Presque C_{p}-Représentations

A Kazuya Kato,

à l’occasion de son cinquantième anniversaire

Jean-Marc Fontaine

Received: October 25, 2002 Revised: April 3, 2003

Abstract. Let \overline{ℚ}_{p} be an algebraic closure of ℚ_{p} and C its p-adic completion. Let K be a finite extension of ℚ_{p} contained in \overline{ℚ}_{p} and set G_{K} = Gal(\overline{ℚ}_{p}/K). A ℚ_{p}-representation (resp. a C-representa-tion) of G_{K} is a finite dimensional ℚ_{p}-vector space (resp. C-vector space) equipped with a linear (resp. semi-linear) continuous action of G_{K}. A banach representation of G_{K} is a topological ℚ_{p}-vector space, whose topology may be defined by a norm with respect to which it is complete, equipped with a linear and continuous action of G_{K}. An almost C-representation of G_{K} is a banach representation X which is almost isomorphic to a C-representation, i.e. such that there exists a C-representation W, finite dimensional sub-ℚ_{p}- vector spaces V of X and V′ of W stable under G_{K} and an isomorphism X/V → W/V′. The almost C-representations of G_{K} form an abelian category C(G_{K}). There is a unique additive function dh : ObC(G_{K}) → ℕ × ℤ such that dh(W) = (dim_{C} W, 0) if W is a C-representation and dh(V) = (0, dim_{ℚ_{p}} V) if V is a ℚ_{p}-repre-sentation. If X and Y are objects of C(G_{K}), the ℚ_{p}-vector spaces Ext_{C(G_{K})}^{i}(X, Y) are finite dimensional and are zero for i ∉ {0, 1, 2}. One gets ∑_{i=0}^{2}(−1)^{i}dim_{ℚ_{p}}Ext_{C(G_{K})}^{i}(X, Y) = −[K : ℚ_{p}]h(X)h(Y). Moreover, there is a natural duality between Ext_{C(G_{K})}^{i}(X, Y) and Ext_{C(G_{K})}^{2−i}(Y, X(1)).

2000 Mathematics Subject Classification: Primary: 11F80, 11S20 11S25. Secondary:11G25, 11S31, 14F30, 14G22. Mots clés: Corps p-adiques, représentations galoisiennes p-adiques, cohomologie galoisienne, espaces de Banach p-adiques. Keywords and Phrases: p-adic fields, p-adic Galois representations, Galois cohomology, p-adic Banach spaces.

Table

1 – Introduction 286 2 – Etude des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K} 295 3 – Quelques calculs d’homomorphismes et d’extensions 315 4 – Structures analytiques 329 5 – La catégorie des presque C-représentations 340 6 – Calcul des groupes d’extensions 355 7 – Presque C-représentations à presqu’isomorphismes près 369 8 – Extensions universelles 371 9 – Principales définitions 382 10 – Principales notations 382 11 – Bibliographie 384

1 – Introduction

1.1 – Prologue

Cet article est le premier d’une série en préparation consacrée à l’étude de certains phénomènes que l’on rencontre lorsque l’on étudie les représentations p-adiques associées aux motifs des variétés algébriques sur les corps p-adiques. Considérons d’abord la situation suivante : On se donne un complété K d’un corps de nombres, on choisit une clôture algébrique \overline{K} de K, on pose G_{K} = Gal(\overline{K}/K) et on note C le complété de \overline{K}. Soient A une variété abélienne sur K de dimension g et t_{A} son espace tangent. C’est un K-espace vectoriel de dimension g. Il est commode de le voir comme un groupe vectoriel, i.e. de poser t_{A}(R) = R ⊗_{K} t_{A} pour toute K-algèbre R.

Supposons d’abord K archimédien. On a donc K = ℝ ou ℂ, \overline{K} = C = ℂ, G_{K} = {1, τ}, avec τ la conjugaison complexe ou G_{K} = {1}. L’exponentielle est définie partout et on a une suite exacte

0 → H_{1}(A(ℂ), ℤ) → t_{A}(ℂ) → A(ℂ) → 0

Si maintenant K est une extension finie de ℚ_{p}, c’est au contraire le logarithme qui est partout défini et on a un diagramme commutatif

0 → A_{tor}(\overline{K}) → A(\overline{K}) → t_{A}(\overline{K}) → 0
∥ ∩ ∩
0 → A_{tor}(C) → A(C) → t_{A}(C) → 0

Presque C_{p}-Représentations 287

Le groupe A(\overline{K}) est muni d’une topologie naturelle : notons O_{K} (resp. O\overline{K}) l’anneau des entiers de K (resp. \overline{K}) ; si A est un modèle propre (pas nécessairement lisse) de A sur O_{K}, on a A(\overline{K}) = A(O\overline{K}) ; on prend la topologie la moins fine rendant continues toutes les applications A(O\overline{K}) → A(O\overline{K}/p^{n}), pour n ∈ ℕ (avec la topologie discrète sur A(O\overline{K}/p^{n})). On vérifie que cette topologie est indépendante du choix du modèle, fait de A(\overline{K}) un groupe topologique induisant la topologie discrète sur A_{tor}(\overline{K}) et la topologie naturelle sur t_{A}(\overline{K}) et que A(C) s’identifie au séparé complété de A(\overline{K}) pour cette topologie. On a A_{tor}(\overline{K}) = A_{p−tor}(\overline{K}) ⊕ A_{p′−tor}(\overline{K}) où A_{p−tor}(\overline{K}) (resp. A_{p′−tor}(\overline{K})) désigne le sous-groupe de p-torsion (resp. de p′-torsion) de A(\overline{K}). L’exponentielle est définie localement, ce qui veut dire qu’il existe un réseau Λ de t_{A} (i.e. un sous-O_{K}-module libre de rang g de t_{A}) et un homomorphisme continu G_{K}-équivariant exp : O_{C} ⊗_{O_{K}} Λ → A(C) vérifiant log(exp(x)) = x, pour tout x ∈ O_{C} ⊗_{O_{K}} Λ ; on a exp(O\overline{K} ⊗_{O_{K}} Λ) ⊂ A(\overline{K}). Ceci permet en particulier de définir une section s de l’inclusion de A_{p′−tor}(\overline{K}) dans A(C) : si x ∈ A(C), p^{n} log(x) ∈ O_{C} ⊗_{O_{K}} Λ, pour n assez grand et s(x) = p^{−n}π(x^{p^{n}}/ exp(p^{n} log(x))), où π : A_{tor}(\overline{K}) → A_{p′−tor}(\overline{K}) est la projection canonique (on a noté multiplicativement A(C) et additivement A_{p′−tor}(\overline{K})). Si A^{(p)}(C) désigne le noyau de s, on a A(C) = A_{p′−tor}(\overline{K}) ⊕ A^{(p)}(C) et A(\overline{K}) = A_{p′−tor}(\overline{K}) ⊕ A^{(p)}(\overline{K}), en posant A^{(p)}(\overline{K}) = A(\overline{K}) ∩ A^{(p)}(C). Cette décomposition est compatible avec la topologie et A^{(p)}(C) est le complété de A^{(p)}(\overline{K}) pour la topologie induite.

Le premier fait remarquable est que l’on peut retrouver A^{(p)}(\overline{K}) (et donc aussi A^{(p)}(C)) en tant que groupe topologique muni d’une action de G_{K} à partir de la seule connaissance de A_{p−tor}(\overline{K}) (et donc également A(\overline{K}) et A(C) à partir de A_{tor}(\overline{K})): Notons U_{C}^{+} = 1 + m_{O_{C}} le groupe des unités de l’anneau des entiers O_{C} de C qui sont congrues à 1 modulo l’idéal maximal. Le logarithme p-adique définit une suite exacte

0 → (ℚ_{p}/ℤ_{p})(1) → U_{C}^{+} → C → 0

Le module de Tate T_{p}(A), limite projective des A_{p^{n}}(\overline{K}), pour n ∈ ℕ est un ℤ_{p}-module libre de rang 2g et en tensorisant la suite exacte ci-dessus avec T_{p}(A)(−1), on obtient une autre suite exacte

0 → A_{p−tor}(\overline{K}) → U_{C}^{+}(−1) ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A) → C(−1) ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A) → 0

PROPOSITION 1.1 (cf. §8.4). — Soit A une variété abélienne sur K. Il existe une et une seule application additive continue G_{K}-équivariante

ξ : A^{(p)}(\overline{K}) → U_{C}^{+}(−1) ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A)

induisant l’identité sur A_{p−tor}(\overline{K}). Cette application est injective et identifie A^{(p)}(\overline{K}) au plus grand sous-groupe de U_{C}^{+}(−1) ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A) sur lequel l’action de G_{K} est discrète. L’application ξ̄: t_{A}(\overline{K}) → C(−1) ⊗ T_{p}(A), déduite de ξ par passage au quotient, est \overline{K}-linéaire.

On remarque en outre que \overline{ξ} induit une application injective ξ_{1} de t_{A} sur (C(−1) ⊗ (T_{p}(A))^{G_{K}}. L’application analogue pour la variété abélienne duale A′ fournit par dualité une application surjective ξ_{0} : (C ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A))^{G_{K}} → t_{A′}^{∗} (où t_{A′}^{∗} est le K-espace vectoriel dual de l’espace tangent de A′). Grâce à un théorème de Tate ([Se67a], prop.4), pour toute représentation p-adique V, on a dim_{K}(C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} + dim_{K}(C ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} ≤ dim_{ℚ_{p}} V. Pour des raisons de dimension, ξ_{0} et ξ_{1} sont donc des isomorphismes. On retrouve ainsi la décomposition de Hodge-Tate pour les variétés abéliennes.

En fait, on a plus que cela : A^{(p)} a une structure naturelle de groupe rigide analytique. On peut retrouver cette structure à partir de A_{p−tor}(\overline{K}) : U_{C}^{+} a une structure naturelle de groupe rigide analytique sur C : c’est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau sous-jacent au disque unité fermé. D’où une structure analytique sur U_{C}^{+}(−1) ⊗ T_{p}(A) ≃ (U_{C}^{+})^{2g} . Et A^{(p)}(C) s’identifie à un sous-groupe fermé.

Au groupe A_{p−tor}(\overline{K}) muni de l’action de G_{K}, on peut donc associer deux objets intéressants (A) le groupe topologique A^{(p)}(C) muni de son action de G_{K}, (B) le groupe analytique rigide A^{(p)} [Attention, on ne peut pas obtenir trop : ce n’est pas la variété analytique rigide A^{rig} associée à A ; dans le cas de bonne réduction par exemple, c’est seulement la fibre générique du schéma en groupes formel (pas nécessairement connexe) Â associé au groupe de Barsotti-Tate (A_{p^{n}})_{n∈ℕ} où A est le modèle de Néron de A]. Lorsque A a bonne réduction, on peut encore associer un troisième objet, qui est (C) un faisceau de groupes abéliens pour la topologie plate (pour les généralisations, ce sera mieux de considérer la topologie syntomique lisse sur SpfW), à savoir le faisceau représenté par Â.

Ces trois constructions se généralisent aux motifs. Pour fixer les idées, soient X une variété algébrique propre et lisse sur K, m ∈ ℕ et i ∈ ℤ. Au ”motif” M = H^{m}(X)(i), on peut associer M_{p−tor}(\overline{K}) = H_{ét}^{m}(X\overline{K}, (ℚ_{p}/ℤ_{p})(i)). A partir de ce module galoisien, on peut construire des objets du type (A), (B) et, dans le cas de bonne réduction, (C) qui vivent dans de jolies catégories. Pour (C), on ne sait le faire qu’à isogénie près, sauf si 0 ≤ m ≤ p − 2. En fait pour fabriquer un objet du type (A) ou (B) il suffit de partir d’un groupe abélien de p-torsion Λ avec action linéaire et continue de G_{K} qui est de cotype fini. Si on travaille seulement à isogénie près, il suffit de partir d’une représentation p-adique V de G_{K} qui peut être quelconque. Pour pouvoir faire (C), il faut la supposer cristalline. Le but du présent article est d’introduire et étudier la catégorie des jolis objets du type (A) à isogénie près. L’étude des objets des types (B) et (C) sera faite ailleurs. Signalons dès à présent que celle des objets de type (B) repose sur le travail fondamental de Colmez sur les Espaces de Banach de dimension finie [Co02], travail qui joue déjà un rôle crucial ici (§4).

1.2 – Conventions, notations

Dans toute la suite de l’article, K est une extension finie de ℚ_{p}, \overline{K} une clôture algébrique fixée de K et G_{K} = Gal(\overline{K}/K). Un banach est un espace de Banach p-adique à équivalence de normes près. Autrement dit, c’est un ℚ_{p}-espace vectoriel topologique V qui contient un sous-ℤ_{p}-module V qui est séparé et complet pour la topologie p-adique et est tel que V = \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} p^{−n}V (avec la topologie correspondante. Un tel V s’appelle un réseau de V. Pour qu’un autre sous-ℤ_{p}-module V′ de V soit aussi un réseau, il faut et il suffit qu’il existe r, s ∈ ℕ tels que p^{r}V ⊂ V′ ⊂ p^{s}V. Une représentation banachique de G_{K} (ou seulement une représentation banachique s’il n’y a pas de risque de confusion sur G_{K}) est un banach muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. Avec comme morphismes les applications ℚ_{p}-linéaires continues G_{K}-équivariantes, les représentations banachiques forment une catégorie additive ℚ_{p}-linéaire B(G_{K}). Tout comme la catégorie des banach , la catégorie B(G_{K}) a une structure de catégorie exacte au sens de [Qu73] (§2, cf. aussi [La83], §1.0) : Un morphisme f : X → Y de B(G_{K}) est un épimorphisme strict (ou admissible) (resp. un monomorphisme strict) (ou admissible) si et seulement si l’application sousjacente est surjective (resp. si elle induit un homéomorphisme de X sur un fermé de Y). Un morphisme strict est un morphisme qui peut s’écrire f_{2} ∘ f_{1} avec f_{1} un épimorphisme strict et f_{2} un monomorphisme strict. Si f : X → Y est un morphisme strict, le noyau et le conoyau de l’application sous-jacente sont de façon naturelle des représentations banachiques, les morphismes Ker f → X et Y → Coker f sont stricts et l’application Coim f → Im f est un isomorphisme. Une suite exacte courte de B(G_{K}) est une suite

O → S′ ⟶^{f} S ⟶^{g} S′′ → 0

où g est un épimorphisme strict et f un noyau de G. Disons qu’une sous-catégorie strictement pleine D de B(G_{K}) est stricte si elle contient 0, est stable par somme directe et si tout morphisme de D est strict (en tant que morphisme de B(G_{K})) et a son noyau et son conoyau dans B(G_{K}). Une telle catégorie est abélienne. Appelons représentation p-adique (de G_{K}) toute représentation banachique qui est de dimension finie sur ℚ_{p}. Ces représentations forment une sous-catégorie stricte Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) de B(G_{K}).

1.3 – C-représentations et B_{dR}^{+}-représentations

Par continuité le groupe G_{K} opère sur le corps C complété de \overline{K} pour la topologie p-adique. Une C-représentation (de G_{K}) est un C-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action semi-linéaire continue de G_{K}. Avec comme morphismes les applications C-linéaires G_{K}-équivariantes, ces représentations forment une catégorie abélienne K-linéaire que nous notons Rep_{C}(G_{K}).

Tout C-espace vectoriel de dimension finie muni de sa topologie naturelle est un banach. Toute C-représentation est donc de manière naturelle une représentation banachique.

TH^{}ÉOR^{}ÈME A (cf. §3.3). — Le foncteur d’oubli

Rep_{C}(G_{K}) → B(G_{K})

est pleinement fidèle.

Autrement dit, si W_{1} et W_{2} sont deux C-représentations de G_{K}, toute application ℚ_{p}-linéaire continue, G_{K}-équivariante, de W_{1} dans W_{2} est C-linéaire. Ceci nous permet d’identifier Rep_{C}(G_{K}) à une sous-catégorie pleine de B(G_{K}) qui, bien sûr, est exacte. Il en est de même de la sous-catégorie pleine Rep_{C}^{triv}(G_{K}) de Rep_{C}(G_{K}) dont les objets sont les C-représentations triviales, i.e. les représentations W telles qu’il existe un entier d et un isomorphisme de C^{d} sur W. On remarque qu’une C-représentation W est triviale si et seulement si W est engendré en tant que C-espace vectoriel par W^{G_{K}}.

Nous allons avoir besoin de plonger Rep_{C}(G_{K}) dans une catégorie un peu plus grande. Choisissons un générateur t de ℤ_{p}(1) (noté additivement). Rappelons (cf., par exemple [Fo00], §3.1 et 3.2) que le corps B_{dR} des périodes p-adiques est une \overline{K}- algèbre, contenant ℤ_{p}(1), munie d’une topologie et d’une action semi-linéaire continue de G_{K}. Ce corps a aussi une structure naturelle de corps complet pour une valuation discrète (la topologie définie par cette valuation est plus fine que la topologie canonique). Son corps résiduel est C et t est une uniformisante. On note B_{dR}^{+} l’anneau de la valuation (qui est aussi ouvert et fermé dans B_{dR} pour la topologie canonique). Pour tout m ∈ ℕ, on pose B_{m} = B_{dR}^{+}/t^{m}B_{dR}^{+} (on a donc B_{0} = 0 et B_{1} = C). Pour tout m ∈ ℕ, B_{m}, muni de la topologie induite par la topologie canonique de B_{dR}, est un banach (et sur B_{1} = C, cette topologie coïncide avec la topologie p-adique sur C). Inversement, la topologie canonique sur B_{dR}^{+} = \underleftarrow{lim}_{m∈ℕ} B_{m} est la topologie de la limite projective avec la topologie de banach sur chaque B_{m}. Un B_{dR}^{+}-module de longueur finie n’est autre qu’un B_{dR}^{+}-module de type fini annulé par une puissance de t, i.e. c’est un B_{m}-module de type fini pour m assez grand. Pour tout B_{dR}^{+}-module W de longueur finie, on note d_{1}(W) sa longueur. On a donc d_{1}(B_{m}) = m. On appelle B_{dR}^{+}-représentation (de G_{K}) tout B_{dR}^{+}-module de longueur finie muni d’une action semi-linéaire et continue de G_{K}. Ces représentations forment de manière évidente une catégorie abélienne K-linéaire que nous notons Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}). La catégorie Rep_{C}(G_{K}) s’identifie à la sous-catégorie pleine de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) dont les objets sont ceux qui sont annulés par t. Le théorème A s’étend à Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}).

TH^{}ÉOR^{}ÈME A’ (cf. §3.3). — Le foncteur d’oubli

Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) → B(G_{K})

est pleinement fidèle.

1.4 – Presque-C-représentations

Soient X_{1} et X_{2} deux représentations banachiques. On dit que X_{1} et X_{2} sont presqu’isomorphes s’il existe des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie V_{1} de X_{1} et V_{2} de X_{2} stables par G_{K} et un isomorphisme X_{1}/V_{1} → X_{2}/V_{2} dans B(G_{K}). On a ainsi défini une relation d’équivalence sur les objets de B(G_{K}). Une presque C-représentation (de G_{K}) est une représentation banachique qui est presqu’isomorphe à une C-représentation triviale. On note C(G_{K}) la souscatégorie pleine de B(G_{K}) dont les objets sont les presque C-représentations.

TH^{}ÉOR^{}ÈME B (cf. §5.1). — La catégorie C(G_{K}) est une sous-catégorie stricte de B(G_{K}). En outre, il existe des fonctions additives

d : Ob C(G_{K}) → ℕ et h : ObC(G_{K}) → ℤ

caractérisées par d(C) = 1, h(C) = 0 et

d(V) = 0 , h(V) = dim_{ℚ_{p}} V pour toute représentation p-adique V de G_{K}

En fait C(G_{K}) contient toutes les C-représentations et même les B_{dR}^{+}-représen-tations :

TH^{}ÉOR^{}ÈME C (cf. §5.5). — Soit W une B_{dR}^{+}-représentation et soit d la longueur du B_{dR}^{+}-module sous-jacent. Alors W est presqu’isomorphe à C^{d}. On a d(W) = d et h(W) = 0.

1.5 – Extensions

Disons qu’une suite exacte courte de B(G_{K})

0 → S′ → S → S′′ → 0

est presque scindée s’il existe un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie V de S′ stable par G_{K} tel que la suite

0 → S′/V → S/V → S′′ → 0

est scindée.

TH^{}ÉOR^{}ÈME D (cf. §5.2, 5.4 et 5.5). — Soit

0 → S′ → S → S′′ → 0

une suite exacte courte de B(G_{K}).

i) Si S′ et S′′ sont des presque C-représentations, pour que S soit une presque-C-représentation, il faut et il suffit que la suite soit presque scindée. ii) Si S′ et S′′ sont des B_{dR}^{+}-représentations, pour que S soit une B_{dR}^{+}-repré-sentation, il faut et il suffit que la suite soit presque scindée.

1.6 – Le plan

Faisons une dernière convention : Si C est une catégorie abélienne, si X et Y sont deux objets de C et si n ∈ ℕ, on note Ext_{C}^{n}(X, Y) le groupe des classes de n-extensions de Yoneda. Si C = Rep_{E}(G) est une catégorie de représentations (semi)-linéaires d’un groupe G à coefficients dans un anneau commutatif E, on écrit aussi Ext_{E[G]}^{n}(X, Y). Expliquons maintenant, pour terminer cette introduction, comment cet article est organisé.

– L’objet du §2, est une étude détailléee des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}. Celleci repose de façon essentielle sur l’article de Tate sur les groupes p-divisibles [Ta67] et sur la classification de Sen des C-représentations [Sen80]. Ces travaux ont été repris et poursuivis dans [Fo00] que l’on utilise abondamment. On introduit les petites représentations pour lesquelles on peut tout écrire explicitement et auxquelles on peut se ramener dans la plupart des cas parce que toute B_{dR}^{+}- représentation devient petite après changement de base fini. On détermine les groupes d’extensions dans la catégorie Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}). Ces calculs, qui seront utiles dans la suite, ne sont pas difficiles. Ils reposent essentiellement sur la description explicite des groupes proalgébriques associés aux catégories tannakiennes sous-jacentes. Ils sont plutôt fastidieux et nous recommandons au lecteur de passer rapidement sur le §2 en première lecture.

– Dans le §3, on établit les théorèmes de pleine fidélité (th. A et A’ ci-dessus). Puis, on montre comment construire toutes les extensions d’une C-représenta-tion – ou plus généralement d’une B_{dR}^{+}-représentation – W par une représentation p-adique V. Rappelons [Fo88a] que B_{cris} est une sous-ℚ_{p}-algèbre de B_{dR} stable par G_{K} et munie d’un Frobenius φ qui est un endomorphisme de ℚ_{p}-algèbres commutant à l’action de G_{K}. Si B_{e} désigne la sous-ℚ_{p}-algèbre de B_{cris} formée des b tels que φ(b) = b, on dispose (cf. par exemple, [FPR94], prop. 3.1.1) d’une suite exacte

0 → ℚ_{p} → B_{e} → B_{dR}/B_{dR}^{+} → 0

où la flèche B_{e} → B_{dR}/B_{dR}^{+} est le composé de l’inclusion de B_{e} ⊂ B_{cris} dans B_{dR} avec la projection sur B_{dR}/B_{dR}^{+}.

En tensorisant avec V, on obtient une suite exacte

0 → V → B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0

d’où une application^{(1)}

δ_{W,V} : Hom(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V)

Le point essentiel est que δ_{W,V} est un isomorphisme. Pour le prouver, on commence par utiliser beaucoup de cohomologie galoisienne et en particulier, la théorie du corps de classes local pour montrer que Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) est de dimension finie et calculer sa dimension. On constate alors que la source et le but de δ_{W,V} ont la même dimension et il est facile de vérifier que δ_{W,V} est injective. Dans le cas où W est une C-représentation, on peut remplacer B_{e} par B_{e} ∩ t^{−1}B_{dR}^{+} qui est une extension de C(−1) par ℚ_{p} que l’on peut décrire très simplement : avec les notations du §1.1, on a B_{e} ∩t^{−1}B_{dR}^{+} = U(−1) où U est le ℚ_{p}-espace vectoriel des suites (u^{(n)})_{n∈ℕ} d’éléments de U_{C}^{+} vérifiant (u^{(n+1)})^{p} = u^{(n)} pour tout n. Remarquons au passage que cela nous fournit un procédé pour construire – au moins théoriquement et modulo la construction des représentations de dimension finie sur ℚ_{p} – tous les objets de C(G_{K}). Si S est l’un d’entre eux, on peut en effet trouver une C-représentation W (que l’on peut même choisir triviale) et une représentation p-adique V telles que S soit isomorphe au quotient d’une extension de W par V par une autre représentation p-adique V′.

– Dans le §4, on commence par énoncer, dans un langage un peu différent, l’un des résultats essentiels de l’article de Colmez [Co02] sur les Espaces de Banach de dimension finie. On introduit ce que nous appelons les espaces de Banach-Colmez effectifs qui sont des espaces de Banach munis d’une structure de limite inductive de limite projective d’objets en groupes commutatifs dans la catégorie des espaces rigides analytiques sur C vérifiant certaines propriétés. Un tel groupe a une dimension et une hauteur qui sont des entiers naturels. On a C = \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} p^{−n}O_{C} ce qui permet de munir C d’une structure d’espace de Banach-Colmez (la structure analytique sur O_{C} est la structure habituelle du disque unité fermé) de dimension 1 et de hauteur 0. Tout ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie h a une structure naturelle d’espace de Banach-Colmez de dimension 0 et hauteur h. Le résultat de Colmez peut alors s’exprimer en disant essentiellement que, si S est un espace de Banach-Colmez effectif de dimension 1 et de hauteur h et si f : S → C est un morphisme (d’espaces de Banach-Colmez effectifs) dont l’image n’est pas de dimension finie, alors f est surjectif et son noyau est de dimension 0 et de hauteur h.

(1) Ici Hom(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) désigne le groupe des applications ℚ_{p}- linéaires continues G_{K}-équivariantes – ou, cela revient au même, des applications B_{dR}^{+}-linéaires G_{K}-équivariantes – de W dans (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V.

On utilise ensuite les résultats du §3 pour montrer

i) que, si E est une représentation banachique de G_{K} extension de C par une représentation p-adique de dimension h, alors E est munie d’une structure d’espace de Banach-Colmez effectif de dimension 1 et hauteur h, ii) que si η : E → C est une application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante, alors elle est induite par un morphisme dans la catégorie des espaces de Banach-Colmez effectifs. Le résultat de Colmez implique alors que si l’image de η n’est pas de dimension finie, η est surjective et son noyau est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension h.

– Le théorème de structure pour la catégorie C(G_{K}) (th.B ci-dessus) est une conséquence essentiellement formelle de ce résultat, comme on le montre au début du §5. La suite de ce paragraphe consiste surtout à prouver que toute extension de B_{dR}^{+}-représentations est presque scindée, que toute B_{dR}^{+}-repré-sentation est presqu’isomorphe à une C-représentation triviale et que, dans la catégorie des représentations banachiques, toute extension presque scindée de B_{dR}^{+}-représentations est encore une B_{dR}^{+}-représentation. On y fait un grand usage de l’étude des B_{dR}^{+}-représentations faite au §1. On utilise aussi certaines représentations p-adiques spécifiques pour construire explicitement certains presque-scindages et certains presqu’isomorphismes.

– Dans le §6, on calcule les groupes d’extensions dans la catégorie des presque-C-représentations. Les résultats du §5 permettent de ramener ces calculs soient à ceux des groupes d’extensions dans la catégorie des B_{dR}^{+}-représentations, calculs déjà faits au §1, soient à ceux des groupes d’extensions dans la catégorie des représentations p-adiques, lesquels se ramènent aux calculs de cohomologie galoisienne continue de Tate. Soient X et Y des presque-C-représentations. On montre (th.6.1) que les ℚ_{p}- espaces vectoriels Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) sont de dimension finie, nulle si n ≥ 3 et que

∑_{n=0}^{2}(−1)^{n} dim_{ℚ_{p}} Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = −[K : ℚ_{p}]h(X)h(Y)

On construit (prop.6.8) une application naturelle Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)) → ℚ_{p} et on montre (prop.6.9) que, pour 0 ≤ n ≤ 2, l’application

Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) × Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1)) → Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)) → ℚ_{p}

définit une dualité parfaite.

– Dans le §7, on étudie la catégorie des presque-C-représentations de G_{K} à presqu’isomorphismes près, i.e. la catégorie déduite de C(G_{K}) en rendant inversible les presqu’isomorphismes. C’est une catégorie abélienne semi-simple qui a une seule classe d’isomorphisme d’objets simples, celle de C. Le corps gauche D_{K} des endomorphismes de C dans cette catégorie est assez gros. Il contient K et on dispose d’une suite exacte courte de K-espaces vectoriels

0 → K → D_{K} → ((C ⊗_{ℚ_{p}} C_{f})(−1))^{G_{K}} → K → 0

où C_{f} désigne la réunion des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie, stables par G_{K}, de C. Mais la structure multiplicative de D_{K} reste assez mystérieuse.

– Dans le §8, on fait le lien entre cet article et le prologue de cette introduction. On décrit quelques objets universels que l’on peut associer à la cohomologie étale des variétés algébriques sur K, en particulier dans le cas des variétés abéliennes. On définit aussi l’espace tangent t_{V} d’une représentation p-adique quelconque et l’exponentielle de Bloch-Kato

exp_{BK} : t_{V} → H_{cont}^{1}(K, V)

qui généralisent de façon évidente ces notions, maintenant classiques, pour des représentations de de Rham. On montre que l’image H_{e}^{1}(K, V) de exp_{BK} est le sous-groupe de H_{cont}^{1}(K, V) = Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(ℚ_{p}, V) formé des classes d’extensions qui proviennent, via l’inclusion de ℚ_{p} dans B_{dR}^{+}, d’une extension de B_{dR}^{+} par V.

Une partie de ce travail a été fait pendant un séjour à l’University of Sydney en Australie, une autre pendant un séjour au Korea Institute for Advanced Study de Séoul en République de Corée. J’ai plaisir à remercier ces institutions - et tout particulièrement Mark Kisin et Minhyong Kim - pour leur accueil chaleureux. Je voudrais enfin remercier le rapporteur pour sa lecture minutieuse et ses remarques pertinentes.

2 – – Etude des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}

Soit K_{∞} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K contenue dans \overline{K}, i.e. l’unique ℤ_{p}-extension de K contenue dans le sous-corps de \overline{K} engendré sur K par les racines de l’unité d’ordre une puissance de p. Soient H_{K} = Gal(\overline{K}/K) et Γ_{K} = G_{K}/H_{K}. Dans le §2.1, nous introduisons un anneau de séries formelles K_{∞}[[\underline{t}]] qui est un sous-anneau de (B_{dR}^{+})^{H_{K}} stable par Γ_{K} et construisons une équivalence entre la catégorie des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K} et celle des K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations de Γ_{K}. Dans le §2.2, on montre que cette dernière catégorie a une structure de catégorie tannakienne K-linéaire et est équippée d’un foncteur fibre à valeurs dans les K_{∞}-espaces vectoriels. On décrit le groupe pro-algébrique associé à ce foncteurfibre. On en déduit quelques résultats sur les groupes d’extensions dans cette catégorie. Si Y est une K_{∞}[[\underline{t}]]-représentation de Γ_{K}, la théorie de Sen permet de définir un endomorphisme ∇_{0} du K_{∞}-espace vectoriel sous-jacent. Si les valeurs propres de ∇_{0} sont dans K et suffisamment petites, on peut utiliser l’exponentielle pour donner une description terre à terre de Y et de la B_{dR}^{+}-représentation qui lui est associée (on dit qu’une telle B_{dR}^{+}-représentation est petite). L’étude des petites représentations est l’objet du §2.3. Si W est une B_{dR}^{+}-représentation de G_{K}, il existe une extension finie L de K contenue dans \overline{K} telle que W est petite en tant que représentation de G_{L} = Gal(\overline{K}/L). Une notion de changement de base permet alors de ramener le calcul des groupes d’extensions dans la catégorie des B_{dR}^{+}-représentations au cas des petites représentations. C’est ce qu’on fait dans le §2.4. Dans le §2.5 enfin, on calcule ces groupes d’extensions. On montre que si W_{1} et W_{2} sont des B_{dR}^{+}-représentations, les Ext^{i}(W_{1}, W_{2}) sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, nuls si i ≥ 3 et ∑_{i=0}^{2} dim_{K}Ext^{i}(W_{1}, W_{2}) = 0 (th.2.14). On dispose en outre (prop.2.16) d’une dualité parfaite

Ext^{i}(W_{1}, W_{2}) × Ext^{2−i}(W_{2}, W_{1}(1)) → K

En outre (prop. 2.15), si W est un objet simple de la catégorie des B_{dR}^{+}- représentations, les Ext^{i}(C, W) sont tous nuls sauf dans les cas suivants :

(i) W = C et i = 0 ou 1, et chacun de ces deux K-espaces vectoriels est de dimension 1, (ii) W = C(1) et i = 1 ou 2, chacun de ces deux K-espaces vectoriels étant encore de dimension 1.

2.1 – B_{dR}^{+}-représentations et K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations ; structures tannakiennes

Le générateur choisi t de ℤ_{p}(1) correspond à une suite (ε^{(n)})_{n∈ℕ} où ε^{(n)} ∈ \overline{K} est une racine primitive p^{n}-ième de l’unité et où (ε^{(n+1)})^{p} = ε^{(n)} pour tout n. Si p ≠ 2, on note π_{t} l’unique uniformisante du corps ℚ_{p}[ε^{(1)}] telle que (π_{t})^{p−1}+p = 0 et v_{p}(ε^{(1)} − 1 − π_{t}) ≥ \frac{2}{p−1} ; si p = 2, on pose π_{t} = 2ε^{(2)}. Alors \underline{t} = t/π_{t} est un élément de (B_{dR}^{+})^{H_{K}} qui est encore une uniformisante de B_{dR}^{+}. L’anneau K_{∞}[[\underline{t}]] des séries formelles en l’indéterminée \underline{t} s’identifie à un sous-anneau de (B_{dR}^{+})^{H_{K}} stable par Γ_{K} et, pour tout m ∈ ℕ, l’image de cet anneau dans (B_{m})^{H_{K}} = (B_{dR}^{+}/t^{m}B_{dR}^{+})^{H_{K}} = (B_{dR}^{+}/\underline{t}^{m}B_{dR}^{+})^{H_{K}} = (B_{dR}^{+})^{H_{K}} /\underline{t}^{m}(B_{dR}^{+})^{H_{K}} s’identifie à K_{∞}[[\underline{t}]]/\underline{t}^{m} et est dense dans (B_{m})^{H_{K}} (cf [Fo00], §3). Soit W une B_{dR}^{+}-représentation. Alors W^{H_{K}} est un (B_{dR}^{+})^{H_{K}} -module muni d’une action semi-linéaire de Γ_{K}. Notons W^{f} la réunion des sous-K-espaces vectoriels de dimension finie de W^{H_{K}} stables par Γ_{K}. C’est un sous-K_{∞}[[\underline{t}]]- module stable par Γ_{K} de W^{H_{K}}.

PROPOSITION 2.1 (cf. [Fo00], th.3.5 et 3.6 ^{(2)}). — Pour toute B_{dR}^{+}-représen-tation W de G_{K}, W^{H_{K}} est un (B_{dR}^{+})^{H_{K}} -module de longueur finie, W^{f} un K_{∞}[[\underline{t}]]-module de longueur finie et les applications naturelles

B_{dR}^{+} ⊗_{(B_{dR}^{+})^{H_{K}}} W^{H_{K}} → W et B_{dR}^{+} ⊗_{K_{∞}[[\underline{t}]]} W^{f} → W

sont des isomorphismes.

Autrement dit, la correspondance W ↦ W^{f} est de façon évidente un foncteur de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) dans la catégorie Rep_{K_{∞}[[\underline{t}]]}(Γ_{K}) des K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations de Γ_{K} (i.e. des K_{∞}[[\underline{t}]]-modules de longueur finie munis d’une action linéaire et continue de Γ_{K} ^{(3)})). Ce foncteur est une équivalence de catégorie et le foncteur Y ↦ Y_{dR} := B_{dR}^{+} ⊗_{K_{∞}[[\underline{t}]]} Y est un quasi-inverse.

Si Y_{1} et Y_{2} sont deux K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations de G_{K}, le produit tensoriel Y_{1} ⊗ Y_{2} := Y_{1} ⊗_{K_{∞}} Y_{2} (attention : on ne prend pas le produit tensoriel au dessus de K_{∞}[[\underline{t}]] !) est muni d’une action naturelle de Γ_{K}. On en fait une K_{∞}[[\underline{t}]]- représentation de Γ_{K} en posant, \underline{t}(y_{1} ⊗y_{2}) = \underline{t}y_{1} ⊗y_{2} +y_{1} ⊗\underline{t}y_{2} quels que soient y_{1} ∈ Y_{1} et y_{2} ∈ Y_{2}. De la même façon, le K_{∞}-espace vectoriel Hom(Y_{1}, Y_{2}) := L_{K_{∞}}(Y_{1}, Y_{2}) des applications K_{∞}-linéaires de Y_{1} dans Y_{2} est muni d’une action naturelle de Γ_{K}. On en fait une K_{∞}[[\underline{t}]]-représentation de Γ_{K} en posant (\underline{t}η)(y) = \underline{t}η(y) − η(\underline{t}y) pour tout η ∈ Hom(Y_{1}, Y_{2}) et y ∈ Y_{1}. On voit que l’on a ainsi muni Rep_{K_{∞}[[\underline{t}]]}(Γ_{K}) d’une structure de catégorie tannakienne sur K, dont l’objet unité est K_{∞} muni de l’action tautologique de Γ_{K} = Gal(K_{∞}/K). Par transport de structure, Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) devient une catégorie tannakienne dont l’objet-unité est B_{dR}^{+} ⊗_{K_{∞}[[\underline{t}]]} K_{∞} = C. Si W_{1} et W_{2} sont deux objets de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), W_{1} ⊗ W_{2} = B_{dR}^{+} ⊗_{K_{∞}[[\underline{t}]]} (W_{1}^{f} ⊗ W_{2}^{f}) et H≀⇕(W_{1}, W_{2}) =

B_{dR}^{+} ⊗_{K_{∞}[[\underline{t}]]} Hom(W_{1}^{f}, W_{2}^{f}). On prendra garde à ne pas confondre W_{1} ⊗ W_{2} avec W_{1}⊗_{B_{dR}^{+}}W_{2} et Hom(W_{1}, W_{2}) avec L_{B_{dR}^{+}}(W_{1}, W_{2}) ; ces dernières structures ne font d’ailleurs pas de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) une catégorie tannakienne. Toutefois, si W_{1} et W_{2} sont des C-représentations, W_{1}⊗W_{2} = W_{1}⊗_{C}W_{2} et Hom(W_{1}, W_{2}) = L_{C}(W_{1}, W_{2}).

Exercice : Si m, n ∈ ℕ, avec m ≥ n, alors B_{m} ⊗ B_{n} ≃ ⊕_{i=0}^{n−1}B_{m+n−1−2i}(i).

(2) On prendra garde que dans [Fo00] les B_{dR}^{+}-représentations de G_{K} et les K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations de Γ_{K} considérées ne sont pas supposées de longueur finie, comme on le fait ici.

(3) Attention que K_{∞}[[\underline{t}]] n’est pas complet pour la topologie induite par celle de B_{dR}^{+} ; et que K_{∞} et les K_{∞}[[\underline{t}]]/(\underline{t}^{r}) ne sont pas des banach.

2.2 – Connexions et groupes pro-algébriques

Soient E un corps de caractéristique 0 et E[[\underline{t}]] l’anneau des séries formelles en une indéterminée \underline{t} à coefficients dans E. Notons Ω_{E[[\underline{t}]]/E}^{log} le module des Edifférentielles continues logarithmiques de E[[\underline{t}]], autrement dit le E[[\underline{t}]]-module libre de rang 1 de base d\underline{t}/\underline{t} (base qui ne change pas si l’on remplace \underline{t} par λ\underline{t}, avec λ ∈ E^{∗}). Si Y est un E[[\underline{t}]]-module de longueur finie, une connexion ∇ sur Y est une application E-linéaire de Y dans Y ⊗_{E[[\underline{t}]]} Ω_{E[[\underline{t}]]/E}^{log} vérifiant la règle de Leibniz.

Se donner une application E-linéaire ∇ de Y dans Y ⊗_{E[[\underline{t}]]} Ω_{E[[\underline{t}]]/E}^{log} revient à se donner une application E-linéaire ∇_{0} : Y → Y (on pose ∇(y) = ∇_{0}(y) ⊗ d\underline{t}/\underline{t}) et ∇ est alors une connexion si et seulement si ∇_{0} vérifie ∇_{0}(\underline{t}y) = \underline{t}(y +∇_{0}(y)) pour tout y ∈ Y.

PROPOSITION 2.2 (cf [Fo00], prop.3.7 et 3.8). — i) Pour toute K_{∞}[[\underline{t}]]-représen-tation Y de Γ_{K}, il existe une et une seule connexion ∇ sur Y qui a la propriété que, pour tout y ∈ Y, il existe un sous-groupe ouvert Γ_{K,y} de Γ_{K} tel que, pour tout γ ∈ Γ_{K,y},

γ(y) = exp(log χ(γ).∇_{0})(y)

ii) Deux K_{∞}[[\underline{t}]]-représentations Y_{1} et Y_{2} de Γ_{K} sont isomorphes si et seulement s’il existe une application K_{∞}[[\underline{t}]]-linéaire φ : Y_{1} → Y_{2} qui commute à l’action de ∇_{0}.

Remarquons que, si E est un corps de caractéristique 0, se donner un E[[\underline{t}]]- module de longueur finie muni d’une connexion ∇ revient à se donner un Eespace vectoriel de dimension finie muni de deux endomorphismes \underline{t} et ∇_{0}, avec \underline{t} nilpotent, vérifiant la relation ∇_{0}\underline{t} − \underline{t}∇_{0} = \underline{t}. C’est la raison pour nous pour introduire la catégorie qui suit : on fixe une clôture algébrique \overline{E} de E et on se donne un sous-ensemble S du groupe additif de \overline{E} stable par Gal(\overline{E}/E) et par la translation α ↦ α + 1. On note C_{S,E} la catégorie suivante :

– un objet est un E-espace vectoriel muni de deux endomorphismes ∇_{0} et \underline{t} vérifiant :

i) les valeurs-propres de ∇_{0} dans \overline{E} sont dans S, ii) l’endomorphisme \underline{t} est nilpotent, iii) on a ∇_{0}\underline{t} − \underline{t}∇_{0} = \underline{t} ;

– un morphisme est une application E-linéaire qui commute à ∇_{0} et \underline{t}.

On obtient ainsi une catégorie abélienne E-linéaire. La sous-catégorie pleine C_{S,E}^{f} de C_{S,E} dont les objets sont ceux qui sont de dimension finie sur E s’identifie à la sous-catégorie pleine de la catégorie des E[[\underline{t}]]-modules de longueur finie munis d’une connection ∇ dont les objets sont ceux pour lesquels les valeurs propres de l’endomorphisme ∇_{0} du E-espace vectoriel sous-jacent sont dans S. Lorsque S est un sous-groupe de \overline{E}, cette catégorie a une structure de catégorie tannakienne neutre sur E :

– le E-espace vectoriel sous-jacent au produit tensoriel X_{1} ⊗X_{2} de X_{1} et X_{2} est le produit tensoriel des E-espaces vectoriels sous-jacents, avec ∇_{0}(x_{1} ⊗ x_{2}) = ∇_{0}x_{1} ⊗ x_{2} + x_{1} ⊗ ∇_{0}x_{2} et \underline{t}(x_{1} ⊗ x_{2}) = \underline{t}x_{1} ⊗ x_{2} + x_{1} ⊗ \underline{t}x_{2},

– le E-espace vectoriel sous-jacent au Hom interne Hom(X_{1}, X_{2}) de X_{1} et X_{2} est L_{E}(X_{1}, X_{2}), avec ∇_{0}(η)(x) = ∇_{0}(η(x)) − η(∇_{0}x) et \underline{t}(η)(x) = \underline{t}(η(x)) − η(\underline{t}x),

– l’objet unité est E avec ∇_{0} = \underline{t} = 0. On prendra garde que si X_{1} et X_{2} sont deux objets de C_{S,E}^{f}, le E[[\underline{t}]]-module sous-jacent à X_{1} ⊗ X_{2} (resp. Hom(X_{1}, X_{2})) n’est pas isomorphe en général à X_{1} ⊗_{E[[\underline{t}]]} X_{2} (resp. L_{E[[\underline{t}]]}(X_{1}, X_{2})).

Toujours lorsque S est un sous-groupe de \overline{E}, la catégorie C_{S,E}^{f} est neutre et s’identifie donc à la catégorie des représentations E-linéaires de dimension finie du groupe pro-algébrique sur E qui est le groupe ℂ_{S,E} des ⊗-automorphismes du foncteur fibre tautologique qui, à tout objet de C_{S,E}^{f}, associe le E-espace vectoriel sous-jacent. La sous-catégorie pleine de C_{S,E}^{f} dont les objets sont ceux sur lesquels \underline{t} = 0 s’identifie à la catégorie des représentations E-linéaires de dimension finie d’un quotient 𝕋_{S,E} de ℂ_{S,E}. En écrivant ∇_{0} = ∇_{0}^{n} + ∇_{0}^{ss}, avec ∇_{0}^{n}∇_{0}^{ss} = ∇_{0}^{ss}∇_{0}^{n}, ∇_{0}^{n} nilpotent et ∇_{0}^{ss} semi-simple, on peut identifier (cf. par exemple [Fo00], §2.4) 𝕋_{S,E} au produit du groupe additif sur E par le groupe de type multiplicatif 𝕋_{S,E}^{m} dont le groupe des caractères Hom\overline{E}(𝕋_{S,E}^{m} × \overline{E}, 𝔾_{m,\overline{E}}) est S (avec l’action de Gal(\overline{E}/E) induite par l’action sur \overline{E}). La projection de ℂ_{S,E} sur 𝕋_{S,E} admet une section canonique : elle s’obtient en associant à tout objet X de C_{S,E}, la représentation de 𝕋_{S,E} dont le E-espace vectoriel sous-jacent est X muni de la même action de ∇_{0}, mais ou l’on fait agir \underline{t} par 0. Se donner une action du groupe additif 𝔾_{a,E} sur un E-espace vectoriel revient à se donner un endomorphisme nilpotent de cet espace. L’action de \underline{t} induit ainsi une action de 𝔾_{a,E} sur tout objet X de C_{S,E}, ce qui définit un morphisme de 𝔾_{a,E} dans ℂ_{S,E}. On voit que ce morphisme identifie 𝔾_{a,E} au noyau de la projection de ℂ_{S,E} sur 𝕋_{S,E}, donc que ℂ_{S,E} est le produit semi-direct du groupe pro-algébrique commutatif 𝕋_{S,E} par le sous-groupe invariant 𝔾_{a,E}. Pour voir l’action de 𝕋_{S,E} sur 𝔾_{a,E}, on commence par vérifier que la relation ∇_{0}\underline{t} − \underline{t}∇_{0} = \underline{t} équivaut en fait à ∇_{0}^{n}\underline{t} = \underline{t}∇_{0}^{n} et ∇_{0}^{ss}\underline{t} − \underline{t}∇_{0}^{ss} = \underline{t}. Ceci implique que le sous-groupe de 𝕋_{S,E} isomorphe à 𝔾_{a,E} opère trivialement sur 𝔾_{a,E}.

Soit ℍ_{E} le sous-groupe de 𝔾L_{2,E} formé des matrices de la forme ( \begin{matrix}0 & 1 \\ a & b \end{matrix} ).

L’inclusion de ℤ dans S fournit un morphisme 𝕋_{S,E} → 𝕋_{S,E}^{m} → 𝕋_{ℤ,E}^{m} = 𝔾_{m,E} et on vérifie que ℂ_{S,E} s’identifie au produit fibré ℍ ×_{𝔾_{m,E}} 𝕋_{S,E}.

Pour tout objet X de C_{S,E}, notons X{−1} l’objet de C_{S,E} qui a le même Eespace vectoriel sous-jacent, avec la même action de \underline{t}, la nouvelle action de ∇_{0} étant x ↦ (∇_{0} − 1)(x).

PROPOSITION 2.3. — Soient E un corps de caractéristique 0 et \overline{E} une clôture algébrique de E. Soient S et S′ deux sous-ensembles de \overline{E} stables par Gal(\overline{E}/E) et par la translation α ↦ α + 1.

i) Si X est un objet de C_{S,E}, les Ext^{n}(E, X) s’identifient, canoniquement et fonctoriellement, aux groupes de cohomologie du complexe

(C_{X})  X ⟶^{d^{0}} X{−1} ⊕ X ⟶^{d^{1}} X{−1} → 0 → 0 → 0 …

où le premier terme est placé en degré 0, d^{0}(x) = (\underline{t}x, ∇_{0}x) et d^{1}(y, z) = \underline{t}z − ∇_{0}y. ii) Si S ⊂ S′ et si X_{1} et X_{2} sont deux objets de C_{S,E}, l’application naturelle Ext_{C_{S,E}}^{n}(X_{1}, X_{2}) → Ext_{C_{S′,E}}^{n}(X_{1}, X_{2}) est bijective pour tout n ∈ ℕ. iii) Si S ∩ S′ = ∅, si X est un objet de C_{S,E} et X′ un objet de C_{S′,E}, on a Ext_{C_{S∪S′,E}}^{n}(X, X′) = 0 pour tout n.

iv) Si S est un sous-groupe de \overline{E} et si X_{1} et X_{2} sont deux objets de C_{S,E}^{f} et si n ∈ ℕ, alors Ext_{C_{S,E}}^{n}(X_{1}, X_{2}) est un E-espace vectoriel de dimension finie, nul si n ≥ 3 qui s’identifie (canoniquement et fonctoriellement) à Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, Hom(X_{1}, X_{2})). En outre, ∑_{n=0}^{2}(−1)^{n} dim_{E} Ext_{C_{S,E}}^{n}(X_{1}, X_{2}) = 0.

Preuve : Remarquons que les Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, X) sont les foncteurs dérivés du foncteur Γ : C_{S,E} → \underline{Vect}_{E} qui envoie X sur Hom_{C_{S,E}}(E, X). L’assertion (i) peut alors se voir :

– soit en notant C_{S,\underline{t}=0,E} la sous-catégorie pleine de C_{S,E} formée des objets sur lesquels \underline{t} = 0, en remarquant que Γ = Γ_{2} ∘ Γ_{1} où Γ_{1} : C_{S,E} → C_{S,\underline{t}=0,E} est le foncteur qui envoie X sur X_{\underline{t}=0} tandis que Γ_{2} est la restriction à C_{S,\underline{t}=0,E} de Γ, et que le complexe (C_{X}) est le complexe simple associé au complexe double

0 → X ⟶^{\underline{t}} X\{−1\} → 0 → … → 0 → …
↓ ∇_{0}  ↓ ∇_{0}
0 → X ⟶^{\underline{t}} X\{−1\} → 0 → … → 0 → …

– soit en remarquant que la correspondance X ↦ C_{X} est un foncteur exact de la catégorie C_{S,E} dans la catégorie des complexes bornés à gauche de E-espaces vectoriels, qui définit donc un δ-foncteur (ou foncteur cohomologique) dont le H^{0} est ce que l’on veut et dont on vérifie facilement qu’il est effaçable. Le fait que Ext_{C_{S,E}}^{n}(X_{1}, X_{2}) s’identifie à Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, Hom(X_{1}, X_{2})) est un résultat standard valable dans n’importe quelle catégorie tannakienne. Les autres assertions résultent immédiatement de (i).

Le groupe Gal(\overline{E}/E)×ℤ agit sur le sous-ensemble S de \overline{E} stable par Gal(\overline{E}/E) et par la translation α → α+1 (qui définit l’action du générateur 1 de ℤ sur S). La proposition ci-dessous montre que, si O(S) désigne l’ensemble des orbites de \overline{E} sous l’action de Gal(\overline{E}/E)×ℤ, on a une décomposition canonique de tout objet X de C_{S,E}

X = ⊕_{A∈O(S)}X_{(A)}

où X_{(A)} est le plus grand sous-objet de X pour lequel toutes les valeurs propres de ∇_{0} sont dans A.

Pour tout objet X de C_{S,E} et tout i ∈ ℤ, notons X_{(i)} le sous-espace caractéristique correspondant à la valeur-propre i de ∇_{0}. Il est muni d’une filtration croissante par des sous E-espaces vectoriels

0 = X_{(i,−1)} ⊂ X_{(i,0)} ⊂ … X_{(i,n−1)} ⊂ X_{(i,n)} ⊂ … ⊂ X_{(i)}

définie inductivement en posant X_{(i,n)} = {x ∈ X | ∇_{0}(x)−ix ∈ X_{(i,n−1)}}, pour tout n ∈ ℕ. Si X est dans C_{S,E}^{f}, on an a X_{(i)} = X_{(i,n)} pour n suffisamment grand. L’assertion suivante est immédiate :

PROPOSITION 2.4. — Soit S un sous-ensemble de \overline{E} contenant 0, stable par Gal(\overline{E}/E) et par la translation α → α + 1. Soit X un objet de C_{S,E}^{f} et soit X_{(ℤ)} = ∑_{i∈ℤ} X_{(i)}. Alors X_{(ℤ)} est stable par ∇_{0} et \underline{t}. C’est le plus grand sousobjet de X qui est dans C_{ℤ,E}^{f} et c’est un facteur direct de X. Pour tout n ∈ ℕ, l’application naturelle Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, X_{(ℤ)}) → Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, X) est un isomorphisme

Remarquons également que le complexe (C_{X_{(ℤ)}}) se décompose en une somme directe de complexes

(C_{X,i})  X_{(i)} → X_{(i+1)} ⊕ X_{(i)} → X_{(i+1)} → 0 → 0 → 0 …

avec d^{0}(x) = (\underline{t}x, ∇_{0}(x)) et d^{1}(y, z) = \underline{t}z − (∇_{0} − 1)(y).

PROPOSITION 2.5. — Soit X un objet de C_{S,E}.

i) Les Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, X) s’identifient canoniquement et fonctoriellement aux groupes de cohomologie du complexe

(C_{X,0})  X_{(0)} → X_{(1)} ⊕ X_{(0)} → X_{(1)} → 0 → 0 → 0 …

(avec d^{0}(x) = (\underline{t}x, ∇_{0}(x)) et d^{1}(y, z) = \underline{t}z − (∇_{0} − 1)(y)). ii) Soit E′ l’objet de C_{S,E} dont le E-espace vectoriel sous-jacent est E luimême, avec \underline{t} = 0 et ∇_{0} = id_{E}. Alors Ext_{C_{S,E}}^{2}(E, E′) est un E-espace vectoriel de dimension 1 et, pour 0 ≤ n ≤ 2, le cup-produit induit une dualité parfaite

Ext_{C_{S,E}}^{n}(E, X) × Ext_{C_{S,E}}^{2−n}(X, E′) → Ext_{C_{S,E}}^{2}(E, E′)

Preuve : L’assertion (i) résulte de ce que, pour i ≠ 0, le complexe C_{X,i} est acyclique puisque ∇_{0} est bijectif sur X_{(i)} et ∇_{0} − 1 est bijectif sur X_{(i+1)}. Compte-tenu de (i), le fait que Ext_{C_{S,E}}^{2}(E, E′) est de dimension 1 est immédiat. Le reste de l’assertion (ii) résulte de ce que, si X′ = Hom(X, E′), le complexe C_{X′,0} s’identifie au dual, convenablement décalé, du complexe C_{X,0}.

Soit ε ∈ H^{1}(C_{X,0}). Il est facile de décrire explicitement une extension Y de E par X dont la classe est ε : si (b, c) ∈ Z^{1}(C_{X,0}) représente ε, alors, en tant que E-espace vectoriel Y = X ⊕ E. Si (x, λ) ∈ Y, on a \underline{t}(x, λ) = (\underline{t}x + λb, 0) et ∇_{0}(x, λ) = (∇_{0}(x) + λc, 0). En particulier, on voit que cette extension est scindée, en tant que suite exacte de E[[\underline{t}]]-modules, si et seulement si l’on peut choisir le représentant (b, c) pour que b = 0.

Si X_{1} et X_{2} sont des objets de C_{S,E}^{f}, on note Ext_{C_{S,E},0}^{1}(X_{1}, X_{2}) le sous-E-espace vectoriel de Ext_{C_{S,E}}^{1}(X_{1}, X_{2}) qui classifie les extensions de X_{1} par X_{2} qui sont scindées en tant qu’extensions de E[[\underline{t}]]-modules. Rappelons que le E[[\underline{t}]]-module sous-jacent à H≀⇕(X_{1}, X_{2}) ne s’identifie pas en général à L_{E[[\underline{t}]]}(X_{1}, X_{2}). Cependant, on vérifie sans peine que lorsque l’on identifie Ext_{C_{S,E}}^{1}(X_{1}, X_{2}) à Ext_{C_{S,E}}^{1}(E, H≀⇕(X_{1}, X_{2})), le sous-E-espace vectoriel Ext_{C_{S,E},}^{1}(X_{1}, X_{2}) s’identifie à Ext_{C_{S,E},0}^{1}(E, H≀⇕(X_{1}, X_{2})). Le calcul de ce Ext^{1} se ramène donc au calcul de Ext_{C_{S,E},0}^{1}(E, X) pour X objet de C_{S,E}^{f}. Mais ce qu’on vient de faire nous montre que, si X_{(0),\underline{t}=0} désigne le noyau de l’application X_{(0)} → X_{(1)} induite par la multiplication par \underline{t}, ce groupe s’identifie au H^{1} du sous-complexe de C_{X,0}

X_{(0),\underline{t}=0} ⟶^{∇_{0}} X_{(0),\underline{t}=0}

On a donc :

PROPOSITION 2.6. — Soit X un objet de C_{S,E}^{f}. On a une suite exacte

0 → Hom_{C_{S,E}}(E, X) → X_{(0),\underline{t}=0} ⟶^{∇_{0}} X_{(0),\underline{t}=0} → Ext_{C_{S,E},0}^{1}(E, X) → 0

et dim_{E} Ext_{C_{S,E},0}^{1}(E, X) = dim_{E} Hom_{C_{S,E}}(E, X).

Le corps E((\underline{t})) des séries formelles en \underline{t} à coefficients dans E a une structure naturelle d’objet de C_{ℤ,E}, avec ∇_{0}(∑ a_{i}\underline{t}^{i}) = ∑ ia_{i}\underline{t}^{i}.Tout idéal fractionnaire de E[[\underline{t}]], en particulier E[[\underline{t}]] lui-même, est stable par \underline{t} et ∇_{0}.

PROPOSITION 2.7. — Soit X un objet de C_{S,E}^{f}. On a une suite exacte

0 → Hom_{C_{S,E}}(E[[\underline{t}]], X) → X_{(0)} ⟶^{∇_{0}} X_{(0)} → Ext_{C_{S,E}}^{1}(E[[\underline{t}]], X) → 0

En particulier les E-espaces vectoriels Hom_{C_{S,E}}(E[[\underline{t}]], X) et Ext_{C_{S,E}}^{1}(E[[\underline{t}]], X) ont la même dimension finie et Hom_{C_{S,E}}(E[[\underline{t}]], X) = X_{(0,0)}.

Preuve : Se donner une application E[[\underline{t}]]-linéaire de E[[\underline{t}]] dans X revient à se donner l’image x de 1 dans X qui peut être n’importe quel élément. L’application ainsi définie commute à ∇_{0} si et seulement si ∇_{0}(x) = 0. D’où

Hom_{C_{S,E}}(E[[\underline{t}]], X) = Ker (X_{(0)} ⟶^{∇_{0}} X_{(0)}) = X_{(0,0)}.

Soit Y une extension de E[[\underline{t}]] par X. L’élément 1 ∈ E[[\underline{t}]] est dans le sousespace propre associé à la valeur-propre 0 de ∇_{0} et on peut choisir un relèvement e de 1 dans le sous-espace caractéristique de Y associé à la valeur propre 0. On doit avoir a = ∇_{0}(e) ∈ X_{(0)}. Si l’on change le relèvement de 1 en choisissant e′ = e + x, avec x ∈ X_{(0)}, on a ∇_{0}(e′) = a + ∇_{0}(x) et l’image de a dans Coker (X_{(0)} ⟶^{∇_{0}} X_{(0)}) ne dépend pas du choix du relèvement. On a ainsi défini une application de Ext_{C_{S,E}}^{1}(E[[\underline{t}]], X) dans ce conoyau. On vérifie sans peine que c’est un isomorphisme.

PROPOSITION 2.8. — Soit X un objet de C_{S,E}^{f}. Notons \overline{X}_{(−1)} le plus grand quotient de X_{(−1)} sur lequel l’action de ∇_{0} est semi-simple. Alors Hom_{C_{S,E}}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) s’identifie au E-espace vectoriel des applications Elinéaires de \overline{X}_{(−1)} dans le sous-E-espace vectoriel de E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] engendré par l’image de \underline{t}^{−1}. C’est un E-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de X_{(−1,0)}.

Preuve : La deuxième assertion résulte de la première puisqu’alors la dimension de Hom_{C_{S,E}}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) est égale à celle du plus grand quotient de X_{(−1)} sur lequel l’action de ∇_{0} est semi-simple et que cette dimension est aussi celle du sous-espace propre associé à la valeur propre −1. Montrons la première assertion. Comme les valeurs propres de ∇_{0} agissant sur E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] sont dans ℤ, on a

Hom_{C_{S,E}}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) = Hom_{C_{S,E}}(X_{ℤ}, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]])

et on peut supposer que X = X_{(ℤ)}. Comme l’action de ∇_{0} sur E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] est semi-simple, tout morphisme de X dans E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] se factorise à travers le plus grand quotient de X sur lequel l’action de ∇_{0} est semi-simple ; on peut donc supposer que l’action de ∇_{0} sur X est semi-simple et écrire X = ⊕_{i∈ℤ}X_{(i)}, où les X_{(i)} sont des E-espaces vectoriels de dimension finie presque tous nuls, ∇_{0} étant la multiplication par i dans X_{(i)} et \underline{t} étant une application E-linéaire qui envoie X_{(i)} dans X_{(i+1)}. Pour tout m ∈ ℤ, F^{m}X = ⊕_{i≥m}X_{(i)} est un sous-objet de X. Les (F^{m}X)_{m∈ℤ} définissent une filtration décroissante, exhaustive et séparée de X par des sousobjets de C_{S,E}. Pour tout m, le quotient F^{m}X/F^{m+1}X s’identifie à X_{(m)}, avec ∇_{0} = la multiplication par m et \underline{t} = 0. Par dévissage, il suffit d’établir le lemme suivant :

LEMME 2.9. — Soit m ∈ ℤ et soit X un E-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une structure d’objet de C_{S,E} définie par ∇_{0}(x) = mx et \underline{t}x = 0, pour tout x ∈ X.

i) Si m = −1, alors Hom_{C_{S,E}}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) s’identifie au E-espace vectoriel des applications E-linéaires de X dans le E-espace vectoriel engendré par l’image t_{−1} de \underline{t}^{−1} dans E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]), ii) si m ≠ −1, on a Hom_{C_{S,E}}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) = 0, iii) si m ≠ 0, on a Ext_{C_{S,E}}^{1}(X, E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]]) = 0.

Preuve : On voit que le noyau de \underline{t} dans E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] est aussi le sous-espace propre associé à la valeur-propre −1 et que c’est le E-espace vectoriel de dimension 1 de base t_{−1}. Les assertions (i) et (ii) sont alors évidentes. Soit maintenant Y un objet de C_{S,E}, extension de E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] par X. Pour tout entier r ≥ 1, soit Z_{r} le sous E[[\underline{t}]]-module de E((\underline{t}))/E[[\underline{t}]] engendré par l’image t_{−r} de \underline{t}^{−r} et soit Y_{r} l’image inverse de Z_{r} dans Y. Alors Y est la réunion croissante des Y_{r} et il suffit de vérifier que, pour tout entier r > sup{0, −m}, la suite

0 → X → Y_{r} → Z_{r} → 0

admet un unique scindage. Comme ∇_{0}(t_{−r}) = −rt_{−r} et, comme −r n’est pas valeur-propre de ∇_{0} agissant sur X, il existe un unique relèvement e_{−r} de t_{−r} dans Y_{r} tel que ∇_{0}(e_{−r}) = −re_{−r} et il suffit de vérifier que \underline{t}^{r}e_{r} = 0. A priori, on a \underline{t}^{r}e_{−r} = x ∈ X, mais on doit avoir ∇_{0}(\underline{t}^{r}e_{−r}) = r\underline{t}^{r}e_{−r} + \underline{t}^{r}∇_{0}(e_{−r}) = 0, ce qui implique x=0 puisque ∇_{0}(x) = mx est différent de 0 si x ≠ 0. D’où (iii).

2.3 – Petites représentations

Soit C une catégorie abélienne. Une sous-catégorie épaisse de C est une souscatégorie pleine stable par sous-objet, quotient, somme directe (c’est donc encore une catégorie abélienne) et extension. Pour tout sous-groupe S de \overline{K} stable sous l’action de G_{K}, introduisons la souscatégorie pleine Rep_{B_{dR}^{+},S}(G_{K}) de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) dont les objets sont les W tels que les valeurs-propres de ∇_{0} - vu comme un endomorphisme du K_{∞}-espace vectoriel sous-jacent à W^{f} - sont dans S. C’est une sous-catégorie tannakienne épaisse de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}).

Soit O_{K} l’anneau des entiers de K. On dit qu’un élément α ∈ \overline{K} est K-petit s’il est dans K et si α log χ(g) ∈ 2pO_{K} pour tout g ∈ G_{K}. Les éléments K-petits forment un idéal fractionnaire 𝔞_{K} de l’anneau des entiers O_{K} de K contenant O_{K}. On dit qu’une B_{dR}^{+}-représentation W de G_{K} est petite si c’est un objet de Rep_{B_{dR}^{+},𝔞_{K}} (G_{K}). Pour tout α ∈ \overline{K}, il existe une extension finie L de K

contenue dans \overline{K} telle que α est L-petit ; pour toute extension finie L′ de L contenue dans \overline{K}, α est alors a fortiori L′-petit. Soit X un objet de la catégorie C_{𝔞_{K},K}^{f}. L’endomorphisme \underline{t} permet de munir le K-espace vectoriel sous-jacent à X d’une structure de K[[\underline{t}]]-module de longueur finie. On fait agir G_{K} sur X via son quotient Γ_{K} en posant, pour tout γ ∈ Γ_{K} et tout x ∈ X,

γ(x) = exp(log χ(γ).∇_{0})(x)

Cette action est semi-linéaire relativement à l’action naturelle de Γ_{K} sur K[[\underline{t}]], ce qui nous permet, par extension des scalaires, de munir le B_{dR}^{+}-module de type fini R_{dR}(X) = B_{dR}^{+} ⊗_{K[[\underline{t}]]} X d’une action de G_{K} qui en fait une B_{dR}^{+}- représentation de G_{K}. On peut considérer la correspondance R_{dR} comme un foncteur de C_{𝔞_{K},K}^{f} dans Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}).

PROPOSITION 2.10. — Le foncteur R_{dR} : C_{𝔞_{K},K}^{f} → Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) est pleinement fidèle et son image essentielle est la catégorie Rep_{B_{dR}^{+},𝔞_{K}} (G_{K}) des petites B_{dR}^{+}- représentations de G_{K}.

Preuve : Pour tout objet X de C_{𝔞_{K},K}^{f}, il est clair que X ⊂ (R_{dR}(X))^{f} et on en déduit que (R_{dR}(X))^{f} s’identifie à K_{∞}[[\underline{t}]] ⊗_{K[[\underline{t}]]} X = K_{∞} ⊗_{K} X, l’application ∇_{0} sur (R_{dR}(X))^{f} étant l’extension par K_{∞}-linéarité de l’application ∇_{0} sur X. En particulier, R_{dR}(X) est un objet de Rep_{B_{dR}^{+},𝔞_{K}} (G_{K}).

LEMME 2.11. — Soit W un objet de Rep_{B_{dR}^{+},𝔞_{K}} (G_{K}), ∇_{0} le K_{∞}-endo-morphisme de W^{f} qui lui est associé (cf. prop.2.2) et soit

W_{K}^{f} = {x ∈ W^{f} | γ(x) = exp(log χ(γ).∇_{0})(x), pour tout γ ∈ Γ_{K}} .

L’application K_{∞}-linéaire K_{∞} ⊗_{K} W_{K}^{f} = K_{∞}[[\underline{t}]] ⊗_{K[[\underline{t}]]} W_{K}^{f} → W^{f}, déduite par extension des scalaires de l’inclusion de W_{K}^{f} dans W^{f}, est un isomorphisme

Le lemme implique la proposition puisqu’on voit que le foncteur W ↦ W_{K}^{f} est un quasi-inverse du foncteur R_{dR}.

Prouvons le lemme : Soient d’abord W une B_{dR}^{+}-représentation arbitraire et δ ∈ Γ_{K}. Si y ∈ W^{f} et si γ ∈ Γ_{K} est suffisamment petit, on a γ(y) = δγδ^{−1}(y) = δ(exp(log χ(γ).∇_{0})(δ^{−1}(y))) = exp(log χ(γ).δ∇_{0}δ^{−1})(y). L’unicité de ∇_{0} implique donc que ∇_{0}δ = δ∇_{0}. Supposons maintenant que W est un objet de Rep_{B_{dR}^{+},𝔞_{K}} (G_{K}). Soient y_{1}, y_{2}, …, y_{h} des éléments de W^{f} qui l’engendrent en tant que K_{∞}[[\underline{t}]]-module. Pour chaque y_{i}, choisissons un Γ_{K,y_{i}} comme dans la proposition 2.2, soit Γ′_{K} l’intersection des Γ_{K,y_{i}} et K′ = K_{∞}^{Γ′_{K}}. Soient p^{n} = (Γ_{K} : Γ′_{K}) et γ_{0} un générateur topologique de Γ_{K}, de sorte que a) le corps K′ est l’unique extension de degré p^{n} de K contenue dans K_{∞},

b) tout élément de Γ_{K} s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme γ_{0}^{τ(γ)} avec τ(γ) ∈ ℤ_{p},

c) si γ ∈ Γ_{K}, alors γ ∈ Γ′_{K} si et seulement si p^{n} divise τ(γ). Pour 1 ≤ i ≤ h et tout γ ∈ Γ′_{K}, on a γ(y_{i}) = exp(log χ(γ).∇_{0})(y_{i}). Soit X′ le sous-K′[[\underline{t}]]-module de W^{f} engendré par les γ_{0}^{m}y_{i}, pour 0 ≤ m < p^{n} et 1 ≤ i ≤ h. C’est un sous-K′-espace vectoriel de dimension finie de W^{f} stable par Γ_{K}. Comme δ∇_{0} = ∇_{0}δ, pour tout δ ∈ Γ_{K}, on a γ(x) = exp(log χ(γ).∇_{0})(x) pour tout γ ∈ Γ′_{K} et tout x ∈ X′. Par construction, X′ contient une base {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}} de W^{f} sur K_{∞}. Si x ∈ W^{f}, on peut écrire x = ∑_{i=1}^{d} a_{i}e_{i}, avec les a_{i} ∈ K_{∞}. Pour tout γ ∈ Γ′_{K}, on a γ(x) = ∑ γ(a_{i})γ(e_{i}) ; si x ∈ X′, on a aussi γ(x) = ∑ a_{i}γ(e_{i}), d’où on déduit que a_{i} ∈ K′ pour tout i ; donc {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}} est aussi une base de X′ sur K′ et l’application naturelle

K_{∞}[[\underline{t}]] ⊗_{K′[[\underline{t}]]} X′ = K_{∞} ⊗_{K′} X′ → W^{f}

est un isomorphisme. Considérons l’automorphisme η = exp(log χ(γ_{0}).∇_{0}) du K′-espace vectoriel X′. Pour tout γ ∈ Γ_{K}, on a η ∘ γ = γ ∘ η Pour tout γ ∈ Γ_{K}, notons ρ(γ) ∈ GL_{d}(K′) la matrice dont la j-ième colonne est formée des composantes de γ(e_{j}) sur la base {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}}. Cette matrice commute avec la matrice A de l’endomorphisme η dans la même base. Si, pour tout γ ∈ Γ_{K}, on pose ρ_{0}(γ) = ρ(γ)A^{−τ(γ)}, on voit que ρ_{0}(γ) ne dépend que de l’image de γ dans Gal(K′/K) et que l’application de Gal(K′/K) dans GL_{d}(K′) ainsi définie est un 1-cocycle. La trivialité de H^{1}(Gal(K′/K), GL_{d}(K′)) implique que, quitte à changer la base, on peut supposer que ρ_{0} = 1. Mais alors les e_{j} sont dans W_{K}^{f} et le même argument que celui que l’on a utilisé pour prouver qu’ils forment une base de X′ sur K′ montre qu’ils forment aussi une base de W_{K}^{f} sur K. Le lemme en résulte.

Soit O_{K} l’anneau des entiers de K. Pour tout α ∈ \overline{K} qui est K-petit, on note χ^{(α)} : G_{K} → O_{K}^{∗} l’homomorphisme continu défini par χ^{(α)}(g) = exp(α log(χ(g)). On note O_{K}{α} le O_{K}-module libre de rang 1 qui est O_{K} lui-même sur lequel on fait agir G_{K} via le caractère χ^{(α)}. Enfin pour tout O_{K}-module M muni d’une action O_{K}-linéaire de G_{K}, on pose M{α} = M ⊗_{O_{K}} O_{K}{α}. Pour tout i ∈ ℤ, χ^{i} = χ^{(i)}(ω)^{i}, où ω : G_{K} → ℤ_{p}^{∗} est le caractère d’ordre fini qui donne l’action de G_{K} sur les racines 2p-ièmes de 1 ; il en résulte que C{i} est isomorphe, non canoniquement, à C(i). Si α est K-petit, comme C{α} est de dimension 1 sur C, C{α} est un objet simple de la catégorie des B_{dR}^{+}-représentations ; comme l’opérateur ∇_{0}(W) est la multiplication par α, C{α} est une petite B_{dR}^{+}-représentation.

PROPOSITION 2.12. — L’application qui à α ∈ 𝔞_{K} associe la classe d’isomorphisme de C{α} définit une bijection de l’ensemble des éléments K-petits sur celui des classes d’isomorphismes d’objets simples de la catégorie des petites B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}.

Preuve : C’est une conséquence immédiate de la proposition précédente.

Remarque : Notons \overline{𝔞}_{K} l’ensemble des orbites de 𝔞_{K} sous l’action de ℤ (où 1 agit par la translation α → α+1). La décomposition canonique de tout objet de C_{S,E} en somme directe indexée par les orbites de S sous l’action de Gal(\overline{E}/E) induit, via le foncteur R_{dR}, lorsque l’on prend S = 𝔞_{K}, une décomposition canonique de toute petite représentation

W = ⊕_{A∈\overline{𝔞}_{K}} W_{A}

où (avec les notations du lemme 2.11) W_{A} = R_{dR}((W_{K}^{f})_{(A)}) est la plus grande sous-B_{dR}^{+}-représentation de W telle que les valeurs propres de ∇_{0} sur W_{A})^{f} sont dans A. En particulier W_{ℤ} correspond à la plus grande représentation pour laquelle les valeurs-propres de ∇_{0} sont dans ℤ.

2.4 – Changement de base

Soit L une extension finie de K (la discussion qui suit reste valable en remplaçant K par n’importe quel corps). Soit C une catégorie tannakienne sur K. Rappelons (cf. par exemple [DM82], p.155) que l’on peut définir la catégorie tannakienne C_{L} sur L déduite de C par l’extension des scalaires K → L : Un objet de C_{L} peut être vu comme un couple (X, ρ) formé d’un objet X de C et d’un homomorphisme de K-algèbres ρ : L → End_{C}(X) ; les morphismes sont les morphismes des objets de C sous-jacents qui sont L-linéaires. La structure tannakienne se définit facilement ; on peut fabriquer l’objet-unité (1_{C_{L}}, ρ_{0}) de C_{L} en prenant 1_{C_{L}} = (1_{C})^{d} où d = [L : K] et pour ρ_{0} : L → M_{d}(K), anneau des matrices carrées à d lignes et d colonnes à coefficients dans K, un plongement arbitraire. Le foncteur de restriction des scalaires

Res : C_{L} → C

est le foncteur qui envoie (X, ρ) sur X. C’est un foncteur additif exact et fidèle qui a un adjoint à gauche, le foncteur d’extension des scalaires

Ext : C → C_{L}

qui envoie W sur W_{L} = (1_{C_{L}} ⊗ X, ρ_{0} ⊗ id). Si X et Y sont deux objets de C, pour tout i ∈ ℕ, l’application naturelle L ⊗_{K} Ext_{C}^{i}(X, Y) → Ext_{C_{L}}^{i}(X_{L}, Y_{L}) est un isomorphisme. Lorsque l’extension L/K est galoisienne, le groupe Gal(L/K) agit sur Ext_{C_{L}}^{i}(X_{L}, Y_{L}) et Ext_{C}^{i}(X, Y) s’identifie à Ext_{C_{L}}^{i}(X_{L}, Y_{L})^{Gal(L/K)}.

Notons B_{dR}^{+}[G_{K}] le B_{dR}^{+}-module libre de base les g ∈ G_{K}. On le munit d’une structure d’anneau non commutatif contenant B_{dR}^{+} en décrétant que la multiplication de deux éléments de G_{K} est celle qui est donnée par la loi de groupe et que g.b = g(b).g, si b ∈ B_{dR}^{+} et g ∈ G_{K} (ce n’est donc pas l’algèbre de groupe usuelle, l’anneau B_{dR}^{+} n’est pas contenu dans le centre de B_{dR}^{+}[G_{K}]). La catégorie des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K} s’identifie, de manière évidente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des B_{dR}^{+}[G_{K}]-modules à gauche. Soit L une extension finie de K contenue dans \overline{K}. L’anneau B_{dR}^{+}[G_{L}] s’identifie à un sous-anneau de B_{dR}^{+}[G_{K}]. La restriction des scalaires de B_{dR}^{+}[G_{L}] à B_{dR}^{+}[G_{K}] et l’extension des scalaires dans l’autre sens induisent des foncteurs adjoints à gauche l’un de l’autre

R_{K}^{L} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) → Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}) et I_{L}^{K} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}) → Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})

On remarque que, si g_{1}, g_{2}, …, g_{d} désigne un système de représentants des classes à gauche de G_{K} suivant G_{L}, et si X est un B_{dR}^{+}[G_{L}]-module à gauche, tout élément de I_{L}^{K}X = B_{dR}^{+}[G_{K}] ⊗_{B_{dR}^{+}[G_{L}]} X s’écrit d’une manière et d’une

seule sous la forme ∑_{i=1}^{d} g_{i} ⊗ x_{i} avec les x_{i} ∈ X.

Soit Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L} la catégorie déduite de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) par l’extension des scalaires K → L. On dispose de foncteurs

Φ_{L/K} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L} →Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}) et Ψ_{L/K} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L})→Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L}

Si (W, ρ) est un objet de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L}, Φ_{L/K}(W, ρ) est le plus grand sous-B_{dR}^{+}-module de W sur lequel les deux structures données de L-espace vectoriel coïncident :

Φ_{L/K}(W, ρ) = {w ∈ W | ρ(λ)(w) = λw pour tout λ ∈ L}

qui est bien sûr stable par G_{L}. Si X est un objet de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}), alors Ψ_{L/K}(X) = (I_{L/K}X, ρ), avec ρ(λ)(∑ g_{i} ⊗ x_{i}) = ∑ g_{i} ⊗ λx_{i}.

PROPOSITION 2.13. — Le foncteur Φ_{L/K} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L} → Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}) induit une ⊗-équivalence entre ces deux catégories tannakiennes et Ψ_{L/K} : Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{L}) → Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})_{L} est un quasi-inverse.

Preuve : C’est immédiat.

Remarque : Dans cette correspondance, l’extension des scalaires correspond à la restriction de l’action du groupe de Galois tandis que la restriction des scalaires correspond à l’induction : on a des identifications évidentes de foncteurs

Φ_{L/K} ∘ Ext = R_{K}^{L} et Res ∘ Ψ_{L/K} = I_{L}^{K}

COROLLAIRE. — Soit L une extension finie galoisienne de G_{K}. Soient W′ et W′′ deux B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}. Pour tout i ∈ ℕ, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W′′, W′)

s’identifie à (Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(W′′, W′))^{Gal(L/K)} ; on a

dim_{K} Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W′′, W′) = dim_{L} Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(W′′, W′).

Preuve : Par définition, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(W′′, W′) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(R_{K}^{L}W′′, R_{K}^{L}W′). D’où, avec des notations évidentes,

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(W′′, W′) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{L}]}^{i}(Φ_{L/K}(Ext(W′′)), Φ_{L/K}(Ext(W′))) =

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]_{L}}^{i}(Ext(W′′), Ext(W′)) = L ⊗_{K} Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W′′, W′)

et la proposition s’en déduit.

2.5 – Calcul des Ext^{n} dans la catégorie des B_{dR}^{+}-représentations

Soit W une B_{dR}-représentation. Pour tout i ∈ ℤ, posons W_{(i,−1)} = 0, et définissons inductivement, pour tout n ∈ ℕ le K-espace vectoriel W_{(i,n)} par

W_{(i,n)} = {w ∈ W | g(x) − χ^{(i)}(g)(x) ∈ W_{(i,n−1)} pour tout g ∈ G_{K}} Posons aussi W_{(i)} = ∪_{n∈ℕ}W_{(i,n)}. On voit tout de suite que l’application naturelle de K_{∞} ⊗_{K} W_{(i)} dans W est injective et identifie K_{∞} ⊗_{K} W_{(i)} (resp. K_{∞} ⊗_{K} W_{(i,0)}) au sous-espace caractéristique (resp. propre) de W^{f} associé à la valeur-propre i. En particulier W_{(ℤ)} = ⊕_{i∈ℤ}W_{(i)} a une structure naturelle d’objet de la catégorie C_{ℤ,K}^{f} et, avec les notations du §2.2, on a (W_{ℤ})_{(i)} = W_{(i)} et (W_{ℤ})_{(i,n)} = W_{(i,n)} ; la B_{dR}^{+}-représentation R_{dR}(W_{(ℤ)}) = B_{dR}^{+} ⊗_{K[[\underline{t}]]} W_{(ℤ)} s’identifie à la plus grande sous-représentation de W qui est dans l’image essentielle de la restriction à C_{ℤ,K}^{f} du foncteur R_{dR} ; c’est un facteur direct de W.

Remarque : On peut trouver plus naturel de considérer les sous-K-espaces vectoriels W_{i,n} pour i ∈ ℤ et n ≥ −1 définis inductivement par W_{i,−1} = 0 et W_{i,n} = {w ∈ W | g(x) − χ^{i}(g)(x) ∈ W_{i,n−1} pour tout g ∈ G_{K}}. Si π_{t}, est comme au §2.1, de sorte que t = π_{t}\underline{t}, on voit que W_{i,n} = π_{t}^{i}.W_{(i,n)} et W_{i} = π_{t}^{i}W_{(i)} ; en particulier, dim_{K} W_{i,n} = dim_{K} W_{(i,n)} et dim_{K} W_{i} = dim_{K} W_{(i)}. Si W_{ℤ} = ⊕_{i∈ℤ}W_{i}, W_{ℤ} est un sous-K[[t]]-module de B_{dR}^{+} stable par G_{K} et l’application naturelle B_{dR}^{+} ⊗_{K[[t]]} W_{ℤ} → W est injective et a même image que B_{dR}^{+} ⊗_{K[[\underline{t}]]} W_{(ℤ)}. On observe que W_{i} n’est fixe par H_{K} = Gal(\overline{K}/K_{∞}) que si et seulement si W_{i} = W_{(i)}, ce qui équivaut à π_{t}^{i} ∈ K.

Si W_{1} et W_{2} sont des B_{dR}^{+}-représentations, on note Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(W_{1}, W_{2}) le

sous-groupe de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(W_{1}, W_{2}) qui classifie les extensions qui sont scindées

en tant qu’extensions de B_{dR}^{+}-modules.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 2.14. — A) Soient W_{1} et W_{2} deux B_{dR}^{+}-représentations. Les Kespaces vectoriels Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W_{1}, W_{2}) sont de dimension finie, nuls pour i ≥ 3 et

∑_{i=0}^{2}(−1)^{i} dim_{K} Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W_{1}, W_{2}) = 0 .

B) Soit γ_{0} un générateur topologique de Γ_{K} = Gal(K_{∞}/K) et soit W une B_{dR}^{+}-représentation.

i) Les Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, W) s’identifient, canoniquement et fonctoriellement, aux groupes de cohomologie du complexe

W_{(0)} → W_{(1)} ⊕ W_{(0)} → W_{(1)} → 0 → 0 …

avec d^{0}(x) = (\underline{t}x, (γ_{0} − 1)(x)) et d^{1}(y, z) = \underline{t}z − (χ^{(−1)}(γ_{0})γ_{0} − 1)(y) ; ii) on a une suite exacte

0 → Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C, W) → W_{(0),\underline{t}=0} ⟶^{γ_{0}−1} W_{(0),\underline{t}=0} → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(C, W) → 0

En particulier, Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C, W) et Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(C, W) sont des K-espaces vectoriels de même dimension finie égale à celle du noyau de la multiplication par \underline{t} sur W_{(0,0)} ; iii) on a une suite exacte

0 → Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(B_{dR}^{+}, W) → W_{(0)} ⟶^{γ_{0}−1} W_{(0)} → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W) → 0

En particulier Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(B_{dR}^{+}, W) = W_{(0,0)} et Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W) est un K-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de W_{(0,0)} ; iv) le K-espace vectoriel Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(W, B_{dR}/B_{dR}^{+}) s’identifie au dual du plus grand quotient de W_{(−1)} sur lequel l’action de ∇_{0} est semi-simple ; il est de dimenson finie égale à celle de W_{(−1,0)}.

Preuve : On peut (cor. à la prop.2.13) remplacer K par une extension finie galoisienne, ce qui nous permet de supposer que les B_{dR}^{+}-représentations qui interviennent sont petites. Comme la catégorie des petites représentations est une sous-catégorie épaisse de celle de toutes les B_{dR}^{+}-représentations, on peut calculer les Ext^{i} dans la catégorie des petites représentations et utiliser l’équivalence entre cette catégorie et C_{𝔞_{K},K}^{f} (prop.2.10). Montrons (B i). Si W = R_{dR}(X), d’après la proposition 2.5, les Ext_{C_{S,E}}^{i}(C, W) sont les groupes de cohomologie du complexe

(C_{X,0})  X_{(0)} → X_{(1)} ⊕ X_{(0)} → X_{(1)} → 0 → 0 → 0 …

les différentielles étant x ↦ (\underline{t}x, ∇_{0}(x)) et (y, z) ↦ \underline{t}z − (∇_{0} − 1)(y)) que l’on peut réécrire x ↦ (\underline{t}x, Nx) et (y, z) ↦ \underline{t}z − Ny, si l’on pose N = ∇_{0} sur W_{(0)} et N = ∇_{0} − 1 sur W_{(−1)}. On remarque que N est nilpotent sur chacun de ces deux K-espaces vectoriels. On remarque aussi que W_{(0)} = X_{(0)} et W_{(1)} = X_{(1)}. Choisissons un relèvement g_{0} ∈ G_{K} de γ_{0} et posons c = log χ(g_{0}). C’est un élément non nul de l’idéal de ℤ_{p} engendré par 2p qui ne dépend pas du choix du relèvement. Sur W_{(0)} comme sur W_{(1)}, on a exp(cN) = Nu, où u = c + \frac{c^{2}}{2!} N + \frac{c^{3}}{3!} N^{2} + … + \frac{c^{n}}{n!} N^{n−1} + … est un automorphisme qui commute à N. On a aussi (\underline{t}N)(x) = (N\underline{t})(x) pour tout x ∈ W_{(0)}. Sur W_{(0)}, on a (γ_{0} − 1)(x) = exp(cN)(x) − x = Nu(x) ; sur W_{(1)}, on a (χ^{(−1)}(γ_{0})γ_{0} − 1)(y) = (exp(−c) exp(c(id + N)(y) − y = Nu(y). On a alors un diagramme commutatif de complexes

X_{(0)} → X_{(1)} ⊕ X_{(0)} → X_{(1)} → 0 → 0 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
W_{(0)} → W_{(1)} ⊕ W_{(0)} → W_{(1)} → 0 → 0 …

où les flèches verticales sont successivement a ↦ a, (b, c) ↦ (b, u(c)) et d ↦ u(d). Comme ce sont des isomorphismes, ces deux complexes sont isomorphes. D’où (B i). De la même manière, les assertions (B ii), (B iii) et (B iv) sont la traduction dans le langage des B_{dR}^{+}-représentations des propositions 2.6, 2.7 et 2.8. Comme C est l’objet-unité de la catégorie tannakienne Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), le K-es-

pace vectoriel Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W_{1}, W_{2}) s’identifie à Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(C, Hom(W_{1}, W_{2}))

(attention c’est le hom interne pour la structure tannakienne déduite par transport de structure de celle de C_{𝔞_{K},K}^{f}) et l’assertion (A) résulte de (B i).

Rappelons que B_{m} = B_{dR}^{+}/t^{m}B_{dR}^{+} = B_{dR}^{+}/\underline{t}^{m}B_{dR}^{+}. On a B_{0} = 0, B_{1} = C et pour tout m une suite exacte

0 → B_{m}(1) → B_{m+1} → C → 0

En particulier B_{2} est une extension de C par C(1). On remarque que la B_{dR}^{+}-représentation B_{m} est indécomposable (c’est déjà un B_{dR}^{+}-module indécomposable), que (B_{m})^{f} = K_{∞}[[\underline{t}]]/\underline{t}^{m} et que les valeurs propres de ∇_{0} sont les entiers i vérifiant 0 ≤ i ≤ m − 1, (B_{m})_{(i,0)} = (B_{m})_{(i)} étant le K-espace vectoriel de dimension 1 engendré par l’image de \underline{t}^{i}. Notons ℤ_{p}[log t] l’anneau des polynômes à coefficients dans ℤ_{p} en une indéterminée log t. On munit cet anneau d’une action de G_{K} compatible avec sa structure de ℤ_{p}-algèbre en posant g(log t) = log(χ(g)) + log t. Cette action se factorise à travers Γ_{K} = Gal(K_{∞}/K). Remarquons que cet anneau peut être défini intrinsèquement : si t′ = at, avec a une unité p-adique, on identifie ℤ_{p}[log t] à ℤ_{p}[log t′] en posant log t′ = log a + log t. Remarquons aussi que si l’on prolonge le logarithme à \overline{K}^{∗} en convenant que log p = 0, on peut identifier log t à log \underline{t} (on a t = π_{t}\underline{t} et log(π_{t}) = 0). Pour tout m ∈ ℕ, on note T_{m} le sous-ℤ_{p}-module de ℤ_{p}[log t] formé des polynômes de degré < m. On pose C_{m} = C ⊗_{ℤ_{p}} T_{m}. C’est donc une C-représentation de dimension m. On voit que (C_{m})^{f} s’identifie à K_{∞} ⊗_{ℤ_{p}} T_{m}, que la seule valeur-propre de ∇_{0} est 0 (en particulier C_{m} est une petite représentation) et (C_{m})_{(0)} = K ⊗_{ℤ_{p}} T_{m}, l’opérateur ∇_{0} étant la dérivation par rapport à log t. En particuler C_{m} est indécomposable. Pour tout m ∈ ℕ, on a une suite exacte

0 → C_{m} → C_{m+1} → C → 0

la projection de C_{m+1} sur C étant l’application ∑_{i=0}^{m} c_{i}(log t)^{i} ↦ c_{m}.

PROPOSITION 2.15. — Soit W un objet simple de la catégorie des B_{dR}^{+}-repré-sentations. A – On a Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, W) = 0 sauf si l’on est dans l’un des deux cas suivants (qui s’excluent mutuellement) :

i) W ≃ C ; alors Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, C) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) est un K-espace vectoriel de dimension 1, avec pour base la classe de C_{2} = C ⊕ C log t. ii) W ≃ C(1) ; alors Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, C(1)) = 0 et Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C(1)) est un K-espace vectoriel de dimension 1, avec pour base la classe de B_{2}. B – On a Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, W) = 0 sauf si W ≃ C(1) ; alors Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) est un K-espace vectoriel de dimension 1 admettant comme base la classe c_{fond} de la 2-extension

0 → C(1) → B_{2} ⟶^{d} C_{2} → C → 0

(où d est le composé de la projection canonique de B_{2} sur C avec l’inclusion de C dans C_{2}). La classe de

0 → C(1) → C_{2}(1) ⟶^{d′} B_{2} → C → 0

(où d′ est le composé de la projection canonique de C_{2}(1) sur C(1) avec l’inclusion de C(1) dans B_{2}) est −c_{fond}.

Preuve : On a W_{(0)} = 0 sauf si W ≃ C et W_{(1)} = 0 sauf si W ≃ C(1). L’assertion (B) du théorème précédent implique donc que Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, W) = 0 pour tout n ∈ ℕ si W n’est ni isomorphe à C, ni isomorphe à C(1). Comme Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W) ⊂ Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, W), on a aussi Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W) = 0. Si W = C, les Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, C), sont les groupes de cohomologie du complexe

K ⟶^{0} K → 0 → 0 → …

Par conséquent, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C) = 0 et Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) est un K-espace vectoriel de dimension 1. Comme l’extension

0 → C → C_{2} → C → 0

est non scindée, la classe de C_{2} engendre ce K-espace vectoriel. Comme C_{2} est une C-représentation, cette classe appartient à Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, C) et Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, C) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C). Si W = C(1), l’assertion (B) du théorème 2.14 implique la nullité de Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, C(1)), tandis que les Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, C(1)), sont les groupes de cohomologie du complexe

0 → K.\underline{t} ⟶^{0} K.\underline{t} → 0 → 0 → …

Les K-espaces vectoriels Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C(1)) et Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) sont donc tous deux de dimension 1. Comme l’extension

0 → C(1) → B_{2} → C → 0

est non scindée, sa classe engendre Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C(1)). Mais cette suite exacte induit la suite exacte

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, B_{2}) → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1))

Or Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, B_{2}), premier groupe de cohomologie du complexe

K → K\underline{t} ⊕ K → K\underline{t} → 0 → 0 → …

avec d^{0}(x) = (x\underline{t}, 0) et d^{1}(y, z) = z\underline{t}, est nul. L’application

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1))

est donc injective. La classe de C_{2} dans Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) étant non nulle, elle

s’envoie sur un élément non nul de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)). C’est précisément c_{fond}. Notons θ : B_{2} → C la projection canonique. Posons B_{2,2} = B_{2} ⊗_{ℤ_{p}} T_{2}, de sorte que tout élément de B_{2,2} s’écrit de manière unique sous la forme b_{0}+b_{1} log t avec b_{0}, b_{1} ∈ B_{2} et que C_{2}(1) s’identifie à la sous-B_{dR}^{+}-représentation de B_{2,2} formée des éléments qui peuvent s’écrire sous la forme c_{0}t + c_{1}t log t, avec c_{0}, c_{1} ∈ C. On définit des applications

α : B_{2} ⊕ C_{2}(1) → B_{2}  par  α(b, c_{0}t + c_{1}t log t) = b + c_{1}t
α′ : B_{2} ⊕ C_{2}(1) → C_{2}(1) par  α′(b, c_{0}t + c_{1}t log t) = c_{0}t + c_{1}t log t
β : B_{2,2} → C_{2}  par β(b_{0} + b_{1} log t) = θ(b_{0}) + θ(b_{1}) log t
β′ : B_{2,2} → B_{2} par β′(b_{0} + b_{1} log t) = b_{1}
d^{−1} : C(1) → B_{2} ⊕ C_{2}(1) par  d^{−1}(ct) = (ct, −ct)
d^{0} : B_{2} ⊕ C_{2}(1) → B_{2,2} par d^{0}(b, c_{0}t + c_{1}t log t) = b + c_{0}t + c_{1} log t
d^{1} : B_{2,2} → C  par  d^{1}(b_{0} + b_{1} log t) = θ(b_{1})

On vérifie que le diagramme

0 → C(1) →  B_{2}  → C_{2} → C → 0
∥  ↑ α  ↑ β  ∥
0 → C(1) ⟶^{d^{−1}} B_{2} ⊕ C_{2}(1) ⟶^{d^{0}} B_{2,2} ⟶^{d^{1}} C → 0
↓ −id  ↓ α′  ↓ β′  ∥
0 → C(1) →  C_{2}(1)  → B_{2} → C → 0

dont les lignes sont exactes, est commutatif. La dernière assertion de la proposition en résulte.

Pour toute B_{dR}^{+}-représentation W, on a

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(W, W (1)) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, Hom(W, W (1))

(où Hom(W, W (1)) est le hom interne dans la catégorie tannakienne des B_{dR}^{+}- représentations). La flèche naturelle Hom(W, W (1)) → C(1) nous donne donc une application de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(W, W (1)) dans Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) = K.c_{fond}.

Pour tout ε ∈ Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(W, W (1)), on note c_{K,W} (ε).c_{fond} son image. On a

ainsi défini une application K-linéaire c_{K,W} : Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(W, W (1)) → K.

PROPOSITION 2.13. — Soient W_{1} et W_{2} des B_{dR}^{+}-représentations. Pour n = 0, 1, 2 l’application bilinéaire

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(W_{1}, W_{2})×Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2−n}(W_{2}, W_{1}(1)) → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(W_{1}, W_{1}(1)) → K

est une dualité parfaite de K-espaces vectoriels.

Preuve : Quitte à remplacer W_{2} par Hom(W_{1}, W_{2}) (au sens tannakien), on peut supposer W_{1} = C. On est donc ramené à prouver que pour n = 0, 1, 2 et pour toute C-représentation W, l’accouplement

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, W) × Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2−n}(W, C(1)) → Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1))

est non dégénéré. Par dévissage, on se ramène au cas où W est simple.

– Si W n’est isomorphe ni à C ni à C(1), les Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, W) sont nuls ainsi que les Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(W, C(1)) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(C, W^{∗}(1)) et il n’y a rien à prouver.

– Supposons W = C. Pour n = 0, on a Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C, C) = K,

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) = K.c_{fond} et c’est évident. Pour n = 1, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) est le K-espace vectoriel de dimension 1 engendré par la classe c_{2} de C_{2}, tandis que Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C(1)) est le K-espace vectoriel de dimension 1 engendré par la classe b_{2} de B_{2} et cela résulte de ce que, d’après la partie (B) de la proposition précédente, le générateur c_{fond} de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) est le cup-produit

de c_{2} avec b_{2}. Pour n = 2, on a Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C) = Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C, C(1)) = 0 et c’est évident.

– Supposons alors W = C(1). Pour n = 0, on a Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C, C(1)) =

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C(1), C(1)) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C) = 0 et c’est évident. Pour n = 1,

Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C(1)) est le K-espace vectoriel de dimension 1 engendré par

la classe b_{2} de B_{2}, tandis que Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C(1), C(1)) ≃ Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C) est le K-espace vectoriel de dimension 1 engendré par la classe c′_{2} de C_{2}(1) et cela résulte de ce que, d’après la partie (B) de la proposition précédente, le générateur −c_{fond} de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) est le cup-produit de

b_{2} avec c′_{2}. Pour n = 2 enfin, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{2}(C, C(1)) = K.c_{fond}, tandis que Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(C(1), C(1)) = K.id_{C(1)} et c’est évident.

La proposition 2.15 implique aussi le résultat suivant, également très facile à vérifier directement :

PROPOSITION 2.17. — A) Soient W_{1} et W_{2} deux C-représentations. Pour tout i ∈ ℕ, le K-espace vectoriel Ext_{C[G_{K}]}^{i}(W_{1}, W_{2}) s’identifie, canoniquement et fonctoriellement, à Ext_{C[G_{K}]}^{i}(C, W_{1}^{∗} ⊗_{C} W_{2}).

B) Pour toute C-représentation W, on a Ext_{C[G_{K}]}^{i}(C, W) = 0 si i ≥ 2, tandis que Hom_{C[G_{K}]}(C, W) et Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W) sont des K-espaces vectoriels de même dimension finie. On dispose d’une suite exacte

0 → Hom_{C[G_{K}]}(C, W) → W_{(0)} → W_{(0)} → Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W) → 0

3 – Quelques calculs d’homomorphismes et d’extensions

Comme au paragraphe précédent, K_{∞} est la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, H_{K} = Gal(\overline{K}/K_{∞}) et Γ_{K} = Gal(K_{∞}/K).

3.1 – Cohomologie continue

Si G est un groupe topologique et si M est un groupe topologique abélien muni d’une action linéaire et continue de G, on sait définir les groupes de cohomologie continue H_{cont}^{m}(G, M) (cf. [Ta76]). Lorsque G = Gal(E^{s}/E) où E^{s} est la clôture séparable d’un corps E, on écrit aussi H_{cont}^{m}(E, M) = H_{cont}^{m}(G, M). Si S est un banach muni d’une action linéaire et continue de G et si S est un réseau de S stable par G, on a H_{cont}^{m}(G, S) = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} H_{cont}^{m}(G, S). Si V est une représentation p-adique, les H_{cont}^{n}(K, V) sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, nuls pour n ∉ {0, 1, 2} et

∑_{n=0}^{2}(−1)^{n} dim_{K} H_{cont}^{n}(K, V) = −[K : ℚ_{p}]. dim_{ℚ_{p}} V

En outre, on a un isomorphisme canonique de H_{cont}^{2}(K, ℚ_{p}(1)) sur ℚ_{p} et le cup-produit induit, pour n = 0, 1, 2, une dualité parfaite

H_{cont}^{n}(K, V) × H_{cont}^{2−n}(K, V^{∗}(1)) → ℚ_{p}

(ces résultats bien connus se voient par passage à la limite à partir des résultats analogues pour la cohomologie des G_{K}-modules finis de p-torsion, cf [Se94], chap.II, th.2 et 5). Par ailleurs, H_{cont}^{n}(K, V) s’identifie à Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{n}(ℚ_{p}, V) (ce sont des δ-foncteurs effaçables qui coïncident en degré 0). Si V_{1} et V_{2} sont deux représentations padiques, Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{n}(V_{1}, V_{2}) s’identifie donc à H_{cont}^{n}(K, V_{1}^{∗} ⊗ V_{2}).

Rappelons (§2.5) que, pour toute B_{dR}^{+}-représentation W, on a posé W_{(0,0)} = W^{G_{K}}.

PROPOSITION 3.1. — Soit W une B_{dR}^{+}-représentation. Alors H^{0}(K, W) et H_{cont}^{1}(K, W) sont des K-espaces vectoriels de même dimension finie. On a H^{0}(K, W) = W_{(0,0)} = Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(B_{dR}^{+}, W) tandis que H_{cont}^{1}(K, W)

s’identifie à Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W).

Si W est une C-représentation, H^{0}(K, W) s’identifie aussi à Hom_{C[G_{K}]}(C, W) et H_{cont}^{1}(K, W) à Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C, W).

Preuve : L’application qui à η ∈ Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(B_{dR}^{+}, W) associe η(1) identifie ce K-espace vectoriel à W^{G_{K}} = H^{0}(K, W) = W_{(0,0)}. Soit maintenant E un B_{dR}^{+}-module de type fini, muni d’une action linéaire et continue de G_{K}, extension de B_{dR}^{+} par W. L’extension est scindée en tant qu’extension de B_{dR}^{+}-modules et si ˆ1 est un relèvement de 1 dans E, l’application ε : G_{K} → W qui à g associe g(ˆ1) − ˆ1 est un 1-cocycle continu de G_{K} à valeurs dans W. Si l’on change le relèvement, on change ε par un cobord et la classe de ε dans H_{cont}^{1}(K, W) ainsi définie ne dépend que de la classe de E dans Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W). On vérifie que l’application de Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W)

dans H_{cont}^{1}(K, V) ainsi définie est bien un isomorphisme. Le cas où W est une C-représentation se traite de la même manière.

Rappelons le résultat fondamental de Tate :

PROPOSITION 3.2 ([Ta67], prop.9, cf.aussi [Fo00], th.1.8). — Soient M une extension finie de K_{∞}, O_{M} l’anneau de ses entiers et tr_{M/K_{∞}} : M → K_{∞} la trace. Alors l’idéal maximal 𝔪_{K_{∞}} de l’anneau des entiers de K_{∞} est contenu dans tr_{M/K_{∞}}(O_{M}).

Appelons presque B_{dR}^{+}-représentation toute représentation banachique qui est presqu’isomorphe à une B_{dR}^{+}-représentation.

PROPOSITION 3.3. — Soit S un ℤ_{p}-module séparé et complet pour la topologie p-adique muni d’une action linéaire et continue de G_{K}.

i) Si n est un entier ≥ 3, on a H_{cont}^{n}(K, S) = 0 ; ii) Si n ∈ {0, 1, 2} et si S est un réseau stable par G_{K} d’une presque B_{dR}^{+}-représentation S, il existe s ∈ ℕ tel que p^{s} annule H_{cont}^{n}(K, S)_{tor} et H_{cont}^{n}(K, S)/H_{cont}^{n}(K, S)_{tor} est un ℤ_{p}-module libre de rang fini ; iii) Pour n = 2, ce rang est nul si S est une B_{dR}^{+}-représentation.

Preuve : Comme la p-dimension cohomologique de G_{K} est 2 ([Se94], chap.II, §5), si n ≤ 3, on a H_{cont}^{n}(K, S/pS) = H^{n}(K, S/pS) = 0. Ceci nous permet, si f : G_{K}^{n} → S est un n-cocycle continu de G_{K} à valeurs dans S, de construire, de proche en proche, une suite (u_{r})_{r∈ℕ} de (n − 1)-cochaines continues telle que f = d(∑_{r∈ℕ} p^{r}u_{r}), d’où (i). Soient S′ et S′′ deux réseaux de S. Le fait qu’ils sont commensurables implique que (ii) est vraie pour S′ si et seulement si elle est vraie pour S′′. Par ailleurs, soit

0 → S_{1} → S_{2} → S_{3} → 0

une suite exacte courte de presque-B_{dR}^{+}-représentations et soit S_{2} un réseau stable par G_{K} de S_{2}. L’image S_{3} de S_{2} dans S_{3} et S_{1} = S_{1} ∩ S_{2} sont des réseaux stables par G_{K} respectivement de S_{3} et de S_{1} ; la suite exacte courte

0 → S_{1} → S_{2} → S_{3} → 0

induit une suite exacte longue de cohomologie, d’où l’on déduit que, si la propriété (ii) est vraie pour deux des trois réseaux S_{1}, S_{2}, S_{3}, elle est vraie pour le troisième. Comme S est une presque B_{dR}^{+}-représentation, on peut trouver un isomorphisme S/V ≃ W/V′, avec W une B_{dR}^{+}-représentation et V et V′ des ℚ_{p}- représentations. On peut donc, pour prouver (ii), supposer que S = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} S est soit une ℚ_{p}-représentation, soit une B_{dR}^{+}-représentation. Dans le premier cas, comme S est un ℤ_{p}-module de type fini, les H_{cont}^{n}(K, S) sont de type fini : cela résulte formellement (cf. par exemple, [NSW00], cor.2.3.9) du fait que, si M est un ℤ_{p}-module fini avec action linéaire discrète de G_{K}, les groupes H^{n}(K, M) sont finis (cf. par exemple [Se94], chap. II,prop.14). Ils vérifient donc (ii). Dans le second cas, par dévissage, on se ramène au cas où S est une C-repré-sentation, ce que nous supposons désormais. On peut, pour prouver l’assertion, remplacer K par une extension finie galoisienne convenable, ce qui nous permet de supposer que S est K-petite (cf. §2.3). Toujours par dévissage, on peut en outre supposer qu’elle est simple. La fin de la preuve repose sur les techniques ”presque-étales” classiques de Tate [Ta67] et Sen [Se80] :

LEMME 3.4. — Soient π ∈ 𝔪_{K_{∞}} un élément non nul et f : H_{K} → O_{C} un 1-cocycle continu. Il existe b ∈ O_{C} tel que le 1-cocycle continu πf − db est à valeurs dans π^{2}O_{C}.

Preuve : Comme f est continu, il existe un sous-groupe ouvert invariant H′_{K} de H_{K} tel que f′(H_{K}) ⊂ π^{2}O_{C}. La condition de cocycle implique que, si g ∈ H_{K} et h ∈ H′_{K}, alors f(gh) ≡ f(g) (mod π^{2}O_{C}).

Soit M = \overline{K}^{H′_{K}} ; c’est une extension finie galoisienne de K_{∞} de groupe de Galois J = H_{K}/H′_{K}. D’après la proposition 3.2, on peut trouver c dans l’anneau des entiers de M tel que tr_{M/K_{∞}}(c) = π. Soit T un système de représentants de J dans H_{K}. Posons

b = − ∑_{g∈T} f(g)g(c) ∈ O_{C} .

Pour tout h ∈ H_{K}, on a

h(b) = − ∑_{g∈T} h(f(g))hg(c) = − ∑_{g∈T} f(hg).hg(c) + f(h)(∑_{g∈T} g(c)) .

Pour tout g ∈ H_{K}, notons t(g) le représentant, dans T, de son image dans J. Comme f(g) mod π^{2}O_{C} ne dépend que de l’image de g dans J, on a ∑_{g∈T} f(hg)hg(c) ≡ ∑_{g∈T} f(t(hg)).t(hg) ≡ b (mod π^{2}O_{C}). Par conséquent, pour tout h ∈ H_{K}, on a h(b) − b ≡ πf(h) (mod π^{2}O_{C}).

LEMME 3.5. — Pour tout π ∈ 𝔪_{K_{∞}}, on a π.H_{cont}^{1}(K_{∞}, O_{C}) = 0 .

Preuve : On peut supposer π non nul. Le lemme précédent permet de construire une suite d’éléments (b_{n})_{n∈ℕ} dans O_{C} et une suite de 1-cocycles continus de H_{K} à valeurs dans O_{C} tels que f_{0} = f et π^{2}f_{n} = πf_{n−1} − db_{n−1} pour tout n ≥ 1. Si b = ∑_{n=0}^{+∞} π^{n}b_{n}, on a db = ∑_{n=0}^{+∞} π^{n}db_{n} = πf.

Terminons alors la preuve de la proposition 3.3 : D’après la proposition 2.1, le C-espace vectoriel S admet une base formée d’éléments fixés par H_{K}, i.e. est isomorphe, en tant que C-représentation de H_{K} à C^{d}. Il existe donc un réseau S_{0} de S, stable par H_{K} qui est isomorphe à O_{C}^{d}. D’après le lemme précédent H_{cont}^{1}(K_{∞}, S_{0}) est tué par p et comme S est commensurable à S_{0}, il existe un entier s_{1} tel que p^{s_{1}} annule H_{cont}^{1}(K_{∞}, S). Mais le fait que Γ_{K} et H_{K} sont de p-dimension cohomologique 1 implique que l’on a une suite exacte

0 → H_{cont}^{1}(Γ_{K}, S^{H_{K}}) → H_{cont}^{1}(K, S) → H_{cont}^{1}(K_{∞}, S)^{G_{K}} → 0

et que H_{cont}^{2}(K, S) = H_{cont}^{1}(Γ_{K}, H_{cont}^{1}(K_{∞}, S)). Il suffit donc pour achever la démonstration d’établir le résultat suivant :

LEMME 3.6. — Soit S une C-représentation et soit T un réseau stable par Γ_{K} de T = S^{H_{K}}. Il existe un entier s_{0} tel que p^{s_{0}} annule H_{cont}^{1}(Γ_{K}, T )_{tor} et les ℤ_{p}-modules T^{G_{K}} et H_{cont}^{1}(Γ_{K}, T )/H_{cont}^{∞}(−_{K}, T )_{tor} sont de type fini.

Preuve : Si γ est un générateur topologique de Γ_{K}, on a une suite exacte

0 → T^{−_{K}} → T ⟶^{γ−1} T → H_{cont}^{∞}(−_{K}, T ) → ′

Comme on a supposé S simple et K-petite, il existe (prop.2.12) un élément K-petit α ∈ K tel que S = C{α}. Si L est le complété de K_{∞} et si u = exp(α log χ(γ)), T s’identifie alors à L, γ agissant sur L par c ↦ u.γ(c). Si α = 0, T = L avec son action naturelle. Soit tr : K_{∞} → K l’application qui envoie x ∈ K_{N} sur \frac{1}{p^{N}} tr_{K_{N} /K}(x) (où K_{N} désigne l’unique extension de K de degré p^{N} contenue dans K_{∞}). Alors ([Ta67],prop.6) cette application est continue et se prolonge par continuité en une application encore notée tr de L dans K. Si L_{0} = Ker tr, on a L = K ⊕ L_{0}. Quitte à changer de réseau, on peut supposer que T = O_{K} ⊕ T_{′} où T_{′} est un réseau de L_{0}. Sur O_{K}, l’opérateur γ − 1 est nul et on a donc O_{K}^{Γ_{K}} = H_{cont}^{1}(Γ_{K}, O_{K}) = O_{K} et c’est un ℤ_{p}-module libre de rang fini. Sur L_{0}, l’opérateur γ − 1 est bijectif avec un inverse continu (loc.cit., prop.7,b). On en déduit que T_{′}^{−_{K}} = ′ tandis qu’il existe un entier s_{0} tel que p^{s_{0}} annule H_{cont}^{1}(Γ_{K}, T_{′}). Sinon, l’opérateur γ − u^{−1} est bijectif sur L, avec un inverse continu (loc.cit., prop7,c) ; il en est de même de u.γ − 1 et on en déduit que T^{−_{K}} = ′ tandis qu’il existe un entier s_{0} tel que p^{s_{0}} annule H_{cont}^{1}(Γ_{K}, T ).

COROLLAIRE. — Pour toute presque-B_{dR}^{+}-représentation S, les H_{cont}^{n}(K, S) sont des ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie, nuls si n ≥ 3. Si S est une B_{dR}^{+}- représentation, on a aussi H_{cont}^{2}(K, S) = 0.

3.2 – Calcul de Ext_{B(G_{K})}^{1}(S, V) via le corps de classes

Pour tout anneau commutatif A et tout A-module M, on note M^{∗_{A}} le A-module des applications A-linéaires de M dans A.

PROPOSITION 3.7. — Soient V une représentation p-adique et S une presque B_{dR}^{+}-représentation. Il existe une dualité parfaite de ℚ_{p}-espaces vectoriels

Ext_{B(G_{K})}^{1}(S, V) × H_{cont}^{1}(K, S ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}} (1)) → ℚ_{p}

canonique et fonctorielle en S et V.

En fait, on va utiliser la théorie du corps de classes local (plus précisément la dualité de Tate) pour construire une telle dualité.

LEMME 3.8. — Il existe une suite croissante

S_{1} ⊂ S_{2} ⊂ … ⊂ S_{n} ⊂ S_{n+1} ⊂ …

de sous-ℤ_{p}-modules de type fini de S, stables par G_{K}, telle que la réunion S_{∞} des S_{n} est séparée pour la topologie p-adique et que l’inclusion de S_{∞} dans S induise un homéomorphisme de Ŝ_{∞} = \underleftarrow{lim}S_{∞}/p^{m}S_{∞} sur un réseau S de S.

Preuve : Par dévissage on se ramène au cas où S est soit une représentation p-adique (auquel cas, c’est trivial, il suffit de choisir un réseau S stable par G_{K} et de prendre S_{n} = S pour tout n), soit une C-représentation. Dans ce dernier cas, il existe une extension finie galoisienne L de K contenue dans \overline{K} telle que S est petite en tant que B_{dR}^{+}-représentation de G_{L}. Avec les notations du §2.3, S_{L}^{f} est un sous-L-espace vectoriel stable par G_{L} de S tel que l’application naturelle C ⊗_{L} S_{L}^{f} → S (cf. lemme 2.11) est un isomorphisme. Pour toute extension finie E de K, notons O_{E} l’anneau de ses entiers. On peut trouver un sous-O_{L}-module S_{L}^{f} de S_{L}^{f} qui est un réseau de S_{L}^{f} et est stable par G_{K}. Il suffit alors de choisir une suite L = L_{1} ⊂ L_{2} ⊂ … L_{n} ⊂ L_{n+1} ⊂ … d’extensions finies galoisiennes de K contenues dans \overline{K} telles que \overline{K} = ∪_{n≥1}L_{n} et de prendre pour S_{n} le sous-O_{L_{n}}-module de S engendré par S_{L}^{f}.

LEMME 3.9. — Choisissons unréseau V de V stable par G_{K} et des S_{n} et S comme dans le lemme précédent. La flèche naturelle

Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{∞}, V) → \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V)

est un isomorphisme.

Preuve : Soit (ε_{n})_{n∈ℕ} ∈ \underleftarrow{lim}Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V). Pour chaque n, choisissons une extension E_{n} de S_{n} par V représentant ε_{n}. Comme l’image de ε_{n+1} dans Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V) est ε_{n}, on peut trouver une application ℤ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante f_{n} : E_{n} → E_{n+1} qui induit l’identité sur V et l’inclusion naturelle S_{n} ⊂ S_{n+1} sur les quotients. Alors la limite inductive des E_{n}, avec les f_{n} comme applications de transition, est une extension de S_{∞} par V dont la classe dans Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{∞}V) a pour image (ε_{n})_{n∈ℕ}, ce qui prouve la surjectivité. Soit maintenant E une extension de S_{∞} par V dont la classe est dans le noyau de la flèche qui nous intéresse. Cela veut dire, que si E_{n}, désigne l’image inverse de S_{n} dans E, l’ensemble X_{n} des sections continues G_{K}-équivariantes de la projection de E_{n} sur S_{n} est non vide. Mais, si x ∈ X_{n}, les autres éléments sont de la forme x+η, avec η un élément du ℤ_{p}-module de type fini Hom_{ℤ_{p}[G_{K}]}(S_{n}, V). Autrement dit X_{n} est un espace homogène principal sous ce groupe compact et devient ainsi un espace topologique compact non vide. L’application naturelle X_{n+1} → X_{n} est continue et la limite projective des X_{n} est donc non vide. Mais un élément de cette limite définit une section ℤ_{p}-linéaire continue de la projection de E sur S_{∞}, on a donc ε = 0 et l’application est bien injective.

Preuve de la proposition 3.7 : Choisissons V, S et des S_{n} comme cidessus. Avec des notations évidentes, Ext_{B(G_{K})}^{1}(S, V) s’identifie à ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S, V). Comme S s’identifie au séparé complété pour la topologie p-adique de S_{∞}, la flèche naturelle

Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S, V) → Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{∞}, V)

est un isomorphisme. D’après le lemme précédent, Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S, V) s’identifie donc à \underleftarrow{lim}Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V). Pour tout ℤ_{p}-module M, notons Mˇ le ℤ_{p}-module des applications ℤ_{p}-linéaires de M dans ℚ_{p}/ℤ_{p}. Pour tout n ∈ ℕ fixé, S_{n} et V sont des ℤ_{p}-modules libres de rang fini et

Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V) = Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(ℤ_{p}, (S_{n})^{∗_{ℤp}} ⊗_{ℤ_{p}} V)
= H_{cont}^{1}(K, (S_{n})^{∗_{ℤp}} ⊗_{ℤ_{p}} V)

Par la dualité de Tate (cf. par exemple, [Se94], chap. II, th.2), ce dernier groupe s’identifie à H^{1}(K, ((S_{n})^{∗_{ℤp}} ⊗_{ℤ_{p}} V)ˇ (1))ˇ . Comme ((S_{n})^{∗_{ℤp}} ⊗_{ℤ_{p}} V)ˇ = S_{n} ⊗_{ℤ_{p}} Vˇ , si l’on pose M_{n} = H^{1}(K, S_{n} ⊗ Vˇ (1)), on a Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{n}, V) = M_{n}ˇ . On a alors Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{∞}, V) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} M_{n}ˇ = (\underrightarrow{lim}_{ℕ∈ℕ} M_{n})ˇ . Mais \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} M_{n} = H^{1}(K,\underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} S_{n} ⊗ Vˇ (1)) = H^{1}(K, S_{∞} ⊗ Vˇ (1)). Posons T = S ⊗_{ℤ_{p}} V^{∗_{ℤp}} (1). C’est un ℤ_{p}-module séparé et complet pour la topologie p-adique, avec action semi-linéaire continue de G_{K} et on a une suite exacte

0 →  T  →  T ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}  → T ⊗_{ℤ_{p}} (ℚ_{p}/ℤ_{p}) → 0
∥  ∥  ∥
0 → S ⊗_{ℤ_{p}} V^{∗_{ℤp}} (1) → S ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}} (1) → S_{∞} ⊗_{ℤ_{p}} Vˇ (1) → 0

Comme la topologie sur S_{∞} ⊗ Vˇ (1) est la topologie discrète, toute section ensembliste de la projection de S⊗V^{∗_{ℚp}} (1) sur S_{∞}⊗Vˇ (1) est automatiquement continue et [Ta76] la suite exacte courte ci-dessus induit une suite exacte longue

0 → (H_{cont}^{1}(K, S ⊗ V^{∗_{ℤp}} (1)))_{tor} → H_{cont}^{1}(K, S ⊗ V^{∗_{ℤp}} (1)) →

H_{cont}^{1}(K, S ⊗ V^{∗_{ℚp}} (1)) → H^{1}(K, S_{∞} ⊗ Vˇ (1)) → H_{cont}^{2}(K, S ⊗ V^{∗_{ℤp}} (1))_{tor} → 0

Mais H = H_{cont}^{1}(K, S ⊗ V^{∗_{ℚp}} (1)) est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie (cor. à la prop.3.3). L’image de H_{cont}^{1}(K, S ⊗ V^{∗_{ℤp}} (1)) dans H est un réseau H de H. Si l’on pose N = H_{cont}^{2}(K, S ⊗ V^{∗_{ℤp}} (1))_{tor}, on a donc des suites exactes

0 → H/H → H^{1}(K, S_{∞} ⊗ Vˇ (1)) → N → 0 et
0 → Nˇ → Ext_{ℤ_{p}[G_{K}],cont}^{1}(S_{∞}, V) → (H/H)ˇ → Ext^{1}(N, ℚ_{p}/ℤ_{p})

puisque H^{1}(K, S_{∞} ⊗ Vˇ (1))ˇ = Ext_{ℤ_{p}[G_{K}]cont}^{1}(S_{∞}, V). Il existe (prop. 3.3) un entier s tel que p^{s} annule N ; le noyau et le conoyau de Ext_{ℤ_{p}[G_{K}]cont}^{1}(S_{∞}, V) → (H/H)ˇ sont donc tués par p^{s}. Alors

Ext_{B(G_{K})}^{1}(S, V) = ℚ_{p} ⊗ Ext_{ℤ_{p}[G_{K}]cont}^{1}(S, V)

s’identifie au ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie H^{∗_{ℚp}}. Enfin, il est clair que l’accouplement ainsi défini est indépendant des choix faits et est fonctoriel en S et en V.

COROLLAIRE. — Soient V une représentation p-adique et W une B_{dR}^{+}-représen-tation de G_{K}. Alors Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) est un K-espace vectoriel de dimension finie égale à la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre −1 de l’opérateur ∇_{0}(W ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}}). Il existe une dualité parfaite de K-espaces vectoriels

Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) × H_{cont}^{1}(K, W ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}} (1)) → K

canonique et fonctorielle en W et V.

Preuve : Soit H un K-espace vectoriel de dimension finie. L’application, qui à η ∈ H^{∗_{K}} associe tr_{K/ℚ_{p}} ∘ η ∈ H^{∗_{ℚp}}, induit un isomorphisme du ℚ_{p}-espace vectoriel sous-jacent à H^{∗_{K}} sur H^{∗_{ℚp}}. La deuxième partie de l’assertion résulte donc de la proposition précédente ; comme H_{cont}^{1}(K, W ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}} (1)) s’identifie à Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(B_{dR}^{+}, W ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗_{ℚp}} (1)) (prop.3.1), la première résulte de l’assertion (iii) du théorème 2.14.

3.3 – Théorèmes de pleine fidélité

Rappelons (§1.6) que B_{e} = {b ∈ B_{cris} | φ(b) = b} contient ℚ_{p} et que la suite

0 → ℚ_{p} → B_{e} → B_{dR}/B_{dR}^{+} → 0

est exacte. Pour tout i ∈ ℤ, on note Fil^{i}B_{dR} l’idéal fractionnaire de B_{dR}^{+}, puissance i-ième de l’idéal maximal ; c’est donc le sous-B_{dR}^{+}-module libre de rang 1 de B_{dR} engendré par t^{i}. On pose aussi Fil^{i}B_{e} = B_{e} ∩ Fil^{i}B_{dR} de sorte que Fil^{i}B_{e} = 0 si i > 0 et que, pour m ≥ 0, on dispose d’une suite exacte

0 → ℚ_{p} → Fil^{−m}B_{e} → B_{m}(−m) → 0

(en particulier, Fil^{0}B_{e} = ℚ_{p}). Pour tout m ∈ ℕ, si l’on pose U_{m} = (Fil^{−m}B_{m})(m), U_{m} s’identifie au sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de B_{cris} ∩B_{dR}^{+} formé des b tels que φb = p^{m}b et la suite

0 → ℚ_{p}(m) → U_{m} → B_{m} → 0

est exacte.

PROPOSITION 3.10. — Soit V une représentation p-adique extension non triviale de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}.

i) Le C-espace vectoriel V_{C} = C ⊗_{ℚ_{p}} V s’identifie à C ⊕ C(1). Il existe une et une seule application ℚ_{p}-linéaire G_{K}-équivariante de V dans C qui prolonge l’inclusion de ℚ_{p} dans C mais cette application ne se relève pas en une application ℚ_{p}-linéaire G_{K}-équivariante de V dans B_{2} ; ii) on a dim_{K}(B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} = 1, iii) la représentation V n’est pas de de Rham.

Preuve : La suite exacte

0 → ℚ_{p}(2) → U_{2} → B_{2} → 0

induit un carré commutatif

Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) ⟶^{δ_{V}} Ext_{B(G_{K})}^{1}(V, ℚ_{p}(2))
↓ α  ↓ β
Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, B_{2}) ⟶^{δ_{ℚp}} Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2))

On a Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2)) = Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2)) = H_{cont}^{1}(K, ℚ_{p}(2)). Par ailleurs H_{cont}^{0}(K, ℚ_{p}(2)) = H_{cont}^{2}(K, ℚ_{p}(2)) = 0 (le second parce que c’est le dual de H_{cont}^{0}(K, ℚ_{p}(−1)) qui est nul). Comme

∑_{n=0}^{2}(−1)^{n} dim_{ℚ_{p}} H_{cont}^{n}(K, ℚ_{p}(2)) = −[K : ℚ_{p}],

la dimension du ℚ_{p}-espace vectoriel Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2)) est égale au degré de K sur ℚ_{p}. On a K_{0} ∩U_{2} = 0 (puisque φ est le Frobenius absolu sur K_{0} et la multiplication par p^{2} sur U_{2}). Comme B_{cris}^{G_{K}} = K_{0} [Fo88a], on a Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, U_{2}) = U_{2}^{G_{K}} = 0 et l’application δ_{ℚ_{p}} est injective. Mais Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, B_{2}) = B_{2}^{G_{K}} = K (loc.cit.) a la même dimension sur ℚ_{p} que Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2)) et δ_{ℚ_{p}} est un isomorphisme.

La suite exacte

0 → ℚ_{p} → V → ℚ_{p}(1) → 0

induit une suite exacte

Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(V, ℚ_{p}(2)) ⟶^{β} Ext^{1}(ℚ_{p}, ℚ_{p}(2)) → Ext^{2}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p}(2))
→ Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(V, ℚ_{p}(2))

On a Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(V, ℚ_{p}(2)) = H_{cont}^{2}(K, V^{∗}(2)) = 0 car c’est le dual de H_{cont}^{0}(K, V (−1)) = V (−1)^{G_{K}}, qui est nul puisque V (−1) est une extension non triviale de ℚ_{p} par ℚ_{p}(−1). En revanche Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p}(2)) = H_{cont}^{2}(K, ℚ_{p}(1)) est non nul et β n’est pas surjective. Par conséquent α ne l’est pas non plus. La suite exacte de C-représentations

0 → C → V_{C} → C(1) → 0

est scindée (prop.2.15), ce scindage est unique puisqu’il n’y a pas de morphisme non trivial de C(1) dans C et V_{C} s’identifie bien à C⊕C(1). En particulier, le Kespace vectoriel Hom_{B(G_{K})}(V, C) = Hom_{C[G_{K}]}(V_{C}, C) est de dimension 1. On a Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}(1), C) = C(−1)^{G_{K}} = 0 tandis que Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, C) = C^{G_{K}} = K. On en déduit que l’application Hom_{B(G_{K})}(V, C) → Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, C) est bijective. Il existe donc bien un unique η : V → C qui prolonge l’inclusion de ℚ_{p} dans C. On a une suite exacte de K-espaces vectoriels

0 → Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}(1), B_{2}) → Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) ⟶^{α} Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, B_{2})

Comme dim_{K} Hom(ℚ_{p}, B_{2}) = 1 et comme α n’est pas surjective, α est nulle et la première flèche est un isomorphisme. Donc η ne se relève pas en un homomorphisme de V dans B_{2},d’où (i). En outre, on a dim_{K} Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) = dim_{K} Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}(1), B_{2}) = 1. On a (B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} = Hom_{B(G_{K})}(V^{∗}(1), B_{2}) qui est bien de dimension 1 en appliquant (i) à V^{∗}(1), qui,comme V, est aussi une extension non scindée de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}, d’où (ii). Pour tout entier i ≠ 0, on a Hom_{B(G_{K})}(ℚ_{p}, C(i)) = 0. On en déduit que, si i ∉ {0, 1}, alors Hom_{B(G_{K})}(V, C(i)) = 0. Comme Fil^{i}B_{dR}/Fil^{i+1}B_{dR} = C(i), il en résulte que Hom_{B(G_{K})}(V, B_{dR}) = Hom_{B(G_{K})}(V, B_{dR}^{+}) et que l’application Hom_{B(G_{K})}(V, B_{dR}^{+}) → Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) est injective. On a donc

dim_{K} Hom_{B(G_{K})}(V, B_{dR}) ≤ dim_{K} Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) = 1

alors que, si V était de de Rham, on aurait dim_{K} Hom_{B(G_{K})}(V, B_{dR}) = 2.

Remarque : Cette proposition résulte aussi facilement du fait que, dans la dualité de Tate entre H_{cont}^{1}(K, ℚ_{p}(−1)) et H_{cont}^{1}(K, ℚ_{p}(2)) le H_{f}^{1}(K, ℚ_{p}(−1)) est l’orthogonal du H_{f}^{1}(K, ℚ_{p}(2)) ([BK90, prop.3.8). Comme toute extension de ℚ_{p} par ℚ_{p}(2) est cristalline ([PR88], th.1.5), on a H_{f}^{1}(K, ℚ_{p}(2)) = H_{cont}^{1}(K, ℚ_{p}(2)), donc H_{f}^{1}(K, ℚ_{p}(−1)) = 0 et V ne peut pas être de de Rham. Les deux autres assertions s’en déduisent immédiatement en utilisant la nullité des H_{cont}^{r}(K, C(i)) pour i ≠ 0.

On sait ([Fo00], th.6.1) que, si W_{1} et W_{2} sont deux C-représentations, toute application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante de W_{1} dans W_{2} est C-linéaire. Ce résultat s’étend aux B_{dR}^{+}-représentations :

TH^{}ÉOR^{}ÈME 3.11. — Soient W_{1} et W_{2} deux B_{dR}^{+}-représentations. L’inclusion naturelle Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(W_{1}, W_{2}) → Hom_{B(G_{K})}(W_{1}, W_{2}) est bijective tandis que

l’application Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(W_{1}, W_{2}) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W_{1}, W_{2}) est injective.

Ce théorème nous permet d’identifier Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) à une sous-catégorie pleine de B(G_{K}).

Preuve : D’après le corollaire à la proposition 2.13, pour tout i ∈ ℕ et pour toute extension finie galoisienne L de K contenue dans \overline{K}, on a Ext_{Rep_{B{+ \atop dR}} (G_{L})}^{i}(W_{1}, W_{2}) = (Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W_{1}, W_{2}))^{Gal(L/K)}. Pour prouver le

théorème on peut donc remplacer K par une telle extension, ce qui nous permet de supposer que W_{1} et W_{2} sont petites. Par dévissage, on est ramené à prouver ces deux assertions lorsque W_{1} et W_{2} sont simples et sont donc des C-espaces vectoriels de dimension 1. La première assertion a été prouvée dans [Fo00] (cor.6.3, où elle est en fait établie pour des C-espaces vectoriels de dimension quelconque). Prouvons la deuxième. A isomorphisme près, on peut supposer que W_{1} = C{α}, avec α un élément K-petit convenable (prop. 2.12). Quitte à tordre l’action de G_{K} sur W_{1} et W_{2} par χ^{−(α)}, on peut supposer que W_{1} = C. Il résulte de la proposition 2.15 que l’on a Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(W_{1}, W_{2}) = 0 sauf si W_{2} est isomorphe à C ou à C(1). On peut donc supposer que W_{2} = C ou W_{2} = C(1). Dans le premier cas, si W est une extension non triviale de C par C dans la catégorie Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), W est isomorphe au C-espace vectoriel C_{2} (prop.2.12). S’il existait une section G_{K}-équivariante de la projection de C_{2} sur C, il existerait en particulier un relèvement v dans C_{2} de 1 fixe par G_{K}, mais alors l’application c ↦ cv de C dans C_{2} serait une section C-linéaire G_{K}- équivariante, ce qui contredit le fait que la suite

0 → C → C_{2} → C → 0

n’est pas scindée en tant que suite de C-représentations de G_{K} (prop.2.12). Dans le second cas, si W est une extension non triviale de C par C(1) dans Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), W est isomorphe à B_{2} (prop.2.12). Mais il ne peut exister de section G_{K}-équivariante de la projection de B_{2} sur C car, sinon, pour toute représentation p-adique V de G_{K}, l’application Hom_{B(G_{K})}(V, B_{2}) → Hom_{B(G_{K})}(V, C) serait surjective, ce qui contredit la proposition 3.10.

COROLLAIRE. — Soient W une B_{dR}^{+}-représentation et V une représentation p-adique de G_{K}. On a Hom_{B(G_{K})}(W, V) = 0

Preuve : En effet si f ∈ Hom_{B(G_{K})}(W, V), le composé φ de f avec l’inclusion naturelle de V dans C ⊗_{ℚ_{p}} V est B_{dR}^{+}-linéaire. Si f n’était pas nulle, φ ne le serait pas non plus et l’image de φ serait un sous-C-espace vectoriel non nul de C ⊗_{ℚ_{p}} V et ne serait donc pas de dimension finie sur ℚ_{p}.

3.4 – Construction ”explicite” des extensions de W par V

On pose U = U_{1}. Soit R l’ensemble des suites (x^{(n)})_{n∈ℕ} d’éléments de l’anneau des entiers O_{C} de C vérifiant (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)} pour tout n. Rappelons [Fo88a] que R est muni d’une structure d’anneau de valuation complet de caractéristique p > 0 et que c’est un anneau parfait (son corps des fractions est même algébriquement clos) ; si W (R) désigne l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans R, l’anneau W (R)[1/p] s’identifie à un sous-anneau de B_{cris}^{+} ⊂ B_{cris} ∩ B_{dR}^{+}. Soit 𝔪_{R} l’idéal maximal de R. Alors U_{R} = 1 + 𝔪_{R} est un sous-groupe du groupe multiplicatif R^{∗} des éléments inversibles de R. C’est de façon naturelle un ℚ_{p}-espace vectoriel topologique. C’est en fait un banach : pour tout a ≠ 0 dans 𝔪_{R}, le sous-ℤ_{p}-module 1+aR de U_{R} est un réseau. Rappelons (cf. par exemple, [CF00], prop.1.3) que, pour tout u ∈ U_{R}, si [u] désigne son représentant de Teichmüller dans W (R), alors la série log[u] = ∑_{n=1}^{+∞}(−1)^{n+1}([u] − 1)^{n}/n converge dans B_{cris}^{+}. L’image de U_{R} par cette application est U ; on obtient ainsi un isomorphisme (de banach) de U_{R} sur U.

Soit alors V une représentation p-adique de G_{K} et soit V_{C} = C ⊗_{ℚ_{p}} V. En tensorisant par V (−1) la suite exacte

0 → ℚ_{p}(1) → U → C → 0

on obtient une autre suite exacte courte de B(G_{K})

0 → V → U(−1) ⊗ V → V_{C}(−1) → 0

Si W est une C-représentation, en appliquant le foncteur Hom_{B(G_{K})}(−, W), on obtient un opérateur de cobord δ : Hom_{B(G_{K})}(W, V_{C}(−1)) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V).

PROPOSITION 3.12. — Soient W une C-représentation et V une représentation p-adique de G_{K}. On a Hom_{B(G_{K})}(W, U(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V) = 0 et l’application

δ : Hom_{B(G_{K})}(W, V_{C}(−1)) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V)

définie ci-dessus est un isomorphisme.

Nous allons en fait prouver un résultat plus général. Notons, avec une définition évidente, IB(G_{K}) la catégorie des limites inductives de représentations banachiques. Pour tout entier m ∈ ℕ, Fil^{−m}B_{dR}/B_{dR}^{+} s’identifie à B_{m}(−m) de sorte que B_{dR}/B_{dR}^{+} est une limite inductive d’objets de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) : c’est la réunion croisssante des B_{m}(−m), pour m ∈ ℕ. Si maintenant V est une représentation p-adique et W une B_{dR}^{+}-représentation, on a Hom_{IB(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) = Hom_{B(G_{K})}(W, B_{m}(−m) ⊗_{ℚ_{p}} V) pour m assez grand (il suffit que t^{m} annule W ; en particulier, on peut prendre m = 1 si W est une C-représentation). Par conséquent si l’on considère la suite exacte

0 → V → B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0

en appliquant le foncteur Hom_{IB(G_{K})}(−, W), on obtient une flèche

δ : Hom_{IB(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V)

(parce que, si m est un entier suffisamment grand pour que

Hom_{IB(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V) = Hom_{B(G_{K})}(W, B_{m}(−m) ⊗ V), on peut remplacer la suite exacte précédente par

0 → V → Fil^{−m}B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V → B_{m}(−m) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0

qui est une suite exacte courte de B(G_{K})). La proposition 3.12 est un cas particulier de l’énoncé suivant :

PROPOSITION 3.13. — Soient W une B_{dR}^{+}-représentation et V une représentation p-adique de G_{K}. On a Hom_{B(G_{K})}(W, B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V) = 0. Si m est un entier tel que t^{m} annulle W, alors Hom_{IB(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) = Hom_{B(G_{K})}(W, B_{m}(−m) ⊗_{ℚ_{p}} V). L’application

δ : Hom_{IB(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V)

définie ci-dessus est un isomorphisme.

Preuve : On a déjà vu la deuxième assertion. Vérifions les deux autres. Comme Hom_{B(G_{K})}(W, V) = Hom_{B(G_{K})}(V^{∗_{ℚp}} ⊗_{ℚ_{p}} W, ℚ_{p}) = 0 (cor. au th.3.11), on a un diagramme commutatif

0 → Hom(W, B_{e} ⊗ V) → Hom(W, B_{dR}/B_{dR}^{+} ⊗ V) →  Ext^{1}(W, V)
↓ ↓ ↓
0 → Hom(V^{∗} ⊗ W, B_{e}) → Hom(V^{∗} ⊗ W, B_{dR}/B_{dR}^{+}) → Ext^{1}(V^{∗} ⊗ W, ℚ_{p})

(on a posé V^{∗} = V^{∗_{ℚp}}) où les lignes sont exactes et les flèches verticales sont des isomorphismes. Quitte à remplacer W par V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} W, on peut supposer V = ℚ_{p}. Soit f : W → B_{e}. Si f était non nulle, le composé de f avec la projection de B_{e} sur B_{dR}/B_{dR}^{+} serait une application \overline{f} : W → B_{dR}/B_{dR}^{+} non nulle et serait donc B_{dR}^{+}-linéaire (th.3.11). Son image serait un sous-B_{dR}^{+}-module non nul de B_{dR}/B_{dR}^{+}, donc serait de la forme B_{m}(−m) pour un entier m ≥ 1 convenable, et f serait une application de W dans Fil^{−m}B_{e}. Le noyau W′ de \overline{f} serait une B_{dR}^{+}-représentation et comme Hom_{B(G_{K})}(W′, ℚ_{p}) = 0 (appliquer de nouveau le cor. au th.3.11), \overline{f} induirait en fait une section de la projection de Fil^{−m}B_{e} sur B_{m}(−m). Par restriction à C(−1), on en déduirait une section de la projection de U(−1) sur C(−1). En tensorisant par ℚ_{p}(1) cela fournirait une section de la projection de U sur C. On aurait donc un isomorphisme de U sur ℚ_{p}(1) ⊕ C, ce qui contredit le fait que U^{G_{K}} = 0, tandis que (ℚ_{p}(1) ⊕ C)^{G_{K}} = C^{G_{K}} = K. Donc f = 0 et δ est injective. On sait (th.3.11) que Hom_{B(G_{K})}(W, B_{dR}/B_{dR}^{+}) = Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(W, B_{dR}/B_{dR}^{+}). On sait (th.2.14, (iv)) que ce K-espace vectoriel est de dimension finie égale à la dimension du sous-espace propre associé à la valeur-propre −1 de l’opérateur ∇_{0}(W). Comme c’est aussi la dimension de Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V), l’injectivité de δ implique que c’est un isomorphisme.

Remarques : i) Posons V^{∗} = V^{∗_{ℚp}} et X = W ⊗_{ℚ_{p}} V^{∗}(1). On a une dualité naturelle entre les K-espaces vectoriels

Hom_{B(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V) = Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V) =
Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(X, (B_{dR}/B_{dR}^{+})(1)) = Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(X, B_{dR}/Fil^{1}B_{dR})

et H_{cont}^{1}(K, W ⊗ V^{∗}(1)) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(C, X) :

Soient f ∈ Hom_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}(X, B_{dR}/Fil^{1}B_{dR}) et ε ∈ Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(C, X). Soit F

une B_{dR}^{+}-représentation, extension de C par B_{dR}/Fil^{1}B_{dR} dont la classe est l’image par f de ε. Comme cette extension est scindée en tant qu’extension de B_{dR}^{+}-modules, le noyau F_{0} de la multiplication par t dans F est une C-repré-sentation extension de C par C. Il existe donc (propr.2.15) un unique λ ∈ K tel que la classe de F_{0} est λ fois la classe de l’extension C_{2} et cette dualité est l’application (f, ε) ↦ λ. Compte-tenu de cette dualité, la proposition 3.7 définit un isomorphisme

Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) → Hom_{B(G_{K})}(W, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V)

Il ne devrait pas être difficile de vérifier que δ est l’inverse (au signe près ?) de cette application. ii) La construction de δ fonctionne encore lorsque l’on remplace K par un corps toujours de caractéristique 0 et complet pour une valuation discrète, à corps résiduel toujours parfait de caractéristique p, mais infini. Il est raisonnable de penser que la proposition 3.13 reste vraie dans ce contexte. Si c’est le cas, une grande partie des résultats de cet article s’étendent à un tel corps K.

3.5 – Extensions presque scindées

Soit

(1)  0 → S′ → S → S′′ → 0

une suite exacte courte de B(G_{K}). Un presque supplémentaire de S′ dans S est un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel fermé E de S stable par G_{K} tel que S = S′ + E et V = S′∩E est de dimension finie sur ℚ_{p}. On a alors un diagramme commutatif

0 → V → E → S′′ → 0
∩ ∩ ∥
0 → S′ → S → S′′ → 0

qui identifie S à S′ ⊕_{V} E, somme amalgamée de S′ et de E, au dessous de V et la suite exacte

0 → S′/V → S/V → S′′ → 0

est scindée. On dit que la suite exacte (1) est presque scindée s’il existe un presque supplémentaire de S′ dans S.

Soient f : V → W′ un morphisme de B(G_{K}) avec V une représentation padique et W′ une B_{dR}^{+}-représentation. On note E(f) le B_{dR}^{+}-module somme amalgamée de W′ et de B_{dR} ⊗_{ℚ_{p}} V au dessous de B_{dR}^{+} ⊗_{ℚ_{p}} V, l’application de B_{dR}^{+} ⊗ V dans W′ étant déduite de f par extension des scalaires. On a un diagramme commutatif

0 → B_{dR}^{+} ⊗ V → B_{dR} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0
↓  ↓  ∥
0 →  W′  → E(f) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0

dont les lignes sont exactes. En outre, si, pour tout m ∈ ℕ, on note E_{m}(f) l’image inverse de B_{m}(−m) ⊗ V dans E(f), chaque E_{m}(f) est une B_{dR}^{+}-repré-sentation et E(f) est la réunion croissante de ces E_{m}(f).

PROPOSITION 3.14. — Soit

0 → W′ → W → W′′ → 0

une suite exacte courte presque scindée de B(G_{K}). Si W′ et W′′ sont des B_{dR}^{+}-représentations, il en est de même de W.

Preuve : Par hypothèse, on a, dans B(G_{K}), un diagramme commutatif

0 → V → E → W′′ → 0
∩ ∩ ∥
0 → W′ → W → W′′ → 0

dont les lignes sont exactes et où V est de dimension finie sur ℚ_{p}. D’après la proposition 3.13, on a un diagramme commutatif

0 → V →  E  →  W′′  → 0
∥  ↓  ↓
0 → V → B_{e} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0

dont les lignes sont exactes, comme le sont celles du diagramme commutatif

0 → ℚ_{p} → B_{e} → B_{dR}/B_{dR}^{+} → 0
∩ ∩ ∥
0 → B_{dR}^{+} → B_{dR} → B_{dR}/B_{dR}^{+} → 0

Si f désigne l’inclusion de V dans W′, on obtient alors un troisième diagramme commutatif

0 →  V  →  E  →  W′′  → 0
∥  ↓  ↓
0 →  V  → B_{e} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0
∩  ∩  ∥
0 → B_{dR}^{+} ⊗ V → B_{dR} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0
↓  ↓  ∥
0 →  W′  → E(f) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0

dont les lignes sont tout autant exactes (la deuxième ligne de flèches verticales se déduit du diagramme précédent en tensorisant avec V). Comme W est la somme amalgamée de W′ et de E au dessous de V, on en déduit un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes

0 → W′ → W →  W′′  → 0
∥  ↓  ↓
0 → W′ → E(f) → (B_{dR}^{+}/B_{dR}) ⊗ V → 0

et W s’identifie au B_{dR}^{+}-module E(f) ×_{(B_{dR}/B_{dR}^{+})⊗V} W′′ (qui est bien de longueur finie : si W′′ est tué par t^{m}, on a aussi W = E_{m}(f)×_{B_{m}(−m)⊗V} W′′).

Remarque : On verra au §5 que, réciproquement, toute suite exacte courte de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) est presque scindée.

4 – Structures analytiques

Le but de ce paragraphe est d’établir le théorème suivant :

TH^{}ÉOR^{}ÈME 4.1. — Soit E une représentation banachique extension d’une Creprésentation de dimension 1 par une ℚ_{p}-représentation V. Si η : E → C est un morphisme de représentations banachiques tel que η(E) ≠ η(V), alors η est surjective et son noyau est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de V.

Pour cela, nous allons dabord définir les espaces de Banach-Colmez : ce sont des espaces de Banach p-adiques munis d’uns structure analytique sur C d’un type particulier. On montre ensuite que E et C sont munis d’une structure naturelle d’espaces de Banach-Colmez et que η est analytique. Le résultat fondamental de Colmez [Co02] dans son travail sur ce qu’il appelle les Espaces de Banach de dimension finie permet alors de conclure. Pour décrire ces espaces, nous adoptons ici un point de vue un peu plus algébrique (ou géométrique ?) que celui de Colmez : Les espaces de Banach-Colmez sont associés à certains objets en groupes commutatifs dans la catégorie des variétés pro-analytiques rigides sur C . Nous reviendrons sur l’étude de ces espaces dans un travail ultérieur [FP]. Remarquons dès à présent qu’une bonne partie de la théorie esquissée ci-dessous peut se développer en remplaçant C par n’importe quel corps valué complet de caractéristique 0 à corps résiduel parfait de caractéristique p > 0. En particulier, comme le suggère l’analyticité de l’application η du théorème 4.1, la théorie des espaces de Banach-Colmez sur K se ramène essentiellement à celle des presque C-représentations de G_{K}.

4.1 – Banach analytiques

Dans ce texte, une C-algèbre est un anneau commutatif A muni d’un homomorphisme de C dans A. Une C-algèbre de Banach est une C-algèbre normée complète. Si A est une telle algèbre, on note Spm_{C}A le spectre maximal de A, i.e. l’ensemble des sections continues s : A → C du morphisme structural. Si f ∈ A et s ∈ Spm_{C}A, on pose f(s) = s(f). On munit C de la valeur absolue normalisée par |p| = p^{−1}. Une C-algèbre spectrale est une C-algèbre de Banach A telle que la norme est la norme spectrale, i .e. telle que, pour tout f ∈ A, ||f|| = sup_{s∈Spm_{C}A}|f(s)|. Par exemple, pour tout d ∈ ℕ, l’algèbre de Tate C{X_{1}, X_{2}, …, X_{d}} des séries formelles restreintes en les X_{i} (i.e. des séries ∑ a_{i_{1},i_{2},...,i_{d}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}, …, X_{d}^{i_{d}} telles que, pour tout ε > 0, |a_{i_{1},i_{2},...,i_{d}}| < ε pour presque tout d-uple i_{1}, i_{2}, …, i_{d}), est une algèbre spectrale avec la norme

||∑ a_{i_{1},i_{2},...,i_{d}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}, …, X_{d}^{i_{d}}|| = sup |a_{i_{1},i_{2},...,i_{d}}|

Pour toute C-algèbre spectrale A, si f ∈ A est non nul, il existe s ∈ Spm_{C}A tel que f(s) ≠ 0. Si f ∈ A et m ∈ ℕ, on a ||f^{m}|| = ||f||^{m} ; en particulier, A est réduite. Soient A une C-algèbre spectrale. On note O_{A} la boule-unité fermée de A, i.e. la sous-O_{C}-algèbre des f ∈ A tels que ||f|| ≤ 1. On a des identifications C ⊗_{O_{C}} O_{A} = O_{A}[1/p] = A et O_{A} est un réseau de A. Pour s, s′ ∈ Spm_{C}A, on pose d(s, s′) = sup_{f∈O_{A}} |f(s) − f(s′)|. Cela fait de Spm_{C}A un espace (ultra- )métrique complet. Avec comme morphismes les homomorphismes continus de C-algèbres, les Calgèbres spectrales forment une catégorie. La catégorie des variétés spectrales affines sur C est la catégorie opposée. Si A est une C-algèbre spectrale, on parle abusivement de la variété spectrale affine S = Spm_{C}A et A s’appelle l’algèbre affine de la variété. Suivant un usage établi, le symbole Spm_{C}A désigne donc, suivant le contexte, soit la variété spectrale affine, soit son spectre maximal, i.e. l’espace topologique Hom_{C−algèbres}^{cont}(A, C). On remarque que le foncteur d’oubli évident de la catégorie des variétés spectrales affines sur C dans celle des espaces topologiques est fidèle. Pour i = 1, 2, soit Spm_{C}A_{i} une variété spectrale sur C et S_{i} son spectre maximal. On dit qu’une application f : S_{1} → S_{2} est analytique s’il existe un homomorphisme continu de C-algèbres, nécessairement unique, f^{∗} : A_{2} → A_{1} tel que f(s) = s ∘ f^{∗}, pour tout s ∈ S_{1}. Ceci nous permet d’identifier les morphismes d’une variété spectrale affine dans une autre à l’ensemble des applications analytiques du spectre maximal de la première dans celui de la seconde. La catégorie des variétés spectrales affines sur C admet des limites projectives finies. Par exemple, soient S = Spm_{C}A, S_{1} = Spm_{C}A_{1} et S_{2} = Spm_{C}A_{2} trois variétés affines spectrales sur C et S_{1} → S et S_{2} → S des morphismes. Le produit fibré S_{1} ×_{S} S_{2} est muni d’une structure de variété spectrale affine sur C d’algèbre affine le séparé complété A_{1} ˆ⊗_{A}A_{2} de A_{1} ⊗_{A} A_{2} pour la norme

||f|| = sup_{(s_{1},s_{2})∈S_{1}×_{S}S_{2}}|f(s_{1}, s_{2})|

Un groupe spectral commutatif affine sur C est un objet en groupes commutatifs dans la catégorie des variétés spectrales affines sur C. C’est donc une variété spectrale affine Spm_{C}A sur C dont le spectre maximal S est équippé d’une loi de composition S × S → S, associative, commutative et unitaire, induite par un morphisme de C-algèbres spectrales, le co-produit m^{∗} : A → A ˆ⊗_{C}A. En particulier la loi de compostion est continue et S est un groupe topologique.

Soit S un banach. Une C-structure analytique^{(1)} sur S est la donnée d’un couple (Spm_{C}A, α) formé d’un groupe spectral commutatif affine Spm_{C}A sur C et d’un homomorphisme de groupes continu α du spectre maximal S de A dans S induisant un homémomorphisme de S sur un réseau de S. Dans la pratique, on utilise cet homomorphisme pour identifier S a un réseau de S. Un banach analytique sur C est un triplet (S, Spm_{C}A, α) formé d’un banach S et d’une C-structure analytique (Spm_{C}A, α) sur S. S’il n’y a pas de risque de confusion, on dit banach analytique au lieu de banach analytique sur C. Soient (S_{1}, Spm_{C}A_{1}, α_{1}) et (S_{2}, Spm_{C}A_{2}, α_{2}) des banach analytiques ; posons S_{1} = Spm_{C}A_{1} et S_{2} = Spm_{C}A_{2}. Un morphisme de banach analytiques η : (S_{1}, Spm_{C}A_{1}, α_{1}) → (S_{2}, Spm_{C}A_{2}, α_{2}) est une application ℚ_{p}-linéaire de S_{1} dans S_{2} qui est analytique i.e. qui a la vertu qu’il existe un entier m et un homomorphisme continu ν : A_{2} → A_{1} de C-algèbres tels que η(p^{m}S_{1}) ⊂ S_{2} et que la restriction de p^{m}η à S_{1} est l’application f ↦ f ∘ ν (remarquer que, pour m fixé, l’application ν est uniquement déterminée par η). Si cette propriété est vraie pour m elle est vraie pour tout entier supérieur. Les applications analytiques de (S_{1}, Spm_{C}A_{1}, α_{1}) dans (S_{2}, Spm_{C}A_{2}, α_{2}) forment un sous-ℚ_{p}- espace vectoriel de l’espace des applications ℚ_{p}-linéaires continues de S_{1} dans S_{2}.

(1) Dans [Fo02] et [FP] on donne une définition un peu plus générale afin de pouvoir faire des quotients par des ℤ_{p}-modules de type fini. Nous n’en avons pas besoin ici.

Les banach analytiques forment une catégorie additive et même ℚ_{p}-linéaire ; ce n’est pas une catégorie abélienne mais elle admet des limites projectives finies. Si S est un banach, on dit que deux C-structures analytiques (Spm_{C}A_{1}, α_{1}) et (Spm_{C}A_{2}, α_{2}) sur S sont équivalentes si l’identité sur S est analytique dans les deux sens (i.e. est un morphisme de banach analytiques de (S, Spm_{C}A_{1}, α_{1}) dans (S, Spm_{C}A_{2}, α_{2}), aussi bien que de (S, Spm_{C}A_{2}, α_{2}) dans (S, Spm_{C}A_{1}, α_{1})). L’identité sur S est alors un isomorphisme de ces deux banach analytiques que l’on utilise pour les identifier. Autrement dit, on peut aussi bien voir un banach analytique comme un banach muni d’une classe d’équivalence de C-structures analytiques. On parlera souvent abusivement du banach analytique S, la classe d’équivalence de structures anaytiques étant sous-entendue.

4.2 – Banach analytiques constants et vectoriels

Soit V un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Choisissons un réseau V de V ; soit F_{cont}(V, C) la C-algèbre des fonctions continues sur V à valeurs dans C. On la munit de la norme spectrale

||(f)|| = sup_{s∈V} |f(s)|

Alors V = Spm_{C}F_{cont}(V, C), munie de l’inclusion de V dans V, est une structure analytique sur V dont la classe d’équivalence ne dépend pas du choix du réseau ; on l’appelle la structure analytique constante et on note V^{c} le banach analytique ainsi associé à V. On obtient ainsi un foncteur V ↦ V^{c} de la catégorie des ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie dans celle des banach analytiques. Ce foncteur est pleinement fidèle, i.e. si V_{1} et V_{2} sont deux ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie, toute application ℚ_{p}-linéaire de V_{1} dans V_{2} non seulement est continue, mais elle est analytique. Les banach analytiques constants sont les ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie munis de la structure analytique constante. On appelle alors hauteur de V^{c} (ou de V) la dimension de V sur ℚ_{p}.

Soit W un O_{C}-module libre de rang fini. Notons W′ le O_{C}-module dual. Notons O_{C}{W′} la complétion p-adique de l’algèbre Sym_{O_{C}} W′ et posons C{W′} = C ⊗_{O_{C}} O_{C}{W′} = O_{C}{W′}[1/p]. L’algèbre topologique C{W′} est une C-algèbre spectrale ; le choix d’une base {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}} de W permet de l’identifier à l’algèbre des séries formelles restreintes C{X_{1}, X_{2}, …, X_{d}} (où {X_{1}, X_{2}, …, X_{d}} est la base de W′ duale de {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}}). Son spectre maximal s’identifie à W, ce qui nous permet de considérer W = Spm_{C}C{W′} comme un groupe spectral commutatif affine. Si maintenant W est un C-espace vectoriel de dimension finie, le choix d’un O_{C}-réseau de W, i.e. d’un sous-O_{C}-module libre W de W qui engendre W comme C-espace vectoriel, définit une structure analytique Spm_{C}C{W′} sur W. On voit que la classe d’équivalence de cette structure est indépendante du choix de W, ce qui nous permet de considérer W comme le banach sous-jacent à un banach analytique que l’on note W^{an}. Par exemple, pour W = C, on écrit aussi 𝔾_{a}^{an} = C^{an} et on l’appelle le groupe additif (sous-entendu dans la catégorie des banach analytiques sur C). L’élément 1 est une base du O_{C}-réseau O_{C} de C et O_{C} s’identifie à Spm_{C}C{X}, avec m^{∗}X = X ˆ⊗1 ⊕ 1 ˆ⊗X. L’application qui à W associe W^{an} est, de manière évidente, un foncteur de la catégorie des C-espaces vectoriels de dimension finie dans celle des banach analytiques.

PROPOSITION 4.2. — Le foncteur W ↦ W^{an} de la catégorie des C-espaces vectoriels de dimension finie dans celle des banach analytiques est pleinement fidèle.

Autrement dit, si W_{1} et W_{2} sont deux C-espaces vectoriels de dimension finie, toute application ℚ_{p}-linéaire de W_{1} dans W_{2} qui est analytique est C-linéaire. Ce résultat est à rapprocher du théorème de pleine fidélité pour les C-repré-sentations (cf. th.3.11).

Preuve : Si W est un C-espace vectoriel de dimension d, le choix d’une base de W définit un isomorphisme de W^{an} sur (𝔾_{a}^{an})^{d}. Ceci nous ramène au cas où W_{1} = W_{2} = C. Si η est un endomorphisme analytique de C, il existe un entier m tel que p^{m}η provient d’un endomorphisme continu ν de la C-algèbre C{X} qui commute au coproduit. Se donner ν revient à se donner ν(X) qui doit être un élément f ∈ O_{C}{X} vérifiant m^{∗}(f) = f ˆ⊗1 + 1 ˆ⊗f. Mais ceci implique que f appartient au C-espace vectoriel engendré par X, comme on le voit par exemple en utilisant l’inclusion de O_{C}{X} ⊂ C{X} dans C[[X]], celle de C{X ˆ⊗1, 1 ˆ⊗X} dans C[[X ˆ⊗1, 1 ˆ⊗X]] et le fait que le résultat correspondant est vrai pour le groupe formel additif sur un corps de caractéristique 0. On a donc ν(X) = λX pour un λ ∈ O_{C} convenable. Mais alors l’endomorphisme de C induit par ν est la multiplication par λ et η est la multiplication par p^{−m}λ qui est bien C-linéaire.

On a donc une équivalence entre la catégorie des C-espaces vectoriels de dimension finie et celle des banach analytiques vectoriels, i.e. la sous-catégorie pleine de la catégorie des banach analytiques qui sont isomorphes à un W^{an} pour un C-espace vectoriel W de dimension finie convenable.

4.3 – Espaces de Banach-Colmez

Les Espaces de Banach-Colmez présentables sont les banach analytiques qui peuvent s’écrire comme une extension d’un banach analytique vectoriel par un banach analytique constant. Dans la définition qui suit et qui suffit pour ce que nous faisons ici, il semble que l’on ne considère que des extensions d’un type particulier. En fait ([Co02], [FP]) toutes les extensions d’un banach analytique vectoriel par un banach analytique constant sont de ce type là.

Rappelons (§3.4) que le groupe multiplicatif U_{R} = 1 + 𝔪_{R} a une structure naturelle de banach. On a une structure analytique naturelle sur U_{R} : Soit π ∈ R tel que (π^{(0)}) = −p ; alors U_{R} = 1 + πR est un réseau de U_{R}. Pour tout n ∈ ℕ, soit U_{n} = 1 + π^{(n)}O_{C} le sous-groupe du groupe multiplicatif O_{C}^{∗} de O_{C} formé des a tels que |a−1| ≤ p^{−n}. L’application de O_{C} dans U_{n} qui envoie y sur 1+π^{(n)}y est un homéomorphisme et on l’utilise pour munir U_{n} d’une structure de groupe spectral commutatif affine ; autrement dit on écrit U_{\} = Spm_{C}C{Y_{n}} et la loi de groupe est donnée par m^{∗}Y_{n} = Y_{n} ˆ⊗1+1 ˆ⊗Y_{n}+π^{(n)}Y_{n} ˆ⊗Y_{n}. On envoie U_{n+1} sur U_{n} via le morphisme analytique défini par l’homomorphisme continu de C-algèbres C{Y_{n}} → C{Y_{n+1}} qui envoie 1 + π^{(n)}Y_{n} sur (1 + π^{(n+1)}Y_{n+1})^{p}. Alors U_{R} s’identifie à la limite projective des U_{n} et on le munit de la structure de groupe spectral commutatif affine induite, i.e. on pose U_{R} = Spm_{C}A_{U} où A_{U} est le complété pour la norme spectrale de \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} C\{Y_{n}\}. D’où une C-structure analytique sur U_{R}. On note U^{an} le banach analytique (U, Spm_{C}A_{U}, α_{U}) où α_{U} : U_{R} → U est l’application u ↦ log[u]. La suite exacte

0 → ℚ_{p}(1) → U → C → 0

induit une suite exacte de banach analytiques

(1)  0 → ℚ_{p}(1)^{c} → U^{an} → C^{an} → 0

En effet, l’application de U sur C qui envoie log[u] sur log(u^{(0)}) est analytique (elle est induite par l’homomorphisme continu de C-algèbres C{X} → A_{U} qui envoie X sur log(1 − pY_{0})/p). L’inclusion de ℚ_{p}(1) dans U est induite par l’unique homomorphisme continu de la C-algèbre A_{U} dans celle des fonctions continues de ℤ_{p}(1) dans C qui envoie 1+π^{(n)}Y_{n} sur la fonction ε = (ε^{(m)})_{m∈ℕ} ↦ ε^{(n)}.

Soit S le banach sous-jacent à un banach analytique S^{an} = (S, Spm_{C}A, α) et soit V un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Le choix d’une base de V définit un isomorphisme de S ⊗_{ℚ_{p}} V sur S^{d} qui hérite donc de la structure analytique produit. La structure analytique ainsi définie sur S ⊗ V ne dépend pas du choix de la base et on note S^{an} ⊗ V le banach analytique ainsi défini. Par exemple, pour tout ℚ_{p}-espace vectoriel V de dimension fini, V^{c} s’identifie à ℚ_{p}^{c} ⊗ V aussi bien qu’à ℚ_{p}(1)^{c} ⊗ V (−1) et V_{C}(−1)^{an} à C^{an} ⊗ V (−1). En tensorisant la suite exacte (1) avec V (−1), on obtient une suite exacte de banach analytiques

0 → V^{c} → U^{an} ⊗ V (−1) → V_{C}(−1)^{an} → 0

Pour tout triplet (V, W, f) formé d’un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension fini V, d’un C-espace vectoriel de dimension finie W et d’une application C-linéaire f : W → V_{C}(−1), on pose E_{V,W,f} = (U ⊗_{ℚ_{p}} V) ×_{V_{C}(−1)} W ; c’est le banach sous-jacent au banach analytique E_{V,W,f}^{an} défini comme le produit fibré de U^{an}⊗ V (−1) avec W^{an} au-dessus de V_{C}(−1)^{an}. On a donc un diagramme commutatif

0 → V^{c} →  E_{V,W,f}^{an}  →  W^{an}  → 0
∥  ↓  ↓
0 → V^{c} → U^{an} ⊗ V (−1) → V_{C}(−1)^{an} → 0

de banach analytiques dont les lignes sont exactes. Décrivons un peu plus explicitement la structure analytique : Rappelons que t est un générateur du ℤ_{p}-module ℤ_{p}(1). Choisissons une base {v_{1}, v_{2}, …, v_{h}} de V sur ℚ_{p} ; les v′_{i} = v_{i} ⊗ t^{−1} forment une base de V (−1) sur ℚ_{p}. Choisissons une base {e_{1}, e_{2}, …, e_{d}} de W sur C, de manière que si f(e_{j}) = ∑_{i=1}^{h} c_{ij}v′_{i}, alors les c_{ij} ∈ O_{C}. Notons V le sous-ℤ_{p}-module de V engendré par les v_{i} et W le sous-O_{C}-module de W engendré par les e_{j}. Soit U = α_{U}(U_{R}). Soit A_{U⊗V(−∞)}^{0} le quotient de l’anneau des polynômes à coefficients dans C en les variables Y_{i,n}, pour 1 ≤ i ≤ h et n ∈ ℕ, par l’idéal engendré par les 1 + π^{(n)}Y_{i,n} − (1 + π^{(n+1)}Y_{i,n+1})^{p}. On l’identifie à une sousalgèbre de la C-algèbre des fonctions sur U ⊗ V(−∞) en identifiant Y_{r,n} à

la fonction qui envoie ∑ u_{i} ⊗ v′_{i} sur \frac{u_{r}^{(n)}−1}{π^{(n)}}. On note A_{U⊗V(−∞)} le complété de cette algèbre pour la norme ||f|| = sup_{s∈U⊗V(−∞)}|f(s)|. C’est une algèbre spectrale dont le spectre maximal s’identifie au réseau U ⊗V(−1) de U ⊗V (−1) et définit la structure analytique sur ce banach. Par ailleurs

W^{an} = (W, Spm_{C}C{Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{d}}, α_{W}) et
V_{C}(−1)^{an} = (V_{C}(−1), Spm_{C}C{X_{1}, X_{2}, …, X_{h}}, α_{V})

où l’algèbre de séries formelles restreintes C{Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{d}} (resp. C{X_{1}, X_{2}, …, X_{h}}) s’identifie à l’unique algèbre spectrale de fonctions continues sur W (resp. V_{C}(−1)) telle que Z_{s}(∑_{j=1}^{s} λ_{j}e_{j}) = λ_{s} (resp. X_{r}(∑_{i=1}^{h} μ_{i} ⊗ v′_{i}) = μ_{r}) et où α_{W} et α_{V} sont les applications évidentes. En outre f est induit par l’unique homomorphisme continu de C-algèbres

C{X_{1}, X_{2}, …, X_{h}} → C{Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{d}}

qui envoie X_{i} sur ∑_{j=1}^{d} c_{ij}Z_{j} tandis que la projection de U^{an} ⊗ V (−1) sur V_{C}(−1)^{an} est induite par l’unique homomorphisme continu de C-algèbres C{X_{1}, X_{2}, …, X_{h}} → F_{cont}(V, C) qui envoie X_{r} sur log(1 − pY_{r,0})/p. Enfin E_{V,W,f}^{an} = (E_{V,W,f}, Spm_{C}A_{V,W,f}, α) où A_{V,W,f} est le séparé complété du produit tensoriel de A_{U⊗V(−∞)} et de C{Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{d}} au-dessus de C{X_{1}, X_{2}, …, X_{h}} pour la norme évidente, son spectre maximal est U ⊗ V(−1)) ×_{O_{C}⊗V(−1)} W et α est l’application évidente. Remarquons que A_{V,W,f} est aussi le séparé complété, pour la norme évidente, de la C-algèbre engendrée par des éléments (Y_{i,n})_{1≤i≤h,n∈ℕ} et des éléments Z_{1}, Z_{2}, …, Z_{d} avec les relations 1 + π^{(n)}Y_{i,n} = (1 + π^{(n+1)}Y_{i,n+1})^{p} et log(1 − pY_{i,0})/p = ∑_{j=1}^{d} c_{ij}Z_{j}.

Quant à la loi de groupe elle est caractérisée par m^{∗}Y_{n,i} = Y_{n,i} ˆ⊗Y_{n,i} et m^{∗}Z_{j} = Z_{j} ˆ⊗1 + 1 ˆ⊗Z_{j}.

Une présentation d’un banach analytique E^{an} consiste en la donnée d’un quadruplet (W, V, f, ι) formé d’un C-espace vectoriel de dimension finie W, d’un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie V, d’une application C-linéaire f : W → V_{C}(−1) et d’un isomorphisme de banach analytiques ι : E_{W,V,f}^{an} → E^{an}. On appelle dimension de la présentation la dimension du C-espace vectoriel W et hauteur de la présentation la dimension du ℚ_{p}-espace vectoriel V. Enfin, on appelle espace de Banach-Colmez présentable (sur C) tout banach analytique qui admet une présentation. Les principaux résultats du travail de Colmez sur les Espaces de Banach de dimension finie [Co02] peuvent se réinterpréter (cf. [FP], voir aussi[Fo02]) en disant que la sous-catégorie pleine BC_{C}^{+} de la catégorie des banach analytiques dont les objets sont les espaces de Banach-Colmez présentables s’identifie de façon naturelle à une sous-catégorie pleine d’une catégorie abélienne, la catégorie BC_{C} des espaces de Banach-Colmez (sur C), tout objet de BC_{C} étant isomorphe au quotient d’un objet de BC_{C}^{+} par un autre. Il existe en outre des fonctions additives d : Ob BC_{C} → ℕ et h : Ob BC_{C} → ℤ uniquement déterminées par le fait que si E^{an} est un banach analytique muni d’une présentation, alors d(E^{an}) (resp. h(E^{an})) est la dimension (resp. la hauteur) de la présentation. Nous verrons aussi que toute presque C-représentation de G_{K} est munie de façon naturelle d’une structure d’espace de Banach-Colmez. Pour le moment, nous n’avons pas besoin de ces résultats. Mais nous allons utiliser le résultat crucial de [Co02] (prop.5.19 et cor.5.11, voir aussi [FP]) qui peut s’énoncer ainsi :

PROPOSITION 4.3 (lemme de Colmez). — Soit E^{an} un banach analytique admettant une présentation (W, V, ρ, ι) de dimension 1. Soit η : E → C un morphisme analytique tel que η(E) ≠ f(ι(V)). Alors η est surjective et son noyau est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie égale à la hauteur de la présentation.

Remarque : C’est essentiellement la version forte du lemme fondamental de [CF00] ; le lemme fondamental ([CF00],§2) énoncé sous une autre forme, disait seulement que l’application η est surjective.

4.4 – Une application aux presque-C-représentations

Soit E une représentation banachique de G_{K} extension d’une C-représenta-tion W par une représentation p-adique V. D’après la proposition 3.12, on dispose d’une application C-linéaire G_{K}-équivariante f : W → V_{C}(−1) et d’un diagramme commutatif

0 → V →  E  →  W  → 0
∥  ↓  ↓ f
0 → V → U(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V → V_{C}(−1) → 0

Ceci nous permet d’identifier E au banach sous-jacent à E_{W,V,f}^{an}. Comme C est le banach sous-jacent à E_{C,0,0}^{an}, cela donne un sens à l’énoncé suivant :

PROPOSITION 4.4. — Soient V un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie de C stable par G_{K} et E une représentation banachique extension d’une Creprésentation W de dimension 1 par V. Si η : E → C est une application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante induisant l’identité sur V, alors η est analytique.

Preuve : Reprenons les conventions et notations du §4.3 avec d = 1. Posons e = e_{1}, Z = Z_{1}, c_{i} = c_{i1} et E = (U ⊗V(−1))×_{O_{C}⊗V(−1)}W. Quitte à remplacer e par pe, on peut supposer que c_{i} ∈ pO_{C} pour tout i. Posons encore A = A_{V,W,f} et notons O_{A} la boule unité de A. Soit R^{A} l’ensemble des suites x = (x^{(n)})_{n∈ℕ} d’éléments de O_{A} vérifiant (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)} pour tout n. On en fait un anneau commutatif unitaire en posant

(x + y)^{(n)} = lim_{m↦+∞}(x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^{m}} et (xy)^{(n)} = x^{(n)}y^{(n)}

C’est un anneau de caractéristique p. Il contient l’anneau R formé des x tels que x^{(n)} ∈ O_{C} pour tout n comme sous-anneau. Il est parfait (i.e. le Frobenius x ↦ x^{p} est bijectif). Soit W (R^{A}) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans R^{A}. Comme R^{A} est parfait, c’est un anneau séparé et complet pour la topologie p-adique, sans p-torsion. Pour tout x ∈ R^{A}, notons [x] = (x, 0, 0, …, 0, …) ∈ W (R^{A}) son représentant de Teichmüller. Pour tout (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}, …) ∈ W (R^{A}), on a (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}, …) = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}[x_{n}^{p^{−n}}]. L’application θ : W (R^{A}) → O_{A} qui envoie (x_{0}, x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, …) sur ∑_{n=0}^{∞} p^{n}x_{n}^{(n)} est un homomorphisme d’anneaux.

LEMME 4.5. — Soit π = (π^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ R un élément vérifiant π^{(0)} = −p. Pour tout x = (x^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ R^{A}, posons ||x|| = ||x^{(0)}||. Pour que x appartienne à l’idéal engendré par π, il faut et il suffit que ||x|| ≤ |p|.

Preuve : Si x = πy avec y ∈ R^{A}, on a ||x|| = ||x^{(0)}|| = ||−py^{(0)}|| = |p|||y^{(0)}|| ≤ |p| et la condition est nécessaire. Réciproquement, si ||x|| ≤ |p|, cela veut dire que ||x^{(0}|| ≤ |p|, donc que, pour tout n ∈ ℕ, ||x^{(n)}|| ≤ (|p|)^{p^{−n}} = |π^{(n)}| puisque ||x^{(0)}|| = (||x^{(n)}||)^{p^{n}}. L’élément y^{(n)} = x^{(n)}/π^{(n)} de A vérifie donc ||y||^{(n)} ≤ 1. Donc y = (y^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ O_{A} et x = πy.

LEMME 4.6. — Soient π comme ci-dessus et ξ = [π] + p. Dans W (R^{A}), la multiplication par ξ est injective et le noyau de θ est l’idéal principal engendré par ξ.

Preuve : Remarquons d’abord que la multiplication par π est injective dans R^{A}. En effet, si x = (x^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ R^{A} est non nul, x^{(0)} ≠ 0. On a πx = (π^{(n)}x^{(n)})_{n∈ℕ} et π^{(0)}x^{(0)} = −px^{(0)} est non nul, puisque p est inversible dans C et A est une C-algèbre.

Soit maintenant x ∈ W (R^{A}) non nul. Si r est le plus grand entier tel que p^{r} divise x, on peut écrire x = p^{r}y avec y = (y_{0}, y_{1}, …, y_{n}, …) ∈ W (R^{A}) et y_{0} ≠ 0. Alors ξy = (πy_{0}, …,) est non nul puisque πy_{0} ≠ 0 et donc aussi ξx = p^{r}ξy, puisque W (R^{A}) est sans p-torsion. On a θ(ξ) = π^{(0)} + p = 0 et l’idéal engendré par ξ est bien contenu dans le noyau de θ. Pour prouver la réciproque, comme W (R^{A}) est séparé et complet pour la topologie p-adique, il suffit de vérifier que Ker θ ⊂ (ξ) + pKer θ. Soit x = (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}, …) ∈ Ker θ. On a x_{0}^{(0)} + p(∑_{n=1}^{∞} p^{n−1}x_{n}^{(n)}) = 0 donc x_{0}^{(0)} ∈ pO_{A} et ||x|| = ||x^{(0)}|| ≤ |p|. D’après le lemme précédent, il existe y_{0} ∈ R^{A} tel que x_{0} = πy_{0}. Si z = (z_{0}, z_{1}, …, z_{n}, …) = x − ξ[y_{0}], on a z_{0} = 0 donc z = pz′ avec z′ ∈ W (R^{A}). Mais θ(pz′) = 0, donc aussi θ(z′) = 0 et on a bien x ∈ (ξ) + pKer θ.

Notons O_{A^{θ}} le sous-anneau de O_{A} image de W (R^{A}) par θ et O_{B_{2}^{A}} le quotient de W (R^{A}) par l’idéal (Ker θ)^{2} qui est aussi l’idéal principal engendré par ξ^{2}. L’anneau O_{B_{2}^{A}} est donc une extension de O_{A^{θ}} par un idéal de carré nul qui est le O_{A^{θ}}-module libre de base l’image ξ̄ de ξ. Pour 1 ≤ i ≤ h, soit U_{i}^{(n)} = 1 + π^{(n)}Y_{i,n}. Alors U_{i} = (U_{i}^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ R^{A}. On a U_{i}^{(0)} − 1 = exp(c_{i}Z) − 1 qui, comme c_{i}Z, appartient à pO_{A}. On a (U_{i} − 1)^{(0)} ≡ U_{i}^{(0)} − 1 mod pO_{A} et ||U_{i} − 1|| ≤ |p|. D’après le lemme 4.5, il existe V_{i} ∈ R^{A} tel que U_{i} − 1 = πV_{i}. Soit [U_{i}] = (U_{i}, 0, 0, …, 0, …) le représentant de Teichmüller de U_{i} dans W (R^{A}). Il existe α_{i} ∈ W (R^{A}) tel que [U_{i}] − 1 = [U_{i} − 1] + pα_{i}. On peut donc écrire [U_{i}]−1 = [πV_{i}]+pα_{i} = [π][V_{i}]+pα_{i} = ξ[V_{i}]+p(β_{i} −V_{i}). L’anneau O_{B_{2}^{A}} est séparé et complet pour la topologie p-adique et l’idéal engendré par ξ̄ est de carré nul ; on en déduit une structure d’idéal à puissances divisées sur l’idéal engendré par ξ̄ et p. Par conséquent, si l’on note Ũ_{i} l’image de [U_{i}] dans O_{B_{2}^{A}}, la série log Ũ_{i} = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} \frac{(Ũ_{i}−1)^{n}}{n} = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1}(n−1)!γ_{n}(Ũ_{i} −1) converge dans cet anneau. Celui-ci est sans p-torsion et O_{B_{2}^{A}} s’identifie à un sous-anneau de B_{2}^{A} = O_{B_{2}^{A}}[1/p]. Ce dernier est une extension de l’anneau A^{θ} = O_{A^{θ}}[1/p] - que l’on peut voir comme un sous-anneau de A - par le A^{θ}-module libre de rang 1 de base ξ̄. Notons O_{B_{2}} le quotient de l’anneau W (R) par l’idéal engendré par ξ^{2}. On sait ([Fo88a], §1.5) que B_{2} s’identifie à O_{B_{2}}[1/p] et que l’image t̄ de t dans B_{2} est un élément non nul de O_{B_{2}} ξ̄ = O_{C} ξ̄ ; il existe donc c_{0} ∈ O_{C} non nul tel que t̄ = c_{0}ξ̄. On voit donc que B_{2}^{A} est de façon naturelle une B_{2}-algèbre, que ξ et t̄ engendre le même idéal dans B_{2}^{A} et que l’on a un diagramme commutatif

0 → C(1) → B_{2} → C → 0
∩ ↓ ∩
0 → A^{θ}(1) → B_{2}^{A} → A^{θ} → 0

dont les lignes sont exactes. En particulier l’application B_{2} → B_{2}^{A} est injective et B_{2}^{A} est une B_{2}-algèbre fidèlement plate.

Pour tout B_{2}-module W, on pose W^{A} = B_{2}^{A} ⊗_{B_{2}} W. Si W est annulé par t, c’est un C-espace vectoriel et W^{A} = A^{θ} ⊗_{C} W. Remarquons que, si s ∈ E, alors s induit un homomorphisme de O_{C}-algèbres de O_{A} dans O_{C}, donc un morphisme de R-algèbres de R^{A} dans R, un morphisme de W (R)-algèbres de W (R^{A}) dans W (R), donc un morphisme de B_{2}-algèbres s_{B_{2}} : B_{2}^{A} → B_{2}. Pour tout B_{2}-module W, on note encore s_{B_{2}} : W^{A} → W l’application définie par s_{B_{2}}(b ⊗ w) = s_{B_{2}}(b)w si b ∈ B_{2}^{A} et w ∈ W.

LEMME 4.7. — Soient W un B_{2}-module de type fini et W_{1} un sous-B_{2}-module de W. Soit α ∈ W^{A}. Pour que α ∈ W_{1}^{A}, il faut et il suffit que s_{B_{2}}(α) ∈ W_{1} pour tout s ∈ E.

Preuve : On peut trouver m_{1} ≤ m_{2} ≤ m et n_{1} ≤ n dans ℕ et des éléments (a_{i})_{1≤i≤m} et (b_{j})_{1≤j≤n} dans W tels que, avec des notations évidentes,

W = (⨁_{i=1}^{m} B_{2}a_{i}) ⊕ (⨁_{j=1}^{n} Cb_{j}) et W_{1} = (⨁_{i=1}^{m_{1}} B_{2}a_{i}) ⊕ ( ⨁_{i=m_{1}+1}^{m_{2}} Ct̄a_{i}) ⊕ (⨁_{j=1}^{n_{1}} Cb_{j})

On peut alors écrire α = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ⊗ a_{i} + ∑_{j=1}^{n} μ_{j} ⊗ b_{j}, avec les λ_{i} ∈ B_{2}^{A} et les μ_{j} ∈ A^{θ} uniquement déterminés. Pour tout s ∈ E, on a s_{B_{2}}(α) = ∑ s_{B_{2}}(λ_{i})a_{i}+ ∑ s(μ_{j})b_{j} ; c’est un élément de W_{1} si et seulment si θ(s_{B_{2}}(λ_{i})) = 0 pour m_{1} < i ≤ m_{2}, s_{B_{2}}(λ_{i}) = 0 pour m_{2} < i ≤ m et s(μ_{j}) = 0 pour n_{1} < j ≤ n. L’assertion résulte alors de ce que, comme A est spectrale, pour tout μ ∈ A non nul, il existe s ∈ E tel que s(μ) ≠ 0, ce qui implique aussi que, si λ ∈ B_{2}^{A} vérifie θ(λ) ≠ 0, alors il existe s ∈ E tel que θ(s_{B_{2}}(λ)) ≠ 0 et que, si λ ∈ B_{2}^{A} est non nul, alors il existe s ∈ E tel que s_{B_{2}}(λ) ≠ 0.

Fin de la preuve de la proposition 4.4 : On a E ⊂ U(−1)⊗_{ℚ_{p}} V = U ⊗_{ℚ_{p}} V (−1). L’inclusion U ⊂ B_{2} permet d’identifier E à un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel du B_{2}- module W_{1} = B_{2} ⊗_{ℚ_{p}} V (−1) et on a une suite exacte

0 → V_{C} → W_{1} → V_{C}(−1) → 0

Soit V_{C}^{0} le noyau de la projection ϖ : V_{C} → C induite par l’inclusion de V dans C (on a ϖ(∑ λ_{i} ⊗ v_{i}) = ∑ λ_{i}v_{i}). C’est un sous-C-espace vectoriel de V_{C} et le quotient W_{2} = W_{1}/V_{C}^{0} est un B_{2}-module extension de V_{C}(−1) par C. L’application composée E → U ⊗ V (−1) → W_{1} → W_{2} est injective et on a un diagramme commutatif

0 → V → E →  W  → 0
∩  ↓ φ  ↓ f
0 → C → W_{1} → V_{C}(−1) → 0

dont les lignes sont exactes. Soit E_{C} = C ⊕_{V} E la somme amalgamée de C et de E au-dessous de V. L’application φ : E → W_{1} s’étend de manière unique en une application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante φ_{C} : E_{C} → W_{1} qui est l’identité sur C. L’image W_{2} de φ_{C} est l’image inverse dans W_{1} du sous-C-espace vectoriel f(W) de V_{C}(−1) et est donc un sous-B_{2}-module de W_{1}. En outre, φ_{C} est un homéomorphisme de E_{C} sur W_{2}. L’application η : E → C s’étend de manière unique en une application ℚ_{p}- linéaire continue G_{K}-équivariante de E_{C} sur C qui est l’identité sur C. Par transport de structure, on en déduit un morphisme η′_{C} : W_{2} → C de B(G_{K}) qui est l’identité sur C. D’après le théorème de pleine fidélité (th.3.11), cette application est B_{2}-linéaire. Autrement dit, W_{2} est en fait un C-espace vectoriel de dimension 2 somme directe de C et du noyau N de η′_{C}. On a donc une décomposition en somme directe W_{2}^{A} = C^{A} ⊕ N^{A} = A^{θ} ⊕ N^{A}. Considérons l’élément α_{1} = ∑_{i=1}^{h} log Ũ_{i} ⊗ v′_{i} de W_{1}^{A} et notons α_{2} son image dans W_{2}^{A}. Pour tout s ∈ E, s_{B_{2}}(α_{1}) appartient à l’image de E dans W_{1}, donc s_{B_{2}}(α_{2}) ∈ W_{2}. D’après le lemme 4.7, ceci implique que α_{2} ∈ W_{2}^{A} et on peut écrire α_{2} = β_{2} + γ_{2}, avec β_{2} ∈ A^{θ} ⊂ A et γ_{2} ∈ N^{A}. Quitte à remplacer η par p^{m}η, et donc aussi f par p^{m}f, avec m entier suffisamment grand, on peut supposer que β_{2} ∈ O_{A}. On voit alors que η(E) ⊂ O_{C} et que, pour tout s ∈ E, on a η(s) = s ∘ ν, où ν : C{X} → A est l’unique homomorphisme continu de C-algèbres qui envoie X sur β_{2}.

Montrons alors le théorème 4.1 : Soit V′ le noyau de la restriction de η à V. Quitte à remplacer E par E/V′, on peut supposer V′ = 0 et utiliser la restriction de η à V pour identifier V à un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de C. D’après la proposition précédente, η est analytique. Il suffit alors d’appliquer le lemme de Colmez (prop.4.3).

COROLLAIRE. — Soit V un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, stable par G_{K}, de C. Soit W une C-représentation de dimension 1. Si g : W → C/V est un morphisme non nul de représentations banachiques, alors g est surjective et son noyau est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de V.

En effet, si E = C ×_{C/V} W, on a un diagramme commutatif

0 → V → E → W → 0
∥ ↓ η ↓ g
0 → V → C → C/V → 0

dont les lignes sont exactes. Comme g ≠ 0, η(V) ≠ η(E) ; mais alors η est surjectif donc aussi g et le noyau de g s’identifie au noyau de η et sa dimension sur ℚ_{p} est bien égale à celle de V.

5 – La catégorie des presque C-représentations

5.1 – Le théorème de structure

On reprend les notations et conventions des §1.2 et 1.4.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 5.1. — La catégorie C(G_{K}) est une sous-catégorie stricte de B(G_{K}). En outre, il existe deux fonctions additives sur les objets de C(G_{K})

d : Ob C(G_{K}) → ℕ et h : Ob C(G_{K}) → ℤ

uniquement déterminées par d(C) = 1, h(C) = 0 et d(V) = 0, h(V) = dim_{ℚ_{p}} V pour toute représentation p-adique V.

Remarque : Nous appellerons d(X) la dimension de X et h(X) sa hauteur. Il est parfois commode d’utiliser la fonction additive dh : Ob C(G_{K}) → ℕ × ℤ définie par dh(X) = (d(X), h(X)).

Preuve : Appelons présentation d’un objet X de B(G_{K}) un quadruplet formé d’une C-représentation triviale W, de sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie V de X et V′ de W, stables par G_{K}, et d’un isomorphisme α : X/V → W/V′ (dans B(G_{K})). Un objet de B(G_{K}) admet donc une présentation si et seulement s’il est dans C(G_{K}). Appelons objet présenté un quintuplet \underline{X} = (X, W, V, V′, α), où X est un objet de C(G_{K}) et (W, V, V′, α) une présentation de X. On écrit aussi \underline{X} = (α : X/V ≃ W/V′). On pose dh(\underline{X}) = (dim_{C} W, dim_{ℚ_{p}} V −dim_{ℚ_{p}} V′) ; on appelle aussi X l’objet sous-jacent à \underline{X}. Un morphisme d’objets présentés est un morphisme des objets sous-jacents. On dit qu’un morphisme f : \underline{X} → \underline{Y} est admissible s’il est strict et s’il existe des présentations \underline{N} du noyau N, \underline{J} du conoyau J et \underline{I} de l’image I de f telles que dh(\underline{X}) = dh(\underline{N}) + dh(\underline{I}) et dh(\underline{Y}) = dh(\underline{I}) + d(h\underline{J}). Le théorème équivaut au résultat suivant :

PROPOSITION 5.2. — Tout morphisme d’objets présentés est admissible.

Preuve : Si \underline{X} = (X, W, V, V′, α) est un objet présenté et si U est une sous-représentation de X de dimension finie, on note \underline{X}/U l’objet présenté (X/U, W, Ṽ , Ṽ′, α̃), où Ṽ = U + V/U, Ṽ′ = {w ∈ W | w mod V′ ∈ α(U + V)} et α̃ est l’application déduite de α par passage au quotient.

LEMME 5.3. — Soient f : \underline{X} → \underline{Y} un morphisme d’objets présentés, U une sous-représentation de dimension finie de X, U′ une sous-représentation de dimension finie de Y contenant f(U) et f̃: \underline{X}/U → \underline{Y} /U′ le morphisme d’objets présentés déduit de f par passage aux quotients. Alors f est admissible si et seulement si f̃ est admissible.

Preuve : Exercice.

LEMME 5.4. — Soient m, h, d ∈ ℕ. Soient E une représentation banachique extension d’une C-représentation triviale X de dimension m par une représentation p-adique V de dimension h, W une C-représentation triviale de dimension d et f : E → W un morphisme de C(G_{K}). Alors f est strict et il existe des présentations \underline{N} du noyau N, \underline{J} du conoyau J et \underline{I} de l’image I de f telles que dh(\underline{N}) + dh(\underline{I}) = (m, h) et dh(\underline{I}) + dh(\underline{J}) = (d, 0).

Montrons d’abord comment la proposition résulte des lemmes 5.3 et 5.4 : Soit f : (X_{1}, W_{1}, V_{1}, V′_{1}, α_{1}) → (X_{2}, W_{2}, V_{2}, V′_{2}, α_{2}) un morphisme d’objets présentés. Pour i ∈ \{1, 2\}, soit \underline{W}_{i} = (W_{i}, W_{i}, 0, 0, id_{W_{i}}). Posons E_{1} = W_{1} ×_{X_{2}/f(V_{1})} X_{2}. On a une suite exacte

0 → f(V_{1}) → E_{1} → W_{1} → 0

et on pose \underline{E}_{1} = (E_{1}, W_{1}, f(V_{1}), 0, proj.can.). Posons F_{1} = E_{1} ×_{X_{2}/V_{2}} W_{2}. On a des suites exactes

0 → V′_{2} → F_{1} → E_{1} → 0

et, si l’on note V′ l’image inverse de f(V_{1}) dans F_{1},

0 → V′ → F_{1} → W_{1} → 0

et on pose \underline{F}_{1} = (F_{1}, W_{1}, V′, 0, proj.can.). On a alors un diagramme commutatif

\underline{X}_{1} → \underline{X}_{1}/V_{1} ←  \underline{W}_{1}  ← \underline{E}_{1} = \underline{E}_{1} ← \underline{F}_{1}
↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓
\underline{X}_{2} → \underline{X}_{2}/f(V_{1}) = \underline{X}_{2}/f(V_{1}) ← \underline{X}_{2} → \underline{X}_{2}/V_{2} ← \underline{W}_{2}

La flèche verticale de droite est admissible d’après le lemme 5.4. En appliquant cinq fois de suite le lemme 5.3, on en déduit que toutes les flèches verticales le sont.

Prouvons alors le lemme 5.4 : On va procéder par induction sur d, le cas d = 0 étant trivial. Supposons donc d ≥ 1. Considérons une suite finie

W = F^{0}W ⊃ F^{1}W ⊃ … ⊃ F^{i}W ⊃ F^{i+1}W ⊃ … ⊃ F^{r}W

de sous-C-espaces vectoriels de W, stables par G_{K}, avec F^{i}W de codimension i. Pour chaque entier i, notons F^{i}E l’image inverse par f de F^{i}W, f_{i} : F^{i}E → F^{i}W la restriction de f, et, lorsque i < r, gr_{i}W = F^{i}W/F^{i+1}W et \overline{f}_{i} : F^{i}E → gr^{i}W le composé de f_{i} avec la projection de F^{i}W sur gr^{i}W. On se propose de construire une telle suite, ainsi que de se donner pour chaque i, une suite exacte de C(G_{K})

0 → V_{i} → F^{i}E → X_{i} → 0

où V_{i} est une représentation p-adique de dimension h et X_{i} une C-représen-tation triviale de dimension m − i (ceci implique a posteriori que l’on aura r ≤ m). On procède inductivement :

a) On doit avoir F^{0}W = W et F^{0}E = E ; on prend V_{0} = V et X_{0} = X.

b) Soit i ≥ 0 et supposons F^{i}W, F^{i}E, V_{i} et X_{i} construits :

– si f_{i}(F^{i}E) est de dimension finie sur ℚ_{p}, on prend r = i (remarquer que c’est nécessairement le cas si i = m ou si i = d) ;

– sinon, soient e_{1}, e_{2}, …, e_{d−i} une base de F^{i}W formée d’éléments fixes par G_{K}. Pour s = 1, 2, …, d−i, soit H_{s} l’hyperplan de de F^{i}W engendré par les e_{j} avec j ≠ s. Comme f_{i}(F^{i}E) s’injecte dans ⊕_{s=1}^{d−i}F^{i}W/H_{s}, il existe un entier s tel que l’image de f_{i}(F^{i}E) dans F^{i}W/H_{s} n’est pas de dimension finie. On choisit pour F^{i+1}W un tel H_{s}. Avec les notations qui précèdent, on a \overline{f}_{i}(F^{i}E) ≠ \overline{f}_{i}(V_{i}). Décomposons X_{i} en une somme directe X_{i} = ⊕_{j=1}^{m−i}L_{j} de C-droites stables par G_{K} et notons E_{j} l’image inverse de L_{j} dans F^{i}E. On a F^{i}E = ∑_{j=1}^{m−i} E_{j}, donc \overline{f}_{i}(F^{i}E) = ∑ \overline{f}_{i}(E_{j}) et il existe j tel que \overline{f}_{i}(E_{j}) ≠ \overline{f}_{i}(V_{i}). Quitte à changer la numérotation, on peut supposer j = 1. Le choix d’une base de L_{1}^{G_{K}} et d’une base de (gr^{i}W)^{G_{K}} permet d’identifier le sous-espace fermé E_{1} de F^{i}E à une extension de C par V_{i} et le quotient gr^{i}W à C. En appliquant le théorème 4.1 à la restriction g_{i} de \overline{f}_{i} à E_{1}, on voit que g_{i} est surjective et que le noyau V_{i+1} de g_{i} est une représentation p-adique de dimension h. Soit X_{i+1} la C-représentation de dimension m − i − 1 qui est le quotient de X_{i} par L_{1}. Dans C(G_{K}), on a une suite exacte

0 → E_{1} → F^{i}E → X_{i+1} → 0

Comme g_{i} est surjective, \overline{f}_{i} l’est aussi et est donc un épimorphisme strict. Comme F^{i+1}E est le noyau de \overline{f}_{i}, on a un diagramme commutatif

0  0
↓  ↓
0 → V_{i+1} → F^{i+1}E → X_{i+1} → 0
↓ ↓ ∥
0 → E_{1} → F^{i}E → X_{i+1} → 0
↓ g_{i}  ↓ \overline{f}_{i}
gr^{i}W = gr^{i}W
↓  ↓
0  0

dont les lignes et les colonnes sont exactes, ce qui achève la construction au rang i + 1. Soient V′_{r} le noyau de la restriction de f_{r} à V_{r} et V′′_{r} = f_{r}(V_{r}). Si h′ = dim_{ℚ_{p}} V′_{r} et h′′ = dim_{ℚ_{p}} V′′_{r}, on a h = h′ + h′′. Comme f_{r}(F^{r}E) est de dimension finie sur ℚ_{p}, l’application f_{r} induit un morphisme de C(G_{K}) de la C-représentation X_{r} sur la représentation p-adique f_{r}(F^{r}E)/V′′_{r}. D’après le corollaire au théorème 3.11, ce morphisme est nul et on a f_{r}(F^{r}E) = V′′_{r}. En particulier, on peut considérer f_{r} comme un épimorphisme strict de F^{r}E sur V′′_{r}. Par construction le noyau (en tant qu’application linéaire) de f est aussi le noyau N de f_{r} et a donc une structure naturelle d’objet de C(G_{K}).

Dans cette dernière catégorie, on a un diagramme commutatif

0  0
↓  ↓
0 → V′_{r} → N → W_{r} → 0
↓ ↓ ∥
0 → V_{r} → F^{r}E → W_{r} → 0
↓  ↓
V′′_{r} = V′′_{r}
↓  ↓
0  0

dont les lignes et les colonnes sont exactes. Ceci nous permet aussi de munir N d’une structure d’objet de C(G_{K}) muni d’une présentation \underline{N} vérifiant dh(\underline{N}) = (m − r, h′). Par construction l’application de E dans W/F^{r}W composée de f avec la projection de W sur W/F^{r}W est surjective et, si I désigne l’image ensembliste de l’application f, on a donc une suite exacte

0 → V′′_{r} → I → W/F^{r}W → 0

Si l’on munit I de la topologie induite par celle de W, on voit que I est fermé dans W et que la suite exacte ci-dessus donne à I une structure d’objet de C(G_{K}) muni d’une présentation \underline{I} vérifiant dh(\underline{I}) = (r, h′′). De même, comme f induit un isomorphisme de E/F^{r}E sur W/F^{r}W, le conoyau (au sens des ℚ_{p}-espaces vectoriels) J de f s’identifie à celui de f_{r} donc au quotient de F^{r}W par V′′_{r} et est donc aussi muni d’une présentation \underline{J} vérifiant dh(\underline{J}) = (d − r, −h′′). Dans C(G_{K}), on a des suites exactes courtes

0 → N → E → I → 0
et 0 → I → W → J → 0

ce qui montre que f est strict et, comme (m, h) = (m − r, h′) + (r, h′′) et (d, 0) = (r, h′′) + (d − r, −h′′) que f est admissible.

5.2 – Toute suite exacte courte de presque C-représentations est presque scindée

PROPOSITION 5.5. — Soit W une C-représentation triviale et X un sous-objet de W dans C(G_{K}). Alors il existe un presque supplémentaire W′ de X dans W qui est un sous-C-espace vectoriel.

Preuve : Comme W est une C-représentation triviale, tout sous-C-espace vectoriel de W stable par G_{K} est encore une C-représentation triviale.

Soit W′ un sous-C-espace vectoriel de W stable par G_{K} tel que l’application composée X ⊂ W → W/W′ est surjective et qui est minimal pour cette propriété. Alors X est une extension de W′′ = W/W′ par X′ = X ∩ W′. Si H est un hyperplan de W′ stable par G_{K}, on a un diagramme commutatif

0 → X′ → X → W′′ → 0
↓ ↓ ∥
0 → W′/H → W/H → W′′ → 0

dont les lignes sont exactes. Comme l’application X → W/H n’est pas surjective, X′ → W′/H ne l’est pas non plus. comme W′/H ≃ C, l’image I de cette application est isomorphe à un sous-objet de C dans la catégorie B(G_{K}), distinct de C ; on a donc d(I) = 0 et I est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Si l’on choisit une base {e_{1}, e_{2}, …, e_{r}} de W′ sur C formée d’éléments fixes par G_{K} et si, pour 1 ≤ i ≤ r, on note H_{i} l’hyperplan de W′ de base les e_{j} avec j ≠ i, la projection X′_{i} de X′ sur W′/H_{i} est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Comme X′ s’injecte dans la somme directe des X′_{i}, c’est aussi un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie.

COROLLAIRE. — Soit

0 → S′ → S → S′′ → 0

une suite exacte courte de représentations banachiques avec S′ et S′′ des presque-C-représentations. Pour que S soit une presque C-représentation, il faut et il suffit que cette suite soit presque scindée.

Preuve : Il est clair que la condition est suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire : Si S est une presque C-représentation, on peut trouver un isomorhisme S/V_{0} ≃ W/V avec W une C-représentation triviale et V_{0} et V des représentations p-adiques de dimension finie. Quitte à remplacer S par S/V_{0} et S′ et S′′ par les quotients correspondants, on peut supposer V_{0} = 0. Quitte à remplacer S par W et S′ par le produit fibré S′ ×_{S} W, on peut supposer S = W. D’après la proposition, il existe un sous-C-espace vectoriel W′ de W tel que S = W = W′ +S′ tandis que V′ = S′ ∩W′ est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Autrement dit W′ est un presque-supplémentaire de S′ dans S et la suite est presque scindée.

5.3 – Toute suite exacte courte de B_{dR}^{+}-représentations est presque scindée

Pour prouver cette affirmation, nous aurons besoin de pouvoir tordre l’action de G_{K} par des caractères à valeurs dans K^{∗}. C’est pourquoi nous allons établir un resultat apparemment plus fort. Si W est une B_{dR}^{+}-représentation et Y un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel fermé de X, stable par G_{K}, un K-presque supplémentaire de Y dans X est un presque supplémentaire qui est un sous-K-espace vectoriel. On dit qu’une suite exacte courte

0 → W′ → W → W′′ → 0

de B_{dR}^{+}-représentations est K-presque scindée si W′ admet un K-presque supplémentaire dans W. Il revient au même de dire qu’il existe un sous-K-espace vectoriel de dimension finie V de W′ stable par G_{K} et une section K-linéaire G_{K}-équivariante de la projection de W/V sur W′′.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 5.6. — Soit

(∗)  0 → W′ → W → W′′ → 0

une suite exacte courte de B(G_{K}) avec W′ et W′′ des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) la suite (1) est presque scindée, ii) la suite (1) est K-presque scindée, iii) la représentation W est une B_{dR}^{+}-représentation.

Commençons par établir quelques lemmes.

LEMME 5.7. — Soit

(1)  (2)
0  0
↓  ↓
(3)  0 → Y′ → X → X′′ → 0
∥ ↓ ↓
(4)  0 → Y′ → Y → Y′′ → 0
↓  ↓
Z = Z
↓  ↓
0  0

un diagramme commutatif de B_{dR}^{+}-représentations dont les lignes et les colonnes sont exactes.

i) Si les suites (2) et (4) sont K-presque scindées, alors (1) l’est aussi, ii) Si (1) et (3) sont K-presque scindées, alors (4) l’est aussi.

Preuve : i) Soient E′′ un K-presque supplémentaire de X′′ dans Y′′ et F un K-presque supplémentaire de Y′ dans Y. L’image inverse de E′′ dans F est un K-presque supplémentaire de Y dans X. ii) Soient E_{1} un K-presque supplémentaire de X dans Y et E_{2} un K-presque supplémentaire de Y′ dans X. Alors E_{1} + E_{2} somme est un K-presque supplémentaire de Y dans X.

LEMME 5.8. — Supposons qu’il existe une extension finie L de K contenue dans \overline{K} telle que (∗) est L-presque scindée en tant que suite exacte de B_{dR}^{+}- représentation de G_{L}. Alors (∗) est K-presque scindée.

Preuve : Soient g_{1}, g_{2}, …, g_{n} des représentants dans G_{K} des classes à gauche de G_{K} suivant G_{L}. Par hypothèse, il existe un sous-L-espace vectoriel V de W′ stable par G_{L} et de dimension finie et une section L-linéaire s_{0} : W′′ → W/V de la projection de W/V sur W′′ qui commute à l’action de G_{L}. Quitte à remplacer V par ∑_{i=1}^{n} g_{i}(V), on peut supposer que V est stable par G_{K}. On voit que l’application s : W′′ → W/V définie par

s(x) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} g_{i}(s_{0}(g_{i}^{−1}(x))

est une section K-linéaire G_{K}-équivariante de la projection de W sur W′′.

LEMME 5.9. — Pour tout entier m ≥ 1 la suite exacte

0 → B_{m−1}(1) → B_{m} → C → 0

est K-presque scindée.

Preuve : Soient T_{K} le module de Tate d’un groupe formel de Lubin-Tate pour K (cf., par exemple [Se67b], §3.3) et V_{K} = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} T_{K}. C’est un K-espace vectoriel de dimension 1 sur lequel G_{K} opère via un caractère dont la restriction à l’inertie est l’inverse de celui donné par la théorie du corps de classes. La représentation V_{K} est de Hodge-Tate ([Se89], chap.III, §1 et appendice) : si W_{0} désigne le noyau de l’application C ⊗_{ℚ_{p}} V_{K} → C ⊗_{K} V_{K}, la suite exacte

0 → W_{0} → C ⊗_{ℚ_{p}} V_{K} → C ⊗_{K} V_{K} → 0

est canoniquement scindée, C ⊗_{K} V_{K} ≃ C(1) et W_{0} ≃ C^{[K:ℚ_{p}]−1}. Le choix d’un isomorphisme de C ⊗_{K} V_{K} sur C(1) définit une application K-linéaire injective G_{K}-équivariante ι_{0} : V_{K} → C(1). Celle-ci se relève de façon unique en une application K-linéaire G_{K}-équivariante ι : V_{K} → Fil^{1}B_{dR} : cela résulte de ce que la représentation V_{K} est de de Rham, mais aussi, plus simplement, de ce que, pour n = 0, 1,

Ext^{n}(V_{K}, C(m)) = H_{cont}^{n}(K, V_{K}^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} C(m)) ≃
H_{cont}^{n}(K, C(m − 1) ⊕ C(m)^{[K:ℚ_{p}]−1}) = 0

pour tout entier m ≥ 2, ce qui montre que l’application

Hom_{C(G_{K})}(V_{K}, B_{m+1}) → Hom_{C(G_{K})}(V_{K}, B_{m})

est bijective. En tensorisant la suite exacte

0 → ℚ_{p} → U(−1) → C(−1) → 0

avec V_{K}, on obtient une suite exacte

0 → V_{K} → U(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{K} → C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{K} → 0

Notons U_{K} l’image inverse de C(−1) ⊗_{K} V_{K} dans U(−1) ⊗_{K} V_{K}.

Soit ι̂ : U_{K} → B_{dR}^{+} le composé de l’inclusion de U_{K} dans U(−1) ⊗ V_{K} avec l’application ut^{−1} ⊗ v ↦ ut^{−1}ι(v) et soit ι_{C}(−1) : C(−1)⊗_{K} → C l’application ct^{−1} ↦ cι(v) ⊗ t^{−1}. Dans C(G_{K}) a un diagramme commutatif

0 →  V_{K}  → U_{K} → C ⊗_{K} V_{K} → 0
↓ ι  ↓ ι̂  ↓ ι_{C}(−1)
0 → Fil^{1}B_{dR}^{+} → B_{dR}^{+} →  C  → 0

dans lequel toutes les applications sont K-linéaires. Comme la flèche verticale de droite est un isomorphisme, pour tout entier m ≥ 1, l’image de U_{K} dans B_{m} = B_{dR}^{+}/Fil^{m}B_{dR} est un K-presque supplémentaire de B_{m−1}(1) dans B_{m}.

LEMME 5.10. — La suite

0 → C → C_{2} → C → 0

est K-presque scindée.

Preuve : Choisissons une extension non triviale V_{1} de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}. Rappelons (prop.3.10) que C ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} s’identifie à C ⊕ C(1) de sorte que la suite exacte

0 → C ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} → B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} → C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} → 0

peut se réécrire

0 → C ⊕ C(1) → B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} → C(−1) ⊕ C → 0

Soit Ŵ_{1} l’image inverse de C dans B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} Le quotient W_{1} de Ŵ_{1} par C(1) est une B_{dR}^{+}-représentation, extension de C par C. Pour n = 0, 1, on a H_{cont}^{n}(K, C(1)) = 0, et la suite exacte

0 → C(1) → Ŵ_{1} → W_{1} → 0

induit un isomorphisme Ŵ_{1}^{G_{K}} → W_{1}^{G_{K}}. Si l’extension W_{1} de C par C était scindée, on aurait donc dim_{K} Ŵ_{1}^{G_{K}} = 2, ce qui, comme Ŵ_{1} ⊂ B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} contredit le fait que dim_{K}(B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1})^{G_{K}} = 1 (prop.3.10). La proposition 2.15 implique alors que W_{1} ≃ C_{2} et il suffit de vérifier que la suite exacte

0 → C → W_{1} → C → 0

est K-presque scindée. D’après le lemme 5.9, la suite exacte

0 → C(1) → B_{2} → C → 0

est K-presque-scindée. Si U_{K} est un K-presque supplémentaire de C(1) dans B_{2}, alors U_{K}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} est un presque K-supplémentaire de C ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} dans B_{2} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1}, donc Ê_{1} = (U_{K}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{1}) ∩ Ŵ_{1} est un presque K-supplémentaire de C⊗_{ℚ_{p}}V_{1} dans Ŵ_{1} et l’image de Ê_{1} dans W_{1} est un presque-K-supplémentaire de C dans W_{1}.

LEMME 5.11. — Pour tout entier r ≥ 2, la suite

0 → C_{r−1} → C_{r} → C → 0

est K-presque scindée.

Preuve : Pour r = 2, c’est le lemme précédent et la démonstration pour r ≥ 3 est très voisine. Rappelons (§2.5) que, pour tout m ∈ ℕ, C_{m} = C ⊗_{ℤ_{p}} T_{m} où T_{m} est le ℤ_{p}-espace vectoriel des polynômes de degré < m en l’indéterminée log t. En particulier ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} T_{1} = ℚ_{p} et on a une suite eaxcte

0 → ℚ_{p} ⊗ T_{r−2} → ℚ_{p} ⊗ T_{r−1} → ℚ_{p} → 0

(où (log t)^{r−2} s’envoie sur 1). Soit V_{1} comme dans la preuve du lemme précédent. Comme le ℚ_{p}-espace vectoriel Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p})) = H_{cont}^{2}(G_{K}, ℚ_{p}(−1)) est le dual de H^{0}(G_{K}, ℚ_{p}(2)) (cf. §3.1), il est nul ; par dévissage, on en déduit que Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p} ⊗ T_{r−2})) = 0. Par conséquent, l’application naturelle

Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p} ⊗ T_{r−1}) → Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(ℚ_{p}(1), ℚ_{p})

est surjective, ce qui nous permet de choisir une extension V de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}⊗T_{r−1} qui relève V_{1}, i.e. qui est munie d’une identification de V/(ℚ_{p}⊗T_{r−2}) à V_{1}. La suite exacte

0 → ℚ_{p} ⊗ T_{r−1} → V → ℚ_{p}(1) → 0

induit, par extension des scalaires à C, une suite exacte de C-représentations

0 → C_{r−1} → V_{C} → C(1) → 0

On a Hom_{C[G_{K}]}(C(1), C) = Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C(1), C) = 0, on en déduit par dévissage que Hom_{C[G_{K}]}(C(1), C_{r−1}) = Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C(1), C_{r−1}) = 0, la suite exacte précédente est canoniquement scindée ce qui nous permet d’identifier V_{C} à C_{r−1} ⊕ C(1) et V_{C}(−1) à C_{r−1}(−1) ⊕ C. La suite exacte

0 → C ⊗_{ℚ_{p}} V → B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V → C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0

peut donc se réécrire

0 → C_{r−1} ⊕ C(1) → B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V → C_{r−1}(−1) ⊕ C → 0

Soient Ŵ l’image inverse de C dans B_{2}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V et W le quotient de Ŵ par C(1). C’est une B_{dR}^{+}-représentation extension de C par C_{r−1}. Cette extension est non scindée car le quotient de W par C_{r−2} s’identifie à l’extension, non scindée, W_{1} de C par C considérée dans la preuve du lemmme précédent. L’assertion (Bi) du théorème 2.14 montre que le K-espace vectoriel Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{1}(C, C_{r−1}) est de dimension 1. Il en résulte que W est isomorphe à C_{r} et il suffit de vérifier que la suite exacte

0 → C_{r−1} → W → C → 0

est presque scindée. Si U_{K} est comme dans la preuve du lemme précédent, U_{K}(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V est un presque K-supplémentaire de C ⊗_{ℚ_{p}} V dans B_{2} ⊗_{ℚ_{p}} V, donc Ê = (U_{K}(−1)⊗_{ℚ_{p}} V) ∩ Ŵ est un presque K-supplémentaire de C ⊗_{ℚ_{p}} V dans Ŵ et l’image de Ê dans W est un presque-K-supplémentaire de C_{r−1} dans W.

Pour m, r ∈ ℕ, posons B_{m,r} = B_{m} ⊗_{ℤ_{p}} T_{r}. C’est une B_{dR}^{+}-représentation et, si m ≥ 1, en tensorisant avec T_{r} la suite exacte

0 → B_{m−1}(1) → B_{m} → C → 0

on obtient une autre suite exacte

0 → B_{m−1,r}(1) → B_{m,r} → C_{r} → 0

LEMME 5.12. — Soient m et n des entiers > 0 et soit B′_{m,r} le noyau du composé de la projection de B_{m,r} sur C_{r} avec la projection de C_{r} sur C. Les suites exactes

0 → B_{m−1,r}(1) → B_{m,r} → C_{r} → 0
0 → B′_{m,r} → B_{m,r} → C → 0

sont K-presque scindées.

Preuve : On peut supposer m ≥ 2. On peut (lemme 5.9) trouver un K-presque supplémentaire U_{K} de B_{m−1}(1) dans B_{m} ; si V_{K} = B_{m−1}(1) ∩ U_{K}, on a un diagramme commutatif

0 → V_{K} ⊗ T_{r} → U_{K} ⊗ T_{r} → C_{r} → 0
∩ ∩ ∥
0 → B_{m−1,r}(1) → B_{m,r} → C_{r} → 0

dont les lignes sont exactes et U_{K} ⊗_{ℤ_{p}} T_{r} est un K-presque supplémentaire de B_{m−1,r}(1) dans B_{m,r}. On a un diagramme commutatif de B_{dR}^{+}-représentations

0  0
↓  ↓
0 → B_{m−1,1}(1) → B′_{m,r} → C_{r−1} → 0
∥ ↓ ↓
0 → B_{m−1,1}(1) → B_{m,r} → C_{r} → 0
↓  ↓
C = C
↓  ↓
0  0

dont les lignes et les colonnes sont exactes. On vient de voir que

0 → B_{m−1,r}(1) → B_{m,r} → C_{r} → 0

est K-presque scindée et

0 → C_{r−1} → C_{r} → C → 0

l’est aussi (lemme 5.11). Donc (lemme 5.7, (i))

0 → B′_{m,r} → B_{m,r} → C → 0

l’est aussi.

Prouvons alors le théorème : L’implication (ii)⇒(i) est triviale et on sait (prop.3.14) que (i)⇒(iii). Il suffit donc de prouver que, si

0 → W′ → W → W′′ → 0

est une suite exacte courte de B(G_{K}), alors W′ admet un K-presque supplémentaire dans W. Quitte à remplacer K par une extension finie convenable (ce qui est possible grâce au lemme 5.8), on peut supposer que W est petite, ce qui implique que W′ et W′′ le sont aussi. La décomposition W = ⊕_{A∈\overline{𝔞}_{K}} W_{A} de W suivant les orbites de 𝔞_{K} sous l’action de ℤ (cf. remarque à la fin du §2.3) induit une décomposition en somme directe de la suite exacte, ce qui nous permet de supposer que tous les W_{A} sauf l’un d’entre eux sont nuls. Autrement dit, il existe α ∈ 𝔞_{K} tel que les valeurs propres de ∇_{0} agissant sur W^{f} sont dans α + ℤ. Quitte à tordre l’action de W sur G_{K} par le caractère χ^{(−α)} qui est à valeurs dans K^{∗}, on peut supposer que α = 0, i.e. que W est un objet de Rep_{B_{dR}^{+},ℤ}(G_{K}). On procède alors par récurrence sur la longeur d′′ de la B_{dR}^{+}-représentation W′′ qui, puisque W′′ est petite, est aussi sa longeur en tant que B_{dR}^{+}-module. Si d′′ = 1, W′′ objet simple de la catégorie Rep_{B_{dR}^{+},ℤ}(G_{K}) est isomorphe à C(i) pour i ∈ ℤ un entier convenable. Quitte à tordre l’action de G_{K} sur W par le caractère χ^{−i}, on peut supposer que W′′ = C. Avec les notations du §2.5 on a W_{(ℤ)} = ⊕_{i∈ℤ}W_{(i)} , W = B_{dR}^{+} ⊗_{K[[\underline{t}]]} W_{(ℤ)}. En outre W_{(ℤ)} est stable par ∇_{0}, de même que chaque W_{(i)} et la restriction de ∇_{0} à W_{(0)} est nilpotente. On voit aussi que 1 ∈ C a un relèvement e dans W_{(0)}. Il existe alors des entiers m et r tels que t^{m}e = ∇_{0}^{r}e = 0. Il est alors facile de voir qu’il existe un unique homomorphisme de B_{dR}^{+}-représentations η : B_{m,r} → C qui envoie 1 ⊗ (log t)^{r−1} sur e. On a alors un diagramme commutatif

0 → B′_{m,r} → B_{m,r} → C → 0
↓ ↓ ∥
0 → W′ → W → C → 0

dont les lignes sont exactes. D’après le lemme 5.12, celle du haut est K-presque scindée ; celle du bas l’est a fortiori.

On peut maintenant appliquer l’hyopthèse de récurrence et supposer d′′ ≥ 2. Il existe donc une suite exacte courte non triviale de B_{dR}^{+}-représentations

0 → W′′_{1} → W′′ → W′′_{2} → 0

Si W_{1} désigne l’image inverse de W′′_{1} dans W, on a un diagramme commutatif

0  0
↓  ↓
0 → W′ → W_{1} → W′′_{1} → 0
∥ ↓ ↓
0 → W′ → W → W′′ → 0
↓  ↓
W′′_{2} = W′′_{2}
↓  ↓
0  0

de B_{dR}^{+}-représentations dont les lignes et les colonnes sont exactes. Par hypothèse de récurrence, les suites exactes

0 → W_{1} → W → W′′_{2} → 0
et 0 → W′ → W_{1} → W′′_{1} → 0

sont K-presque scindées. L’assertion (ii) du lemme 5.7 implique que

0 → W′ → W → W′′ → 0

l’est aussi.

5.4 – Toute B_{dR}^{+}-représentation est presque triviale

TH^{}ÉOR^{}ÈME 5.13. — Soient d ∈ ℕ et W une B_{dR}^{+}-représentation de G_{K} de longueur d en tant que B_{dR}^{+}-module. Alors W est presque isomorphe à C^{d}.

Preuve : Soit

0 → W′ → W → W′′ → 0

une suite exacte courte de B_{dR}^{+}-représentations. Comme cette suite est presque scindée, il existe un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie V, stable par G_{K}, tel que W/V ≃ (W′/V) ⊕ W′′ et W est presqu’isomorphe à W′ ⊕ W′′. Si W′ et W′′ sont presque triviales, il en est donc de même de W et il suffit de prouver le théorème lorsque W est un objet simple de la catégorie des B_{dR}^{+}- représentations.

Supposons d’abord que W est petite. On peut supposer (prop.2.5) que W = C{α}, avec α un élément K-petit convenable.

Il s’agit de montrer que W est presqu’isomorphe à C. On peut supposer α ∉ {0, −1} (dans le premier cas, parce qu’alors, il n’y a rien à prouver, dans le second, parce que, si le théorème est vrai pour α = 1, cela veut dire qu’il existe des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie V de C(1) et V′ de C, stables par G_{K} et un isomorphisme C(1)/V → C/V′ ; en tensorisant par ℚ_{p}(−1), on obtient un isomorphisme C/V (−1) → C(−1)/V′(−1), donc C(−1) et C sont presqu’isomorphes). Appelons K-représentation la donnée d’un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. Autrement dit, c’est une représentation p-adique muni d’un plongement de K dans la ℚ_{p}-algèbre de ses endomorphismes. Le sous-K-espace vectoriel K{α} de C{α} est une K-repré-sentation. Soit V une K-représentation, extension non triviale de K{α + 1} par K (muni de l’action triviale de G_{K}). En tensorisant, au dessus de K, la suite exacte

0 → K → V → K{α + 1} → 0

avec C, on obtient une suite exacte de C-représentations

0 → C → C ⊗_{K} V → C{α + 1} → 0

Cette suite est scindée. En effet, comme α ≠ −1, C{α + 1} est un objet simple de Rep_{C}(G_{K}) qui n’est pas isomorphe à C et il n’y a donc pas de Creprésentation extension non triviale de C{α+1} par C (prop.2.15). Ceci nous permet en particulier d’étendre l’inclusion K ⊂ C en un K-plongement de V dans C et de définir un plongement ι : W → C(−1)⊗_{K} V. Comme C(−1)⊗_{K} V est un facteur direct de C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V = V_{C}(−1), on peut aussi voir ι comme un homomorphisme non nul de W dans V_{C}(−1). La suite exacte

0 → V → C → C/V → 0

induit une suite exacte

Hom_{B(G_{K})}(W, C)→Hom_{B(G_{K})}(W, C/V)→Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V)→Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, C)

Comme W est un objet simple de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}) qui n’est isomorphe ni à C

ni à C(−1), pour i = 0, 1, on a Ext_{B(G_{K})}^{i}(W, C) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{i}(W, C) = 0

(prop.2.15) et l’application Hom_{B(G_{K})}(W, C/V) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) est bijective. Comme Ext_{B(G_{K})}^{1}(W, V) s’identifie à Hom_{B(G_{K})}(W, V_{C}(−1)) (prop.3.12), l’application ι induit un morphisme non nul de W dans C/V. D’après le corollaire au théorème 4.1, cette application est surjective et son noyau est de dimension finie sur ℚ_{p}. Par conséquent, W et C sont presqu’isomorphes.

Passons maintenant au cas général. Choisissons une extension finie L de K contenue dans K̄ telle que W soit petite en tant que B_{dR}^{+}-représentation de G_{L} = Gal(\overline{K}/K). Soit S un facteur simple de W (en tant que B_{dR}^{+}- représentation de G_{L}).

Pour tout objet X de B(G_{L}), on note IX = ℚ_{p}[G_{K}]⊗_{ℚ_{p}[G_{L}]}X l’objet de B(G_{K}) induit. Si X est une C-représentation de G_{L}, IX est de façon naturelle une C-représentation de G_{K}. La simplicité de W implique que W est isomorphe à un facteur direct de IS. On fixe un plongement de W dans IS. D’après la première partie, S est presqu’isomorphe à C. On peut donc trouver une représentation banachique X de G_{L} extension de S par une représentation p-adique V_{0} de dimension finie et un morphisme surjectif X → C de B(G_{L}) dont le noyau V_{1} est de dimension finie sur ℚ_{p}. Les suites exactes

0 → V_{0} → X → S → 0 et 0 → V_{1} → X → C → 0

induisent des suites exacte

0 → IV_{0} → IX → IS → 0 et 0 → IV_{1} → IX → IC → 0

de B(G_{K}) et IC est une C-représentation triviale de G_{K}. Soit E l’image inverse de W dans X. Alors W est presqu’isomorphe à E qui est presqu’isomorphe à son image Y dans IC et il suffit, pour achever la démonstration, d’établir le lemme suivant :

LEMME 5.14. — Soit d = dim_{C} W. L’image Y de E dans IC est isomorphe à une extension d’une C-représentation triviale de dimension d par une représentation p-adique de dimension finie.

Preuve : C’est essentiellement la même que celle de la proposition 5.1 Pour plus de clarté, nous la reproduisons avec les modifications nécessaires. Soit W′ un sous-C-espace vectoriel de IC stable par G_{K} tel que l’application composée Y ⊂ IC → IC/W′ est surjective et qui est minimal pour cette propriété. Alors Y est une extension de W′′ = IC/W′ par Y′ = Y ∩ W′. Si H est un hyperplan de W′ stable par G_{K}, comme l’application composée Y ⊂ IC → IC/H n’est pas surjective, l’application j_{H} : Y′ ⊂ W′ → W′/H ne l’est pas non plus. Comme S est presqu’isomorphe à C, c’est un objet de C(G_{L}). Considérés comme des objets de B(G_{L}), IS, W, E, Y et Y′ sont des objets de C(G_{L}). Comme W′/H ≃ C, l’image de j_{H} est isomorphe, dans la catégorie C(G_{L}), à un sous-objet de C distinct de C et est donc de dimension finie sur ℚ_{p}. Si l’on choisit une base {e_{1}, e_{2}, …, e_{r}} de W′ sur C formée d’éléments fixes par G_{K} et si, pour 1 ≤ i ≤ r, on note H_{i} l’hyperplan de W′ de base les e_{j} avec j ≠ i, la projection Y′_{i} de Y′ sur W′/H_{i} est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Comme Y′ s’injecte dans la somme directe des Y′_{i}, c’est aussi un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Par conséquent Y s’identifie à une extension de la C-représentation triviale W′′ par la représentation p-adique de dimension finie Y′. Pour vérifier que dim_{C} W′′ = d, il suffit de restreindre l’action de G_{K} à G_{L} et cela résulte de ce que le théorème est déjà prouvé pour les petites représentations.

COROLLAIRE. — Soit X une représentation banachique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) la représentation X est presqu’isomorphe à une C-représentation triviale, ii) la représentation X est presqu’isomorphe à une C-représentation, iii) la représentation X est presqu’isomorphe à une B_{dR}^{+}-représentation.

6 – Calcul des groupes d’extensions

Rappelons que, si W′ et W′′ sont deux objets d’une catégorie abélienne C, pour tout n ∈ ℕ, on note Ext_{C}^{n}(W′′, W′) le groupe des classes de n-extensions de Yoneda de W′′ par W′. Les objectifs essentiels de ce paragraphe sont : i ) La preuve du théorème suivant :

TH^{}ÉOR^{}ÈME 6.1. — Soient X et Y deux objets de C(G_{K}). Pour tout n ∈ ℕ, le ℚ_{p}-espaces vectoriel Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = 0 est de dimension finie et est nul si n ≥ 3. On a

∑_{i=0}^{2} dim_{ℚ_{p}} Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = −[K : ℚ_{p}]h(X)h(Y)

ii) La construction d’une dualité entre Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) et Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1)) (prop.6.8 et 6.10 ci-dessous).

6.1 – Propriétés d’invariance des Ext^{n}

On dit qu’un complexe de C(G_{K})

(X)  … → X^{i−1} ⟶^{δ_{X}^{i−1}} X^{i} ⟶^{δ_{X}^{i}} X^{i+1} → …

est presque trivial si, pour tout i ∈ ℤ l’image de δ_{X}^{i} est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Par ailleurs, pour toute catégorie abélienne A et tout entier n ≥ 1, on note C_{n}(A) la catégorie dont les objets sont les complexes (X) de A vérifiant X^{i} = 0 si i < 0 ou si i ≥ n et les flèches les morphismes de complexes.

PROPOSITION 6.2. — Soit n un entier ≥ 1.

i) Si (X) est un complexe de C_{n}(C(G_{K})), il existe un couple ((E), η) formé d’un complexe (E) presque trivial de C_{n}(C(G_{K})) et d’un morphisme η : (E) → (X) qui est un quasi-isomorphisme. ii) Pour tout morphisme α : (X) → (Y) de C_{n}(C(G_{K})), on peut trouver un diagramme commutatif de C_{n}(C(G_{K}))

(E) → (X)
↓  ↓
(F) → (Y)

où les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes et où (E) et (F) sont presque triviaux.

LEMME 6.3. — Soient (X) un complexe de C(G_{K}) et i ∈ ℤ. Il existe un sous-complexe (Y) de (X) tel que

i) l’inclusion de (Y) dans (X) induit un quasi-isomorphisme, ii) on a Y^{j} = X^{j} pour tout entier j ∉ {i − 1, i}, iii) le ℚ_{p}-espace vectoriel image de l’application Y^{i−1} → Y^{i} est de dimension finie.

Preuve du lemme : Avec des notations évidentes, on a, dans C(G_{K}), des suites exactes courtes

0 → Z^{i} → X^{i} → B^{i+1} → 0 et 0 → B^{i} → Z^{i} → H^{i} → 0

D’après le corollaire à la proposition 5.5, elles sont presque scindées et on peut trouver des sous-objets X_{0}^{i} de X^{i} et Z_{1}^{i} de Z^{i} tels que les applications X_{0}^{i} → B^{i+1} et Z^{i} → H^{i} sont surjectives et que leurs noyaux respectifs Z_{0}^{i} et B_{1}^{i} sont de dimension finie sur ℚ_{p}. Soit alors Y^{i} = Z_{1}^{i} + X_{0}^{i} ⊂ X^{i}. On a une suite exacte

0 → Z_{0}^{i} + Z_{1}^{i} → Y^{i} → B^{i+1} → 0

Si B_{2}^{i} désigne le noyau de la restriction à Z_{0}^{i} + Z_{1}^{i} de la projection de Z^{i} sur H^{i} et si \overline{Z}_{0}^{i} = Z_{0}^{i}/Z_{0}^{i} ∩ Z_{1}^{i}, on a un diagramme commutatif

0  0
↓  ↓
0 → B_{1}^{i} →  Z_{1}^{i}  → H^{i} → 0
↓  ↓  ∥
0 → B_{2}^{i} → Z_{0}^{i} + Z_{1}^{i} → H^{i} → 0
↓  ↓
\overline{Z}_{0}^{i} =  \overline{Z}_{0}^{i}
↓  ↓
0  0

dont les lignes sont exactes. Commme \overline{Z}_{0}^{i} et B_{1}^{i} sont de dimension finie sur ℚ_{p}, il en est de même de B_{2}^{i} et il suffit de prendre pour Y^{i−1} l’image inverse de B_{2}^{i} dans X^{i−1}.

Prouvons maintenant la proposition : Montrons d’abord (i) : Le lemme nous permet de construire une suite décroissante de sous-complexes (X) = (X_{n}) ⊃ (X_{n−1}) ⊃ … (X_{r}) ⊃ … (X_{2}) ⊃ (X_{1}) de X tel que l’inclusion induit un quasiisomorphisme et que l’image de X_{r}^{i−1} dans X_{r}^{i} soit de dimension finie sur ℚ_{p} pour i ≥ r. Il suffit de prendre (E) = (X_{1}). ii) D’après (i), on peut trouver des morphismes de C_{n}(C(G_{K}))

(E_{0}) → (X) et (F) → (Y)

qui sont des quasi-isomorphismes, avec (E_{0}) et (F) presque triviaux. Si l’on prend pour (E) le produit fibré (E_{0}) ×_{(Y)} (F), on voit que (E) est encore presque trivial et que l’on a un diagramme comme on veut.

PROPOSITION 6.4. — Soient V′ et V′′ des représentations p-adiques de G_{K}. Pour tout n ∈ ℕ, la flèche Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{n}(V′′, V′) → Ext_{C(G_{K})}^{n}(V′′, V′) est bijective.

Preuve : C’est clair si n = 0 ou 1. Le cas n ≥ 2 résulte de la proposition précédente grâce au fait qu’un complexe de C(G_{K}) dont les groupes de cohomologie sont de dimension finie sur ℚ_{p} et qui est presque trivial est un complexe de Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}). Soyons un peu plus explicite : Soit

0 → V′ → X^{0} → X^{1} → … → X^{i−1} → X^{i} → … → X^{n−1} → V′′ → 0

une suite exacte de C(G_{K}) représentant un élément ε de Ext_{C(G_{K})}^{n}(V′′, V′). Si

E^{0} → E^{1} → … X^{i−1} → E^{i} → … → E^{n−1}

est un sous-complexe de

X^{0} → X^{1} → … → X^{i−1} → X^{i} → … → X^{n−1}

qui lui est quasi-isomorphe et est presque trivial,

0 → V′ → E^{0} → E^{1} → … → E^{i−1} → E^{i} → … → E^{n−1} → V′′ → 0

est une suite exacte courte de Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) dont la classe dans Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{n}(V′′, V′) a pour image ε dans Ext_{C(G_{K})}^{n}(V′′, V′). L’application est bien surjective. L’assertion (ii) de la proposition 6.2 permet de montrer que, si deux complexes de C_{n}(Rep_{ℚ_{p}}(G_{K})) sont quasi-isomorphes dans C(G_{K}), alors ils sont aussi quasi-isomorphes dans Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}), ce qui montre l’injectivité.

PROPOSITION 6.5. — Soient W′ et W′′ des B_{dR}^{+}-représentations de G_{K}. Pour tout n ∈ ℕ, la flèche Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(W′′, W′) → Ext_{C(G_{K})}^{n}(W′′, W′) est bijective.

Preuve : C’est clair pour n = 0 et la conjonction du corollaire à la prop.5.5 et du th.5.6 montre que c’est vrai pour n = 1. Supposons donc n ≥ 2. La proposition 6.5 résulte de la proposition 6.2 et du fait que tout objet de C_{n}(C(G_{K})) qui est presque trivial et dont les groupes de cohomologie sont des B_{dR}^{+}-représentations est quasi-isomorphe à un complexe de C_{n}(Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})). Soyons plus précis. Pour prouver la surjectivité, il s’agit de vérifier que si

0 → W′ → X^{0} → … → X^{i} → X^{i+1} → … X^{n−1} → W′′ → 0

est une suite exacte de C(G_{K}), avec W′ et W′′ des objets de Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), alors il existe un complexe de C_{n}(Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K})) qui est quasi-isomorphe à

(X)  X^{0} → … → X^{i} → X^{i+1} → … X^{n−1}

La proposition 6.2 nous permet de supposer que (X) est presque trivial. On a donc des suites exactes courtes

0 → W′ → X^{0} → B^{1} → 0
0 → B^{i} → X^{i} → B^{i+1} → 0  pour 1 ≤ i ≤ n − 2
0 → B^{n−1} → X^{n−1} → W′′ → 0

où les B^{i} sont de dimension finie sur ℚ_{p}. Ceci implique que, pour 1 ≤ i ≤ n−2 le ℚ_{p}-espace vectoriel X^{i} est aussi de dimension finie. Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, posons B_{C}^{i} = C ⊗_{ℚ_{p}} B^{i}. On a

Ext_{C(G_{K})}^{1}(B^{1}, W′) = H_{cont}^{1}(K, (B^{1})^{∗_{ℚp}} ⊗_{ℚ_{p}} W′) =

H_{cont}^{1}(K, (B_{C}^{1})^{∗_{C}} ⊗_{C} W′) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(B_{C}^{1}, W′)

groupe des extensions de B_{C}^{1} par W′ qui sont scindées en tant que suites exactes de B_{dR}^{+}-modules, de sorte que, si E^{0} désigne une extension de B_{C}^{1} par W′ dont la classe est celle de X^{0}, on a un diagramme commutatif

0 → W′ → X^{0} → B^{1} → 0
∥ ↓ ↓
0 → W′ → E^{0} → B_{C}^{1} → 0

dont les lignes sont exactes. Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, posons E^{i} = C ⊗_{ℚ_{p}} X^{i} de sorte que l’on a un diagramme commutatif

0 → B^{i} → X^{i} → B^{i+1} → 0
↓ ↓ ↓
0 → B_{C}^{i} → E^{i} → B_{C}^{i+1} → 0

dont les lignes sont exactes. Enfin, notons E^{n−1} la somme amalgamée de B_{C}^{n−1} et de X^{n−1} au-dessous de B^{n−1}. On a un un diagramme commutatif

0 → B^{n−1} → X^{n−1} → W′′ → 0
↓ ↓ ↓
0 → B_{C}^{n−1} → E^{n−1} → W′′ → 0

dont les lignes sont exactes. D’après la proposition 3.14, E^{n−1}, extension presque scindée de W′′ par B_{C}^{n−1}, est une B_{dR}^{+}-représentation. Le complexe

(E)  E^{0} → … → E^{i} → E^{i+1} → … E^{n−1}

est formé de B_{dR}^{+}-représentations et on a un morphisme naturel (E) → (X) qui induit un quasi-isomorphisme.

Pour prouver l’injectivité, il suffit de montrer que si

0 → W′ → X^{0} → … → X^{i} → … → X^{n−1} → W′′ → 0
∥ ↓ ↓ ↓ ∥
0 → W′ → Y^{0} → … → Y^{i} → … → Y^{n−1} → W′′ → 0

est un diagramme commutatif de C(G_{K}) dont les lignes sont exactes et si W′ et W′′ sont des B_{dR}^{+}-représentations, alors, avec des notations évidentes, on peut trouver un carré commutatif

(X) → (E)
↓  ↓
(Y) → (F)

dans C_{n}(C(G_{K})) tel que (E) et (F) sont dans C_{n}(B_{dR}^{+}) et que les flèches horizontales induisent un quasi-isomorphisme. La proposition 6.2 nous permet de supposer que (X) et (Y) sont presque triviaux. Si l’on prend pour (E) le complexe défini à partir de (X) comme plus haut et pour (F) le complexe associé à (Y) par la même recette, la flèche de (X) dans (Y) induit, de manière évidente une flèche de (E) dans (F) qui convient.

6.2 – Le cas où X est de dimension finie

PROPOSITION 6.6. — Soient n ∈ ℕ, X et Y des presque C-représenta-tions. Pour tout ε ∈ Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y), il existe un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie V de Y, stable par G_{K} tel que ε appartient à l’image de Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, V).

Preuve : Soit

0 → Y → E^{0} → E^{1} → … E^{n−1} → X → 0

une suite exacte de C(G_{K}) représentant ε. Si N désigne l’image de E^{0} → E^{1}, on a une suite exacte de C(G_{K})

0 → Y → E^{0} → N → 0

qui (corollaire à la proposition 5.5) est presque scindée. Si F^{0} désigne un sousobjet de E^{0} qui s’envoie surjectivement sur N tel que V = F^{0} ∩ Y est de dimension finie, la suite exacte

0 → V → F^{0} → E^{1} → … E^{n−1} → X → 0

définit un élément de Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, V) dont l’image dans Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) est ε.

Soit V une représentation p-adique fixée. Les (Ext_{C(G_{K})}^{n}(V, −))_{n∈ℕ} et les H_{cont}^{n}(K, V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} −))_{n∈ℕ} forment des δ-foncteurs de la catégorie C(G_{K}) dans celle des groupes abéliens, on a Hom_{C(G_{K})}(V, −) = H_{cont}^{0}(K, V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} −) et, pour n ≥ 1, Ext_{C(G_{K})}^{n}(V, −) est effaçable. On a donc des morphismes naturels de foncteurs Ext_{C(G_{K})}^{n}(V, −) → H_{cont}^{n}(K, V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} −).

PROPOSITION 6.7. — Soient V une représentation p-adique de G_{K} et S une presque-C-représentation.

i) Toute représentation banachique E extension de V par S est une presque C-représentation. ii) Pour tout n ∈ ℕ, le ℚ_{p}-espace vectoriel Ext_{C(G_{K})}^{n}(V, S) est de dimension finie, nulle si n ≥ 3. iii) Pour tout n ∈ ℕ, l’application naturelle

Ext_{C(G_{K})}^{n}(V, S) → H_{cont}^{n}(K, V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} S)

est un isomorphisme.

Preuve : a) Quitte à remplacer S par V^{∗} ⊗_{ℚ_{p}} S, on peut supposer que V = ℚ_{p}. Mais (i) signifie que l’inclusion Ext_{C(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, S) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, S) est une bijection. Comme Ext_{B(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, S) s’identifie à H_{cont}^{1}(K, S), (i) résulte de (iii). Compte tenu du corollaire à la proposition 3.3, (iii) implique aussi (ii).

b) Prouvons (ii) lorsque S est une représentation p-adique : D’après la proposition 6.4, on a Ext_{C(G_{K})}^{n}(ℚ_{p}, S) = Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{n}(ℚ_{p}, S). Il suffit donc de vérifier que, pour n ≥ 1, la restriction à la catégorie des représentations p-adiques du foncteur H_{cont}^{n}(K, −) est effaçable. Ces foncteurs sont nuls pour n ≥ 3 et c’est évident pour n = 1. Pour n = 2, il s’agit de vérifier que l’on peut plonger toute représentation p-adique S de G_{K} dans une autre Ŝ de manière que la flèche H_{cont}^{2}(K, S) → H_{cont}^{2}(K, Ŝ) soit nulle. Par dualité cela revient à vérifier que toute représentation p-adique V_{2} (prendre V_{2} = S^{∗}(1)) est isomorphe au quotient d’une représentation p-adique V̂_{2} telle que l’application V̂_{2}^{G_{K}} → V_{2}^{G_{K}} est nulle. Soient V_{1} = V_{2}^{G_{K}} et V_{3} = V_{2}/V_{1}. Pour tout entier r ∈ ℤ, H_{cont}^{2}(K, V_{3}^{∗} ⊗ V_{1}(r)) s’identifie au dual de (V_{3} ⊗ V_{1}^{∗})(1 − r))^{G_{K}} et est nul pour presque tout r. Choisissons r ainsi. Choisissons aussi une extension non triviale V_{0} de ℚ_{p} par ℚ_{p}(r). Dans le carré commutatif

Ext_{B(G_{K})}^{1}(V_{2}, V_{1}(r)) → Ext_{B(G_{K})}^{1}(V_{1}, V_{1}(r))
∥  ∥
H_{cont}^{1}(K, V_{2}^{∗} ⊗ V_{1}(r)) → H_{cont}^{1}(K, V_{1}^{∗} ⊗ V_{1}(r))

la flèche inférieure est surjective, donc aussi la flèche supérieure. On peut donc construire un diagramme commutatif, dont les lignes et les colonnes sont exactes

0  0
↓  ↓
0 → V_{1}(r) → V_{1} ⊗ V_{0} → V_{1} → 0
∥  ↓  ↓
0 → V_{1}(r) →  V̂_{2}  → V_{2} → 0
↓  ↓
V_{3}  = V_{3}
↓  ↓
0  0

On a alors V̂_{2}^{G_{K}} = (V_{1} ⊗ V_{0})^{G_{K}} = 0.

c) Prouvons (iii) lorsque S est une C-représentation : Le groupe H_{cont}^{1}(K, S) classifie aussi bien les extensions de ℚ_{p} par S dans la catégorie des représentations banachiques que les extensions de C par S dans la catégorie des C-représentations. Ceci implique que pour toute représentation banachique E extension de ℚ_{p} par S, on peut trouver une C-représentation E_{C} et un diagramme commutatif

0  0
↓  ↓
0 → S → E → ℚ_{p} → 0
∥ ↓ ↓
0 → S → E_{C} → C → 0
↓  ↓
C/ℚ_{p} = C/ℚ_{p}
↓  ↓
0  0

dont les lignes et les colonnes sont exactes. Mais alors S et C/ℚ_{p} sont des presque-C-représentations, donc aussi E qui s’identifie au noyau du morphisme E_{C} → C/ℚ_{p}. La flèche Ext_{C(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, S) → H_{cont}^{1}(K, S) est donc bien un isomorphisme. On a H_{cont}^{2}(K, S) = 0 (cor. à la prop.3.3). Pour finir de prouver (c), il suffit donc de vérifier que Ext_{B(G_{K})}^{2}(ℚ_{p}, S) = 0. Soit

0 → S → X^{0} → X^{1} → ℚ_{p} → 0

une suite exacte presque triviale (cf. prop.6.2) de C(G_{K}) représentant un élément ε ∈ Ext_{B(G_{K})}^{2}(ℚ_{p}, S). Alors V = dX^{0} est de dimension finie et on a deux suites exactes courtes :

0 → S → X^{0} → V → 0
0 → V → X^{1} → ℚ_{p} → 0

Comme Ext_{C(G_{K})}^{1}(V, S) = H_{cont}^{1}(K, V^{∗} ⊗ S) = Ext_{C[G_{K}]}^{1}(C ⊗ V, S) on peut plonger X^{0} dans un C-espace vectoriel X_{C}^{0} extension de C ⊗ V par S. Les deux suites exactes

0 → S → X_{C}^{0} → C ⊗ V → 0
0 → C ⊗ V → C ⊗ X^{1} → C → 0

définissent un élément ε_{C} ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(C, S). Comme ce groupe est nul (prop.2.17), il existe un diagramme commutatif de C-représentations

0 → S → X_{C}^{0} → C ⊗ X^{1} → C → 0
∥  ↓  ↓  ↓
0 → S → Y^{0} →  Y^{1}  → C → 0

dont les lignes sont exactes et qui a la vertu que la projection de Y^{1} sur C admet une section s. Si Y_{0}^{1} désigne l’image inverse de ℚ_{p} dans Y^{1}, ε est la classe de la 2-extension

0 → S → Y^{0} → Y_{0}^{1} → ℚ_{p} → 0

La restriction de s à ℚ_{p} fournit une trivialisation de cette 2-extension et ε = 0.

d) Fin de la preuve : Si

0 → Y′ → Y → Y′′ → 0

est une suite exacte de presque-C-représentations et si le résultat est vrai pour Y′ et Y, il l’est aussi pour Y′′. S’il est vrai pour Y′ et Y′′, il l’est aussi pour Y. La proposition s’en déduit puisque le fait que S soit une presque C-repré-sentation implique que l’on peut trouver des suites exactes de C(G_{K})

0 → V′ → W → X → 0 et 0 → V′′ → S → X → 0

avec V′, V′′ des représentations p-adiques et W une C-représentation.

6.3 – Le cas où Y est de dimension finie

Si V est une représentation p-adique, Ext_{C(G_{K})}^{2}(V, V (1)) = H_{cont}^{2}(K, V^{∗}⊗V (1)) s’envoie dans H_{cont}^{2}(K, ℚ_{p}(1)) = ℚ_{p}.

PROPOSITION 6.8. — Soient V une représentation p-adique et S une presque-C-représentation.

i) Les ℚ_{p}-espaces vectoriels Ext_{C(G_{K})}^{n}(S, V (1)) sont de dimension finie, nulle si n ≥ 3. ii) Pour n = 0, 1, 2, l’application bilinéaire

Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(V, S) × Ext_{C(G_{K})}^{n}(S, V (1)) → Ext_{C(G_{K})}^{2}(V, V (1)) → ℚ_{p}

est non dégénérée.

Preuve : Quitte à remplacer S par V^{∗} ⊗ S, on peut supposer V = ℚ_{p}. Remarquons d’abord que la proposition est vraie si S est une représentation p-adique : compte-tenu de la proposition précédente, cela résulte des résultats classiques sur la cohomologie continue (§3.1). Si W est une C-représentation, on a Hom_{C(G_{K})}(W, ℚ_{p}(1)) = 0 (cor. au th.3.11) et Ext_{C(G_{K})}^{2}(ℚ_{p}, W) = H_{cont}^{2}(K, W) = 0 (prop.6.7). Si en outre Hom_{C(G_{K})}(W, C) = 0, on a aussi Ext_{C(G_{K})}^{1}(W, ℚ_{p}(1)) = 0 (pro.3.12) et Ext_{C(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, W) = H_{cont}^{1}(K, W) = 0 (prop.3.1). La presque-C-représentation S(−1) est presqu’isomorphe à une C-représen-tation triviale. Il existe donc un entier d, des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie V′ de S et V′′ de C(1)^{d}, stables par G_{K} et un isomorphisme S/V′ ≃ C(1)/V′′. Posons X = S/V′ que l’on identifie via cet isomorphisme à C(1)^{d}/V′′. On a un diagramme commutatif

… → Ext^{n}(X, ℚ_{p}(1)) → Ext^{n}(C(1)^{d}, ℚ_{p}(1)) → Ext^{n}(V′′, ℚ_{p}(1)) → …
↓ ↓ ↓
… → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, X)^{∗} → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, C(1)^{d})^{∗} → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, V′′)^{∗} → …

dont les lignes sont exactes. Or Ext^{n}(V′′, ℚ_{p}(1)) → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, V′′)^{∗} est un isomorphisme pour tout n et Ext^{n}(C(1)^{d}, ℚ_{p}(1)) = Ext^{2−n}(ℚ_{p}, C(1)^{d}) pour n = 0, 1. On en déduit que Hom(X, ℚ_{p}(1)) = Ext^{2}(ℚ_{p}, X) = 0 et que Ext^{1}(X, ℚ_{p}(1)) → Ext^{1}(ℚ_{p}, X)^{∗} est un isomorphisme. On a aussi le diagramme commutatif

… → Ext^{n}(X, ℚ_{p}(1)) → Ext^{n}(S, ℚ_{p}(1)) → Ext^{n}(V′, ℚ_{p}(1)) → …
↓ ↓ ↓
… → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, X)^{∗} → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, S)^{∗} → Ext^{2−n}(ℚ_{p}, V′)^{∗} → …

dont les lignes sont aussi exactes. Mais Hom(X, ℚ_{p}(1)) = Ext^{2}(ℚ_{p}, X) = 0. Comme Hom(V′′, ℚ_{p}(1)) → Ext^{2}(ℚ_{p}, V′′)^{∗} et Ext^{1}(X, ℚ_{p}(1)) → Ext^{1}(ℚ_{p}, X)^{∗} sont des isomorphismes, on en déduit que Hom(S, ℚ_{p}(1)) → Ext^{2}(ℚ_{p}, S) est aussi un isomorphisme. Il suffit alors pour achever la preuve de vérifier que, pour n = 1, 2, le foncteur contravariant F^{n} : C(G_{K})^{op} → \underline{Vect}_{ℚ_{p}} qui envoie S sur Ext^{2−n}(ℚ_{p}, S)^{∗} est effaçable, i.e. que pour tout S, on peut trouver un épimorphisme X → S tel que l’application F^{n}(X) → F^{n}(S) est nulle. Par dévissage, on voit qu’il suffit de le prouver lorsque S est de dimension finie sur ℚ_{p} ou lorsque S = C(1). Dans le premier cas cela provient de ce que l’on sait déjà que l’application Ext^{n}(S, ℚ_{p}(1)) → F^{n}(S) est un isomorphisme. Dans le second de ce que F^{n}(S) = 0.

6.4 – Preuve du théorème 6.1

Disons que la propriété P (X, Y) est vraie si le théorème 6.1 est vrai pour X et Y. On voit que si

0 → X′ → X → X′′ → 0 et 0 → Y′ → Y → Y′′ → 0

sont des suites exacte courtes de C(G_{K}), alors

– si deux des trois propriétés P (X′, Y), P (X, Y), P (X′′, Y) sont vraies, la troisième aussi,

– si deux des trois propriétés P (X, Y′), P (X, Y), P (X, Y′′) sont vraies, la troisième aussi. En utilisant le fait que pour toute presque C-représentation X, il existe un isomorphisme X/V ≃ W/V′ avec V et V′ des ℚ_{p}-représentations et W une C-représentation, on est ramené à prouver que P (X, Y) est vrai dans chacun des quatre cas suivants : i) X et Y sont des ℚ_{p}-représentations, ii) X et Y sont des C-représentations, iii) X est une ℚ_{p}-représentation et Y est une C-représentation iv) X est une C-représentation et Y est une ℚ_{p}-représentation. Dans le cas (ii), on a Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}]}^{n}(X, Y) (prop.6.5) et c’est l’assertion (a) du théorème 2.14. Dans les trois autres cas, les propositions 6.7 et 6.8 impliquent que les Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) sont de dimension finie, nulle si n ≥ 3. Dans les cas (i) et (iii), on a en outre Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = H_{cont}^{n}(K, X^{∗} ⊗ Y) (prop.6.7). L’égalité

∑_{i=0}^{2} dim_{ℚ_{p}} Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) = −[K : ℚ_{p}]h(X)h(Y)

résulte alors

– dans le cas (i), de ce que (§3.1)

∑_{n=0}^{2}(−1)^{n} dim_{ℚ_{p}} H_{cont}^{n}(K, X^{∗} ⊗ Y) = −[K : ℚ_{p}]. dim_{ℚ_{p}}(X^{∗} ⊗ Y)

– dans le cas (iii), de ce que, comme X^{∗} ⊗ Y est une C-représentation, H^{0}(K, X^{∗} ⊗Y) et H_{cont}^{1}(K, X^{∗} ⊗Y) sont de même dimension (prop.3.1) tandis que H_{cont}^{2}(K, X^{∗} ⊗ Y) = 0 (cor.à la prop.3.3). Enfin, la proposition 6.8 permet de déduire le cas (iv) du cas (iii).

6.5 – Dualité

Pour toute représentation p-adique V, on note c_{V} la flèche naturelle

Ext_{C(G_{K})}^{2}(V, V (1)) ≃ H_{cont}^{2}(K, V^{∗} ⊗ V (1)) → H_{cont}^{2}(K, ℚ_{p}(1)) = ℚ_{p}

Soient X une presque C-représentation et ε ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)). Choisissons un complexe presque trivial de C_{2}(C(G_{K}))

X^{0} ⟶^{d} X^{1}

représentant ε. Alors dX^{0} est de dimension finie sur ℚ_{p}, la suite exacte

0 → X(1) → X^{0} → dX^{0} → 0

est presque scindée et on peut choisir un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie Y^{0} de X^{0}, stable par G_{K}, tel que la restriction de d à Y^{0} soit surjective. Notons V le sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de X défini par V (1) = X(1) ∩ Ker d |_{Y^{0}} et Y^{1} l’image inverse de V dans X^{1}. On a un diagramme commutatif de presque-C-représentations

0 → V (1) → Y^{0} → Y^{1} → V → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → X(1) → X^{0} → X^{1} → X → 0

dont les lignes sont exactes, les objets de la première étant tous de dimension finie sur ℚ_{p}.

PROPOSITION 6.9. — Soient X une presque C-représentation et ε ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)). Choisissons un diagramme

0 → V (1) → Y^{0} → Y^{1} → V → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → X(1) → X^{0} → X^{1} → X → 0

comme ci-dessus et soit ε_{V} ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(V, V (1)) l’élément défini par la ligne supérieure. Alors c_{V} (ε_{V}) ne dépend pas des choix faits. Si l’on pose c_{X}(ε) = c_{V} (ε_{V}), l’application c_{X} : Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)) → ℚ_{p} ainsi définie est ℚ_{p}-liné-aire.

LEMME 6.10. — Soit

0 → V_{1}(1) → Y_{1}^{0} → Y_{1}^{1} → V_{1} → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → V_{2}(1) → Y_{2}^{0} → Y_{2}^{1} → V_{2} → 0

un diagramme commutatif de représentation p-adiques dont les lignes sont exactes. Pour i = 1, 2, soit ε_{V_{i}} ∈ Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(V_{i}, V_{i}(1)) l’élément défini par la i-ième ligne. On a, avec des conventions évidentes

c_{V_{2}}(ε_{V_{2}}) = c_{V_{1}}(ε_{V_{1}})

Preuve : Pour i = 1, 2, on a, avec des notations évidentes V_{i}^{∗} ⊗V_{i} = sl(V_{i})⊕ℚ_{p} et c_{V_{i}}(ε_{V_{i}}) est la classe de

0 → ℚ_{p}(1) → E_{i}^{0} → E_{i}^{1} → ℚ_{p} → 0

où E_{i}^{0} est le quotient de V_{i}^{∗} ⊗Y_{i}^{0} par sl(V_{i})(1) tandis que E_{i}^{1} est l’image inverse de ℚ_{p} dans V_{i}^{∗} ⊗ Y_{i}^{1}. On voit que le noyau de l’application composée naturelle

V_{2}^{∗} ⊗ (V_{2}(1) ⊕ Y_{1}^{0}) = (V_{2}^{∗} ⊗ V_{2}(1)) ⊕ (V_{2}^{∗} ⊗ Y_{1}^{0}) → ℚ_{p}(1) ⊕ (V_{1}^{∗} ⊗ Y_{1}^{0}) → E_{1}^{0}

contient le noyau de la projection V_{2}^{∗} ⊗ (V_{2}(1) ⊕ Y_{1}^{0}) → V_{2}^{∗} ⊗ Y_{2}^{0} → E_{2}^{0} d’où, par passage au quotient, une application de E_{2}^{0} dans E_{1}^{0}. On a E_{1}^{1} ⊂ V_{1}^{∗} ⊗ Y_{1}^{1} ⊂ V_{1}^{∗} ⊗ Y_{2}^{1}. On voit que l’image de l’application composée E_{2}^{1} ⊂ V_{2}^{∗} ⊗ Y_{2}^{1} → V_{1}^{∗} ⊗ Y_{2}^{1} est contenue dans E_{2}^{1}, d’où une application de E_{2}^{1} dans E_{1}^{1}. On vérifie alors que le diagramme

0 → ℚ_{p}(1) → E_{1}^{0} → E_{1}^{1} → ℚ_{p} → 0
∥ ↓ ↓ ∥
0 → ℚ_{p}(1) → E_{2}^{0} → E_{2}^{1} → ℚ_{p} → 0

est commutatif et on a donc c_{V_{1}}(ε_{V_{1}}) = c_{V_{2}}(ε_{V_{2}}).

Prouvons maintenant la proposition : Commençons par vérifier que, le complexe presque trivial

X^{0} ⟶^{d} X^{1}

étant fixé, c_{V} (ε_{V}) ne dépend pas du choix de la représentation p-adique Y^{0} ⊂ X^{0} telle que dY^{0} = dX^{0} : Si Y_{1}^{0} et Y_{2}^{0} sont deux choix, on peut quitte à remplacer Y_{2}^{0} par Y_{1}^{0} + Y_{2}^{0}, supposer qe Y_{1}^{0} ⊂ Y_{2}^{0}. Si, pour i = 1, 2, on pose V_{i}(1) = X(1) ∩ Y_{i}^{0}, on a V_{1} ⊂ V_{2} et on dispose d’un diagramme commutatif

0 → V_{1}(1) → Y_{1}^{0} → Y_{1}^{1} → V_{1} → 0
∩ ∩ ∩ ∩
0 → V_{2}(1) → Y_{2}^{0} → Y_{2}^{1} → V_{2} → 0

dont les lignes sont exactes. D’après le lemme précédent, on a bien, avec des notations évidentes c_{V_{1}}(ε_{V_{1}}) = c_{V_{2}}(ε_{V_{2}}).

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que si

0 → V (1) → Y^{0} → Y^{1} → V → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → X(1) → X_{1}^{0} → X_{1}^{1} → X → 0
∥ ↓ ↓ ∥
0 → X(1) → X_{2}^{0} → X_{2}^{1} → X → 0

est un diagramme commutatif de presque C-représentations, dont les lignes sont exactes, la première étant constituée de représentations p-adiques, alors il existe un diagramme commutatif

0 → V_{2}(1) → Y_{2}^{0} → Y_{2}^{1} → V_{2} → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → X(1) → X_{2}^{0} → X_{2}^{1} → X → 0

dont les lignes sont exactes, la première étant formée de représentations padiques, telle que c_{V_{2}}(ε_{V_{2}}) = c_{V} (ε_{V}). Il suffit de prendre V_{2} = V et pour Y_{2}^{0} (resp. Y_{2}^{1}) l’image de Y^{0} (resp. Y^{1}) dans X_{2}^{0} (resp. X_{2}^{1}). On a alors un diagramme commutatif

0 → V (1) → Y^{0} → Y^{1} → V → 0
∥ ↓ ↓ ∥
0 → V_{2}(1) → Y_{2}^{0} → Y_{2}^{1} → V_{2} → 0

et, dans Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{2}(V, V (1)), les deux 2-extensions considérées définissent le même élément. Donc c_{V_{2}}(ε_{V_{2}}) = c_{V} (ε_{V}).

Si X et Y sont deux presque-C-représentations, on dispose alors de deux applications bilinéaires

Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) × Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1)) → ℚ_{p}

La première envoie (a, b) sur c_{X}(a ∪ b) et la deuxième sur c_{Y} (b ∪ a) (on a identifié, de manière évidente, Ext_{C(G_{K})}^{n}(X(1), Y (1)) à Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y)).

PROPOSITION 6.11. — Soient X et Y des presque C-représentations et soit n ∈ {0, 1, 2}.

i) Si a ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, Y) et b ∈ Ext_{C(G_{K})}^{2}(Y, X(1)), on a c_{Y} (b ∪ a) = (−1)^{n}c_{X}(a ∪ b). ii) L’application bilinéaire

Ext_{C(G_{K})}^{n}(X, Y) × Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1)) → Ext_{C(G_{K})}^{2}(X, X(1)) ⟶^{c_{X}} ℚ_{p}

qui envoie (a, b) sur c_{X}(a ∪ b), est non dégénérée.

Preuve : Montrons (i) : Supposons d’abord n = 0, de sorte que a est un morphisme de X dans Y et que b est la classe d’une 2-extension

0 → X(1) → E^{0} ⟶^{d} E^{1} → Y → 0

avec Z = d(E^{0}) de dimension finie. Si E_{X}^{1} = E^{1} ×_{Y} X, le cup-produit a ∪ b est la classe de la 2-extension

0 → X(1) → E^{0} → E_{X}^{1} → X → 0

Si E_{Y}^{0} = Y (1) ⊕_{X(1)} E^{0} (où X(1) → Y (1) est a ⊗ id_{ℤ_{p}(1)}), le cup-produit b ∪ a est la classe de

0 → Y (1) → E_{Y}^{0} → E^{1} → Y → 0

Choisissons F^{0} ⊂ E^{0} de dimension finie telle que d(F^{0}) = d(E^{0}), posons V_{1}(1) = F^{0} ∩ X(1) et notons F^{1} l’image inverse de V_{1} dans E_{X}^{1}. On a deux diagrammes commutatifs

0 → V_{1}(1) → F^{0} → Z → 0  0 → Z → F^{1} → V_{1} → 0
∩ ∩ ∥ ∥ ↓ ∩
0 → X(1) → E^{0} → Z → 0  0 → Z → E_{X}^{1} → X → 0
↓ ↓ ∥ ∥ ↓ ↓
0 → Y (1) → E_{Y}^{0} → Z → 0  0 → Z → E^{1} → Y → 0

dont les lignes sont exactes. Soient V_{2} = a(V_{1}), G^{0} l’image de F^{0} dans E_{Y}^{0} et G^{1} l’image de F^{1} dans E^{1}. On a un diagramme commutatif

0 → V_{1}(1) → F^{0} → F^{1} → V_{1} → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → V_{2}(1) → G^{0} → G^{1} → V_{2} → 0

dont les lignes sont exactes. Notons ε_{1} (resp. ε_{2}) la classe de la 2-extension de V_{1} par V_{1}(1) (resp. V_{2} par V_{2}(1)) définie par la première (resp. la seconde). On voit que c_{X}(a ∪ b) = c_{V_{1}}(ε_{1}) tandis que c_{Y} (b ∪ a) = c_{V_{2}}(ε_{2}). D’après le lemme 6.10, on a bien c_{V_{1}}(ε_{1}) = c_{V_{2}}(ε_{2}).

Supposons maintenant n = 1. Soient

0 → Y → E^{1} → X → 0 et 0 → X(1) → E^{0} → Y → 0

deux suites exactes courtes représentant a et b. Le choix d’un presque-scindage de chacune d’elles nous donnent des diagrammes commutatifs de presque-C-représentations

0 → V_{2} → G^{1} → V_{1} → 0  0 → V_{1}(1) → G^{0} → V_{2} → 0
∥ ∩ ∩ ∥ ∩ ∩
0 → V_{2} → F^{1} → X → 0  0 → V_{1}(1) → F^{0} → Y → 0
∩ ∩ ∥ ∩ ∩ ∥
0 → Y → E^{1} → X → 0  0 → X(1) → E_{0} → Y → 0

dont les lignes sont exactes, avec V_{1} et V_{2} de dimension finie sur ℚ_{p} (on choisit les F^{i}, puis on pose V_{2} = F^{1} ∩ Y, V_{1}(1) = F^{0} ∩ X(1), G^{1} = F^{1} ×_{X} V_{1} et G^{0} = F^{0} ×_{Y} V_{2}). On dispose alors d’un diagramme commutatif

0 → V_{1}(1) → G^{0} →  G^{1}  → V_{1} → 0
∥  ↓  ↓  ∥
0 → V_{1}(1) → F^{0} → E^{1} ×_{X} V_{1} → V_{1} → 0
↓  ↓  ↓  ↓
0 → X(1) → E^{0} →  E^{1}  → X → 0

dont les lignes sont exactes. Si l’on note a′ ∈ Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(V_{1}, V_{2}) la classe de G^{1} et b′ ∈ Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(V_{2}, V_{1}(1)) celle de G^{0}, on en déduit que c_{X}(a∪b) = c_{V_{1}}(a′∪b′). Un calcul similaire montre que c_{Y} (b ∪ a) = c_{V_{2}}(b′ ∪ a′). Mais, si V = V_{1}^{∗} ⊗ V_{2}, on a

Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(V_{1}, V_{2}) = H_{cont}^{1}(K, V) et Ext_{ℚ_{p}[G_{K}]}^{1}(V_{2}, V_{1}(1)) = H_{cont}^{1}(K, V^{∗}(1))

Lorsque l’on identifie V ⊗V^{∗}(1) à V^{∗}(1)⊗V, on a b∪a = −a∪b. Par conséquent c_{Y} (b ∪ a), qui est l’image de b′ ∪ a′ dans H^{2}(K, ℚ_{p}(1)) = ℚ_{p} est l’opposé de c_{X}(a ∪ b) qui est l’image de a′ ∪ b′.

Pour n = 2, la preuve est entièrement analogue au cas n = 0.

Montrons alors (ii) : Pour X fixé, les F_{X}^{n}(Y) = Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1))^{∗} forment un δ-foncteur. On voit que l’application

Ext^{n}(X, Y) → F_{X}^{n}(Y)

induite par l’accouplement (a, b) → c_{X}(a ∪ b) est un δ-foncteur. De même, pour Y fixé, les G_{Y}^{n} (X) = Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(Y, X(1))^{∗} forment un δ-foncteur contravariant tandis que l’application

Ext^{n}(X, Y) → F_{X}^{n}(Y)

induite par l’accouplement (a, b) → c_{Y} (b ∪ a) = −(1)^{n}c_{X}(a ∪ b) est aussi un δ-foncteur. Mais, toute presque-C-représentation X est presque isomorphe à C^{d} pour un entier d convenable, et toute presque C-représentation Y est presqu’isomorphe à un C(1)^{d′} pour un entier d′ convenable. Par dévissage, on est alors ramené à vérifier la proposition dans chacun des trois cas suivants

a) X est une ℚ_{p}-représentation,

b) Y est une ℚ_{p}-représentation,

c) X = C(1) et Y = C. Le cas (a) n’est autre que la proposition 6.8 et l’assertion (i) ramène le cas (b) au cas (a). Dans le cas (c), on a Ext_{C(G_{K})}^{n}(C(1), C) = Ext_{C(G_{K})}^{2−n}(C, C(2)) = 0 et il n’y a rien à démontrer.

7 – Presque C-représentations à presqu’isomorphismes près

Nous renvoyons par exemple à [Iv87], §XI et à [KS90], §1.6 pour tout ce qui concerne la notion de localisation dans une catégorie additive. Disons qu’un morphisme f de presque-C-représentations est un presqu’isomorphisme si son noyau et son conoyau sont tous deux de dimension finie sur ℚ_{p}. Les presqu’isomorphismes forment un système multiplicatif dans la catégorie C(G_{K}). On peut donc parler de la catégorie additive C_{P I}(G_{K}) localisée de C(G_{K}) par rapport aux presqu’isomorphismes.

PROPOSITION 7.1. — La catégorie quotient C_{P I}(G_{K}) des presque-C-représen-tations à presqu’isomorphismes près est une catégorie abélienne semi-simple. Tout objet simple de C_{P I}(G_{K}) est isomorphe à C.

Preuve : Dire que deux objets de C_{P I}(G_{K}) sont isomorphes revient à dire qu’ils sont presqu’isomorphes en tant qu’objets de C(G_{K}). C’est le cas si et seulement s’ils ont la même dimension. Par conséquent, pour tout objet S de C_{P I}(G_{K}), il existe un unique d ∈ ℕ tel que S est isomorphe à C^{d}. On voit aussi que tout endomorphisme non nul de C vu comme objet de C_{P I}(G_{K}) est un automorphisme. La proposition en résulte.

Déterminer complètement - à équivalence de catégories près - la catégorie C_{P I}(G_{K}) revient à donc à déterminer le corps gauche D_{K} des endomorphismes de C dans cette catégorie. On va décrire sa structure en tant que K-espace vectoriel. Notons V l’ensemble des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie de C stables par G_{K} et C_{f} la réunion (filtrante) des V ∈ V.

PROPOSITION 7.2. — Soit D_{K} = End_{C_{P I}(G_{K})}(C).

i) En tant que K-espace vectoriel, D_{K} s’identifie à \underrightarrow{lim}_{V ∈V} Hom_{C(G_{K})}(C, C/V). ii) Pour tout V ∈ V, on dispose d’une suite exacte de K-espaces vectoriels

0 → K → Hom_{C(G_{K})}(C, C/V) → (C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1))^{G_{K}} → K

et l’application de droite est surjective dès que V est assez grand. iii) On dispose d’une suite exacte de K-espaces vectoriels

0 → K → D_{K} → (C ⊗_{ℚ_{p}} C_{f}((−1))^{G_{K}} → K → 0

Preuve : La première assertion paraît claire. Si l’on veut être rigoureux, il est peut-être nécessaire de procéder ainsi : Un élément de D_{K} est la classe d’un couple

C ⟵^{π} E ⟶^{φ} C

de morphismes de C(G_{K}), où π est un presqu’isomorphisme. Ceci implique (th.5.1) que d(E) = 1, que π est surjective et que son noyau V′ est de dimension finie sur ℚ_{p}. Ceci permet de voir E comme une extension de C par V′ et π comme la projection de E sur C. Si V = φ(V′), l’application φ induit par passage au quotient un morphisme f : C → C/V. Si maintenant C ⟵^{π_{1}} E ⟶^{φ_{1}} C et C ⟵^{π_{2}} E ⟶^{φ_{2}} C sont des diagrammes de C(G_{K}) avec π_{1} et π_{2} des presqu’isomorphismes, ils définissent, par la recette précédente des sous-ℚ_{p}- espaces vectoriels de dimension finie, stables par G_{K}, de C et des morhismes f_{1} : C → C/V_{1} et f_{2} : C → C/V_{2}. On voit facilement que la classe de (π_{1}, φ_{1}) est égale à celle de (π_{2}, φ_{2}) si et seulement le carré

C  ⟶^{f_{1}}  C/V_{1}
f_{2} ↓  ↓ proj.can.
C/V_{2} ⟶_{proj.can.} C/(V_{1} + V_{2})

est commutatif. D’où (i). Soit V ∈ V. Comme Hom_{C(G_{K})}(C, V) = 0 (cor. au th.3.11) et End_{C(G_{K})}(C) = K (th.3.11), la suite exacte

0 → V → C → C/V → 0

induit une suite exacte

0 → K → Hom_{C(G_{K})}(C, C/V) → Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, V)) → Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, C)

Rappelons (prop.3.12) que Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, V) s’identifie à Hom_{C(G_{K})}(C, C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1)) ≃ (C⊗_{ℚ_{p}}V (−1))^{G_{K}}. Comme Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, C) est un K-espace vectoriel de dimension 1 de base la classe c_{2} de C_{2}, l’application K → Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, C) qui envoie λ sur λc_{2} identifie K à Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, C). On a donc bien une suite exacte

0 → K → Hom_{C(G_{K})}(C, C/V) → (C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1))^{G_{K}} → K

Dans le cas particulier où V est une extension non triviale de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}, on voit (prop.3.10) que l’application (C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1))^{G_{K}} → K est un isomorphisme. Si V_{1} ⊂ V_{2} sont dans V, le diagramme

0 → → Hom_{C(G_{K})}(C, C/V_{1}) → (C ⊗_{ℚ_{p}} V_{1}(−1))^{G_{K}} → K → 0
∥ ↓ ↓ ∥
0 → K → Hom_{C(G_{K})}(C, C/V_{2}) → (C ⊗_{ℚ_{p}} V_{2}(−1))^{G_{K}} → K → 0

est commutatif. Par conséquent, pour que l’application (C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1))^{G_{K}} → K soit surjective, il suffit que V contienne une extension non triviale de ℚ_{p}(1) par ℚ_{p}. Compte-tenu de la commutativité du diagramme ci-dessus, l’assertion (iii) résulte de (ii) par passage à la limite.

Remarques : i) J’ignore si l’inclusion (C ⊗_{ℚ_{p}} C_{f}(−1))^{G_{K}} ⊂ (C ⊗_{ℚ_{p}} C(−1))^{G_{K}} est stricte. ii) On comparera ce théorème avec le résultat analogue dans le contexte des espaces de Banach-Colmez ([Co02], th.9.5). ii) Pour toute presque-C-représentation X de dimension 1, le K-espace vectoriel D_{K} s’identifie à Hom_{C_{P I}(G_{K})}(C, X). Notons V_{X} l’ensemble des sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie de X stables par G_{K} et X_{f} la réunion (filtrante) des V ∈ V_{X}. Le même raisonnement que précédemment montre que D_{K} = \underrightarrow{lim}_{V ∈V_{X}} Hom_{C(G_{K})}(C, X/V). Si X n’est isomorphe ni à C, ni à C(1), pour

tout V ∈ V_{X}, l’application Hom_{C(G_{K})}(C, X/V) → Ext_{C(G_{K})}^{1}(C, V) ≃ (C ⊗_{ℚ_{p}} V (−1))^{G_{K}} est un isomorphisme. Par passage à la limite, on en déduit un isomorphisme de K-espaces vectoriels

D_{K} → (C ⊗_{ℚ_{p}} X_{f})^{G_{K}} .

8 – Extensions universelles

8.1 – B_{dR}^{+}–représentations triviales

PROPOSITION 8.1. — Soit W une B_{dR}^{+}-représentation de G_{K}. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) l’application B_{dR}^{+}-linéaire B_{dR}^{+} ⊗_{K} W^{G_{K}} → W déduite par extension des scalaires de l’inclusion de W^{G_{K}} dans W est surjective, ii) le sous-\overline{K}-espace vectoriel W^{disc} de W formé des w ∈ W dont le fixateur G_{w} = {g ∈ G_{K} | g(w) = w} est ouvert dans G_{K} est dense dans W, iii) il existe une suite d’entiers r_{1}, r_{2}, …, r_{m}, … naturels, presque tous nuls, et un isomorphisme de B_{dR}^{+}-représentations ⊕_{m≥1}B_{m}^{r_{m}} ≃ W .

Preuve : Pour tout \overline{K}-espace vectoriel X muni d’une action semi-linéaire discrète de G_{K}, l’application \overline{K}-linéaire

\overline{K} ⊗_{K} X^{G_{K}} → X

déduite par extension des scalaires de l’inclusion de X^{G_{K}} dans X est un isomorphisme : lorsque X est de dimension finie, cela résulte de ce que, pour tout d ∈ ℕ, H^{1}(G_{K}, GL_{d}(\overline{K})) est trivial. Le cas général s’en déduit par passage à la limite. Ceci implique que W^{disc} s’identifie à \overline{K} ⊗_{K} W^{G_{K}}. L’équivalence de (i) et (ii) résulte alors de ce que \overline{K} est dense dans B_{dR}^{+} (c’est un résultat de Colmez, cf. [Fo88a], appendice). L’implication (iii)⇒(i) est immédiate. Montrons la réciproque : Pour tout m ∈ ℕ, notons F_{m}W^{G_{K}} le sous-K-espace vectoriel de W^{G_{K}} formé des x tels que t^{m}x = 0. On a F_{m−1}W^{G_{K}} ⊂ F_{m}W^{G_{K}} pour tout m, F_{0}W^{G_{K}} = 0 et F_{m}W^{G_{K}} = W^{G_{K}} pour m assez grand. Pour chaque m ≥ 1, choisissons des (e_{m,i})_{1≤i≤r_{m}} dans F_{m}W^{G_{K}} qui relèvent une base de F_{m}W^{G_{K}} /F_{m−1}W^{G_{K}}. Si W vérifie (i), l’application ⊕_{m≤1}B_{m}^{r_{m}} → W qui envoie (b_{m,i})_{m≥1,1≤i≤r_{m}} sur ∑ b_{m,i}e_{m,i} est un isomorphisme.

On dira qu’une B_{dR}^{+}-représentation W est triviale si elle vérifie les propriétés équivalentes de la proposition précédente. Lorsque W est une C-représentation, on retrouve la définition donnée au §1.3.

8.2 – Extensions universelles par des représentations p-adiques

Reprenons les notations du §3.4. Pour toute représentation p-adique V, posons E_{e}(V) = B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V et, pour tout m ∈ ℕ, E_{m}(V) = Fil^{−m}B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V. On a des suites exactes

\begin{aligned}& 0 → V → E_{e}(V) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0 \\ et & 0 → V → E_{m}(V) → B_{m}(−m) ⊗_{ℚ_{p}} V → 0 \end{aligned}

Chaque E_{m}(V) est une presque C-représentation, extension d’une B_{m}-repré-sentation (i.e. une B_{dR}^{+}-représentation tuée par t^{m}) par V tandis que E_{e}(V) est la réunion croissante des E_{m}(V). En particulier E_{e}(V) a une structure naturelle de ℚ_{p}-espace vectoriel topologique (c’est une limite inductive de banach) et l’action de G_{K} est continue. La proposition 3.13 signifie que E_{m}(V) est l’extension universelle d’une B_{m}- représentation par V, i.e. qu’étant donnée une suite exacte

0 → V → E → W → 0

de B(G_{K}), avec W une B_{m}-représentation, il existe un et un seul morphisme de B(G_{K}) (ou un morphisme de B_{m}-représentations, cela revient au même d’après le théorème 3.11)

f : W → B_{m}(−m) ⊗_{ℚ_{p}} V

tel que E = E_{m}(V) ×_{B_{m}(−m)⊗V} W. Autrement dit, E_{m}(V) est solution du problème universel des extensions de B_{m}-représentations par V : étant donnée une telle extension il existe une et une seule application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante de E dans E_{m}(V) qui est l’identité sur V. Par passage à la limite on voit que E_{e}(V) est une limite inductive de représentations banachiques caractérisée à isomorphisme unique près par le fait qu’étant donné une représentation banachique E, extension d’une B_{dR}^{+}-représentation par V, il existe une et une seule application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante de E dans E_{e}(V) qui est l’identité sur V.

Pour toute représentation p-adique V de G_{K}, on appelle espace tangent de V le K-espace vectoriel t_{V} = ((B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}}. Soit m ∈ ℤ. Posons Fil^{m}t_{V} = 0 si m ≥ 0 et Fil^{m}t_{V} = ((Fil^{m}B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} sinon. Si Gr^{m}t_{V} = Fil^{m}t_{V} /Fil^{m+1}t_{V}, on a Gr^{m}t_{V} = 0 pour m ≥ 0 tandis que, pour m < 0, Gr^{m}t_{V} s’identifie à un sous-K-espace vectoriel de (C(m) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}}. Par conséquent, Gr t_{V} = ⊕_{m∈ℤ}Gr^{m}t_{V} s’identifie à un sous-K-espace vectoriel de D_{HT} (V) = ⊕_{m∈ℤ}(C(m) ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}}. Comme D_{HT} (V) est un K-espace vectoriel de dimension finie inférieure ou égale à la dimension h de V sur ℚ_{p}, il en est de même de t_{V}. Lorsque V est de de Rham, c’est-à-dire lorsque le K-espace vectoriel D_{dR}(V) = (B_{dR} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} est de dimension h, on voit, pour des raisons de dimension, que la suite

0 → (B_{dR}^{+} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} → D_{dR}(V) → t_{V} → 0

est exacte, ce qui fait que l’on retrouve la définition habituelle de l’espace tangent ([FPR94], §2.2). Pour toute K-algèbre Λ, notons t_{V} (Λ) le Λ-module Λ ⊗_{K} t_{V}. L’inclusion de t_{V} dans (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V induit une application \overline{K}-linéaire t_{V} (\overline{K}) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V et une application B_{dR}^{+}-linéaire t_{V} (B_{dR}^{+}) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V. On voit que la première est injective - ce qui nous permet d’identifier t_{V} (\overline{K}) à un sous-\overline{K}-espace vectoriel de (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V stable par G_{K} - et que l’image de la seconde, que nous notons t̂_{V} (\overline{K}) s’identifie à l’adhérence de t_{V} (\overline{K}) dans (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V ; c’est aussi la plus grande sous-B_{dR}^{+}-représentation triviale de (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V. On note E_{+}(V) (resp. E_{disc}(V)) l’image inverse de t̂_{V} (\overline{K}) (resp. t_{V} (\overline{K})) dans E_{e}(V) de sorte que l’on a un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes

0 → V → E_{disc}(V) →  t_{V} (\overline{K})  → 0
∥  ∩  ∩
0 → V → E_{+}(V) →  t̂_{V} (\overline{K})  → 0
∥  ∩  ∩
0 → V → E_{e}(V) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0

On voit aussi que E_{+}(V) est, en un sens évident, l’extension universelle d’une B_{dR}^{+}-représentation triviale par V.

Enfin, en prenant les éléments fixe par G_{K}, chacune de ces trois suites exactes donne la même suite exacte

0 → V^{G_{K}} → E_{e}(V)^{G_{K}} → t_{V} → H_{cont}^{1}(K, V)

L’application exp_{BK} : t_{V} → H_{cont}^{1}(K, V) ainsi définie n’est autre, lorsque V est une représentation de de Rham, que l’exponentielle de Bloch-Kato ([BK90], def.3.10) et son image est le sous-K-espace vectoriel H_{e}^{1}(K, V).

Exercice : Soit m ∈ ℤ. Alors, si m ≤ 0, E_{+}(ℚ_{p}(m)) = ℚ_{p}(m). Si m > 0, E_{+}(ℚ_{p}(m)) est une extension de B_{m} par ℚ_{p}(m) et s’identifie au sous-espace de B_{cris} formé des b tels que φ(b) = p^{m}b.

Remarque : Soient V une représentation p-adique et posons

Hom(B_{dR}^{+}, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) = \underleftarrow{lim}_{m∈ℕ} \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} Hom_{C(G_{K})}(B_{m}, B_{n}(−n) ⊗_{ℚ_{p}} V)

On a Hom(B_{dR}^{+}, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) = Hom_{C(G_{K})}(B_{m}, B_{n}(−n) ⊗_{ℚ_{p}} V) pour m et n suffisamment grands et le théorème de pleine fidélité implique que tout f ∈ Hom(B_{dR}^{+}, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V) est une application B_{dR}^{+}-linéaire. Elle est donc déterminée par l’image de 1 qui doit être fixe par G_{K}. Ce K-espace vectoriel s’identifie donc à l’espace tangent t_{V}. En utilisant l’inclusion de ℚ_{p} dans B_{dR}^{+}, on obtient en appliquant le foncteur Hom(B_{dR}^{+}, −−) et le foncteur Hom(ℚ_{p}, −−) à la suite exacte

0 → V → B_{e} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V → 0

un carré commutatif

t_{V}  ⟶^{≃}  Ext^{1}(B_{dR}^{+}, V)
∥  ↓
t_{V} ⟶^{exp_{BK}} Ext_{C(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, V)

Donc H_{e}^{1}(K, V) s’identifie au sous-groupe de H^{1}(K, V) = Ext_{C(G_{K})}^{1}(ℚ_{p}, V) formé des extensions de ℚ_{p} par V qui proviennent d’une extension de B_{dR}^{+} par V.

Appelons K_{0}[φ, N]-module (ou (φ, N)-module sur k) la donnée d’un K_{0}-espace vectoriel D muni de deux applications φ : D → D, N : D → D, la première semi-linéaire relativement au Frobenius absolu σ agissant sur K_{0}, la deuxième K_{0}-linéaire, vérifiant Nφ = pφN. Rappelons ([Fo86a],§3) que B_{st} est une sous-K_{0}-algèbre de B_{dR} contenant B_{cris}, stable par G_{K}, que l’endomorphisme φ de B_{cris} s’étend en un endomorphisme, encore noté φ,toujours G_{K} équivariant, de B_{st} et que B_{st} est équippé d’une B_{cris}-dérivation N : B_{st} → B_{st} également G_{K}-équivariante et vérifiant Nφ = pφN.

Pour toute représentation p-adique V de G_{K}, D_{st}(V) = (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} est de façon naturelle un K_{0}[φ, N]-module. Sa dimension en tant que K_{0}-espace vectoriel est inférieure ou égale à la dimension de V sur ℚ_{p} ; on dit que V est semi-stable si l’on a l’égalité ([Fo86b], §5).

Appelons B_{e}-représentation (de G_{K}) la donnée d’un B_{e}-module libre de rang fini muni d’une action semi-linéaire continue de G_{K}.

PROPOSITION 8.2. — Soient V_{1} et V_{2} deux représentations p-adiques de même dimension sur ℚ_{p}. Supposons V_{1} semi-stable. Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) les (φ, N)-modules D_{st}(V_{1}) et D_{st}(V_{2}) sont isomorphes, ii) les B_{e}-représentations E_{e}(V_{1}) → E_{e}(V_{2}) sont isomorphes.

Remarquons que (i) implique que V_{2} est aussi semi-stable.

Preuve : Pour i = 1, 2, B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{i} est muni d’une structure de (φ, N)-module en posant φ(b ⊗ v) = φ(b) ⊗ v et N(b ⊗ v) = N(b) ⊗ v si b ∈ B_{st} et v ∈ V_{i} et D_{st}(V_{i}) est le sous-(φ, N)-module (B_{st} ⊗ V_{i})^{G_{K}} de B_{st} ⊗ V_{i}. On a B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{i} = B_{st} ⊗_{B_{e}} (B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V_{i}) = B_{st} ⊗_{B_{e}} E_{e}(V_{i})). Comme φ(b) = b et Nb = 0 pour tout b ∈ B_{e}, on a φ(x) = x et N(x) = 0 pour tout x ∈ E_{e}(V_{i}). Comme l’action de φ sur B_{st} est un endomorphisme de la structure d’anneau tandis que celle de N est une dérivation, on a

φ(b ⊗ x) = φ(b) ⊗ x et N(b ⊗ x) = Nb ⊗ x quelque soient b ∈ B_{st} et x ∈ E_{e}(V_{i})

Par conséquent, toute application B_{e}-linéaire G_{K}-équivariant bijective de E_{e}(V_{1}) sur E_{e}(V_{2}) induit, par extension des scalaires à B_{st} un isomorphisme de B_{st}-modules de B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} sur B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{2} compatible avec l’action de G_{K}, celle de φ et celle de N. En prenant les invariants sous G_{K}, on en déduit un isomorphisme (de (φ, N)-modules) de D_{st}(V_{1}) sur D_{st}(V_{2}). Réciproquement, si les (φ, N)-modules D_{st}(V_{1}) et D_{st}(V_{2}) sont isomorphes, on a dim_{K_{0}} D_{st}(V_{2}) = dim_{K_{0}} D_{st}(V_{1}) = dim_{ℚ_{p}} V_{1} = dim_{ℚ_{p}} V_{2} et V_{2} est aussi semistable. Pour i = 1, 2, B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{i} s’identifie donc à B_{st} ⊗_{K_{0}} D_{st}(V_{i}) ([Fo86b], th.5.3.5) et on dispose donc d’un isomorphisme de B_{st}-modules de B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} sur B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V_{2} compatible avec l’action de G_{K}, celle de φ et celle de N. En prenant la partie sur laquelle φ = 1 et N = 0, on trouve un isomorphisme de E_{e}(V_{1}) sur E_{e}(V_{2}).

Remarque : Il serait intéressant d’étudier plus en détail les B_{e}-représentations. En particulier, on peut se demander si le foncteur d’oubli de la catégorie des B_{e}-représentations dans celle des ℚ_{p}-espaces vectoriels topologiques avec action linéaire et continue de G_{K} n’est pas pleinement fidèle. On a en tout cas le résultat suivant (en se fatigant un peu plus, on devrait pouvoir éviter d’avoir à remplacer K_{0} par K′_{0} et G_{K} par G_{K′}) :

PROPOSITION 8.3. — Soient V_{1} et V_{2} deux représentations p-adiques. Supposons V_{1} semi-stable et dim_{ℚ_{p}} V_{2} ≤ dim_{ℚ_{p}} V_{1}. Supposons qu’il existe une application ℚ_{p}-linéaire G_{K}-équivariante injective E_{e}(V_{1}) → E_{e}(V_{2}). Alors i) les ℚ_{p}-espaces vectoriels V_{1} et V_{2} ont la même dimension et V_{2} est semistable ; ii) il existe une extension finie non ramifiée K′_{0} de K_{0} telle que les K′_{0}[φ, N]- modules K′_{0} ⊗_{K_{0}} D_{st}(V_{1}) et K′_{0} ⊗_{K_{0}} D_{st}(V_{2}) sont isomorphes ; iii) il existe un sous-groupe ouvert G_{K′} de G_{K} contenant le groupe d’inertie et une application B_{e}-linéaire bijective G_{K′}-équivariante de E_{e}(V_{1}) dans E_{e}(V_{2}).

Preuve : Soit h le ppcm des dénominateurs des pentes de D_{st}(V_{1}) (vu comme un φ-isocristal). Rappelons les propriétés dont nous allons avoir besoin du sousanneau B_{st}^{h} de B_{st} introduit dans [Fo00], §5.5 : Notons P_{0} le corps des fractions des vecteurs de Witt à coefficients dans le corps résiduel de \overline{K} ; c’est un souscorps de B_{cris}, stable par G_{K} et par l’action de φ (qui opère via le Frobenius absolu) ; l’homomorphisme de ℚ_{p}-algèbres P_{0} ⊗_{ℚ_{p}} B_{e} → B_{cris} est injectif et identifie P_{0} ⊗_{ℚ_{p}} B_{e} à un sous-anneau de B_{cris} noté B_{0}. Soit t_{h} un élément de B_{cris} vérifiant t_{h} ∈ Fil^{1}B_{dR}, φ^{n}t_{h} ∈ B_{dR}^{+} pour 1 ≤ n ≤ h − 1 et φ^{h}(t_{h}) = pt_{h}. Alors t_{h} est inversible dans B_{cris}, on a g(t_{h})/t_{h} ∈ P_{0} pour tout g ∈ G_{K} et la sous-B_{0}-algèbre de B_{cris} engendrée par t_{h} et 1/t_{h} s’identifie à l’algèbre des polynômes de Laurent en t_{h} à coefficients dans B_{0}. Notons u l’élément de B_{st} noté log[π] dans loc.cit. ; on a g(u) − u ∈ ℤ_{p}(1) = ℤ_{p}t, pour tout g ∈ G_{K}, φ(u) = pu et Nu = −1. Alors B_{st}^{h} s’identifie à l’anneau des polynômes en u à coefficients dans B_{0}, donc aussi à P_{0}[t_{h}, 1/t_{h}, u] ⊗_{ℚ_{p}} B_{e}. Enfin le fait que hα ∈ ℤ pour toute pente α de D_{st}(V_{1}) implique que D_{st}(V_{1}) = (B_{st}^{h} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1})^{G_{K}}. Pour i = 1, 2, on a B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V_{i} = E_{e}(V_{i}) et on dispose donc d’une application ℚ_{p}-linéaire injective G_{K}-équivariante B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} ↪ B_{e} ⊗_{ℚ_{p}} V_{2}. D’où par extension des scalaires une application P_{0}[t_{h}, 1/t_{h}, u]-linéaire injective B_{st}^{h} ⊗_{ℚ_{p}} V_{1} ↪ B_{st}^{h} ⊗_{ℚ_{p}} V_{2}. Comme le sous-anneau P_{0}[t_{h}, 1/t_{h}, u] de B_{st} est stable par G_{K}, cette application est aussi G_{K}-équivariante. Pour les mêmes raisons, elle commute aussi à l’action de φ^{h} et à celle de N. En prenant les invariants sous Galois, on obtient une application K_{0}-linéaire injective

D_{st}(V_{1}) → (B_{st}^{h} ⊗_{ℚ_{p}} V_{2})^{G_{K}} ⊂ D_{st}(V_{2})

Comme dim_{K_{0}} D_{st}(V_{2}) ≤ dim_{K_{0}}, on en déduit que V_{1} et V_{2} ont la même dimension sur ℚ_{p}, que V_{2} est semi-stable et que l’application ci-dessus est une bijection. D’où (i). Ceci implique aussi qu’il existe un isomorphisme de K_{0}[φ^{h}, N]-modules de D_{st}(V_{1}) sur D_{st}(V_{2}). Supposons d’abord que h divise [K_{0} : ℚ_{p}] et montrons qu’alors il existe aussi un isomorphisme de K_{0}[φ, N]-modules de D_{st}(V_{1}) sur D_{st}(V_{2}). Cela résulte de la conjonction des deux faits suivants (on a noté ℚ_{p^{h}} l’unique extension de ℚ_{p} de degré h contenue dans K_{0}) :

a) la flèche évidente ℚ_{p^{h}} ⊗_{ℚ_{p}} Hom_{K_{0}[φ,N]}(D_{1}, D_{2}) → Hom_{K_{0}[φ^{h},N]}(D_{1}, D_{2}) est surjective (bien sûr elle est aussi injective) ; b) si L est un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de L_{ℚ_{p^{h}}} (D_{1}, D_{2}) tel que le sous-ℚ_{p^{h}}- espace vectoriel de L_{ℚ_{p^{h}}} (D_{1}, D_{2}) engendré par L contient un isomorphisme, alors L aussi. Pour le premier, on remarque que, si f ∈ Hom_{K_{0}[φ^{h},N]}(D_{1}, D_{2}), l’application θ(f) : D_{1} → D_{2} définie par θ(f) = ∑_{i=0}^{h−1} φ^{i}fφ^{−i} est en fait dans Hom_{K_{0}[φ,N]}(D_{1}, D_{2}) ; si b_{1}, b_{2}, …, b_{h} est une base de ℚ_{p^{h}} sur ℚ_{p}, la matrice des (σ^{i}(b_{r}))_{0≤i<h,1≤r≤h} est inversible, il existe donc a_{1}, a_{2}, …, a_{h} ∈ ℚ_{p^{h}} tels que

∑ a_{r}b_{r} = 1 et ∑ a_{r}σ^{i}(b_{r}) = 0 pour1 ≤ i < h

On a f = ∑_{r=1}^{h} a_{r}θ(b_{r}f). L’assertion (b) qui n’utilise que le fait que le corps ℚ_{p} a une infinité d’éléments, que ℚ_{p^{h}} est une extension finie sur ℚ_{p} et que D_{1} et D_{2} sont de dimension finie sur ℚ_{p^{h}} est bien connue (cf., par exemple [Fo00], lemme 2.7). Dans le cas général enfin, il suffit de prendre pour K′_{0} la plus petite extension non ramifiée de K_{0} contenue dans \overline{K} telle que h divise [K′_{0} : ℚ_{p}]. Ceci termine la preuve de (ii). L’assertion (iii) résulte alors de la proposition précédente où l’on remplace K par l’extension finie non ramifiée Kℚ_{p^{h}}.

8.3 – Extensions universelles par des représentations de torsion

Appelons groupe abélien de cotype fini tout groupe abélien de torsion Λ tel que le ℤ̂-module des homomorphismes de Λ dans ℚ/ℤ est de type fini. Si Λ est un groupe de p-torsion, il est de cotype fini si et seulement si d’une part sa partie divisible Λ_{div} est isomorphe à (ℚ_{p}/ℤ_{p})^{h} pour un entier h convenable et d’autre part Λ/Λ_{div} est un groupe fini. Une représentation de cotype fini (de G_{K}) est un groupe abélien de cotype fini muni d’une action linéaire discrète de G_{K}. Soit Λ une représentation de cotype fini. On pose

T_{p}(Λ) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} Λ_{p^{n}} et V_{p}(Λ) = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(Λ)

Alors T_{p}(Λ) est un ℤ_{p}-module libre de rang fini, avec action linéaire et continue de G_{K} et V_{p}(Λ) est une représentation p-adique de G_{K}. Le quotient V_{p}(Λ)/T_{p}(Λ) s’identifie à la partie divisible Λ_{(p),div} du sous-groupe de p-torsion Λ_{(p)} de Λ. Pour ? désignant un symbole qui est e, +, disc ou un entier m ≥ 0, E_{?}(V_{p}(Λ)) est un ℚ_{p}-espace vectoriel topologique avec action linéaire et continue de G_{K} contenant T_{p}(Λ) comme un sous-groupe fermé stable par G_{K}. Le quotient E_{?}(V_{p}(Λ))/T_{p}(Λ) est donc un ℤ_{p}-module topologique avec action linéaire et continue de G_{K}, contenant Λ_{(p),div} comme sous-groupe discret. On pose alors

E_{?}(Λ) = Λ ⊕_{Λ_{(p),div}} (E_{?}(V_{p}(Λ))/T_{p}(Λ))

somme amalgamée de Λ et de E_{?}(V) au-dessous de Λ_{(p),div}. Bien sûr, cette construction n’a d’intérêt que pour un groupe de p-torsion puisque, si Λ_{(p′)} désigne le sous-groupe de Λ formé des éléments d’ordre premier à p, on a E_{?}(Λ) = Λ_{(p′)} ⊕ E_{?}(Λ_{(p)}).

Posons aussi t_{Λ} = t_{V_{p}(Λ)} et t̂_{Λ}(\overline{K}) = t̂_{V_{p}(Λ)}(\overline{K}). On a un diagramme commutatif

0 → Λ → E_{disc}(Λ) →  t_{Λ}(\overline{K})  → 0
∥  ∩  ∩
0 → Λ → E_{+}(Λ) →  t̂_{Λ}(\overline{K})  → 0
∥  ∩  ∩
0 → Λ → E_{e}(Λ) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V_{p}(Λ) → 0
∥ ∪ ∪
0 → Λ → E_{m(Λ)} → B_{m}(−m) ⊗ V_{p}(Λ) → 0

dont les lignes sont exactes.

PROPOSITION 8.4. — Soit Λ une représentation de cotype fini de G_{K}. Alors E_{disc}(Λ) est le plus grand sous-groupe stable par G_{K} de E_{e}(Λ) sur lequel l’action de G_{K} est discrète tandis que E_{+}(Λ) est l’adhérence de E_{disc}(Λ) dans E_{e}(Λ).

Preuve : Pour tout m ∈ ℕ, notons E_{m,disc}(Λ) le plus grand sous-groupe stable par G_{K} de E_{m}(Λ) sur lequel l’action de G_{K} est discrète. Comme l’action de G_{K} est discrète sur Λ, c’est l’image inverse du plus grand sous-groupe de B_{m}(−m)⊗ V_{p}(Λ) sur lequel l‘action de G_{K} est discrète ; ce sous-groupe s’identifie à \overline{K} ⊗_{K} (B_{m}(−m) ⊗ V_{p}(Λ))^{G_{K}} (prop.8.1). Par passage à la limite, on en déduit que le plus grand sous-groupe de E_{e}(Λ) stable par G_{K} sur lequel l’action de G_{K} est discrète est l’image inverse de \overline{K} ⊗_{K} ((B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V_{p}(Λ))^{G_{K}} = t_{Λ}(\overline{K}). La deuxième assertion est évidente.

On a encore des propriétés d’universalité :

PROPOSITION 8.5. — Soient Λ une représentation de cotype fini de G_{K} et E un groupe topologique abélien muni d’une action linéaire et continue de G_{K}, extension d’une B_{dR}^{+}-représentation W par Λ. Alors il existe une et une seule application linéaire continue G_{K}-équivariante f : E → E_{e}(Λ) qui est l’identité sur Λ. Son image est contenue dans E_{+}(Λ) (resp. E_{m}(Λ)) si et seulement si la B_{dR}^{+}-représentation W est triviale (resp. annulée par t^{m}).

Preuve : Pour tout groupe topologique abélien M notons V_{p}(M) le groupe des homomorphismes (de groupes) continus de ℚ_{p} dans M. On a bien V_{p}(Λ) = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(Λ). Si M est un ℚ_{p}-espace vectoriel, on a V_{p}(M) = M. On a V_{p}(E_{e}(Λ)) = E_{e}(V_{p}(Λ)) et on dispose d’une suite exacte courte

0 → V_{p}(Λ) → V_{p}(E) → W → 0

Toute application f : E → E_{e}(V) induit donc une application V_{p}(f) : V_{p}(E) → E_{e}(V_{p}(Λ)) et V_{p}(f) est l’identité sur V_{p}(Λ) si f est l’identité sur Λ. Inversement, on a E_{e}(Λ) = Λ ⊕_{Λ_{(p),div}} (E_{e}(V_{p}(Λ))/T_{p}(Λ)) et E s’identifie à Λ⊕_{Λ_{(p),div}} ((V_{p}(E))/T_{p}(Λ)), ce qui fait que toute flèche V_{p}(E) → E_{e}(V_{p}(Λ)) qui est l’identité sur V_{p}(Λ) induit une flèche E → E_{e}(Λ). La proposition résulte alors des propriétés universelles mises en évidence au paragraphe précédent.

8.4 – Applications aux variétés abéliennes, aux groupes de Barsotti-Tate et aux motifs

PROPOSITION 8.6. — Soient A une variété abélienne sur K, t_{A} son espace tangent, t′_{A} le K-espace vectoriel dual de l’espace tangent de la variété abélienne duale, T_{p}(A) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} A_{p^{n}}(\overline{K}), V = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} T_{p}(A) et V_{C} = C ⊗_{ℚ_{p}} V. On a des isomorphismes canoniques et fonctoriels

i) V_{C} = t_{A}(C)(1) ⊕ t′_{A}(C), ii) t_{A} ≃ t_{V} = t_{A_{p−tor}(\overline{K})} = t_{A_{tor}(\overline{K})}, iii) A(\overline{K}) ≃ E_{disc}(A_{tor}(\overline{K})) et A(C) ≃ E_{+}(A_{tor}(\overline{K})).

Remarque : La première assertion n’est autre que la décomposition de Hodge-Tate pour les variétés abéliennes dont on obtient ainsi une nouvelle preuve (mais c’est loin d’être la plus simple !).

Preuve : Le logarithme est défini partout sur A(C) et induit une suite exacte courte

0 → A_{tor}(\overline{K}) → A(C) → t_{A}(C) → 0

Mais t_{A}(C) est une C-représentation triviale de dimension la dimension g de A. D’après la proposition précédente, il existe des applications ℚ_{p}-linéaires continues G_{K}-équivariantes uniques de η : A(C) → E_{+}(C) et η̄ : t_{A}(C) → t_{V} (C) telles que le diagramme

0 → A_{tor}(\overline{K}) →  A(C)  → t_{A}(C) → 0
∥  ↓ η  ↓ η̄
0 → A_{tor}(\overline{K}) → E_{+}(A_{tor}(\overline{K})) → t̂_{V} (\overline{K}) → 0

est commutatif. Les applications η et η̄ sont injectives. En effet, sinon comme le noyau W de η s’identifie au noyau de η̄ qui est une application B_{dR}^{+}-linéaire, ce serait une sous-B_{dR}^{+}-représentation non nulle de t_{A}(C) ≃ C^{g} et contiendrait donc une sous représentation isomorphe à C ; en prenant les invariants sous G_{K}, on voit que A(K) contiendrait un sous-groupe isomorphe à K ; mais ceci contredit le fait que A(K) est compact (si A est un modèle propre de A sur O_{K}, on a A(K) = Hom_{O_{K}−schémas}(SpecO_{K}, A) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} Hom_{O_{K}−schémas}(Spec(O_{K}/p^{n}O_{K}), A) et chacun de ces ensembles est fini). En particulier, (B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V ⊃ t̂_{V} (\overline{K}) contient une sous-B_{dR}^{+}-représenta-tion isomorphe à C^{g}. Celle-ci est contenue dans le noyau de la multiplication par t dans B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗_{ℚ_{p}} V qui est V_{C}(−1), d’où une application injective t_{A}(C) → V_{C}(−1). La transposée de l’application analogue pour la variété abélienne duale nous donne une application surjective V_{C} → t′_{A}(C) ou encore de V_{C}(−1) dans t_{A}(C)(−1). Comme il n’y a pas d’application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante non nulle de t_{A}(C) ≃ C^{g} dans t′_{A}(C)(−1) ≃ C(−1)^{g}, l’application composée t_{A}(C) → V_{C}(−1) → t_{A}(C)(−1) est nulle. Pour des raisons de dimension, la suite

0 → t_{A}(C) → V_{C}(−1) → t′_{A}(C)(−1) → 0

est exacte. Comme, dans la catégorie des C-représentations, il n’y a ni homomorphisme ni extension non trivial(e) de C(−1) dans (par) C, cette suite est scindée de manière unique et V_{C}(−1) s’identifie, canoniquement et fonctoriellement à t_{A}(C) ⊕ t′_{A}(C)(−1), d’où (i) en tensorisant par ℚ_{p}(1). Ceci implique que, pour tout entier m ∉ {0, −1}, on a V_{C}(m)^{G_{K}} = 0, donc que t_{V} = ((B_{dR}/B_{dR}^{+}) ⊗ V)^{G_{K}} = (V_{C}(−1))^{G_{K}} = t_{A} puisque (t′_{A}(C)(−1))^{G_{K}} = 0, D’où (ii). En outre, t̂_{V} (\overline{K}) est l’adhérence de t_{V} (\overline{K}) dans V_{C}(−1) qui est une C-représen-tation et est donc t_{V} (C). L’application η̄ est donc un isomorphisme et η fournit l’isomorphisme cherché de A(C) sur E_{+}(A_{tor}(\overline{K})). Enfin A(\overline{K}) est la réunion des A(L) pour L parcourant les extensions finies galoisiennes de K contenues dans \overline{K} et η(A(\overline{K})) est bien contenu dans E_{disc}(A_{tor}(\overline{K})). Comme l’application A(\overline{K}) → t_{A}(\overline{K}) est surjective, les lignes du diagramme commutatif

0 → A_{tor}(\overline{K}) →  A(\overline{K})  → t_{A}(\overline{K}) → 0
∥  ↓  ↓
0 → A_{tor}(\overline{K}) → E_{disc}(A_{tor}(\overline{K})) → t_{V} (\overline{K}) → 0

sont exactes. Comme les flèches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes, celle du milieu l’est aussi et fournit l’isomorphisme cherché entre A(\overline{K}) et E_{disc}(A_{tor}(\overline{K})).

La proposition 1.1 énoncée dans l’introduction est alors claire : Si ξ est comme dans l’énoncé, l’application \overline{ξ} : t_{A}(\overline{K}) → C(−1) ⊗_{ℚ_{p}} V_{p}(A) induite est encore continue et induit donc une application ℚ_{p}-linéaire continue G_{K}-équivariante du complété t_{A}(C)de t_{A}(\overline{K}) dans C(−1)⊗_{ℚ_{p}} V_{p}(A). Cette dernière application est C-linéaire (th.3.11). Le reste résulte des deux propositions précédentes.

On dispose de résultats analogues pour les groupes de Barsotti-Tate : soit J = (J_{p^{n}})_{n∈ℕ} un tel groupe sur l’anneau des entiers O_{K} de K ; soient h sa hauteur et d sa dimension. Notons Ĵ le groupe formel associé : si A_{n} désigne l’algèbre affine de J_{p^{n}}, alors A_{n} est un O_{K}-module libre de rang p^{nh}. Alors Ĵ = SpfA_{J}, avec A_{J} = \underleftarrow{lim}A_{n}. C’est une algèbre formellement lisse ; l’algèbre affine de la composante connexe de l’élément neutre est une algèbre de séries formelles en d-variables à coefficients dans O_{K}. On peut considérer le groupe Ĵ(O\overline{K}) (resp. Ĵ(O_{C})) des homomorphismes continus de la O_{K}-algèbre A_{J} dans O\overline{K} (resp. O_{C}). Le sous-groupe de torsion Ĵ_{tor}(O\overline{K}) de Ĵ(O\overline{K}) est aussi celui de Ĵ(O_{C}) et c’est l’union J(O\overline{K}) des J_{p^{n}}(O\overline{K}) = Hom_{O_{K}−algèbres}(A_{n}, O\overline{K}). En tant que groupe, il est isomorphe à (ℚ_{p}/ℤ_{p})^{h}. L’espace tangent t_{J} de J (ou de Ĵ si l’on préfère) est le K-espace vectoriel de dimension d dual du K-espace vectoriel des formes différentielles invariantes sur A_{J}.

Remarque : La proposition 8.6 s’étend aussi, de façon évidente (aussi bien pour son énoncé que pour sa démonstration), aux 1-motifs sur K et aux groupes de Barsotti-Tate sur O_{K}.

Soit maintenant M un motif sur K. Pour fixer les idées supposons soit que M est un 1-motif soit que M = H^{m}(X)(i) où X est une variété propre et lisse sur K, m ∈ ℕ et i ∈ ℤ. La seule chose importante est de savoir définir le groupe M_{tor}(\overline{K}) des points de torsion de M à valeurs dans \overline{K} qui doit être une représentation de cotype fini. Pour M un 1-motif c’est la définition usuelle ([De75], §10), pour M = H^{m}(X)(i), on pose M_{tor}(\overline{K}) = H_{ét}^{m}(X\overline{K}, ℚ/ℤ)(i). On peut alors associer à M les objets suivants, tous construits à partir de M_{tor}(\overline{K}) :

– pour ℓ nombre premier , la réalisation ℓ-adique de M est le ℚ_{ℓ}-espace vectoriel H_{ℓ}(M) des homomorphismes continus de ℚ_{ℓ} dans M_{tor}(\overline{K}),

– l’espace tangent t_{M} de M est le K-espace vectoriel t_{M_{tor}(\overline{K})} = t_{H_{p}(M)},

– le groupe M(\overline{K}) des points de M à valeurs dans \overline{K} est E_{disc}(M_{tor}(\overline{K})),

– le complété M̂(\overline{K}) de ce groupe des points est le groupe topologique E_{+}(M_{tor(\overline{K})}),

– la presque-C-représentation E_{+}(M) définie par E_{+}(M) = V_{p}(M̂(\overline{K})) = E_{+}(H_{p}(M)).

Alors M(\overline{K}) s’identifie au sous-groupe de M̂(\overline{K}) formé des points sur lesquels l’action de G_{K} est discrète ; c’est un sous-groupe dense de M̂(\overline{K}). Lorsque M est un 1-motif, on a t̂_{M}(\overline{K}) = t_{M}(C) (en particulier, c’est une Creprésentation. Ceci est du au fait que les poids de la représentation H_{p}(M) sont tous ≤ 1, ce qui ne reste pas vrai en général.

Pour toute extension L de K contenue dans \overline{K}, posons

M(L) = M(\overline{K})^{Gal(\overline{K}/L)} = M̂(\overline{K})^{Gal(\overline{K}/L)}

(lorsque M est une variété abélienne c’est bien le groupe des points de la variété abélienne à valeurs dans L). La suite exacte

0 → M_{tor}(\overline{K}) → M(\overline{K}) → t_{M}(\overline{K}) → 0

induit une suite exacte

0 → M_{tor}(K) → M(K) → t_{M} → H_{e}^{1}(K, M_{tor}(\overline{K})) → 0

en notant H_{e}^{1}(K, M_{tor}(\overline{K})) l’image de t_{M} dans H^{1}(K, M_{tor}(\overline{K})) (remarquer que, si M_{p′−tor}(\overline{K}) est le sous-groupe de M_{tor}(\overline{K}) formé des points d’ordre premier à p, on a H_{e}^{1}(K, M_{p′−tor}(\overline{K})) = 0).

Enfin la représentation p-adique H_{p}(M) est de de Rham et la suite exacte

0 → H_{p}(M) → E_{+}(M) → t̂_{M}(\overline{K}) → 0

induit une suite exacte

0 → H_{p}(M)^{G_{K}} → E_{+}(M)^{G_{K}} → t_{M} ⟶^{exp_{BK}} H_{e}^{1}(K, H_{p}(M)) → 0

où exp_{BK} est l’exponentielle de Bloch-Kato.

9 – Principales définitions

1.2 : Banach, réseau, représentation banachique, catégorie exacte, morphisme strict, sous-catégorie stricte, représentation p-adique. 1.3 : C-représentation, C-représentation triviale, B_{dR}^{+}-représentation. 1.4 : Représentations banachiques presqu’isomorphes, presque C-représen-tation. 1.5 : Extension presque scindée. 2.1 : K_{∞}[[\underline{t}]]-représentation de Γ_{K}. 2.3 : K-petit, petite représentation. 3.1 : Cohomologie continue, presque B_{dR}^{+}-représentation. 3.5 : Presque supplémentaire, presque scindée. 4.1 : C-algèbre de Banach, spectre maximal, variété spectrale affine, application analytique, groupe spectral commutatif affine, C-structure analytique, banach analytique. 4.2 : Banach anlytique constant, banach analytique vectoriel. 4.3 : Espace de Banach-Colmez présentable. 5.1 : Dimension, hauteur, présentation. 5.3 : K-presque supplémentaire, suite K-presque scindée. 6.1 : Complexe presque trivial. 7.1 : Presqu’isomorphisme. 8.1 : B_{dR}^{+}-représentation triviale, extensions universelles par une représentation p-adique. 8.2 : Espace tangent d’une représentation p-adique, exponentielle de Bloch-Kato, (φ, N)-module, représentation semi-stable, B_{e}-représentation. 8.3 : Représentation de cotype fini. 8.4 : Espace tangent d’un motif, groupe des points d’un motif à valeurs dans \overline{K}.

10 – Principales notations

1.2 : K, \overline{K}, G_{K}, B(G_{K}), 1.3 : C, Rep_{C}(G_{K}), Rep_{C}^{triv}(G_{K}), t, B_{dR}, B_{dR}^{+}, B_{m}, Rep_{B_{dR}^{+}}(G_{K}), 1.4 : C(G_{K}), d, h, 1.6 : Ext_{C}^{n}(X, Y), Ext_{E[G]}^{n}(X, Y), 2.1 : K_{∞}, H_{K}, Γ_{K}, π_{t}, \underline{t}, W^{f}, Rep_{K_{∞}[[\underline{t}]]}(Γ_{K}), 2.2 : Ω_{E[[\underline{t}]]/E}^{log}, ∇, ∇_{0}, C_{S,E}, C_{S,E}^{f}, ℂ_{S,E}, 𝕋_{S,E}, ℂ_{S,E}^{m}, X\{−1\}, (C_{X}), O(S), X_{(i)}, X_{(i,n)}, X_{(ℤ)}, (C_{X,0}), Ext_{C_{S,E},0}^{1}(X_{1}, X_{2}), 2.3 : Rep_{B_{dR}^{+},S}(G_{K}), O_{K}, 𝔞_{K}, R_{dR}(X), χ^{(α)}, M{α},

2.5 : W_{(i,n)}, W_{(i)}, W_{ℤ}, Ext_{B_{dR}^{+}[G_{K}],0}^{1}(W_{1}, W_{2}), log t, T_{m}, C_{m}, c_{fond}, 3.1 : H_{cont}^{m}(E, M), 3.2 : M^{∗A}, M^{}ˇ , 3.3 : B_{e}, B_{cris}, K_{0}, φ, Fil^{i}B_{dR}, Fil^{i}B_{e}, U_{m}, 3.4 : U, R, W (R), B_{cris}^{+}, U_{R}, IB(G_{K}), 3.5 : E(f), E_{m}(f), 4.1 : Spm_{C}A, O_{A}, 4.2 : V^{c}, W^{an}, 4.3 : U^{an}, E_{V,W,f}^{an}, 7.1 : C_{P I}(G_{K}), D_{K}, 8.2 : E_{e}(V), E_{m}(V), t_{V}, t̂_{V} (\overline{K}), E_{+}(V), E_{disc}(V), H_{e}^{1}(K, V), B_{st}, 8:3 : T_{p}(Λ), V_{p}(Λ), E_{?}(Λ), t_{Λ}, t̂(\overline{K}), 8:4 : M_{tor}(\overline{K}), H_{l}(M), t_{M}, M(\overline{K}), M̂(\overline{K}), E_{+}(M).

11 – Bibliographie

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Jean-Marc Fontaine

Institut Universitaire de France et UMR 8628 du CNRS, Mathématique Université de Paris-Sud Bâtiment 425 F-91405 ORSAY Cedex fontaine@math.u-psud.fr 386

Documenta Mathematica · Extra Volume Kato (2003)