Sur l’induction automorphe pour des p–extensions

radicielles et quelques autres opérations fonctorielles

(mod p)

Laurent Clozel

Received: August 6, 2015 Revised: June 11, 2016

Communicated by Don Blasius

Abstract. Soit E/F une extension de degré d de corps de nombres, 𝔸_{E}, 𝔸_{F} leurs anneaux d’adèles. Le principe de fonctorialité de Langlands postule entre autres une opération d’induction automorphe [1] construisant une représentation automorphe de GL(nd, 𝔸_{F}) à partir d’une représentation cuspidale de GL(n, 𝔸_{E}). Quand l’extension E/F est résoluble, ceci a été démontré dans [1]. Si l’extension n’est pas galoisienne, le seul cas connu, dû à Jacquet et Piatetski-Shapiro [18], est celui où n = 1 et d = 3. Nous montrons l’existence de l’induction automorphe quand d = p est un nombre premier et l’extension radicielle, mais pour des classes de cohomologie mod p. Les démonstrations reposent sur le travail récent de Treumann et Venkatesh [20].

2010 Mathematics Subject Classification: 11 F 03, 11 F 75, 11R 39

Introduction

Soit p un nombre premier, F un corps de nombres, G un groupe réductif connexe défini sur F et σ : G → G un F –automorphisme d’ordre p; soit H ⊂ G le groupe réductif formé des points fixes de H. On considère par ailleurs les quotients arithmétiques S(G, K) et S(H, U) définis par des sous–groupes compact–ouverts K, U des points de G, H à valeurs dans les adèles finis de F (voir les définitions précises dans le § 2, pour le cas qui nous intéresse.) On suppose K invariant par σ. Sous des hypothèses naturelles S(H, U) ⊂ S(G, K). Considérons la cohomologie de ces espaces à valeurs dans 𝔽̄_{p}. Soit par ailleurs H(G, 𝔽̄_{p}) et H(H, 𝔽̄_{p}) les algèbres de Hecke non ramifiées de G, H (définies en évitant un ensemble fini de places de ramification des données.) Le groupe cyclique Σ =< σ >≅ ℤ/pℤ opère alors sur H(G, 𝔽̄_{p}). Dans un article récent, Treumann et Venkatesh [20] montrent alors tout d’abord :

(0.1) Il existe un homomorphisme naturel d’algèbres, l’homomorphisme de Brauer

Br : H(G, 𝔽̄_{p})^{Σ} ⟶ H(H, 𝔽̄_{p}) .

Ils montrent ensuite, sous des hypothèses naturelles :

(0.2) Tout caractère η_{H} de H(H, 𝔽̄_{p}) apparaissant dans la cohomologie de S(H, U) apparaît (composé avec Br) dans la cohomologie de S(G, K).

La cohomologie doit être, évidemment, à coefficients dans 𝔽̄_{p}. En général, l’algèbre des Σ–invariants est distincte de H(G, 𝔽̄_{p}). Treumann et Venkatesh définissent une application naturelle de H(G, 𝔽̄_{p}) vers l’algèbre des invariants, de sorte qu’on obtient un nouvel homomorphisme

br : H(G, 𝔽̄_{p}) ⟶ H(H, 𝔽̄_{p}) .

Ils montrent alors

(0.3) L’application br admet une interprétation en dualité de Langlands, à l’aide d’un homomorphisme de groupes duaux Ĥ → Ĝ.

Les groupes duaux, de nouveau, doivent être pris à coefficients dans 𝔽̄_{p}. (Je néglige ici le cas où G et H ne sont pas déployés.) L’homomorphisme dual, dans certains cas, n’existe pas en caractéristique nulle. Considérons une extension E/F de degré p de corps de nombres, et supposons E radicielle :

E = F (ξ^{1/p}) , ξ ∈ F , ξ ∉ F^{p} .

On ne suppose pas l’extension galoisienne. Alors β = ξ^{1/p} étant vu comme un élément de GL(p, F) définit par conjugaison intérieure un automorphisme d’ordre p, σ. Plus généralement, on obtient de même un automorphisme d’ordre p de GL(pM, F). Le groupe des points fixes s’identifie à GL(M, E). Dans ce cas, l’algèbre des Σ–invariants est, en presque toute place de F, l’algèbre de Hecke non ramifiée entière pour G = GL(N) où N = pM. On travaillera donc simplement avec le premier homomorphisme, Br. Les conditions imposées par Treumann et Venkatesh (G, H semi–simples) ne sont pas ici vérifiées. Cependant, la dualité de Langlands s’exprime ici simplement en termes de représentations galoisiennes (aux places finies non ramifiées.) On voit alors aisément que Br doit se traduire par l’induction galoisienne de Gal(ℚ̄/E) à Gal(ℚ̄/F), quand les représentations globales existent ; par l’opération locale correspondante, quand on ne le sait pas. Le but de cet article est de montrer, pour les classes de p–torsion (et dans le cas radiciel) que cette opération, liant valeurs propres de Hecke pour la cohomologie des quotients arithmétiques de GL(M, E) et de GL(N, F), existe en effet. Renvoyant au corps de l’article pour les théorèmes principaux (et pour la définition précise, due à Ash [2] et revue dans [8], de la correspondance entre caractères de l’algèbre de Hecke et représentations galoisiennes), citons ici seulement deux résultats.

Sur l’induction automorphe pour des p–extensions … 1151

Théorème A.— Soit E/F radicielle de degré p, et soit χ : E^{×}\𝔸_{E}^{×} → 𝔽̄_{p} un caractère d’Artin à valeurs dans 𝔽̄_{p}, que l’on peut voir comme un caractère abélien de Gal(ℚ̄/E). Il existe alors une classe de cohomologie ω ∈ H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}), où G = GL(p, F) et S(G, K) est le quotient arithmétique associé à un sous–groupe compact ouvert convenable de G(𝔸_{F,f}), telle que ω soit une classe propre de H(G, 𝔽̄_{p}) (l’algèbre de Hecke étant définie par les places de F hors un ensemble fini) et que le caractère η associé corresponde à la représentation de Gal(ℚ̄/F) semi–simplifiée de

ind_{Gal(ℚ̄/E)}^{Gal(ℚ̄/F)}χ

Dans le cas général N = pM, on ne sait pas toujours qu’une classe ω ∈ H^{•}(S(H, U), 𝔽̄_{p}) (où H = GL(M, E)) provient d’une représentation galoisienne. On a donc un résultat conditionnel :

Théorème B.— Supposons qu’un caractère η_{E} de H(H, 𝔽̄_{p}) (algèbre de Hecke en presque toute place) provenant d’une classe ω soit associé à une représentation galoisienne r_{E} de Gal(ℚ̄_{E}). Alors il existe une classe θ ∈ H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p})

— pour un choix convenable de K — associée à la semi–simplifiée de

r_{F} = ind_{Gal(ℚ̄/E)}^{Gal(ℚ̄/F)}r_{E} ,

au moins en presque toute place.

Le résultat démontré est en fait plus général (Théorème 3.1) puisque l’existence de r_{E} n’intervient pas, évidemment, dans les démonstrations. On remarquera que les résultats s’appliquent véritablement aux classes de torsion (terme par lequel nous désignons les classes de cohomologie mod p, qu’elles se relèvent ou non en caractéristique 0). Nos corps étant arbitraires (F pourrait par exemple être un corps quadratique imaginaire), on conjecture (cf. [4]) qu’il existe de très nombreuses classes de torsion qui ne peuvent se relever en caractéristique nulle. Du reste l’induction ainsi obtenue n’est pas, en général, compatible avec l’induction automorphe en caractéristique 0 qui existe d’après [1], et ceci pour des raisons de poids. Ceci est expliqué dans le chapitre 4.

La fin de l’article (chapitre 5) applique ces méthodes aux formes automorphes sur les groupes unitaires compacts à l’infini qui jouent un rôle important dans la théorie de Taylor-Wiles en degré supérieur [8]. On montre comment la fonctorialité "endoscopique" est réalisée naturellement mod p dans certains cas. Le résultat, ainsi que le Théorème 4.3, est très voisin de celui de [20, § 9.5], mais Treumann et Venkatesh se limitent au cas où p = 2. Noter que, les quotients étant finis, l’argument est essentiellement celui de [6], [7]. Pour les démonstrations, nous avons été amené à reprendre celles de Treumann–Venkatesh puisque leurs hypothèses ne sont pas vérifiées. La preuve a d’ailleurs réservé quelques surprises. Les identités cherchées ne sont pas formelles, comme c’est le cas d’habitude en théorie de Langlands : quand l’extension E/F n’est pas galoisienne, elles reposent sur les propriétés précises de la décomposition des idéaux premiers de F dans E, celle–ci résultant bien sûr de la théorie de Kummer (§ 2.4). Les identités non triviales sont démontrées (pour M = 1) dans le § 2.5. Le cas où M est arbitraire s’en déduit assez aisément (§ 3.3). Le plan de l’article est le suivant. Le chapitre 1 rappelle l’interprétation cohomologique (pour les quotients arithmétiques de GL(1) ⋯) des caractères d’Artin. Le chapitre 2, le plus substantiel, est consacré au cas où M = 1, c’est–à–dire à la démonstration du Théorème A. Le chapitre 3 traite le cas où M est arbitraire. Le chapitre 4 fait le lien avec les cas où les représentations galoisiennes ont été construites (corps CM) et détaille la relation avec les représentations en caractéristique nulle associées aux représentations automorphes cohomologiques et régulières. En particulier, si F est CM et si E = F (\sqrt[p]{ξ}), nous montrons l’existence d’une représentation galoisienne de Gal(ℚ̄/E) de degré pM qui exhibe, sinon la représentation r de degré M associée à une classe de cohomologie mod p pour GL(M, E), au moins la somme

⨁_{i=0}^{p−1} r ⊗ ω^{i}

où ω est le caractère cyclotomique (mod p) (Théorème 4.1). Enfin, le chapitre 5 est consacré aux groupes unitaires "compacts à l’infini". Dans ce cas, la méthode de Treumann-Venkatesh, basée sur la théorie de Smith, n’est pas nécessaire et les démonstrations reposent sur les arguments plus élémentaires de [6], [7]. Nous utilisons cependant, comme dans le reste de l’article, leur définition de l’homomorphisme de Brauer.

Je remercie Christophe Soulé et Richard Taylor pour d’utiles indications. Je remercie aussi le rapporteur dont les remarques ont, je l’espère, rendu l’article beaucoup plus lisible.

1 La « variété de Shimura » du groupe des classes d’idèles et sa cohomologie

Soit E un corps de nombres ; on notera 𝔸_{E} son anneau d’adèles, 𝔸_{E,f} ou parfois 𝔸_{E}^{∞} l’anneau des adèles finis. Si E = ℚ on écrit simplement 𝔸, 𝔸_{f}, ... On note G le groupe Res_{E/ℚ}GL(1). Ainsi

G(ℝ) = ∏_{v|∞} E_{v}^{×} .

Soit A_{G} le groupe ℝ_{+}^{×} plongé diagonalement dans G(ℝ). Un sous–groupe compact connexe maximal de G(ℝ) est donné par

U_{∞} = ∏_{v complexe} U(1)

où U(1) = {z ∈ ℂ^{×} : |z| = 1}. Soit par ailleurs U un sous–groupe compact ouvert de G(𝔸_{f}). On considère les quotients compacts

\begin{aligned}S(G, U) & = A_{G}G(ℚ)\G(𝔸)/U_{∞}U \\ & = ℝ_{+}^{×}E^{×}\𝔸_{E}^{×}/( ∏_{v complexe} U(1) × U) , \end{aligned}  (1.1)

où ℝ_{+}^{×} est plongé diagonalement comme ci–dessus. On suppose que le quotient par E^{×} est le quotient par une action libre, i.e. que U ∩ E^{×} ne contient pas de racine de l’unité. Soit (a_{i}) des représentants (dans le groupe des idèles finis) du groupe strict des classes d’idéaux de E. On a alors

𝔸_{E}^{×} = ∐_{i} E^{×}(E_{∞}^{×})^{+}a_{i}U_{0}

où U_{0} ⊂ 𝔸_{E,f}^{×} est le groupe des unités adéliques, et (E_{∞}^{×})^{+} la composante neutre de E_{∞}^{×}, soit

𝔸_{E}^{×}/U = ∐_{i} E^{×}(E_{∞}^{×})^{+}a_{i}U_{0}/U .

Ainsi

\begin{aligned}S(G, U) & = ∐_{i} ℝ_{+}^{×}E^{×}\E^{×}(E_{∞}^{×})^{+}a_{i}U_{0}/U_{∞}U \\ & = ∐_{i}(ℝ_{+}^{×}E\(E_{∞}^{×})^{+}/U_{∞})a_{i}U_{0}/U \end{aligned}

où E = E^{×}∩U est un sous–groupe sans torsion du groupe des unités. Le quotient ℝ_{+}^{×}E\(E_{∞}^{×})^{+}/U_{∞} s’identifie, par l’application logarithmique L de Dirichlet, à L(E)\ℝ^{r_{1}+r_{2}−1} = L(E)\ℝ^{r}, où L(E) est un réseau. On a donc enfin

S(G, U) = ∐_{i}(L(E)\ℝ^{r})a_{i} U_{0}/U .

Par ailleurs le quotient fini

Cℓ(U) = E^{×}(E_{∞}^{×})^{+}\𝔸_{E}^{×}/U

s’identifie à ∐_{i} a_{i}U_{0}/U, sur lequel opère 𝔸_{E,f}^{×} ; celui–ci opère donc sur

C(Cℓ(U), ℂ) par les restrictions des caractères de Dirichlet de 𝔸_{E}^{×} (constants sur U). Pour tout anneau commutatif R, on a

H^{•}(L(E)\ℝ^{r}, R) = H^{•}(U(1)^{r}, R)

= ⨁_{i=1}^{r} R^{\binom{r}{i}}

Soit h le produit du nombre des classes strictes d’idéaux et de [U_{0} : U]. En définitive, pour S = S(G, U) :

Lemme 1.1.— (1) En tous degrés 0 ≤ i ≤ r, H^{i}(S, R) est libre de dimension

h (\begin{matrix}r \\ i \end{matrix}) sur R. En particulier

H^{i}(S, ℤ̄_{p}) ⊗ 𝔽̄_{p} = H^{i}(S, 𝔽̄_{p}) .

(2) 𝔸_{E,f}^{×} opère sur H^{i}(S, R) par les caractères d’Artin de 𝔸_{E,f}^{×}, à valeurs dans R^{×}, invariants par U.

Si χ est un caractère à valeurs dans ℤ̄_{p}^{×}, donc dans \overline{ℚ}_{p}^{×}, il est d’ordre fini et donc à valeurs dans ℚ̄^{×} ⊂ \overline{ℚ}_{p}^{×}. Si on se donne un plongement de (la clôture algébrique de ℚ dans \overline{ℚ}_{p}) ℚ̄ dans ℂ, on peut donc l’identifier à un caractère à valeurs complexes. Pour l’action de 𝔸_{E,f}^{×} dans la cohomologie, on voit donc que si U vérifie la condition ci–dessus :

Lemme 1.2.— Tout caractère χ : 𝔸_{E,F}^{×} → 𝔽̄_{p} qui apparaît dans H^{•}(S(G, U), 𝔽̄_{p}) est la réduction mod p d’un caractère d’Artin à valeurs complexes χ̃. Réciproquement, la réduction mod p d’un caractère d’Artin complexe apparaît dans H^{i}(S(G, U), 𝔽̄_{p}) (et ceci pour tout i).

2 Induction automorphe (cas d’un caractère)

2.1

Rappelons plus précisément notre choix, arithmétique, de paramétrisation locale. Dans cette section seulement, et pour simplifier les notations, F désigne un corps p–adique. Soit q le cardinal du corps résiduel. Soit n ≥ 1 fixé. D’après la conjecture de Langlands locale [16, 17] il existe une bijection entre représentations irréductibles admissibles de GL(n, F) et représentations Frobenius semi– simples du groupe de Weil–Deligne W D_{F}. On peut la normaliser de différentes façons. Les diverses compatibilités énumérées dans [16], [17], étant imposées, il nous suffit de la spécifier dans le cas non ramifié. Soit alors π une représentation non ramifiée de GL(n, F_{v}), et supposons que c’est un sous–quotient de l’induite unitaire, du sous–groupe de Borel, des caractères non ramifiés (χ_{1}, …, χ_{n}). Le paramètre de π pour la correspondance de Langlands unitaire est alors

t(π) = diag(χ_{1}(ϖ), … χ_{n}(ϖ))

où ϖ est une uniformisante. Soit Frob ∈ W_{F} un élément de Frobenius géométrique.

Définition 2.1.— La normalisation arithmétique de la correspondance locale associe à π (non ramifiée) la représentation semi–simple non ramifiée r de W_{F} telle que les valeurs propres de Frob soient \{q^{\frac{n−1}{2}} χ_{i}(ϖ)\}.

Soit T_{α} (α = 0, 1, … n) l’opérateur de Hecke donné par la fonction caractéristique de

GL(n, O) (\begin{matrix}ϖ \\ & . & . & . \\ & & & & ϖ \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{matrix}) GL(n, O) ⊂ GL(n, F) .

où α coefficients diagonaux sont égaux à ϖ. On a alors d’après des calculs connus [8] :

Lemme 2.2.— Si π est une représentation non ramifiée, la valeur propre a_{α} de T_{α} dans les GL(n, O)–invariants de l’espace de π est

q^{\frac{α(n−α)}{2}} S_{α}(t(π)),

où

S_{α}(t_{1}, … t_{n}) = ∑_{|I|=α} ∏_{i∈I} t_{i} .

Pour α = 1, on voit en particulier que, pour la représentation r de la Définition 2.1,

trace r(Frob) = a_{1} .

2.2

La notation F, E,... désigne désormais des corps de nombres. Soit n un entier, et considérons l’analogue non abélien des variétés du Chapitre 1. On considère donc le groupe G = GL(n)/F. Pour une place archimédienne v de F, posons

K_{v} = SO(n, F_{v}) v réelle
K_{v} = U(n) ⊂ GL(n, F_{v}) ≅ GL(n, ℂ) v complexe .

On définit pour K ⊂ G(𝔸_{F,f}) décomposé :

\begin{aligned}& S(G, K) & = A_{G}G(F)\G(𝔸)/K_{∞}K \\ où & K_{∞} & = ∏_{v|∞} K_{v} \end{aligned}

et A_{G} est ℝ_{+}^{×} plongé diagonalement dans ∏_{v|∞} G(F_{v}).

Soit v une place finie de F. On note O_{v} l’anneau d’entiers, k_{v} le corps résiduel, q_{v} le cardinal de celui-ci. Si v est non ramifiée pour K, et H_{v} = C_{c}(K_{v}\G(F_{v})/K_{v}, ℤ) est l’algèbre de Hecke non ramifiée, engendrée par les T_{v,α} et T_{v,n}^{−1}, H_{v} opère naturellement sur l’espace (de type fini sur R)

H^{•}(S(G, K), R)  (2.1)

pour tout anneau de coefficients R. Si

H^{S} = ⨂_{v∉S} H_{v}

(produit tensoriel restreint, S étant l’ensemble fini des places de ramification), H^{S} opère donc sur cet espace. Si R = ℂ, on sait d’après Franke [12] que tout homomorphisme H → ℂ apparaissant dans (2.1) provient d’une représentation automorphe de G(𝔸_{F}) (d’ailleurs cohomologique, mais non unitaire en général.) Supposons que R = 𝔽̄_{p}. L’algèbre de Hecke H_{v} ⊗ ℤ[\frac{1}{q_{v}}] est isomorphe à ℤ[\frac{1}{q_{v}}][X_{1}^{±1}, … X_{n}^{±1}]^{𝔖_{n}}. On en déduit que pour v ∤ p

H_{v} ⊗ 𝔽̄_{p} ≅ 𝔽̄_{p}[X_{1}^{±1}, … X_{n}^{±1}]^{𝔖_{n}} .  (2.2)

Dans cet isomorphisme,

T_{v,α} ↦ qv^{\frac{α(1−α)}{2}} S_{α}  (2.3)

([8, p. 83]. Si η_{v} : H_{v} ⊗ 𝔽̄_{p} → 𝔽̄_{p} est donné, on définit une matrice t_{v} ∈ (𝔽̄_{p}^{×})^{n}/𝔖_{n} par l’isomorphisme (2.2). D’après le Lemme 3.1.1 de [8], ceci est compatible avec la correspondance t_{v} ↦ r_{v} décrite en caractéristique nulle : les coefficients de t_{v} sont alors les valeurs propres de r_{v} (Frob_{v}).

Définition 2.3.— Si η_{v} : H_{v} ⊗ 𝔽̄_{p} → 𝔽̄_{p} est donné, on définit r(η_{v}) comme la représentation semi–simple non ramifiée de W_{F_{v}} telle que les valeurs propres de Frob_{v} sont les coefficients (t_{v}^{i}).

Rappelons une conjecture d’Avner Ash [2] :

Conjecture 2.4 (Ash).— Supposons que η : H → 𝔽̄_{p} apparaît dans H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}). Il existe une représentation semi–simple r : Gal(F̄/F) → GL(n, 𝔽̄_{p}) telle que, pour tout v non ramifié pour K et ne divisant pas p, la semi–simplifiée de r|_{Gal(F̄_{v}/F_{v})} soit isomorphe à r(η_{v}) où η_{v} = η|_{H_{v}}.

On remarquera que, les représentations considérées étant d’image finie, il n’y a pas lieu en fait de distinguer entre représentations du groupe de Galois ou du groupe de Weil. Dans le cas où F est un corps totalement réel ou de type CM, cette conjecture a été démontrée par Scholze [19], ainsi que par Harris, Lan, Taylor et Thorne quand η se relève en caractéristique nulle [15]. Notre propos dans ce chapitre est de déduire des résultats de Treumann et Venkatesh le théorème suivant. Soit E/F une extension radicielle de degré p premier :

E = F (\sqrt[p]{ξ}) , ξ ∈ F^{×} , ξ ∉ F^{p} .

Soit χ : E^{×}\𝔸_{E}^{×}/E_{∞}^{×} un caractère d’Artin, à valeurs dans 𝔽̄_{p}^{×}. Noter que l’on ne suppose pas l’extension E/F galoisienne.

Théorème 2.5.— Il existe un sous–groupe compact–ouvert décomposé K ⊂ GL(p, 𝔸_{F,f}), et un caractère η : H^{S} → 𝔽̄_{p} apparaissant dans H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}) où S contient l’ensemble des places de ramification, tel que, pour toute place v ∉ S, r(η_{v}) soit isomorphe à la semi–simplifiée de ⨁_{w|v} ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} χ_{w}.

En particulier la semi–simplifiée de ind_{Gal(F̄/E)}^{Gal(F̄/F)}χ est associée à η, conformément à la conjecture d’Ash, au moins en presque toute place.

Remarque : Soit χ̃ un relèvement de χ en caractéristique nulle. Comme on l’a rappelé dans l’Introduction, la représentation automorphe Ind_{E}^{F}χ̃ existe d’après [1] si E/F est cyclique. Cependant elle n’est pas cohomologique. Même dans le cas cyclique, les résultats connus en caractéristique nulle n’impliquent pas directement le Théorème 2.5. On reviendra sur ces questions dans le Chapitre 4.

2.3

On considère l’automorphisme intérieur, défini sur F, de G,

σ : g ↦ βgβ^{−1} (β = ξ^{1/p})

où l’on a plongé E, de la façon usuelle, dans M_{p}(F) et donc E^{×} dans G(F). On a σ^{p} = 1, et σ descend en un automorphisme de A_{G}\G(𝔸_{F}). Puisque A_{G} est sans torsion, on vérifie aussitôt que le groupe des points fixes de Σ =< σ > dans A_{G}\G(𝔸_{F}) est égal à A_{H}\H(𝔸_{F}) ; ici H = Res_{E/F} (GL(1)/E), H(𝔸_{F}) est essentiellement le groupe des classes d’idèles de E, et ses quotients par un sous– groupe compact (connexe) maximal aux places archimédiennes sont décrits au Chapitre 1. L’élément ξ^{1/p} ∈ E^{×} étant une unité en presque toute place finie, il appartient alors (après conjugaison) à GL(p, O_{v}) pour presque toute place v de F. En particulier σ laisse invariant ce sous–groupe compact maximal K_{v}, et U_{v} =

∏_{w|v} O_{w}^{×} ⊂ K_{v} est égal à K_{v}^{σ}.

En toute place finie v (ramifiée pour les données) de F, il existe un groupe compact–ouvert de G(F_{v}), K_{v}, invariant par σ; alors K_{v}^{σ} = U_{v} est compact– ouvert dans H(F_{v}). De tels sous–groupes sont cofinaux parmi les sous–groupes compacts ouverts U_{v}. Considérons enfin une place archimédienne v de F, de sorte que E_{v}^{×} = ∏_{w|v} E_{w}^{×} ⊂

G(F_{v}).

Lemme 2.6.— Supposons p ≥ 3 ou, si p = 2, ξ négatif en v si v est réelle. Il existe un sous–groupe compact connexe maximal K_{v} de G(F_{v}), σ–stable, tel que K_{v} ∩ E_{v}^{×} soit égal au sous–groupe compact connexe maximal U_{v} = Π U_{w} de E_{v}^{×}.

Ceci est essentiellement dû à Treumann et Venkatesh [20, § 5.5], mais ceux– ci considèrent les sous–groupes compacts maximaux. Si K̃_{v} ⊂ G(F_{v}) ⋊ Σ est compact maximal et contient le sous–groupe U′_{v} ×Σ (U′_{v} compact maximal dans E_{v}^{×}), alors K̃_{v} ∩ G(F_{v}) est compact maximal et K̃_{v} ∩ E_{v}^{×} = U′_{v}. Si v est une place complexe de F, la démonstration est complète. Supposons v réelle et p ≥ 3. Alors E_{v} = F_{v}(ξ^{1/p}) est isomorphe à ℝ × ℂ^{\frac{p−1}{2}} . L’argument précédent donne U′_{v} = \{±1\} × U(1)^{\frac{p−1}{2}} ⊂ O(n, ℝ) (à conjugaison près). Alors U_{v} = \{1\} × U(1)^{\frac{p−1}{2}} ⊂ SO(n, ℝ) = K_{v} est égal à K_{v} ∩ E_{v}^{×}.

Si p = 2 et ξ est > 0 en v, β est à conjugaison près (\begin{matrix}√ & \overline{ξ} \\ & −\sqrt{ξ} \end{matrix}) ∈ GL(2, ℝ), son

centralisateur étant le sous–groupe diagonal ℝ^{×} ×ℝ^{×}. Dans ce cas le Lemme 2.6 reste vrai avec la conclusion plus faible :

K_{v} ∩ E_{v}^{×} = {(1, 1), (−1, −1)} .  (2.4)

Puisque K_{v} ∩ E_{v}^{×} est d’ordre 2, tout caractère d’Artin χ : 𝔸_{E}^{×} → 𝔽̄_{2}^{×} est trivial sur ce sous–groupe de E_{v}^{×} : il descend donc à S(H, U′) où U′_{v} est le sous–groupe (2.4) en de telles places. Les hypothèses précédentes étant vérifiées en toutes les places, on obtient une application naturelle

j : S(H, U) ⟶ S(G, K)  (2.5)

dont l’image est évidemment contenue dans H^{0}(Σ, S(G, K)). Si l’on suppose de plus que K_{f} = ∏_{v∤∞} K_{v} (et donc U_{f}) sont nets :

K_{f} ne contient pas d’élément d’ordre fini conjugué à un élément de G(F),

(2.6)

on vérifie aisément que j est injective. (cf. [20, 5.7]) En fait j identifie, par un homéomorphisme, S(K, U) à une réunion finie de composants connexes de H^{0}(Σ, S(G, K)). Rappelons que H(F) = F [β]^{×} ⊂ GL(p, F). On dit que la place finie v de F est bonne si v ∤ p, si K_{v} ⊂ GL(p, F_{v}) est égal à GL(p, O_{v}) et β ∈ K_{v}, si E est non ramifiée en v, si ∏_{w|v} O(E_{w}^{×}) ⊂ GL(p, O_{v}) et si ker[H^{1}(Σ, K_{v}) → H^{1}(Σ, G(F_{v}))]

est la classe triviale de H^{1}(Σ, K_{v})^{1}

Lemme 2.7.— Presque toutes les places finies de F sont bonnes.

1. Cette définition réunit celles de [20, § 5.2, 5.6] (v ∤ p, K_{v} hyperspécial et invariant par Ad(β) ) et de [20, § 4.1] (condition cohomologique) ; on a supposé de plus E non ramifié en v.

Documenta Mathematica 22 (2017) 1149–1180

C’est évident, sauf pour la condition cohomologique. Celle–ci est vérifiée dans [20, Propositions 5.6]. Dans notre cas, on peut donner une démonstration plus explicite. L’hypothèse relative au H^{1} est équivalente à

L′injection naturelle G_{v}^{Σ}/K_{v}^{Σ} ↪ H^{0}(Σ, G_{v}/K_{v}) est bijective  (2.7)

Supposons d’abord v décomposée dans E. On a la décomposition d’Iwasawa G_{v} = B_{v} K_{v}, B_{v} étant le sous–groupe de Borel ; elle est unique, à l’ambiguïté près d’un facteur dans B_{v} ∩ K_{v}. Soit x = b K_{v} et supposons que σx = x. On peut écrire b = h n où h ∈ H_{v}, n ∈ N_{v}, le radical unipotent. Alors h n K_{v} = hβnβ^{−1}K_{v} où β est une matrice diagonale dont les coefficients sont des unités. Si n = 1+X où X = (x_{i,j}) est nilpotente, on voit que 1+X ∈ (1+Ad(β)X)K_{v}, ce qui veut dire que (β_{i}/β_{j} − 1)x_{ij} ∈ O_{v}. Mais β_{i}/β_{j} − 1(i ≠ j) est une unité pour presque tout v, donc enfin b = h n où n est une matrice entière. Dans le cas général, soit F′_{v} une extension non ramifiée de F_{v} décomposant tous les facteurs de E_{v}. Soit X = G_{v}/K_{v} l’ensemble des sommets de l’immeuble de Tits de G_{v}, et X′ l’ensemble des sommets de l’immeuble relatif à F′_{v}. Si φ est l’automorphisme de Frobenius, on sait (c’est élémentaire pour GL(n)) que (X′)^{φ} = X. L’automorphisme σ commute à φ; la même remarque s’applique aux immeubles Y et Y′ de H sur F_{v} (E étant non ramifié). Alors, sous les mêmes hypothèses sur β, X^{σ} = (X′^{φ})^{σ} = (X′^{σ})^{φ} = Y′^{φ} = Y, q.e.d.

Soit v une place telle que l’hypothèse (2.7) soit vérifiée, et ne divisant pas p. Notons H_{v}(G) l’algèbre de Hecke non ramifiée. On suppose aussi que les hypothèses précédentes sont vérifiées ; en particulier K_{v} est maximal et K_{v} ∩ H(F_{v}) est égal aux unités de ∏_{w|v} E_{w}^{×}. Il existe alors un homomorphisme naturel [20,

4.2]

Br : H_{v}(G) ⟶ H_{v}(H) ,

l’algèbre de Hecke (d’un produit de corps non ramifiés) à droite étant relative aux unités. Les coefficients sont dans 𝔽̄_{p}. On reviendra plus tard sur la description de cet homomorphisme. Le résultat fondamental de Treumann et Venkatesh est alors :

Théorème 2.8 [20, Thm. 4.4, Thm 5.8].— Soit S l’ensemble fini des places finies qui ne sont pas bonnes, ou en lesquelles les données sont ramifiées, et H^{S}(G) = ⨂_{v∉S} H_{v}(G), H^{S}(H) = ⨂_{v∉S} H_{v}(H) les produits tensoriels (restreints)

d’algèbres de Hecke non ramifiées. Soit η : H^{S}(H) → 𝔽̄_{p} un caractère qui apparaît dans H^{•}(S(H, U), 𝔽̄_{p}). Alors η ∘ Br apparaît dans H^{•}(S(G, K); 𝔽̄_{p}).

D’après le Chapitre 1, les caractères η sont tous les caractères de H^{S}(H) déduits des caractères d’Artin de E^{×}. Il s’agit évidemment désormais, pour démontrer le Théorème 1.5, de décrire l’homomorphisme de Brauer en fonction des données duales (i.e., dans notre cas, des représentations galoisiennes.) Ceci est fait par Treumann et Venkatesh dans leur article [20, Theorem 9.1] mais sous l’hypothèse que G et H sont semi– simples connexes. Plutôt que de reprendre leurs calculs dans les L–groupes, il est plus naturel dans ce cas très simple de procéder directement. Pour cela, nous aurons besoin de rappels sur la théorie de Kummer.

2.4

Rappelons que E = F (\sqrt[p]{ξ}). Si F contient ℚ(ζ_{p}), l’extension E/F est cyclique d’ordre p. Le cas le plus intéressant pour nous est donc celui où F ne contient pas les racines p–ième de l’unité. Pour simplifier nous supposons tout d’abord F linéairement disjoint sur ℚ de ℚ(ζ_{p}). Les extensions E et F (ζ_{p}) de F sont linéairement disjointes. Dans cette section seulement, et pour simplifier les notations, on notera G le groupe Gal(E(ζ_{p})/F). Le diagramme de corps

\begin{aligned}& & E(ζ_{p}) \\ & ⧸ & & ⧹ \\ E & & & & F (ζ_{p}) \\ & ⧹ & & ⧸ \\ & & F \end{aligned}  (2.8)

où les extensions de droite sont galoisiennes donne la suite exacte

1 ⟶ H ⟶ G ⟶ G/H = 1

où H = Gal(E(ζ_{p})/F (ζ_{p})) ≅ ℤ/p et G/H = 𝔽_{p}^{×} (identification canonique). Ainsi G devient un produit semi–direct G = ℤ/p ⋊ 𝔽_{p}^{×}, avec l’action évidente de 𝔽_{p}^{×}. Nous aurons besoin de comprendre la décomposition dans E des places v de F non ramifiées dans E (et dans E(ζ_{p}) car on supposera que v ∤ p.) Soit donc D ⊂ G le sous–groupe (cyclique) de décomposition de v dans E(ζ_{p}). Les places de E divisant v sont en bijection avec

X = 𝔽_{p}^{×} \ G / D

où 𝔽_{p}^{×} = Gal(E(ζ_{p})/E) (canoniquement.) Il y a trois possibilités :

(2.9a) D = {1}, v décomposée dans E et E(ζ_{p}), |X| = p.

(2.9b) D ∩ ℤ/p = ℤ/p, donc D = ℤ/p (car D est abélien), |X| = 1 : v est inerte dans E.

(2.9c) D ∩ ℤ/p = {0}, donc D est isomorphe à son quotient D′ ⊂ 𝔽_{p}^{×}, que l’on suppose ≠ {1}.

On vérifie aisément que D est alors conjugué au groupe formé des éléments (0, a^{m}) ∈ ℤ/p × 𝔽_{p}^{×} où a ≠ 1. Soit n l’ordre de a : donc n | p − 1, n > 1. Il est commode pour le calcul d’identifier G au groupe « ax + b » formé des matrices

\binom{x z}{1} (x ∈ 𝔽_{p}^{×} , z ∈ 𝔽_{p} = ℤ/p) .

Alors 𝔽_{p}^{×}\G s’identifie à 𝔽_{p} par

\binom{x z}{1} ↦ z/x ∈ 𝔽_{p} ,

et l’image de

\binom{x z}{1} \binom{a 0}{1} = \binom{ax z}{1}

est égale à a^{−1}(z/x). Donc X s’identifie à 𝔽_{p}/ < a >, a opérant par z ↦ a^{−1}z. Le cardinal de X est 1 + \frac{p−1}{n} (n > 1). Si w est un élément de X représenté par g ∈ G, le degré résiduel correspondant est

f_{w} = |D ∩ g^{−1}Hg\D| .

On a g = \binom{1 z}{1}, D = \{ (\begin{matrix}a^{m} \\ & 1 \end{matrix}) \}, H = 𝔽_{p}^{×} et

g^{−1} H g = \{ \binom{x (x − 1) z}{1} \} (x ∈ 𝔽_{p}^{×}) .

Si z = 0, D = D ∩ g^{−1}Hg. Si z ≠ 0, l’intersection est nulle est f_{w} = |D| = n. Par ailleurs, la projection naturelle G → Gal(F (ζ_{p})/F) (cf. (2.8)) est alors bijective sur D. En particulier le caractère cyclotomique ω_{p} : Gal(F̄/F) → 𝔽_{p}^{×} a une image d’ordre n sur D =< Frob_{v} >. On en déduit que q_{v} est d’ordre n dans 𝔽_{p}^{×}. Pour résumer :

Lemme 2.8.— Supposons p > 2. Soit v ∤ p une place de F, non ramifiée dans E, qui n’est ni inerte ni décomposée. Alors l’ensemble des places w de E divisant v est formé d’une place w_{0} telle que f_{w_{0}} = 1 et de \frac{p−1}{n} = t places w = w_{1}, …, w_{t} avec f_{w} = n. De plus q_{v} est d’ordre n dans 𝔽_{p}^{×}.

Le cas où F n’est pas linéairement disjoint de ℚ(ζ_{p}) se traite de la même manière. On suppose encore que F ne contient pas ℚ(ζ_{p}). Alors Gal(F (ζ_{p})/F) est un sous–groupe G_{cycl}, d’ordre m | p − 1 (m > 1), de 𝔽_{p}^{×}. On a un produit semi– direct

G = (ℤ/p) ⋊ G_{cycl};

les cas de décomposition sont de nouveau (2.9a) (auquel cas q_{v} ≡ 1), (2.9b) (auquel cas q_{v} ≡ 1 car D est d’image triviale dans Gal(F (ζ_{p})/F)), et (2.9c) où D′ ⊂ G_{cycl} et n = D′ ≠ 1. On a alors par le même calcul :

Lemme 2.9 (F non linéairement disjoint de ℚ(ζ_{p})).— Dans le cas (2.9c), l’ensemble des places w | v est décrit par le Lemme 2.8, n étant un diviseur de m = |Gal(F (ζ_{p})/F |.

Enfin, si F contient une racine primitive d’ordre p, E/F est cyclique, le caractère cyclotomique s’annule sur Gal(F̄/F) et l’on a q_{v} ≡ 1 (mod p)^{2} pour tout v non ramifié (v ∤ p).

2.5

Revenons aux notations générales de l’article et au calcul de l’homomorphisme de Brauer. Soit v une place de F où les données sont non ramifiées, et H_{v} l’algèbre de Hecke non ramifiée à coefficients dans 𝔽̄_{p}. Soit X = G_{v}/K_{v} (§ 2.3). On identifie H_{v} à l’espace F(X ×X) des fonctions sur X, invariantes par l’action diagonale de G := G_{v}, et à support dans un ensemble fini d’orbites [20, § 2.10]. L’identification est donnée par

Φ ↦ φ , φ(K g K) = Φ(K, gK)

2. On écrira simplement q_{v} ≡ 1[p]

Documenta Mathematica 22 (2017) 1149–1180

(Φ ∈ F, φ ∈ H, K := K_{v}) On a Y = H_{v}/U_{v} ⊂ X, et l’application Br : H_{v}(G) → H_{v}(H) est simplement donnée par la restriction pour les espaces F. La propriété (2.7) implique que Br est un homomorphisme (sur 𝔽̄_{p}!) : cf. [20, § 4.2] On suppose de plus que v est une bonne place au sens du § 2.3, donc que β ∈ K = K_{v}. Alors toute fonction de H_{v}(G) est invariante par σ. Soit φ = ch(K s K) où s appartient au tore diagonal (F^{×})^{p}. Avec ces définitions, Br(φ) est simplement la restriction à H = H_{v} de la fontion φ. La place v étant fixée, nous écrirons simplement T_{α} pour T_{v,α}. Nous considérons d’abord l’opérateur T_{1}, donc défini par

φ = ch(K (\begin{matrix}ϖ \\ & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \end{matrix}) K) .

La place v étant supposée non ramifiée dans E, on a E ⊗ F_{v} = E_{1} × ⋯ × E_{r} où E_{i} est non ramifiée de degré f_{i}, Σf_{i} = p. On peut supposer ΠE_{i}^{×} plongé diagonalement dans GL(p, F), avec O_{i}^{×} ⊂ K. Il convient donc de calculer la restriction de φ à un élément qui, modulo K, devient h = diag(z_{1}, … z_{r}) où z_{i} = (ϖ^{n_{i}}, …, ϖ^{n_{i}}) (matrice de degré f_{i}). Il en résulte aussitôt que n_{i} = 0 ou 1, que n_{i} = 1 pour un unique i, et qu’alors f_{i} = 1. On a donc :

Lemme 2.10.—

Br(φ) = ∑_{i:f_{i}=1} ( ∏_{j≠i} ch(O_{E_{j}}^{×}))ch(ϖO_{E_{i}}^{×}) .

Il en résulte que, pour χ_{v} = ⨂_{w|v} χ_{w}

η_{v}(Br(φ)) = ∑_{f_{w}=1} χ_{w}(ϖ_{w}) .  (2.10)

Nous devons comparer avec (2.3) ; puisque α = 1, la puissance de q disparaît. Par construction S_{1} est la somme des valeurs propres de ind(χ) sur Frob_{v}, indχ étant localement égale à

⨁_{w|v} ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} χ_{w} .

Si f_{w} = [W_{F_{v}} : W_{E_{w}}] > 1 cette représentation est de trace nulle, Frob_{v} opérant par permutation. Il reste les termes décomposés, de façon compatible à (2.10). Nous avons donc vérifié que la trace de la représentation indχ est compatible, par la correspondance d’Ash, à l’action de T_{1}. Ceci n’implique pas la Conjecture 2.4 ! Il nous faut obtenir le polynôme caractéristique de Frob_{v}, et non seulement sa trace. Supposons maintenant 1 < α ≤ p. On considère donc la fonction caractéristique de

C = K (\begin{matrix}ϖ \\ & . & . & . \\ & & & & ϖ \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{matrix}) K

avec α coefficients égaux à ϖ. De nouveau, on doit imposer que diag(z_{1}, … z_{r}) ∈ C, où

z_{i} = (ϖ^{n_{i}}, …, ϖ^{n_{i}}) .

On a aussitôt n_{i} = 0 ou 1, et

α = ∑_{n_{i}=1} f_{i} .  (2.11)

Disposons d’abord du cas galoisien. Alors (f_{i}) = (p) ou (1, …, 1) et, on l’a vu, q_{v} ≡ 1 [p] ce qui neutralise les coefficients de (2.3). Si la place v est inerte, (2.11) implique α = p, et la valeur de χ sur Br(T_{α}) est égale à χ(ϖ_{w}) = χ(ϖ_{v}) où w | v. Par ailleurs du côté galoisien

det(indχ)(Frob_{v}) = (transf(χ))(Frob_{v}) det(P_{Frob_{v}})

où transf est le transfert cohomologique, qui se traduit par la restriction des caractères, et P_{Frob_{v}} est la matrice de permutation circulaire d’ordre p, de déterminant 1. Cf. [11, § 13B]. Donc l’identité cherchée est satisfaite pour α = p. Si α < p, Br(φ) = 0 où φ représente T_{α}. La représentation galoisienne est

ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} (χ) ,

une induite de degré p, et l’on vérifie aussitôt que tous les coefficients S_{α} (α < p) s’annulent. D’où le résultat dans le cas inerte. Supposons v décomposée. La représentation en v est alors (semi simplifiée)

⨁_{w|v} χ_{w};  (2.12)

en utilisant (2.11) avec f_{i} = 1, on voit aussitôt , les places divisant v étant w_{1}, ..., w_{p}, que

η(Brφ) = ∑_{{I⊂\{1,...p\} \atop |I|=α}} ∏_{i∈I} χ_{w_{i}}(ϖ)

ce qui est bien le terme S_{α} pour (2.12). Ceci termine, dans le cas galoisien, la démonstration du Théorème 2.5. Considérons maintenant le cas non galoisien, en utilisant les résultats du § 2.4. Nous considérons les trois cas décrits en (2.9). Si v est décomposée dans E(ζ_{p}), q_{v} ≡ 1 [p] et le calcul précédent s’applique. Si v est inerte, on doit toujours avoir α = p (les autres termes étant nuls du côté automorphe et du côté galoisien)

et (2.3) donne un coefficient qv^{\frac{p(1−p)}{2}} . Dans ce cas D = ℤ/p, d’image \{1\} dans Gal(F (ζ_{p})/F), donc v est décomposée dans F (ζ_{p}) et q_{v} ≡ 1 [p]. Le cas intéressant est donc le cas intermédiaire (2.9c). Dans ce cas le Lemme 2.8, joint à (2.11), nous donne l’expression suivante : il y a t + 1 places w_{0}, w_{1}, ..., w_{t} de E divisant v et

η(Br(φ)) = χ_{0}(ϖ) ∑_{I⊂{1,...t}} ∏_{i∈I} χ_{i}(ϖ) + ∑_{J⊂{1,...t}} ∏_{j∈J} χ_{j}(ϖ) .  (2.13)

Dans la première somme, on doit avoir n|I| = α − 1 ; dans la seconde, n|J| = α. On a posé χ_{i} = χ_{w_{i}}. Considérons maintenant la représentation galoisienne. En la place v, on a après semi–simplification

indχ = χ_{0} ⊕ ∑_{i} ind_{W_{Fn}}^{W_{F}} χ_{i}

où on a écrit pour simplifier F pour F_{v}, F_{n} étant son extension non ramifiée de degré n. Ainsi

Λ^{α}(indχ) = ⨁_{α_{0}+···+α_{t}=α} ⨂_{i} Λ^{α_{i}}V_{i} ,

V_{i} parcourant les représentations χ_{0}, indχ_{i}, soit

Λ^{α}(indχ) = χ_{0} ⊗ ⨁_{α_{1}+···+α_{r}=α−1} ⨂_{i} Λ^{α_{i}}V_{i} ⊕ ⨁_{α_{1}+···+α_{r}=α} ⨂_{i} Λ^{α_{i}}V_{i} .

Les représentations V_{i} étant des induites cycliques, on a trace (Frob_{v}|Λ^{α_{i}}V_{i}) = 0 sauf pour α_{i} = 0, n. Pour calculer S_{α}, il reste donc les termes

χ_{0} ⊗ ⨁_{|I|= \frac{α−1}{n}} ⨂_{i∈I} det V_{i}  (2.14)

⨁_{|I|= \frac{α}{n}} ⨂_{i∈I} det V_{i} .  (2.15)

Par conséquent, α − 1 ou α doit être divisible par n > 1. Considérons le premier cas, qui correspond à la première somme de (2.13) — les deux termes étant, là aussi, mutuellement exclusifs. On a comme auparavant

det V_{i}(Frob_{v}) = χ_{i}(ϖ) det(P_{Frob_{v}})  (2.16)

le déterminant étant maintenant égal à (−1)^{n−1}. Donc (2.14) est égal à

(−1)^{(n−1) \frac{α−1}{n}} χ_{0}(ϖ) ∑_{|I|=s} ∏_{i∈I} χ_{i}(ϖ)

où s = \frac{α−1}{n}.

Il nous reste à introduire le terme multiplicateur de (2.3), égal à qv^{\frac{α(1−α)}{2}} . Rappelons que d’après le Lemme 2.8 q_{v} est d’ordre n dans 𝔽_{p}^{×}. Le lemme suivant conclut la démonstration pour les valeurs de α ≡ 1 [n].

Lemme 2.11.— qv^{\frac{α(1−α)}{2}} = (−1)^{\frac{(n−1)(α−1)}{n}} dans 𝔽_{p}.

Supposons en effet α pair. Puisque q_{v}^{n} = 1, q_{v}^{\frac{α}{2} (1−α)} = 1. Puisque n | α − 1, n est impair et (−1)^{(n−1) \frac{α−1}{n}} = 1.

Supposons α impair. Si n est impair, \frac{1−α}{2} est multiple de n. Puisque q_{v}^{n} = 1,

qv^{\frac{α(1−α)}{2}} = 1. Or (−1)^{(n−1) \frac{α−1}{n}} = 1.

Supposons enfin n pair. Alors qv^{\frac{n}{2}} = −1, donc qv^{\frac{α(1−α)}{2}} = (−1)^{α( \frac{1−α}{n})} = (−1)^{\frac{1−α}{n}}. Or (−1)^{(n−1)( \frac{α−1}{n})} = (−1)^{\frac{1−α}{n}} (−1)^{α−1}, et α est supposé impair. Considérons enfin le second cas. Alors (2.15) donne la somme des termes

(−1)^{(n−1)( \frac{α}{n}}) ∏_{i∈I} χ_{i}(ϖ)

où |I| = s = \frac{α}{n}. Il reste à vérifier que

qv^{\frac{α(1−α)}{2}} = (−1)^{(n−1)( \frac{α}{n})} (dans 𝔽_{p}) .

Mais ceci n’est rien d’autre que le lemme précédent, en échangeant les rôles de α et 1 − α. Le Théorème 2.8 implique enfin le Théorème 2.5.

3 Induction automorphe d’un caractère cohomologique de GL(M)

3.1

Nous considérons toujours l’extension radicielle E/F du chapitre 2, mais nous posons N = pM et nous partons d’un caractère cohomologique

η_{E} : H_{H}^{S} ⟶ 𝔽̄_{p}

où S est une ensemble fini de places de F et H = GL(M, 𝔸_{E}). Notons donc U un sous–groupe ouvert compact de H = Res_{E/F} GL(M) (𝔸_{F}^{∞}) = GL(M, 𝔸_{E}^{∞}), que l’on suppose décomposé (par rapport aux places de F). On forme comme dans le § 2.2 le quotient

S(H, U) = A_{H}H(F)\H(𝔸)/U_{∞}U ,  (3.1)

U_{∞} étant, comme dans le §2.2, compact connexe maximal. Si S est un ensemble fini de places disjoint des places de ramification, l’algèbre de Hecke non ramifiée

H(H(𝔸^{∞,S}), 𝔽̄_{p}) = H_{H}^{S}

opère sur H^{•}(S(H, U), 𝔽̄_{p}). On remarquera que si U′ ⊂ U, l’application H^{i}(S(H, U)) → H^{i}(S(H, U′)) n’est pas nécessairement injective ; néanmoins, si U′ est invariant dans U, les caractères η_{E} de H_{H}^{S} apparaissant en niveau U apparaissant en niveau U′ [20, Prop. 5.4]. On pourra donc, sans restreindre la généralité, supposer U assez petit. Si β = ξ^{1/p} ∈ E, β définit une matrice diagonale de M_{M}(E) ⊂ M_{N}(F), que l’on notera simplement β, et le centralisateur de β s’identifie à M_{M}(E). L’automorphisme d’ordre p, σ : X ↦ βXβ^{−1}, de GL(N, F) a donc pour points fixes GL(M, E). Soit G = GL(N)/F. Pour un sous–groupe ouvert compact K ⊂ G(𝔸_{F}^{∞}), on considère de même l’action sur H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}), où S(G, K) = A_{G}G(F)\G(𝔸)/K_{∞}K de l’algèbre de Hecke H_{G}^{S}, S étant l’ensemble des places de ramification.

Soit v une place finie de F telle que les données sont non ramifiées pour toute place w|v de E; soit r(η_{w}) la représentation de W_{E_{w}} associée à η_{w}; nous supposons E/F non ramifié en v, et nous identifions Ē_{w} à F̄_{v}. Soit r_{v}(η) la représentation de W_{F_{v}} :

r_{v}(η) = ⨁_{w|v} ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} r(η_{w}) .  (3.2)

Théorème 3.1.— Supposons que η_{E} : H_{H}^{S} → 𝔽̄_{p} apparaît dans H^{•}(S(H, U), 𝔽̄_{p}), S étant supposé assez grand. Alors le caractère η_{F} de H_{G}^{S} défini en toute place v ∉ S par r_{v}(η_{F}) = r_{v}(η) apparaît dans H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}) pour un niveau K convenable.

On en déduit alors :

Théorème 3.2.— Supposons η_{E} associé à une représentation galoisienne r_{E} : Gal(ℚ̄/E) → GL(M, 𝔽̄_{p}). Alors il existe η_{F} (apparaissant dans la cohomologie de S(G, K) pour K convenable) associé à

r_{F} = ind_{Gal(ℚ̄/E)}^{Gal(ℚ̄/F)}r_{E} .

3.2

La démonstration est évidemment la généralisation directe de celle du chapitre 2, et nous ne détaillerons que les arguments nouveaux. Noter qu’on peut, comme on l’a vu, supposer U assez petit. La démonstration du Lemme 2.6 s’étend de façon directe, au moins en ce qui concerne les places finies. Pour les places archimédiennes, on trouve comme dans la démonstration du Lemme 2.6 que U_{v} ⊂ K_{v} sauf si p = 2, si v est réelle, et si les places w divisant v sont réelles. Dans ce cas, avec les notations de cette section, on peut avoir

U′_{v} = O(M, ℝ) × O(M, ℝ) ⊂ O(2M, ℝ)

de sorte que l’intersection de U′_{v} avec K_{v} = SO(2M, ℝ) est

U′′_{v} = S(O(M, ℝ) × O(M, ℝ)) = {g_{1}, g_{2} : det g_{1} = det g_{2}}

où g_{1}, g_{2} ∈ O(M, ℝ). Considérons les deux quotients (3.1) où U_{∞} est respectivement le produit des groupes U′′_{v} (places réelles) et U_{v} (places complexes), ou des composantes connexes de ces groupes ; on note U_{∞}^{+} ce dernier groupe. Alors :

Lemme 3.3.— Si U est assez petit, et si S contient les places de ramification, les caractères de H_{H}^{S} apparaissant dans H^{•}(S(H, U_{∞}U), 𝔽̄_{2}) et dans H^{•}(S(H, U_{∞}^{+}U), 𝔽̄_{2}) sont les mêmes.

La cohomologie de S(H, U_{∞}U) étant la même que celle de H(F)\H(𝔸)/U_{∞}U, nous pouvons négliger le quotient par A_{H}. Le groups U étant fixé, écrivons S_{H} et S̄_{H} pour les quotients respectifs par U_{∞}^{+} et U_{∞}. On a donc un revêtement S_{H} → S̄_{H} (de degré 2^{r_{1}}, où r_{1} est le nombre de places réelles.) On peut écrire

S_{H} = ∐ Γ_{i}\GL(M, E_{∞})/U_{∞}^{+}

où les Γ_{i} sont des groupes de congruences. D’après le théorème de Chevalley sur les sous-groupes de congruences du groupe multiplicatif, appliqué à l’image du déterminant, on voit que Γ_{i} ⊂ GL(n, E_{∞})^{+} si U est assez petit. Pour simplifier les notations, supposons par exemple que F = ℚ et que E est quadratique réel. Alors chacune des composantes de la décomposition ci-dessus est de la forme

Γ_{i}\GL(M, ℝ) × GL(M, ℝ)/SO(M) × SO(M)
= ∐ Γ_{i}\(GL(M, ℝ)^{+}ε_{1} × (GL(M, ℝ)^{+}ε_{2}/SO(M) × SO(M)

où ϵ_{i} parcourt O(M)/SO(M). On obtient, pour toute paire ε_{1}, ε_{2} modulo les éléments diagonaux, un terme correspondant pour S̄_{H}., le quotient étant pris par S(O(M) × O(M)). On voit donc que S_{H} ≅ S̄_{H} ∐ S̄_{H}, soit H^{•}(S_{H}, R) = H^{•}(S_{H}, R)^{2} pour tout R, compatiblement avec l’action des opérateurs de Hecke. D’où le résultat.

On obtient alors comme précédemment, pour K assez petit et U = K^{Σ}, une application injective

j : S(H, U) ⟶ S(G, K)^{Σ} ,

de sorte que S(H, U) est une réunion finie de composantes connexes de S(G, K)^{Σ}. On définit comme avant le Lemme 2.7 les bonnes places de F, en imposant bien sûr que ∏_{w|v} GL(M, O(E_{w})) soit contenu dans GL(N, O_{v}).

La démonstration du Lemme 2.7 s’étend de façon identique :

Lemme 3.4.— Pour presque toutes les places, l’injection naturelle de G_{v}^{Σ}/K_{v}^{Σ} dans H^{0}(Σ, G_{v}/K_{v}) est bijective.

On peut supposer tout d’abord que l’intersection K_{v} de H_{v} = H(F_{v}) avec GL(N, O_{v}) est le produit des GL(M, O_{w}), et que ces groupes sont les sous– groupes de niveau K_{v}, U_{v}. Supposons d’abord v décomposée dans E, de sorte que H_{v} = GL(M, F_{v})^{p} est un sous–groupe de Levi. On a la décomposition d’Iwasawa

G_{v} = P_{v}K_{v}

où P_{v} = H_{v} N_{v}, N_{v} étant le radical unipotent ; l’élément β peut être pris diagonal dans H_{v} et central dans chaque facteur. Si x = pk_{v} (p ∈ P_{v}) et p = hn, l’équation σx = x s’écrit alors βnβ^{−1}K_{v} = nK_{v}. Le même argument (en décomposant les matrices de N_{v} en blocs M × M) montre que n est une matrice à coefficients entiers si β_{i}/β_{j} − 1 est une unité pour i ≠ j. Alors x = h K_{v} ∈ H_{v}/K_{v}^{Σ} = H_{v}/U_{v}. Dans le cas général, le même argument de descente donne le résultat. On peut donc définir l’homomorphisme de Brauer

Br : H_{v}(G) ⟶ H_{v}(H)

en une bonne place v. L’analogue du Théorème 2.8, que nous ne réécrivons pas, implique alors que η_{E} ∘ Br apparaît dans H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}) (pour une bonne place où les données sont non ramifiées.)

3.3

La partie intéressante de la démonstration consiste de nouveau à vérifier que l’homomorphisme de Brauer (mod p!) est compatible à la dualité de Langlands. Pour 0 ≤ α ≤ N et v une place de F où les données sont non ramifiées, notons simplement T_{α}^{N} l’opérateur défini en 2.1. Il faut d’abord calculer son image par l’homomorphisme de Brauer. Un calcul exactement analogue à la démonstration de Lemme 2.10 donne l’expression suivante. Soit v une bonne place, et X_{v} = {w} l’ensemble des places de E divisant v. On ne distinguera pas entre un opérateur de Hecke et la fonction caractéristique associée. Soit donc T_{α}^{N} l’opérateur de Hecke (sur GL(N)) en v, et T_{w,β}^{M} un opérateur de Hecke sur GL(M) en une place w.

Lemme 3.5.— Pour 0 ≤ α ≤ N,

Br(T_{α}^{N}) = ∑_{α=Σf_{w}α_{w}} ∏_{w} T_{w,α_{w}}^{M}  (3.3)

où w parcourt l’ensemble X_{v} des places divisant v.

Si v est décomposée, de sorte que H(F_{v}) ≅ (GL(M, F_{v}))^{p} et f_{w} = 1, on remarquera que ceci n’est autre que l’homomorphisme de Sataké

S_{G}^{L} : H_{v}(G) ⟶ H_{v}(L)

où L = GL(M)^{p} est le sous–groupe de Levi évident de GL(N), mais où les facteurs de normalisation, puissances de q_{v}, ont disparu. (Cf. [1, § I.4] pour une description de l’homomorphisme de Sataké relatif dans le cas de GL(n).) Rappelons que le caractère η_{E} est défini, en toute place non ramifiée w, par

η_{E}(T_{w,β}^{M}) = qw^{\frac{β(1−β)}{2}} trace(Frob_{w} | Λ^{β}r_{w})  (3.4)

où

r_{w} = ⨁_{i=1}^{M} χ_{i,w}  (3.5)

est la représentation de W_{E_{w}} associée à η_{E,w}, cf. Définition 2.3. Considérons la représentation locale (3.2) :

r_{v} = r_{v}(η) = ⨁_{w|v} ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} r_{w}

et l’homomorphisme η_{F} associé, par la normalisation canonique, à r_{v} :

η_{F} (T_{α}^{N}) = qv^{\frac{α(1−α)}{2}} trace(Frob_{v} | Λ^{α}r_{v}) .  (3.6)

On a

trace(Frob_{v} | Λ^{α}r_{v}) = ∑_{{(α_{i,w}) \atop α=Σα_{i,w}}} ∏_{i,w} trace(Frob_{w} | Λ^{α_{i,w}}ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} χ_{i,w})

ce qui implique tout d’abord

α_{i,w} ≤ f_{w}  (3.7)

puis — cf. 2.16 —

trace(Frob_{v} | Λ^{α_{i,w}}ind_{W_{Ew}}^{W_{Fv}} χ_{i,w}) = \{ \begin{matrix}1 (α_{i,w} = 0) \\ (−1)^{f_{w}−1}χ_{i,w}(ϖ) (α_{i,w} = f_{w}) \end{matrix} (3.8)

les valeurs de la trace pour α ≠ 0, f_{w} étant nulles. Ainsi :

Lemme 3.6.—

trace(Frob_{v} | Λ^{α}r_{v}) = ∑ ∏_{{i,w \atop α_{i,w}=fw}} (−1)^{f_{w}−1}χ_{i,w}(ϖ)

où la somme porte sur les données (α_{i,w}) tels que α_{i,w} = 0, f_{w}, avec α = ∑_{i,w} α_{i,w}.

Posons  α_{i,w} = f_{w} ε_{i,w} (ε_{i,w} = 0, 1)
On a donc α = ∑ α_{w}f_{w}
α_{w} = ∑_{i∈I_{w}} 1 = |I_{w}|

où I = {1, …, M} et I_{w} est défini par ε_{i,w} = 1. L’expression pour la trace devient

∑_{α=Σα_{w}f_{w}} ∏_{w} ∑_{|I_{w}|=α_{w}} ∏_{i∈I_{w}}(−1)^{f_{w}−1}χ_{i,w}(ϖ) .  (3.9)

Nous devons maintenant évaluer η_{E} sur Br(T_{α}^{N}), donné par l’expression (3.3). La représentation de GL(M, 𝔸_{E}) est simplement donnée, localement, par la somme des χ_{i}. On a donc pour β ≤ M

η_{E}(T_{w,β}^{M}) = qw^{\frac{β(1−β)}{2}} trace(Frob_{w} | Λ^{β}(⨁_{i=1}^{M} χ_{i,w}))

= qw^{\frac{β(1−β)}{2}} ∑_{|I|=β} ∏_{i∈I} χ_{i,w}(ϖ) .

En fixant la décomposition α = Σα_{w}f_{w}, on est donc amené à comparer, les caractères apparaissant dans chaque expression étant identiques :

qv^{\frac{α(1−α)}{2}} ∏_{w}(−1)^{(f_{w}−1)α_{w}}  (3.10)

∏_{w} qw^{\frac{αw(1−αw)}{2}} .  (3.11)

Notons tout d’abord les cas évidents.

Lemme 3.7.— Les expressions (3.10) et (3.11) sont égales dans 𝔽_{p} si α = 1, si v est décomposée, ou si v est inerte.

Si α = 1, on doit avoir α_{w}f_{w} = 1 pour une place f_{w} exactement, les autres α_{w} étant nuls. Les deux termes sont donc égaux à 1. Si v est décomposée, q_{v} ≡ 1 [p] et f_{w} = 1. Si v est inerte, q_{v} = q_{w} = 1 et f_{w} = p.

Considérons maintenant les cas où la décomposition de v donne

f_{w_{0}} = 1 , f_{w_{i}} = n (i = 1, … t = \frac{p − 1}{n})

avec n | p − 1. D’après le Lemme 2.11 (et son homologue pour α ≡ 0 [n]) on sait que l’égalité est vérifiée si α_{w} est égal à 0 ou 1 pour tout w. Fixons une place w et remplaçons α_{w} par α_{w} + 1, donc α par α′ = α + f_{w}. Soit A = \frac{α(1−α)}{2}, A_{w} = \frac{α_{w}(1−α_{w})}{2}. On a, avec la notation correspondante pour α′ :

\begin{aligned}A′_{w} & = A_{w} − α_{w}, \\ A′ & = A − f_{w}α + \frac{1}{2}(f_{w} − f_{w}^{2}) . \end{aligned}

Puisque q_{w} = q_{v}^{f_{w}}, le quotient des puissances de q_{v} dans (3.10) et (3.11) est donc multiplié par q^{f_{w}(α_{w}−α)+ \frac{1}{2} (f_{w}−f_{w}^{2})} où q = q_{v}; en supposant l’égalité vérifiée pour α, il faut d’abord vérifier :

q^{\frac{1}{2} (f_{w}−f_{w}^{2})} = (−1)^{(f_{w}−1)} .

C’est évident si f_{w} = 1 ; supposons donc que f = f_{w} = n, q étant d’ordre exact n. Si n est pair, q^{\frac{n}{2} (1−n)} = (−1)^{1−n} puisque q^{\frac{n}{2}} = −1. Si n est impair, q^{( \frac{1−n}{2} )n} = 1 car q^{n} = 1. Par ailleurs α = ∑_{u} α_{u}f_{u}, donc

(α − α_{w})f_{w} = ∑_{u≠w} α_{u}f_{u}f_{w} + α_{w}(f_{w}^{2} − f_{w}).

Puisque f_{w} = 1 ou n, la valeur 1 n’étant prise que pour w_{0}, et q^{n} = 1, on voit que q^{(α−α_{w})f_{w}} = 1. Par récurrence, on voit que les expressions (3.10) et (3.11) coïncident pour tout α. En toute bonne place, r_{v}(η) est donc associée, par l’homomorphisme de Brauer, à la donnée des r_{w}. Ceci termine la démonstration du Théorème 3.1.

4 Relation avec les résultats connus

4.1

Rappelons tout d’abord les faits suivants :

(4.1) Si l’extension E/F est résoluble, et si π_{E} est une représentation cuspidale de GL(M, 𝔸_{E}), l’induite automorphe Ind_{E}^{F}π_{E} = π_{F} existe : c’est une représentation automorphe, unitairement induite de cuspidale, de GL(dM, 𝔸_{F}) où d = [E : F]. Voir [1, Ch. 3].

(4.2) Si F est un corps CM, ce qui inclut ici, sans précision supplémentaire, les corps totalement réels, et si un caractère η_{F} de l’algèbre de Hecke apparaît dans H^{•}(S(G, K), 𝔽̄_{p}) où G = GL(N)/F, la représentation (semi–simple) r(η_{F}) de Gal(F̄/F) existe (Scholze [19]).

4.2

Considérons d’abord le cas où E/F est galoisien, c’est–à–dire cyclique de degré p. Dans ce chapitre, on supposera aussi, sauf indication contraire, p ≠ 2. Les corps E, F sont arbitraires. Le corps F contient ℚ(ζ_{p}).

Soit η_{E} un caractère cohomologique de l’algèbre de Hecke (hors ramification, ce qu’on s’abstiendra aussi de préciser dans cette discussion) de GL(M, 𝔸_{E}), à valeurs dans 𝔽̄_{p}. Supposons en fait que η_{E} provienne d’une classe de cohomologie en caractéristique nulle, de sorte qu’un relèvement η̃_{E} à valeurs dans ℤ̄_{p}, que l’on peut voir comme un caractère complexe d’après des identifications bien connues, provient d’une représentation automorphe π_{E} de GL(m, 𝔸_{E}). Noter que dans cet article, comme dans [20], la cohomologie est toujours considérée pour le système local trivial. En particulier π_{E} est cohomologique pour le système local trivial. Pour une descriptions détaillée, pour GL(n), des représentations cohomologiques associées à des systèmes locaux arbitraires, nous renvoyons à [5, Ch. 3]. Noter que si E est CM, de sorte qu’il existe une représentation modulaire r_{E} (semi–simple) associée à η_{E}, on s’attend à ce que l’association η_{E} ↔ r_{E} soit compatible, aux places w de E ne divisant pas p, avec la correspondance locale mod p de Vignéras [21] ; ceci est vraisemblablement accessible. Sous des hypothèses convenables sur r_{E}, π_{E} est alors cuspidale. Dans tous les cas, supposons π_{E} cuspidale, de sorte que π_{F} = Ind_{E}^{F}π_{E} existe d’après [1]. Soit v une place archimédienne de F ; p étant impair, elle se décompose en p places {w_{1}, … w_{p}} de E. Alors la représentation de W_{F_{v}} associée par Langlands à π_{F,v} est

⨁_{1}^{p} r_{w_{i}}(π_{E}) .  (4.3)

Considérons la représentation de ℂ^{×} ⊂ W_{E_{w}} associée, en une place w, à π_{E}. Alors celle-ci est égale à

⨁_{1}^{M} χ_{i}  (4.4)

où les caractères χ_{i} de ℂ^{×} sont donnés par

(χ_{1}, ..., χ_{M}) = ((z/z̄)^{(M−1)/2}, (z/z̄)^{(M−3)/2}, ..., (z/z̄)^{(1−M)/2} ).

Cf. [5, § 3.5]. D’après (4.3), la représentation de W_{F_{v}} est alors somme de p facteurs du même type, et n’est donc pas régulière au sens de [5] et donc pas cohomologique. Ceci s’applique évidemment aussi dans le cas où M = 1, comme on l’a remarqué à la fin du § 2.2. On remarquera que des résultats de changement de poids pour les représentations cohomologiques, préservant les représentations modulo p associées, existent. Voir par exemple [3, § 4.4]. On peut vraisemblablement changer le poids (i.e., le système de coefficients) associé à π_{E}, en préservant la représentation modulaire, de sorte que l’induite soit régulière. Nous ne poursuivrons pas cette question. Si E et F sont CM, de sorte que π_{E} est associée, d’après Scholze ou Harris, Lan, Taylor et Thorne, à une représentation semi–simple

r̃_{E} : Gal(ℚ̄/E) ⟶ GL(M, ℤ̄_{p}) ,

on voit qu’on a construit une représentation modulaire r_{F} qui est la réduction mod p de la représentation galoisienne r̃_{F} qui devrait être associée à π_{F}. Noter à ce propos que si F est totalement réel, une extension radicielle (nécessairement non galoisienne) E = F (\sqrt[p]{ξ}) n’est jamais CM, comme il résulte de la décomposition de E en une place réelle. En revanche, il existe des extensions radicielles non cycliques avec E, F CM. Supposons par exemple F quadratique imaginaire : on note simplement x ↦ x̄ la conjugaison complexe. Soit ξ ∈ F^{×} un élément de norme 1 (ξξ̄ = 1) tel que ξ ∉ F^{p}. (De tels éléments existent.) Si E = F (β), β = ξ^{1/p}, (ββ̄)^{p} = 1 où β̄ désigne le conjugué complexe de β pour un plongement complexe arbitraire de E. Puisque ββ̄ est positif, ββ̄ = 1 ; la conjugaison complexe sur E est donc donnée, pour tout plongement, par l’automorphisme, antilinéaire pour la conjugaison complexe sur F, tel que β ↦ β^{−1}.

4.3

Considérons maintenant le cas non galoisien. Supposons F CM (au sens large). Alors la représentation modulaire r_{F} associée à la semi–simplifiée de ind_{E}^{F}r_{F} existe, r_{E} étant pour l’instant une famille (r_{E,w}) de représentation de Gal(Ē_{w}/E_{w}) aux places non ramifiées, r_{E,w} étant associée à η_{E,w}. Supposons pour simplifier l’argument que la représentation galoisienne r_{E} de Gal(Ē/E) existe. On suppose aussi F linéairement disjoint de ℚ(ζ_{p}). D’après le théorème de Mackey, on a, en écrivant 𝔤_{E} = Gal(ℚ̄/E), 𝔤_{F} = Gal(ℚ̄/F) :

(ind_{E}^{F}r_{E})|_{𝔤_{E}} = ⨁_{δ} ind_{𝔤_{E}∩^{δ}𝔤_{E}}^{𝔤_{E}}r_{E}^{δ}

où r_{E}^{δ}(δ σ δ^{−1}) = r_{E}(σ) si σ ∈ 𝔤_{E}. On a Gal(E^{gal}/F) = 𝔽_{p} ⋊ 𝔽_{p}^{×} où on a choisi une identification de Gal(E^{gal}/F (ζ_{p})) à 𝔽_{p}; si K = Gal(E^{gal}/E) = 𝔽_{p}^{×}, δ parcourt l’ensemble des doubles classes K\G/K (notations du § 2.4). Identifiant comme là G au groupe

\binom{x z}{0}, x ∈ 𝔽_{p}^{×}, z ∈ 𝔽_{p}, on a K\G ≡ 𝔽_{p} (via X = \frac{z}{x}) et l’action de K devient

X ↦ Xy^{−1}. L’espace des doubles classes a donc deux éléments ; pour la double classe non triviale, K ∩^{δ}K = {1}. Ainsi

(ind_{E}^{F}r_{E})|_{𝔤_{E}} = r_{E} ⊕ ind_{E^{gal}}^{E} r_{E}|_{𝔤_{E^{gal}}} .

Mais E^{gal} = E(ζ_{p}), et il en résulte par réciprocité de Frobenius que

(ind_{E}^{F}r_{E})|_{𝔤_{E}} = r_{E} ⊕ ⨁_{i=0}^{p−2} r_{E} ⊗ ω^{i}

où ω : 𝔤_{E} → 𝔽_{p}^{×} est le caractère cyclotomique. Cette relation reste vraie, sans supposer a priori l’existence de r_{E}, pour les représentations locales aux places non ramifiées. On a donc le résultat non trivial suivant :

Théorème 4.1.— Supposons E = F (ξ^{1/p}) extension radicielle d’un corps CM F, linéairement disjoint de ℚ(ζ_{p}) ; soit η_{E} un caractère cohomologique de l’algèbre de Hecke de GL(M, 𝔸_{E}) (en–dehors des places de ramification) et soit (r_{w}) la famille de représentations locales, à valeurs dans GL(M; 𝔽̄_{p}), associée à η_{E}. Il existe alors une représentation galoisienne modulaire de degré pM de Gal(ℚ̄/E), R, telle qu’en presque toute place w de E, la semi–simplifiée de R_{w} soit égale à

r_{w} ⊕ ⨁_{i=0}^{p−2} r_{w} ⊗ ω^{i}

où r_{w} est associée à η_{E,w}.

4.4

Considérons enfin le cas suivant, qui nous a été expliqué par Richard Taylor. Supposons E, F CM et supposons que η_{E} se relève en caractéristique nulle et provient d’une représentation cuspidale π_{E} qui est cohomologique (pour le système trivial de coefficients.) Il existe une représentation galoisienne p-adique de degré M, r_{E}, de 𝔤_{E} associée à π_{E} [15], [19]. L’extension E^{gal}/F est résoluble, et E^{gal}/E abélienne. On suppose toujours pour simplifier F linéairement disjoint de ℚ(ζ_{p}) ; E^{gal} = E(ζ_{p}). La représentation π_{E^{gal}} obtenue par restriction automorphe à GL(M, 𝔸_{E^{gal}}) existe d’après [1] ; elle est cohomologique ; la représentation galoisienne associée r_{E^{gal}} existe aussi et c’est la restriction à 𝔤_{E^{gal}} de r_{E} . Par changement de base cyclique, la représentation automorphe

π_{F (ζ_{p})} = Ind_{E^{gal}}^{F (ζ_{p})} (π_{E^{gal}})  (4.5)

existe. Elle est invariante par Gal(F (ζ_{p})/F) d’après [1, Proposition 4.4]. D’après les arguments précédents, elle n’est plus cohomologique (si π_{E} est cohomologique pour le système de coefficients triviaux) mais évidemment associée à une représentation galoisienne, égale à

r_{F (ζ_{p})} = ind_{E^{gal}}^{F (ζ_{p})} (r_{E^{gal}}).  (4.6)

Oublions pour un instant les notations précédentes. Soit G un groupe fini, H et K deux sous-goupes avec G = HK. Soit r une représentation de H. Alors

(ind_{H}^{G}r) |_{K} ≅ ind_{H∩K}^{K}(r |_{H∩K})  (4.7)

La même identité reste vraie pour des représentations de groupes profinis, si les sous-groupes de G sont d’indices finis. Nous appliquons ceci aux groupes G = 𝔤_{F}, K = 𝔤_{F (ζ_{p})}, H = 𝔤_{E}. Alors

r_{F (ζ_{p})} = (ind_{E}^{F} (r_{E})) |_{𝔤_{F (ζp)}} .  (4.8)

Autrement dit, la représentation π_{F (ζ_{p})} dont on a montré l’existence est celle associée par restriction automorphe à la représentation cherchée Ind_{E}^{F}(π_{E}) de GL(pM, 𝔸_{F}) qui correspondrait, en caractéristique nulle, au caractère de l’algèbre de Hecke obtenu en caractéristique p à l’aide du Théorème 3.1. Par descente cyclique [1] on obtient une représentation π_{F}, ou plutôt une famille de représentations {π_{F} ω^{i}} où ω est le caractère cyclotomique, maintenant en caractéristique nulle. Si la représentation galoisienne associée à π_{F} est irréductible, on peut alors utiliser l’argument d’Harris [14], [16] pour montrer que l’une de ces représentations est en effet associée à ind_{E}^{F}π_{E}. (Voir en particulier [16, p.242-243].) Noter cependant que cette représentation n’est plus régulière, et n’apparaît donc pas dans la cohomologie des variétés associées à GL(N, F). (L’argument est exactement similaire à celui du §4.2.) Il est possible cependant que l’on puisse (en conservant les représentations mod p) changer le poids de la représentation π_{E}, de telle façon que π_{F} apparaisse dans la cohomologie des variétés associées à GL(N, F), avec système de coefficients triviaux. Pour de tels résultats de changement de poids voir [3, § 4.4]. On voit cependant que cet argument ne s’applique qu’aux classes de cohomologie se relevant en caractéristique nulle, provenant de représentations cuspidales, et nécessite des conditions (irréductibilité des représentations galoisiennes) inconnues en général.

4.5

Pour être complet, nous considérons maintenant la restriction automorphe, ainsi que la fonctorialité donnée (dans le cas classique) par les séries d’Eisenstein. Les résultats sont ici en grande partie dus à Treumann–Venkatesh qui ne traitent cependant, le cas « d’Eisenstein » que si p = 2 : voir une discussion plus détaillée à la fin de ce paragraphe. La restriction automorphe, dans le cas de caractéristique nulle, est démontrée dans [1]. Soit E/F une extension cyclique. On se donne une représentation cuspidale π_{F} de GL(n, 𝔸_{F}). Il existe alors une (unique) représentation π_{E} de GL(n, 𝔸_{E}), induite de cuspidale, telle que les matrices de Hecke aux places non ramifiées (pour la normalisation de Langlands, cf. [1]) vérifient pour w|v :

t_{w}(π_{E}) = t_{v}(π_{F})^{p}  (v inerte)  (4.9)
t_{w}(π_{E}) = t_{v}(π_{F})  (v décomposée).  (4.10)

Si π_{F} est cohomologique, π_{E} l’est aussi. Considérons maintenant des classes de cohomologie mod p, pour les quotients de GL(n, 𝔸_{F}) et GL(n, 𝔸_{E}). Nous utilisons la normalisation arithmétique du § 2.1. Notons T_{α}^{E}, T_{α}^{F} les opérateurs de Hecke, et aussi les fonctions caractéristiques associées, en des places non ramifiées pour les données. Si v est inerte, T_{α}^{E} est invariant par Σ = Gal(E/F) et

Br(T_{α}^{E}) = T_{α}^{F} .

La valeur propre de T_{α}^{E}, déduite de celle de T_{α}^{F}, est donc

q_{v}^{α(1−α)}S_{α}(t_{v}) .  (4.11)

Le changement de base de Langlands (4.5) nous conduit à attendre la valeur propre

q_{v}^{pα(1−α)}S_{α}(t_{v}^{p}) .  (4.12)

Si v est décomposée, et w|v, T_{w,α}^{E} n’est pas invariant. Le produit ∏_{w|v} T_{w,α}^{E} est

invariant et d’image T_{v,α}^{F}. Par conséquent a_{α} = q_{v}^{α(1−α)}S_{α}(t_{v}) est valeur propre pour le produit. Avec une formulation et des notations différentes, ceci est essentiellement (pour une forme de GL(2) compacte à l’infini) démontré dans [6] pour une place inerte (voir la formule (3.6) de cet article), dans [7] pour une place décomposée (formule (3.8).) Dans ce cas, l’argument de [7, p. 12] montre alors que la racine p–ième de a_{α} est valeur propre de chacun des T_{w,α}^{E}. Je ne sais pas si cet argument s’applique aux classes de cohomologie^{3}. Mais considérons l’homomorphisme br de [20, § 4.3]. On a br(T_{α}^{E}) = T_{α}^{F} dans le cas inerte, et br(T_{w,α}^{E}) = (T_{v,α}^{F})^{1/p} — l’inverse de l’endomorphisme de Frobenius Frob_{p} est bien défini sur H_{v}(G), cf. [20, 3.4]. (Pour cette dernière expression voir [20, 3.4, 4.3], et particulièment la formule (4.3.1) loc.cit.) On voit alors que la composition avec br donne pour valeurs propres en une place w|v

3. Il faudrait vérifier qu’il est compatible avec la démonstration du Théorème 4.4 de [20], i.e., avec la suite spectrale issue de la théorie de Smith.

Documenta Mathematica 22 (2017) 1149–1180

q_{v}^{α(1−α)}S_{α}(t_{v})  v inerte  (4.13)
(q_{v}^{α(1−α)}S_{α}(t_{v}))^{1/p} v décomposée .  (4.14)

On voit que ce sont bien les valeurs propres données par la correspondance de Langlands (4.5), (4.6) mais transformées par l’inverse de Frob_{p}. Puisque Frob_{p} agit sur les coefficients, on a donc :

Théorème 4.2 (Treumann, Venkatesh).— Pour tout caractère η_{F} : H^{S} (G(𝔸_{F})) → 𝔽̄_{p}, associé à des matrices t_{v}^{F} ∈ (𝔽̄_{p}^{×})^{n} (v ∤ S) et cohomologique, il existe un caractère cohomologique η_{E} associé à

t_{w}^{E} = \{ \begin{matrix}(t_{v}^{F})^{p} & (v inerte) \\ t_{v}^{F} & (v décomposée) \end{matrix}

Evidemment, ce résultat s’applique de nouveau à des classes de torsion qui ne se relèvent pas en caractéristique zéro. Le cas suivant n’a pas été remarqué explicitement par Treumann et Venkatesh, bien qu’il résulte directement de leurs méthodes. On considère GL(n, F), et on suppose :

F contient une racine primitive p–ième de l’unité, p ≥ n . (4.15)

Soit λ = (n_{1}, …, n_{t}) une partition de n. Il existe alors un élément diagonal d’ordre p, m de GL(n, F) dont le centralisateur est le sous–groupe de Levi GL(n_{1})×⋯×GL(n_{t}). Si η_{i} est un caractère de l’algèbre de Hecke H^{S}(GL(n_{i})), l’induction définit un caractère η de H^{S}(GL(n, F)). Noter que q_{v} ≡ 1 [p] pour toute place v ∤ p, de sorte que les différentes normalisations arithmétiques de l’induction coïncident. On a alors, d’après le Théorème 4.4 de [20] et les arguments des chapitres 2–3 :

Théorème 4.3.— Si les caractères η_{i} (à valeurs dans 𝔽̄_{p}) sont cohomologiques, pour des quotients de GL(n_{i}, 𝔸_{F}), le caractère η est cohomologique.

Il est clair que la condition p ≥ n est nécessaire pour trouver un élément diagonal d’ordre p dont le centralisateur est le produit des sous-groupes de Levi. Si n est supérieur à p, le résultat reste vrai si t ≤ p. Noter que dans ce cas, la somme automorphe (au sens usuel) de représentations cohomologiques (pour le système de coefficients trivial) n’est plus cohomologique, toujours à cause des arguments archimédiens du § 4.2. Le lecteur comparera ce résultat avec la discussion du § 1.2.3 de [20] donnant cette construction pour les classes de cohomologie mod 2. Ici l’existence d’une racine de l’unité d’ordre p permet cette construction directe des ’classes d’Eisenstein’ dont Treumann et Venkatesh affirment qu’elle n’existe pas en général. Noter que, notre corps étant totalement complexe, la condition de parité mentionnée par eux [20, 1.2.3] ne s’applique pas ici. Il serait intéressant de comprendre ce phénomène plus généralement.

5 Le cas unitaire

5.1

Dans ce chapitre, indépendant du reste de l’article, nous appliquons la méthode de [20] aux groupes unitaires compacts à l’infini qui sont utilisés dans les extensions à GL(n) de la méthode de Taylor–Wiles [8]. Ces groupes étant compacts aux places archimédiennes, il s’agit essentiellement de l’argument original de l’auteur [5, 6]. Soit E une extension quadratique CM, complexe, d’un corps totalement réel F. On suppose que E contient une racine primitive p–ième ζ de l’unité. Soit G un groupe unitaire de rang n sur F, associé à une forme hermitienne (relative à E/F) sur E^{n}. Explicitement, G est défini par la forme hermitienne diagonale de matrice

D = diag(ν_{1}, …, ν_{n}) , ν_{i} ∈ F^{×} .

On suppose que G(F_{v}) est compact pour toute place archimédienne de F. On note 𝔸 les adèles de F. Pour toute partition ordonnée λ = (n_{1}, …, n_{r}) de n, la décomposition correspondante de E^{n} définit un sous–groupe de G, noté G^{λ}, produit de groupes unitaires U(n_{i}). Supposons p ≥ n. Soit M = μ_{p}(E)^{n} le sous–groupe diagonal de G(F) dont tous les coefficients sont des puissances de ζ. Pour tout λ, il existe β ∈ M tel que G_{λ} est le F –groupe centralisant β. (Noter que l’hypothèse p ≥ n est ici essentielle.) Soit K = ∏_{v} K_{v} un sous–groupe compact ouvert de G(𝔸_{f}) tel que K_{v} soit, pour

tout v, invariant par l’action adjointe de M. On notera que cette condition est peu restrictive. Pour toute place finie v, G(F_{v}) ∩ GL(n, O(F_{v} ⊗ E)) est un sous– groupe compact ouvert de G(F_{v}), maximal et hyperspécial en presque toute place. Le groupe M est contenu dans GL(n, O(F_{v} ⊗ E)) donc laisse invariant ce sous–groupe compact. On peut être plus précis en une place décomposée. Soit w, w′ les deux places de E divisant alors la place v. On a canoniquement

Res_{E/F} G(F_{v}) = GL(n, E_{w}) × GL(n, E_{w′})

et le sous–groupe G(F_{v}) s’identifie alors a

{g_{1}, g_{2} : g_{2} = D ^{t}g_{1}^{−1}D^{−1}} ,

que l’on identifie à GL(n, E_{w}) = GL(n, F_{v}) par la première composante. Alors M opère simplement sur g_{1} par conjugaison. Le choix usuel du sous–groupe de Borel (triangulaire supérieur) de GL(n, F_{v}), et la structure entière naturelle, définissent un sous–groupe compact maximal K_{v} et un sous–groupe d’Iwahori B_{v}. Alors K_{v} et B_{v} sont tous deux invariants par M. (Il en serait de même en presque toute place inerte.) Fixons un tel sous–groupe K, et soit S(G, K) le quotient fini

S(G, K) = G(F)\G(𝔸)/K .

Pour un anneau commutatif R, soit S_{K}(R) l’espace des fonctions sur S(G, K) à valeurs dans R. Soit V l’ensemble fini de places finies où G est ramifié, ou divisant p, ou bien où K_{v} n’est pas hyperspécial. Alors S_{K}(R) reçoit une action de l’algèbre de Hecke

H^{V} (G) = ⨂_{v∉V} H(G_{v}, K_{v}) .  (5.1)

Les mêmes constructions s’appliquent aux groupes G^{λ}; on suppose que V convient à tous ces groupes (munis des sous–groupes K^{λ} = K^{m} où G^{λ} est le centralisateur de m ∈ M). On obtient des quotients S_{λ} = S(G^{λ}, K^{λ}). Si K est net, on a des plongements naturels

j_{λ} : S_{λ} ⟶ S

(cf. §2 ; [20, 5.7]). Soit L une extension finie de ℚ_{p}, O son anneau d’entiers et k son corps résiduel. On obtient des espaces de formes automorphes S_{K}(R) pour R = L, O ou k, avec les relations usuelles (cf. [8, 3.3] pour un cadre beaucoup plus général.) Nous passerons à la limite et considérerons des formes sur \overline{ℚ}_{p}, ℤ̄_{p} et 𝔽̄_{p}.

5.2

Notre premier résultat montre que la fonctorialité « endoscopique » est réalisée simplement, mod p, par les méthodes de [20] et de cet article. Nous nous limiterons aux places décomposées, ce qui suffit en général pour les arguments galoisiens, cf. [8]. Mais il est évident que l’on pourrait étendre l’argument aux places inertes (où les données sont non ramifiées). Notons donc H_{+}^{V}(G) le produit tensoriel (5.1) restreint aux places décomposées, et de même H_{+}^{V}(G^{λ}). Fixons λ; soit m ∈ M un élément associé à cette partition et Σ ≅ ℤ/pℤ le sous– groupe de M engendré par m. (On suppose la partition non triviale). Comme on l’a vu, M est contenu dans le compact maximal K_{v} en toute place décomposée (hors de V), donc Σ opère trivialement sur H(G_{v}, K_{v}). L’homomorphisme de Brauer

Br : H(G_{v}, K_{v}) ⟶ H(G_{v}^{λ}, K_{v}^{λ})

est défini naturellement, exactement comme dans le § 3.3 : G^{λ} peut être vu comme un sous–groupe de Levi de G, et Br est simplement l’homomorphisme de Sataké, cf. Lemme 3.5. Comme dans cet énoncé, les puissances de q_{v} ont disparu. Mais on a évidemment, puisque E ⊃ ℚ(ζ_{p}) :

Pour tout v ∤ p , q_{v} ≡ 1 [p] .  (5.2)

Dans notre situation, toutes les places décomposées v ∉ V sont bonnes, i.e., vérifient les conditions analogues à celles qui sont énoncées avant le Lemme 2.7. Il suffit de vérifier :

Lemme 5.1.— L’injection naturelle G_{v}^{λ}/K_{v}^{λ} ↪ (G_{v}/K_{v})^{Σ} est bijective si v ∤ p.

Mais ceci, v étant décomposée, est un calcul dans GL(n, F_{v}) qui se réduit (cf. Lemme 3.4) au fait que, pour toute racine primitive ζ d’ordre p, ζ − 1 est une unité dans O_{v}. En particulier Br est bien un homomorphisme. Soit Res : S_{K}(𝔽̄_{p}) → S_{K^{λ}}(𝔽̄_{p}) la restriction. On note φ une fonction de l’algèbre de Hecke à valeurs dans 𝔽̄_{p}. Soit R(φ) l’action à droite de φ sur S_{K}(𝔽̄_{p}) ; même notation pour G^{λ}, S_{K^{λ}}. On a alors Lemme 5.2.— Si v ∉ V est décomposée et f ∈ S_{K}(𝔽̄_{p}) est invariante par Σ,

Res(R(φ)f) = (Brφ)Resf .

C’est le lemme fondamental de [6], [7] et de [20]. Donnons, une fois de plus, l’argument. Soit K = K_{v} et φ = ch(K gK) la fonction caractéristique d’une double classe. La fonction Φ associée (§ 2.5) est Φ(K, gK) = φ(KgK). Ecrivons KgK = ⨿g_{i}K. Soit y ∈ G(F)\G(𝔸_{f})/K^{v}, où K^{v} = ∏_{w≠v} K_{w}, relevant x ∈ S_{K}. Alors

R(φ)f(x) = ∑_{g_{i}} f(yg_{i}) , soit
R(φ)f(x) = ∑_{g′∈G/K} f(yg′)Φ(K, g′K) .  (5.3)

L’image Br(φ) est donnée par la restriction de Φ à G^{λ}/K^{λ} × G^{λ}/K^{λ}. Soit x ∈ S_{K^{λ}}. Alors x a un relèvement y ∈ G^{λ}(F)\G^{λ}(𝔸_{f})/(K^{λ})^{v}, donc invariant par Σ. Alors

Br(φ)f(x) = ∑_{h′∈G^{λ}/K^{λ}} f(yh′)Φ(K^{λ}, h′K^{λ}) .  (5.4)

Puisque y et f sont invariants par Σ, la somme (5.3) se restreint aux g′ invariants, la somme sur une orbite non triviale étant nulle. D’après le Lemme 5.1, elle coïncide avec (5.4). Ceci démontre le Lemme 5.2.

La restriction S_{K}^{Σ} → S_{K^{λ}} est évidemment surjective, puisqu’on peut étendre par 0 une fonction sur S_{K^{λ}} (donc invariante). Rappelons [13] que toute famille de valeurs propres η : H^{V} (G^{λ}) → ℤ̄_{p} apparaissant dans S_{K}(ℤ̄_{p}) est associée (par la correspondance arithmétique du § 2) à une représentation semi–simple

r = ⨁_{i=1}^{t} r_{i}

où r_{i} : Gal(Ē/E) → GL(n_{i}, ℤ̄_{p}) provient du groupe unitaire U(n_{i}). En particulier il existe une représentation modulaire r̄ = ⊕r̄_{i} associée. On déduit alors immédiatement du Lemme 5.2 :

Théorème 5.3.— Pour tout famille r̄_{i} de représentations Gal(Ē/E) → GL(n_{i}, 𝔽̄_{p}), provenant de formes sur les groupes facteurs de G^{λ}(𝔸) (de composante triviale à l’infini), il existe une forme automorphe f ∈ S_{K}(𝔽̄_{p}), pour K convenable, et un ensemble fini de places V, tels que f soit forme propre de H^{V} (G), associée à un caractère η, et que η soit associé à ⨁ r̄_{i}.

(On utilise le fait que les éléments de Frobenius, dans Gal(Ē/E), associés aux places divisant des places décomposées de F, sont denses dans ce groupe.) Noter que l’on sait aussi construire f par endoscopie, cf. [9, 10]. Mais la construction est difficile, et introduit des conditions de ramification délicates ([10, Thm. 2]). Comme dans le chapitre 4, elle impose aussi de changer d’abord le poids des formes modulaires f_{i} associées aux r̄_{i} (cf. e.g. [10, § 3,§ 5]).

5.3

On remarquera que la démonstration du théorème précédent ne requiert que l’usage de formes (pour G) invariantes par Σ. Revenons à la situation du § 2.1, de sorte que K est invariant par M ; M opère alors sur S_{K}. Si f est une fonction lisse sur G(F)\G(𝔸_{f}), on a, pour μ ∈ M, μf(g) = f(μgμ^{−1}) = f(gμ^{−1}). En particulier, H^{0}(M, S_{K}) est simplement l’espace des fonctions invariantes par K et M — plongé diagonalement dans G(𝔸_{f}) — pour l’action à droite. Par approximation forte, cet espace est réduit à des caractères abéliens si K et M ne sont pas contenus dans un sous–groupe compact K′ de G(𝔸_{f}). Remplaçant K et M par le sous–groupe qu’ils engendrent, on peut donc supposer que K ⊃ M, ce qui est vrai si K_{v} ⊃ M pour tout v. Rappelons que c’est le cas, aux places décomposées ne divisant pas p, si K_{v} est un sous–groupe maximal ou même un sous–groupe d’Iwahori. (Rappelons que les valeurs propres de m ∈ M sont des racines de l’unité.) Le sous–groupe M ⊂ G(F) n’est évidemment pas net. Pour tout λ, on a néanmoins des applications naturelles

j_{λ} : S(G^{λ}, K^{λ}) ⟶ S(G, K) = S(G, K)^{Σ}

où Σ est défini par un élément m ∈ M de centralisateur G^{λ}. Elles ne sont pas injectives ! Reprenons cependant les démonstrations du paragraphe précédent. Le lemme 5.1, étant local, reste vérifié. On vérifie que la démonstration du Lemme 5.2 reste correcte : le point–clé est que dans l’expression (5.3) les termes correspondant aux g′K pour g′K ∉ G^{λ}/K^{λ} donnent une contribution nulle - propriété, là encore, locale : si g′K ∉ G^{λ}/K^{λ}, l’orbite de g′ sous Σ donne une contribution nulle. Comme dans [8, Introduction], disons qu’une forme propre f ∈ S_{K}(𝔽̄_{p}), pour l’algèbre de Hecke H_{+}^{V}(G), est d’Eisenstein si la représentation modulaire semi– simple associée, de degré n, de Gal(Ē/E) est réductible. Soit Res_{λ} la restriction S_{K}(𝔽̄_{p}) → S_{K_{λ}}(𝔽̄_{p}). On a alors la propriété suivante :

Théorème 5.4.— Soit f ∈ S_{K}(𝔽̄_{p}) une forme propre de H_{+}^{V}(G), et supposons que f n’est pas d’Eisenstein. Alors Res_{λ}(f) = 0 pour tout λ ≠ (n).

En effet, dans le cas contraire, le Lemme 5.2 impliquerait qu’un caractère associé à un espace propre généralisé de H_{+}^{V}(G^{λ}) donnerait, par composition, le caractère généralisé de H_{+}^{V}(G) associé à f. Les éléments de Frobenius dans Gal(Ē/E) correspondant aux places décomposées étant denses, le théorème de Cebotarev impliquerait alors que la représentation modulaire associée à f est réductible. Noter qu’on peut reformuler ce résultat en termes de représentations des groupes locaux. Soit v une place finie de F et remplaçons V par V − {v} s’il y a lieu. Soit K = ∏_{w} K_{w} contenant M ; en particulier K_{v} ⊃ M (vu comme sous–groupe

de G_{v}). On peut considérer l’espace S_{K^{v}}(𝔽̄_{p}) = lim_{\overrightarrow{Kv}}S_{K_{v}K^{v}}(𝔽̄_{p}) où K_{v} décrit une

bases de voisinage de 1 dans G_{v} = G(F_{v}). Il est union finie d’espaces

C^{∞}(Γ_{i}\G_{v}, 𝔽̄_{p})  (5.5)

où Γ est un sous–groupe de congruences de G_{v} (Dans ces arguments, on pourrait d’ailleurs remplacer G par le groupe spécial unitaire, de sorte qu’on obtiendrait un unique espace (5.5) par approximation forte.) Soit λ une partition, H = G^{λ} le groupe associé ; de même S_{K_{H}^{v}} (𝔽̄_{p}) est défini et union finie d’espaces (5.5). Le groupe G_{v} opère sur S_{K^{v}}, et H_{v} opère sur S_{K_{H}^{v}}. L’algèbre H_{+}^{V} opère sur S_{K^{v}}. L’application Res_{λ} est toujours définie. On a alors :

Corollaire 5.5.— Soit f ∈ H^{0}(M_{v}, S_{K^{v}}(𝔽̄_{p})) et supposons f forme propre de H_{+}^{V}(G) et non d’Eisenstein. Alors

Res_{λ}(f) = 0 pour tout λ ≠ (n) .

Rappelons l’énoncé (conjectural) du Lemme d’Ihara dans [8]. On suppose que p ∤ v.

Conjecture 5.6.— Soit f ∈ S_{K^{v}}(𝔽̄_{p}), forme propre et non d’Eisenstein, et supposons que f engendre un sous–module irréductible V sous G_{v} Alors V est générique.

Nous n’avons pas su trouver une relation entre l’énoncé (effectif) du Corollaire et la Conjecture.

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Laurent Clozel

Arithmétique et Géométrie Algébrique Université Paris-Sud 91405 Orsay France laurent.clozel@math.upsud.fr