Sur les Atomes Automorphes de Longueur 2 de GL_{2}(Q_{p})

Stefano Morra

Received: August 18, 2013 Revised: February 21, 2017

Communicated by Otmar Venjakob

Abstract. Soit p ≥ 3 un nombre premier. Le but de cet article est de donner une description des invariants, sous les sous-groupes de congruence principaux, des extensions entre séries principales apparaissant dans la correspondance de Langlands p-modulaire de GL_{2}(Q_{p}). Comme application on décrit les espaces Hecke isotypiques de la cohomologie de la courbe modulaire sur Q avec un niveau de ramification arbitraire en p.

Let p > 3 be a prime. The aim of this paper is to give a description of the invariant space, under principal and Iwahori congruence subgroups of arbitrary level, of extensions of generic principal series representations appearing in the p-modular local Langlands correspondence for GL_{2}(Q_{p}). As an application we describe Hecke isotypical components of the mod p cohomology of the modular curve over Q with deeply ramified level at p.

Keywords and Phrases: p-modular Langlands program, local-global compatibility, Serre weight, extension of principal series, socle filtration, multiplicity one

Table des matires

1 Introduction  778
1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
2 Prliminaires  784
2.1 Structure interne des series principales pour GL_{2}(Q_{p}) . . . . . 784
2.1.1 Les induites paraboliques finies. . . . . . . . . . . . . . . 787
2.2 Induction parabolique et induction compacte . . . . . . . . . . 788
2.2.1 Un dictionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

3 Divertissement en thorie d’Iwasawa  792
4 Premier dvissage de l’atome  796
4.1 Réalisation de l’atome automorphe . . . . . . . . . . . . . . . . 797
4.2 Restriction aux groupes de congruence . . . . . . . . . . . . . . 799
4.3 Résumé des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
5 Le comportement de ẽ_{n+1}  802
6 Espaces invariants et applications  805
6.1 Espace des K_{n+1} -invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
6.2 Espace des I_{n}-invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
6.3 Application à la cohomologie des courbes modulaires . . . . . . 811
7 Appendice  813
7.1 Sur certains polynômes de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
7.2 Manipulation a l’interieur de A_{r,λ} . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

1 Introduction

Sur les Atomes Automorphes de Longueur 2 de GL_{2}(Q_{p}) 779

Depuis ses premières réalisations, la correspondance de Langlands locale padique (cf. [Ber11], [Bre08]) se manifeste comme un phénomène essentiellement nouveau. Non seulement l’espace des vecteurs localement algébriques de la représentation p-adique automorphe associée à une représentation galoisienne peut être nul (cf. [Col10] §VI.6, retrouvé par Dospinescu dans [Dos12]), mais on a besoin d’inclure, à l’intérieur de la correspondance, certaines représentations automorphes réductibles. Bien que la correspondance locale pour GL_{2}(Q_{p}) est désormais largement comprise grâce aux travaux de plusieurs mathématiciens (cf. [Ber11], [Bre08] pour des références précises sur la genèse scientifique de la théorie), la situation pour des autres groupes reste extrêmement délicate, même dans le cas p-modulaire (travaux de Paskunas, Breuil-Paskunas, Hu, Schraen...). En particulier, la prolifération des représentations p-modulaires des groupes réductifs p-adiques rend difficile, à l’heure actuelle, la formulation d’une correspondance locale précise. Néanmoins, les conjectures de Serre généralisées (cf. [BDJ10], [Sch08], [Her09]), qui décrivent les systèmes locaux dont la cohomologie garde la donnée d’un paramètre galoisien, fournissent des outils géométriques globaux pour l’étude des représentations locales qui devraient apparaitre dans une correspondance de Langlands modulo p. C’est la stratégie adoptée dans les articles récents [BD14] et [BH15], où des propriétés locales de certaines représentations p-modulaires viennent transubstantiées dans un contexte global. L’aspect important est que ces premières investigations se consacrent au cas particulier où la représentation galoisienne est ordinaire, i.e. lorsque son image est contenue dans un sous-groupe de Borel de GL_{n}. La représentation locale automorphe est, dans ce cas, réductible (en général non scindée).

À la lumière de ces nouveaux progrès et de la phénoménologie spécifique de GL_{2} (parue dans les travaux de Breuil et Paskunas, cf. [BP13]) cela se manifeste comme naturel l’étude détaillé de ces représentations modulaires dans le cadre de la correspondance locale pour GL_{2}(Q_{p}), représentations qui sont souvent appelées atomes automorphes de longueur 2 (cf. [Col10], §VII.4). C’est le sujet de cet article, poursuivi dans le sillon des études commencés dans [Mor11], [Mor13] (où l’auteur traite le cas supersingulier). On tient toutefois à souligner que, différemment du cas irréductible (où la restriction à GL_{2}(Z_{p}) des représentations irréductibles est essentiellement unisérielle), le comportement interne des atomes automorphes de longueur 2 est délicat : on retrouve une infinité de GL_{2}(Z_{p}) extensions non triviales entre les constituants des deux séries principales de l’atome ; leur nature dépend de plus de leur position à l’intérieur de l’atome. Voyons maintenant plus en détail les résultats et les perspectives de l’étude effectué dans cet article. Afin de simplifier les énoncés^{1}, nous nous limitons au cas générique, bien que certains résultats restent valables dans un cadre plus général. Désignons par ω le caractère cyclotomique modulo p et par un_{λ} le caractère non ramifié de Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p}) envoyant le Frobenius géométrique sur λ ∈ k^{×} . Un atome galoisien générique (de dimension 2 pour G_{Q_{p}} =^{def} Gal(\overline{Q}_{p}/Q_{p})) est une représentation galoisienne de la forme [ \begin{matrix}δ_{1} & ∗ \\ 0 & δ_{2} \end{matrix} ], où δ_{1} =^{def} ω^{r+1} un_{λ} pour un entier r ∈ {1, …, p − 3} et δ_{2} =^{def} un_{λ^{−1}} . À celle-ci correspond, à travers le foncteur inverse de Colmez, un générateur linéarie A_{r,λ} de l’espace

Ext_{GL _{2} (Q_{p})}^{1} (Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{1} ⊗ δ_{2}ω^{−1} , Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{2} ⊗ δ_{1}ω^{−1} )

Le résultat principal de cet article, qui fait la suite à [Mor13] (où on traite le cas irréductible), consiste en une description complète de l’espace des invariants de A_{r,λ} selon des sous-groupes de congruence principaux de GL_{2}(Z_{p}). Pour t ≥ 1 désignons par K_{t} le noyau du morphisme de réduction GL_{2}(Z_{p}) ↠ GL_{2}(Z_{p}/p^{t}) et par I_{t+1} le sous groupe de K_{t} constitué par les éléments de K_{t} qui sont triangulaires supérieurs modulo K_{t+1} .

Theoreme 1.1. Soit 1 ≤ r ≤ p − 3 et n ≥ 0. L’espace des K_{n+1} -invariants de A_{r,λ} est décrit par la suite exacte

0 →  ( Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{2} ⊗ δ_{1}ω^{−1} ) ^{K_{n+1}} → (A_{r,λ} )^{K_{n+1}} →

→  ( Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{1} ⊗ δ_{2}ω^{−1} ) ^{K_{n+1}} → Sym^{r+2} k^{2} ⊗ det^{−1} → 0.

1. Similement, on utilisera ici des notations légèrement differentes de ceux utilisées dans le reste de l’article.

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

L’espace des I_{n+1} -invariants est décrit par la suite exacte

0 → ( Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{2} ⊗ δ_{1}ω^{−1} ) ^{I_{n+1}} → (A_{r,λ} )^{I_{n+1}} →

→ ( Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{1} ⊗ δ_{2}ω^{−1} ) ^{I_{n+1}} → (ω^{r+1} ⊗ ω^{−1} ) ⊕ (ω^{−1} ⊗ ω^{r+1} ) → 0.

Remarquons qu’on s’attend à ce que le Théorème 1.1 reste valable pour r = 0 et pour p ≥ 3 en utilisant les arguments développés dans cet article^{2}.

Grâce aux travaux d’Emerton sur la compatibilité locale-globale de la correspondance de Langlands p-modulaire ([Eme]) le Théorème 1.1 permet de décrire plusieurs composantes isotypiques de la cohomologie mod p des courbes modulaires définies sur Q, avec niveau arbitrairement profond en p. Ceci permet de compléter le travail effectué dans [Mor13]. On obtient :

Theoreme 1.2. Soit p ≥ 3, \overline{ρ} : G_{Q} → GL_{2}(k) une représentation continue, impaire et absolument irréductible. Soit Σ_{0} l’ensemble des diviseurs premiers du conducteur d’Artin N de \overline{ρ}, κ ∈ \{2, …, p + 1\} le poids minimal (à torsion près) associé à \overline{ρ} par Serre et soit t ≥ 1. Soit K_{p} ∈ \{K_{t}, I_{t}\} et supposons que κ ∈ {3, …, p − 1}.

Fixons un niveau admissible K_{Σ_{0}} ≤ ∏_{l∈Σ_{0}} GL_{2}(Z_{ℓ}) pour \overline{ρ} et 𝔪 l’idéal maximal

associé à \overline{ρ} dans l’algèbre de Hecke spherique, dehors de Σ_{0} ∪ \{p\}, de la courbe modulaire

Y (K_{p}K_{Σ_{0}} K^{Σ_{0}} ),

où l’on a posé K^{Σ_{0}} =^{def} ∏_{l∉Σ_{0} ∪{p}} GL_{2}(Z_{ℓ}) Définissons enfin

d =^{def} dim_{k} ( ⨂_{ℓ∈Σ_{0}} π(\overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} ))^{K_{Σ_{0}}}  (1)

où π(\overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} ) est la représentation lisse de GL_{2}(Q_{ℓ}) associée à \overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} par la correspondance de Langlands p-modulaire d’ Emerton-Helm ([EH14]).

Alors, si p^{t}N > 4, la composante 𝔪-isotypique de la cohomologie mod p de la courbe modulaire de niveau moderé K_{Σ_{0}} K^{Σ_{0}} est décrite par

2. Ceci est effectivement le cas si n = 1, où l’on peut de plus montrer que le GL _{2}(Z_{p})- socle de A_{r,λ} coincide avec celui de la série principale en sous-objet de A_{r,λ} , mais la technicité des preuves dans le cas général on fait désister l’auteur de les poursuivre.

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

dim_{k} (H_{ét}^{1}(Y (K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )\overline{Q}, k)[𝔪]) = \{ \begin{matrix}2d(2p^{t−1} (p + 1) − 4) \\ si K_{p} = K_{t} et \overline{ρ}|_{G_{Qp}} est \\ absolument irréductible ; \\ 2d(2(p + 1)p^{t−1} − (κ + 1)) \\ si K_{p} = K_{t} et \overline{ρ}|_{G_{Qp}} est \\ absolument réductible, \\ non-scindée ; \\ 2d(2(2p^{t−1} − 1))  si K_{p} = I_{t} . \end{matrix}

La valeur de d se décrit explicitement, à la suite des travaux d’Emerton-Helm ([EH14]), Helm [Hel13] et Nadimpalli [Nad] sur la compatibilité des conducteurs d’Artin et automorphes modulo ℓ. Par exemple, si pour tout ℓ ∈ Σ_{0}, la semisimplifiée (\overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} )^{ss} n’est pas la tordue de 1 ⊕ ω ou de 1 ⊕ 1, le sous groupe

K_{1,Σ_{0}} (N) =^{def} \{ [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ ∏_{ℓ∈Σ_{0}} GL_{2}(Z_{ℓ})| c ≡ d − 1 ≡ 0 modN\}

est un niveau admissible pour \overline{ρ}, tel que d = 1. Décrivons brièvement la technique utilisée pour contrôler les espaces des invariants de l’extension entre deux séries principales. Posons M =^{def} (Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{2}⊗ δ_{1}ω^{−1} )|_{K}. D’après des arguments standard d’algèbre homologique, et grâce à [BP13], Theorem 20.3, on a

Ext_{GL _{2} (Q_{p})}^{1} (Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{1} ⊗ δ_{2}ω^{−1} , Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} δ_{2} ⊗ δ_{1}ω^{−1} ) ↪  (2)

↪ lim_{⟵}_{n∈N}Ext_{I}^{1}((ind_{B(Z_{p})}^{I} χ_{r}𝔞)^{K_{n+1}} , M) →

→ Ext_{I}^{1}((ind_{B(Z_{p})}^{I} χ_{r}𝔞)^{K_{n+1}} , M) ≅ Ext_{K_{0} (p^{n+1} )}^{1} (χ_{r}𝔞, M)

où K_{0}(p^{n+1} ) est l’image réciproque, dans GL_{2}(Z_{p}) du Borel standard de GL_{2}(Z/p^{n+1} ) et 𝔞 est le caractère du tore defini par [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ] ↦ ad^{−1} . Écrivons ℬ_{n+1} pour l’image de A_{r,λ} dans Ext_{K_{0} (p^{n+1} )}^{1} (χ_{r}𝔞, M) via (2). La décomposition de Bruhat-Iwahori montre que M|_{I} = M^{+} ⊕ M^{−} où M^{±} est un I-module uniseriel. Si A ≅ k[[X]] désigne l’algèbre d’Iwasawa de l’unipotent inférieur \overline{U}(pZ_{p}), on voit que (M^{−} )^{∨} |_{A} ≅ A, ce qui donne en particulier (M^{−} )^{K_{n+1}} ≅ A/(X^{p^{n}} ) pour tout n ≥ 1. La description de ℬ_{n+1} , qui jouera un rôle crucial dans l’article, est la suivante :

Proposition 1.3. Soit n ≥ 1 et considérons l’extension de k[[K_{0}(p^{n+1} )]]- modules discrets

0 → M^{+} ⊕ M^{−} → ℬ_{n+1} → χ_{r}𝔞 → 0.

Il existe un rélévement 𝔢_{n+1} d’un générateur linéaire de χ_{r}𝔞 qui est fixé par \overline{U}(p^{n+1} Z_{p}) modulo soc(M^{+} ).

De plus, pour tout [ \begin{matrix}1 + pa & b \\ p^{n+1} c & 1 + pd \end{matrix} ] ∈ K_{0}(p^{n+1} ), on a (g − 1)𝔢_{n+1} ∈ M^{+} ⊕

(M^{−} )^{K_{n+1}} et, plus précisement

(g − 1)𝔢_{n+1} = c_{r,λ,n} (\overline{b}X^{p−3−r} − (\overline{a} − \overline{d})(r + 2)X^{p−2−r} )  (3)

modulo soc(M^{+} ) ⊕ (X^{p−3−r+(p−2)} ), où c_{r,λ,n} ∈ k^{×} ne dépend que de 𝔢_{n+1} et où l’on a identifié (M^{−} )^{K_{n+1}} avec A/(X^{p^{n}} ).

Pour passer de la Proposition 1.3 à l’espace des invariants de A_{r,λ} on utilise de manière cruciale l’action du tore entier et de l’unipotent supérieur sur l’algèbre d’Iwasawa A (via l’isomorphisme naturel (M^{−} )^{∨} |_{A} ≅ A). Cette action, bien que compliquée à priori, peut se décrire simplement en termes de l’uniformisante X, modulo une certaine puissance de l’idéal maximal de A :

Proposition 1.4. Soit m ≥ 1 et soit g = [ \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ] ∈ B(Z_{p}). L’action de g sur l’algèbre d’Iwasawa A est décrite par

g · X^{m} ∈ a^{m}d^{r−m} X^{m} + (X^{m+(p−2)} ).

L’article est organisé de la manière suivante. La section 2 est consacrée aux préliminaires. On rappelle d’abord la réalisation des séries principales, soit comme induites paraboliques (cf. §2.1), soit comme induites compactes (cf. §2.2), en réalisant de manière explicite l’isomorphisme de Barthel et Livné en termes de certaines bases linéaires naturelles. Dans §3 on considère l’algèbre d’Iwasawa de l’unipotent inférieur \overline{U}(pZ_{p}) et on étudie les actions associées à ses structures supplémentaires. On y trouve le dictionnaire crucial qui permet de déduire les théorèmes principaux de l’article à partir de la Proposition 1.3. Le premier dévissage de la structure de l’atome se trouve au §4; cela nous permet, par des arguments d’algèbre homologique, de nous nous réduire à l’étude d’une famille de I-modules lisses (Proposition 4.7), ensuite à des représentations de certains sous-groupes ouverts de I. La section 5 a pour objectif l’étude des représentations ℬ_{n+1} mentionnées dans la Proposition 1.3. C’est le coeur technique de l’article et les manipulations, les plus techniques ont été mises en appendice. Finalement, l’étude des K_{n+1} -invariants est effectué au §6.

Remerciements L’auteur souhaite exprimer sa profonde reconnaissance à Y. Hu, V. Paskunas, B. Schraen, pour plusieurs discussions, qui ont été absolument décisives pour l’aboutissement du résultat principal de l’article, ainsi que pour plusieurs commentaires très pertinents qui ont amélioré la qualité de cet article. L’auteur s’excuse pour la gestations très longue de cet travail, et il remercie le référée anonyme, ainsi que le comité éditorial de Documenta Mathematica, pour leur patience le long de la procédé éditoriale de cet article.

1.1 Notations

Soit p un nombre premier impair. Étant donné un corps p-adique F, avec anneau des entiers noté par 𝒪_{F} et corps résiduel (fini) k_{F}, nous désignons par x ↦ \overline{x} le morphisme de réduction 𝒪_{F} ↠ k_{F} et par \overline{x} ↦ [\overline{x}] le morphisme de Teichmüller (on convient que [0] =^{def} 0). Considérons le groupe linéaire général GL_{2} ; nous écrivons B = TU pour le Borel des matrices triangulaires supérieures et \overline{B} = T\overline{U} pour le Borel opposé. Cet article est, en une grand partie, consacré à l’étude de certaines représentations du groupe p-adique G =^{def} GL_{2}(Q_{p}). Nous écrivons Z =^{def} Z(G) et K =^{def} GL_{2}(Z_{p}) pour désigner le centre et le sous-groupe compact maximal de G respectivement. Nous rappelons que le sous groupe d’Iwahori de K, que l’on désigne par K_{0}(p), est défini comme l’image inverse du Borel fini B(F_{p}) par le morphisme de réduction K → GL_{2}(F_{p}). Le pro-p-Iwahori, i.e. le pro-p-Sylow de K_{0}(p), sera désigné par K_{1}(p). De manière similaire on définit les sous groupes de congruence K_{0}(p^{n}), K_{1}(p^{n}), pour n ∈ N : K_{0}(p^{n}) est défini comme l’image inverse de B(Z_{p}/p^{n}) par K → GL_{2}(Z_{p}/p^{n}) (le morphisme de réduction modulo p^{n}) et K_{1}(p^{n}) en est son pro-p-Iwahori. Enfin, pour n ≥ 1, nous désignons par \overline{U}(p^{n}) le groupe des p^{n}Z_{p}-points de \overline{U}. Afin d’alléger les notations, on écrit B =^{def} B(Q_{p}) et on introduit les éléments suivants

s =^{def} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ G,  Π =^{def} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] ∈ G.

Soit E un corps p-adique, 𝒪 son anneau des entiers et k sons corps résiduel (que l’on suppose fini). Une représentation σ d’un sous-groupe fermé H de G sera toujours supposée lisse, et réalisée sur des k-espaces linéaires. Si h ∈ H on écrira parfois σ(h) pour désigner l’automorphisme k-linéaire induit sur l’espace sous-jacent à σ par l’action de h. De manière similaire, une représentation irréductible de G sera toujours supposée admissible (l’espace des vecteurs fixés par un sous-groupe ouvert de G est de dimension finie). Soient H_{2} ≤ H_{1} deux sous-groupes fermés de G. Étant donnée une représentation lisse σ de H_{1}, on écrit Ind_{H_{1}}^{H_{2}} σ pour désigner l’induite lisse de σ, de H_{1} à H_{2}, et on désigne par ind_{H_{1}}^{H_{2}} σ le sous-espace de Ind_{H_{1}}^{H_{2}} σ constitué par les fonctions à support compact. Si v ∈ σ et h ∈ H_{1} nous écrivons [h, v] pour désigner l’unique élément de ind_{H_{2}}^{H_{1}} σ à support en H_{2}h^{−1} et qui envoie h^{−1} sur v. Nous déduisons en particulier les égalités suivantes :

h′· [h, v] = [h′h, v],  [hk, v] = [h, σ(k)v]  (4)

pour tout h, h′ ∈ H_{1}, k ∈ H_{2}. Les constructions précédentes seront essentiellement utilisées lorsque H_{1} = B, H_{2} = G ou H_{1} = K_{0}(p^{n}), H_{2} = K, ou encore H_{1} = KZ, H_{2} = G (auquel cas, l’induite ind_{KZ}^{G} σ est constitué par les fonctions à support compact modulo le centre Z). Un poids de Serre est une représentation absolument irréductible de K. À isomorphisme près, ils admettent la réalisation en termes de l’algèbre symétrique :

σ_{r,t} =^{def} det^{t} ⊗ Sym^{r}k^{2}  (5)

où r ∈ {0, …, p − 1} et t ∈ {0, …, p − 2} (ceci donne une paramétrisation des classes d’isomorphisme des poids de Serre par des couples (r, t) ∈ {0, …, p − 1} × {0, …, p − 2}). Rappelons que la K-représentation Sym^{r}k^{2} peut s’identifier à k[X, Y]_{r}^{h}, le sousespace linéaire de k[X, Y] décrit par les polynômes homogènes de degré r, muni de l’action naturelle de K :

[ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] · X^{r−i} Y^{i} =^{def} (\overline{a}X + \overline{c}Y)^{r−i} (\overline{b}X + \overline{d}Y)^{i}

pour 0 ≤ i ≤ r. On étend l’action de K sur un poids de Serre au groupe KZ, en imposant que la matrice scalaire p ∈ Z agisse trivialement.

Un k-caractère du tore T(F_{p}) sera considéré, par inflation, comme un caractère lisse de K_{0}(p^{n}) (pour n’importe quel n ∈ N). On ércit par χ^{s} le caractère conjugué de χ, défini par

χ^{s}(t) =^{def} χ(sts)

pour tout t ∈ T(F_{p}). De manière analogue, si τ est une représentation lisse de K_{0}(p), nous écrivons τ^{s} pour désigner la représentation conjuguée, définie par

τ^{s}(h) = τ(ΠhΠ)

avec h ∈ K_{0}(p). Soit r ∈ {0, …, p − 1}. Les caractères suivants de T(F_{p}) vont jouer un rôle majeur dans la suite de l’article :

χ_{r}( [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ] ) =^{def} a^{r},  𝔞( [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ] ) =^{def} ad^{−1} .

On désigne par ω : Q_{p}^{×} → F_{p}^{×} la réduction modulo p du caractère cyclotomique p-adique.

2 Prliminaires

2.1 Structure interne des series principales pour GL_{2}(Q_{p})

Le but de cet numéro est de rappeler la structure interne des séries principales pour GL_{2}(Q_{p}). Bien qu’il s’agit de résultats bien connus et valables dans un contexte plus générale (cf. [Mor13] §5 et [Mor], §8 pour une dissertation plus ample) on a réputé les rappeler ici : cela nous permet de fixer de manière soigneuse les notations, ce qui sera crucial pour la lecture des paragraphes à venir. Nous rappelons ([BL94], [Her11a]) que les séries principales irréductibles pour GL_{2}(Q_{p}) sont décrites (à torsion près) par l’induite parabolique

π_{r,μ} =^{def} Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} (un_{μ} ⊗ ω^{r}un_{μ^{−1}} )

où μ ∈ \overline{k}^{×} , un_{μ} est le caractère non-ramifié sur Q_{p}^{×} caractérisé par un_{μ}(p) = μ, r ∈ {0, …, p − 2} et (r, μ) ∉ {(0, 1), (0, −1)}. Comme B(Z_{p})\GL_{2}(Z_{p}) est compact, la décomposition d’Iwasawa nous fournit un isomorphisme K-équivariant :

(Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} (un_{μ} ⊗ ω^{r}un_{μ^{−1}} ))|_{K} ≅ ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} ≅ lim_{−→}_{n≥1}(ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s})

où K_{0}(p^{∞} ) =^{def} B(Z_{p}) et les morphismes de transition au RHS sont obtenus, par induction (compacte), à partir des morphismes naturels K_{0}(p^{n})-équivariants

χ_{r}^{s} ↪ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p^{n} )} χ_{r}^{s}

pour n ≥ 1. De plus, d’après les théorèmes de décomposition de Bruhat-Iwahori et Mackey, la restriction des fonctions à K_{0}(p) induit une suite exacte K_{0}(p)-équivariante scindée

0 → (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} → ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} → ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} → 0.  (6)

Le résultat qui suit est formel :

Lemme 2.1. Soit μ ∈ \overline{k}^{×} et r ∈ \{0, …, p − 1\}. On a un isomorphisme Kéquivariant

(Ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} (un_{μ} ⊗ ω^{r}un_{μ^{−1}} ))|_{K} ≅ ind_{K_{0} (p)}^{K} ( lim_{−→}_{n≥1}(ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s})).

L’ action de Π sur la série principale ind_{B(Q_{p})}^{GL _{2} (Q_{p})} (un_{μ} ⊗ ω^{r}un_{μ^{−1}} ) induit un isomorphisme de k[K_{0}(p)]-modules

(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s})^{s} −→^{∼} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} .

Démonstration. Omissis.

En particulier, les propriétés fines de la représentation π_{r,λ} sont gardées par les induites finies ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s}. Le phénomène crucial, qui dépend de manière essentielle du fait qu’on considère les Q_{p}-points de GL_{2}, est que ces k[K_{0}(p)]- modules sont unisériels. Précisons brièvement cela. Fixons n ≥ 0, ainsi qu’un générateur linéaire e pour le caractère χ_{r}^{s}. Pour une n-uplet (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}, définissons l’élément suivant de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} :

F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} =^{def} ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} λ_{1}^{l_{1}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p[λ_{1}] & 1 \end{matrix} ] … ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} λ_{n}^{l_{n}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n}[λ_{n}] & 1 \end{matrix} ] [1, e]. (7)

On vérifie aisément (cf. [Mor12], §4 ou encore [Mor11] §5) que l’ensemble

ℬ_{n+1}^{−} =^{def} {F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s}, (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}}

fournit une base linéaire pour l’espace ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} et que T(F_{p}) opère sur

F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} par le caractère χ_{r}^{s}𝔞^{l_{1} +···+l_{n}} . De plus, on dispose d’une application injective

ℬ_{n+1}^{−} ↪ N
F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ↦ ∑_{j=1}^{n} p^{j−1} l_{j}

qui permet de munir ℬ_{n+1}^{−} d’un ordre total ⪯. Notons qu’il s’agit également de l’ordre antilexicographique ⪯ sur l’ensemble {0, …, p − 1}^{n}. Pour une n-uplet (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n} définissons l’espace linéaire

⟨F_{≤(l_{1} ,...,l_{n} )}^{(1,n)} ⟩ =^{def} ⟨F_{(l′_{1},...,l′_{n} )}^{(1,n)} , (l′_{1}, …, l′_{n}) ⪯ (l_{1}, …, l_{n})⟩.

Le résultat crucial est que la filtration linéaire induite sur ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} par l’ordre total de ℬ_{n+1}^{−} est K_{0}(p)-équivariante :

Proposition 2.2. Soit n ∈ N, r ∈ {0, …, p − 1}. Le k[K_{0}(p)]-module discret ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} est unsériel, sa filtration par le K_{0}(p)-socle étant décrite par le graphe

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} : χ_{r}^{s} ⟵ χ_{r}^{s}𝔞 ⟵ χ_{r}^{s}𝔞^{2} ⟵ … ⟵ χ_{r}^{s}.

De plus, pour tout n-uplet (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}, l’espace linéaire ⟨F_{≤(l_{1} ,...,l_{n} )}^{(1,n)} ⟩ est K_{0}(p)-stable, en particulier c’est le k[K_{0}(p)]-sous module de

dimension 1 + ∑ _{j=1}^{n} p^{j−1} l_{j} de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s}.

Démonstration. Omissis. Cf. [Mor12] Proposition 4.2 ou [Mor11] Proposition 5.10.

Remarquons que une conséquence triviale de la Proposition 2.2 est que ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} est elle même unisérielle et que les morphismes de transition définissant la co-limite sont décrits par

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} ↪ ind_{K_{0} (p^{n+2} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s}
F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ↦ F_{l_{1} ,...,l_{n} ,0}^{(1,n+1)} .

La situation pour le k[K_{0}(p)]-module (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} est strictement analogue et se déduit via l’isomorphisme K_{0}(p)-équivariant du Lemme 2.1. On se limite ici à souligner qu’on a un isomorphisme de k[K_{0}(p)]-modules discrets (induit par l’action de Π sur π_{r,λ} )

(ind_{K_{0} (p^{n+2} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s})^{s} −→^{∼} (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+}
F_{l_{0} ,...,l_{n}}^{(1,n+1)} ↦ F_{l_{0} ,...,l_{n}}^{(0,n)}

où (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} désigne le noyau de l’application naturelle de restric-

tion ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s} → ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} et pour toute (n + 1)-uplet (l_{0}, …, l_{n}) ∈

{0, …, p − 1}^{n+1} on a défini les éléments suivants de (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} :

F_{l_{0} ,...,l_{n}}^{(0,n)} =^{def} ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{l_{0}} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s})^{+} .

2.1.1 Les induites paraboliques finies.

On rappelle brièvement des résultats sur la réalisation des séries principales finies pour GL_{2}(F_{p}), en invitant le lecteur à se référer à [BP13] pour un cadre plus général. Les résultats rappelés ici seront utiles au §6, où on détermine l’espace des K_{n+1} -invariants de A_{r,λ} . Fixons r, i ∈ {0, …, p − 2} et considérons l’induite parabolique finie

ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s}det^{i}.

On fixe une base {e} pour le caractère χ_{r}^{s}det^{i} et on définit les éléments suivants, pour 0 ≤ j ≤ p − 1

f_{j} =^{def} ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{j} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [1, e] ∈ ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s}det^{i}.

On voit aisément que f_{j} est un T(F_{p})-vecteur propre, de caractère propre χ_{r}det^{i}𝔞^{−j} et que pour tout j_{0} ∈ {0, …, p − 1} les sous-espaces linéaires

⟨f_{j} , 0 ≤ j ≤ j_{0}⟩

sont stables sous l’action de B(F_{p}). De plus, l’induite parabolique ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s}det^{i} est de longueur 2 et sa structure se décrit de la manière suivante :

Proposition 2.3. Soient r, i ∈ {0, …, p − 2}. Alors i) si r ≠ 0 on a une extension non scindée

0 → Sym^{r} k^{2} ⊗ det^{i} → ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s} det^{i} → Sym^{p−1−r} k^{2}⊗ det^{r+i} → 0.

Les familles

{f_{0}, …, f_{r−1} , f_{r} + (−1)^{i+r} [1, e]}, {f_{r}, …, f_{p−1} }

induisent une base pour le socle et le cosocle respectivement de l’induite parabolique ; en particulier, les éléments f_{0}, f_{r} + (−1)^{i+r} [1, e] sont des générateurs pour l’espace de plus haut et plus bas poids de Sym^{r}k^{2}⊗det^{i} respectivement.

iii) Si r = 0 alors ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s}det^{j} est semi-simple et

ind_{B(F_{p})}^{GL _{2} (F_{p})} χ_{r}^{s}det^{i} −→^{∼} (1 ⊕ Sym^{p−1} k^{2}) ⊗ det^{i}.

Les familles

{f_{0} + (−1)^{i}[1, e]},  {f_{0}, f_{1}, …, f_{p−2} , f_{p−1} + (−1)^{i}[1, e]}

fournissent des bases linéaires pour det^{i} et Sym^{p−1} k^{2} ⊗ det^{i} respectivement.

2.2 Induction parabolique et induction compacte

Ce numéro contient des rappels sur la réalisation des séries principales à l’aide de l’algèbre de Hecke sphérique associée aux poids de Serre pour GL_{2}(F_{p}). Le lecteur peut se référer à [Mor13], [Bre03b] §2.1, §2.4-2.7 pour un résumé plus détaillé des résultats qui suivent, découverts initialement par Barthel et Livné ([BL94]). Fixons r ∈ {0, …, p − 1} et considérons la réalisation usuelle du poids de Serre σ =^{def} σ_{r} comme la composante homogène de degré r de l’algèbre monoïdale k[X, Y]. La décomposition de Cartan pour GL_{2} nous permet de réaliser le Théorème de décomposition de Mackey de la manière expressive suivante

(ind_{KZ}^{G} σ)|_{K} −→^{∼} ⨁_{n∈N} R_{n}(σ)

où l’on a défini R_{n}(σ) comme étant la sous K-représentation de ind_{KZ}^{G} σ engendrée par [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n} & 0 \end{matrix} ][1, Y^{r}]. Si le poids de Serre σ est clair du contexte, on écrira simplement R_{n}. C’est alors facile de voir que, pour tout n ≥ 0, on a un isomorphisme Kéquivariant naturel (induit par réciprocité de Frobenius)

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} σ^{(n)} →^{∼} R_{n+1}

où l’on a écrit σ^{(n)} pour désigner la K_{0}(p^{n+1} ) représentation obtenue à partir de σ|_{K_{0} (p^{n+1} )} via la conjugaison par l’élément [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] (qui normalise K_{0}(p^{n+1} )). En particulier, on a une filtration évidente {R_{n+1} (i)}_{i=0}^{r} sur chaque R_{n+1} , induite par la seule filtration K_{0}(p^{n+1} )-équivariante strictement croissante sur σ^{(n)} . De manière plus parlante, R_{n+1} (i) est le sous k[K]-module de R_{n+1} engendré par l’élément [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n} & 0 \end{matrix} ][1, X^{r−i} Y^{i}]. Un parmi les aspects cruciaux de la théorie des représentations p-modulaires des groupes réductifs p-adiques déployés est la réalisation des algèbres de Hecke sphériques en termes de monoïdes commutatifs (cf. [BL94], [Her11b], [Oll15]). Dans le cas de GL_{2} on a le résultat suivant

Theoreme 2.4 ([BL94]). L’algèbre de Hecke des endomorphismes de ind_{KZ}^{G} σ est commutative, et on a un isomorphisme de k-algèbres

ℋ (σ) =^{def} End_{G}(ind_{KZ}^{G} σ) −→^{∼} k[T]

pour un opérateur T approprié.

L’opérateur T (pour le poids de Serre σ) est à support sur la double classe K[\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]KZ et il est défini comme une projection linéaire sur σ. Par transport de structure on obtient une famille d’opérateurs K-équivariants T_{n}, définis sur chaque facteur R_{n}, qui admettent la description très concrète suivante. Si n ≥ 1 on a

T_{n} : R_{n} → R_{n−1} ⊕ R_{n+1}

(8)

[ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r−j} Y^{j}] ↦ ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} (−λ_{n})^{j} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n}[λ_{n}] & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}] +

+δ_{j,r} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n−1} & 0 \end{matrix} ] [1, Y^{r}]

pour tout j ∈ {0, …, r} (ce qui détermine complètement T_{n}) ; notons que cela donne une décomposition évidente T_{n} = T_{n}^{+} ⊕ T_{n}^{−} où T_{n}^{±} : R_{n} → R_{n±1} . Pour n = 0, on a de manière analogue

T_{0} : R_{0} → R_{1}
[1, X^{r−j} Y^{j}] ↦ ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} (−λ_{0})^{j} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}] +

+δ_{j,r} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}].

Si λ ∈ k, on écrit π(r, λ) pour désigner le conoyau de l’endomorphisme T − λ sur l’induite compacte ind_{KZ}^{G} σ_{r}. Si θ est un Q_{p}^{×} -caractère, on écrit π(r, λ, θ) =^{def} π(r, λ) ⊗ θ.

On introduit une base linéaire sur les k[K]-modules R_{n+1} , qui va jouer un rôle cruciale dans l’étude de la structure interne de π(r, λ). Pour 1 ≤ j ≤ n, pour une n − j + 1-uplet (l_{j} , …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n−j+1} et pour l_{n+1} ∈ {0, …, r} définissons l’élément suivant de R_{n+1} :

F_{l_{j} ,...,l_{n}}^{(j,n)} (l_{n+1} ) =^{def} ∑_{λ_{j} ∈Fp} λ{l_{j} \atop j} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{j} [λ_{j} ] & 1 \end{matrix} ] · . . .  (9)

. . . · ∑_{λn ∈Fp} λ{ln \atop n} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n} [λn ] & 1 \end{matrix} ][ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r−l_{n+1}} Y ^{l_{n+1}} ] .

Afin de ne pas alourdir les notations, on utilise la même écriture pour désigner l’image de F_{l_{j} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (l_{n+1} ) dans π(r, λ) et on écrit plus simplement F_{l_{n}}^{(n)} (l_{n+1} ) lorsque j = n. Si l’on écrit R_{n+1}^{−} pour désigner le sous k[K_{0}(p)]-module de R_{n+1} engendré par [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ][1, Y^{r}], c’est alors facile de voir que :

Lemme 2.5. Pour n ≥ 1 on a un isomorphisme naturel

R_{n+1} −→^{∼} ind_{K_{0} (p)}^{K} R_{n+1}^{−}

et la famille

ℬ_{n+1,r}^{−} =^{def} {F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (l_{n+1} ), (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}, 0 ≤ l_{n+1} ≤ r}

fournit une base linéaire pour R_{n+1}^{−} .

On a des résultats analogues pour R_{1} et, de manière similaire à ce qu’on a fait pour les induites paraboliques, on peut déterminer une base linéaire pour R_{n+1} en introduisant les éléments F_{l_{0} ,...,l_{n}}^{(0,n)} (l_{n+1} ) (c’est une conséquence triviale de la décomposition de Bruhat). Notons que d’après la définition de l’opérateur T, certains éléments de la forme F_{l_{j} ,...,l_{n}}^{(j,n)} (l_{n+1} ) se simplifient considérablement dans π(r, λ) :

Lemme 2.6. Soit r ∈ {0, …, p − 1}, λ ∈ k^{×} et considérons 1 ≤ j ≤ n. On a l’égalité suivante dans π(r, λ) :

F_{0,...,0}^{(j,n)} (0) ≡ λ^{n−j+1} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{j} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}] − δ_{r,0} λ^{n−j} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{j−1} & 0 \end{matrix} ] [1, Y^{r}].

Démonstration. Il s’agit d’une récurrence descendante sur j, en utilisant la description de l’opérateur T donnée ci-dessus : les détails sont laissé au lecteur. Notons seulement que pour j ≥ 1 on a

δ_{r,0} ∑_{λ_{j} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{j} [λ_{j}] & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{j} & 0 \end{matrix} ] [1, Y^{r}] = 0.

2.2.1 Un dictionnaire

Les résultats de [BL94], étendus à des groupes réductifs p-adiques déployés par Herzig [Her11a], permettent de classifier les représentations p-modulaires de GL_{2}(Q_{p}) à l’aide des systèmes de valeurs propres de Hecke. De manière plus précise, étant donné une représentation irréductible admissible (à caractère central) π de GL_{2}(Q_{p}) l’espace Hom_{K} (τ, π) est non nul et de dimension finie pour une choix appropriée d’un poids de Serre τ. L’espace étant de plus muni d’une action de l’algèbre de Hecke ℋ (τ) (qui est commutative), on peut le décomposer en une somme directe d’espaces propres généralisés, de telle sorte que l’on ait une surjection

π(τ, λ) ↠ π

où λ ∈ k est la valeur propre associé à l’espace propre choisi (quitte à agrandir k). Le résultat crucial est que, sous certaines conditions, on peut réaliser la série principale π_{r,μ} en termes de conoyaux des opérateurs de Hecke :

Theoreme 2.7 (([BL94], Theorem 34)). Soient λ ∈ k^{×} , r ∈ {0, …, p − 1} de telle sorte que (λ, r) ∉ {(±1, 0)}. On a un isomorphisme de k[G]-modules discrets

π(r, λ) −→^{∼} π_{r,λ^{−1}} .

Reprenons les notations du numéro précédent. Notons que, pour n ≥ 0, R_{n+1} (0) est trivialement isomorphe à l’induite compacte ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s}, l’isomorphisme étant induit par réciprocité de Frobenius en notant que K_{0}(p^{n+1} ) agit sur l’élément [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ][1, X^{r}] par le caractère χ_{r}^{s}. La remarque importante est que l’isomorphisme précédente est préservé lorsque l’on considère \overline{R}_{n+1} (0), l’image de R_{n+1} (0) dans le quotient π(r, λ).

Lemme 2.8. Soit r ∈ \{0, …, p−1\}, λ ∈ k^{×} , n ∈ N. Soit \overline{R}_{n+1} (0) l’image dans π(r, λ) du k[K]-module R_{n+1} (0). Si (r, λ) ∉ {(0, ±1)} la composée

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s} −→^{∼} R_{n+1} (0) ↠ \overline{R}_{n+1} (0)  (10)

[1, e] ⟼→ [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}]

est un isomorphisme. En particulier, l’espace des K_{n+1} -vecteurs fixes de π(r, λ) est décrit par

(π(r, λ))^{K_{n+1}} = \overline{R}_{n+1} (0).

Démonstration. Comme [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}] est K_{n+1} fixe et K_{n+1} est distin-

gué dans K on déduit que

\overline{R}_{n+1} (0) ≤ ( π(r, λ)) ^{K_{n+1}}  ≅ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s}

de telle sorte que la deuxième partie de l’énoncé suit, pour des raisons de longueur, de l’isomorphisme (10). Montrons que l’épimorphisme naturel (induit par réciprocité de Frobenius)

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s} −→ \overline{R}_{n+1} (0)  (11)
[1, e] ⟼→ [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}]

est injectif. Supposons dans la suite que n ≥ 1 (le cas n = 0 en est en tout similaire et laissé au lecteur). Il suffit de vérifier que le morphisme (11) est injectif sur l’espace des K_{1}(p)- invariants de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s}, ce qui revient à montrer que les éléments suivantes de \overline{R}_{n+1} (0)

F (1,n) ; \underline{0} (0) = ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p[λ_{1}] & 1 \end{matrix} ] … ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n}[λ_{n}] & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}]

F (0,n) ; \underline{0} (0) = ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] F (1,n) ; \underline{0} (0)

sont linéairement indépendants. D’après le Lemme 2.6 on a

F (1,n) ; \underline{0} (0) ≡ λ^{n} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}] − λ^{n−1} δ_{r,0} [1, X^{r}].

et comme T ([1, X^{r}]) = ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}[λ_{0} ] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ][ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ][1, X^{r}] + δ_{r,0} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ][1, X^{r}],

on déduit de manière similaire que

F (0,n) ; \underline{0} (0) ≡ λ^{n+1} [1, X^{r}] − λ^{n}δ_{r,0} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] [1, X^{r}].

Pour des raison des support, on voit que aucune combinaison linéaire non triviale de [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ][1, X^{r}] et [1, X^{r}] est dans l’image de l’opérateur T − λ. On en déduit que les éléments F (1,n) ; \underline{0} (0), F (0,n) ; \underline{0} (0) de π(r, λ) sont linéairement indépendants lorsque r ≠ 0 ou bien r = 0 et λ^{2} ≠ 1, ce qu’il fallait démontrer.

Nous invitons le lecteur à comparer l’énoncé du Lemme 2.8 avec [BL94], Theorem 30-3).

3 Divertissement en thorie d’Iwasawa

Dans ce numéro on rappelle les relations étroites entre l’algèbre d’Iwasawa A de \overline{U}(p) et les représentations p-modulaires de G, selon l’approche introduite par [Sch15], [Mor], et en fournissant des compléments.

Nous établissons (Proposition 3.2) un dictionnaire entre les fonctions F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} introduites au §2.1 et certains éléments de A, ce qui nous permettra de simplifier les manipulations sur les induites lisses qui ont été introduites en §2.1. Nous nous contentons de donner les résultats dans le cas particulier qui nous intéresse, sans ambition de les enoncér dans le cadre le plus général possible. Pour les détails omis dans ce numéro, nous invitons le lecteur à se réferer à [Sch15], [Mor]. Considérons l’algèbre de groupe complétée A = k[[\overline{U}(p)]]. Il s’agit d’une kalgèbre locale noetherienne, complète et regulière, de dimension 1 et nous en désignons par 𝔪_{A} son idéal maximal. L’élément

X =^{def} ∑_{λ∈F_{p}} λ^{−1} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p[λ] & 1 \end{matrix} ]

fournit un générateur linéaire pour l’espace tangent de A. Rappellons que le tore fini T(F_{p}) agit par automorphismes de k-algèbres sur A et X en est un vecteur propre, dont le caractère propre associé est 𝔞. Soit ψ : K_{0}(p) → k^{×} un caractère lisse. Si K′_{p} ≤ K_{0}(p) est un sous-groupe fermé, on considère tacitement ψ comme un caractère lisse de K′_{p} par restriction. Comme au §2.1 définissons

M =^{def} ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ

et, exactement comme dans §2.1, nous avons la suite exacte K_{0}(p)-équivariante scindée :

0 → \underbrace{(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ)^{+}}_{=^{def} M^{+}} → M → \underbrace{ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} ψ}_{=^{def} M^{−}} → 0  (12)

(cf. (6)). D’après la dualité de Pontryagin et la décomposition d’Iwahori on a

(M^{−} )^{∨} = k[[K_{0}(p)]] ⊗_{k[[K_{0} (p^{∞} )]]} ψ^{−1} →^{∼} A  (13)

où le dernier isomorphisme est A-linéaire (cf. aussi [Mor], §3.1). En d’autres termes, l’algèbre d’Iwasawa A est naturellement munie d’une action de K_{0}(p) par des endomorphismes k-linéaires continus. On a alors le résultat suivant :

Proposition 3.1. Soit B_{1} =^{def} K_{1}(p) ∩ B(Q_{p}) et munissons A de l’action de B_{1} induite par l’isomorphisme (13). Pour tout b ∈ B_{1} et tout N ∈ N on a

(b − 1) · X^{N} ∈ 𝔪_{A}^{N+(p−2)} .

En particulier, si 𝔪_{B_{1}} désigne l’idéal maximal de l’algèbre d’Iwasawa k[[B_{1}]] on a

𝔪_{B_{1}} · (𝔪_{A})^{N} ⊆ (𝔪_{A})^{N+(p−2)}

pour tout N ∈ N.

Afin de prouver la Proposition 3.1 on détermine un dictionnaire entre les éléments F (1,n) ; \underline{l} ∈ M^{−} et les générateurs des sous-modules de la forme 𝔪_{A}^{N}. Fixons n ∈ N. Définissons

M_{n+1}^{−} =^{def} (M^{−} )^{K_{n+1}} = ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} ψ.

L’algèbre A/(X)^{p^{n}} est une algèbre de Frobenius et on a un isomorphisme Alinéaire :

A/(X)^{p^{n}} −→^{∼} k[[K_{0}(p)]] ⊗_{k[[K_{0} (p^{n+1} )]]} ψ = M_{n+1}^{−}  (14)

ce qui permet de considérer les éléments F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ M_{n+1}^{−} (définis au (7)) comme

des éléments de A/(X)^{p^{n}} . Pour une n-uplet \underline{l} =^{def} (l_{1}, …, l_{n}) ∈ \{0, …, p − 1\}^{n} nous définissons :

κ\underline{l} =^{def} ( ∏_{j=1}^{n} ( (−1) ∏_{k=0}^{p−2−l_{j}} \binom{p − 2}{k}(−1)^{k+1} ) )^{−1} = ( ∏_{j=1}^{n} (−1)^{l_{j} +1} (p − 1 − l_{j} )!)^{−1}

et N^{o}(\underline{l}) =^{def} ∑ _{j=1}^{n} p^{j−1} (p − 1 − l_{j}). On a alors le dictionnaire suivant :

Proposition 3.2. Soit n ≥ 1, \underline{l} = (l_{1}, …, l_{n}) ∈ \{0, …, p − 1\}^{n}. Dans l’algèbre d’Iwasawa A on a :

F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ κ\underline{l}X^{N^{o} (\underline{l})} + (𝔪_{A})^{N^{o} (\underline{l})+(p−1)} .

La preuve de la Proposition 3.2 s’obtien à partir des Lemmes 3.3 et 3.4 suivantes.

Lemme 3.3. Considérons l’algèbre k[F_{p}] et définissons, pour j ∈ {0, …, p−1}, les eléments

f_{j} =^{def} ∑_{λ∈F_{p}} λ^{j} [λ] ∈ k[F_{p}].

Posons X =^{def} f_{p−2} . On a les égalités suivantes :

f_{j} = \{ \begin{matrix}−( ∏ _{k=0}^{p−2−j} \binom{p−2}{k}(−1)^{k+1} ) ^{−1} X^{p−1−j} & si & j < p − 1, \\ −1 + X^{p−1} & si & j = p − 1. \end{matrix}

Démonstration. Pour j = p − 2 l’énoncé est évidènt et le résultat pour 0 ≤ j ≤ p − 3 suit par une récurrence élémentaire qu’on laisse au lecteur. Le cas j = p − 1 s’en déduit de la rélation f_{p−1} = f_{0} − 1.

La Proposition 3.2 suit donc par passage à la limite à partir du lemme suivant :

Lemme 3.4. Soient 1 ≤ m ≤ n. Pour toute (n − m + 1)-uplet (l_{m}, …, l_{n}) ∈ \{0, …, p − 1\}^{n−m+1} définissons l’élément F_{l_{m} ,...,l_{n}}^{(m,n)} ∈ k[\overline{U}(p^{m})/\overline{U}(p^{n+1} )], ainsi que les entiers κ_{l_{m} ,...,l_{n}} , N_{m}^{o} de la manière suivante :

F_{l_{m} ,...,l_{n}}^{(m,n)} =^{def} ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{1}^{l_{m}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m}[λ_{m}] & 1 \end{matrix} ] … ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} λ_{n}^{l_{n}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n}[λ_{n}] & 1 \end{matrix} ]
κ_{l_{m} ,...,l_{n}} =^{def} κ_{0,...,0,l_{m} ,...,l_{n}} avec (0, …, 0, l_{m}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}
N_{m}^{o} =^{def} ∑_{j=m}^{n} p^{j−m} (p − 1 − l_{j}).

Soit enfin

X_{m} =^{def} ∑_{λ∈F_{p}} λ^{−1} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m}[λ] & 1 \end{matrix} ] ∈ k[\overline{U}(p^{m})/\overline{U}(p^{n+1} ).]

On a alors :

F_{l_{m} ,...,l_{n}}^{(m,n)} ∈ κ_{(l_{m} ,...,l_{n} )} X^{N_{m}^{o} (\underline{l})} + (𝔪_{A})^{N_{m}^{o} (\underline{l})+(p−1)}

Démonstration. La preuve est une récurrence sur n − m, à partir du Lemme 3.3. Supposons donc le résultat en niveau m + 1. Le morphisme naturel (induit par l’inclusion \overline{U}(p^{m+1} ) ↪ \overline{U}(p^{m})) est alors décrit par

k[\overline{U}(p^{m+1} )/\overline{U}(p^{n+1} )]−→^{ι} k[\overline{U}(p^{m})\overline{U}(p^{n+1} )]
X_{m+1} ⟼→ X_{m}^{p}.

L’hypothèse de récurrence entraîne donc :

ι(F_{l_{m+1} ,...,l_{n}}^{(m+1,n)} ) ≡κ_{(0,...,0,l_{m+1} ,...,l_{n} )} X_{m}^{∑ {n \atop j=m+1}  p^{j−m} (p − 1 − l_{j} )}

modulo X_{m}^{∑ {n \atop j=m+1}  p^{j−m} (p − 1 − l_{j} ) + p(p − 1)}  . D’après le Lemme 3.3 et l’action du

tore fini T(F_{p}) sur X_{m} on a

F_{l_{m}}^{(m)} = ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{l_{m}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m}[λ_{m}] & 1 \end{matrix} ] ≡ κ_{(0,...,0,l_{m} ,0,... )} X^{p−1−l_{m}}

modulo X^{p−1−l_{m} −(p−1)} ce qui permet de conclure.

À la suite des résultats de [Mor12] (Proposition 4.4, 4.5 et 4.7), la Proposition 3.2 nous donne :

Corollaire 3.5. Soient n, N ∈ N. Munissons A/(X)^{p^{n}} de l’action de K_{0}(p) induite par l’isomorphisme (14). pour tout g ∈ K_{1}(p), b ∈ K_{1}(p) ∩ B(Q_{p}) on a les égalités suivantes dans A/(X)^{p^{n}} :

(g − 1) · X^{N} ∈ (X)^{N+1}  (b − 1) · X^{N} ∈ (X)^{N+(p−2)} .

Démonstration. D’après la Proposition 3.2 il suffit de montrer que

(g − 1) · F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ (X)^{N+1}  (b − 1) · F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ (X)^{N+(p−2)}  (15)

où la n-uplet (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n} est définie par la condition N ≡ ∑ _{j=0}^{n−1} p^{j} l_{j+1} modulo p^{n}. Les relations (15) découlent alors de [Mor12], Proposition 4.4, 4.5 et 4.7 (spécialisées en m = 1, f = 1). De manière alternative, l’énoncé est un cas particulier de [Mor], Corollary 4.8.

Fin de la preuve de la Proposition 3.1. Comme 𝔪_{A}^{N} est un idéal fermé de A et l’action de K_{1}(p) est continue sur A, le résultat découle du Corollaire 3.5

4 Premier dvissage de l’atome

Cette section est consacrée à l’étude préliminaire des atomes automorphes (sous-entendu, de longueur 2 pour GL_{2}(Q_{p})). Après des rappels générales, on étudie de manière approfondie (cf. §4.1) la réalisation explicite de l’atome de longueur 2 effectuée par C. Breuil dans [Bre03a]. Au moyen de certaines manipulations cohomologiques (§4.2) on se ramène au cas d’une extension de k[K_{0}(p^{n+1} )]-modules lisses, à quotient irréductible ; on en déduit un élément explicit de l’atome qui va jouer un rôle fondamental dans la suite.

La définition suivante est dûe à Colmez (cf. [Col10]) :

Definition 4.1 (Colmez). Un atome galoisien de dimension 2 sur G_{Q_{p}} est une représentation galoisienne (de G_{Q_{p}} sur un k-espace linéaire de dimension 2) qui est absolument indecomposable et qui n’est pas la tordue d’une extension de ω par la représentation triviale. Un atome automorphe pour GL_{2}(Q_{p}) est une représentation lisse de GL_{2}(Q_{p}) telle que la représentation galoisienne qui est lui associée par la correspondance de Langlands p-modulaire est un atome galoisien.

Les atomes galoisiens et les atomes automorphes qui leur correspondent ont été étudiés dans [Col10], §VII.3 et VII.4. Dans ce qui suit, nous nous intéressons au cas où l’atome automorphe est de longueur 2, sans multiplicité.

Definition 4.2. Soit (λ, r) ∉ {(±1, 0), (±1, p − 1)} et posons δ_{1} =^{def} un_{λ}ω^{r+1} ,

δ_{2} =^{def} un_{λ^{−1}} .

Nous définissons A_{r,λ} comme étant un générateur linéaire de l’espace

Ext_{GL _{2} (Q_{p})}^{1} (Ind_{B}^{G}δ_{1} ⊗ δ_{2}ω^{−1} , Ind_{B}^{G}δ_{2} ⊗ δ_{1}ω^{−1} ).  (16)

Notons que le foncteur de Montréal de Colmez induit un isomorphisme linéaire entre (16) et Ext_{G_{Qp}}^{1} (δ_{2}, δ_{1}) (cf. [Col10], VII.4.7) ce qui montre que l’espace d’extensions entre les séries principales ci-dessus est bien de dimension un.

4.1 Ralisation de l’atome automorphe

Soit (λ, r) ∈ k^{×} × N comme dans la Définition 4.2 et supposons de plus que 0 ≤ r ≤ p − 3. Ce numéro a pour objectif de rappeler la réalisation explicite des atomes automorphes pour GL_{2}(Q_{p}), effectuée dans [Bre03a]. Dans son article [Bre03a], Breuil achève une description exhaustive de la réduction de représentations cristallines pour G_{Q_{p}} en poids (0, k) avec k−2 ≤ 2p−2. Cela est effectué à l’aide de la construction d’un réseau explicite à l’intérieur d’un quotient de ind_{KZ}^{G} Sym^{k−2} E^{2}, isotypique pour l’action de l’algèbre de Hecke sphérique. Rappelons qu’on a un isomorphisme standard :

End_{G}(ind_{KZ}^{G} Sym^{k−2} E^{2}) −→^{∼} E[T]

où T est un certain opérateur de Hecke “canonique” (cf. [Bre03a], §2.1.4 et §2.2) qui induit, par réduction mod 𝔪_{E} sur le réseau Sym^{k−2} 𝒪^{2}, un endomorphisme G-équivariant de ind_{KZ}^{G} Sym^{k−2} k^{2} (et qui sera noté T également pour ne pas alourdir les notations). Fixons r ∈ {0, …, p − 3} et a_{p} ∈ 𝔪. Nous définissons :

Θ_{p+3+r,a_{p}} =^{def} Im( ind_{KZ}^{G} Sym^{p+1+r} 𝒪^{2} → Coker(T − a_{p})) .

On a alors le résultat suivant :

Theoreme 4.3. ([Bre03a], Théorème 3.3.2, Proposition 5.3.4.1) Le 𝒪[G]- module Θ_{p+3+r,a_{p}} est un réseau dans Coker(T − a_{p}) et si val(a_{p}) = 1 et

λ =^{def} \frac{(p+2+r)a_{p}}{p} mod𝔪 on a

Θ_{p+3+r,a_{p}} ⊗_{𝒪} k ≅ A_{r,λ} ⊗ ω.

Nous allons maintenant préciser l’énoncé du Théorème 4.3. Posons σ_{p+1+r} =^{def} Sym^{p+1+r} k^{2}, que nous allons identifier avec la composante homogène de degré p + 1 + r de k[X, Y] (munie de l’action modulaire usuelle de KZ). Il s’ensuit de [Bre03a], Lemme 5.1.3 (ii) qu’on a une injection KZ-équivariante :

σ_{r} ⊗ ω ↪ σ_{p+1+r} .

Afin d’éviter des ambiguïtés, nous désignons par x^{r−j} y^{j} (avec j ∈ {0, …, r}) un vecteur propre de σ_{r} ⊗ ω pour l’action du tore fini, de caractère propre χ_{r}𝔞^{−j} det. D’après [Bre03a], Corollaire 5.14 le conoyau de l’opérateur de Hecke T agissant sur ind_{KZ}^{G} Sym^{k−2} k^{2} se dévisse de la manière suivante :

Proposition 4.4 ([Bre03a], Corollaire 5.1.4). On a une suite exacte de k[G]- modules :

0 → ind_{KZ}^{G} σ_{r} ⊗ ω −→^{ι} ind_{KZ}^{G} σ_{p+1+r} /T −→ ind_{KZ}^{G} σ_{p−3−r} ⊗ ω^{r+2} → 0

où l’on a écrit ind_{KZ}^{G} σ_{p+1+r} /T =^{def} Coker(T).

C’est important pour la suite d’expliciter l’image du morphisme ι.

Lemme 4.5. Pour j ∈ {0, …, r} on a

ι([1, x^{r−j} y^{j}]) = ( \frac{r + 2}{j + 1} ) [1, X^{p+r−j} Y^{j+1} ].

De plus, on a [1, X^{p+1+r} ] ≡ 0 dans le quotient \frac{ind _{KZ}^{G} σ_{p+1+r}}{T} .

Démonstration. Le morphisme ι est obtenu, par induction compacte, à partir du morphisme suivant de GL_{2}(F_{p})-représentations (cf. [Bre03a], Lemme 5.1.3, ii)) :

σ_{r} ⊗ ω ↪ σ_{p+1+r}
x^{r−j} y^{j} ↦ X^{p+r−j} Y^{j+1} − X^{r+1−j} Y^{p+j} .

De plus, d’après [Bre03a], Corollaire 5.1.4, on a

\binom{r + 2}{i} ^{−1} ( \binom{r + 1 + p}{i} X^{p+r+1−i} Y^{i} + \binom{r + 1 + p}{p − 1 + i} X^{r+2−i} Y^{p−1+i} ) ≡ 0

dans \frac{ind _{KZ}^{G} σ_{p+1+r}}{T} , pour 0 ≤ i ≤ r + 2. En d’autres termes

\binom{r + 1}{i} X^{p+r+1−i} Y^{i} ≡ \{ \begin{matrix}−\binom{r+1}{i−1}X^{r+2−i} Y^{p−1+i} & & si & i > 0 \\ & 0 & si & i = 0. \end{matrix}

Ceci permet de conclure.

Le résultat suivant, qui est à la base des méthodes développés dans cet article, permet de réaliser A_{r,λ} comme un quotient de ind_{KZ}^{G} σ_{p+1+r} /T

Proposition 4.6. Soit r ∈ {0, …, p − 3}, λ ∈ k^{×} . On a un diagramme commutatif de k[G]-modules, à lignes exactes :

(17)

[figure: 0; ind_{KZ}^{G} σ_{r} ⊗ ω; ι; ind_{KZ}^{G} σ_{p+1+r} /T; ind_{KZ}^{G} σ_{p−3−r} ⊗ ω^{r+2}; 0; 0; π(r, λ, ω); A_{r,λ} ⊗ ω; π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} ); 0]

Démonstration. Cela est l’énoncé, ainsi que sa preuve, de [Bre03a], Proposition 5.3.4.1.

4.2 Restriction aux groupes de congruence

L’objectif de cet numéro est de ramener l’étude de la K-restriction de l’atome A_{r,λ} |_{K} à celui d’une famille de k[K_{0}(p)]-extensions de modules discrets. En d’autres termes :

Proposition 4.7. Soit r ∈ {0, …, p − 3}. On a un isomorphisme naturel

Ext_{k[K]}^{1} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det) −→^{∼} lim_{⟵}_{n≥0} Ext_{k[K_{0} (p^{n+1} )]}^{1} (χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det)

(où les espaces d’extensions sont à caractère central fixé).

Les morphismes partiels

Ext_{k[K]}^{1}(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det) −→^{Ψ_{n}}

−→^{Ψ_{n}} Ext_{k[K_{0} (p^{n+1} )]}^{1} (χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det)

se décrivent de manière explicite à l’aide de produits fibrés appropriés : si [E] désigne la classe d’une extension dans Ext_{k[K]}^{1}(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det) alors Ψ_{n+1} ([E]) = [E_{n+1} ] où l’extension E_{n+1} est déterminé par le diagramme

[figure: 0; ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det; E; ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2}; 0; 0; ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det; E_{n+1}; ⌞; ⟨1_{K_{0} (p^{n+1} )} ⟩; 0;]

et 1_{K_{0} (p^{n+1} )} ∈ ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} désigne la fonction à support sur K_{0}(p^{n+1} ). Rappelons que le foncteur de restriction à K nous donne un morphisme naturel

Ext_{k[G]}^{1} (π_{p−3−r,λ} ⊗ ω^{r+2} , π_{r,λ^{−1}} ⊗ ω) −→ Ext_{k[K]}^{1} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} , ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det).

D’après [BP13], Theorem 20.3, ce morphisme est injectif lorsque^{3} 1 ≤ r ≤ p−3.

Definition 4.8. Soient λ ∈ k^{×} et r ∈ {0, …, p − 3}. Nous définissons ℬ_{n+1} comme l’image de A_{r,λ} ⊗ ω|_{K} via le morphisme Ψ_{n+1} .

La preuve de la Proposition 4.7 est formelle et occupera le reste de ce numéro.

Lemme 4.9. Soit M un k[K]-module discret, n ∈ N et soit ψ un caractère lisse de K_{0}(p^{n+1} ). On a des isomorphismes canoniques :

Ext_{k[K]}^{i}(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ, M) −→^{∼} Ext_{k[K_{0} (p)]}^{i} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} ψ, M|_{K_{0} (p)} )(18)

Ext_{k[K_{0} (p)]}^{i} (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} ψ, M|_{K_{0} (p)} ) −→^{∼} Ext_{k[K_{0} (p^{n+1} )]}^{i} (ψ, M|_{K_{0} (p^{n+1} )} )

pour tout i ≥ 0.

3. Des calculs non publié de l’auteur montrent que cela reste vrai pour 0 ≤ r ≤ p − 3, p ≥ 3.

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

Démonstration. C’est la forme forte de la réciprocité de Frobenius, cf. [Vig96] I.5.9 (e).

Lemme 4.10. Soit j, n ∈ N et soient ψ, χ des caractères lisses de K_{0}(p^{∞} ), K_{0}(p^{n+1} ) respectivement. L’espace

Ext_{k[K_{0} (p^{n+1} )]}^{j} (χ, (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ)|_{K_{0} (p^{n+1} )} )

est de dimension finie.

Démonstration. D’après [AD14], Theorem 4.1 (cf. aussi [Laz65]), l’algèbre d’Iwasawa k[[K_{0}(p^{∞} )]] est une k-algèbre semilocale et noethérienne. En particulier tout k[[K_{0}(p^{∞} )]]-module de type fini admet une résolution libre par des k[[K_{0}(p^{∞} )]]-modules de type fini. D’après la dualité de Pontryagin, ψ admet une resolution injective 𝒥^{•} par des k[K_{0}(p^{∞} )]-modules admissibles. D’après [Vig96] I.5.9 (b) et I.5.6 (1) il s’ensuit que ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} 𝒥^{•} est une résolution injective de ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ constituée par des objets admissibles. Par [Vig96] I.5.9 (d) on conclut que (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} 𝒥^{•})|_{K_{0} (p^{n+1} )} est une résolution injective de (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} ψ)|_{K_{0} (p^{n+1} )} constituée par des objets admissibles.

Fin de la preuve de la Proposition 4.7. Posons M =^{def} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det)|_{K_{0} (p)} . D’après le Lemme 4.9 il suffit de montrer qu’on a un isomorphisme canonique

Ext_{K_{0} (p)}^{i} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , M) −→^{∼} lim_{⟵}_{n≥0} Ext_{k[K]}^{i}(ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , M) (19)

Comme ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} = lim_{−→}_{n≥0} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} il s’ensuit de [Jen72], Théorème

4.2 que l’on a une suite spectrale :

lim_{⟵}_{n≥0}^{(i)} Ext_{k[K_{0} (p)]}^{j} (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , M) ⇒ Ext_{k[K_{0} (p)]}^{j+i} (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , M)

D’autre part [KS06], Corollary 13.3.16 et Example 13.3.17 (ii) nous donne

lim_{⟵}^{(i)} Ext_{k[K_{0} (p)]}^{j} (ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , M) = 0

pour tout i > 1 et le Lemme 4.10 montre que les conditions de Mittag-Leffler sont verifiés. D’après [KS06], Exercice 12.8 on conclut que (19) est bien un isomorphisme.

D’après la description explicite du morphisme Ψ_{n} nous avons une description simple de l’extension ℬ_{n+1} à l’intérieur de l’atome A_{r,λ} ⊗ ω. Plus précisément définissons, pour n ≥ 1 l’élément

e_{n+1} =^{def} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{p−1} Y^{r+2} ] ∈ A_{r,λ} ⊗ ω.

Nous avons un diagramme commutatif de K_{0}(p^{n+1} )-modules discrets :

[figure: 0; π(r, λ, ω); ℬ_{n+1}; χ_{r+2}; 0; 0; π(r, λ, ω); A_{r,λ} ⊗ ω; π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} ); 0]

et d’après [Bre03a] Lemme 5.1.3 (ii) on a

A_{r,λ} ⊗ ω −→ π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} )  (20)
e_{n+1} ⟼→ [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{p−3−r} ]

(on a désigné comme d’habitude par x^{p−3−r} un générateur de l’espace linéaire de plus haut poids de σ_{p−3−r} ). Par conséquent :

Corollaire 4.11. Soit r ∈ {0, …, p − 3} et λ ∈ k^{×} . Supposons que (H) (r, λ) ∉ {(0, ±1), (p − 3, ±1)}. Pour tout n ≥ 0 le K_{0}(p^{n+1} )-module lisse ℬ_{n+1} est isomorphe à la sous K_{0}(p^{n+1} )-représentation de A_{r,λ} ⊗ ω engendrée par e_{n+1} et ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det.

Démonstration. Cela découle du Lemme 2.8, ainsi que de (20) et de la description du morphisme Ψ_{n}.

4.3 Rsum des notations.

Nous fixons ici les notations qui seront utilisés dans les preuves et les énonces techniques de §5 et 6. Fixons (λ, r) vérifiant l’hypothèse (H). Nous supposons de plus^{4} que r ≠ 0. Nous posons d’abord M =^{def} ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det et

M^{+} =^{def} ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)sK_{0} (p)} χ_{r}^{s} det,  M^{−} =^{def} ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K_{0} (p)} χ_{r}^{s} det.

Notons qu’on a M^{+} = (ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r}^{s} det)^{+} (cf. (6)). Rappelons que M^{+} (resp. M^{−} ) est un k[[K_{0}(p)]]-module discret, qui est unseriel en restriction à U (resp. \overline{U}(p)). Pour tout n ≥ 0 posons M_{n+1} =^{def} M^{K_{n+1}} et

M_{n+1}^{+} =^{def} (M^{+} )^{K_{n+1}} = (M^{+} )^{U(p^{n+1} )} , M_{n+1}^{−} =^{def} (M^{−} )^{K_{n+1}} = (M^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )}.

Rappelons qu’on a introduit au §2 des bases “naturels” sur π(r, λ, ω), M. En particulier, le Lemme 2.8 nous permet d’identifier, pour tout \underline{l} = (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}, l’élément F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} ∈ M_{n+1}^{−} à l’élément F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (0) ∈ π(r, λ, ω)

(cf. (7), (9) pour la déscription de F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} , F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (0)).

4. Des calculs non publiés de l’auteur, montrent que les enoncés des §5, 6 restent valables pour r = 0, au prix de calculs plus poussés.

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

L’élément suivant de l’atome A_{r,λ} va jouer un rôle clé dans l’étude des K_{n+1} invariants :

ẽ_{n+1} =^{def} e_{n+1} + (−1)^{r}λ^{−1} F_{r+1}^{(n+1)} (0)+
+ (−1)^{r+1} (r + 1)( ∑_{j=1}^{n} λ^{−2(n−j+1)} F_{r,0,...,0}^{(j,n)} (1)) .  (21)

Pour n ≥ 0 nous posons

F_{l_{1} ,... ,l_{n}}^{(1,n)} (_{e_{n+1}} ) =^{def} ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} λ_{1}^{l_{1}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{1}[λ_{1}] & 1 \end{matrix} ] … ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} λ_{n}^{l_{n}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n} [λ_{n}] & 1 \end{matrix} ] _{e_{n+1}}

où on a pris (l_{1}, …, l_{n}) ∈ {0, …, p − 1}^{n}. Notons que les images des éléments F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (ẽ_{n+1} ) dans π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} ) s’identifie à F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} (0) grâce au Lemme 2.8 et (20).

5 Le comportement de ẽ_{n+1}

Soit n ≥ 1. Ce numéro est consacré au résultat clef qui concerne le comportement de l’élément ẽ_{n+1} à l’intérieur de l’atome automorphe. Rappelons qu’on a défini au §4.2 un sous K_{0}(p^{n+1} )-module ℬ_{n+1} à l’intérieur de A_{r,λ} ⊗ ω s’inscrivant dans une suite exacte k[K_{0}(p^{n+1} )]-équivariante non-scindée :

0 → π(r, λ, ω) → ℬ_{n+1} → χ_{r+2} → 0.

Le but de ce numéro est de décrire la structure de l’extension ℬ_{n+1} (Proposition 5.4), à l’aide de l’élément ẽ_{n+1} ∈ ℬ_{n+1} défini en (21). Il s’agit du cœur technique de l’article et c’est ici que nous avons besoin des calculs sur les vecteurs de Witt, ainsi que de la déscription explicite de A_{r,λ} ⊗ ω effectuée au §4.1. Sauf mention explicite, l’on suppose ici que 1 ≤ r ≤ p − 3. Nous commençons par l’action de \overline{U}(p^{n+1} Z_{p}).

Lemme 5.1. Soit c ∈ F_{p}. Alors

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} [c] & 0 \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} = c(r + 1)λ^{−n−1} [1, x^{r}].

Démonstration. D’après le Lemme 4.5 on a les égalités

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} [c] & 0 \end{matrix} ] − 1) e_{n+1} =

= ∑_{j=0}^{r+1} c^{r+1−(j−1)} \binom{r + 2}{j} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, X^{p+r−(j−1)} Y^{(j−1)+1} ]

= ∑_{j=0}^{r} c^{r+1−j} \binom{r + 2}{j + 1} \frac{j + 1}{r + 2} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r−j} y^{j}]

= ∑_{j=0}^{r} c^{r+1−j} \binom{r + 1}{j} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r−j} y^{j}].

De manière analogue les relations produites par l’opérateur de Hecke T (cf. (8)) nous donnent

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} [c] & 0 \end{matrix} ] − 1) F_{r+1}^{(n+1)} (0) =

= ∑_{j=0}^{r} \binom{r + 1}{j} c^{r+1−j} (−1)^{r+1} ·

· ∑_{λ_{n+1} ∈F_{p}} (−λ_{n+1} )^{j} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} [λ_{n+1} ] & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+2} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r}]

= ∑_{j=0}^{r} c^{r+1−j} (−1)^{r+1} \binom{r + 1}{j} ·

·( λ [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r−j} y^{j}] − δ_{r,j} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n} & 0 \end{matrix} ] [1, y^{r}])

= λ(−1)^{r+1} ( ∑_{j=0}^{r} c^{r+1−j} \binom{r + 1}{j} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r−j} y^{j}]) −

−(r + 1)c(−1)^{r+1} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n} & 0 \end{matrix} ] [1, y^{r}].

Pour 1 ≤ m ≤ n, et comme r > 0 on a (cf. Lemme 2.6)

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} [c] & 0 \end{matrix} ] − 1) F_{r,0,... ,0}^{(m,n)} (1) = c( ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m} [λ_{m} ] & 1 \end{matrix} ] F_{0,... ,0}^{(m+1,n)} (0)) =

= c( ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m} [λ_{m} ] & 1 \end{matrix} ] (λ^{n−m} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{m+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r}]))

= cλ^{n−m+1} (−1)^{r} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{m} & 0 \end{matrix} ] [1, y^{r}] − cλ^{n−m} (−1)^{r} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{m−1} & 0 \end{matrix} ] [1, y^{r}] .

La conclusion suit maintenant par un calcul élémentaire qu’on laisse au lecteur.

Le lemme suivant nous permet de contrôler l’action du radical unipotent entier. Sa preuve, qui demande des manipulations techniques sur les vecteurs de Witt de F_{p}, a été mise en appendice.

Lemme 5.2. Soit p ≥ 3 et μ ∈ F_{p}^{×} . On a l’égalité suivante dans ℬ_{n+1} :

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} ≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} μF_{r+2,p−1,...,p−1}^{(1,n)}

modulo (𝔪_{A}^{p−3−r+(p−2)} M_{n+1}^{−} ) ⊕ (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} .

De manière similaire, on a

Lemme 5.3. Soit α ∈ Z_{p} et p ≥ 3. Alors on a l’égalité suivante dans ℬ_{n+1} :

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 + pα \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} ≡ (−1)^{n+r} \overline{α}(r + 1)λ^{−2n} F_{r+1,p−1,...,p−1}^{(1,n)}

modulo (𝔪_{A}^{p−3−r+(p−2)} M_{n+1}^{−} ) ⊕ (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} .

On peut finalement décrire l’extension ℬ_{n+1} , c’est-à-dire la sous K_{0}(p^{n+1} )- représentation engendrée par e_{n+1} et π(r, λ, ω) dans A_{r,λ} ⊗ ω :

Proposition 5.4. Soit n ≥ 1 et considérons l’extension

0 → π(r, λ, ω) → ℬ_{n+1} → χ_{r+2} → 0.

Soit g =^{def} [ \begin{matrix}1 + pa & b \\ p^{n+1} c & 1 + pd \end{matrix} ] ∈ K_{0}(p^{n+1} ).

On a alors l’égalité suivante dans ℬ_{n+1} :

(g − 1)_{e_{n+1}} ≡

≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} ( \overline{b}κ_{p^{n} −1 −(p−3−r)} X^{p−3−r} + (\overline{a − d} )κ_{p^{n} −1 −(p−2−r)} X^{p−2−r} )

modulo

(σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} ⊕ (𝔪_{A}^{(p−3−r)+(p−2)} )M_{n+1}^{−} .

Démonstration. Via le dictionnaire de la Proposition 3.2, il s’agit d’une conséquence immédiate des Lemmes 5.1, 5.2, 5.3 et de la décomposition d’Iwahori de K_{0}(p^{n+1} ).

Une remarque. L’énoncé de la Proposition 5.4 ne dépend pas du choix du rélévement ẽ_{n+1} , au sens suivant. Soit x ∈ π(r, λ, ω) et écrivons x = x^{+} ⊕ x^{−} selon la décomposition K_{0}(p)-équivariante π(r, λ, ω) ≅ M^{+} ⊕ M^{−} (cf. 4.3). Supposons que ẽ_{n+1} + x est fixé par \overline{U}(p^{n+1} ) modulo soc_{K_{0} (p)} (M^{+} ). On déduit de la Proposition 5.1 que x^{−} ∈ M_{n+1}^{−} et comme la composante χ_{r+2} - isotypique de M_{n+1}^{−} /(𝔪_{A}^{(p−3−r)+(p−2)} M_{n+1}^{−} ) est de diménsion 1 on conclut que x^{−} ∈ μX^{(p−3−r)} + (𝔪_{A}^{(p−3−r)+(p−2)} M_{n+1}^{−} ) pour un scalaire non-nul μ ∈ k^{×} . Comme (g − 1) · X^{p−3−r} ∈ 𝔪_{A}^{(p−3−r)+(p−2)} si g ∈ K_{1}(p^{2}) (cf. Proposition 3.1) on déduit :

Corollaire 5.5. Soit n ≥ 1.Considérons l’extension de K_{0}(p^{n+1} )-modules discrets :

0 → π(r, λ, ω) → ℬ_{n+1} → χ_{r+2} → 0.

et soit 𝔢_{n+1} ∈ ℬ_{n+1} tel que 𝔢_{n+1} ∉ π(r, λ, ω). Supposons de plus que 𝔢_{n+1} est fixé par \overline{U}(p^{n+1} ) modulo soc_{K_{0} (p)} (M^{+} ).

Pour tout g =^{def} [ \begin{matrix}1 + pa & b \\ p^{n+1} c & 1 + pd \end{matrix} ] ∈ K_{0}(p^{n+1} ) on a

(g − 1)𝔢_{n+1} ≡

≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} ( \overline{b}κ_{p^{n} −1 −(p−3−r)} X^{p−3−r} + (\overline{a − d} )κ_{p^{n} −1 −(p−2−r)} X^{p−2−r} )

modulo M^{+} ⊕ (𝔪_{A}^{(p−3−r)+(p−2)} )M_{n+1}^{−} .

Remarque 5.6. Pour r = 0 on peut modifier la définition de l’élément ẽ_{n+1} de telle sorte que l’enoncé de la proposition 5.4 reste valable. Toutefois, la technicité des manipulations nécessaires ont suggéré à l’auteur de ne pas inclure les calculs dans cet article.

6 Espaces invariants et applications

Dans cette section on détermine l’espace des invariants de l’atome A_{r,λ} ⊗ det selon certains sous-groupes de congruence de niveau arbitraire en p, dans le cas générique. Cela permet d’étendre un résultat de Breuil et Paskunas (cf. [BP13], Theorem 20.3) au cas de niveau arbitraire, et par conséquent, via la compatibilité locale-globale de la correspondance de Langlands p-adique, déterminer les composantes Hecke-isotypiques de la cohomologie mod p des courbes modulaires (§6.3). L’outil principale de la preuve du Théorème 6.4 demeure dans le Lemme 6.1, qui s’obtient comme une conséquence de la Proposition 5.4 à l’aide des moyens d’algèbre d’Iwasawa introduits au §3. Sauf mention explicite, on suppose que 1 ≤ r ≤ p − 3 (en particulier p > 3).

Corollaire 6.1. Soit n ≥ 1 et considérons la K_{0}(p^{n+1} )-sous représentation de ℬ_{n+1} déduite de la Proposition 5.4 :

0 → M_{n+1}^{−} ⊕ (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} → ⟨ K_{0}(p^{n+1} ) · ẽ_{n+1} ⟩ → χ_{r+2} → 0.

Soit H_{n+1} ∈ {K_{n+1} , I_{n+1} } et x ∈ B(Z_{p}) ∩ H_{n+1} . Alors :

(x − 1) · ẽ_{n+1} = 0

Démonstration. C’est une conséquence des Propositions 3.1 et 5.4, en remarquant que tout élément x ∈ B(Z_{p}) ∩ H_{n+1} peut s’écrire comme x = x^{′p^{n}} pour un élément x′ ∈ B(Z_{p}) ∩ H_{1}.

6.1 Espace des K_{n+1} -invariants

On calcule ici l’espace des K_{n+1} -invariants de A_{r,λ} ⊗ ω dans le cas générique. La preuve consiste à donner d’abord une borne supérieure à (A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} grâce au Corollaire 6.1; on détermine ensuite l’espace des invariants de manière précise via l’énoncé de la Proposition 5.4. Rappelons la notation M_{n+1} =^{def} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s} det ≅ (π(r, λ, ω))^{K_{n+1}} , ainsi que la décomposition M_{n+1} = M_{n+1}^{+} ⊕ M_{n+1}^{−} . On commence par un lemme.

Lemme 6.2. Soit M_{0}^{−} =^{def} soc_{K_{0} (p)} (M^{−} ). On a (M^{−} )^{I_{n+1}} = (M^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} =

M_{n+1}^{−} et (M^{−} /M_{0}^{−} )^{I_{n+1}} = (M^{−} /M_{0}^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} ainsi que une suite exacte nonscindée

0 → χ_{r}^{s} det → (M^{−} )^{I_{n+1}} → (M^{−} /M_{0}^{−} )^{I_{n+1}} → χ_{r}^{s}𝔞 det → 0

Démonstration. Pour un caractère χ de T(F_{p})\overline{U}(p) désignons par Inj(χ) son enveloppe injective dans la catégorie des T(F_{p})\overline{U}(p)-représentations lisses. On a alors

((Inj(χ))^{∨} )^{\overline{U} (p^{j+1} )} ≅ A/(X^{p^{j}} ) ⊗_{k} χ^{−1} .

L’existence de la suite exacte de T(F_{p})\overline{U}(p^{n+1} )-représentations

0 → χ_{r}^{s} det → (M^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} → (M^{−} /M_{0}^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} → χ_{r}^{s}𝔞 det → 0

suit alors par un calcul de dimension en remarquant que M^{−} , M^{−} /M_{0}^{−} sont des enveloppes injectives de χ_{r}^{s} det et χ_{r}^{s} det𝔞 respectivement (cf. [Paš10], Proposition 5.9) et que H^{1}(\overline{U}(p^{n+1} ), χ_{r}^{s} det) est de dimension un. En particulier :

(M^{−} /M_{0}^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} ≅ (X^{p^{n+1} −p^{n}} )/(X^{p^{n+1}} ).  (22)

Grâce à la Proposition 3.1 on a

𝔪_{(I_{n+1} ∩B(Q_{p}))} · (X^{p^{n+1} −p^{n}} )M_{n+2} ⊆ 𝔪_{B_{1}^{p^{n}}} · (X^{p^{n+1} −p^{n}} )M_{n+2}
⊆ (X^{p^{n+1} −p^{n} +p^{n} (p−2)} )M_{n+2} = 0

(où l’on a écrit 𝔪_{(I_{n+1} ∩B(Q_{p}))} pour désigner l’ideal maximal de l’algèbre d’Iwasawa de (I_{n+1} ∩ B(Q_{p})), et où l’on a utilisé le fait que (I_{n+1} ∩ B(Q_{p})) ⊆ B_{1}^{p^{n}} ) ce qui permet de conclure à l’aide de (22) que les éléments de (I_{n+1} ∩ B(Q_{p}))

agissent trivialement sur (M^{−} /M_{0}^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )}, i.e. que (M^{−} /M_{0}^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} = (M^{−} /M_{0}^{−} )^{I_{n+1}} . Pour terminer, notons que (M^{−} )^{I_{n+1}} = (M^{−} )^{\overline{U} (p^{n+1} )} par un comptage de dimension (cf. par exemple [Mor13], Proposition 3.5), ce qui conclut la preuve du lemme.

Proposition 6.3. Soit n ≥ 1 et considérons la suite exacte induite par le foncteur des K_{n+1} -invariants :

0 → ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r}^{s} det −→ (A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} −→_{proj _{n+1}} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} .

Alors

long_{K} (coker(proj_{n+1} )) ≤ 1.

Démonstration. Le foncteur des K_{n+1} -invariants nous donne une suite exacte :

0 → M_{n+1} → (A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} −→_{proj _{n+1}} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} .

Par construction, l’élément proj_{n+1} (ẽ_{n+1} ) est un K-générateur de l’induite ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} , ayant support sur K_{0}(p^{n+1} ) et étant χ_{r+2} isotypique pour l’action du tore entier. Ainsi, l’élément

F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (ẽ_{n+1} ) =^{def} ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) + δ_{r,p−3} F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} )
∈ ⟨K · ẽ_{n+1} ⟩ ⊆ A_{r,λ} ⊗ ω

est envoyé, par la projection

(A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} −→_{proj _{n+1}} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} ↠ ind_{K_{0} (p)}^{K} χ_{r+2}

sur un générateur de

( soc_{K} (ind_{K_{0} (p)}^{K} χ_{r+2} )) ^{K_{1} (p)} .

Nous montrons que F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (ẽ_{n+1} ) est fixé par K_{n+1} , ce qui permet de conclure que

long_{K} ( (A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} ) ≥
≥ long_{K} (π(r, λ, ω)^{K_{n+1}} ) + long_{K} (π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} ))^{K_{n+1}} − 1.

Pour g = [\begin{matrix}1 + p^{n+1} a & p^{n+1} b \\ p^{n+1} c & 1 + p^{n+1} d \end{matrix} ] ∈ K_{n+1} un calcul élémentaire nous donne

g · F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (_{e_{n+1}} ) = ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] F (1,n) ; \underline{p−1} (g_{0,λ_{0}} · _{e_{n+1}} ) + δ_{r,p−3} F (1,n) ; \underline{p−1} (g_{1} · _{e_{n+1}} )

où

g_{0,λ_{0}} ∈ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} z & 1 \end{matrix} ] · (B(Z_{p}) ∩ K_{n+1} ) , g_{1} ∈ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} w & 1 \end{matrix} ] · (B(Z_{p}) ∩ K_{n+1} )

avec z ≡ [\overline{b}+ \overline{(a − d)} λ_{0} − \overline{c}λ_{0}^{2}] et w ≡ [\overline{c}] modulo p. On en déduit, utilisant le Corollaire 6.1 et le Lemme 5.1, l’égalité suivante :

(g − 1) · F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (_{e_{n+1}} ) = \underbrace{(−1)^{n} λ^{−n−1} (r + 1)( ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}[λ_{0}] & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] \overline{z}x^{r} + δ_{p−3,r} \overline{c}x^{r}) .}_{∈σ_{r} ⊗det}

où l’on a posé \overline{z} =^{def} \overline{b}+ \overline{(a − d)} λ_{0} − \overline{c}λ_{0}^{2}. Un calcul simple (sans oublier la torsion par le déterminant dans σ_{r} ⊗ det!) donne au final

(g − 1) · F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (_{e_{n+1}} ) = (−1)^{n} λ^{−n−1} (r + 1)( ∑_{j=0}^{r} (−1)\binom{r}{j}x^{r−j} y^{j} (\overline{b} ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{r−j} +

+(\overline{a} − \overline{d}) ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{r−j+1} − \overline{c} ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{r−j+2} ) + δ_{p−3,r} \overline{c}x^{r})

= (−1)^{n} λ^{−n−1} (r + 1)( (−1)\binom{r}{0}x^{r} (−\overline{c})( ∑_{λ_{0} ∈F_{p}} λ_{0}^{r+2} ) + δ_{p−3,r} \overline{c}x^{r})

ce qui permet de conclure que F_{0,\underline{p−1}}^{(0,n)} (ẽ_{n+1} ) est bien fixé par K_{n+1} .

Dans le cas générique on obtient :

Theoreme 6.4. Supposons r ≠ 0. Alors coker(proj_{n+1} ) = σ_{r+2} .

Démonstration. Supposons au contraire que le morphisme

(A_{r,λ} ⊗ ω)^{K_{n+1}} −→_{proj _{n+1}} ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2}

est surjectif. Comme l’élément proj_{n+1} (F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} )) est envoyé par la surjection

ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} ↠ ind_{K_{0} (p)}^{K} χ_{r+2}

sur un générateur de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K} χ_{r+2} , on déduit qu’il existe un élément y ∈ π(r, λ, ω) qui est χ_{r+2} -isotypique pour l’action du tore fini et de tel que

F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) + y ∈ A_{r,λ} ⊗ ω est fixé par K_{n+1} . Écrivons y = y^{+} ⊕ y^{−} selon la

décomposition ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} = M^{+} ⊕M^{−} . D’après la preuve de la Proposition 6.3, on a

(23)

(g − 1) · F (1,n) ; \underline{p−1} (_{e_{n+1}} ) = (−1)^{n} \overline{c}λ^{−n−1} (r + 1)x^{r} ∈ (σ_{r} ⊗ det )^{K_{1} (p)} = soc_{K_{1} (p)} (M^{+} )

pour g =^{def} [ \begin{matrix}1 + p^{n+1} a & p^{n+1} b \\ p^{n+1} c & 1 + p^{n+1} d \end{matrix} ] ∈ K_{n+1} et comme l’on a supposé que

F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) + y est K_{n+1} -fixe on déduit que

y^{−} ∈ (M^{−} )^{K_{n+1}} ,  y^{+} ∈ ( \frac{M^{+}}{soc_{K_{1} (p)} (M^{+} )}) ^{K_{n+1}} .

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

D’après le Lemme 6.2 on déduit que ( \frac{M^{+}}{soc_{K_{1} (p)} (M^{+} )} )^{K_{n+1}} est un T(F_{p}) · U(Z_{p})- module de longueur p^{n+1} et cosocle χ_{r} det𝔞^{−1} . Comme χ_{r} det𝔞^{−1} ≠ χ_{r+2} si p > 3 on en déduit que y^{+} ∈ (M^{+} )^{K_{n+1}} = M_{n+1}^{+} . Au final on a y ∈ M_{n+1} , en particulier y est K_{n+1} -invariant. Or, ceci contredit le fait que F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) + y est K_{n+1} invariant, en vue de (23).

Remarque 6.5. On s’attend à ce que l’énoncé du Théorème 6.4 reste valable pour r = 0. Ceci est bien le cas lorsque n = 1, mais on a désisté de traiter le cas général, qui demande un certain nombre de manipulations techniques ennuyeuses, et qu’on a préféré de ne pas l’aborder.

6.2 Espace des I_{n}-invariants

Avec la même méthode, nous calculons l’espace des I_{n+1} -invariants de A_{r,λ} ⊗ω. D’abord, on donne une première estimation grâce à la proposition suivante.

Proposition 6.6. Soit n ≥ 1 et considérons la suite exacte

0 → π(r, λ, ω)^{I_{n+1}} −→ (A_{r,λ} ⊗ det)^{I_{n+1}} −→_{proj_{n+1}} π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} )^{I_{n+1}} .

Alors coker(proj_{n+1} )) est un quotient de χ_{r+2} ⊕ χ_{r+2}^{s} .

Démonstration. Rappelons que (cf. [Mor13], Proposition 5.3) :

(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} (χ_{r} det))^{I_{n+1}} ≅ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} (χ_{r} det) ⊕ (ind_{K_{0} (p^{n} )}^{K} χ_{r} det )^{+} = M_{n+1}^{−} ⊕ M_{n}^{+}

et de manière similaire

(ind_{K_{0} (p^{∞} )}^{K} χ_{r+2} )^{I_{n+1}} ≅ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} ⊕ (ind_{K_{0} (p^{n} )}^{K} χ_{r+2} )^{+}

Considérons F_{p−2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} (ẽ_{n+1} ) ∈ A_{r,λ} ⊗ ω. Par construction, son image via le morphisme proj_{n+1} est un générateur du radical de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} .

Montrons maintenant que F_{p−2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} (ẽ_{n+1} ) est fixé par I_{n+1} . Si g =^{def}

[ \begin{matrix}1 + p^{n+1} a & p^{n} b \\ p^{n+1} c & 1 + p^{n+1} d \end{matrix} ] ∈ I_{n+1} , un calcul élémentaire nous donne

g · F_{p−2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} (ẽ_{n+1} ) = F_{p−2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} (g′· ẽ_{n+1} )

où g′ ∈ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n+1} z & 1 \end{matrix} ]·(B(Z_{p})∩I_{n+1} ), avec z ≡ c modulo p. D’après le Corollaire 6.1 et le Lemme 5.1 on obtient :

(g − 1) · F_{p−2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)} (_{e_{n+1}} ) = ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} λ_{1}^{p−2} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p[λ_{1}] & 1 \end{matrix} ] ∑_{λ_{2} ∈F_{p}} λ_{2}^{p−1} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{2}[λ_{2}] & 1 \end{matrix} ] …

… ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} λ_{n}^{p−1} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n} [λ_{n}] & 1 \end{matrix} ] · (c(r + 1)λ^{−n−1} x^{r})

= (−1)^{n−1} c(r + 1)λ^{−n−1} x^{r} ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} λ_{1}^{p−2}

= 0.

Cela montre que l’image de application composée

(A_{r,λ} ⊗ det)^{I_{n+1}} −→_{proj_{n+1}} π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} )^{I_{n+1}} ↠ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2}

contient le radical de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} i.e. que le conoyau de l’application composée ci-dessus est de longueur au plus 1. Par symétrie, en utilisant l’action de l’élément [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ], on déduit que le conoyau de l’application composée

(A_{r,λ} ⊗ ω)^{I_{n+1}} −→_{proj_{n+1}} π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} )^{I_{n+1}} ↠ (ind_{K_{0} (p^{n} )}^{K} χ_{r+2} )^{+}

est de longueur au plus un, ce qui achève la preuve.

On peut maintenant obtenir le résultat souhaité :

Proposition 6.7. Soit n ≥ 1 et considérons la suite exacte

0 → π(r, λ, ω)^{I_{n+1}} −→ (A_{r,λ} ⊗ det)^{I_{n+1}} −→_{proj_{n+1}} π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} )^{I_{n+1}} .

Alors coker(proj_{n+1} )) = χ_{r+2} ⊕ χ_{r+2}^{s} . En particulier, on a

dim( (A_{r,λ} ⊗ ω)^{I_{n+1}} ) = 4p^{n} − 2.

Démonstration. Pour alléger les notations posons A =^{def} A_{r,λ} ⊗ ω et M_{0} =^{def} soc_{K_{0} (p)} M ≅ χ_{r}^{s} det⊕χ_{r} det. On a une suite exacte

0 → M_{0} → H^{0}(I_{n+1} /Z_{n+1} , A) → H^{0}(I_{n+1} /Z_{n+1} , A/M_{0}) →^{∂} H^{1}(I_{n+1} /Z_{n+1} , M_{0})

et le groupe de cohomologie H^{1}(I_{n+1} /Z_{n+1} , M_{0}) est de dimension 4, les cocycles

κ_{l} : I_{n+1} /Z_{n+1} → χ_{r} det
[ \begin{matrix}1 + p^{n+1} a & p^{n} b \\ p^{n+1} c & 1 + p^{n+1} d \end{matrix} ] ↦ \overline{c}x^{r}

et

κ_{u} : I_{n+1} /Z_{n+1} → χ_{r}^{s} det
[ \begin{matrix}1 + p^{n+1} a & p^{n} b \\ p^{n+1} c & 1 + p^{n+1} d \end{matrix} ] ↦ \overline{b}[ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ]x^{r}

étant linéairement indépendants (la preuve est très similaire à celle de [Paš10], Proposition 5.2, et consiste à montrer que l’espace H^{1}(I_{n+1} /Z_{n+1} , F_{p}) est de dimension 2, une base étant donnée par les cocycles κ_{u} et κ_{l}). Reprenons les notations dans la preuve de la proposition 6.6. Considérons les

éléments F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ), F (0,n−1) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) =^{def} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ]F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ).Par construc-

tion leurs images dans π(p − 3 − r, λ^{−1} , ω^{r+2} ) fournissent des générateurs de ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} χ_{r+2} , (ind_{K_{0} (p^{n} )}^{K} (χ_{r+2} ))^{+} respectivement. Le calcul dans la preuve

de la proposition 6.6 montre que l’image de F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) dans A/M_{0} est fixée par I_{n+1} et que

∂(F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) modulo M_{0}) = κ_{l}

(à scalaire non-nul près). On en déduit que aucune combinaison linéaire de

F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) et F (0,n−1) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) n’est fixée par I_{n+1} .

D’autre part, supposons que 2(p^{n} − 1) < long_{K_{0} (p)} (A^{I_{n+1}} /M^{I_{n+1}} ) ≤ 2p^{n}. Comme A^{I_{n+1}} est stable par l’action de [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p & 0 \end{matrix} ] on déduit une suite exacte :

0 → M_{n+1}^{+} ⊕ M_{n+1}^{−} → A^{I_{n+1}} → (ind_{K_{0} (p^{n} )}^{K} (χ_{r+2} ))^{+} ⊕ ind_{K_{0} (p^{n+1} )}^{K_{0} (p)} (χ_{r+2} ) → 0.

Il existe donc un élément y ∈ M, isotypique pour χ_{r+2} de telle sorte que F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} )+y est fixé par I_{n+1} . A fortiori son image dans A/M_{0} est I_{n+1} -fixe,

ce qui implique que y ∈ (M/M_{0})^{I_{n+1}} d’après le fait que (g − 1)F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) ∈

M_{0}^{+} pour tout g ∈ I_{n+1} . Comme y est χ_{r+2} isotypique et χ_{r+2} ≠ χ_{r}^{s}𝔞 det, χ_{r}𝔞^{−1} det si p > 3, le Lemme 6.2 implique que y ∈ M^{I_{n+1}} . On en conclut que les éléments F (1,n) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ), F (0,n−1) ; \underline{p−1} (ẽ_{n+1} ) sont fixés par I_{n+1} , ce qui contredit le fait que leur images via ∂ est une famille libre de H^{1}(I_{n+1} /Z_{n+1} , M_{0}).

6.3 Application la cohomologie des courbes modulaires

Dans ce numéro, nous cadrons dans un contexte global les résultats sur les K_{n+1} -invariants, grâce aux travaux sur la compatibilité de la correspondance de Langlands éffectués par Emerton [Eme] (cf. égalément [Bre12]). De manière plus précise, nous décrivons plusieurs espaces isotypiques (sous l’action d’une algèbre de Hecke) de la cohomologie modulo p des courbes modulaires définies sur Q et le résultat principal de cette section (Théoreme 6.8) éténd au cas non-irréductible l’étude globale commencé dans [Mor13]. On suit l’exposition et les arguments de [Mor13], §6 (où on a traité le cas des atomes supersinguliers) et la dissertation démandant d’un peu de préparation, on refère le lecteur à [Eme] (cf. aussi [Bre12]). Soient A_{f} les adèles finis de Q, G_{Q} le groupe de Galois absolu de Q et écrivons G_{Q_{ℓ}} pour son sous-groupe de décomposition en ℓ. Étant donné un sous-groupe compact-ouvert K_{f} du groupe adélique GL_{2}(A_{f} ) nous écrivons Y (K_{f} ) pour désigner la courbe modualire (definie sur Q) de points complexes

Y (K_{f} )(C) = GL_{2}(Q)\((C \ R) × GL_{2}(A_{f} )/K_{f} ).

et nous en prenons, pour A ∈ {𝒪, k}, ses groupes de cohomologie étale

H^{1}(K_{f} )_{A} =^{def} H_{ét}^{1}(Y (K_{f} )\overline{Q}, A)

où Y (K_{f} )\overline{Q} est le changement de base de Y (K_{f} ) à \overline{Q}. Si K^{p} est un sous-groupe ouvert compact de GL_{2}(A_{f}^{p}), nous considérons le k-module

H^{1}(K^{p})_{k} =^{def} lim_{−→}_{K_{p}}H^{1}(K_{p}K^{p})_{k}

où K_{p} parcourt les sous-groupes compact ouverts de GL_{2}(Q_{p}) : ce module est alors muni des actions continues de G_{Q} et de GL_{2}(Q_{p}), commutant entre elles. Soit Σ_{0} un ensemble fini de places non-Archimediennes de Q, ne contenant pas p, et soit Σ =^{def} Σ_{0} ∪ {p}. Nous nous intéressons aux sous-groupes compacts ouverts de GL_{2}(A_{f}^{p}) de la forme K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} , où K_{Σ_{0}} est un sous-groupe com-

pact ouvert de G_{Σ_{0}} =^{def} ∏ _{ℓ∈Σ_{0}} GL_{2}(Q_{ℓ}) et K_{0}^{Σ} =^{def} ∏ _{ℓ∉Σ} GL_{2}(Z_{ℓ}) ; on écrit par brevité

H^{1}(K_{Σ_{0}} )_{k} =^{def} H^{1}(K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )_{k}.

Étant donné un sous-groupe ouvert-compact K_{p} in GL_{2}(Q_{p}) désignons par T(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} ) la sous-𝒪-algèbre de

End_{𝒪[G_{Q} ]} (H^{1}(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )_{𝒪} )

engendré par les opérateurs de Hecke T_{ℓ}, S_{ℓ} avec ℓ ∉ Σ. Si K′_{p} ≤ K_{p} sont deux sous-groupes ouverts compacts dans GL_{2}(Q_{p}) on a un morphisme de transition surjectif T(K′_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} ) ↠ T(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} ), qui est compatible, au sens évident, avec les actions sur les espaces de cohomologie étale. Nous en déduisons une action G_{Q} × GL_{2}(Q_{p})-équivariante de

T(K_{Σ_{0}} ) =^{def} lim_{⟵_{Kp}}T(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )

sur sur H^{1}(K_{Σ_{0}} )_{k} ([Eme], (5.1.2)). Par construction, l’action de T(K_{Σ_{0}} ) sur le sous-module H^{1}(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )_{k}) se factorise à travers le morphisme surjectif T(K_{Σ_{0}} ) ↠ T(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} ).

Soit \overline{ρ} : G_{Q} → GL_{2}(k) une représentation Galoisienne continue, absolument irréductible. En supposant que \overline{ρ} est modulaire, nous défnissons Σ_{0} comme l’ensemble des diviseurs premiers du conducteur d’Artin de \overline{ρ} ([Ser87], §1.2). Rappelons que un sous-groupe ouvert compact K_{Σ_{0}} de G_{Σ_{0}} est un niveau admissible pour \overline{ρ} s’il existe un idéal maximal 𝔪 de T(K_{Σ_{0}} ), ayant corps résiduel k, tel que

T_{ℓ} ≡ tr(\overline{ρ}(Frob_{ℓ})) mod𝔪,  S_{ℓ} ≡ ℓ^{−1} det(\overline{ρ}(Frob_{ℓ})) mod𝔪.

Comme \overline{ρ} est modulaire, la conjecture de Serre montre que un sous-groupe compact ouvert dans la composante Σ_{0} de ker(GL_{2}(Ẑ) → GL_{2}(Ẑ/(N))) est un niveau admissible pour \overline{ρ}. Le résultat suivant étends le Théoreme principal de [Mor13] au cas nonirréductible :

Theoreme 6.8. Soit p ≥ 3 et \overline{ρ} : G_{Q} → GL_{2}(k) une représentation Galoisienne continue, impaire et absolument irréductible. Soit Σ_{0} l’ensemble des diviseurs premiers du conducteur d’Artin de \overline{ρ} et soit κ ∈ \{2, …, p+1\} le poids minimal, à torsion près, associé à \overline{ρ}|_{G_{Qp}} (cf. [Ser87], §2.2). Soit K_{Σ_{0}} un niveau admissible pour \overline{ρ} et 𝔪 l’idéal maximal de l’algèbre de Hecke T(K_{Σ_{0}} ) associé à \overline{ρ}. Définissons

d =^{def} dim_{k} ( ⨂_{ℓ∈Σ_{0}} π(\overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} ))^{K_{Σ_{0}}}  (24)

où π(\overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} ) est la représentation lisse de GL_{2}(Q_{ℓ}) associée à \overline{ρ}|_{G_{Q_{ℓ}}} par la correspondance de Langlads p-modulaire d’ Emerton-Helm ([EH14]). Soit enfin K_{p} ∈ {K_{t}, I_{t}} avec t ≥ 1 et supposons que κ ∈ {3, …, p − 1}. Alors, si p^{t}N > 4 on a :

dim_{k} (H_{ét}^{1}(Y (K_{t}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )\overline{Q}, k)[𝔪]) = \{ \begin{matrix}2d(2p^{t−1} (p + 1) − 4) \\ si K_{p} = K_{t} et \overline{ρ}|_{G_{Qp}} est \\ absolument irréductible ; \\ 2d(2(p + 1)p^{t−1} − (κ + 1)) \\ si K_{p} = K_{t} et \overline{ρ}|_{G_{Qp}} est \\ absolument réductible, \\ non-scindée ; \\ 2d(2(2p^{t−1} − 1))  si K_{p} = I_{t} . \end{matrix}

Démonstration. Il nous suffit de traiter le cas où \overline{ρ}|_{G_{Qp}} est absolument réductible non scindée (le cas absolument irréductible étant traité dans [Mor13]). La même preuve de [Mor13], Proposition 6.1 nous permet d’écrire

H^{1}(K_{p}K_{Σ_{0}} K_{0}^{Σ} )_{k}[𝔪] ≅ \overline{ρ} ⊗ (π_{p})^{K_{p}} ⊗ (π_{Σ_{0}} (\overline{ρ}))^{K_{Σ_{0}}}

où π_{p} est la représentation associé à \overline{ρ}|_{G_{Qp}} par la correspondance de Langlands p-modulaire, contenant dans son GL_{2}(Z_{p})-socle le poids de Serre σ_{κ−2} (à torsion près). Le résultat découle donc des Théorèmes 6.4 et 6.7.

7 Appendice

On consacre cette appendice à des résultats techniques qui se révèlent nécessaires afin d’obtenir la Proposition clé 5.4. On étudie d’abord certains polynômes de Witt qui apparaissent naturellement lorsque l’on étudie les actions supplémentaires de B(Z_{p}) sur l’algèbre d’Iwasawa A = k[[\overline{U}(p)]] (§7.1).

Remarquons que, même si le tore fini T(Z_{p}) agit sur A par des automorphismes de k-algèbres (ce qui permet de simplifier certains arguments concernant l’action de ce dernier sur A), l’action de U(Z_{p}) n’est que k-linéaire et les manipulation effectués dans §7.1 restent, par l’instant, incontournables afin de pouvoir la contrôler. Ensuite, on utilise au §7.2 les résultats précédents afin d’obtenir des renseignements cruciaux sur le comportement de l’élément e_{n+1} introduit dans la section 4.3.

7.1 Sur certains polynmes de Witt

Dans ce numéro on a pour objectif l’étude de certains polynômes de Witt qui apparaissent naturellement dans les manipulations nécessaires à la détermination de la structure interne des représentations p-modulaires de GL_{2}(Q_{p}). On utilise ici les notations de [Mor12], §A.1 (en invitant le lecteur à se référer à loc. cit. pour plus de détails, ou à des références classiques [Ser68], [Bou07] pour le cadre général). On note les éléments de W (F_{p}) ≅ Z_{p} par (λ_{0}, λ_{1}, …, λ_{j} , …) ou, de manière plus parlante, ∑ _{j=0}^{∞} p^{j} [λ_{j}]. La loi de la somme (resp. du produit, resp. de la puissance N-ième) est alors déterminé par les polynômes universels

S_{n} =^{def} S_{n}(X_{0}, …, X_{n}, Y_{0}, …, Y_{n}) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n}, Y_{0}, …, Y_{n}]
(resp. Prod_{n}(X_{0}, …, X_{n}, Y_{0}, …, Y_{n}) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n}, Y_{0}, …, Y_{n}],
resp. Pot_{n}^{N} (X_{0}, …, X_{n}) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n}] )

définis pour tout n ∈ N (cf. [Mor12], §A.1). La structure récursive de S_{n} est décrite par le résultat suivant :

Lemme 7.1. Soit n ≥ 1. Alors

S_{n} = X_{n} + Y_{n} − (S_{n−1} − X_{n−1} )X_{n−1}^{p−1} + R_{n}

où R_{n} ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−1} ][X_{n−1} ] est un polynôme de degré au plus p − 2 en X_{n−1} et (S_{n−1} − X_{n−1} ) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−1} ].

Démonstration. On a

S_{n} = \frac{1}{p^{n}} ( p^{n} X_{n} + p^{n} Y_{n} + p^{n−1} X_{n−1}^{p} + p^{n−1} Y_{n−1}^{p} + …
… + X_{0}^{p^{n}} + Y_{0}^{p^{n}} − p^{n−1} S_{n−1}^{p} − … − S_{0}^{p^{n}} )
= X_{n} + Y_{n} + \frac{1}{p^{n}} ( p^{n−1} X_{n−1}^{p} − p^{n−1} (S_{n−1} )^{p} + P_{n})

où P_{n} ∈ Z_{(p)}[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−1} ].

Or, il existe un élément convenable Q_{n−1} ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−2} ] de telle sorte que l’on a :

(S_{n−1} )^{p} = (X_{n−1} + Y_{n−1} + Q_{n−1} )^{p}
= X_{n−1}^{p} + pX_{n−1}^{p−1} Y_{n−1} + pX_{n−1}^{p−1} Q_{n−1} + U_{n−1}

pour un un polynôme U_{n−1} ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−1} ][X_{n−1} ] de degré au plus p − 2 en X_{n−1} . Ainsi

S_{n} = X_{n} + Y_{n} + \frac{1}{p^{n}} ( p^{n−1} X_{n+1}^{p} − p^{n−1} (X_{n−1}^{p} + pX_{n−1}^{p−1} Y_{n−1} +
+pX_{n−1}^{p−1} Q_{n−1} + U_{n−1} ) + P_{n}) =
= X_{n} + Y_{n} − X_{n−1}^{p−1} (Y_{n−1} + Q_{n−1} ) + \frac{1}{p^{n}} (−p^{n−1} U_{n−1} + P_{n})

La relation Q_{n−1} = S_{n−1} − X_{n−1} − Y_{n−1} ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−2} ]

montre que R_{n} =^{def} \frac{1}{p^{n}} (−p^{n−1} U_{n−1} +P_{n}) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−2} , Y_{0}, …, Y_{n−1} ][X_{n−1} ]

et que son degré en X_{n−1} est au plus p − 2, ce qui permet de conclure.

Le lemme 7.1 nous permet d’utiliser des procédés de récurrence relativement à certains polynômes de Witt qui apparaissent naturellement dans l’étude des représentations de GL_{2}(Q_{p}). Plus précisément, on a les corollaires suivantes :

Corollaire 7.2. Soit z =^{def} ∑ _{j=0}^{n} p^{j} [λ_{j}] ∈ Z_{p} et considérons μ ∈ F_{p}^{×} . Alors

[μ] + z = ∑_{j=0}^{∞} p^{j} [λ_{j} + S̃_{j} ]

où S̃_{0} = μ et pour tout j ≥ 1, S̃_{j} ∈ F_{p}[λ_{0}, …, λ_{j−2} , μ][λ_{j−1} ] est un polynôme de degré p − 1 en λ_{j−1} et coefficient dominant −S̃_{j−1} .

Démonstration. Immédiate du Lemme 7.1.

Corollaire 7.3. Supposons p ≥ 3. Soit n ≥ m ≥ 0, z = ∑ _{j=m}^{n} p^{j} [λ_{j}] ∈ Z_{p}, α = ∑ _{j=0}^{∞} p^{j} [α_{j}] ∈ Z_{p}. Alors,

z + pαz ≡ ∑_{j=m}^{n} p^{j} [λ_{j} + Q̃_{j−m} ] modulo p^{n+1}

où Q̃_{0} = 0, Q̃_{1} = α_{0}λ_{m} et, pour j ≥ m + 2

Q̃_{j−m} ∈ F_{p}[α_{0}, …, α_{j−m−1} , λ_{m}, …, λ_{j−1} ]

est un polynôme de degré p − 1 en λ_{j−1} et coefficient dominant −Q̃_{j−m−1} .

Démonstration. On a dans W (F_{p})

p · α · z = (0, …, 0, \underbrace{Prod_{0}(α_{0}, λ_{m})}_{position Y_{m+1}}, \underbrace{Prod_{1}(α_{0}, α_{1}, λ_{m}, λ_{m+1} )}_{position Y_{m+2}}, …)

où Prod_{j}(α_{0}, …, α_{j}, λ_{m}, …, λ_{j+m} ) est le spécialisé du j-ième polynôme universel de Witt pour le produit en (α_{0}, …, α_{j} , λ_{m}, …, λ_{j+m} ). En particulier pour j ≥ m + 1 on trouve en position Y_{j} un élément de F_{p}[α_{0}, …, α_{j−m−1} , λ_{m}, …, λ_{j−1} ]. Le résultat suit donc du lemme 7.1, en remarquant que (cf. l’appendice A.1 dans [Mor12])

Prod_{j}(X_{0}, …, X_{j}, Y_{0}, …, Y_{j}) = Y_{j}( ∑_{i=0}^{j} p^{i}X_{i}^{p^{j−i}} ) + Q_{0}(X_{0}, …, X_{j}, Y_{0}, …, Y_{j−1} )

pour un élément Q_{0}(X_{0}, …, X_{j} , Y_{0}, …, Y_{j−1} ) ∈ Z[X_{0}, …, X_{j} , Y_{0}, …, Y_{j−1} ], ce qui montre que la spécialisation Prod_{j}(α_{0}, …, α_{j}, λ_{m}, …, λ_{j+m} ) est un polynôme de degré 1 < p − 1 en λ_{j+m} et coefficient dominant α_{0}.

Corollaire 7.4. Supposons p ≥ 3. Soit n ≥ m ≥ 1, z = ∑ _{j=m}^{n} p^{j} [λ_{j}] ∈ Z_{p} et μ ∈ F_{p}^{×} . Alors

∑_{j=0}^{⌊ \frac{n+1}{m} ⌋}z^{j+1} (−1)^{j} [μ^{j}] ≡ ∑_{j=m}^{n} p^{j} [λ_{j} + Ũ_{j}] modulo p^{n+1}

où

i) Ũ_{j} = 0 pour j = m, …, 2m − 1 ;
ii) Ũ_{2m} = −μλ_{m}^{2} ;

iii) pour j ≥ 2m + 1, Ũ_{j} ∈ F_{p}[λ_{m}, …, λ_{j−1} , μ] est un polynôme de degré

p − 1 en λ_{j−1} et coefficient dominant −Ũ_{j−1} .

Démonstration. On a (−1)^{j} [μ^{j}] = [(−μ)^{j}] pour tout j ≥ m. Écrivons

∑_{j=0}^{⌊ \frac{n+1}{m} ⌋}z^{j+1} (−1)^{j} [μ^{j}] ≡ z + \underbrace{∑_{j=2}^{⌊ \frac{n+1}{m} ⌋+1} z^{j} [(−μ)^{j−1} ].}_{=^{def} _{z}}

Si z = (0, …, 0, λ_{m}, …, λ_{n}, 0, …) ∈ W (F_{p}) deduit

z^{j} = (0, …, 0, \underbrace{Pot_{0}^{j}(λ_{m})}_{position Y_{jm}}, …, \underbrace{Pot_{k−jm}^{j} (λ_{m}, …, λ_{k−jm+m} )}_{position Y_{k}}, …

…, \underbrace{Pot_{n−jm}^{j} (λ_{m}, …, λ_{n−jm+m} )}_{position Y_{n}}, …)

où Pot_{k}^{j} est le k-ième polynôme de Witt pour la puissance j-ième. Considérons :

(0, …, 0, \overbrace{Pot_{0}^{2}(λ_{m})}^{position Y_{2m}}, \overbrace{Pot_{1}^{2}(λ_{m}, λ_{m+1} )}^{position Y_{2m+1}}, …, \overbrace{Pot_{m}^{2}(λ_{m}, …, λ_{2m})}^{position Y_{3m}}, …, \overbrace{Pot_{(j−2)m}^{2} (λ_{m}, …, λ_{(j−1)m} )}^{position Y_{jm}}, …)
(0, …, 0,  0,  …,  0,  Pot_{0}^{3}(λ_{m}),  …, Pot_{(j−3)m}^{3} (λ_{m}, …, λ_{(j−2)m} ), …)
⋮ ... ⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
(0, …, 0,  0,  …,  0,  0,  …,  Pot_{0}^{j}(λ_{m}),  …)

(c’est une famille d’éléments de W (F_{p})). Rappelons (cf. l’appendice A.1 de [Mor12]) que le n-ième polynôme universel de Witt pour la puissance carrée est de la forme

Pot_{n}^{2} (X_{0}, …, X_{n}) =

= \frac{1}{p^{n}} ( ( ∑_{j=0}^{n} X_{j}^{p^{n−j}} p^{j} )^{2} − ∑_{j=0}^{n−1} p^{n−1−j} (Pot_{n−1−j}^{2} (X_{0}, …, X_{n−1−j} ))^{p^{j+1}} )

ce qui donne

Pot_{n}^{2}(X_{0}, …, X_{n}) = p^{n}X_{n}^{2} + 2X_{n}Q_{1}(X_{0}, …, X_{n−1} ) + Q_{2}(X_{0}, …, X_{n−1} )

pour des polinômes Q_{1}(X_{0}, …, X_{n−1} ), Q_{2}(X_{0}, …, X_{n−1} ) ∈ Z[X_{0}, …, X_{n−1} ]. On déduit que la spécialisation de Pot_{k−2m}^{2} (X_{0}, …, X_{k−2m} ) est de la forme Pot_{k−2m}^{2} (λ_{m}, …, λ_{k−m} ) ∈ F_{p}[λ_{m}, …, λ_{k−m−1} ][λ_{k−m} ], qui est un polynôme de degré au plus 1 en λ_{k−m} lorsque k > 2m. De plus, au dessous de Pot_{k−2m}^{2} (λ_{m}, …, λ_{k−m} ) on retrouve les éléments Pot_{k−jm}^{j} (λ_{m}, …, λ_{k−jm+m} ) ∈ F_{p}[λ_{m}, …, λ_{k−m−1} ] (pour j ≥ 3), de telle sorte que

z̃ = (0, …, 0, P_{2m} (λ_{m}), P_{2m+1} (λ_{m}, λ_{m+1} ), …, \underbrace{P_{k}(λ_{m}, …, λ_{k−m} )}_{position Y_{k}}, …)

où P_{k}(λ_{m}, …, λ_{k−m} ) ∈ F_{p}[λ_{m}, …, λ_{k−m} , μ] est un polynôme de degré au plus 1 en λ_{k−m} lorsque k > 2m. Ceci, en vue du lemme 7.1, permet de conclure.

7.2 Manipulation a l’interieur de A_{r,λ}

On reprends ici les notations et conventions du §4.3 et du §5. En particulier, on fixe n ≥ 1, p ≥ 3 et 0 ≤ r ≤ p − 3 − r. L’objectif de cette section est d’utiliser les informations sur les polynômes de Witt détérminées au §7.1 afin de contrôler l’action de B(Z_{p}) sur l’élément e_{n+1} ∈ ℬ_{n+1}^{(n+1)} défini au §4.3.

Lemme 7.5. Soit μ ∈ F_{p}^{×} . Si p ≥ 5 on a l’égalité suivante dans ℬ_{n+1} :

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} ≡

≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} ( μF_{r+2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)} − \frac{1}{2}μ^{2}δ_{n≠1} F_{⌈r+4⌉,p−2,p−1... ,p−1}^{(1,n)} )

modulo V_{n+1} , où l’on a défini V_{n+1} comme le sous k[K_{0}(p^{n+1} )]-module suivant de π(r, λ, ω) :

V_{n+1} =^{def} ⟨F_{≤(r+2,p−1,...,p−1)−p}^{(1,n)} ⟩⊕ ⟨[1, x^{r}]⟩_{\overline{F}_{p}}
= 𝔪^{(p−3−r)+p} M_{n+1}^{−} ⊕ (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} .

Sur les Atomes Automorphes de Longueur 2 de GL_{2}(Q_{p}) 819 Si p ≥ 3 on a

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} ≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} μF_{r+2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} modV_{∅}

où, cette fois,

V_{∅} =^{def} ⟨F_{≤(r+2,p−1,...,p−1)−(p−2)}^{(1,n)}  ⟩⊕ ⟨[1, x^{r}]⟩_{\overline{F}_{p}}
= 𝔪^{(p−3−r)+(p−2)} M_{n+1}^{−} ⊕ (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} .

Démonstration. On commence par remarquer que

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) e_{n+1} = 0,  ( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) F_{r+1}^{(n+1)} (0) = 0

de telle sorte qu’on est intéressé à l’étude des éléments F_{r,0,...,0}^{(m,n)} (1) pour 1 ≤ m ≤ n. Notons également que si m ∈ {3, …, n} on a

F_{l′_{m} ,...,l′_{n}}^{(m,n)} ∈ V_{n+1} si(l′_{m}, …, l′_{n}) ≠ (p − 1, …, p − 1) (25)

et que F_{l′_{2},...,l′_{n}}^{(2,n)} ∈ V_{n+1} si (l′_{2}, …, l′_{n}) ≺ (p − 2, p − 1, …, p − 1). Supposons désormais que n ≥ 2. On a

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) F_{r,0,... ,0}^{(m,n)} (1) =

= ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m} [λ_{m} ] & 1 \end{matrix} ] ( ∑_{j=m+1}^{n−1} ∑_{λ_{j} ∈F_{p}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{j} [λ_{j} + _{U_{j}}] & 1 \end{matrix} ] ·

· ∑_{λ_{n} ∈F_{p}} _{U_{n+1}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{n} [λ_{n} + _{U_{n}}] & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ p^{n+1} & 0 \end{matrix} ] [1, x^{r}])

où les polynômes Ũ_{j}, pour j = m + 1, …, n + 1, sont ceux définis dans l’énoncé du corollaire 7.4. Grâce au corollaire 7.4 et la remarque (25) on déduit :

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) F_{r,0,... ,0}^{(m,n)} (1) ≡

≡ (−1)^{n−2m} ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m} [λ_{m} ] & 1 \end{matrix} ] …

… ∑_{λ_{2m} ∈F_{p}} _{U_{2m+1}} (λ_{2m} ) [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{2m} [λ_{2m} + _{U_{2m}} ] & 1 \end{matrix} ] F_{p−1,... ,p−1}^{(2m+1,n)}

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

820 Stefano Morra modulo V_{n+1} . Si m ≥ 2 la remarque (25) nous permet d’écrire

(−1)^{n−2m} ∑_{λ_{m} ∈F_{p}} λ_{m}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{m} [λ_{m} ] & 1 \end{matrix} ] …

… ∑_{λ_{2m} ∈F_{p}} _{U_{2m+1}} (λ_{2m} ) [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{2m} [λ_{2m} + _{U_{2m}} ] & 1 \end{matrix} ] F_{p−1,... ,p−1}^{(2m+1,n)} ≡

≡ (−1)^{n−2(m−1)} F_{r+2,0,...,0,p−1,...,p−1}^{(m,n)} ≡ 0. Pour le cas m = 1 il faut s’intéresser au polynôme Ũ_{3}. Cela est déterminé par la condition

(p[λ_{1}] + p^{2}[λ_{2}] + p^{3}[λ_{3}]) + [−μ](p[λ_{1}] + p^{2}[λ_{2}])^{2} + p^{3}[λ_{3}][μ^{2}] ≡

≡ p[λ_{1}] + p^{2}[−λ_{1}^{2}μ + λ_{2}] + p^{3}[λ_{3} + Ũ_{3}] modulo p^{4}

et, en rappelant la loi de la somme dans Z_{p}, on trouve

Ũ_{3}(λ_{2}) ≡ − ∑_{s=1}^{p−1} \frac{\binom{p}{s}}{p}λ_{2}^{p−s} (−μλ_{1}^{2})^{s} − 2μλ_{2}λ_{1} + λ_{1}^{3}μ^{2}
= (λ_{2}^{p−1} (μλ_{1}^{2}) − \frac{p(p − 1)}{2p} λ_{2}^{p−2} μ^{2}λ_{1}^{4}) + ∗

où, pour p ≥ 5, l’élément ∗ ∈ F_{p}[λ_{2}] est un polynôme en λ_{2} de degré au plus p − 3 (notons que pour p = 3, on aurait ∗ = −2μλ_{2}^{p−2} λ_{1} + λ_{1}^{3}μ^{2}). Encore une fois, d’après (25) on a

( [ \begin{matrix}1 & [μ] \\ 0 & 1 \end{matrix} ] − 1) F_{r,0,... ,0}^{(1,n)} (1) ≡

≡ (−1)^{n−2} ∑_{λ_{1} ∈F_{p}} λ_{1}^{r} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p[λ_{1}] & 1 \end{matrix} ] ∑_{λ_{2} ∈F_{p}} _{U_{3}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ p^{2}[λ_{2} − λ_{1}^{2}μ] & 1 \end{matrix} ] F_{p−1,... ,p−1}^{(3,n)} ≡

≡ (−1)^{n}( μF_{r+2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)} (0) − \frac{1}{2}μ^{2}F_{⌈r+4⌉,p−2,... ,p−1}^{(1,n)} ) .

Le cas n = 1 est aisément démontré de manière directe (avec des manipulation élémentaires). Lemme 7.6. Soit α ∈ Z_{p} et p ≥ 3. On a l’égalité suivante dans ℬ_{n+1} :

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 + pα \end{matrix} ] − 1) ẽ_{n+1} ≡ (−1)^{n+r} \overline{α}(r + 1)λ^{−2n} F_{r+1,p−1,...,p−1}^{(1,n)}

modulo V_{n+1} . Démonstration. C’est analogue à la preuve du lemme précédent et est laissée au lecteur.

Documenta Mathematica 22 (2017) 777–823

Proposition 7.7. Soit n ≥ 1 et considérons l’extension

0 → π(r, λ, ω) → ℬ_{n+1} → χ_{r+2} → 0.

Soit g =^{def} [ \begin{matrix}1 + pa & b \\ p^{n+1} c & 1 + pd \end{matrix} ] ∈ K_{0}(p^{n+1} ).

Pour p ≥ 5 on a l’égalité suivante modulo V_{n+1}

(g − 1)_{e_{n+1}} ≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} ( \overline{b}F_{r+2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)} + (\overline{a − d} )F_{r+1,p−1,... ,p−1}^{(1,n)} −

−(\overline{a − d} )δ_{n≠1} F_{⌈r+3⌉,p−2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)}  − \frac{1}{2} \overline{b}^{2}δ_{n≠1} F_{⌈r+4⌉,p−2,p−1,... ,p−1}^{(1,n)}  ) .

Pour p ≥ 3, et si r > 0 on peut écrire de manière plus expressive en termes d’algèbres d’Iwasawa :

(g − 1)_{e_{n+1}} ≡

≡ (−1)^{n+r+1} (r + 1)λ^{−2n} ( \overline{b}κ_{\underline{p−1} −(p−3−r)}^{(n)} X^{p−3−r} + (\overline{a − d} )κ_{\underline{p−1} −(p−2−r)}^{(n)} X^{p−2−r} )

modulo (σ_{r} ⊗ det)^{K_{1} (p)} ⊕ (X^{(p−3−r)+(p−2)} )M_{n+1}^{−} .

Démonstration. C’est une conséquence immédiate des Lemmes 5.1, 7.5, 7.6 et de la décomposition d’Iwahori de K_{0}(p^{n+1} ). Remarquons seulement que \overline{U}(p^{n+1} ) agit de manière triviale sur F_{l_{1} ,...,l_{n}}^{(1,n)} , pour toute uplet (l_{1}, …, l_{n}) et que, pour n ≥ 2,

( [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 + pα \end{matrix} ] − 1) · F_{r+2,p−1,...,p−1}^{(1,n)} ≡ αF_{⌈r+3⌉,p−2,...,p−1}^{(1,n)}

(c’est une manipulation simple en utilisant (25) et le Corollaire 7.3, qu’on laisse au lecteur).

Rfrences

[AD14] Kostantin Ardakov and Ken Brown. Ring-theoretic properties of Iwasawa algebras : a survey. Doc. Math. , Extra Vol. :7–33, 2006.

[BD14] Christophe Breuil and Fred Diamond. Formes modulaires de Hilbert modulo p et valeurs d’extensions entre caractères galoisiens. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 47(5) :905–974, 2014.

[BDJ10] Kevin Buzzard, Fred Diamond, and Frazer Jarvis. On Serre’s conjecture for mod ℓ Galois representations over totally real fields. Duke Math. J., 155(1) :105–161, 2010.

[Ber11] Laurent Berger. La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL_{2}(Q_{p}). Astérisque, (339) :Exp. No. 1017, viii, 157–180, 2011. Séminaire Bourbaki. Vol. 2009/2010. Exposés 1012–1026.

[BH15] Christophe Breuil and Florian Herzig. Ordinary representations of G(ℚ_{p}) and fundamental algebraic representations. Duke Math. J., 164(7) :1271–1352, 2015.

[BL94] L. Barthel and R. Livné. Irreducible modular representations of GL_{2} of a local field. Duke Math. J., 75(2) :261–292, 1994.

[Bou07] N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitre 9. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Reprint of the 1959 original.

[BP13] C. Breuil and V. Paskunas. Towards a modulo p Langlands correspondence for GL_{2}, volume 2016. Memoirs of Amer. Math. Soc., 2013.

[Bre03a] C. Breuil. Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de GL_{2}(Q_{p}). I. Compositio Math., 138(2) :165–188, 2003.

[Bre03b] C. Breuil. Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de GL_{2}(Q_{p}). II. J. Inst. Math. Jussieu, 1(2) :23–58, 2003.

[Bre08] Christophe Breuil. Introduction générale. Astérisque, (319) :1–12, 2008.

[Bre12] C. Breuil. Correspondance de langlands p-adique, compatibilité localglobal et applications. Astérisque, 348 :119–147, 2012.

[Col10] P. Colmez. Représentations de GL_{2}(Q_{p}) et (ϕ, Γ)-modules. Astérisque, (330) :281–509, 2010.

[Dos12] G. Dospinescu. Actions infinitésimales dans la correspondance de Langlands locale p-adique. Math. Ann., 354(2) :627–657, 2012.

[EH14] Matthew Emerton and David Helm. The local Langlands correspondence for GL_{n} in families. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 47(4) :655– 722, 2014.

[Eme] M.  Emerton.  Local-global  compatibility  in
the  p-adic  langlands  programm  for  GL_{2/Q} .

http://www.math.uchicago.edu/~emerton/pdffiles/lg.pdf.

preprint, 2011.

[Hel13] David Helm. On the modified mod p local Langlands correspondence for GL_{2}(ℚ_{ℓ}). Math. Res. Lett., 20(3) :489–500, 2013.

[Her09] Florian Herzig. The weight in a Serre-type conjecture for tame ndimensional Galois representations. Duke Math. J., 149(1) :37–116, 2009.

[Her11a] F. Herzig. The classification of irreducible admissible mod p representations of a p-adic GL_{n}. Invent. Math., 186(2) :373–434, 2011.

[Her11b] F. Herzig. A Satake isomorphism in characteristic p. Compos. Math., 147(1) :263–283, 2011.

[Jen72] C. U. Jensen. Les foncteurs dérivés de \underleftarrow{lim} et leurs applications en théorie des modules. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 254. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

[KS06] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves, volume 332 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[Laz65] Michel Lazard. Groupes analytiques p-adiques. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (26) :389–603, 1965.

[Mor] Stefano Morra. Iwasawa modules and p-modular representations of GL_{2}. Israel Journal of Mathematics. to appear.

[Mor11] Stefano Morra. Explicit description of irreducible GL_{2}(Q_{p})-represen-tations over \overline{F}_{p}. J. of Algebra, 339 :252–303, 2011.

[Mor12] Stefano Morra. On some representations of the iwahori subgroup. J. of Number Theory, 132 :1074–1150, 2012.

[Mor13] Stefano Morra. Invariant elements for p-modular representations of GL_{2}(Q_{p}). Trans. Amer. Math. Soc., 365(12) :6625–6667, 2013.

[Nad] Santosh Nadimpalli. Typical representations for GL_{n}(F). Ph.D thesis at the Université de Paris Sud (Orsay).

[Oll15] Rachel Ollivier. An inverse Satake isomorphism in characteristic p. Selecta Math. (N.S.), 21(3) :727–761, 2015.

[Paš10] Vytautas Paškūnas. Extensions for supersingular representations of

GL_{2}(ℚ_{p}). Astérisque, (331) :317–353, 2010.

[Sch08] Michael Schein. Weights in Serre’s conjecture for Hilbert modular forms : the ramified case. Israel J. Math., 166 :369–391, 2008.

[Sch15] Benjamin Schraen. Sur la présentation des représentations supersingulières de GL_{2}(F). J. Reine Angew. Math., 704 :187–208, 2015.

[Ser68] Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. Deuxième édition, Publications de l’Université de Nancago, No. VIII.

[Ser87] Jean-Pierre Serre. Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(\overline{Q}/Q). Duke Math. J., 54(1) :179–230, 1987.

[Vig96] Marie-France Vignéras. Représentations l-modulaires d’un groupe réductif p-adique avec l ≠ p, volume 137 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996.

Stefano Morra

Laboratoire Montpéllierain “A. Grothendieck” Université de Montpellier place E. Bataillon, Cc 051 34095 Montpellier cedex 5 France stefano.morra@umontpellier.fr 824

Documenta Mathematica 22 (2017)