Descente galoisienne sur le second groupe de Chow :

mise au point et applications

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Jean-Louis Colliot-Thélène

Received: June 22, 2014 Revised: May 24, 2015

Résumé. Le troisième groupe de cohomologie étale non ramifié d’une variété projective et lisse, à coefficients dans les racines de l’unité tordues deux fois, intervient dans plusieurs articles récents, en particulier en relation avec le groupe de Chow de codimension 2. Des résultats généraux ont été obtenus à ce sujet par B. Kahn en 1996. De récents travaux, du côté des groupes algébriques linéaires d’une part, du côté de la géométrie algébrique complexe d’autre part, m’incitent à les passer en revue, et à les spécialiser aux variétés proches d’être rationnelles.

2010 Mathematics Subject Classification: 19E15, 14C35, 14C25

Dans tout cet article, on note F un corps de caractéristique zéro, \overline{F} une clôture algébrique de F et G = Gal(\overline{F} /F). Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre. On note \overline{X} = X ×_{F} \overline{F}. On note F (X) le corps des fonctions rationnelles de X et \overline{F} (X) le corps des fonctions rationnelles de \overline{X}. L’application naturelle entre groupes de Chow de codimension 2

CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}

n’est en général ni injective ni surjective, même si l’on suppose que X est projective et que l’ensemble X(F) des points rationnels de X est non vide – à la différence du cas bien connu de CH^{1}(X).

Plusieurs travaux ont été consacrés à l’étude des noyau et conoyau de cette application et aux liens entre le groupe de Chow de codimension deux et le troisième groupe de cohomologie non ramifiée de X à valeurs dans ℚ/ℤ(2), groupe noté H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)). Citons en particulier [6], Raskind et l’auteur [10], Lichtenbaum [23], Kahn [19, 20], C. Voisin et l’auteur [11], Pirutka [29], Kahn et l’auteur [8], Merkurjev [4, 24, 25, 26], Voisin [34]. Une des raisons de s’intéresser au groupe H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) est que c’est un invariant F -birationnel des F -variétés projectives et lisses, réduit à H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) si la F -variété X est F -birationnelle à un espace projectif.

Le résultat principal du présent article est le Théorème 4.1, qui s’applique à toute variété projective et lisse géométriquement rationnellement connexe, et qui dans le cas particulier des variétés géométriquement rationnelles établit (Corollaire 4.2) une suite exacte

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) →

→ H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] →

H^{2}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×})

sous l’une des deux hypothèses supplémentaires :

(i) La F -variété X possède un F -point. (ii) La dimension cohomologique de F est au plus 3.

Décrivons la structure de l’article.

Le §1 est consacré à des rappels de résultats fondamentaux sur la K-coho-mologie, la cohomologie non ramifiée et la cohomologie motivique. On y rappelle aussi (Prop. 1.3) un résultat de [8] apportant une correction à [20].

Au §2, sous l’hypothèse que le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible, on établit par deux méthodes différentes (l’une K-théorique, l’autre motivique) une suite exacte générale (Propositions 2.4 et 2.6). On suppose ici la variété X lisse et géométriquement intègre, mais non nécessairement propre. Ceci s’applique en particulier aux espaces classifiants de groupes semisimples considérés par Merkurjev [24]. La première méthode, à l’ancienne, via la K-cohomologie, est celle des articles [10], [11]. La seconde méthode fait usage des groupes de cohomologie motivique à coefficients ℤ(2), comme dans l’article [20] de Bruno Kahn. De ce point de vue, on ne fait que généraliser [20, Thm. 1, Corollaire], avec la correction mentionnée ci-dessus. Lorsque le corps de base est de dimension cohomologique au plus 1, auquel cas la correction n’est pas utile, et lorsque de plus les variétés considérées sont projectives, ces suites exactes ont déjà été utilisées dans [11] et [8].

Au §3, pour X projective et lisse, on donne des conditions permettant de contrôler le groupe H^{1}(\overline{X}, K_{2}) apparaissant dans les suites exactes du §2. On donne une application aux surfaces K3 définies sur ℂ((t)).

Descente galoisienne sur le second groupe de Chow 197

Au §4, on combine les résultats des paragraphes précédents pour établir les résultats principaux de l’article, le théorème 4.1 et son corollaire 4.2 cité cidessus.

Au §5, on applique les résultats du §4 aux hypersurfaces de Fano complexes. Pour X ⊂ P_{ℂ}^{n} hypersurface lisse de degré d ≤ n et F corps quelconque contenant ℂ, on établit H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) = H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) dans chacun des cas suivants : pour n > 5 ; pour n = 5 sous réserve que l’on ait H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0 ; pour n = 4 lorsqu’il existe un cycle universel de codimension 2. On fait le lien avec les résultats de Auel, Parimala et l’auteur [2] et de C. Voisin [33, 34] sur les hypersurfaces cubiques et sur les cycles universels de codimension 2, résultats sur lesquels on donne un nouvel éclairage – la K-théorie algébrique remplaçant certains arguments de géométrie complexe (voir la démonstration du théorème 5.4).

Par rapport à la première version de cet article, mise sur arXiv en février 2013, cet article diffère essentiellement par le contenu du présent §5, motivé par le travail [2] et par les articles [33, 34] de C. Voisin.

Terminons cette introduction en indiquant ce qui n’est pas fait dans cet article.

(i) Je n’ai pas vérifié que les arguments dans la littérature utilisant les complexes ℤ(2) de Voevodsky sont compatibles avec ceux utilisant le complexe Γ(2) de Lichtenbaum ou avec ceux utilisant les groupes de cycles supérieurs de Bloch, dont il est fait usage dans [8]. Et je n’ai pas vérifié que dans les suites exactes des Propositions 2.4 et 2.6, dont les termes sont identiques, les flèches aussi coïncident. Ceci n’affecte pas les principaux résultats de l’article. Le lecteur vérifiera en effet que la Proposition 2.4, établie par des méthodes à l’ancienne via la Proposition 1.3, suffit à établir tous les résultats des paragraphes 3, 4, 5, à l’exception du lemme 5.7 (ii), du théorème 5.6 (viii) et de l’assertion de surjectivité de l’application CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G} dans le théorème 5.8 (iii). (ii) Les longues suites exactes des Propositions 2.4 et 2.6, le théorème 4.1 et le corollaire 4.2 devraient se spécialiser en un certain nombre des longues suites exactes pour les variétés classifiantes de groupes algébriques linéaires connexes établies par Blinstein-Merkurjev [4] et par Merkurjev [24, 25]. Je me suis contenté d’allusions à ces articles en divers points du texte. (iii) Sur un corps de base de caractéristique positive, l’utilisation de la cohomologie de Hodge-Witt logarithmique permet de donner des analogues de certains des résultats du présent travail. Nous renvoyons pour cela aux articles [20] et [8].

Remerciements. Cet article fait suite à des travaux et discussions avec Bruno Kahn, et à des travaux de A. Merkurjev et de C. Voisin. Je remercie le rapporteur pour sa lecture critique du tapuscrit.

1 Rappels, propriétés générales

On utilise dans cet article le complexe motivique ℤ(2) de faisceaux de cohomologie étale sur les variétés lisses sur un corps, tel qu’il a été défini par Lichtenbaum [22, 23]. Les groupes de cohomologie à valeurs dans le complexe ℤ(2) sont dans tout cet article les groupes d’hypercohomologie étale. Ils sont notés ℍ^{i}(X, ℤ(2)). Sur un schéma X, on note H^{i}(X, K_{j}) les groupes de cohomologie de Zariski à valeurs dans le faisceau K_{j} sur X associé au préfaisceau U ↦ K_{i}(H^{0}(U, O_{X})), où la K-théorie des anneaux est la K-théorie de Quillen. Étant donné un module galoisien M, c’est-à-dire un G-module continu discret, on note tantôt H^{i}(G, M) tantôt H^{i}(F, M) les groupes de cohomologie galoisienne à valeurs dans M. On note ℚ/ℤ(2) le module galoisien \underrightarrow{lim}_{n} μ_{n}^{⊗2}. On note K_{3}F_{indec} := Coker[K_{3}^{Milnor}F → K_{3}^{Quillen}F]. On a les propriétés suivantes, conséquences de travaux de Merkurjev et Suslin [27], de A. Suslin [30], de M. Levine [21], de S. Lichtenbaum [23], de B. Kahn [19], [20, Thm. 1.1, Lemme 1.4]. ℍ^{0}(F, ℤ(2)) = 0. ℍ^{1}(F, ℤ(2)) = K_{3}F_{indec}. ℍ^{2}(F, ℤ(2)) = K_{2}F. ℍ^{3}(F, ℤ(2)) = 0. ℍ^{i}(F, ℤ(2)) = H^{i−1}(F, ℚ/ℤ(2)) si i ≥ 4. ℍ^{i}(\overline{F} , ℤ(2)) = 0 si i ≠ 1, 2. ℍ^{1}(\overline{F} , ℤ(2)) = K_{3}(\overline{F})_{indec} est divisible, et sa torsion est ℚ/ℤ(2) (cf. [19, (1.2)]). Il est donc extension d’un groupe uniquement divisible par ℚ/ℤ(2). ℍ^{2}(\overline{F} , ℤ(2)) = K_{2}(\overline{F}) est uniquement divisible.

Soit X une F -variété lisse géométriquement intègre, non nécessairement projective. On a : ℍ^{0}(X, ℤ(2)) = 0. ℍ^{1}(X, ℤ(2)) = K_{3,indec}F (X). ℍ^{1}(\overline{X}, ℤ(2)) = K_{3,indec}\overline{F} (X) est extension d’un groupe uniquement divisible par ℚ/ℤ(2). Ceci résulte de la suite exacte [19, (1.2)] et de [30, Thm. 3.7]). ℍ^{2}(X, ℤ(2)) = H^{0}(X, K_{2}). ℍ^{3}(X, ℤ(2)) = H^{1}(X, K_{2}). On a la suite exacte fondamentale (Lichtenbaum, Kahn [20, Thm. 1.1])

0 → CH^{2}(X) → ℍ^{4}(X, ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → 0  (1.1)

où

H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = H^{0}(X, H^{3}(X, ℚ/ℤ(2)))

est le sous-groupe de H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2)) formé des éléments non ramifiés en tout point de codimension 1 de X.

Pour toute F -variété projective, lisse et géométriquement intègre X, dans l’article [10] avec W. Raskind, on a établi que les groupes H^{0}(\overline{X}, K_{2}) et H^{1}(\overline{X}, K_{2}) sont chacun extension d’un groupe fini par un groupe divisible. Si la dimension cohomologique de F satisfait cd(F) ≤ i, ceci implique que les groupes de cohomologie galoisienne H^{r}(G, H^{0}(\overline{X}, K_{2})) et H^{r}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) sont nuls pour r ≥ i + 1.

On a une suite spectrale

E_{2}^{pq} = H^{p}(G, ℍ^{q}(\overline{X}, ℤ(2))) ⟹ ℍ^{n}(X, ℤ(2)).

Remarque 1.1. Pour X = Spec(F), compte tenu des identifications ci-dessus, cette suite spectrale donne une suite exacte

H^{1}(G, ℚ/ℤ(2)) → K_{2}F → K_{2}\overline{F}^{G} → H^{2}(G, ℚ/ℤ(2)) → 0.

Ceci est un cas particulier de [19, Thm. 2.1]. En comparant la suite exacte fondamentale (1.1) au niveau F et au niveau \overline{F}, en prenant les points fixes de G agissant sur la suite au niveau \overline{F}, et en utilisant le lemme du serpent, on obtient :

Proposition 1.2. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre. Soit φ : ℍ^{4}(X, ℤ(2)) → ℍ^{4}(\overline{X}, ℤ(2))^{G}. On a alors une suite exacte

0 → Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → Ker(φ) →
→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →
→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → Coker(φ).

Notons

N (X) := Ker[H^{2}(G, K_{2}(\overline{F} (X)) → H^{2}(G, ⨁_{x∈\overline{X}^{(1)}} \overline{F} (x)^{×})]  (1.2)

L’énoncé suivant est essentiellement établi dans [8].

Proposition 1.3. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre.

(a) On a une suite exacte

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →

→ N (X) → Ker[H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2))].

(b) Si X(F) ≠ ∅ ou si cd(F) ≤ 3, on a un isomorphisme

Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →^{≃} N (X).

(c) Si X est de dimension au plus 2, on a une suite exacte

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2) → N (X) → → H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2)).

Démonstration. L’énoncé (a) est [8, Prop. 6.1, Prop. 6.2]. L’énoncé (b) est une conséquence facile de (a). La proposition 6.1 de [8] montre aussi que, si X est de dimension au plus 2, alors le complexe

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2) → Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] → → N (X) → H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2))

est une suite exacte

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → → N (X) → H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2)).

En effet les groupes H^{3}(A_{s}, ℚ/ℤ(2)) intervenant dans la proposition 6.1 de [8] sont alors nuls : via la conjecture de Gersten, cela résulte du fait que le corps des fractions de A_{s} est de dimension cohomologique 2, si bien que le complexe de la proposition 6.1 de [8] est alors exact. □

2 Le cas où le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible

Le but de ce pagragraphe est d’établir la proposition 2.4. On le fait d’abord par une méthode “K-théorique” (paragraphe 2.1) qui se prête plus aux calculs explicites des flèches intervenant dans les suites exactes. La version “motivique” (paragraphe 2.2) est plus souple quand il s’agit d’étudier la fonctorialité en la F -variété X des suites concernées.

Dans ce paragraphe, on considère une F -variété X lisse et géométriquement intègre, telle que le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible, mais on ne suppose pas X projective.

2.1 Méthode K-théorique

Pour i ≥ 1, les flèches naturelles

H^{i}(G, K_{2}\overline{F} (X)) → H^{i}(G, K_{2}\overline{F} (X)/K_{2}\overline{F}) → H^{i}(G, K_{2}\overline{F} (X)/H^{0}(\overline{X}, K_{2}))

sont alors des isomorphismes. D’après un théorème de Quillen (conjecture de Gersten pour la K-théorie), le complexe

K_{2}\overline{F} (X) → ⨁_{x∈\overline{X}^{(1)}} \overline{F} (x)^{×} → ⨁_{x∈\overline{X}^{(2)}} ℤ

est le complexe des sections globales d’une résolution flasque du faisceau K_{2} sur la \overline{F} -variété lisse \overline{X}. Ce complexe donne donc naissance à trois suites exactes courtes de modules galoisiens :

0 → K_{2}\overline{F} (X)/H^{0}(\overline{X}, K_{2}) → Z → H^{1}(\overline{X}, K_{2}) → 0
0 → Z → ⊕_{x∈\overline{X}^{(1)}} \overline{F} (x)^{×} → I → 0
0 → I → ⊕_{x∈\overline{X}^{(2)}}ℤ → CH^{2}(\overline{X}) → 0.

En utilisant le théorème 90 de Hilbert et le lemme de Shapiro, le théorème de Merkurjev–Suslin et en particulier sa conséquence [6, Thm. 1] [30, 1.8]

K_{2}F (X)/K_{2}F = (K_{2}\overline{F} (X)/K_{2}\overline{F})^{G},

par des arguments classiques (cf. [10, 11]) de cohomologie galoisienne, on obtient :

Proposition 2.1. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre telle que le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) soit uniquement divisible. Soit N (X) comme en (1.2). On a alors une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → H^{1}(\overline{X}, K_{2})^{G} →

→ H^{1}(G, K_{2}\overline{F} (X)) → Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] →
→ H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) → N (X) →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

Pour toute F -variété X géométriquement intègre, un théorème de B. Kahn [19, Cor. 2, p. 70] donne un isomorphisme

H^{1}(G, K_{2}\overline{F} (X)) →^{≃} Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))].

On a donc établi :

Proposition 2.2. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre telle que le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) soit uniquement divisible. Soit N (X) comme en (1.2). On a alors une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → H^{1}(\overline{X}, K_{2})^{G} →

→ Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))] →

→ Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) → N (X) →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

Remarque 2.3. Soit X un espace principal homogène d’un F -groupe semisimple simplement connexe absolument presque simple. On a K_{2}(\overline{F}) = H^{0}(\overline{X}, K_{2}), et ce groupe est donc uniquement divisible. On a par ailleurs H^{1}(\overline{X}, K_{2}) = ℤ avec action triviale du groupe de Galois. L’image de 1 par l’application

H^{1}(\overline{X}, K_{2})^{G} → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2))

est (au signe près) l’invariant de Rost de X. Pour tout ceci, voir [16, Part II, §6].

En combinant les propositions 2.2 et 1.3 on trouve :

Proposition 2.4. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre. Supposons le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) uniquement divisible. Sous l’une des hypothèses X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 3, on a une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → H^{1}(\overline{X}, K_{2})^{G} →

→ Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))] →

→ Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) →
→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

Sous l’hypothèse X(F) ≠ ∅, le groupe

Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))]

est nul.

Remarque 2.5. Sous l’hypothèse K_{2}(\overline{F}) = H^{0}(\overline{X}, K_{2}) et H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2)) = 0, on retrouve l’énoncé de B. Kahn [20, Thm. 1, Corollaire].

2.2 Méthode motivique

Toujours sous l’hypothèse que le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) ≃ ℍ^{2}(\overline{X}, ℤ(2)) est uniquement divisible, étudions la suite spectrale

E_{2}^{pq} = H^{p}(G, ℍ^{q}(\overline{X}, ℤ(2))) ⟹ ℍ^{n}(X, ℤ(2)).

La page E_{2}^{pq} contient un certain nombre de zéros. Tous les termes E_{2}^{p0} sont nuls. Comme ℍ^{2}(\overline{X}, ℤ(2)) est supposé uniquement divisible, tous les termes E_{2}^{p2} = H^{p}(G, ℍ^{2}(\overline{X}, ℤ(2))) pour p ≥ 1 sont nuls. Les termes E_{2}^{p1} sont égaux à H^{p}(F, ℚ/ℤ(2)) pour p ≥ 2, groupe qui coïncide avec H^{p+1}(F, ℤ(2)) pour p ≥ 3. La flèche E_{2}^{02} → E_{2}^{21}, soit H^{0}(\overline{X}, K_{2})^{G} → H^{2}(F, ℚ/ℤ(2)), est surjective, car il en est déjà ainsi de K_{2}\overline{F}^{G} → H^{2}(F, ℚ/ℤ(2)) (Remarque 1.1). Notons comme ci-dessus φ : ℍ^{4}(X, ℤ(2)) → ℍ^{4}(\overline{X}, ℤ(2))^{G}. L’analyse de la suite spectrale donne les énoncés suivants.

1) Il y a une suite exacte

0 → ℍ^{3}(X, ℤ(2)) → (ℍ^{3}(\overline{X}, ℤ(2))^{G} → ℍ^{4}(F, ℤ(2)) → Ker(φ) → → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) → Ker[ℍ^{5}(F, ℤ(2)) → ℍ^{5}(X, ℤ(2))].

Ainsi il y a une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → (H^{1}(\overline{X}, K_{2}))^{G} → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker(φ) → → H^{1}(G, ℍ^{3}(\overline{X}, ℤ(2))) → Ker[H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2))].

En particulier, si X(F) ≠ ∅ ou si l’on a cd(F) ≤ 3, alors on a une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → (H^{1}(\overline{X}, K_{2}))^{G} →

→ H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker(φ) → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) → 0.

La flèche H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker(φ) est injective si X(F) ≠ ∅, ou si H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) est nul, par exemple si cd(F) ≤ 2.

2) Pour le conoyau de φ, on trouve une suite exacte

0 → D → Coker(φ) → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2}))

où D est un sous-quotient de Ker[ℍ^{5}(F, ℤ(2)) → ℍ^{5}(X, ℤ(2))]. Ce dernier groupe est nul si le noyau de H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{4}(F (X), ℚ/ℤ(2)) est nul. En particulier D = 0 si X(F) ≠ ∅, ou si ℍ^{5}(F, ℤ(2)) = H^{4}(F, ℚ/ℤ(2)) est nul, par exemple si cd(F) ≤ 3.

En utilisant la proposition 1.2, on voit que pour toute F -variété X lisse géométriquement intègre avec H^{0}(\overline{X}, K_{2}) uniquement divisible, sous l’hypothèse que soit X(F) ≠ ∅ soit cd(F) ≤ 3, on a une suite exacte

0 → Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → Ker(φ) →

→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

et une suite exacte

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker(φ) → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) → 0.

Si l’on quotiente les deux termes Ker(φ) ⊂ ℍ^{4}(X, ℤ(2)) et H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) par l’image de ℍ^{4}(F, ℤ(2)) ≃ H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)), ce qui par fonctorialité de la suite spectrale appliquée au morphisme structural X → Spec(F) induit une flèche Ker(φ)/ℍ^{4}(F, ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)), on trouve :

Proposition 2.6. Soit X une F -variété lisse et géométriquement intègre. Supposons que H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible. Supposons en outre que l’on a X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 3. On a alors une suite exacte

0 → H^{1}(X, K_{2}) → H^{1}(\overline{X}, K_{2})^{G} →

→ Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))] →

→ Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) →

→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

Sous l’hypothèse X(F) ≠ ∅, le groupe

Ker[H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H^{3}(F (X), ℚ/ℤ(2))]

est nul.

Remarques 2.7. (a) La démonstration n’utilise ni le groupe N (X) défini en (1.2) ni la proposition 1.3.

(b) L’énoncé de cette proposition est identique à celui de la proposition 2.4, mais il n’est pas clair a priori que les flèches intervenant dans ces deux suites exactes coïncident.

2.3 Comparaison entre les deux méthodes

Supposons H^{0}(\overline{X}, K_{2}) uniquement divisible. On a une suite exacte

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) →^{ρ}

→^{ρ} N (X) → Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]

extraite de la proposition 2.2, et utilisée dans la démonstration de la proposition 2.4. On a une suite exacte

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] → Ker(φ) →^{σ}

→^{σ} Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] → Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]

extraite de la proposition 1.2 et utilisée dans la démonstration de la proposition 2.6. Les termes de gauche et de droite dans ces deux suites exactes coïncident. Sous réserve de vérification des commutativités des diagrammes, sur tout corps F (sans condition de dimension cohomologique), le lien entre ces deux suites est fourni par le diagramme de suites exactes verticales

\xymatrix{H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) \ar[d] \ar[r]^{=} & H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) \ar[d] \\ Ker(φ) \ar[r]^{σ} \ar[d] & _{Ker[_{{H_{nr}^{3}(X,ℚ/ℤ(2))→ \atop →H_{nr}^{3}(\overline{X},ℚ/ℤ(2))}}]} \ar[d] \\ H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) \ar[d] \ar[r]^{ρ} & N (X) \ar[d] \\ _{Ker[_{{H^{4}(F,ℚ/ℤ(2)→ \atop →H^{4}(F (X),ℚ/ℤ(2))}}]} \ar[r]^{=} & _{Ker[_{{H^{4}(F,ℚ/ℤ(2)→ \atop →H^{4}(F (X),ℚ/ℤ(2))}}]}}

où la suite verticale de droite vaut pour toute F -variété lisse et géométriquement intègre X ([8], voir la proposition 1.3 ci-dessus), et où celle de gauche est établie au début de la section 2.2 pour les F -variétés X telles que H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible.

2.4 Variétés avec H^{0}(\overline{X}, K_{2}) uniquement divisible

2.4.1 Les espaces classifiants de groupes semisimples

Soit H un F -groupe semisimple connexe, soit V une représentation linéaire génériquement libre de H possédant un ouvert H-stable U ⊂ V, de complémentaire un fermé de codimension au moins 3 dans V, et tel que que l’on dispose d’une application quotient U → U/H qui soit un H-torseur. Soit X := U/H. Soit H_{sc} le revêtement simplement connexe de H et soit C le noyau de l’isogénie H_{sc} → H, puis Ĉ le module galoisien fini défini par son groupe des caractères. Comme le montre Merkurjev dans [24, Thm. 5.3], on a des identifications

K_{2}(\overline{F}) = H^{0}(\overline{X}, K_{2})

et

Ĉ(1) := Tor_{1}^{ℤ}(Ĉ, ℚ/ℤ(1)) ≃ H^{1}(\overline{X}, K_{2}).

Le groupe K_{2}(\overline{F}) est uniquement divisible. La F -variété X possède un point F -rationnel. La proposition 2.4 et la proposition 2.6 donnent donc chacune une suite exacte longue

0 → Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{1}(G, Ĉ(1)) →

→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] → → Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] → H^{2}(G, Ĉ(1)).

Il serait intéressant de déterminer le lien entre la suite exacte à 5 termes obtenue par Merkurjev [25, Thm. 3.9] et les suites exactes à 5 termes ci-dessus. Elles ont en commun leurs deux premiers termes, et leur dernier terme.

2.4.2 Variétés projectives

Pour \overline{F} un corps algébriquement clos – toujours supposé de caractéristique nulle – et Y une \overline{F} -variété intègre, projective et lisse, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le groupe de Picard Pic(Y) est sans torsion. (ii) Pour tout entier n > 0, H_{ét}^{1}(Y, μ_{n}) = 0. (iii) H^{1}(Y, O_{Y}) = 0 et le groupe de Néron–Severi NS(Y) est sans torsion. (iv) Le groupe H^{0}(Y, K_{2}) est uniquement divisible. L’équivalence des trois premières propriétés est classique. Pour l’équivalence avec la quatrième, voir [10, Prop. 1.13], qui s’appuie sur des résultats de Merkurjev et de Suslin.

Les propriétés ci-dessus sont satisfaites par toute \overline{F} -variété projective et lisse géométriquement unirationnelle, mais aussi par toute surface K3 et par toute surface projective et lisse dans l’espace projectif P^{3}. Pour une \overline{F} -surface Y projective et lisse satisfaisant ces propriétés, la dualité de Poincaré implique la nullité des groupes H_{ét}^{3}(Y, μ_{n}) pour tout n > 0. On sait (Bloch, Merkurjev–Suslin, cf. [10, (2.1)]) que la nullité de ces groupes implique que le groupe de Chow CH^{2}(Y) n’a pas de torsion. Pour une F -surface X projective, lisse et géométriquement intègre telle que \overline{X} satisfasse ces propriétés, le groupe Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] coïncide donc avec le sous-groupe de torsion CH^{2}(X)_{tors} de CH^{2}(X).

Sans hypothèse supplémentaire sur X, il est difficile de contrôler le module galoisien H^{1}(\overline{X}, K_{2}) et l’application

CH^{2}(X)_{tors} = Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})] → H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})).

Renvoyons ici le lecteur au délicat travail d’Asakura et Saito [1] qui établit que pour un corps p-adique F et une surface lisse dans P_{F}^{3} , de degré au moins 5 “très générale”, le groupe

CH^{2}(X)_{tors} ⊂ H^{1}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2}))

est infini. Au paragraphe suivant, on donnera des hypothèses restrictives permettant de facilement contrôler le module H^{1}(\overline{X}, K_{2}) et sa cohomologie galoisienne.

3 Le module galoisien H^{1}(\overline{X}, K_{2})

On considère la flèche naturelle

Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(\overline{X}, K_{2}).

Proposition 3.1. Soit X une F -variété projective, lisse et géométriquement intègre. Supposons H^{2}(X, O_{X}) = 0 et supposons que les groupes H_{ét}^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ}) sont sans torsion. Alors pour tout i ≥ 2, la flèche

H^{i}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) → H^{i}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2}))

est un isomorphisme.

Démonstration. D’après [10, Thm. 2.12], la flèche Galois équivariante

Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(\overline{X}, K_{2})

a alors noyau et conoyau uniquement divisibles. Elle induit donc un isomorphisme sur H^{i}(G, •) pour i ≥ 2. □

Remarque 3.2. L’hypothèse que les groupes H_{ét}^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ}) sont sans torsion est équivalente à l’hypothèse que le groupe de Brauer Br(\overline{X}) est un groupe divisible.

Proposition 3.3. Soit X une F -variété projective, lisse et géométriquement intègre. Supposons qu’il existe une courbe V ⊂ X telle que sur un domaine universel Ω l’application CH_{0}(V_{Ω}) → CH_{0}(X_{Ω}) est surjective, et supposons que les groupes H_{ét}^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ}) sont sans torsion. Alors pour tout i ≥ 1, la flèche

H^{i}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) → H^{i}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2}))

est un isomorphisme.

Démonstration. D’après [10, Thm. 2.12 ; Prop. 2.15], sous les hypothèses de la proposition, la flèche Galois-équivariante

Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(\overline{X}, K_{2})

est surjective et a un noyau uniquement divisible. Elle induit donc un isomorphisme sur H^{i}(G, •) pour i ≥ 1. □

Remarques 3.4. Rappelons que l’on suppose car(F) = 0.

(a) L’hypothèse sur le groupe de Chow des zéro-cycles faite dans la proposition 3.3 implique H^{i}(X, O_{X}) = 0 pour i ≥ 2. Elle implique que le groupe de Brauer Br(\overline{X}) est un groupe fini. Elle est satisfaite pour les variétés \overline{X} dominées rationnellement par le produit d’une courbe et d’un espace projectif, en particulier elle est satisfaite pour les variétés géométriquement unirationnelles.

(b) Sous les hypothèses de la proposition 3.3, on a Br(\overline{X}) = 0.

(c) Toutes les hypothèses de la proposition 3.3 sont satisfaites pour une variété \overline{X} qui est facteur direct birationnel d’une variété rationnelle. La proposition suivante (cf. [11, Prop. 8.10]) s’applique par exemple aux surfaces K3 sur F corps de fonctions d’une variable sur ℂ, ou sur F = ℂ((t)).

Proposition 3.5. Supposons le corps F de dimension cohomologique au plus 1. Soit X une F -surface projective, lisse, géométriquement connexe, satisfaisant H^{1}(X, O_{X}) = 0. Supposons le groupe Pic(\overline{X}) = NS(\overline{X}) sans torsion. On a alors un homomorphisme surjectif

H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) → Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}].

Si l’indice I(X) de X, qui est le pgcd des degrés sur F des points fermés de X, n’est pas égal à 1, alors H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) ≠ 0.

Démonstration. Sous les hypothèses de la proposition, le groupe H^{0}(\overline{X}, K_{2}) est uniquement divisible [10, Cor. 1.12]. Le groupe H^{1}(\overline{X}, K_{2}) est extension d’un groupe fini par un groupe divisible [10, Thm. 2.2], donc H^{2}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2})) = 0. Comme X est une surface, on a H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2)) = 0. La surjection résulte alors de la proposition 2.4 (ou de la proposition 2.6). Pour la surface X, on a la suite exacte de modules galoisiens

0 → A_{0}(\overline{X}) → CH^{2}(\overline{X}) → ℤ → 0,

où la flèche CH^{2}(\overline{X}) → ℤ est donnée par le degré des zéro-cycles. L’hypothèse H^{1}(X, O_{X}) = 0 implique que le groupe A_{0}(\overline{X}) est uniquement divisible (théorème de Roitman). L’application induite CH^{2}(\overline{X})^{G} → ℤ est donc surjective, et le groupe Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] a pour quotient le groupe ℤ/I(X). □

Exemple 3.6. Soit F = ℂ((t)). Soient n > 0 un entier et X ⊂ P_{F}^{3} la surface définie par l’équation homogène

x_{0}^{n} + tx_{1}^{n} + t^{2}x_{2}^{n} + t^{3}x_{3}^{n} = 0.

D’après [13, Prop. 4.4], pour n = 4 (surface K3) et pour n premier à 6, on a I(X) ≠ 1. La proposition ci-dessus donne alors H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) ≠ 0.

4 Variétés à petit motif sur un corps non algébriquement clos

Commençons par un énoncé général mais peut-être un peu lourd.

Théorème 4.1. Soit X une F -variété projective, lisse et géométriquement intègre. Supposons satisfaites les conditions :

(i) Sur un domaine universel Ω, le degré CH_{0}(X_{Ω}) → ℤ est un isomorphisme. (ii) Le groupe Pic(\overline{X}) = NS(\overline{X}) est sans torsion. (iii) Pour tout ℓ premier, le groupe H_{ét}^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ}) est sans torsion. (iv) On a au moins l’une des propriétés : X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 3. Alors on a une suite exacte

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]⟶^{α}H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) →

→ Ker[H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2))] →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]⟶^{β}H^{2}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}).

Sous l’hypothèse X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 2, la flèche α est injective.

Démonstration. Comme on a supposé car(F) = 0, d’après [5], l’hypothèse (i) implique que tous les groupes H^{i}(X, O_{X}) pour i ≥ 1 sont nuls, que l’on a Pic(\overline{X}) = NS(\overline{X}), et que le groupe de Brauer Br(\overline{X}) s’identifie au groupe fini ⊕_{ℓ}H^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ})_{tors}. Sous l’hypothèse (i), l’hypothèse (iii) est donc équivalente à Br(\overline{X}) = 0. Sous les hypothèses (i) et (iii), la proposition 3.3 donne

H^{i}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) →^{≃} H^{i}(G, H^{1}(\overline{X}, K_{2}))

pour tout i ≥ 1. Sous les hypothèses (i) et (ii), d’après [10, Prop. 1.14], on a K_{2}\overline{F} = H^{0}(\overline{X}, K_{2}). Le groupe K_{2}\overline{F} étant uniquement divisible, on peut appliquer la Proposition 2.4 (ou la proposition 2.6). □

Corollaire 4.2. Soit X une F -variété projective, lisse et géométriquement intègre. Supposons X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 3. Supposons satisfaite l’une des hypothèses suivantes :

(i) la variété \overline{X} est rationnelle ; (ii) la variété \overline{X} est rationnellement connexe, et l’on a Br(\overline{X}) = 0 et H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2)) = 0 ; (iii) la variété \overline{X} est de dimension 3, rationnellement connexe, et Br(\overline{X}) = 0 ; (iv) la variété \overline{X} est de dimension 3, unirationnelle, et Br(\overline{X}) = 0. Alors on a une suite exacte

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]⟶^{α}H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) →

→ H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →

→ Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]⟶^{β}H^{2}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}).

Sous l’hypothèse X(F) ≠ ∅ ou cd(F) ≤ 2, la flèche α est injective.

Démonstration. Le cas (iv) est un cas particulier du cas (iii). Sous l’hypothèse (i), tous les groupes H_{nr}^{i}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2)) sont nuls pour i ≥ 1. Pour i = 1, cela établit que Pic(\overline{X}) est sans torsion et donc Pic(\overline{X}) = NS(\overline{X}). Pour i = 2, cela établit Br(\overline{X}) = 0 et donc H_{ét}^{3}(\overline{X}, ℤ_{ℓ})_{tors} = 0 pour tout premier ℓ. Sous l’hypothèse (iii), on a H_{nr}^{3}(\overline{X}, ℚ/ℤ(2)) = 0. Cette annulation vaut en effet pour tout solide uniréglé [11, Cor. 6.2], c’est un corollaire d’un théorème de C. Voisin. L’énoncé est alors une conséquence immédiate du théorème 4.1. □

Remarques 4.3. (a) Dans le cas particulier où X est une F -compactification lisse équivariante d’un F -tore, le corollaire 4.2 est très proche d’un résultat de Blinstein et Merkurjev ([4, Prop. 5.9]). Dans ce cas, le groupe CH^{2}(\overline{X}) est sans torsion, le groupe

Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]

coïncide donc avec CH^{2}(X)_{tors}. Par ailleurs, l’intersection des cycles

Pic(\overline{X}) × Pic(\overline{X}) → CH^{2}(\overline{X})

induit une application naturelle surjective ([15, §5.2, Proposition, p. 106])

Sym^{2}(Pic(\overline{X})) → CH^{2}(\overline{X}).

(b) Soit X une F -compactification lisse d’un F -tore. La flèche

H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2))

intervient dans l’étude de l’approximation faible pour X sur le corps F des fonctions d’une courbe sur un corps p-adique (Harari, Scheiderer, Szamuely [18, Thm. 4.2]). Pour X une F -compactification lisse d’un espace principal homogène d’un F -tore, il conviendrait de comparer la flèche

H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×}) → H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2))

ici obtenue (le corps F satisfaisant cd(F) ≤ 3) avec l’application (19) utilisée dans [17, Thm. 5.1].

(c) Soit X/F une surface projective, lisse, géométriquement rationnelle possédant un zéro-cycle de degré 1, et telle que le module galoisien Pic(\overline{X}) soit un facteur direct d’un module de permutation. Le corollaire ci-dessus implique alors H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)). C’est un cas particulier d’une remarque générale pour toute telle surface. Si le module galoisien Pic(\overline{X}) est un facteur direct d’un module de permutation, alors, d’après [6, Prop. 4, p. 12], sur tout corps L contenant F, l’application degré CH_{0}(X_{L}) → ℤ est un isomorphisme. Ceci implique H^{i}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{i}(X, ℚ/ℤ(2)) pour tout entier i (cas particulier d’un théorème de Merkurjev, cf. [2, Thm. 1.4]).

(d) Dans l’article [9] avec Madore, on a construit des exemples de corps F de dimension cohomologique 1 et de surfaces X/F projectives, lisses, géométriquement rationnelles sans zéro-cycle de degré 1. Pour de telles surfaces, le corollaire 4.2 ci-dessus donne

H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) ≠ 0.

(e) Pour X une F -variété projective, lisse, géométriquement connexe quelconque, chacun des trois groupes suivants est un invariant F -birationnel de X :

– le groupe Ker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]

– le groupe H^{1}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×})

– le groupe H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)). Si la dimension cohomologique de F est au plus 1, le groupe

Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}]

est un invariant F -birationnel, comme on voit en considérant la situation de l’éclatement en une sous-variété lisse. En général, ce groupe n’est pas un invariant birationnel, comme on peut voir en éclatant P_{F}^{3} en une F -conique lisse sans F -point. Ceci montre aussi que l’application

β : Coker[CH^{2}(X) → CH^{2}(\overline{X})^{G}] ⟶ H^{2}(G, Pic(\overline{X}) ⊗ \overline{F}^{×})

n’est pas toujours nulle.

5 Variétés à petit motif sur le corps des complexes

5.1 Rappels

Pour tout corps F contenant ℂ, on note A^{2}(X_{F}) le sous-groupe de CH^{2}(X_{F}) formé des classes de cycles qui sur une clôture algébrique \overline{F} de F sont algébriquement équivalents à zéro. La proposition suivante rassemble des résultats connus, utiles pour la suite de ce paragraphe.

Proposition 5.1. Soit X une variété connexe, projective et lisse sur le corps des complexes. Supposons que l’application degré CH_{0}(X) → ℤ est un isomorphisme. Alors

(i) On a H^{i}(X, O_{X}) = 0 pour i ≥ 1. (ii) Pour tout corps F contenant ℂ, les applications de restriction

Pic(X) → Pic(X_{F}) → Pic(X\overline{F})

sont des isomorphismes, et Pic(X) = NS^{1}(X) = H_{Betti}^{2}(X, ℤ). (iii) Équivalence homologique et équivalence algébrique coïncident sur le groupe de Chow CH^{2}(X). (iv) Le quotient NS^{2}(X) := CH^{2}(X)/A^{2}(X) ⊂ H_{Betti}^{4}(X, ℤ) est un groupe abélien de type fini. Pour tout corps algébriquement clos F contenant ℂ, on a

NS^{2}(X) →^{≃} NS^{2}(X_{F}).

(v) Il existe une variété abélienne B sur ℂ qui est un représentant algébrique de A^{2}(X), au sens de Murre ([28], cf. [3, Déf. 3.2]). Pour tout corps F contenant ℂ, on a un homomorphisme A^{2}(X_{F}) → B(F) fonctoriel en F, et cet homomorphisme est un isomorphisme si F est algébriquement clos. (vi) S’il existe un premier l avec H_{Betti}^{3}(X, ℤ/l) = 0, alors A^{2}(X) = 0, on a une inclusion CH^{2}(X) ↪ H_{Betti}^{4}(X, ℤ), et ces groupes sont sans l-torsion.

Démonstration. Pour les énoncés (i), (iii), (iv), (v), dus essentiellement à Bloch et Srinivas, et reposant sur des théorèmes de Merkujev–Suslin et de Murre [28], voir [5, Thm. 1] et [31]. L’énoncé (ii) est une conséquence connue de H^{1}(X, O_{X}) = 0. Le dernier énoncé de (iv) est une propriété générale des quotients des groupes de Chow modulo l’équivalence algébrique. Pour l’énoncé (vi), les travaux de Bloch et de Merkurjev–Suslin montrent que le sous-groupe de l-torsion CH^{2}(X)[l] de CH^{2}(X) est un sous-quotient de H_{Betti}^{3}(X, ℤ/l). On a donc CH^{2}(X)[l] = 0 et a fortiori A^{2}(X)[l] = 0, donc B[l] = 0, donc la variété abélienne B est triviale et A^{2}(X) = 0. □

Remarques 5.2. (a) Si X est une variété rationnellement connexe, alors l’application degré CH_{0}(X) → ℤ est un isomorphisme, les propriétés (i) à (v) sont donc satisfaites.

(b) Les énoncés (iii) à (v) valent sous l’hypothèse plus faible qu’il existe une courbe projective et lisse C et un morphisme C → X qui induise une surjection CH_{0}(C) → CH_{0}(X).

5.2 Cycle de codimension 2 universel

Soient F un corps, X et Y deux F -variétés projectives, lisses, géométriquement connexes. Soit z ∈ CH^{2}(X ×_{F} Y) une classe de cycle de codimension 2. La théorie des correspondances [14] donne une application bilinéaire

CH_{0}(Y) × CH^{2}(Y ×_{F} X) → CH^{2}(X).

Le sous-groupe A_{0}(Y) des zéro-cycles de degré 0 est formé de classes géométriquement algébriquement équivalentes à zéro. Un élément z ∈ CH^{2}(Y ×_{F} X) définit donc un homomorphisme

CH_{0}(Y) → CH^{2}(X)

envoyant le groupe A_{0}(Y) dans le sous-groupe A^{2}(X) ⊂ CH^{2}(X) défini au début du §5. Cette application est fonctorielle en le corps de base F. Via la flèche évidente Y (F) → CH_{0}(Y) envoyant un point rationnel sur sa classe dans le groupe de Chow, elle induit une application Y (F) → CH^{2}(X) qui ne saurait être qu’ensembliste. Si Y est muni d’un point rationnel noté O, en envoyant P sur la classe de P − O, on définit une flèche ensembliste

θ_{z} : Y (F) → A^{2}(X)

envoyant O sur 0.

Soient X et B comme dans la proposition 5.1. On note O l’élément neutre de de B(ℂ). La définition suivante est une variante de celle donnée par Claire Voisin [34, Déf. 0.5].

Définition 5.3. Pour X et B comme ci-desssus, on dit qu’il existe un cycle de codimension 2 universel sur X s’il existe un cycle z ∈ CH^{2}(B × X) tel que, sur tout corps F contenant ℂ, l’ application ensembliste

θ_{z} : B(F) → A^{2}(X_{F})

définie ci-dessus satisfasse la propriété : L’application composée

B(F) → A^{2}(X_{F}) → B(F)

est l’identité sur B(F).

Le théorème ci-dessous est une variante d’un résultat de C. Voisin [34, Thm. 2.1, Cor. 2.3]. La démonstration ici proposée diffère sensiblement de celle donnée dans [34].

Théorème 5.4. Soit X une variété connexe, projective et lisse sur ℂ. Supposons les conditions suivantes satisfaites.

(i) L’application degré CH_{0}(X) → ℤ est un isomorphisme. (ii) Les groupes H_{Betti}^{2}(X, ℤ) et H_{Betti}^{3}(X, ℤ) sont sans torsion. (iii) On a H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0. Alors : (1) Pour tout corps F contenant ℂ, on a une suite exacte

0 → H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →

Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}]⟶^{β}H^{2}(G, Pic(X) ⊗ \overline{F}^{×}).  (5.4)

(2) Soit B le représentant algébrique de A^{2}(X) (Prop. 5.1 (v)). S’il existe un cycle de codimension 2 universel dans CH^{2}(B × X), alors pour tout corps F contenant ℂ, on a H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)).

Note : Sous l’hypothèse CH_{0}(X) = ℤ, la condition H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0 est, d’après [11, Thm. 1.1], équivalente au fait que la conjecture de Hodge entière vaut en degré 4, i.e. pour les cycles de codimension 2.

Démonstration. Soit F un corps contenant ℂ. Soit \overline{F} une clôture algébrique de F et G = Gal(\overline{F} /F). D’après le théorème 4.1 appliqué à la F -variété X_{F} := X ×_{ℂ} F, on a une suite exacte

H^{1}(G, Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×}) →

→ Ker[H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2))] →

→ Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}]⟶^{β}H^{2}(G, Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×})

On sait [7, Thm. 4.4.1] que la cohomologie non ramifiée est invariante par extension de corps de base algébriquement clos. Sous l’hypothèse (iii), on a donc H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)) = 0. Sous les hypothèses (i) et (ii), les applications de restriction Pic(X) → Pic(X_{F}) → Pic(X\overline{F}) sont des isomorphismes de réseaux (Proposition 5.1 (ii)). L’action de Gal(\overline{F} /F) sur le réseau Pic(X\overline{F}) est donc triviale. Le théorème 90 de Hilbert donne alors

H^{1}(G, Pic(X) ⊗ \overline{F}^{×}) = 0.

Ceci donne la suite exacte (5.4). Supposons qu’il existe un cycle de codimension 2 universel. Alors, sur tout corps F contenant ℂ, on dispose de l’application ensembliste B(F) → A^{2}(X_{F}) qui composée avec l’application A^{2}(X_{F}) → B(F) est l’identité. Ceci implique que l’homomorphisme A^{2}(X_{F}) → A^{2}(X\overline{F})^{G} est une surjection. L’application composée NS^{2}(X) → NS^{2}(X\overline{F})^{G} est surjective, car NS^{2}(X) → NS^{2}(X\overline{F}) est un isomorphisme (Prop. 5.1 (iv)). Ainsi CH^{2}(X) → CH^{2}(X\overline{F})^{G} est surjectif, et de la suite exacte (5.4) on déduit H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) = H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)). □

Remarque 5.5. Sous des hypothèses additionnelles, C. Voisin [34, Thm. 2.1, Cor. 2.3] établit une réciproque du théorème 5.4. Il serait souhaitable d’établir une telle réciproque par les méthodes plus K-théoriques du présent article, en utilisant la suite exacte (5.4) pour le corps des fonctions F = ℂ(B) du représentant algébrique B de A^{2}(X).

5.3 Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des hypersurfaces de Fano

Théorème 5.6. Soit n ≥ 4. Soit X ⊂ P_{ℂ}^{n} une hypersurface lisse de degré d ≤ n.

(i) La flèche degré CH_{0}(X) → Z est un isomorphisme. (ii) On a Pic(X) = NS(X) = H_{Betti}^{2}(X, ℤ) = ℤ, et ce groupe est engendré par la classe d’une section hyperplane. (iii) Le groupe H_{Betti}^{3}(X, ℤ) est sans torsion, et nul pour n ≥ 5.

(iv) Pour n ≥ 5, équivalences rationnelle, algébrique et homologique coïncident sur les cycles de codimension 2 sur X, et on a une injection de réseaux CH^{2}(X) ↪ H_{Betti}^{4}(X, ℤ).

(v) Pour n ≠ 5, H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ, et l’application

CH^{2}(X) → H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ

est surjective, et est un isomorphisme pour n > 5. (vi) Pour n = 4 et n > 5, on a H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0. (vii) Pour n ≥ 5, pour tout corps F contenant ℂ, de clôture algébrique \overline{F}, avec G := Gal(\overline{F} /F), la flèche naturelle

CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}

est surjective, et on a une suite exacte naturellement scindée

0 → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)) → 0.

Pour n > 5,on a

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)).

(viii) Pour n = 4, soit B le représentant algébrique de A^{2}(X). S’il existe un cycle universel de codimension 2 dans CH^{2}(B × X), alors pour tout corps F contenant ℂ, on a H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)), et l’application CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G} est surjective.

Démonstration. Les énoncés (i) à (v) sont bien connus. Comme ils sont utilisés pour établir les points suivants, donnons quelques rappels à leur sujet. L’hypothèse d ≤ n assure CH_{0}(X) →^{≃} ℤ, soit (i). C’est un théorème de Roitman, que l’on peut aussi voir comme un cas particulier du théorème de Campana et Kollár-Miyaoka-Mori assurant qu’une variété de Fano est rationnellement connexe. L’énoncé (ii) vaut pour toute hypersurface lisse dans P_{ℂ}^{n}, n ≥ 4. Pour n ≥ 5, les théorèmes de Lefschetz donnent H_{Betti}^{3}(X, ℤ) = 0 et H_{Betti}^{3}(X, ℤ/l) = 0 pour tout l premier. L’énoncé (i) et la proposition 5.1 donnent alors (iv). Pour n = 4, H_{Betti}^{3}(X, ℤ) est sans torsion. Par ailleurs H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ (par dualité de Poincaré), la restriction ℤ = H_{Betti}^{4}(P^{4}, ℤ) → H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ est l’identité sur ℤ. Pour n ≥ 3, toute hypersurface X ⊂ P_{ℂ}^{n} de degré d ≤ n contient une droite de P_{ℂ}^{n}. C’est un résultat classique mais délicat dans le cas d = n (voir [12]). Pour d < n, cela résulte d’un calcul immédiat de dimension, qui montre que par tout point de X il passe une droite de P_{ℂ}^{n} contenue dans X. Soit n = 4. L’hypersurface X contient une droite de P_{ℂ}^{4}. La classe de cette droite dans CH^{2}(X) engendre donc H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ. Pour n ≥ 6, les théorèmes de Lefschetz donnent que la flèche de restriction

ℤ = H_{Betti}^{4}(P_{ℂ}^{n}, ℤ) → H_{Betti}^{4}(X, ℤ)

est un isomorphisme. Le diagramme commutatif

CH^{2}(X) ↪ H_{Betti}^{4}(X, ℤ)
↑  ↑
CH^{2}(P_{ℂ}^{n}) →^{≃} H_{Betti}^{4}(P_{ℂ}^{n}, ℤ)

donne alors CH^{2}(X) →^{≃} H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ, la conjecture de Hodge entière en degré 4 vaut donc pour X, et la théorie de Bloch-Ogus ou [11, Thm. 1.1] donnent alors H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0 soit (vi) pour n ≥ 6. Le même argument vaut pour n = 4 et d ≤ 4, puisque l’application CH^{2}(X) → H_{Betti}^{4}(X, ℤ) = ℤ est surjective. Ceci établit (v) et (vi). Pour n = 4, (vi) est un cas particulier d’un résultat de C. Voisin [11, Cor. 6.2]. Établissons les points (vii) et (viii). Pour tout n ≥ 4, Pour tout corps F contenant ℂ, on a

Pic(X) = Pic(X_{F}) = ℤ,

le groupe étant engendré par la classe d’une section hyperplane (théorème de Max Noether). On a donc H^{1}(G, Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×}) = H^{1}(G, \overline{F}^{×}) = 0 (théorème 90 de Hilbert). Les énoncés déjà établis et le le théorème 4.1 donnent alors une suite exacte

0 → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → Ker[H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2))] →
→ Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}]→^{β}H^{2}(G, Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×}) (5.6)

Pour n ≥ 5, d’après (iv), équivalence rationnelle et équivalence algébrique sur les cycles de codimension 2 de X coïncident sur un corps algébriquement clos. Pour une variété projective, lisse, connexe, sur un corps algébriquement clos, les groupes d’équivalence de cycles modulo l’équivalence algébrique sont, comme c’est bien connu et facile à établir, invariants par extension du corps de base à un autre corps algébriquement clos. Ainsi la flèche composée

CH^{2}(X) → CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})

est l’identité, donc l’application CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G} est surjective. On obtient donc dans ce cas une suite exacte

0 → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)).

D’après [7, Thm. 4.4.1], on a H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)), si bien que la suite ci-dessus se complète en une suite exacte naturellement scindée

0 → H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)) → 0.

Pour n > 5, une application de (vi) achève alors d’établir l’énoncé (vii).

Pour n = 4, on a déjà établi H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0 et

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))

pour tout F contenant ℂ. La deuxième partie de l’énoncé (viii) résulte alors de la suite exacte (5.6) et du lemme 5.7 (b) ci-après. □

Lemme 5.7. Soient n ≥ 4 et X ⊂ P_{ℂ}^{n} une hypersurface lisse de degré d ≤ n.

(a) Pour tout corps F contenant ℂ, la flèche naturelle

Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(X\overline{F} , K_{2})

est un isomorphisme

\overline{F}^{×} →^{≃} H^{1}(X\overline{F} , K_{2}).

(b) On a un isomorphisme

Ker[H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))/H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2))] →^{≃}

→^{≃} Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}].

Démonstration. Pour tout corps F contenant ℂ, on a

Pic(X) = Pic(X_{F}) = ℤ,

le groupe étant engendré par la classe d’une section hyperplane (théorème de Max Noether). Comme on a CH_{0}(X) →^{≃} ℤ et que les groupes H_{Betti}^{3}(X, ℤ) sont sans torsion, d’après [10, Thm. 2.12 ; Prop. 2.15], la flèche naturelle

Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(X\overline{F} , K_{2})

est surjective. On a vu ci-dessus que X contient une droite de P^{n}, soit Y ⊂ X ⊂ P_{ℂ}^{n}. La restriction

ℤ = Pic(X\overline{F}) → Pic(Y\overline{F}) = ℤ

est l’identité sur ℤ, car le groupe Pic(X\overline{F}) est engendré par la classe d’une section hyperplane. Donc la flèche

Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} → Pic(Y\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×}

est un isomorphisme. Pour la droite Y, l’application

\overline{F}^{×} = Pic(Y\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(Y\overline{F} , K_{2})

est un isomorphisme. L’inclusion Y ⊂ X induit un diagramme commutatif

\xymatrix{Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} \ar[d] \ar[r] & Pic(Y\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} \ar[d] \\ H^{1}(X\overline{F} , K_{2}) \ar[r] & H^{1}(Y\overline{F} , K_{2})}

dans lequel la flèche horizontale supérieure est un isomorphisme, la flèche verticale de droite aussi, et la flèche verticale de gauche est surjective. La flèche Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×} → H^{1}(X\overline{F} , K_{2}) est donc un isomorphisme \overline{F}^{×} →^{≃} H^{1}(X\overline{F} , K_{2}), ce qui établit (a) et montre que la flèche de restriction

H^{1}(X\overline{F} , K_{2}) → H^{1}(Y\overline{F} , K_{2})

est un isomorphisme. Considérons la suite exacte (5.6). Pour n ≥ 5, nous avons établi Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}] = 0, et donc la flèche

β : Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}]→^{β}H^{2}(G, Pic(X\overline{F}) ⊗ \overline{F}^{×})

dans cette suite est nulle. Montrons que l’on a encore β = 0 dans le cas n = 4. Nous avons ici recours au point de vue motivique, i.e. à la proposition 2.6. L’application β est induite par l’application composée

CH^{2}(X\overline{F})^{G} → ℍ^{4}(X\overline{F} , ℤ(2))^{G} → H^{2}(G, ℍ^{3}(X\overline{F} , ℤ(2))).

Chacune des deux applications intervenant ici est définie pour toute variété lisse X, et leur formation est fonctorielle en la variété lisse X : la seconde application vient de la suite spectrale considérée à la section 2.2. Soit Y ⊂ X ⊂ P_{ℂ}^{n} une droite. Comme la restriction

H^{1}(X\overline{F} , K_{2}) → H^{1}(Y\overline{F} , K_{2})

est un isomorphisme, la flèche

β : Coker[CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}] → H^{2}(G, H^{1}(X\overline{F} , K_{2}))

se factorise par Coker[CH^{2}(Y_{F}) → CH^{2}(Y\overline{F})^{G}] = 0 et donc est nulle, ce qui via la suite exacte (5.6) établit l’énoncé (b). □

Pour les hypersurfaces cubiques, un résultat de Claire Voisin permet de compléter le théorème 5.6 dans le cas n = 5.

Théorème 5.8. Soit X ⊂ P_{ℂ}^{n}, n ≥ 4 une hypersurface cubique lisse.

(i) On a H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0. (ii) Pour tout entier n ≥ 5, pour tout corps F contenant ℂ, la flèche

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) → H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))

est un isomorphisme, et l’application

CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G}

est surjective. (iii) Pour n = 4, soit B le représentant algébrique de A^{2}(X) (Prop. 5.1 (v)). S’il existe un cycle universel de codimension 2 dans CH^{2}(B × X), alors pour tout corps F contenant ℂ on a H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)), et l’application CH^{2}(X_{F}) → CH^{2}(X\overline{F})^{G} est surjective.

Démonstration. Pour n ≠ 5, ceci est un cas particulier du théorème 5.6. Soit donc n = 5. C. Voisin a établi la conjecture de Hodge entière en degré 4 pour toute hypersurface cubique lisse X ⊂ P_{ℂ}^{5} [32], [33, Thm. 0.4, Thm. 2.11]. D’après le théorème [11, Thm. 1.1], ceci implique H_{nr}^{3}(X, ℚ/ℤ(2)) = 0, et donc, d’après [7, Thm. 4.4.1], H_{nr}^{3}(X\overline{F} , ℚ/ℤ(2)) = 0 pour tout corps algébriquement clos \overline{F} contenant ℂ. L’énoncé (ii) est alors une conséquence du théorème 5.6 (vii). □

Remarque 5.9. Soit n = 5. Si l’hypersurface cubique X ⊂ P_{ℂ}^{5} contient un plan, on peut fibrer X en quadriques au-dessus du plan. L’énoncé (i) résulte alors de [11, Cor. 8.2], qui repose seulement sur le calcul de la cohomologie non ramifiée des quadriques de dimension 2 sur un corps quelconque (cas particulier des résultats de Kahn, Rost, Sujatha sur les quadriques de dimension quelconque). Pour les hypersurfaces cubiques lisses X ⊂ P_{ℂ}^{5} très générales contenant un plan, l’isomorphisme

H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) →^{≃} H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2))

dans la proposition 5.8 (ii) fut d’abord établi par des méthodes de K-théorie et de formes quadratiques, en collaboration avec Auel et Parimala [2]. Pour toute hypersurface cubique lisse X ⊂ P_{ℂ}^{5}, il fut ensuite établi par C. Voisin [34, Thm. 2.1, Example 2.2], par une méthode différente de celle proposée ici. Remarque 5.10. Soit n = 4. Si pour une hypersurface cubique X ⊂ P_{ℂ}^{4} et un corps F on avait H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) ≠ H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)), alors X ne serait pas stablement rationnelle. Un tel exemple n’est pas connu. Dans [35, Thm. 4.5], C. Voisin montre qu’il existe des hypersurfaces cubiques dans P_{ℂ}^{4} pour lesquelles le groupe de Chow des zéro-cycles est universellement trivial, résultat plus fort que H_{nr}^{3}(X_{F} , ℚ/ℤ(2)) = H^{3}(F, ℚ/ℤ(2)) pour tout F.

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Jean-Louis Colliot-Thélène C.N.R.S. Université Paris Sud Mathématiques Bâtiment 425 91405 Orsay Cedex France jlct@math.u-psud.fr