Cohomologie des foncteurs polynomiaux

sur les groupes libres

Aurélien Djament, Teimuraz Pirashvili^{1} et Christine Vespa^{2}

Received: August 28, 2015 Revised: December 08, 2015

Communicated by Stefan Schwede

Resumé. We show that extension groups between two polynomial functors on free groups are the same in the category of all functors and in a subcategory of polynomial functors of bounded degree. The proof relies on functorial properties of the group ring of free groups and its filtration by powers of the augmentation ideal. We give some applications, in particular in term of homological dimension.

Résumé. On montre que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans une sous-catégorie de foncteurs polynomiaux de degré borné. La démonstration repose sur les propriétés fonctorielles de l’anneau de groupe des groupes libres et de sa filtration par les puissances de l’idéal d’augmentation. On donne quelques applications, notamment en termes de dimension homologique.

2010 Mathematics Subject Classification: 18A25, 18G15, 20J15 (18E15, 18G10) Keywords and Phrases: catégories de foncteurs ; groupes libres ; foncteurs polynomiaux ; groupes d’extensions.

1. Cet auteur est partiellement soutenu par la bourse ST08/3-387 de la GNSF.

2. Cet auteur est partiellement soutenu par le projet ANR-11-BS01-0002 HOGT : Homotopie, Opérades et Groupes de Grothendieck-Teichmüller.

Documenta Mathematica 21 (2016) 205–222

206 Aurélien Djament, Teimuraz Pirashvili et Christine Vespa

Introduction

Ce travail est une contribution à l’étude des groupes d’extensions dans la catégorie des foncteurs des groupes libres (de rang fini) vers les groupes abéliens. Cette catégorie a d’abord été considérée, du point de vue cohomologique, dans l’article de Jibladze et du deuxième auteur [9] (§ 5A) sur la cohomologie des théories algébriques. Les premier et troisième auteurs l’ont également utilisée, dans [4], pour établir des résultats d’annulation d’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Récemment, le premier auteur a montré [2] que l’algèbre homologique dans cette catégorie de foncteurs gouverne le calcul d’autres groupes d’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Cette algèbre homologique s’avère plus facile d’accès que dans les catégories de foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini, très étudiées en raison de leurs liens avec la topologie algébrique ou la K-théorie algébrique (cf. par exemple [6]), notamment parce que le foncteur d’abélianisation possède une résolution projective explicite simple (déjà utilisée dans [9]). L’article [4] se sert également de façon cruciale de la structure des sous-catégories de foncteurs polynomiaux dans cette catégorie de foncteurs. Dans le présent travail, on montre que les groupes d’extensions entre deux foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs ou dans une sous-catégorie de foncteurs polynomiaux de degré donné. Un résultat similaire vaut pour les foncteurs sur la catégorie Γ des ensembles finis pointés, comme cela résulte du théorème de type Dold-Kan établi par le deuxième auteur dans [14]. En revanche, notre résultat contraste avec la situation, plus délicate, des foncteurs sur une catégorie additive (voir [13] et [3]). Nous donnons également quelques applications.

Description des résultats Commençons par quelques notations générales. Soit k un anneau, on note k-Mod la catégorie des k-modules à gauche. Si C est une petite catégorie, on note F(C; k) la catégorie des foncteurs de C vers k-Mod (on notera simplement F(C) pour F(C; ℤ)). Si la catégorie C possède un objet nul et des coproduits finis, on dispose d’une notion d’effets croisés et de foncteurs polynomiaux dans F(C; k) (voir la section 1 ci-après pour davantage de détails). L’origine de ces notions remonte à Eilenberg-MacLane ([5], Chapter II), lorsque C est une catégorie de modules, et se généralise sans difficulté au cas qu’on vient de mentionner (voir [8], § 2). Pour tout entier d, on note F_{d}(C; k) la sous-catégorie pleine de F(C; k) des foncteurs polynomiaux de degré au plus d. On note gr la catégorie des groupes libres de rang fini, ou plus exactement le squelette constitué des groupes ℤ^{∗n} (l’étoile désignant le produit libre). Comme signalé plus haut, notre résultat principal est le suivant :

Théorème 1. Soient k un anneau, d ∈ ℕ et F, G des objets de F_{d}(gr; k).

L’application linéaire graduée naturelle

Ext_{F_{d}(gr;k)}^{∗}(F, G) → Ext_{F(gr;k)}^{∗}(F, G)

qu’induit le foncteur d’inclusion F_{d}(gr; k) → F(gr; k) est un isomorphisme.

Pour des catégories sources autres que gr, l’énoncé similaire au théorème précédent n’est généralement pas vrai. Ainsi, rappelons quelques phénomènes connus sur une petite catégorie additive C. Si l’anneau k contient le corps ℚ des nombres rationnels, le foncteur d’inclusion F_{d}(C; k) → F(C; k) induit des isomorphismes entre groupes d’extensions. Ce résultat, qui fait partie du folklore, figure dans [3] (théorème 1.2). En général, même sous de bonnes hypothèses sur la catégorie additive C, le morphisme canonique Ext_{F_{d}(C)}^{i}(F, G) → Ext_{F(C)}^{i}(F, G) est un isomorphisme seulement lorsque d est assez grand par rapport à i et au degré polynomial de F (ou de G). On renvoie à la remarque 3.12 pour une discussion plus développée à ce sujet. La démonstration du théorème 1 est donnée à la section 3. Elle repose sur :

— une propriété d’annulation cohomologique très inspirée d’une propriété analogue dans les catégories de foncteurs sur une catégorie additive due au deuxième auteur (voir [11]) ;

— les propriétés de la filtration de l’anneau d’un produit direct de groupes libres par les puissances de son idéal d’augmentation, qui sont rappelées dans la section 2.

La dernière section est consacrée aux applications. Tout d’abord, on détermine la dimension homologique dans les catégories F_{d}(gr) de foncteurs fondamentaux : les puissances tensorielles de l’abélianisation (proposition 4.1) et les foncteurs de Passi (corollaire 4.3). Pour les premiers, on obtient :

Proposition 1. Soient d ≥ n > 0 des entiers. Le foncteur 𝔞^{⊗n} est de dimension homologique d − n dans la catégorie F_{d}(gr).

La finitude de ces dimensions constitue un phénomène rare dans les catégories de foncteurs polynomiaux et illustre la spécificité de F_{d}(gr). On montre aussi le résultat suivant (proposition 4.6) :

Proposition 2. Soient d > 0 un entier et k un sous-anneau de ℚ dans lequel d! est inversible. La catégorie F_{d}(gr; k) est de dimension globale d − 1.

Dans la proposition 4.4, on considère le foncteur β_{d} adjoint à droite au foncteur F_{d}(gr) → ℤ[𝔖_{d}]-Mod F ↦ cr_{d}(F)(ℤ, …, ℤ). On montre que ce foncteur, apparemment mystérieux (et en tout cas non explicite), mentionné dans [4], est exact, et induit donc des isomorphismes entre groupes d’extensions. Plus explicitement, nous obtenons :

Proposition 3. Pour tout d ∈ ℕ, le foncteur β_{d} : ℤ[𝔖_{d}]-Mod → F_{d}(gr) est exact. Il induit des isomorphismes naturels

Ext_{F(gr)}^{∗}(β_{d}(M), β_{d}(N)) ≃ Ext_{F_{d}(gr)}^{∗}(β_{d}(M), β_{d}(N)) ≃ Ext_{ℤ[𝔖_{d}]}^{∗}(M, N).

Là encore, il s’agit d’un phénomène notable dans les catégories de foncteurs polynomiaux, dont les liens avec les représentations des groupes symétriques sont bien compris pour ce qui concerne la classification des objets simples, par exemple, mais généralement mystérieux du point de vue cohomologique (notamment dans le cas d’une catégorie source additive, comme les groupes abéliens libres de rang fini).

Remerciements Les deux derniers auteurs souhaitent remercier les organisateurs du semestre intitulé Grothendieck-Teichmuller Groups, Deformation and Operads qui a eu lieu à l’Institut Isaac Newton de Cambridge en 2013 et pendant lequel ce travail à débuté ainsi que l’Institut pour son hospitalité et les excellentes conditions de travail qui y sont proposées. Le second auteur est reconnaissant envers l’université de Leicester pour lui avoir accordé un congé pour recherche.

1 Rappels sur les foncteurs polynomiaux

Soient k un anneau et C une petite catégorie. La catégorie F(C; k) est une catégorie abélienne qui hérite des propriétés de régularité de la catégorie but k-Mod ; en effet, les suites exactes, sommes, produits, etc. se testent au but. Si k est commutatif, on dispose d’une structure monoïdale symétrique notée ⊗ sur F(C; k) qui est le produit tensoriel sur k au but. La catégorie F(C; k) possède suffisamment d’objets projectifs : en effet, le lemme de Yoneda montre que le foncteur

P_{c}^{C} := k[C(c, −)]

(où c est un objet de C; k[−] désigne le foncteur de linéarisation des ensembles vers k-Mod) représente l’évaluation en c, il est donc projectif (et de type fini), et les foncteurs P_{c}^{C} engendrent la catégorie F(C; k). Si la catégorie C possède un objet nul 0 et des coproduits finis (notés ici +), on dispose dans F(C; k) d’une notion d’effets croisés et de foncteurs polynomiaux dans F(C; k) (ce cadre est exactement celui de [8], § 2.3) ; rappelons-en la définition. Si F est un foncteur de F(C; k), son n-ème effet croisé (cross-effect en anglais), où n ∈ ℕ, est le foncteur cr_{n}(F) ∈ F(C^{n}; k) défini par

cr_{n}(F)(c_{1}, …, c_{n}) = Ker(F (c_{1} + ⋯ + c_{n}) → ⨁_{i=1}^{n} F (c_{1} + ⋯ + ĉ_{i} + ⋯ + c_{n}))

(le chapeau signifie que le terme correspondant doit être omis ; les applications sont induites par les morphismes canoniques c_{1}+⋯+c_{n} → c_{1}+⋯+ĉ_{i}+⋯+c_{n} de C provenant de ce que cette catégorie possède des coproduits finis et un objet nul). Cet effet croisé définit un foncteur exact cr_{n} : F(C; k) → F(C^{n}; k). L’exactitude peut se voir à partir des décompositions naturelles

F (c_{1} + ⋯ + c_{n}) ≃ ⨁_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} cr_{k}(F)(c_{i_{1}}, …, c_{i_{k}})

(cf. [8], proposition 2.4, par exemple). Une manière d’établir cette décomposition consiste à vérifier que cr_{n}(F)(c_{1}, …, c_{n}) est le facteur direct de F (c_{1} + ⋯ + c_{n}) correspondant à l’idempotent ∑_{I⊂{1,...,n}}(−1)^{Card(I)}F (e_{I}), où

e_{I} est l’idempotent de c_{1} + ⋯ + c_{n} donné par la projection sur les facteurs appartenant à I. On dispose d’un isomorphisme canonique

cr_{n}(F)(c_{σ(1)}, …, c_{σ(n)}) ≃ cr_{n}(F)(c_{1}, …, c_{n})

pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{n}; en particulier, le groupe symétrique 𝔖_{n} opère naturellement sur cr_{n}(F)(c, …, c). Comme C possède un objet nul, tout foncteur F de F(C; k) se scinde de manière unique (à isomorphisme près) et naturelle en la somme directe d’un foncteur constant et d’un foncteur réduit, c’est-à-dire nul sur l’objet nul ; on note F̄ ce foncteur réduit. Par ailleurs, comme C possède des coproduits finis, on dispose d’isomorphismes canoniques P_{c}^{C} ⊗ P_{d}^{C} ≃ P_{c+d}^{C}, lorsque k est commutatif. On vérifie classiquement que l’on dispose d’isomorphismes canoniques

Hom_{F(C;k)}(P̄_{c_{1}}^{C} ⊗ ⋯ ⊗ P̄_{c_{n}}^{C}, F) ≃ cr_{n}(F)(c_{1}, …, c_{n}).

Un foncteur F de F(C; k) est dit polynomial de degré au plus n si cr_{n+1}(F) = 0. Cette condition implique l’annulation de cr_{i}(F) pour tout entier i > n. On note F_{n}(C; k) la sous-catégorie pleine de F(C; k) constituée des foncteurs polynomiaux de degré au plus n. C’est une sous-catégorie épaisse de F(C; k) stable par limites et colimites. Le produit tensoriel de deux foncteurs polynomiaux est polynomial (on suppose ici k commutatif), avec pour degré la somme des degrés des foncteurs initiaux. Le lecteur pourra trouver davantage de détails et de propriétés des foncteurs polynomiaux dans [8], § 2. Venons-en au cas particulier de la catégorie source gr, qui possède un objet nul et des coproduits finis (donnés par le produit libre ∗). Pour alléger, on notera P_{n}^{gr} pour P_{ℤ^{∗n}}^{gr}. On dispose d’isomorphismes canoniques P_{i}^{gr} ⊗ P_{j}^{gr} ≃ P_{i+j}^{gr} et P_{n}^{gr}(G) ≃ k[G^{n}]. On notera simplement P̄ = P̄_{1}^{gr} la partie réduite de P_{1}^{gr}. Ainsi, P̄(G) n’est autre que l’idéal d’augmentation de la k-algèbre k[G] du groupe libre G. Pour tous d ∈ ℕ et F ∈ Ob F(gr; k), on dispose d’un isomorphisme naturel

Hom_{F(gr;k)}(P̄^{⊗n}, F) ≃ cr_{n}(F)(ℤ, …, ℤ).

2 Préliminaires sur les puissances de l’idéal d’augmentation d’un anneau de groupe

Nous donnons dans cette section plusieurs résultats concernant les puissances d’un idéal d’augmentation qui nous seront utiles dans la suite. La plupart de ces propriétés sont classiques. Une référence générale est [10]. Pour tout groupe G, on note I(G) l’idéal d’augmentation de l’anneau de groupe ℤ[G] ; pour tout n ∈ ℕ, on note I^{n}(G) la n-ème puissance de cet idéal. Pour tout n ∈ ℕ, I^{n} définit un foncteur de la catégorie Grp des groupes vers la catégorie Ab. On dispose ainsi d’un anneau gradué gr(ℤ[G]) := ⨁_{n∈ℕ}(I^{n}/I^{n+1})(G) natu-

rel en G. En degré 1, on dispose d’un isomorphisme naturel (I/I^{2})(G) ≃ G_{ab} (abélianisation de G). En particulier, le produit induit des morphismes naturels G_{ab}^{⊗n} → (I^{n}/I^{n+1})(G), qui sont toujours des épimorphismes (et sont des isomorphismes si G est libre — cf. remarque 2.2 infra).

Lemme 2.1. Si G est un groupe libre, pour tous entiers naturels r et i, on dispose d’un isomorphisme naturel

H_{i}(G; I^{r}(G)) ≃ \{ \begin{matrix}(I^{r}/I^{r+1})(G) & si i = 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Démonstration. On procède par récurrence sur r. L’assertion est triviale pour r = 0, on suppose donc r > 0 et le résultat établi pour r − 1. Dans la suite exacte de ℤ[G]-modules à gauche

0 → I^{r}(G) → I^{r−1}(G) → (I^{r−1}/I^{r})(G) → 0,

l’action de G est triviale sur (I^{r−1}/I^{r})(G), car la flèche de droite s’identifie à la projection de I^{r−1}(G) sur ses coïnvariants sous l’action de G — ce qui prouve déjà le résultat en degré homologique 0. Comme l’homologie de G est sans torsion sur ℤ et concentrée en degré 0 et 1, puisque G est libre, on en déduit que H_{i}(G; (I^{r−1}/I^{r})(G)) est nul pour i > 1, isomorphe à G_{ab} ⊗ (I^{r−1}/I^{r})(G) pour i = 1 et à (I^{r−1}/I^{r})(G) pour i = 0. La suite exacte longue d’homologie associée à la suite exacte courte précédente fournit donc le résultat d’annulation souhaité en degré homologique strictement positif.

Remarque 2.2. Cette démonstration permet aussi de voir, en regardant la fin de ladite suite exacte longue, que le morphisme de liaison

G_{ab} ⊗ (I^{r−1}/I^{r})(G) ≃ H_{1}(G; (I^{r−1}/I^{r})(G)) → H_{0}(G; I^{r}(G)) ≃ (I^{r}/I^{r+1})(G)

est un isomorphisme. Comme ce morphisme s’identifie au produit

(I/I^{2})(G) ⊗ (I^{r−1}/I^{r})(G) → (I^{r}/I^{r+1})(G),

cela fournit une démonstration de la propriété importante et classique (qui remonte à Magnus ; voir par exemple [10], chapitre VIII, Theorem 6.2) que l’anneau gradué gr(ℤ[G]) est naturellement isomorphe à l’algèbre tensorielle sur G_{ab} (pour G libre).

Lemme 2.3. Soient G un groupe libre, r et i des entiers naturels. On dispose d’un isomorphisme naturel

Tor_{i}^{ℤ[G]}(I(G), I^{r}(G)) ≃ \{ \begin{matrix}I^{r+1}(G) & si i = 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Démonstration. Utilisant la suite exacte longue d’homologie associée à la suite exacte courte de ℤ[G]-modules à droite 0 → I(G) → ℤ[G] → ℤ → 0, on voit que Tor_{i}^{ℤ[G]}(I(G), I^{r}(G)) est isomorphe à H_{i+1}(G; I^{r}(G)) lorsque i > 0, et l’on obtient une suite exacte

0 → H_{1}(G; I^{r}(G)) → Tor_{0}^{ℤ[G]}(I(G), I^{r}(G)) → I^{r}(G) → H_{0}(G; I^{r}(G)) → 0,

de sorte que le lemme 2.1 permet de conclure.

Proposition 2.4. Pour tout r ∈ ℕ, la résolution barre fournit un complexe de chaînes de foncteurs Grp → Ab du type

⋯ → I^{⊗(n+1)} ⊗ I^{r} → I^{⊗n} ⊗ I^{r} → ⋯ → I^{⊗2} ⊗ I^{r} → I ⊗ I^{r}

dont la restriction aux groupes libres a une homologie isomorphe à I^{r+1} en degré 0 et nulle en degré strictement positif.

Démonstration. D’une manière générale, si A est un anneau augmenté, d’idéal d’augmentation Ā, M un A-module à droite et N un A-module à gauche, on dispose d’un complexe de chaînes de groupes abéliens fonctoriel en A, M et N

⋯ → M ⊗ Ā^{⊗n} ⊗ N → M ⊗ Ā^{⊗(n−1)} ⊗ N → ⋯ → M ⊗ Ā ⊗ N → M ⊗ N

(complexe barre bilatère normalisé) dont l’homologie est naturellement isomorphe à Tor_{∗}^{A}(M, N) si A et M sont sans torsion sur ℤ. La proposition s’obtient en prenant A = ℤ[G], M = I(G) et N = I^{r}(G) et en appliquant le lemme 2.3.

Nous aurons besoin également d’examiner gr(ℤ[G]) lorsque G est un produit direct de groupes libres. Pour cela, on donne quelques propriétés générales simples sur l’effet du foncteur gr(ℤ[−]) sur un produit direct de groupes. On va voir que ce foncteur est exponentiel (i.e. transforme les produits directs en produits tensoriels) sur les groupes G tels que gr(ℤ[G]) soit un groupe abélien sans torsion. (On a vu plus haut que les groupes libres possèdent cette propriété.) Remarquer que, si c’est le cas, alors les groupes abéliens I^{n}(G) et ℤ[G]/I^{n}(G) sont également sans torsion. Soient G et H deux groupes. Si M et N sont des sous-groupes des groupes abéliens ℤ[G] et ℤ[H] respectivement, nous noterons M.N l’image de M ⊗ N dans ℤ[G] ⊗ ℤ[H] ≃ ℤ[G × H]. Si M et N sont des idéaux bilatères de ℤ[G] et ℤ[H] respectivement, alors M.N est un idéal bilatère de ℤ[G × H].

Proposition 2.5. Soient G et H deux groupes. Dans ℤ[G × H], on a

I(G × H) = I(G).ℤ[H] + ℤ[G].I(H)

et, plus généralement,

I^{r}(G × H) = ∑_{i+j=r}I^{i}(G).I^{j}(H)

pour tout r ∈ ℕ.

Démonstration. La première propriété est immédiate et la deuxième s’en déduit par récurrence sur r.

Proposition 2.6. Soient G et H deux groupes tels que les groupes abéliens gr(ℤ[G]) et gr(ℤ[H]) soient sans torsion.

1. Pour tout entier naturel n, on dispose d’un isomorphisme naturel

(I^{n}/I^{n+1})(G × H) ≃ ⨁_{i+j=n}(I^{i}/I^{i+1})(G) ⊗ (I^{j}/I^{j+1})(H).

2. Le groupe abélien gr(ℤ[G × H]) est sans torsion.

3. Pour tous entiers 0 ≤ t ≤ n, on a

(_{∑_{i+j=n} ; i<t}I^{i}(G).I^{j}(H)) ∩ (I^{t}(G).I^{n−t}(H)) = I^{t}(G).I^{n−t+1}(H)

dans ℤ[G × H] ; ce groupe est naturellement isomorphe à I^{t}(G) ⊗ I^{n−t+1}(H).

Démonstration. La proposition 2.5 procure (sans aucune hypothèse sur G ni H) un épimorphisme naturel

⨁_{i+j=n}(I^{i}/I^{i+1})(G) ⊗ (I^{j}/I^{j+1})(H) ↠ (I^{n}/I^{n+1})(G × H).

Par ailleurs, grâce à l’hypothèse faite sur G et H, les épimorphismes canoniques I^{i}(G) ⊗ I^{j}(H) ↠ I^{i}(G).I^{j}(H) sont des isomorphismes, et l’on a

I^{i}(G).I^{n−i}(H) ∩ I^{j}(G).I^{n−j}(H) = I^{j}(G).I^{n−i}(H)

pour i ≤ j. On en déduit immédiatement la proposition.

3 Démonstration du théorème 1

La classe T_{n} Soient C une petite catégorie possédant un objet nul et des coproduits finis. Pour n ∈ ℕ ∪ {−1}, on note T_{n}(C) la classe des objets de F(C) possédant une résolution projective dont les termes sont des sommes directes de foncteurs du type P̄_{c_{1}}^{C} ⊗ ⋯ ⊗ P̄_{c_{d}}^{C}, où d > n est un entier et c_{1}, …, c_{d} sont des objets de C. Le cas qui nous intéresse est celui des classes T_{n}(gr), qui seront simplement notées T_{n} par la suite. Toutefois, les propriétés formelles ci-dessous se montrent de la même façon, immédiate, dans le cas général ; elles sont laissées au lecteur. Noter que l’on a T_{n}(C) ⊃ T_{n+1}(C) pour tout n ∈ ℕ ∪ {−1}, que T_{0}(C) est constituée des foncteurs réduits et que T_{−1}(C) = F(C).

Lemme 3.1. Soient n ∈ ℕ ∪ {−1} et 0 → F → G → H → 0 une suite exacte courte de F(C). Si deux des foncteurs F, G et H appartiennent à T_{n}(C), alors il en est de même pour le troisième. En particulier, si A et B sont deux sous-foncteurs d’un foncteur F de F(C), A et B appartenant à T_{n}(C), alors le sous-foncteur A + B de F appartient à T_{n}(C) si et seulement s’il en est de même pour A ∩ B. Plus généralement, si on dispose d’une suite exacte longue

⋯ → X_{1} → X_{0} → F → 0

dans F(C) avec tous les X_{i} dans T_{n}(C), alors F appartient à T_{n}(C).

Proposition 3.2. Si F et G appartiennent à T_{i}(C) et T_{j}(C) respectivement et que l’un de ces foncteurs prend des valeurs sans torsion sur ℤ, alors F ⊗ G appartient à T_{i+j+1}(C).

Corollaire 3.3. Le produit tensoriel de n + 1 foncteurs réduits de F(C) dont au moins n prennent des valeurs sans torsion sur ℤ appartient à T_{n}(C).

Remarque 3.4. Ce corollaire est un analogue d’un résultat dû au deuxième auteur pour les catégories F(A), où A est additive, qui apparaît dans [11], et qui s’est avéré extrêmement utile en cohomologie des foncteurs.

Les classes T_{n}(C) nous serviront par l’intermédiaire du résultat suivant.

Proposition 3.5. Soient n ∈ ℕ∪{−1}, F un foncteur de T_{n}(C) à valeurs sans torsion sur ℤ, k un anneau et A un foncteur de F_{n}(C; k). Alors Ext_{F(C;k)}^{∗}(F ⊗ k, A) = 0.

Démonstration. Comme F est à valeurs sans torsion, F ⊗ k possède une résolution dont les termes sont des sommes directes de foncteurs du type P̄_{c_{1}}^{C} ⊗ ⋯ ⊗ P̄_{c_{d}}^{C} ⊗ k, avec d > n. D’autre part, on dispose d’isomorphismes naturels

Hom_{F(C;k)}(P̄_{c_{1}}^{C} ⊗ ⋯ ⊗ P̄_{c_{d}}^{C} ⊗ k, A) ≃

≃ Hom_{F(C)}(P̄_{c_{1}}^{C} ⊗ ⋯ ⊗ P̄_{c_{d}}^{C}, O_{∗}A) ≃ cr_{d}(A)(c_{1}, …, c_{d})

où O : k-Mod → Ab désigne le foncteur d’oubli, adjoint à droite à − ⊗ k, de sorte que le foncteur de postcomposition O_{∗} : F(C; k) → F(C) est adjoint à droite à la postcomposition par −⊗k, et où le deuxième isomorphisme provient de la section 1. Le fait que les foncteurs exacts cr_{d} sont nuls sur F_{n}(C; k) pour d > n permet de conclure.

Les foncteurs K_{n}^{d} Pour tout d ∈ ℕ, le foncteur d’inclusion F_{d}(gr) → F(gr) possède un adjoint à gauche q_{d}; q_{d}(F) est le plus grand quotient de F appartenant à F_{d}(gr). On renvoie à [8], § 2.3 pour plus de détails à ce sujet.

Notation 3.6. Étant donné deux entiers naturels n et d, on pose

K_{n}^{d} = Ker(P_{n}^{gr} ↠ q_{d}(P_{n}^{gr}))

et l’on définit K_{n}^{−1} = P_{n}^{gr}.

Proposition 3.7. Pour tous n ∈ ℕ, d ∈ ℕ ∪ {−1} et tout objet G de gr, les sous-groupes K_{n}^{d}(G) et I^{d+1}(G^{n}) de ℤ[G^{n}] (auquel s’identifie P_{n}^{gr}(G)) coïncident.

Démonstration. Notons J_{n}^{d} le sous-foncteur de P_{n}^{gr} donné par G ↦ I^{d+1}(G^{n}) ⊂ ℤ[G^{n}] ≃ P_{n}^{gr}(G). Alors le foncteur P_{n}^{gr}/J_{n}^{d} appartient à F_{d}(gr). Cela résulte de ce que, pour tout r ∈ ℕ, le foncteur G ↦ (I^{r}/I^{r+1})(G^{n}) (des groupes vers les groupes abéliens) est polynomial de degré (au plus) r, puisque c’est un quotient de G ↦ (G_{ab}^{n})^{⊗r} (voir le début de la section 2). On a donc K_{n}^{d} ⊂ J_{n}^{d}. Montrons l’inclusion inverse. Pour tout foncteur F de F(gr) et tout objet G de gr, on considère l’application naturelle

κ_{d}(F)(G) = ∑_{I⊂{0,1,...,d}}(−1)^{Card(I)}F (p_{I}) : F (G^{∗(d+1)}) → F (G),

où p_{I} ∈ gr(G^{∗(d+1)}, G) ≃ End(G)^{d+1} est le morphisme dont la i-ème composante est l’identité si i ∈ I et le morphisme trivial sinon. La transformation naturelle κ_{d}(F) est nulle lorsque F appartient à F_{d}(gr), car elle se factorise par l’idempotent de F (G^{∗(d+1)}) dont l’image est par définition l’effet croisé cr_{d+1}(F)(G, …, G). Par conséquent, comme q_{d}(F) appartient à F_{d}(gr), la composée

F (G^{∗(d+1)}) ⟶^{κ_{d}(F)(G)} F (G) ↠ q_{d}(F)(G)

est nulle, de sorte que le noyau de la projection F ↠ q_{d}(F) contient l’image de κ_{d}(F). En particulier, K_{n}^{d} contient l’image de κ_{d}(P_{n}^{gr}). Si (g_{j}^{i})_{1≤i≤n,0≤j≤d} est une famille d’éléments d’un groupe libre de rang fini G, on a

κ_{d}(P_{n}^{gr})(G)([(g_{0}^{i} ∗ ⋯ ∗ g_{d}^{i})_{1≤i≤n}]) = ∑_{0≤j_{1}<···<j_{r}≤d}(−1)^{r}[(g_{j_{1}}^{i} … g_{j_{r}}^{i})_{1≤i≤n}]

qui est égal au produit

a_{0}a_{1} … a_{d} où a_{j} := [(g_{j}^{i})_{1≤i≤n}] − [1] ∈ I(G^{n}) ⊂ ℤ[G^{n}].

Comme I^{d+1}(G^{n}) est engendré par ces produits, cela montre que K_{n}^{d} contient J_{n}^{d}, d’où la conclusion.

Remarque 3.8. Dans la démonstration précédente, le noyau de la projection F ↠ q_{d}(F) est en fait égal à l’image de κ_{d}(F) — cf. [8], définition 3.16 et proposition 3.17.

Lemme 3.9. Pour tout d ∈ ℕ ∪ {−1}, le foncteur K_{1}^{d} appartient à T_{d}.

Démonstration. On procède par récurrence sur d. Pour d ≤ 0, c’est clair. Compte-tenu de la proposition 3.7, la proposition 2.4 peut se traduire par l’existence de suites exactes

⋯ → P̄^{⊗(n+1)} ⊗ K_{1}^{d−1} → P̄^{⊗n} ⊗ K_{1}^{d−1} → … ⋯ → P̄^{⊗2} ⊗ K_{1}^{d−1} → P̄ ⊗ K_{1}^{d−1} → K_{1}^{d} → 0

dans F(gr). Si K_{1}^{d−1} appartient à T_{d−1}, alors P̄^{⊗i} ⊗K_{1}^{d−1} appartient à T_{d} pour tout entier i ≥ 1, donc K_{1}^{d} aussi (en utilisant le lemme 3.1), d’où le lemme.

Proposition 3.10. Pour tous n ∈ ℕ et d ∈ ℕ∪{−1}, le foncteur K_{n}^{d} appartient à T_{d}.

Démonstration. On montre par récurrence sur n que K_{n}^{d} appartient à T_{d} pour tout d ∈ ℕ ∪ {−1}. Pour n = 0 il n’y a rien à faire ; compte-tenu du lemme précédent, on peut supposer n > 1 et l’assertion établie pour n − 1. Dans la suite on conserve les notations de la fin de la section 2 et on fait sans cesse usage de l’identification canonique P_{n}^{gr}(G) = ℤ[G^{n}] et de la proposition 3.7. On rappelle que, par le dernier point de la proposition 2.6, on a K_{t}^{i}.K_{s}^{j} ≃ K_{t}^{i} ⊗ K_{s}^{j}. Étant donné d ∈ ℕ ∪ {−1}, on va montrer que, pour tout t ∈ {1, …, d + 2}, le foncteur

∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<tK_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1} ⊂ P_{n}^{gr}

appartient à T_{d}. Cela établira la proposition : en prenant t = d+2 et en utilisant la proposition 2.5, on en déduit bien que K_{n}^{d} appartient à T_{d}. Pour cela, on effectue une récurrence sur t. Lorsque t = 1, le foncteur considéré vaut K_{n−1}^{−1}.K_{1}^{d}. Par le lemme 3.9, K_{1}^{d} appartient à T_{d}. On en déduit, par la proposition 3.2, que K_{n−1}^{−1}.K_{1}^{d} ≃ K_{n−1}^{−1} ⊗K_{1}^{d} appartient à T_{d} (K_{1}^{d} étant un sousfoncteur de P_{1}^{gr}, il est à valeurs ℤ-plates). Supposons que pour t − 1 ≤ d + 1 le foncteur considéré appartienne à T_{d}. On a

∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<tK_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1} = (_{∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<t−1}K_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1}) + K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+1}.

Par hypothèse de récurrence, le premier terme à droite de cette égalité appartient à T_{d}. Le foncteur K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+1} ≃ K_{n−1}^{t−2} ⊗K_{1}^{d−t+1} appartient également à T_{d} puisque K_{1}^{d−t+1} appartient à T_{d−t+1} par le lemme 3.9 et K_{n−1}^{t−2} appartient à T_{t−2} par hypothèse de récurrence et en appliquant la proposition 3.2. D’après le lemme 3.1, pour montrer que _{∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<t}K_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1} appartient à T_{d} il est donc équivalent de montrer que

(_{∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<t−1}K_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1}) ∩ K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+1}

appartient à T_{d}. Par la dernière partie de la proposition 2.6 on obtient que

(_{∑_{i+j=d+1} ; 0≤i<t−1}K_{n−1}^{i−1}.K_{1}^{j−1}) ∩ K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+1} = K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+2} ≃ K_{n−1}^{t−2} ⊗ K_{1}^{d−t+2}.

Or K_{1}^{d−t+2} appartient à T_{d−t+2} d’après le lemme 3.9 et K_{n−1}^{t−2} appartient à T_{t−2} par hypothèse de récurrence. On déduit de la proposition 3.2 que K_{n−1}^{t−2}.K_{1}^{d−t+2} appartient à T_{d+1} ⊂ T_{d}. Cela termine la démonstration.

Démonstration du théorème 1. Pour tout n ∈ ℕ, on dispose d’isomorphismes d’adjonction

Hom_{F_{d}(C;k)}(q_{d}(P_{n}^{gr}) ⊗ k, F) ≃ Hom_{F_{d}(C)}(q_{d}(P_{n}^{gr}), O_{∗}F)
≃ Hom_{F(C)}(P_{n}^{gr}, O_{∗}F) ≃ F (ℤ^{∗n})

où O_{∗} désigne la postcomposition par le foncteur d’oubli O : k-Mod → Ab, de sorte que les foncteurs q_{d}(P_{n}^{gr}) ⊗ k forment un ensemble de générateurs projectifs de F_{d}(gr; k). Par conséquent, il suffit de montrer le théorème 1 pour F = q_{d}(P_{n}^{gr}) ⊗ k. La suite exacte courte

0 → K_{n}^{d} → P_{n}^{gr} → q_{d}(P_{n}^{gr}) → 0

de F(gr) induit une suite exacte courte

0 → K_{n}^{d} ⊗ k → P_{n}^{gr} ⊗ k → q_{d}(P_{n}^{gr}) ⊗ k → 0

dans F(gr; k) car q_{d}(P_{n}^{gr}) prend des valeurs sans ℤ-torsion. La suite exacte longue en Ext associée à cette suite exacte courte et le fait que Ext_{F(gr;k)}^{∗}(P_{n}^{gr}⊗ k, G) et Ext_{F_{d}(gr;k)}^{∗}(q_{d}(P_{n}^{gr}) ⊗ k, G) sont nuls en degré cohomologique strictement positif montrent que la conclusion du théorème 1 équivaut à la nullité de Ext_{F(gr;k)}^{∗}(K_{n}^{d} ⊗ k, G) lorsque G appartient à F_{d}(gr; k). Cela découle des propositions 3.10 et 3.5.

Remarque 3.11. On peut employer les mêmes méthodes pour démontrer un résultat similaire au théorème 1 pour les groupes de torsion plutôt que les groupes d’extensions.

Remarque 3.12.

1. Si C est une petite catégorie additive, il est exceptionnel que l’inclusion de la sous-catégorie de foncteurs polynomiaux F_{d}(C) dans F(C) induise des isomorphismes entre tous les groupes d’extensions : dès le degré cohomologique i = 3, le morphisme canonique Ext_{F_{d}(C)}^{i}(F, G) → Ext_{F(C)}^{i}(F, G) peut cesser d’être un isomorphisme (même si F et G sont additifs et que l’on prend la colimite sur d ∈ ℕ). Dans les bons cas (avec une hypothèse de torsion bornée), ce morphisme est un isomorphisme lorsque d est assez grand par rapport à i et au degré de F ou de G. Ces résultats sont établis par le deuxième auteur dans [13] dans un cas particulier (F ou G additif et pas de torsion dans les groupes abéliens de morphismes de C) et par le premier auteur dans [3] dans le cas général. Comme dans le présent travail, la démonstration de ces résultats nécessite d’analyser le gradué associé à la filtration de l’anneau d’un groupe (abélien, cette fois) par les puissances de l’idéal d’augmentation ; il faut toutefois aussi utiliser d’autres ingrédients, issus de la construction cubique de Mac Lane. Notons d’ailleurs que le cœur de notre démonstration consiste à montrer que la restriction des foncteurs I^{d+1} aux groupes libres appartient à T_{d}; l’argument central de [13] (sa proposition 4.3) consiste à montrer une propriété analogue pour la restriction des foncteurs I^{d+1} aux groupes abéliens libres, propriété qui n’est valide qu’en degré cohomologique assez petit (et qui repose sur un argument d’idéal quasi-régulier).

2. Notons mon (un squelette de) la catégorie des monoïdes libres de rang fini. Le théorème 1 reste vrai si l’on remplace la catégorie source gr par mon. Une méthode pour le voir consiste à reprendre les arguments du présent article et les adapter à la catégorie F(mon). Une autre consiste à utiliser le résultat dû à Hartl et aux deuxième et troisième auteurs ([8], Corollary 5.38) selon lequel le foncteur de complétion en groupe α : mon → gr induit pour chaque d ∈ ℕ une équivalence de catégories F_{d}(gr) ⟶^{≃} F_{d}(mon). Dès lors, il suffit de voir que le foncteur α induit des isomorphismes entre groupes d’extensions

Ext_{F(gr)}^{∗}(F, G) ⟶^{≃} Ext_{F(mon)}^{∗}(F ∘ α, G ∘ α)

lorsque F et G sont polynomiaux. C’est en fait vrai si l’on suppose seulement que G est polynomial. Il suffit de le voir lorsque F est un foncteur projectif P_{n}^{gr} ; on peut alors utiliser un argument classique reposant sur le fait que le morphisme canonique d’un monoïde libre vers sa complétion en groupe induit un isomorphisme en homologie. Cet argument est donné en détail, dans un contexte abélien analogue, dans [1], théorème 3.3.

4 Applications

Notons 𝔞 : gr → Ab le foncteur d’abélianisation. Ce foncteur joue un rôle fondamental dans la catégorie F(gr), où les calculs d’algèbre homologique sont grandement facilités par l’existence d’une résolution projective explicite de 𝔞. Celle-ci est donnée par la résolution barre (dont on tronque le degré nul : on utilise que l’homologie d’un groupe libre est naturellement isomorphe à son abélianisation en degré 1 et nulle en degré > 1), qui prend la forme :

⋯ → P_{n+1}^{gr} → P_{n}^{gr} → ⋯ → P_{2}^{gr} → P_{1}^{gr} → 𝔞 → 0.  (1)

Cette résolution projective apparaît pour la première fois dans [9] (§ 5.A) ; elle est également utilisée de façon fondamentale dans [4]. En utilisant la résolution barre normalisée, on obtient une variante de la précédente résolution, également utile :

⋯ → P̄^{⊗(n+1)} → P̄^{⊗n} → ⋯ → P̄^{⊗2} → P̄ → 𝔞 → 0.  (2)

Proposition 4.1. Soient d ≥ n > 0 des entiers. Le foncteur 𝔞^{⊗n} est de dimension homologique d − n dans la catégorie F_{d}(gr) : on a Ext_{F_{d}(gr)}^{i}(𝔞^{⊗n}, −) = 0 pour i > d − n, tandis que le foncteur Ext_{F_{d}(gr)}^{d−n}(𝔞^{⊗n}, −) n’est pas nul.

Démonstration. En prenant le produit tensoriel de n copies de la résolution projective de 𝔞 dans F(gr) que procure la suite exacte (2) (dont tous les termes prennent des valeurs ℤ-libres), on voit que 𝔞^{⊗n} possède une résolution projective qui, en degré i, est une somme directe de copies du foncteur P̄^{⊗(i+n)}. Comme Hom_{F(gr)}(P̄^{⊗t}, F) ≃ cr_{t}(F)(ℤ, …, ℤ) est nul lorsque F est polynomial de degré < t (cf. section 1), on en déduit Ext_{F(gr)}^{i}(𝔞^{⊗n}, F) = 0 pour F polynomial de degré < n + i. Comme le foncteur Ext_{F_{d}(gr)}^{i}(𝔞^{⊗n}, −) est la restriction à F_{d}(gr) du foncteur Ext_{F(gr)}^{i}(𝔞^{⊗n}, −), d’après le théorème 1, on en déduit l’inégalité

hdim_{F_{d}(gr)}(𝔞^{⊗n}) ≤ d − n.

L’inégalité inverse se déduit de la non-nullité de Ext_{F(gr)}^{d−n}(𝔞^{⊗n}, 𝔞^{⊗d}), établie par le troisième auteur dans [15].

Remarque 4.2. L’analogue « abélien » de la proposition 4.1 n’est pas exact : notons ab la catégorie des groupes abéliens libres de rang fini. Dans la catégorie F_{2}(ab), le foncteur d’inclusion est de dimension homologique infinie et possède une résolution projective 4-périodique, comme on le déduit de la section 6 de l’article [13]. En revanche, on dispose quand même d’un résultat très similaire à la proposition 4.1 en remplaçant la catégorie source gr par une catégorie additive appropriée. Soient p un nombre premier et F(p) la catégorie des foncteurs des 𝔽_{p}-espaces vectoriels de dimension finie vers les 𝔽_{p}-espaces vectoriels. Le foncteur d’inclusion est de dimension homologique finie 2p^{[log_{p}(d)]} − 2 (où les crochets désignent la partie entière) dans la sous-catégorie F_{d}(p) des foncteurs polynomiaux de degré au plus d. Ce résultat est dû à Franjou et Smith ([7], § 4.2).

Les foncteurs q_{n}(P̄) (appelés foncteurs de Passi dans [8]) jouent un rôle fondamental dans la catégorie F(gr) (la démonstration du théorème 1 en constitue une illustration) ; la proposition 4.1 permet facilement d’en calculer la dimension homologique.

Corollaire 4.3. Soient d ≥ n > 0 des entiers. Le foncteur q_{n}(P̄) est de dimension homologique d − n dans la catégorie F_{d}(gr).

Démonstration. On dispose de suites exactes courtes

0 → 𝔞^{⊗n} → q_{n}(P̄) → q_{n−1}(P̄) → 0

(cf. la proposition 3.7 et le début de la section 2), d’où des inégalités

hdim_{F_{d}(gr)}(q_{n−1}(P̄)) ≤ max (1 + hdim_{F_{d}(gr)}(𝔞^{⊗n}), hdim_{F_{d}(gr)}(q_{n}(P̄))).

On en déduit l’inégalité hdim_{F_{d}(gr)}(q_{n}(P̄)) ≤ d − n par récurrence descendante sur n, en utilisant la proposition 4.1 et le caractère projectif de q_{d}(P̄) dans la catégorie F_{d}(gr). L’inégalité inverse provient de ce que Ext_{F(gr)}^{i}(q_{n}(P̄), 𝔞^{⊗(n+i)}) est non nul (cf. [15]) et du théorème 1.

Avant de donner la prochaine application du théorème 1, notons que l’action de 𝔖_{d} sur cr_{d}(F)(ℤ, …, ℤ) (voir la section 1) fournit, pour tout d ∈ ℕ, un foncteur cr_{d} : F_{d}(gr) → ℤ[𝔖_{d}]-Mod associant l’effet croisé cr_{d}(F)(ℤ, …, ℤ) à F. Ce foncteur possède un adjoint à gauche α_{d} et un adjoint à droite β_{d}. Le foncteur α_{d} possède une expression explicite simple : α_{d}(M) = 𝔞^{⊗d} ⊗_{ℤ[𝔖_{d}]} M,

mais il n’est pas exact (pour d ≥ 2). En revanche, le foncteur β_{d} ne semble pas posséder d’expression simple. Néanmoins, on a :

Proposition 4.4. Pour tout d ∈ ℕ, le foncteur β_{d} : ℤ[𝔖_{d}]-Mod → F_{d}(gr) est exact. Il induit des isomorphismes naturels

Ext_{F(gr)}^{∗}(β_{d}(M), β_{d}(N)) ≃ Ext_{F_{d}(gr)}^{∗}(β_{d}(M), β_{d}(N)) ≃ Ext_{ℤ[𝔖_{d}]}^{∗}(M, N).

Démonstration. Pour voir que β_{d} est exact, il suffit de vérifier que son adjoint à gauche cr_{d} envoie les générateurs projectifs q_{d}(P_{n}^{gr}) de F_{d}(gr) (où n parcourt ℕ) sur des ℤ[𝔖_{d}]-modules projectifs. Comme cr_{d} est exact et tue les foncteurs de degré strictement inférieur à d, il prend la même valeur sur q_{d}(P_{n}^{gr}) et le noyau Q_{n}^{d} de la projection q_{d}(P_{n}^{gr}) ↠ q_{d−1}(P_{n}^{gr}). Or on a Q_{1}^{d} ≃ 𝔞^{⊗d} (car le gradué de l’anneau d’un groupe libre est isomorphe à l’algèbre tensorielle de son abélianisation — cf. section 2 ; on utilise également la proposition 3.7).

En général, en utilisant le premier point de la proposition 2.6 (et encore la proposition 3.7), on obtient :

Q_{n}^{d} ≃ ⨁_{i_{1}+···+i_{n}=d}𝔞^{⊗i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ 𝔞^{⊗i_{n}} ≃ ⨁_{i_{1}+···+i_{n}=d}𝔞^{⊗d}.

Comme cr_{d} envoie le foncteur 𝔞^{⊗d} sur le ℤ[𝔖_{d}]-module ℤ[𝔖_{d}], cela démontre l’exactitude de β_{d}. L’adjonction entre les foncteurs exacts β_{d} et cr_{d} se propage aux groupes d’extensions :

Ext_{F_{d}(gr)}^{∗}(F, β_{d}(N)) ≃ Ext_{ℤ[𝔖_{d}]}^{∗}(cr_{d}(F), N).

Comme la coünité cr_{d}β_{d} → Id est un isomorphisme (cf. [4], § 2, par exemple), en utilisant le théorème 1, on en déduit la dernière assertion de l’énoncé.

Remarque 4.5.

1. En reprenant la démonstration précédente, il est facile de donner une expression explicite de β_{d}(M)(G) fonctorielle en M, mais pas en G ∈ Ob gr.

2. La proposition 4.4 contraste encore avec la situation de F(ab). On y dispose de même d’un foncteur

F_{d}(ab) → ℤ[𝔖_{d}]-Mod F ↦ cr_{d}(F)(ℤ, …, ℤ)

qui possède des adjoints de chaque côté. L’adjoint à gauche est très similaire au foncteur α_{d} évoqué avant la proposition (il est donné par M ↦ T^{d} ⊗_{ℤ[𝔖_{d}]} M ≃ (T^{d} ⊗ M)_{𝔖_{d}}, où T^{d} désigne la d-ème puissance

tensorielle). L’adjoint à droite est analogue à l’adjoint à gauche (il est donné par M ↦ (T^{d} ⊗ M)^{𝔖_{d}}) ; c’est donc encore un foncteur explicite mais non exact si d > 1. La référence originelle pour cette question classique est [12].

La proposition 4.4 montre que les catégories F_{d}(gr) (resp. F_{d}(gr; 𝔽_{p}), où p est un nombre premier) sont de dimension globale infinie dès que d ≥ 2 (resp. d ≥ p), comme l’algèbre de groupe ℤ[𝔖_{d}] (resp. 𝔽_{p}[𝔖_{d}]). Notre dernier résultat montre qu’en revanche, les catégories F_{d}(gr; ℚ) (ou plus généralement F_{d}(gr; k), où k est un sous-anneau de ℚ où assez d’entiers sont inversés) sont de dimension globale finie.

Proposition 4.6. Soient d > 0 un entier et k un sous-anneau de ℚ dans lequel d! est inversible. La catégorie F_{d}(gr; k) est de dimension globale d − 1 : on a Ext_{F_{d}(gr;k)}^{i} = 0 pour i ≥ d, tandis que le foncteur Ext_{F_{d}(gr;k)}^{d−1} n’est pas nul.

Démonstration. On montre d’abord l’inégalité gldim F_{d}(gr; k) ≤ d − 1. Par le théorème 1, cela équivaut à dire que la restriction à F_{d}(gr; k)^{op} × F_{d}(gr; k) du foncteur Ext_{F(gr;k)}^{i} est nulle pour i ≥ d. Pour cela, on va montrer par récurrence sur d ∈ ℕ^{∗} l’assertion suivante :

∀i ≥ n ≥ d ∀F ∈ Ob F_{d}(gr; k) ∀G ∈ Ob F_{n}(gr; k) Ext^{i}(F, G) = 0

(on omet dans la suite l’indice F(gr; k) pour les groupes d’extensions). On suppose donc le résultat établi pour les entiers strictement inférieurs à d. Les résultats de structure de la catégorie F_{d}(gr; k) donnés dans [4] (voir la section 2 et la démonstration de la proposition 5.3 de cet article) impliquent que, pour tout foncteur F de F_{d}(gr; k), il existe une représentation M du groupe symétrique 𝔖_{d} et un morphisme u : F → 𝔞^{⊗d} ⊗_{k[𝔖_{d}]} M dont le noyau

N et le conoyau C appartiennent à F_{d−1}(gr; k). Pour d = 1, on peut même supposer que u est un isomorphisme, puisque la partie constante des foncteurs se scinde. L’hypothèse de récurrence montre que Ext^{i}(N, G) et Ext^{i}(C, G) sont nuls pour G dans F_{n}(gr; k) et i ≥ n ≥ d − 1. Par ailleurs, comme l’anneau k[𝔖_{d}] est semi-simple à cause de l’hypothèse faite sur k, le foncteur T := 𝔞^{⊗d} ⊗_{k[𝔖_{d}]} M est somme directe de facteurs directs de 𝔞^{⊗d}. La proposition 4.1

montre donc que Ext^{i}(T, G) = 0 pour G dans F_{n}(gr; k) et i > n − d ≥ 0. On en déduit Ext^{i}(F, G) = 0 pour G dans F_{n}(gr; k) et i ≥ n ≥ d, ce qui termine la démonstration de l’inégalité gldim F_{d}(gr; k) ≤ d − 1. L’inégalité gldim F_{d}(gr; k) ≥ d − 1 se déduit de ce que le groupe abélien Ext_{F(gr)}^{d−1}(𝔞, 𝔞^{⊗d}) est non seulement non nul, mais aussi sans torsion (cf. [15]).

Remarque 4.7. Contrairement à ce qui advient pour la plupart des autres résultats du présent article, dont les analogues sur ab sont plus difficiles à montrer que sur gr (voir notamment la remarque 4.2), quand ils ne sont pas faux, la situation est plus simple pour F_{d}(ab; ℚ), qui est une catégorie semi-simple pour tout d ∈ ℕ (et ce résultat classique est aisé à prouver).

Références

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[15] Christine Vespa. Extensions between functors from groups. arXiv :1511.03098.

Aurélien Djament CNRS Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (UMR 6629) aurelien.djament@univnantes.fr Teimuraz Pirashvili Department of Mathematics University of Leicester University Road Leicester LE1 7RH UK tp59@leicester.ac.uk

Christine Vespa

Institut de Recherche Mathématique Avancée Université de Strasbourg vespa@math.unistra.fr