Représentations p-Adiques d’un Corps Local

Pierre Colmez^{1}

Abstract. We discuss applications of the theory of (φ, Γ)-modules to the study of p-adic representations of the Galois group of a local field and in particular to Iwasawa theory and explicit reciprocity laws.

Notations

On fixe une clôture algébrique \overline{Q}_{p} de Q_{p} et un système compatible ε = (1, ε^{(1)}, …, ε^{(n)}, …) de racines de l’unité avec ε^{(1)} ≠ 1 et (ε^{(n+1)})^{p} = ε^{(n)} si n ∈ N de telle sorte que ε^{(n)} est une racine primitive p^{n}-ième de l’unité si n ∈ N. Si K est une extension finie de Q_{p}, on note 𝒢_{K} le groupe de Galois Gal(\overline{Q}_{p}/K) et ℋ_{K} ⊂ 𝒢_{K} le noyau du caractère cyclotomique χ. On pose aussi Γ_{K} = 𝒢_{K}/ℋ_{K} de telle sorte que Γ_{K} est le groupe de Galois de l’extension cyclotomique K_{∞} = ∪_{n∈N}K_{n} de K, où l’on a noté K_{n} le corps K(ε^{(n)}) si n ∈ N.

Un Q_{p}-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action de ℋ_{K} (resp. 𝒢_{K}) est appelé une représentation p-adique de ℋ_{K} (resp. 𝒢_{K}). Si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K} et k ∈ Z, on note V (k) la tordue de V par la puissance k-ième du caractère cyclotomique.

I Introduction

Soit G un groupe topologique (comme ℋ_{K} ou 𝒢_{K}). Pour mettre un peu d’ordre dans les représentations p-adiques de G, on dispose d’une stratégie, introduite et amplement utilisée par Fontaine, qui consiste à construire des Q_{p}-algèbres topologiques munies d’une action continue de G et de structures additionnelles respectées par cette action. Chacune de ces algèbres B permet de découper dans l’ensemble des représentations p-adiques de G celles qui sont B-admissibles (i.e. qui deviennent triviales quand on étend les scalaires à B). Si V est une représentation Badmissible de 𝒢_{K}, le B^{G}-module (B⊗V)^{G} est libre de rang dim_{Q_{p}} V et est muni de toutes les structures additionnelles de B respectées par l’action de 𝒢_{K}. Ceci permet d’associer aux représentations de G des invariants plus maniables (en général des objets provenant de l’algèbre linéaire) et, si l’anneau B est assez fin (i.e a suffisamment de structures respectées par G), de classifier les représentations Badmissibles en termes de ces invariants. Cette approche a l’avantage de ramener l’étude de toutes les représentations B-admissibles à celle de l’anneau B.

1Recherche financée par le C.N.R.S

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Si on injecte dans cette stratégie l’idée, utilisée avec profit par Tate^{2} et Sen^{3}, selon laquelle on a intérêt^{4} à dévisser la situation en regardant 𝒢_{K} comme une extension de Γ_{K} par ℋ_{K} et la théorie du corps des normes de Fontaine et Wintenberger^{5} qui associe à l’extension K_{∞}/K un corps local E_{K} de caractéristique p, on aboutit à la théorie des (φ, Γ)-modules^{6}. Le point crucial de cette théorie est que l’on peut reconstruire une représentation V de 𝒢_{K} à partir de son (φ, Γ_{K})-module D(V) qui est a priori un objet beaucoup plus maniable^{7} et que l’on doit donc être capable de lire sur D(V) toutes les propriétés de V. Dans ce texte, nous donnons quelques applications de ce principe et en particulier la construction d’une vaste généralisation de l’isomorphisme de Coleman et de l’exponentielle de Perrin-Riou qui devrait être utile pour l’étude des fonctions-L p-adiques des motifs.

II Les anneaux Ẽ et Ã^{+}

Soit C_{p} le complété de \overline{Q}_{p} pour la topologie p-adique. Soit Ẽ l’ensemble des suites x = (x^{(0)}, …, x^{(n)}, …) d’éléments de C_{p} vérifiant (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)}. On munit Ẽ des lois + et · définies par x + y = s où s^{(n)} = lim_{m→+∞}(x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^{m}}

et x · y = t, avec t^{(n)} = x^{(n)}y^{(n)}, ce qui fait de Ẽ un corps de caractéristique p algébriquement clos et complet pour la valuation v_{E} définie par v_{E}(x) = v_{p}(x^{(0)}). On note Ẽ^{+} l’anneau des entiers de Ẽ. Soit Ã^{+} = W (Ẽ^{+}) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans Ẽ^{+} ^{8}. Si x ∈ Ẽ^{+}, soit [x] son représentant de Teichmüller dans Ã^{+}. Notre système ε de racines de l’unité peut être vu comme un élément de Ẽ, ce qui nous permet d’introduire les éléments π = [ε] − 1 et ω = \frac{π}{φ^{−1}(π)} = 1 + [ε^{\frac{1}{p}}] + ⋯ + [ε^{\frac{p−1}{p}}] de Ã^{+}. Tous les anneaux que nous aurons à considérer dans ce texte s’obtiennent à partir de l’anneau Ã^{+} en introduisant plus ou moins de dénominateurs en p ou ω et en complétant ^{9}.

2J. Tate, dans “Proc. of a conf. on local fields”, Driebergen, 158-183, Springer 1967.

3S. Sen, Inv. Math. 62, 89-116, 1980.

4Si l’anneau B est assez gros, les représentations de ℋ_{K} sont automatiquement B-admissibles et on est ramené à étudier l’anneau B^{ℋ_{K}} . C’est ce qu’a remarqué Sen dans le cas B = C_{p}.

5J.-P. Wintenberger, Ann. Sci. E.N.S. 16, 59-89, 1983.

6J.-M. Fontaine, dans “The Grothendieck Festschrift”, vol II, 249-309, Birkhaüser 1991.

7C’est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps local de dimension 2 muni de deux opérateurs semi-linéaires commutant entre eux

8L’anneau Ẽ^{+} est habituellement noté R ou ℛ dans la théorie des périodes p-adiques et Ã^{+} est souvent noté A_{inf}

9L’application qui à ∑_{n=0}^{+∞} p^{n}[x_{n}] associe ∑_{n=0}^{+∞} p^{n}x_{n}^{(0)} est un morphisme surjectif d’anneaux de Ã^{+} sur 𝒪_{C_{p}} dont le noyau est l’idéal engendré par ω qui est donc premier

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Représentations p-Adiques 155

III B_{dR} et les représentations de de Rham

On note B_{dR}^{+} le complété de B̃^{+} = Ã^{+}[\frac{1}{p}] pour la topologie ω-adique. Cet anneau peut aussi s’obtenir en complétant \overline{Q}_{p} pour une topologie adéquate^{10}. L’anneau B_{dR} = B_{dR}^{+}[\frac{1}{ω}] est le corps des fractions de B_{dR}^{+} et est muni d’une filtration décroissante stable par l’action de Galois et définie par Fil^{i}B_{dR} = ω^{i}B_{dR}^{+} si i ∈ Z. La série log[ε] = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} π^{n} converge dans B_{dR}^{+} vers un élément que nous noterons t sur lequel σ ∈ 𝒢_{Q_{p}} agit via la formule σ(t) = χ(σ)t et qui peut être vu comme un analogue p-adique de 2iπ. Si x ∈ K_{∞}((t)) et n ∈ N, alors la suite \frac{1}{p^{m}} Tr_{K_{m}((t))/K_{n}((t))}(x) est stationnaire pour m ≥ n assez grand. On note T_{K,n} l’application de K_{∞}((t)) dans K_{n}((t)) ainsi définie.

Si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K}, on note D_{dR}(V) le module (B_{dR} ⊗ V)^{𝒢_{K}} . C’est un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration décroissante par des sous-K-espaces vectoriels. Une représentation B_{dR}- admissible de 𝒢_{K} est dite “de de Rham”. Les représentations de ℋ_{K} sont toutes B_{dR}-admissibles et les aplications T_{K,n} donnent une bonne idée de ce à quoi B_{dR}^{ℋ_{K}} ressemble.

Proposition 1. K_{∞}((t)) est dense dans B_{dR}^{ℋ_{K}} et T_{K,n} s’étend par continuité en une application Q_{p}-linéaire de B_{dR}^{ℋ_{K}} dans K_{n}((t)).

IV B_{cont} et les représentations cristallines

On note A_{max} le complété de Ã^{+}[\frac{ω}{p}] pour la topologie p-adique et B_{max}^{+} = A_{max}[\frac{1}{p}]. Comme l’idéal (p, ω) de Ã^{+} est stable par φ, l’action de φ s’étend par continuité à A_{max} et B_{max}^{+} mais n’est plus une bijection et on pose B_{cont}^{+} = ∩_{n∈N}φ^{n}(B_{max}^{+}). D’autre part, B_{cont}^{+} s’identifie naturellement à un sous-anneau de B_{dR}^{+} contenant t (on a φ(t) = pt) et on pose B_{cont} = B_{cont}^{+}[1/t].

Si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K}, on note D_{cris}(V) le module (B_{cont} ⊗ V)^{𝒢_{K}} . C’est un K ∩ Q_{p}^{nr}-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action de φ et K ⊗_{K∩Q_{p}^{nr}} D_{cris}(V) s’identifie à un sous-K-espace vectoriel de D_{dR}(V) et donc est muni d’une filtration décroissante. Une représentation B_{cont}- admissible de 𝒢_{K} est dite “cristalline”. Une représentation de ℋ_{K} est “presque” B_{cont}-admissible et même “presque” B_{cont}^{φ=1}-admissible et la proposition suivante nous donne une description de B_{cont}^{ℋ_{K}} dans le cas ou K est non ramifié sur Q_{p}.

Proposition 2. Si K est non ramifié sur Q_{p} et x ∈ (B_{cont}^{+})^{ℋ_{K}} , il existe une unique distribution μ sur Q_{p} telle que l’on ait x = ∫_{Q_{p}}[ε^{x}]μ. On dit que x est la transformée de Fourier de μ. D’autre part, si n ≥ 1, alors T_{K,n}(x) est la transformée de Fourier de la restriction de μ à p^{−n}Z_{p}.

10On renvoie à Périodes p-adiques exposés II et III, Astérisque 223, 1994 pour les détails concernant cette section et la suivante.

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V L’application exponentielle de Bloch-Kato

Les anneaux B_{cont} et B_{dR} sont reliés par la suite exacte fondamentale

0 ⟶ Q_{p} ⟶ B_{cont}^{φ=1} ⟶ B_{dR}/B_{dR}^{+} ⟶ 0.

Soient K une extension finie de Q_{p} et V une représentation p-adique de 𝒢_{K}. Tensorisant la suite exacte fondamentale avec V et prenant la suite exacte de cohomologie associée, on en déduit une application de D_{dR}(V) dans H^{1}(K, V) appelée exponentielle de Bloch-Kato^{11} et notée exp_{V}. Cette application se factorise à travers D_{dR}(V)/Fil^{0}D_{dR}(V) et son image est incluse dans le noyau H_{e}^{1}(K, V) de l’application naturelle de H^{1}(K, V) dans H^{1}(K, B_{cont}^{φ=1} ⊗ V).

D’autre part, si V est de de Rham, l’image de exp_{V} est H_{e}^{1}(K, V) tout entier. et si k ≫ 0, alors exp_{V (k)} est un isomorphisme de D_{dR}(V (k)) sur H^{1}(K, V (k)). Par dualité, on définit^{12} une application exp_{V}^{∗} : H^{1}(K, V^{∗}(1)) → D_{dR}(V^{∗}(1)).

VI Les anneaux E, A et B

On note Ã le complété de Ã^{+}[\frac{1}{p}] pour la topologie p-adique. L’anneau Ã est aussi l’anneau W (Ẽ) des vecteurs de Witt à coefficients dans Ẽ et B̃ = Ã[\frac{1}{p}] en est le corps des fractions. Si K est une extension finie de Q_{p}, les anneaux Ẽ_{K} = Ẽ^{ℋ_{K}} , Ã_{K} = Ã^{ℋ_{K}} et B̃_{K} = B̃^{ℋ_{K}} ont des structures un peu désagréables, ce qui a amené Fontaine à introduire des sous-anneaux E, A et B^{13} de Ẽ, Ã et B̃ respectivement qui sont stables par φ et 𝒢_{Q_{p}}. Si K est une extension finie de Q_{p}, on pose^{14} E_{K} = E^{ℋ_{K}} , A_{K} = A^{ℋ_{K}} et B_{K} = B^{ℋ_{K}} . Proposition 3. (i) B est un corps valué complet dont A = B ∩ Ã est l’anneau des entiers et E est le corps résiduel. De plus E est la clôture séparable de E_{Q_{p}} = F_{p}((ε − 1)) dans Ẽ et Gal(E/E_{K}) = ℋ_{K} si K est une extension finie de Q_{p}.

(ii) E_{K} est un corps local de caractéristique p, Ẽ_{K} est le complété de sa clôture radicielle et B_{K} est un corps local de dimension 2 dont A_{K} est l’anneau des entiers et E_{K} le corps résiduel.

Le lien entre φ^{−n}(E_{K}) et Ẽ_{K} ou φ^{−n}(B_{K}) et B̃_{K} est à peu près le même que celui entre K_{n}((t)) et B_{dR}^{ℋ_{K}} comme le montre la proposition 7. En particulier, les applications T_{K,n} : B_{dR}^{ℋ_{K}} → K_{n}((t)) de la proposition 1 ont des analogues^{15} très utiles pour démontrer le théorème 8 par exemple.

11S. Bloch et K. Kato, dans “The Grothendieck Fesschrift”, vol. I, 333-400, Birkhaüser 1990.

12Cette définition de l’exponentielle duale est un peu détournée, mais K. Kato (Springer Lect.

Notes 1553, 50-163, 1993), en a trouvé une construction directe.

13Il les note respectivement E^{sép}, 𝒪ℰ̂^{nr} et ℰ̂^{nr}.

14E_{K} est le corps des normes de l’extension K_{∞}/K et la théorie du corps des normes est l’ingŕedient principal de la démonstration de la proposition 3.

15Du point de vue des distributions (cf. prop. 2), passer de B̃ à B revient à ne regarder que les distributions à support dans Z_{p} qui a le bon goût d’être compact.

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VII Le (φ, Γ_{K})-module associé à une représentation de 𝒢_{K}

L’image de H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(F_{p})) dans H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(E)) est triviale d’après le théorème de Hilbert 90. Un petit argument de dévissage permet d’en déduire que l’image de H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(Z_{p})) dans H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(A)) est triviale puis que l’image de H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(Q_{p})) dans H^{1}(ℋ_{K} , GL_{d}(B)) est triviale. On obtient donc la proposition suivante.

Proposition 4. Toute représentation p-adique de ℋ_{K} est B-admissible.

Cette proposition peut être grandement précisée grâce à l’introduction des notions de φ-module et de (φ, Γ)-module.

Définition 5. Soit K une extension finie de Q_{p}.

(i) On appelle φ-module sur B_{K} tout B_{K}-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action semi-linéaire de φ.

(ii) On dit qu’un φ-module est étale ou de pente 0 s’il possède une base sur B_{K} dans laquelle la matrice de φ appartient à GL_{d}(A_{K}).

(iii) On appelle (φ, Γ_{K})-module sur B_{K} tout B_{K}-espace vectoriel de dimension finie muni d’actions semi-linéaires de Γ_{K} et φ commutant entre elles. On dit qu’un (φ, Γ_{K})-module est étale ou de pente 0 s’il l’est en tant que φ-module.

Si K est une extension finie de Q_{p} et V est une représentation p-adique de ℋ_{K} , on pose D(V) = (B ⊗_{Z_{p}} V)^{ℋ_{K}} . L’action de φ sur B commutant à celle de 𝒢_{K}, D(V) est muni d’une action de φ. Si de plus V est la restriction à ℋ_{K} d’une représentation de 𝒢_{K}, le module D(V) est muni d’une l’action résiduelle de 𝒢_{K}/ℋ_{K} = Γ_{K} qui commute à celle de φ.

Proposition 6. L’application qui à V associe D(V) est une équivalence^{16} de catégories de la catégorie des représentations p-adiques de ℋ_{K} (resp. 𝒢_{K}) sur celle des φ-modules (resp. (φ, Γ)-modules) étales sur B_{K}.

VIII B^{†} et les représentations surconvergentes

Si n ∈ N, on note Ã^{†,n} le complété de Ã^{+}[\frac{p}{ω^{p^{n}}}] pour la topologie p-adique et B̃^{†,n} = Ã^{†,n}[\frac{1}{p}]. Ces anneaux s’identifient à des sous-anneaux de B̃ et B̃^{†} = ∪_{n∈N}B̃^{†,n} est un sous-corps de B̃ stable par φ. Si (a_{k})_{k∈N} est une suite d’éléments de Ã^{+} tendant p-adiquement vers 0, alors la série ∑_{k=0}^{+∞} φ^{−n}(a_{k})(\frac{p}{φ^{−n}(ω)^{p^{n}}} )^{k} converge dans B_{dR}^{+}, ce qui nous permet de définir un morphisme^{17} d’anneaux φ^{−n} de B̃^{†,n} dans B_{dR}^{+} qui est injectif et commute à l’action de Galois.

16Comme B^{φ=1} = Q_{p}, si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K}, alors (B ⊗_{B_{K}} D(V))^{φ=1} est canoniquement isomorphe à V en tant que représentation de 𝒢_{K}

17Ce morphisme permet de relier les invariants de V obtenus via la théorie des (φ, Γ)-modules à ceux obtenus via les anneaux des périodes p-adiques ; c’est ce qui justifie l’introduction de la notion de représentation surconvergente.

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On définit un sous-corps B^{†} de B stable par φ et 𝒢_{Q_{p}} et, si n ∈ N, un sousanneau B^{†,n} de B stable par 𝒢_{K} en posant B^{†} = B ∩ B̃^{†} et B^{†,n} = B ∩ B̃^{†,n}. Finalement, si K est une extension finie de Q_{p}, on pose B_{K}^{†} = (B^{†})^{ℋ_{K}} et B_{K}^{†,n} = (B^{†,n})^{ℋ_{K}} . Les éléments de B_{K}^{†} peuvent se décrire en termes de séries de Laurent surconvergentes et on a le résultat suivant.

Proposition 7. Si K est une extension finie de Q_{p} et si n est assez grand, alors φ^{−n}(B_{K}^{†,n}) ⊂ K_{n}((t)).

Si V est une représentation p-adique de ℋ_{K} , on pose D^{†}(V) = (B^{†} ⊗_{Q_{p}} V)^{ℋ_{K}} et D^{†,n}(V) = (B^{†,n} ⊗_{Q_{p}} V)^{ℋ_{K}} si n ∈ N. Une représentation de ℋ_{K} qui est B^{†}- admissible est dite “surconvergente”. On peut trouver des représentations de ℋ_{K} qui ne sont pas surconvergentes (c’est même le cas général), mais on a le théorème suivant^{18} qui montre que l’on n’a pas besoin d’introduire trop de dénominateurs (en π ou ω) pour décrire les représentations 𝒢_{K}.

Théorème 8. Si K est une extension finie de Q_{p}, toute représentation p-adique de 𝒢_{K} est surconvergente.

IX B^{+} et les représentations de hauteur finie

On pose B̃^{+} = Ã^{+}[\frac{1}{p}] et B^{+} = B ∩ B̃^{+}. Si V et une représentation p-adique de 𝒢_{K}, on pose D^{+}(V) = (B^{+} ⊗ V)^{ℋ_{K}} et on dit^{19} que V est “de hauteur finie” si on n’a pas besoin de dénominateurs pour la décrire, c’est-à-dire si D^{+}(V) contient une base de D(V) sur B_{K}.

Un telle représentation est particulièrement sympathique et, dans le cas où K est non ramifié, on a le résultat suivant^{20} qui avait été conjecturé par Fontaine.

Théorème 9. Si K est non ramifié^{21} sur Q_{p}, toute représentation cristalline de 𝒢_{K} est de hauteur finie.

18F. Cherbonnier et P. Colmez, Représentations p-adiques surconvergentes, Inv. Math. Le point de départ de la démonstration est le résultat de Sen (loc. cit.) qui permet de montrer que toute représentation de ℋ_{K} est B̃^{†}-admissible. Pour redescendre de B̃^{†} à B^{†}, on utilise les opérateurs T_{K,n} et une étude fine de l’action de Γ_{K} sur B̃_{K}^{†}.

19N. Wach, Bull. de la S.M.F. 124, 375-400, 1996.

20P. Colmez, Représentations cristallines et représentations de hauteur finie, 1997. La démonstration qui se trouve dans cette prépublication est très tortueuse. Une démonstration plus directe fournissant une description de D^{+}(V) serait la bienvenue ; cela a été fait par N.

Wach (loc. cit.) dans le cas où la longueur de la filtration de D_{cris}(V) est inférieure ou égale à p − 1.

21Cette hypothèse peut être remplacée par K_{∞} non ramifié sur Q_{p}(μ_{p^{∞}}), mais ne peut être totalement supprimée : il existe des représentations cristallines qui ne sont pas de hauteur finie.

D’autre part, on dispose d’un critère simple portant sur l’action de Γ_{K} sur D^{+}(V) pour qu’une représentation de hauteur finie soit cristalline (Wach (loc. cit.)).

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X Modules d’Iwasawa associés à une représentation p-adique

Si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K}, on note H_{Iw}^{i}(K, V) le groupe de cohomologie continue H^{i}(𝒢_{K}, Z_{p}[[Γ_{K}]] ⊗ V). On peut aussi voir Z_{p}[[Γ_{K}]] ⊗ V comme l’ensemble des mesures sur Γ_{K} à valeurs dans V et comme l’application μ → χ(x)^{k}μ est un isomorphisme 𝒢_{K}-équivariant de Z_{p}[[Γ_{K}]] ⊗ V sur Z_{p}[[Γ_{K}]] ⊗ V (k), on en déduit des isomorphismes H_{Iw}^{i}(K, V (k)) ≅ H_{Iw}^{i}(K, V) et des applications^{22} μ → ∫_{Γ_{Kn}} χ(x)^{k}μ de H_{Iw}^{i}(K, V) dans H^{i}(K_{n}, V (k)) pour tout k ∈ Z et n ∈ N.

Les groupes H_{Iw}^{i}(K, V) ont été étudiés en détail par Perrin-Riou^{23}. On a en particulier le résultat suivant. Proposition 10. Soit V une représentation p-adique de 𝒢_{K}.

i) H_{Iw}^{i}(K, V) = 0 si i ≠ 1, 2.

ii) H_{Iw}^{1}(K, V) est un Q_{p} ⊗ Z_{p}[[Γ_{K}]]-module de type fini dont le sous-module de torsion est naturellement isomorphe à V^{ℋ_{K}} et H_{Iw}^{1}(K, V)/V^{ℋ_{K}} est libre de rang [K : Q_{p}] dim_{Q_{p}} V.

iii) H_{Iw}^{2}(K, V) est isomorphe à V (−1)^{ℋ_{K}} en tant que Q_{p} ⊗ Z_{p}[[Γ_{K}]]-module ; en particulier, il est de torsion.

XI La machine à fonctions-L p-adiques

Afin de mieux comprendre la construction par Coates et Wiles^{24} de la fonction-L p-adique d’une courbe elliptique à multiplication complexe à partir des unités elliptiques, Coleman^{25} a montré comment associer à tout u ∈ lim_{⟵} 𝒪_{K_{n}}^{∗} une mesure λ_{u} sur Z_{p}^{∗} dans le cas où K est non ramifié sur Q_{p}. L’application qui à u associe λ_{u} est presque un isomorphisme de Z_{p}[[Γ_{K}]]-modules et est appelé l’isomorphisme de Coleman. Si on prend pour u le système des unités cyclotomiques, la mesure λ_{u} que l’on obtient donne la fonction zêta de Kubota-Leopoldt. Quand on a la chance de disposer d’une telle construction pour une fonction-L p-adique, il y a toujours des retombées arithmétiques spectaculaires et il semble donc intéressant d’essayer de généraliser la construction de Coleman à d’autres représentations que Q_{p}(1)^{26}. Cela a été fait par Perrin-Riou^{27} dans le cas d’une représentation cristalline d’une extension non ramifiée de Q_{p}, ce qui lui a permis^{28} de donner une définition (conjecturale) de la fonction-L p-adique d’un motif ayant bonne réduction en p. Sa construction repose sur une interpolation p-adique des exponentielles de Bloch-Kato pour les représentations V (k) avec k ∈ Z et fournit une application “exponentielle” qui, dans le cas de Q_{p}(1) donne l’inverse de l’isomorphisme de Coleman. Dans la suite de ce texte, nous allons présenter deux généralisations de sa construction.

22Utilisant ces applications, on montre que H_{Iw}^{i}(K, V) est isomorphe à Q_{p} ⊗_{Z_{p}} lim_{⟵} H^{i}(K_{n}, T), où T est un Z_{p}-réseau de V stable par 𝒢_{K} et la limite projective est prise relativement aux applications de corestriction. On retombe donc sur la définition usuelle des modules d’Iwasawa.

23B. Perrin-Riou, Inv. Math. 115, 81-149, 1994

24J. Coates et A. Wiles, J. Australian Math. Soc., A 26, 1-25, 1978

25R. Coleman, Inv. Math. 53, 91-116, 1979

26La théorie de Kummer nous fournit une application δ de lim_{⟵} 𝒪_{K_{n}}^{∗} dans H_{Iw}^{1}(K, Q_{p}(1))

27loc. cit.

28B. Perrin-Riou, Astérisque 229, 1995

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XII L’application logarithme

Soit V une représentation de de Rham telle que (B_{cont}^{φ=1} ⊗ V)^{𝒢_{Kn}} = {0} quel que soit n ∈ N^{29}. Notons H_{Iw,e}^{1}(K, V) le sous-ensemble des éléments μ de H_{Iw}^{1}(K, V) tels que ∫_{Γ_{Kn}} μ ∈ H_{e}^{1}(K_{n}, V) quel que soit n ∈ N. L’ensemble H_{Iw,e}^{1}(K, V) peut très bien être réduit à 0, mais il existe k(V) ∈ Z tel que l’on ait H_{Iw,e}^{1}(K, V) = H_{Iw}^{1}(K_{n}, V (k)) si k ≥ k(V).

Si μ ∈ H_{Iw,e}^{1}(K, V) et τ → μ_{τ} est un cocycle continu représentant μ, il existe, quel que soit n ∈ N, un élément c_{n} ∈ B_{cont}^{φ=1} ⊗V tel que l’on ait (1−τ)c_{n} = ∫_{Γ_{Kn}} μ_{τ} quel que soit τ ∈ 𝒢_{K_{n}}. L’élément c_{n} est bien déterminé grâce à l’hypothèse faite sur V.

Théorème 11. Si μ ∈ H_{Iw,e}^{1}(K, V), alors la suite de terme général p^{n}c_{n} converge dans B_{cont}^{φ=1} ⊗ V vers un élément de (B_{cont}^{φ=1} ⊗ V)^{ℋ_{K}} qui ne dépend pas du choix du cocycle τ → μ_{τ} ; il est noté Log(μ).

Cette application logarithme^{30} est une généralisation de l’isomorphisme de Coleman et, dans le cas où V est cristalline, est, à normalisation près, un inverse de l’application exponentielle introduite par Perrin-Riou. Plus précisément, utilisant la transformée de Fourier des distributions et les résultats de Perrin-Riou, on démontre le résultat suivant.

Théorème 12. Soit K une extension finie non ramifiée de Q_{p}.

(i) Si V est une représentation cristalline de 𝒢_{K} telle que Fil^{1}D_{cris}(V) = {0} et μ ∈ H_{Iw,e}^{1}(K, V), alors il existe une (unique) distribution^{31} λ_{V} (μ) sur Q_{p} à valeurs dans D_{cris}(V) dont Log_{V} (μ) est la transformée de Fourier et si k est un entier suffisamment grand, alors

\frac{1 − p^{−1}φ^{−1}}{1 − φ} (∫_{Z_{p}^{∗}} \frac{k!}{(−tx)^{k}} λ_{V} (μ)) = exp_{V (k)}^{−1}(∫_{Γ_{K}} χ(x)^{k}μ)

(ii) Si u ∈ lim_{⟵} 𝒪_{K_{n}}^{∗}, la mesure λ_{u} que l’on obtient via l’isomorphisme de Coleman est la restriction à Z_{p}^{∗} de λ_{Q_{p}(1)}(δ(u)).

29Cette hypothèse n’est là que pour simplifier les énoncés qui suivent et devient automatique si on remplace V par V (k) sauf pour un nombre fini de k ∈ Z.

30P. Colmez, Théorie d’Iwasawa des représentations de de Rham d’un corps local, Ann. of Math.

31L’existence de cette distribution traduit une propriété de continuité p-adique de l’application k → exp_{V (k)}. L’idée qu’une telle continuité devait exister a d’ailleurs été le point de départ de Perrin-Riou.

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XIII La loi de réciprocité explicite de Perrin-Riou

Revenons au cas où K est une extension finie quelconque de Q_{p} et V une représentation de de Rham de 𝒢_{K}. Si n ∈ N, on étend l’application T_{K,n} par linéarité en une application de (B_{dR} ⊗ V)^{ℋ_{K}} = B_{dR}^{ℋ_{K}} ⊗ D_{dR}(V) dans K_{n}((t)) ⊗ D_{dR}(V). Un élément x de K_{n}((t)) ⊗ D_{dR}(V) s’écrit de manière unique sous la forme ∑_{k∈Z} ∂_{k}(x)t^{k} avec ∂_{k}(x) ∈ K_{n} ⊗ D_{dR}(V). Tout cela nous permet de définir pour chaque k ∈ Z et n ∈ N, un morphisme CW_{k,n} de H_{Iw,e}^{1}(K, V) dans K_{n} ⊗ D_{dR}(V) en posant

CW_{k,n}(μ) = ∂_{k}(T_{K,n}(Log_{V} (μ))).

Ces morphismes sont des généralisations des morphismes de Coates-Wiles et le théorème suivant montre qu’ils sont liés aux exponentielles de Bloch-Kato. Théorème 13. Si μ ∈ H_{Iw,e}^{1}(K, V), si n ∈ N et si k ∈ Z, alors

CW_{k,n}(μ) = − exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗}(∫_{Γ_{Kn}} χ(x)^{−k}μ).

Si on suppose K non ramifié sur Q_{p} et V cristalline, on peut retraduire ce théorème en termes de distributions et on obtient la proposition suivante qui est une des formes équivalentes de la loi de réciprocité conjecturée par Perrin-Riou^{32}. Proposition 14. Sous les hypothèses du théorème 12, si k ≫ 0, alors

\frac{1 − p^{−1}φ^{−1}}{1 − φ} (∫_{Z_{p}^{∗}} \frac{(tx)^{k}}{(k − 1)!}λ_{V} (μ)) = − exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗}(∫_{Γ_{K}} χ(x)^{−k}μ)

XIV (φ, Γ)-modules et cohomologie galoisienne

Le corps B est une extension de degré p de φ(B), (totalement ramifiée car l’extension résiduelle est radicielle). Ceci nous permet de définir une application ψ : B → B par la formule ψ(x) = φ^{−1}(Tr_{B/φ(B)}(x)). Ceci fait de ψ un inverse à gauche de φ qui commute à l’action de 𝒢_{K}.

Soient K une extension finie de Q_{p} et Δ_{K} le sous-groupe de torsion de Γ_{K} de telle sorte que Γ′_{K} = Γ_{K}/Δ_{K} est isomorphe à Z_{p}. Soit γ un générateur de Γ′_{K}. Si V est une représentation p-adique de 𝒢_{K}, soit D′(V) = D(V)^{Δ_{K}}. Considérons le complexe

0 ⟶ D′(V) ⟶ D′(V) ⊕ D′(V) ⟶ D′(V) ⟶ 0,

où les applications de D′(V) dans D′(V)⊕D′(V) et de D′(V)⊕D′(V) dans D′(V) sont respectivement définies par x → ((ψ − 1)x, (γ − 1)x) et (a, b) → (γ − 1)a − (ψ − 1)b.

32Cette loi est une généralisation de celle de Bloch-Kato pour Q_{p}(r) ; une démonstration complètement différente a été obtenue par Kato, Kurihara et Tsuji.

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On a le résultat suivant^{33} Théorème 15. Si i ∈ N, le i-ème groupe de cohomologie du complexe ci-dessus s’identifie fonctoriellement au groupe de cohomologie galoisienne H^{i}(K, V).

XV (φ, Γ)-modules et théorie d’Iwasawa

Les résultats mentionnés ci-dessus mènent naturellement^{34} à une description des groupes H_{Iw}^{i}(K, V) en termes de D(V). Théorème 16. Soit V une représentation p-adique de 𝒢_{K}.

i) H_{Iw}^{1}(K, V) s’identifie fonctoriellement à D(V)^{ψ=1} via une application Exp^{∗}.

ii) H_{Iw}^{2}(K, V) s’identifie fonctoriellement à \frac{D(V)}{ψ−1}.

Remarquons que l’on n’a fait aucune hypothèse restrictive sur V ou sur K pour définir Exp^{∗}. Dans le cas où K est non ramifié sur Q_{p} et V = Q_{p}(1), un petit calcul montre que Exp^{∗}(δ(u)) est la transformée de Fourier de la mesure xλ_{u}, ce qui permet de voir l’application Exp^{∗} comme une vaste généralisation de l’isomorphisme de Coleman.

On peut utiliser le fait que toute représentation p-adique de 𝒢_{K} est surconvergente pour relier^{35}, dans le cas des représentations de de Rham, les applications Exp^{∗} et Log et retrouver les homomorphismes de Coates-Wiles généralisés via la théorie des (φ, Γ)-modules. De manière précise, on a la loi de réciprocité explicite suivante que l’on pourra comparer avec le théorème 13. Théorème 17. Si K est une extension finie de Q_{p} et V une représentation de de Rham de 𝒢_{K}, il existe n(V) ∈ N tel que si μ ∈ H_{Iw}^{1}(K, V), alors Exp^{∗}(μ) ∈ D^{†,n(V)}(V) et si n ≥ n(V), on a l’égalité suivante dans K_{n}((t)) ⊗ D_{dR}(V)

p^{−n}φ^{−n}(Exp^{∗}(μ)) = ∑_{k∈Z} exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗}(∫_{Γ_{Kn}} χ(x)^{−k}μ).

D.M.I., École Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France Institut de Mathématiques, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France

33L.Herr, Cohomologie Galoisienne des corps p-adiques, thèse de l’université d’Orsay, 1995.

Le point de départ de la démonstration est la suite exacte 0 → Q_{p} → B⟶^{1−φ}B → 0. La thèse de Herr contient en outre une démonstration du théorème de dualité locale via la théorie des (φ, Γ)-modules dont l’ingrédient principal est une description de l’isomorphisme canonique H^{2}(K, Q_{p}(1)) ≅ Q_{p} grâce à une application résidu.

34Il s’agit d’un résultat non publié de J.-M. Fontaine ; on en trouvera une démonstration dans F. Cherbonnier et P. Colmez, Théorie d’Iwasawa des représentations p-adiques d’un corps local, Journal de l’A.M.S.

35Cette comparaison est d’ailleurs le point de départ de la démonstration du théorème 9. D.

Benois a entrepris le chemin inverse et obtenu (On Iwasawa theory of crystalline representations, preprint 1998) une démonstration de la loi de réciprocité explicite de Perrin-Riou via la théorie des (φ, Γ)-modules dans le cas des représentations cristallines de hauteur finie.

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