a degtr_{Q} Q (P (q), Q(q), R(q)) ≥ 2. dont la version p−adique est due à D. Bertrand [Ber2]. Pour un exposé complet de la correspondance entre théorèmes (et conjectures) elliptiques et modulaires, on pourra consulter [Dia2], ainsi que [Dia1] pour des liens étonnants avec la fonction exponentielle.

Venons-en à quelques corollaires qui donnent des résultats nouveaux : Corollaire 1. Si τ ≢ i, ρ mod SL_{2}(Z), alors le degré de transcendance sur Q des corps Q(q, J(q), J′(q), J′′(q)) et Q (e^{2iπτ} , j(τ), j′(τ)/π, j′′(τ)/π^{2}) est au moins égal à 3.

En particulier Corollaire 2. Si q ∈ D est algébrique (dans ce cas τ est transcendant d’après le théorème de Gel’fond-Schneider), alors les trois nombres P (q), Q(q) et R(q) sont algébriquement indépendants sur Q, de même que J(q), J′(q) et J′′(q). Corollaire 3. Si ℘ est une fonction elliptique d’invariants g_{2} et g_{3} algébriques, alors les 3 nombres e^{2iπτ}, ω_{1}/π et η_{1}/π sont algébriquement indépendants sur Q.

Dans le cas de la multiplication complexe (c’est-à-dire lorsque τ est un nombre algébrique quadratique), grâce aux relations de Legendre et de D. W. Masser ([Mas], lemme 3.1), on obtient le Corollaire 4. Si ℘ est une fonction elliptique d’invariants g_{2} et g_{3} algébriques et à multiplication complexe, pour toute période ω ≠ 0 de ℘, chacun des deux triplets {e^{2iπτ} , ω, η} et {e^{2iπτ} , ω, π} est constitué de nombres algébriquement indépendants sur Q. En particulier, pour τ = i (resp. τ = ρ) la courbe elliptique d’équation y^{2} = 4 x^{3} − 4 x (resp. y^{2} = 4 x^{3} − 4) est associée à un réseau dont une période est ω = Γ(1/4)^{2} / \sqrt{8π} (resp. ω = Γ(1/3)^{3} / (2^{4/3}π)), de sorte que : Corollaire 5. Les trois nombres π, e^{π} et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants sur Q, de même que π, e^{π\sqrt{3}} et Γ(1/3). C’est par ce biais un peu surprenant que l’on obtient

l’indépendance algébrique de π et e^{π}

grâce à une démonstration qui ne fait pas intervenir la fonction exponentielle !

L’usage de la fonction thêta de Weierstrass-Jacobi (voir [Ber3] et [Ber4]) θ(τ, w) = ∑_{n∈Z} e^{iπn^{2}τ} e^{2iπnw}

donne d’autres corollaires. Par spécialisation de cette fonction thêta on obtient les classiques fonctions thêta de Jacobi

θ_{2}(z) = 2 z^{1/4} ∑_{n≥0} z^{n(n+1)}, θ_{3}(z) = ∑_{n∈Z} z^{n^{2}} et θ_{4}(z) = θ_{3}(−z) où, comme plus haut, z = e^{2iπτ} est dans le disque unité. Ces fonctions sont liées aux séries d’Eisenstein par des relations du type

2 Q(z^{2}) = θ_{2}(z)^{8} + θ_{3}(z)^{8} + θ_{4}(z)^{8} ,

P (z^{2}) = 4 (\frac{Θθ_{2}}{θ_{2}} + \frac{Θθ_{3}}{θ_{3}} + \frac{Θθ_{4}}{θ_{4}} ) (z) ,

qui font que tout résultat d’indépendance algébrique sur des valeurs des fonctions P, Q, R donne un résultat analogue concernant les valeurs des fonctions θ_{i} ou de leurs dérivées. Ainsi l’énoncé du théorème 1 est équivalent au suivant [Ber3] : Théorème 1”. Pour i, j et k ∈ {2, 3, 4} tels que i ≠ j et pour q ∈ D on a

degtr_{Q} Q (q, θ_{i}(q), θ_{j}(q), Θθ_{k}(q)) ≥ 3

resp. degtr_{Q} Q (q, θ_{k}(q), Θθ_{k}(q), Θ^{2}θ_{k}(q)) ≥ 3 .

dont un cas particulier est le Corollaire 6. Si α ∈ D est algébrique, les trois nombres ∑_{n≥1} α^{n^{2}}, ∑_{n≥1} n^{2} α^{n^{2}} et ∑_{n≥1} n^{4} α^{n^{2}} sont algébriquement indépendants sur Q.

L’utilisation de la fonction de 2 variables θ(τ, w), où τ prend en compte l’aspect modulaire et w l’aspect elliptique des nombres étudiés est peut-être un moyen de ne pas dissocier ces deux aspects des problèmes d’indépendance algébrique. D. Bertrand [Ber4] propose plusieurs conjectures dans cette direction.

Enfin, grâce à un argument de spécialisation dû à A. Weil, D. Duverney, K. et K. Nishioka et I. Shiokawa [DNNS] retrouvent la deuxième assertion du théorème 1” ; dans le même article, ils prouvent la transcendance d’un certain nombre de sommes de séries construites à partir de suites récurrentes en les liant à des valeurs de la fonction modulaire Δ = (Q^{3} − R^{2})/1728, par exemple : Corollaire 7. Si {u_{n}} est la suite de Fibonacci (u_{0} = 0, u_{1} = 1, u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}), les nombres ∑_{n≥1} u_{n}^{−2}, ∑_{n≥1}(−1)^{n}u_{n}^{−2}, ∑_{n≥1} u_{2n−1}^{−1} et ∑_{n≥1} n u_{2n}^{−1} sont transcendants.

3. La preuve de Yu. Nesterenko Une preuve complète du théorème de Yuri Nesterenko se trouve, en dehors de l’article original ([Nes1] pour l’annonce et [Nes2] pour les démonstrations), dans les exposés de Michel Waldschmidt au Séminaire Bourbaki [Wal1] et à Carleton [Wal2]. Pour les résultats quantitatifs les plus récents, on pourra consulter [Nes3].

Pour appliquer un critère d’indépendance algébrique de Patrice Philippon [Phi1], on construit une suite de polynômes A_{N} ∈ Z[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] telle que |A_{N}(q, P (q), Q(q), R(q))| soit petit, avec un contrôle des degrés et des hauteurs (la hauteur H(P) du polynôme P est le maximum des modules de ses coefficients) des A_{N} : Premier pas. Une fonction auxiliaire

Pour N ∈ N suffisamment grand, le principe des tiroirs (lemme de Siegel) fournit un polynôme non nul A ∈ Z[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] tel que: les degrés partiels de A sont ≤ N ; log H(A) ≤ 116 N log N ; et la fonction F définie par F (z) = A(z, P (z), Q(z), R(z)) possède en 0 un zéro d’ordre M ≥ \frac{1}{2} N^{4}. La fonction F n’est pas identiquement nulle car les fonctions z, P (z), Q(z) et R(z) sont algébriquement indépendantes sur C ([Mah2]), de sorte que M est correctement défini. On utilise alors le fait que les séries d’Eisenstein ont des coefficients entiers dont la croissance est polynomiale : la borne (grossière) σ_{k}(n) = ∑_{d|n} d^{k} ≤ (∑_{d|n} d)^{k} ≤ n^{2k} permet de majorer le module des coefficients de Taylor de z^{k_{0}} P (z)^{k_{1}} Q(z)^{k_{2}} R(z)^{k_{3}} par les coefficients de Taylor (de même indice) de c^{N} (1 − z)^{−22N}, où N ≥ k_{i} et où c est une constante absolue.

Si A = ∑_{0≤k_{i}≤N} a(k_{0}, \underline{k}) z^{k_{0}} \underline{X}\underline{k} et F (z) = A(z, P (z), Q(z), R(z)) = ∑_{n≥0} b_{n} z^{n},

le système linéaire des [(N + 1)^{4}/2] équations b_{n} = 0 (0 ≤ n < [(N + 1)^{4}/2]) en les (N + 1)^{4} inconnues a(k_{0}, \underline{k}) a ses coefficients entiers et bornés par le calcul précédent, il possède donc une solution entière non nulle et assez petite. On a ainsi construit une fonction auxiliaire F (z) = b_{M} z^{M} +∑_{n>M} b_{n} z^{n}, où b_{M} est un entier rationnel non nul. Deuxième pas. Majoration de |F (z)| Soit q ∈ D. La majoration des |a(k_{0}, \underline{k})| permet de borner les |b_{n}| et d’obtenir : Pour N assez grand et |z| ≤ r = min(\frac{1+|q|}{2}, 2|q|), on a |F (z)| ≤ |z|^{M} M^{187N}. La condition sur |z| est purement technique ; le fait important est que |z| ≤ r avec |q| < r < 1 et Yu. Nesterenko choisit un tel r. Troisième pas. Minoration d’un |F^{(T)}(q)|

Il existe un entier naturel T ≤ c_{1}(q) N log M tel que |F^{(T)}(q)| > (|q|/2)^{2M}.

Il suffit d’appliquer la formule des résidus à

G(z) = z^{−M−1} F (z) (\frac{r^{2} − qz̄}{r (z − q)})^{T} .

En effet, le module de F est borné par le deuxième pas et, par construction, le résidu en 0 de G est b_{M} (−r/q)^{T}, où |b_{M}| ≥ 1 car c’est un nombre entier non nul. Quatrième pas. Lemme de zéros Lemme de zéros (Nesterenko). Soient L_{0} et L des nombres entiers ≥ 1. Si A ∈ C[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] est un polynôme non nul de degrés ≤ L_{0} en z et ≤ L en chacun des X_{i}, alors ord_{0} A(z, P (z), Q(z), R(z)) ≤ 2.10^{45} L_{0} L^{3}.

Le point crucial qui permet d’obtenir un tel lemme de zéros est le système différentiel satisfait par P, Q et R :

12 ΘP = P^{2} − Q ,  3 ΘQ = P Q − R ,  2 ΘR = P R − Q^{2},

mais le z dans Θ = z^{↓} \frac{d}{dz} est cause d’une (la ?) sérieuse difficulté : il interdit l’usage des lemmes antérieurs de Yu. Nesterenko et oblige à démontrer un résultat qui est loin d’être trivial : Tout idéal premier non nul de C[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] ayant un zéro au point (0, 1, 1, 1) et stable par l’opérateur

D = z \frac{d}{dz} + \frac{1}{12}(X_{1}^{2} − X_{2})\frac{∂}{∂X_{1}} + \frac{1}{3}(X_{1}X_{2} − X_{3})\frac{∂}{∂X_{2}} + \frac{1}{2}(X_{1}X_{3} − X_{2}^{2})\frac{∂}{∂X_{3}}

contient le polynôme z (X_{2}^{3} − X_{3}^{2}).

La conclusion de ce quatrième pas est que le paramètre M est majoré par M ≤ c N^{4}, où c est une constante absolue. Cinquième pas. Qui est A_{N} ?

L’opérateur différentiel D ci-dessus a été étudié pour que, compte tenu du système différentiel satisfait par P, Q et R, pour tout B ∈ C[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}], on

ait \frac{d}{dz} B(z, P (z), Q(z), R(z)) = \frac{1}{z} (DB)(z, P (z), Q(z), R(z)).

En particulier, pour F (z) = A(z, P (z), Q(z), R(z)), par récurrence sur t ∈ N, on obtient z^{t} F^{(t)}(z) = D_{t}A(z, P (z), Q(z), R(z)), où l’opérateur différentiel D_{t} est défini par D_{t} = ∏_{0≤k<t} (D − k). De plus, il est clair que 12^{t} D_{t}A est, comme A, un polynôme à coefficients dans Z. Ainsi, avec les notations du troisième pas, il existe A_{N} ∈ Z[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] tel que (12 z)^{T} F^{(T)}(z) = A_{N}(z, P (z), Q(z), R(z)). Enfin, la formule A_{N} = 12^{T} D_{T} A permet de majorer le degré deg A_{N} et la hauteur H(A_{N}) de A_{N} : Pour tout entier N suffisamment grand, il existe A_{N} ∈ Z[z, X_{1}, X_{2}, X_{3}] tel que

deg A_{N} ≤ c_{2}(q) N log N, log H(A_{N}) ≤ c_{2}(q) N (log N)^{2} et

exp(−κ_{2}(q) N^{4}) ≤ |A_{N}(q, P (q), Q(q), R(q))| ≤ exp(−κ_{1}(q) N^{4}),

où les constantes c_{2} et κ_{i} ne dépendent que de q. Sixième pas. Conclusion

Un cas particulier du critère d’indépendance algébrique de P. Philippon [Phi1] permet alors de conclure : Critère. Soit \underline{x} ∈ C^{m} ; s’il existe une suite de polynômes A_{N} ∈ Z[\underline{X}] telle que

deg A_{N} ≤ σ(N), log H(A_{N}) ≤ σ(N) et

exp(−κ_{2} λ(N)) ≤ |A_{N}(\underline{x})| ≤ exp(−κ_{1} λ(N)),

où les κ_{i} sont des constantes positives, σ et λ sont des fonctions croissant vers l’infini et satisfaisant σ(N + 1) / σ(N) ⟶ 1 et λ(N) / (σ(N))^{k} ⟶ ∞ quand N ⟶ ∞, alors degtr_{Q} Q(\underline{x}) ≥ k.

Mesures. Si l’on choisit avec plus de soin les degrés partiels du polynôme A construit au premier pas de la démonstration, les estimations du cinquième pas sont assez précises pour que l’on puisse utiliser un critère fournissant des mesures. On obtient ainsi des mesures d’indépendance algébrique et des mesures d’approximation, par exemple :

Soit q ∈ D, si \underline{θ} = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) est une base de transcendance du corps Q(q, P (q), Q(q), R(q)), alors il existe une constante C > 0 telle que, pour B ∈ Z[X, Y, Z] \ {0}, on ait

log |B(\underline{θ})| > −C (t(B) + deg B log t(B))^{4} (log t(B))^{9},

où t(B) = max(e, deg B + log H(B)).

Soient q ∈ D et \underline{x} = (q, P (q), Q(q), R(q)), alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tout point algébrique \underline{α} = (α_{i})_{1≤i≤4}, on ait

log ∑_{1≤i≤4} |x_{i} − α_{i}| > −C (t(\underline{α}) deg(\underline{α}))^{4/3} log(t(\underline{α}) deg(\underline{α})),

où deg(\underline{α}) = [Q(\underline{α}) : Q], t(\underline{α}) = h(\underline{α}) + log deg(\underline{α}) et h(\underline{α}) est la hauteur loga-

rithmique absolue de Weil de \underline{α} : h(\underline{α}) = \frac{1}{deg(\underline{α})} ∑_{v} d_{v} log^{+} max_{1≤i≤4} |α_{i}|_{v}.

Variante. D’autre part, dans [Phi2] et [Phi3], P. Philippon propose une autre façon de conclure à partir de la construction transcendante pour obtenir un cas particulier (contenant l’indépendance algébrique de π, e^{π} et Γ(1/4)) du théorème 1 : le lemme de zéros et le critère sont remplacés par une mesure de transcendance, ce qui introduit d’ailleurs une composante elliptique dans la preuve ; la construction de transcendance est celle qui a été présentée ci-dessus, mais en un peu plus simple : au troisième pas, il suffit d’avoir F^{(T)}(q) ≠ 0 et, sans utiliser le lemme de zéros, la conclusion du cinquième pas est

deg A_{N} ≤ c(q) N log M, log H(A_{N}) ≤ c(q) N (log M)^{2} et

0 < |A_{N}(q, P (q), Q(q), R(q))| ≤ exp(−κ(q) M).

La mesure d’indépendance qu’on utilise alors est une version quantitative [GPhi1] du théorème de G.V. Chudnovsky dont on a parlé plus haut : Théorème 2. Soit ω ≠ 0 une période d’une fonction elliptique ℘ de Weierstrass d’invariants algébriques g_{2} et g_{3} et soit η la quasi-période associée. Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que, pour tout B ∈ Z[X, Y] \ {0} on ait |B(\frac{π}{ω} , \frac{η}{ω})| > exp (−c(ε) t(B)^{3+ε}).

La mesure annoncée par G.V. Chudnovsky était un peu meilleure que cela et P. Philippon [Phi4] vient d’en donner la première démonstration. Elle prouve, en particulier, que les nombres π/ω et η/ω, et donc Γ(1/4), ne sont pas des nombres de Liouville.

Pour utiliser le théorème 2, on suppose que g_{2} et g_{3} sont algébriques et que P (q), Q(q) et R(q) sont algébriques sur Q(π/ω, η/ω) ; alors, on élimine P (q), Q(q) et R(q) entre A_{N} et leurs polynômes minimaux sur Q(π/ω, η/ω). On obtient ainsi un B_{N}(π/ω, η/ω) qui, pour N suffisamment grand, contredit la mesure de G. Philibert. Cela prouve que Si J(q) est algébrique, alors degtr_{Q} Q (q, P (q), Q(q), R(q)) ≥ 3.

Notons enfin que, grâce à un lemme de zéros [GPhi2] pour les fonctions polynomiales en z et J(z), K. Barré obtient [Bar2] des mesures d’approximation simultanée |q − α| + |J(q) − β| > … meilleures que celles que l’on déduit des travaux de Yu. Nesterenko, dans le sens qu’elles séparent les contributions de α et β.

4. Nouvelles approches pour l’indépendance algébrique La plupart des résultats classiques d’indépendance algébrique se déduisent du critère d’indépendance algébrique de P. Philippon [Phi1] dont voici un cas particulier assez représentatif.

Critère. Soit n ≥ 1 un nombre entier. Il existe une constante C > 0 ayant la propriété suivante : Soient \underline{θ} ∈ C^{n} et η > 0 ; si, pour tout N entier suffisamment grand il existe un entier m = m(N) et des polynômes Q_{N_{j}} ∈ Z[X_{1}, …, X_{n}] (1 ≤ j ≤ m) tels que

deg Q_{N_{j}} ≤ N, H(Q_{N_{j}}) ≤ e^{N} et 0 < |Q_{N_{j}}(\underline{θ})| ≤ exp(−C N^{η}), et que, pour chaque N, le nombre des zéros communs aux Q_{N_{j}} (1 ≤ j ≤ m) dans la boule {z ∈ C^{n}; max_{1≤i≤n} |z_{i} − θ_{i}| ≤ exp(−3 C N^{η})} soit fini, alors

degtr_{Q} Q(\underline{θ}) > η − 1. Un tel résultat est obtenu par des méthodes d’élimination (algèbre commu-

tative). Les travaux récents de M. Laurent, D. Roy et M. Waldschmidt ont introduit un autre point de vue, qui apparaît aussi dans [Phi2] sous une forme un peu différente. Il consiste à remplacer le critère par des propriétés d’approximation du type suivant : Conjecture. Soient a et b des nombres réels ≥ 1. Il existe un nombre réel c ayant la propriété suivante : soient \underline{θ} ∈ C^{n} et t = degtr_{Q} Q(\underline{θ}) ; soient (D_{N})_{N∈N} et (h_{N})_{N∈N} des suites de nombres réels positifs telles que D_{N} + h_{N} n’est pas borné et que c ≤ h_{N} ≤ h_{N+1} ≤ a h_{N} et c ≤ D_{N} ≤ D_{N+1} ≤ b D_{N} , alors pour une infinité de N il existe un point \underline{α} ∈ C^{n} à coordonnées algébriques tel que c^{−1} D_{N} ≤ deg(\underline{α}) ≤ D_{N} , h(\underline{α}) ≤ h_{N} et

max_{1≤i≤n} |θ_{i} − α_{i}| ≤ exp (−c^{−1} h_{N} D_{N}^{1+1/t}) . En fait, un tel énoncé permet de retrouver le critère : supposons les hypothèses

du critère réalisées et le degré de transcendance de Q(\underline{θ}) petit. Alors la conjecture fournit de bonnes approximations algébriques de \underline{θ} par des nombres algébriques \underline{α}, de sorte que les nombres algébriques |Q_{N_{j}}(\underline{α})|, qui sont proches des |Q_{N_{j}}(\underline{θ})|, sont petits. L’inégalité de Liouville montre alors que les Q_{N_{j}}(\underline{α}) sont nuls. Cela contredit l’hypothèse de la version faible du critère où l’on suppose que les Q_{N_{j}} n’ont pas de zéro commun dans la boule considérée. La minoration de deg(\underline{α}) permet de traiter le cas général d’un nombre fini de zéros communs.

Actuellement la conjecture est démontrée pour t = 1, ce qui donne l’indépendance algébrique de deux nombres à partir de mesures d’approximation simultanée (voir en particulier [Roy-Wal1]). L’approche de P. Philippon (approximation par des cycles au lieu de points) permet d’atteindre, pour l’instant, le degré de transcendance 3.

Ces approches ont l’avantage de permettre l’utilisation de déterminants d’interpolation au lieu de fonctions auxiliaires pour obtenir des résultats d’indépendance algébrique. Il en est de même de la généralisation du critère (obtenue par M.

Laurent et D. Roy) faisant intervenir des multiplicités, c’est-à-dire tenant compte de petites valeurs des dérivées des polynômes Q_{N_{j}} au point \underline{θ}. Gageons que le fruit de ces travaux en cours fera l’objet d’un exposé à ICM’02.

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François Gramain Faculté des Sciences 23, rue du Docteur Paul Michelon F-42023 St Etienne CEDEX 2 Mél. : gramain@univ-st-etienne.fr