Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques

Adriano Marmora

Received: July 6, 2004

Communicated by Takeshi Saito

Abstract. Let V be a de-Rham representation of the Galois group of a local field of mixed characteristic (0, p). We relate the Swan conductor of the associated Weil-Deligne representation to the irregularity of the corresponding p-adic differential equation.

2000 Mathematics Subject Classification: 11F80,11F85,11S15,12H25 Keywords and Phrases: p-adic representation, de-Rham representation, Swan conductor, p-adic differential equation, p-adic irregularity.

1 Introduction

Soient K un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0, de corps résiduel k parfait de caractéristique p > 0, et \overline{K} une clôture algébrique de K. On note G_{K} le groupe de Galois de \overline{K}/K et I_{K} le sous-groupe d’inertie. Fontaine a défini une hiérarchie sur les représentations p-adiques de G_{K}(i.e. les ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de G_{K}) : représentations de de Rham ⊃ rep. semi-stables ⊃ rep. cristallines. Le théorème de monodromie p-adique affirme que toute représentation de de Rham est potentiellement semi-stable, i.e. sa restriction à un sous-groupe ouvert de G_{K} est semi-stable. Le but de cet article est l’étude d’invariants numériques qui mesurent le défaut de semi-stabilité de représentations potentiellement semi-stables. Une telle représentation est entièrement décrite par son module de Weil-Deligne D_{pst}(V). Celui-ci est muni d’une action de G_{K} dont la restriction à l’inertie se factorise par un quotient fini. Fontaine [10] définit les conducteurs de Swan et d’Artin de V, notés respectivement sw(V) et ar(V), comme étant les conducteurs de Swan et d’Artin de D_{pst}(V). Dans un travail récent [3], Berger associe à toute représentation de de Rham V une équation différentielle p-adique N_{dR}(V) munie d’une structure de Frobenius. À une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius, Christol et Mebkhout [7] associent un invariant entier irr(M), l’irrégularité de M. Pour tout n ∈ ℕ, soient μ_{n} le groupe des racines p^{n}-ièmes de l’unité dans \overline{K} et K_{n} = K(μ_{n}). Pour une représentation p-adique V de G_{K}, on note V_{n} sa restriction au sous-groupe Gal(\overline{K}/K_{n}). Le résultat principal de cet article est le suivant.

Théorème 1.1. Pour toute représentation de de Rham V de G_{K}, on a

irr(N_{dR}(V)) = lim_{n→+∞} sw(V_{n}).

Le théorème 1.1 est l’analogue en caractéristique zéro d’un théorème de Tsuzuki en caractéristique p > 0. Soit E un corps de valuation discrète complet, de caractéristique p et de corps résiduel parfait. Dans [22], Tsuzuki montre que la catégorie des représentations p-adiques de G_{E} = Gal(E^{sep}/E) dont l’inertie agit par un quotient fini (monodromie finie), est équivalente à la catégorie des φ-∇-modules étales sur un corps valué E^{†}(E) de caractéristique 0, d’anneau d’entiers hensélien et de corps résiduel E (voir §4.3 pour la définition). Puis dans [23], il démontre l’égalité entre le conducteur de Swan de la restriction à l’inertie d’une telle représentation et l’irrégularité du ∇-module correspondent. Dans la démonstration de 1.1, on se ramène, par la théorie du corps des normes, au cas d’un corps de valuation discrète complet d’égale caractéristique p > 0. Cependant, on ne peut pas appliquer directement le résultat de Tsuzuki, car dans notre cas, l’action de l’inertie ne se factorise pas par un quotient fini. La stratégie de la démonstration consiste à décrire la représentation de Weil-Deligne en termes de l’équation différentielle de Berger, puis de reprendre une partie de la preuve de Tsuzuki (l’induction de Brauer). Comme corollaires du théorème 1.1, on en déduit un résultat analogue pour le conducteur d’Artin (cf. 5.7) et l’égalité entre un polygone de Newton de pentes p-adiques et une limite de polygones de Newton de pentes de Swan (cf. 5.9). Quand cet article a été déjà achevé, l’auteur a reçu une prépublication de P.Colmez [6] dont le résultat principal est une formule pour sw(V) en termes d’une filtration sur D_{dR}(V). Les deux travaux sont indépendants et les méthodes utilisées semblent différentes. Cet article est une partie de la thèse de doctorat en mathématique que je prépare à l’université de Paris 13, sous la direction d’Ahmed Abbes. Je tiens ici à le remercier pour son soutien constant tout le long de ce travail et ses lectures attentives des versions préliminaires de ce texte. Je remercie également le referee qui, par ses remarques, a amélioré ce manuscrit.

Notations

Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques 415

Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W = W(k) (resp. W_{n} = W_{n}(k)) l’anneau des vecteurs de Witt infinis (resp. de longueur n ≥ 1) et K_{a} = Fr W le corps des fractions de W. On note | · | la valeur absolue de K_{a} normalisée par |p| = p^{−1} et σ l’endomorphisme de Frobenius agissant sur k, W_{n}, W et K_{a}. On fixe une extension finie K/K_{a} totalement ramifiée et une clôture algébrique \overline{K} de K. On note O\overline{K} la clôture intégrale de O_{K} dans \overline{K}, \overline{k} son corps résiduel, O_{C} le complété p-adique de O\overline{K} et C = Fr O_{C}. Pour toute extension finie L de K_{a}, contenue dans \overline{K}, on note O_{L} son anneau d’entiers, k_{L} son corps résiduel et L_{a} = Fr W(k_{L}). Pour tout n ∈ ℕ, soient μ_{n} le groupe des racines p^{n}-ièmes de l’unité dans \overline{K} et L_{n} = L(μ_{n}). On note L_{∞} la réunion des L_{n}, pour n ∈ ℕ, H_{L} = Gal(\overline{K}/L_{∞}) et Γ_{L} = Gal(L_{∞}/L). Soit χ : G_{K} → ℤ_{p}^{∗} le caractère cyclotomique. Une représentation galoisienne p-adique (ou une ℚ_{p}- représentation galoisienne) est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action linéaire et continue de G_{K}. On note Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) la catégorie des ℚ_{p}-représentations de G_{K}.

2 Conducteurs

On note B_{cris} et B_{st} = B_{cris}[X] les anneaux des périodes de Fontaine associés à K (cf. [12]). Soient N : B_{st} → B_{st} la B_{cris}-dérivation qui envoie X sur −1 et φ le Frobenius agissant sur B_{cris} et B_{st}. Cettes applications vérifient Nφ = pφN. Ces anneaux sont munis d’une action continue de G_{K_{a}} commutante avec φ et N. Soit L/K_{a} une extension finie contenue dans \overline{K}. On note G_{L} = Gal(\overline{K}/L). On rappelle que B_{st}^{G_{L}} = B_{cris}^{G_{L}} = L_{a} (cf. [13, 5.1.2] et [12, 4.2.5]). Pour tout V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}), Fontaine définit D_{cris}(V) = (B_{cris} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} et D_{st}(V) = (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}}. Ce sont des K_{a}-espaces vectoriels de dimensions inférieures où égales à la dimension de V sur ℚ_{p}. Le Frobenius de B_{cris} induit un endomorphisme σ-semi-linéaire φ : D_{cris}(V) → D_{cris}(V), appelé Frobenius. L’espace D_{st}(V) est muni d’un Frobenius φ et d’un endomorphisme K_{a}-linéaire N, vérifiant Nφ = pφN. On rappelle que V est dite cristalline (resp. semistable) si dim_{K_{a}} D_{cris}(V) = dim_{ℚ_{p}} V (resp. dim_{K_{a}} D_{st}(V) = dim_{ℚ_{p}} V). Elle est dite potentiellement cristalline (resp. potentiellement semi-stable) s’il existe une extension finie K′/K telle que la restriction de V à G_{K′} est cristalline (resp. semi-stable). On note P le corps K ⊗_{K_{a}} Fr W(\overline{k}). C’est le complété padique de l’extension maximale non-ramifiée K^{nr} de K dans \overline{K}. Le groupe d’inertie absolu de K est canoniquement isomorphe à G_{P}, le groupe de Galois absolu de P. Dans la suite, pour tout V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}), on considère la restriction de V à I_{K} comme une représentation p-adique de G_{P}. Par [12, 5.1.5], une représentation V est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable) si et seulement si sa restriction à I_{K} est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable). Soit V une représentation p-adique potentiellement semi-stable de dimension n. Fontaine définit D_{pst}(V) = \underrightarrow{lim}_{G′≤G_{K}} (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G′}, où la limite est prise sur les sous-groupes ouverts G′ de G_{K} (cf. [13, 5.6.4]). C’est un K_{a}^{nr}-espace vectoriel de dimension n, muni d’une action semi-linéaire de G_{K}. Si L/K est une extension galoisienne finie telle que V est semi-stable comme représentation de G_{L}, alors (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{L}} est un L_{a}-espace vectoriel de dimension n et l’action de G_{K} se factorise par Gal(L/K). On a un isomorphisme de représentations D_{pst}(V) ≅ K_{a}^{nr} ⊗_{L_{a}} (B_{st} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{L}}. Par conséquent la restriction D_{pst}(V)_{|I_{K}} est une représentation linéaire de I_{K} qui se factorise à travers le sous-groupe d’inertie de Gal(L/K).

Définition 2.1. [10, 7.4.7] Soit V une représentation p-adique potentiellement semi-stable. Les conducteurs de Swan et d’Artin de D_{pst}(V)_{|I_{K}} sont aussi appelés conducteur de Swan et d’Artin de V et notés respectivement sw(V) et ar(V).

Si G_{K} agit par un quotient fini Gal(L/K) sur V, alors D_{pst}(V) = K_{a}^{nr} ⊗_{ℚ_{p}} V et sw(V) et ar(V) coïncident avec sw(Gal(L/K), V) et ar(Gal(L/K), V) respectivement. Pour une représentation V potentiellement semi-stable, on considère aussi la variante

ar_{cris}(V) = ar(V) + dim_{K_{a}} D_{st}(V) − dim_{K_{a}} D_{cris}(V).

3 Théorie de Hodge p-adique et (φ, Γ)-modules

3.1 Les anneaux

On pose O_{E} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ}(W_{n}⟦T ⟧[\frac{1}{T}]), qui est aussi la complétion p-adique de W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}]. C’est un anneau de valuation discrète, complet, de caractéristique 0, absolument non ramifié, de corps résiduel k((T)). Son corps de fractions O_{E}[1/p] est canoniquement isomorphe à

E = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} | a_{n} ∈ K_{a}, (a_{n})_{n∈ℤ} bornée et lim_{n→−∞} |a_{n}| = 0} .

On pose

E^{†} = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} ∈ E | ∃ 0 < ρ < 1 vérifiant lim_{n→−∞} |a_{n}|ρ^{n} = 0} ,

l’anneau des séries dans E qui convergent sur une couronne {x ∈ C | ρ ≤ |x|_{C} < 1} pour un réel 0 < ρ < 1. Pour tout s ∈ E^{†}, on note v_{1}(s) = inf_{n∈ℤ} v_{K_{a}}(a_{n}) la valuation de Gauss. On rappelle que cette valuation sur E^{†} est discrète et que l’anneau de valuation O_{E^{†}} est hensélien, de corps résiduel k((T))(cf.[16, §2]). On note aussi σ l’endomorphisme x ↦ x^{p} de O\overline{K}/pO\overline{K}. Soit R (cf. [11, §A3.1.1]) la limite projective du système

⋯ ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶^{σ} O\overline{K}/pO\overline{K}.

C’est une \overline{k}-algèbre intègre, parfaite de caractéristique p. On dispose de la description suivante : R ≅ {(x^{(n)})_{n∈ℕ}| x^{(n)} ∈ O_{C}, (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)}}, où, à droite, la multiplication est donnée composante par composante et la somme par la formule (x + y)^{(n)} = lim_{m→+∞} (x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^{m}}. L’anneau R est complet pour la valuation (non-discète) définie, pour tout x ∈ R, par v_{R}(x) = v_{C}(x^{(0)}), où v_{C} est la valuation de C normalisée par v_{C}(p) = 1. Le corps Fr R est algébriquement clos (cf. [11, A3.1.6]). On rappelle que W(R) ≅ \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}), où les applications de transition sont la composition des morphismes de troncation et du Frobenius σ de O\overline{K}/pO\overline{K}. C’est une W(\overline{k})-algèbre. Le groupe G_{K_{a}} agit par fonctorialité sur W(R) et W(Fr R). On appelle φ le Frobenius de W(R) (resp. W(Fr R)). On fixe une fois pour toutes un élément ε ∈ R tel que ε^{(0)} = 1 et ε^{(1)} ≠ 1. Pour tout x dans R, on note [x] son relèvement de Teichmüller dans W(R).

On vérifie facilement que ((\overline{ε^{(n)}}, 0, …, 0) − 1)^{p^{n}} = 0 dans W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}). On en déduit, pour tout n ∈ ℕ, un morphisme continu W [T]/T^{p^{n}} → W_{n}(O\overline{K}/pO\overline{K}), qui envoie T sur (\overline{ε}^{(n)}, 0, …, 0) − 1 et w ∈ W sur σ^{−n}(w). D’où un morphisme continu de W -algèbres W ⟦T ⟧ → W(R), qui envoie T dans [ε] − 1. Comme [ε] − 1 est inversible dans W(Fr R), on obtient un homomorphisme continu de W -algèbres W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}] → W(Fr R), qui se factorise par complétion p-adique en

\xymatrix{W ⟦T ⟧[\frac{1}{T}] \ar[rr] \ar@{^{(}->}[dr] &  & W(Fr R) \\  & O_{E} \ar[ur]_{i}}

L’homomorphisme i est injectif car i(p) ≠ 0. En inversant p, on obtient i : E → Fr W(Fr R).

Lemme 3.1. [11, A3.2.2] Les anneaux i(E) et i(E^{†}) ne dépendent pas du choix de ε . Ils sont stables par les actions de G_{K_{a}} et du Frobenius φ sur W(Fr R). Les actions induites de G_{K_{a}} et de φ sur E et E^{†} sont données par

∀g ∈ G_{K_{a}},  g(T) = (T + 1)^{χ(g)} − 1,  φ(T) = (T + 1)^{p} − 1.

L’action de G_{K_{a}} se factorise par Γ_{K_{a}}.

On rappelle brièvement la construction du corps des normes (cf. [25, §2.2]). L’extension maximale modérément ramifiée de K dans K_{∞} est finie. Soit n_{1} le plus petit entier tel que K_{∞}/K_{n_{1}} soit totalement sauvagement ramifiée. On choisit une uniformisante u de K_{n_{1}}. Pour tout n ≥ n_{1}, le Frobenius de O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} se factorise à travers O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} ⊂ O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}}. Soit λ_{n} : O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} → O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} le morphisme ainsi défini. On pose O_{E_{K}} = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} O_{K_{n}}/uO_{K_{n}}, où les applications de transitions sont les λ_{n}. C’est un anneau de valuation discrète, complet, de corps résiduel canoniquement isomorphe au corps résiduel de K_{∞}, qui est une extension finie k′ de k. Il ne dépend pas du choix de u. Soit E_{K} = Fr O_{E_{K}}. Par fonctorialité de la construction, on associe à \overline{K} une clôture séparable E_{K}^{sep} de E_{K} et Gal(E_{K}^{sep}/E_{K}) est canoniquement isomorphe à H_{K}. Pour tout n ≥ n_{1}, on a un diagramme commutatif

\xymatrix{O_{K_{n+1}}/uO_{K_{n+1}} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]^{λ_{n}} & O\overline{K}/uO\overline{K} \ar[d]^{σ} \\ O_{K_{n}}/uO_{K_{n}} \ar@{^{(}->}[r] & O\overline{K}/uO\overline{K}}

Comme R ≅ \underleftarrow{lim}_{n≥n_{1}} O\overline{K}/uO\overline{K}, on en déduit des applications injectives O_{E_{K}} ↪ R et E_{K} ↪ Fr R. Soient E^{nr} l’extension maximale non-ramifiée de E dans Fr W(Fr R) et O_{E}^{sh} son anneau d’entiers. Par fonctorialité de la hensélisation, G_{K_{a}} et φ agissent sur E^{nr}. L’inclusion i : O_{E} ↪ W(Fr R) induit, par réduction modulo p, un isomorphisme canonique entre les corps résiduels de O_{E} et E_{K_{a}}. Par conséquent, Gal(E^{nr}/E) est canoniquement isomorphe à H_{K_{a}}. Soit L une extension finie de K_{a}. On pose E_{L} = (E^{nr})^{H_{L}}. C’est une extension finie non ramifiée de E. Elle est munie d’actions naturelles de Γ_{L} et de φ . Pour L/K_{a} finie galoisienne, E_{L} est muni d’une action naturelle de Gal(L_{∞}/K_{a}). On note O_{E_{L}} l’anneau de valuation de E_{L}. On note k′_{L} le corps résiduel de E_{L} et L′ = Fr W(k′_{L}). Si L est absolument non-ramifié, alors k′_{L} = k_{L} et L′ = L_{a} = L (cf. [20, Ch.IV, Prop.17]). Dans ce cas le corps E_{L} a la description simple suivante.

Lemme 3.2. Soit L/K_{a} une extension finie non-ramifiée. Il existe un isomorphisme canonique E_{L} ≅ E ⊗_{K_{a}} L, compatible avec l’action de Γ_{L} et du Frobenius. Pour L/K_{a} finie galoisienne, cet isomorphisme est compatible à l’action de Gal(L_{∞}/K_{a}).

Démonstration. L’anneau E⊗_{K_{a}}L est un corps car K_{a} est algébriquement fermé dans E et p est inversible. Comme L = L_{a} ⊆ Fr W(Fr R), l’inclusion i s’étend, par linéarité, en i_{L} : E ⊗_{K_{a}} L ↪ Fr W(Fr R). L’image de cette application est contenue dans E_{L}. On a |i_{L}(E ⊗_{K_{a}} L) : E| = |k_{L} : k| = |E_{L} : E_{K_{a}}| = |E_{L} : E|, donc i_{L}(E ⊗_{K_{a}} L) = E_{L}.

Proposition 3.3. [11, A2.2.1] Soient \overline{π} une uniformisante de E_{L} et π un relèvement dans O_{E_{L}}. Il existe un unique isomorphisme continu de L′-algèbres, ψ_{π} : E_{L′} → E_{L} qui envoie T sur π.

Démonstration. L’anneau O_{E_{L}} est de valuation discrète, complet, absolument non-ramifié. C’est donc un anneau de Cohen (cf. [9, IV_{0} 19.8.5] ). Par [9, IV_{0} 19.8.6(ii)] il existe un isomorphisme ψ : O_{E_{L′}} → O_{E_{L}} relevant l’isomorphisme k′_{L}((T)) → E_{L} qui envoie T sur \overline{π}. On note ω = π − ψ(T) ∈ pO_{E_{L}}. Soit s = ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} ∈ O_{E_{L′}}. On écrit

∑_{n=0}^{m} a_{n}π^{n} = ∑_{n=0}^{m} a_{n}(ψ(T) + ω)^{n} = ∑_{n=0}^{m} a_{n} ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}ψ(T)^{i}ω^{n−i} =

= ∑_{j=0}^{m} ( ∑_{i=0}^{m−j} a_{j+i}\binom{j + i}{i}ψ(T)^{i}) ω^{j} = ∑_{j=0}^{m} ψ ( ∑_{i=0}^{m−j} a_{j+i}\binom{j + i}{i}T^{i}) ω^{j},

où j = n − i. Pour tout j ∈ ℕ, on pose s_{j} = ∑_{i=0}^{+∞} a_{j+i}\binom{j+i}{i}T^{i} ∈ O_{E_{L′}}. On définit ψ_{π}(s) = ∑_{n<0} a_{n}π^{n} + ∑_{j≥0} ψ(s_{j})ω^{j}, qui converge p-adiquement car ω ∈ pO_{E_{L}} et lim_{n→−∞} a_{n} = 0. L’application ψ_{π} est un isomorphisme O_{E_{L′}} → O_{E_{L}}, qui envoie T sur π. On la prolonge en un isomorphisme E_{L′} → E_{L}. L’unicité est évidente.

Soient O_{E^{†}}^{sh} l’hensélisé strict de O_{E^{†}} dans W(Fr R) et E^{†}^{nr} son corps des fractions. Par fonctorialité de la hensélisation, G_{K_{a}} et φ agissent sur E^{†}^{nr}. Comme plus haut, l’inclusion canonique O_{E^{†}}^{sh} ↪ W(Fr R) induit un isomorphisme

Gal(E^{†}^{nr}/E^{†}) ≅ H_{K_{a}}. Soit L une extension finie de K_{a}. On pose E_{L}^{†} = (E^{†}^{nr})^{H_{L}}. C’est une extension finie non ramifiée de E^{†}, de corps résiduel E_{L}. Pour L/K_{a} finie galoisienne non-ramifiée, on démontre comme dans le lemme 3.2, qu’il y a un isomorphisme canonique, E^{†} ⊗_{K_{a}} L ≅ E_{L}^{†}, compatible avec l’action de Gal(L_{∞}/K_{a}) et du Frobenius.

Proposition 3.4. [16, Prop. 3.4] Soit \overline{π} une uniformisante de E_{L}. Il existe un relèvement π de \overline{π} dans O_{E_{L}^{†}} tel que sous l’isomorphisme ψ_{π} : E_{L′} → E_{L}, on

ait ψ_{π}(E_{L′}^{†}) = E_{L}^{†}.

On note

R = { ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n}T^{n} | a_{n} ∈ K_{a}, ∃ρ_{c} ∈]0, 1[ t.q. ∀ρ ∈]ρ_{c}, 1[ , lim_{n→±∞} |a_{n}|ρ^{n} = 0} .

On munit cet anneau d’une action du Frobenius et de Γ_{K_{a}} en posant :

φ(T) = (1 + T)^{p} − 1 et ∀γ ∈ Γ_{K_{a}}, γ(T) = (1 + T)^{χ(γ)} − 1.

On pose t = log(T + 1) ∈ R, qu’on note aussi abusivement log[ε], bien qu’il n’appartienne pas à W(Fr R). On a une inclusion E^{†} ⊂ R compatible avec les actions du Frobenius et de Γ_{K_{a}}. Pour toute extension finie L/K_{a}, on pose R_{L} = R⊗_{E^{†}} E_{L}^{†}. On vérifie que cet anneau est intègre. C’est une extension étale finie de R. On le munit du Frobenius produit tensoriel des Frobenius sur R et sur E_{L}^{†}. Si L/K_{a} est galoisienne finie, alors le groupe Gal(L_{∞}/K_{a}) agit sur R_{L} en agissant sur R à travers le quotient Γ_{K_{a}} et sur E_{L}^{†} via son action naturelle. On a R_{L}^{Gal(L_{∞}/(K_{a})_{∞})} = R. On vérifie facilement que log \frac{(1+T)^{p}−1}{T^{p}} ∈ R et pour tout γ ∈ Γ_{K_{a}}, log \frac{(1+T)^{χ(γ)}−1}{T} ∈ R. On prolonge les actions de φ et Gal(L_{∞}/K_{a}) à l’anneau des polynômes R_{L}[X] par

φ_{L}(X) = pX + log \frac{(1 + T)^{p} − 1}{T^{p}}

∀γ ∈ Gal(L_{∞}/K_{a}), γ(X) = X + log \frac{(1 + T)^{χ(γ)} − 1}{T}.

On notera formellement X = log T. On désigne par R[1/t] (resp. R[log T][1/t]) le localisé de R (resp. R[log T]) en t. Dans la suite, on considérera souvent sur R_{L}[1/t] et R_{L}[log T][1/t] l’action du sous groupe Γ_{L} de Gal(L_{∞}/K_{a}). On vérifie que (cf. [3, Prop. 3.3] )

(R_{L}[log T][1/t])^{Γ_{L}} = L_{a}.

Soit L/K_{a} une extension finie galoisienne, on a R_{L′} ≅ R ⊗_{K_{a}} L′. Si on prend un relevement π ∈ E_{L}^{†} d’une uniformisante de E_{L}, satisfaisant la proposition 3.4, alors ψ_{π} se prolonge en un isomorphisme ψ_{π} : R_{L′} → R_{L}.

3.2 Le théorème de comparaison de Berger

Un (φ, Γ)-module sur O_{E_{K}} (resp. E_{K}) est un O_{E_{K}} -module de type fini (resp. un E_{K}-espace vectoriel de dimension finie) muni d’une action semi-linéaire et continue de Γ_{K} et d’un endomorphisme φ semi-linéaire par rapport au Frobenius de O_{E_{K}} (resp. E_{K}) commutant entre eux. On dit qu’un (φ, Γ)-module M sur O_{E_{K}} est étale si l’image φ(M) engendre M sur O_{E_{K}}. Pour tout (φ, Γ)-module M sur E_{K} on peut choisir un réseau stable par φ et Γ_{K}, qui est donc un (φ, Γ)-module sur O_{E_{K}}. On dit qu’un (φ, Γ)-module M sur E_{K} est étale s’il existe un réseau M de M stable par Γ_{K} et φ qui est étale. On note ΦΓ_{E_{K}}^{ét} la catégorie dont les objets sont les (φ, Γ)-modules étales et les morphismes sont les applications linéaires commutant avec φ et Γ_{K}. Dans [11], Fontaine construit une équivalence de catégories entre Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) et ΦΓ_{E_{K}}^{ét} . On

rappelle sa construction brièvement. On note Ê^{nr} le completé p-adique de E^{nr}. Pour toute ℚ_{p}-représentation V de G_{K}, on considère le E_{K}-espace vectoriel

D(V) = (Ê^{nr} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}} muni des actions semi-linéaires de Γ_{K} et de φ . C’est un objet de ΦΓ_{E_{K}}^{ét} . Le foncteur D définit une équivalence de catégories entre Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}) et ΦΓ_{E_{K}}^{ét} .

Théorème 3.5 (Cherbonnier-Colmez). [5, III 5.2] Soit V ∈ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K}). La famille des sous-E_{K}^{†}-modules de type fini de D(V) stables par φ et Γ_{K} admet un plus grand élément D^{†}(V) et on a

D(V) = E_{K} ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V).

Pour toute représentation p-adique V de G_{K}, Berger définit D_{rig}^{†}(V) = R_{K} ⊗_{E_{K}^{†}}

D^{†}(V) et D_{log}^{†}(V) = R_{K}[log T] ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V) avec les actions évidentes de φ et Γ_{K} (cf.[3, §3.2]). Soit L/K une extension galoisienne finie. Le module D(V_{|G_{L}}), est muni naturellement d’une action de Gal(L_{∞}/K). Par le théorème 3.5, on obtient une action de Gal(L_{∞}/K) sur D^{†}(V_{|G_{L}}) et donc sur D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) et D_{log}^{†}(V_{|G_{L}}).

Théorème 3.6 (Berger). [3, 3.6] Soit V est une représentation p-adique de G_{K}. On a des isomorphismes canoniques :

D_{cris}(V) ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}} et D_{st}(V) ≅ (D_{log}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}} .

Soit L/K une extension galoisienne finie. Alors les isomorphismes ci-dessus D_{cris}(V_{|G_{L}}) ≅ (D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t])^{Γ_{L}} et D_{st}(V_{|G_{L}}) ≅ (D_{log}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t])^{Γ_{L}} sont équivariants pour les actions naturelles de Gal(L/K).

Remarque 3.7. Dans [3, 3.6], l’assertion sur l’équivariance par rapport à Gal(L/K) n’apparait pas. C’est une conséquence immédiate de la démonstration. On l’a mise en évidence pour l’importance qu’elle jouera dans la suite.

4 Équations différentielles p-adiques

Soit Ω̂_{R/K_{a}}^{1} le module des différentielles continues de R sur K_{a}. C’est un R-

module libre de rang 1 de base \frac{dT}{T +1} = \frac{d[ε]}{[ε]}. Soient L/K_{a} une extension finie et L′ l’extension finie non-ramifiée de K_{a} qui lui est associée dans la section §3.1 (au dessus de Lemme 3.2). Comme R ↪ R_{L} est étale finie et L′/K_{a} est finie, on a un isomorphisme canonique Ω̂_{R_{L}/L′}^{1} ≅ R_{L} ⊗_{R} Ω̂_{R/K_{a}}^{1}. On étend la dérivation d : R → Ω̂_{R/K_{a}}^{1} en d: R[log T] → Ω̂_{R/K_{a}}^{1}, en posant d(log T) = \frac{1}{T} dT. Le corps des constantes de R_{L}[1/t] et de R_{L}[log T] est L′. On appelle équation différentielle p-adique (ou module à connexion) sur R_{K} un R_{K}-module de présentation finie muni d’une connexion. On démontre qu’un tel module est forcement libre (cf. [2, Prop. 2.3]). Une équation différentielle p-adique est dite unipotente (resp. quasi-unipotente) si elle est extension itérée d’équations différentielles triviales (resp. s’il existe une extension finie L/K telle que M ⊗_{R_{K}} R_{L} soit unipotente). On dit qu’une équation différentielle p-adique M est munie d’une structure de Frobenius s’il existe un endomorphisme φ_{M} : M → M, φ-semi-linéaire, horizontal, tel que φ_{M}(M) engendre M sur R_{K}.

4.1 Équation différentielle p-adique associée à une représentation de de Rham

Soit V une représentation galoisienne p-adique de G_{K}. On rappelle que Berger démontre que pour tout x ∈ D_{rig}^{†}(V)[1/t], la limite lim_{γ→Id_{Γ_{K}}} \frac{γ(x)−x}{χ(γ)−1} existe (cf. [3, §5.1]). On note cette limite ν(x). L’application x ↦ t^{−1}ν(x) ⊗ \frac{dT}{T +1} définit une connexion ∇_{V} : D_{rig}^{†}(V)[1/t] → D_{rig}^{†}(V)[1/t] ⊗_{R_{K}} Ω̂_{R_{K}/K′}^{1}. Soit V une représentation de de Rham de dimension n. On rappelle que Berger montre qu’il existe un unique sous-R_{K}-module libre de rang n de D_{rig}^{†}(V)[1/t] stable par t^{−1}ν. On l’appelle N_{dR}(V). Il est stable par l’action du Frobenius et de Γ_{K} (cf. [3, §5.4 et §5.5] ou [4, IV.4]). On vérifie qu’il est une muni d’une structure de Frobenius. Par construction, on associe à un morphisme de représentations de de Rham V_{1} → V_{2}, un morphisme d’équations différentielles p-adiques N_{dR}(V_{1}) → N_{dR}(V_{2}).

Théorème 4.1 (Berger). [3, 5.20] On a un foncteur additif V ↦ N_{dR}(V), de la catégorie des représentations p-adiques de de Rham de G_{K}, dans la catégorie des équations différentielles p-adiques sur R_{K} munies d’une structure de Frobenius. Ce foncteur associe à une représentation de dimension n une équation différentielle de rang n. C’est un ⊗-foncteur exacte et fidèle. L’équation N_{dR}(V) est quasi-unipotente si et seulement si la représentation V est potentiellement semi-stable. L’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement s’il existe n tel que la restriction de V à G_{K_{n}} soit semi-stable (resp. cristalline).

On étend ∇_{V} en une connexion ∇_{V} sur D_{log}^{†}(V) et N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T], en posant ∇_{V} (log T) = \frac{dT}{T}. Soit M un module à connexion sur R_{K}. On vérifie aisément que la dimension sur L′ des sections horizontales de M ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] est inférieure ou égale au rang de M. Si on a l’égalité on dit que M est triviale sur R_{L}[log T]. Le module M est unipotent si et seulement si M est triviale sur R_{K}[log T].

Corollaire 4.2. Si V est cristalline (resp. semi-stable), alors

D_{cris}(V) ⊗_{K_{a}} K′ ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V))^{∇_{V}}

(resp. D_{st}(V) ⊗_{K_{a}} K′ ≅ (D_{log}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} ) .

Démonstration. Le théorème 3.6 implique que D_{cris}(V) ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}.

Par définition de ∇_{V}, on a (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}} ⊆ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}}. Car si

x ∈ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}, alors ν(x) = lim_{γ→Id_{Γ_{K}}} \frac{γ(x)−x}{χ(γ)−1} = 0. D’autre part, par

définition, on a aussi, (N_{dR}(V))^{∇_{V}} ⊆ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}}. On vérifie facilement

que la dimension sur K′ de (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{∇_{V}} est inférieure ou égale à dim_{ℚ_{p}} V. Comme V est cristalline, dim_{ℚ_{p}} V = dim_{K_{a}} D_{cris}(V) = dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}}. D’où les premiers isomorphismes. Le cas semi-stable est analogue.

Théorème 4.3 (André, Kedlaya, Mebkhout). [1, 7.1.5] [15, 1.1] [18, 5.0-23] Tout module à connexion sur R_{K}, admettant une structure de Frobenius est quasi-unipotent.

4.2 Rappels sur l’irrégularité d’une équation différentielle p-adique

On rappelle brièvement la définition de l’indice d’une équation différentielle p-adique introduite initialement par Robba (cf. [7, §2.3] et [8, §14]). Soient C un corps et u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel V. On dit que u admet un indice si Ker u et Coker u sont de dimension finie et on appelle indice de u l’entier χ(u, V) = dim_{C} Ker u−dim_{C} Coker u. On note A = {∑_{n=0}^{+∞} a_{n}T^{n} ∈ R}. C’est la sous-algèbre de R des séries convergentes sur le disque ouvert. On note γ_{+} l’inclusion de A dans R et et γ^{+} la troncation ∑_{n∈ℤ} a_{n}T^{n} ↦ ∑_{n∈ℕ} a_{n}T^{n} de R sur A. Pour tout nombre naturel n, on note abusivement γ_{+} (resp. γ^{+}) l’inclusion de A^{⊕n} dans R^{⊕n} (resp. la projection de R^{⊕n} sur A^{⊕n}). Soit M un module à connexion sur R de rang n. On choisit une base de M. Soient ξ = T \frac{d}{dT} et G la matrice de la dérivation ∇_{ξ} : M → M par rapport à cette base. Soit u le K_{a}-endomorphisme T \frac{d}{dT} − G de R^{⊕n}. On dit que M admet un indice généralisé sur A si γ^{+} ∘ u ∘ γ_{+} admet un indice. Ceci ne dépend pas de la base choisie. On note χ̃(M, A) = χ(γ^{+} ∘ u ∘ γ_{+}, A^{⊕n}). Si deux modules à connexion sur R, M′ et M′′ ont un indice généralisé, alors pour toute extension M de M′ par M′′, χ̃(M, A) = χ̃(M′, A) + χ̃(M′′, A).

Théorème 4.4 (Christol-Mebkhout). Soit M une équation différentielle p-adique ayant une structure de Frobenius. Alors M admet un indice généralisé sur A.

Démonstration. L’existence d’une structure de Frobenius implique la solubilité de M et que ses exposants sont non-Liouville (cf. [7, §2.5]). Le corps de constantes K_{a} est de valuation discrète donc maximalement complet. C’est donc un cas particulier de [8, Th. 14.11].

Pour une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius, on appelle irrégularité de M et on note irr(M), l’indice généralisé χ̃(M, A).

Remarque 4.5. 1. Soient L/K_{a} une extension finie et M un module libre de rang r sur R ⊗_{K_{a}} L muni d’une connexion. On considère M comme une équation différentielle p-adique sur R de rang r dim_{K_{a}} L. Si M admet un indice généralisé, on pose irr(M) = (dim_{K_{a}} L)^{−1}χ̃(M, A).

2. Soit M une équation différentielle p-adique sur R_{K}. On choisit un élément π dans O_{E_{K}^{†}} comme dans 3.4. Via les isomorphismes ψ_{π} : R_{K′} → R_{K} et R_{K′} ≅ R ⊗_{K_{a}} K′, on peut définir l’irrégularité de M. On vérifie que ceci ne dépend pas du choix de π.

3. L’indice généralisé coïncide avec la définition d’indice sur E^{†} de Tsuzuki dans [23, §1] (cf. [17, §8]).

4.3 Équations quasi-unipotentes

La catégorie des équations différentielles p-adiques quasi-unipotentes est tannakienne neutre. On rappelle ici des constructions classiques (cf. [1] et [17]).

Soit k((T))^{sep} une clôture séparable fixée de k((T)) (dans la section 5 on suppose k((T))^{sep} ⊂ Fr R). Soit E/k((T)) une extension séparable finie contenue dans k((T))^{sep}. On note k_{E} son corps résiduel, G_{E} = Gal(k((T))^{sep}/E) et I_{E} le sous-groupe d’inertie. On pose E(E) = (E^{nr})^{G_{E}}, E^{†}(E) = E(E) ∩ E^{†}^{nr} et R(E) = R ⊗_{E^{†}} E^{†}(E). Évidement, si E est égal au corps de normes E_{L} associé à une extension finie L/K, alors E(E_{L}) = E_{L}, E^{†}(E_{L}) = E_{L}^{†} et R(E_{L}) = R_{L}. Les propriétés qu’on a rappelées dans les sections précédentes pour E_{L}, E_{L}^{†}, R_{L}, en dehors de l’action de Γ_{L}, sont aussi valables pour E(E), E^{†}(E), R(E). Soient F/E une extension galoisienne finie et M un R(E)-module à connexion unipotent sur R(F). On considère le Fr W(k_{F})-espace vectoriel des sections horizontales

S_{F} (M) = (M ⊗_{R(E)} R(F)[log T])^{∇}.

On le munit d’une action semi-linéaire de Gal(F/E) et d’un endomorphisme nilpotent de la façon suivante. Pour tout g ∈ Gal(F/E) et x ∈ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T], on pose g(x) = (Id ⊗g)(x). On considère sur M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] l’application Id ⊗ N, où N est la R(F)-dérivation de R(F)[log T] qui envoie log T sur 1. Cette application commute avec l’action de Gal(F/E). Les diagrammes suivantes sont commutatifs :

\xymatrix{M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} \ar[d]_{Id⊗g} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1} \ar[d]^{Id⊗g⊗dg} \\ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1}}

et

\xymatrix{M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} \ar[d]^{Id⊗N} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1} \ar[d]^{Id⊗N⊗Id} \\ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] \ar[r]^{∇} & M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] ⊗_{R_{F}} Ω̂_{R_{F} / Fr W(k_{F})}^{1}}

On en déduit sur S_{F} (M), une action de Gal(F/E) et un endomorphisme, qu’on note N_{S_{F} (M)}, commutant entre eux. On vérifie facilement que N_{S_{F} (M)} est nilpotent. On peut résumer ces données en disant que S_{F} (M) est une Fr W(k_{F})-représentation semi-linéaire du schéma en groupes Gal(F/E) × 𝔾_{a}, où Gal(F/E) est considéré comme schéma en groupes constant. La dimension de S_{F} (M) sur Fr W(k_{F}) est par construction égale au rang de M. Inversement, soit V une Fr W(k_{F})-représentation semi-linéaire de Gal(F/E) × 𝔾_{a}. On note N_{V} l’endomorphisme nilpotent de V associé à l’action de 𝔾_{a}. On pose

M_{F} (V) = \{x ∈ V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(F/E), g(x) = x, \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

Proposition 4.6. Sous les hypothèses ci-dessus, M_{F} (V) est un R(E)-module libre de rang égal à la dimension de V.

Démonstration. Comme R(F) = E^{†}(F) ⊗_{E^{†}(E)} R(E) et E^{†}(E) est un corps on vérifie que

(V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} = (V ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F))^{Gal(F/E)} ⊗_{E^{†}(E)} R(E).

Comme Gal(E^{†}(F)/E^{†}(E)) = Gal(F/E), on en déduit par un raisonnement classique (cf. [20, Ch.X Prop.3]) que (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} est un R(E)- module libre de rang égal à la dimension de V. On définit un isomorphisme

f : (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)} → M_{F} (V),

en posant f(∑_{l} v_{l} ⊗ α_{l}) = ∑_{l} ∑_{i=0}^{r−1} (−)^{i}N_{V}^{i} (v_{l}) ⊗ α_{l}(log T)^{i}, où r est un entier tel que N_{V}^{r} = 0. L’application inverse g : M_{F} (V) → (V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F))^{Gal(F/E)}, est induite par la projection R(F)[log T] → R(F) qui envoie log T en 0. En fait, par construction gf = Id et pour conclure il suffit de montrer que g est injective. Soit x = ∑_{l} v_{l} ⊗ (∑_{i=0}^{d} α_{i,l}(log T)^{i}). Supposons que g(x) = ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{0,l} = 0. La relation (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 équivaut à

∀i = 0, …, d, ∑_{l} N_{V} (v_{l}) ⊗ α_{i,l} = − ∑_{l} v_{l} ⊗ (i + 1)α_{i+1,l}.  (⋆)

Comme ∑_{l} v_{l}⊗α_{0,l} = 0, en appliquant N_{V} ⊗Id+Id⊗N, on obtient ∑_{l} N_{V} (v_{l})⊗ α_{0,l} = 0. D’où par (⋆), ∑_{l} v_{l} ⊗ α_{1,l} = 0. Ainsi, par récurrence, on montre x = 0.

On munit M_{F} (V) de la connexion induite par d : R(F)[log T] → Ω̂_{R(F)/ Fr W(k_{F})}^{1} et la connexion triviale sur V. Par construction, il est quasiunipotent. Les inclusions naturelles

S_{F} (M) ⊆ M ⊗_{R(E)} R(F)[log T] et M_{F} (V) ⊆ V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T]

induisent par linéarisation des isomorphismes

S_{F} (M) ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T] → M ⊗_{R(E)} R(F)[log T],
M_{F} (V) ⊗_{R(E)} R(F)[log T] → V ⊗_{Fr W(k_{F})} R(F)[log T]

compatibles aux structures supplémentaires. On en déduit que le foncteur M_{F} est un quasi-inverse de S_{F}. On introduit une variante de ces équivalences après extension des scalaires à \overline{K}. On rappelle que le produit R(E)\overline{K} = R(E) ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K} est intègre car Fr W(k_{E}) est algébriquement fermé dans R(E). Pour une extension galoisienne E/k((T)), on étend linéairement l’action de l’inertie I(E/k((T))) à R(E)\overline{K}. Si F/E est une extension galoisienne finie, alors R(F)I(F/E) ; \overline{K} = R(E)\overline{K}. Tout module à connexion M, libre de type fini sur R(E)\overline{K}, provient par extension des scalaires, d’un module M′, libre de type fini sur R(E) ⊗_{Fr W(k_{E})} L, où L est une extension finie de Fr W(k_{E}) contenue dans \overline{K}. On peut donc parler d’irrégularité de M (cf. Rem.4.5-1 et 4.5-2). Soit M un module à connexion sur R(E)\overline{K}, unipotent sur R(F)\overline{K}. On pose

S′_{F} (M) = (M ⊗_{R(E)\overline{K}} R(F)\overline{K}[log T])^{∇}.

C’est une représentation linéaire de I(F/E)×𝔾_{a}. De façon analogue à ci-dessus, le foncteur S′_{F} est une équivalence de catégories entre modules à connexion sur R(E)\overline{K}, unipotents sur R(F)\overline{K} et représentations linéaires sur \overline{K} du schéma en groupes I(F/E) × 𝔾_{a}. Un quasi-inverse est donné par

M′_{F} (V) = \{x ∈ V ⊗\overline{K} R(F)\overline{K}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ I(F/E), g(x) = x, \\ (N_{V} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0 \end{matrix} \} .

Pour tout R(E)-module à connexion M, on considère son extension des scalaires M ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K} comme module à connexion sur R(E)\overline{K}. Il est évident que S′_{F} (M ⊗_{Fr W(k_{E})} \overline{K}) = S_{F} (M) ⊗_{Fr W(k_{F})} \overline{K}, où on ne considère sur S_{F} (M) que l’action du sous-groupe I(F/E) × 𝔾_{a} de Gal(F/E) × 𝔾_{a}. La proposition suivante est une variante d’une proposition de Tsuzuki [23].

Proposition 4.7. [1, 7.1.2] Soient M un R(E)-module à connexion quasiunipotent et F/E une extension galoisienne finie telle que M soit unipotent sur R(F). Alors l’irrégularité de M est égale au conducteur de Swan de la représentation S_{F} (M) du groupe d’inertie I(F/E).

Démonstration. Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité ne varient pas par extension des scalaires on peut tensoriser avec \overline{K}. L’équivalence S′_{F} induit un isomorphisme entre le groupe de Grothendieck des R(E)\overline{K}- modules à connexion, unipotents sur R(F)\overline{K} et le groupe de Grothendieck des représentations de I(E/F) × 𝔾_{a} sur \overline{K}. Dans ce dernier la classe d’une représentation V de I(E/F) × 𝔾_{a} est égale à la classe de sa restriction à I(F/E). Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité se factorisent par le groupe de Grothendieck, il suffit de vérifier qu’ils se correspondent par S′_{F}. Dans cet isomorphisme l’induction d’une représentation correspond à l’oubli de structure pour le module à connexion correspondant. Le conducteur de Swan et l’irrégularité varient de la même façon par rapport à l’induction et à l’oubli respectivement. On peut, en appliquant le théorème d’induction de Brauer (cf. [21, §10] ), se réduire au cas de dimension 1. Soit M un module à connexion sur R(E)\overline{K} de rang 1, unipotent sur R(F)\overline{K}. On considère la représentation S = S′_{F} (M) de I = I(F/E). Soit Λ l’extension finie de ℚ_{p}, obtenue en ajoutant les racines m-ièmes de l’unité, où m est l’exposant du groupe I. Par un autre théorème de Brauer (cf.[21, §12.2, Th.24] ), il existe une représentation S_{0} de I sur Λ telle que S ≅ S_{0} ⊗_{Λ} \overline{K}. On note Λ′ ⊆ \overline{K} l’extension non-ramifié de Λ de corps résiduel k_{F}. On rappelle que Tsuzuki [23] associe à S_{0} un module à connexion D^{†}(S_{0}) sur Λ′ ⊗_{Fr W(k_{E})} E^{†}(E), d’irrégularité égale au conducteur de Swan de S_{0} (en fait le cas de dimension 1 est dû à Matsuda [16]). On vérifie que D^{†}(S_{0}) = (S_{0} ⊗_{Λ} (Λ′ ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F)))^{I}, avec la connexion induite par celle de E^{†}(F). Comme S est de rang 1, on a M′_{F} (S) = (S ⊗\overline{K} R(F)\overline{K})^{I}. On termine par,

M′_{F} (S) ≅ (S_{0} ⊗_{Λ} \overline{K} ⊗_{Fr W(k_{F})} (E^{†}(F) ⊗_{E^{†}(E)} R(E)))^{I}
≅ (S_{0} ⊗_{Λ} Λ′ ⊗_{Fr W(k_{F})} E^{†}(F))^{I} ⊗_{(Λ′⊗_{Fr W(k_{E})}E^{†}(E))} (\overline{K} ⊗_{Fr W(k_{E})} R(E))
≅ D^{†}(S_{0}) ⊗_{(Λ′⊗_{Fr W(k_{E})}E^{†}(E))} R(E)\overline{K}.

5 Preuve du théorème 1.1 et corollaires

Soient V une représentation p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie. On rappelle (cf. §3.2) que les modules D(V_{|G_{L}}), D^{†}(V_{|G_{L}}) et D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) sont munis d’une action naturelle de Gal(L_{∞}/K). Pour tout x ∈ D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t] et g ∈ Gal(L_{∞}/K), g(t^{−1}ν(x)) = χ(g)^{−1}t^{−1}ν(g(x)). Pour V de de Rham, on en déduit une action de Gal(L_{∞}/K) sur N_{dR}(V_{|G_{L}}). On munit les modules D(V), D^{†}(V), D_{rig}^{†}(V) et N_{dR}(V) de l’action de Gal(L_{∞}/K) via le quotient Γ_{K}.

Lemme 5.1. Soient V une représentation p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie. On a des isomorphismes canoniques :

i) D(V_{|G_{L}}) ≅ E_{L} ⊗_{E_{K}} D(V) ;
ii) D^{†}(V_{|G_{L}}) ≅ E_{L}^{†} ⊗_{E_{K}^{†}} D^{†}(V) ;
iii) D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}}) ≅ R_{L} ⊗_{R_{K}} D_{rig}^{†}(V) ;
iv) pour V de de Rham, N_{dR}(V_{|G_{L}}) ≅ R_{L} ⊗_{R_{K}} N_{dR}(V).

Ces isomorphismes sont compatibles avec les actions de Gal(L_{∞}/K).

Démonstration. i) On a une application E_{K}-linéaire injective D(V) → D(V_{|G_{L}}), compatible à l’action de Gal(L_{∞}/K). Comme dim_{E_{K}} D(V) = dim_{E_{L}} D(V_{|G_{L}}) = dim_{ℚ_{p}} V, elle induit un isomorphisme E_{L} ⊗_{E_{K}} D(V) ≅ D(V_{|G_{L}}) équivariant pour l’action de Gal(L_{∞}/K). ii) est une conséquence du Théorème 3.5. iii) se déduit directement de ii). iv) L’injection N_{dR}(V) ⊆ D_{rig}^{†}(V)[1/t] entraîne que R_{L} ⊗_{R_{K}} N_{dR}(V) ⊆ R_{L} ⊗_{R_{K}} D_{rig}^{†}(V)[1/t] = D_{rig}^{†}(V_{|G_{L}})[1/t]. C’est un sous-R_{L}- module stable par t^{−1}ν, par l’unicité de N_{dR}(V_{|G_{L}}) il est égal à N_{dR}(V_{|G_{L}}).

Soit V une représentation potentiellement semi-stable de G_{K}. Choisissons une extension galoisienne finie L/K telle que la restriction de V à G_{L} soit semistable. Soit L′/K_{a} l’extension finie non-ramifiée associée à L dans la section §3.1 (au dessus de Lemme 3.2). On considère le L′-espace vectoriel des sections horizontales

S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} .

L’action de Gal(L_{∞}/K) sur N_{dR}(V)⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] commute avec la connexion par la définition même de cette dernière (cf. §4.1). On en déduit une action semi-linéaire de Gal(L_{∞}/K) sur S_{E_{L}}(N_{dR}(V)). La restriction de cette action au sous-groupe Gal(L_{∞}/K_{∞}) correspond via l’identification Gal(E_{L}/E_{K}) ≅ Gal(L_{∞}/K_{∞}) à l’action décrite au §4.3.

Proposition 5.2. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à G_{L} soit semi-stable. Il existe un isomorphisme canonique

N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T] ≅ D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T].  (1)

Le groupe Gal(L_{∞}/K) agit sur le deux membres de (1) : à gauche comme décrit plus haut et à droite diagonalement, par son quotient Gal(L/K) sur D_{st}(V_{|G_{L}}) et par son action naturelle sur R_{L}[log T]. L’isomorphisme (1) est équivariant pour cette action. Il est aussi horizontal où on considère à droite la connexion triviale sur D_{st}(V_{|G_{L}}). De façon équivalente, en prenant les sections horizontales, on un isomorphisme canonique Gal(L_{∞}/K)-équivariant

S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) ≅ D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} L′.  (2)

Par conséquent, l’action de Gal(L_{∞}/K) sur S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) se factorise par son quotient fini Gal(L ⊗_{L_{a}} L′/K). Le conducteur de Swan de V est égal à sw(I(L ⊗_{L_{a}} L′/K), S_{E_{L}}(N_{dR}(V))).

Démonstration. Par le corollaire 4.2, on a un isomorphisme

D_{st}(V_{|G_{L}}) ⊗_{L_{a}} L′ ≅ (N_{dR}(V_{|G_{L}}) ⊗_{R_{L}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} .

Il est équivariant par rapport à l’action de Gal(L_{∞}/K) car il est le composé de l’isomorphisme équivariant du théorème 3.6 avec une inclusion naturelle. Cette action se factorise évidemment par Gal(L ⊗_{L_{a}} L′/K). Le lemme 5.1-iv) donne un isomorphisme, Gal(L_{∞}/K)-équivariant,

(N_{dR}(V_{|G_{L}}) ⊗_{R_{L}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T])^{∇_{V}} =S_{E_{L}}(N_{dR}(V)).

Ceci montre (2). L’isomorphisme (1) suit en tensorisant (2) par R_{L}[log T] au dessus de L′ et en composant avec l’isomorphisme canonique S_{E_{L}}(N_{dR}(V))⊗_{L′} R_{L}[log T] ≅ N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T].

Remarque 5.3. Un résultat analogue à la proposition 5.2 a été démontré par N.Wach pour les représentations sur un corps absolument non-ramifié, qui sont de de Rham et de hauteur finie (cf. [24, A5 et B1.4.2] ).

Soit L/K une extension galoisienne finie quelconque contenue dans \overline{K}. Pour tout n ∈ ℕ, on note G_{n} = Gal(L_{n}/K_{n}) et I_{n} son sous-groupe d’inertie. Pour n ∈ ℕ, la restriction induit un monomorphisme de groupes f_{n} : G_{n+1} ↪ G_{n}. Soit n(L) le plus petit entier tel que K_{n(L)} contienne l’intersection de L avec K_{∞}. Pour n ≥ n(L), f_{n} est un isomorphisme et le groupe G_{n} est canoniquement isomorphe à Gal(E_{L}/E_{K}). Par abus on note encore f_{n} : Gal(E_{L}/E_{K}) → G_{n} cet isomorphisme. Le lemme suivant est une reformulation d’un résultat classique de Sen (cf. [19, Lemma 1, pg. 40] et [25, 3.3.2] ).

Lemme 5.4. Pour n assez grand la filtration de ramification supérieure et inférieure de G_{n} est stationnaire et correspond via l’isomorphisme f_{n} à la filtration de ramification de Gal(E_{L}/E_{K}).

Démonstration. On utilise ici une définition différente du corps de normes mais équivalente à celle donnée dans le paragraphe 3.1. On considère la limite projective d’ensembles \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} O_{K_{n}}, où les applications de transitions sont les normes. Cet ensemble est isomorphe à O_{E_{K}} muni de la multiplication composante par composante et de la somme donnée par la formule suivante. Si x = (x_{n})_{n∈ℕ} et y = (y_{n})_{n∈ℕ} appartient à O_{E_{K}}, alors (x + y)_{n} = lim_{m→+∞} N_{K_{m}/K_{n}}(x_{m} + y_{m}). On note G = Gal(E_{L}/E_{K}). Soit π ∈ E_{L} une uniformisante. Comme (L_{n}/K)_{n≥1} est cofinal dans l’ensemble des sous-extension finies de L_{∞}/K, on peut écrire π = (π_{n})_{n≥1} avec π_{n} ∈ L_{n}. Soit n′ ≥ n(L) un entier tel que L_{∞}/L_{n′} soit totalement ramifiée. Pour tout n ≥ n′, π_{n} est une uniformisante de L_{n}. Pour tout g ∈ G et n ≥ n′, on pose i(g) = i_{G}(g) = v_{E_{L}}(g(π) − π) et i_{n}(g) = i_{G_{n}}(f_{n}(g)) = v_{L_{n}}(f_{n}(g)(π_{n}) − π_{n}). On doit montrer que i(g) = lim_{n→+∞} i_{n}(g). En fait,

i(g) = v_{E_{L}}(g(π) − π) = v_{L_{n′}} ((g(π) − π)_{n′}) =

= v_{L_{n′}} ( lim_{n′≤n→+∞} N_{L_{n}/L_{n′}} (g(π_{n}) − π_{n})) =

= lim_{n′≤n→+∞} v_{L_{n′}} (N_{L_{n}/L_{n′}} (g(π_{n}) − π_{n})) =

= lim_{n′≤n→+∞} v_{L_{n}}((g(π_{n}) − π_{n})) = lim_{n→+∞} i_{n}(g).

On rappelle qu’on a noté V_{n} = V_{|G_{Kn}}.

Lemme 5.5. Soit V une représentation potentiellement semi-stable. La suite (sw(V_{n}))_{n∈ℕ} est stationnaire.

Démonstration. Par définition sw(V_{n}) = sw(D_{pst}(V_{n})_{|I_{Kn}}). On a un monomorphisme évident D_{pst}(V_{n}) ↪ D_{pst}(V)_{|G_{Kn}}, qui est un isomorphisme car D_{pst}(V_{n}) et D_{pst}(V) ont la même dimension. Donc D_{pst}(V_{n})_{|I_{Kn}} ≅ D_{pst}(V)_{|I_{Kn}} et l’action de I_{K_{n}} se factorise par I_{n}. Par le lemme 5.4, pour n assez grand, le conducteur sw(D_{pst}(V)_{|I_{Kn}}) est constant.

Soit V une représentation de G_{K} qui devient semi-stable sur L. Pour un entier n assez grand, on considère D_{pst}(V_{n}) = K_{a}^{nr} ⊗_{L′} D_{st}(V_{|G_{Ln}}) comme K_{a}^{nr}-représentation semi-linéaire de Gal(E_{L}/E_{K}) via l’isomorphisme f_{n}. Cette représentation ne dépend pas de n. Sa restriction à l’inertie est linéaire. Dans la suite on la considère comme une représentation de G_{E_{K}} et on la note D_{pst}^{∞}(V). Par le lemme 5.5,

sw(D_{pst}^{∞}(V)) = lim_{n→+∞} sw(V_{n}).  (3)

Démonstration du théorème 1.1. Par le théorème de monodromie p-adique la représentation V est potentiellement semi-stable. Soit L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable. On choisit un entier n assez grand de façon que G_{n} = Gal(L_{n}/K_{n}) soit isomorphe à Gal(E_{L}/E_{K}) avec leurs filtrations de ramifications. Donc D_{pst}^{∞}(V) = D_{pst}(V_{n}) et sw(D_{pst}^{∞}(V)) = sw(I(L_{n}/K_{n}), D_{st}(V_{|G_{Ln}})). Par la proposition 5.2, on a un isomorphisme S_{E_{Ln}} (N_{dR}(V)) ≅ D_{st}(V_{|G_{Ln}}), équivariant par rapport à l’action de Gal(L_{n}/K). D’où, par restriction, l’égalité de sw(I(L_{n}/K_{n}), D_{st}(V_{|G_{Ln}})) et de sw(I(E_{L}/E_{K}), S_{E_{Ln}} (N_{dR}(V))). Comme E_{L} = E_{L_{n}}, ce dernier est égal à l’irrégularité de N_{dR}(V), par la proposition 4.7.

Lemme 5.6. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K}, L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable et n′ le plus petit entier tel que K_{n′} ⊇ (L ⊗_{L_{a}} L′) ∩ K_{∞}. Alors :

i) Pour tout n ≥ n′, D_{st}(V_{n}) = D_{st}(V_{n′}) ≅ (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} .

ii) Pour tout n ≥ n′, D_{cris}(V_{n}) = D_{cris}(V_{n′}) ≅ (N_{dR}(V))^{∇_{V}} .

Démonstration. On pose D = D_{st}(V_{|G_{L}}). i) On considère l’isomorphisme (1) (prop. 5.2), D ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T] ≅ N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{L}[log T]. En prenant les sections horizontales et les points fixès par Gal(L_{∞}/K_{∞}), on obtient D_{st}(V_{n′}) = (D ⊗_{L_{a}} L′)^{Gal(L_{∞}/K_{∞})} = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}}. Pour m ≥ n′, de façon analogue, on obtient D_{st}(V_{m}) = (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K_{m}}[log T])^{∇_{V}}. Comme H_{K_{m}} = H_{K}, on a R_{K} = R_{K_{m}} en tant qu’anneaux. D’où D_{st}(V_{m}) = D_{st}(V_{n′}). ii) Par la proposition 5.2,

(N_{dR}(V))^{∇_{V}} ≅ (M_{E_{L}}(D ⊗_{L_{a}} L′))^{∇}

= \{x ∈ D ⊗_{L_{a}} R_{L}[log T] | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L_{∞}/K_{∞}), g(x) = x, \\ (N_{D} ⊗ Id + Id ⊗ N)(x) = 0, \\ (Id ⊗ d)(x) = 0 \end{matrix} \}

= \{x ∈ D ⊗_{L_{a}} L′ | \begin{matrix}∀g ∈ Gal(L_{∞}/K_{∞}), g(x) = x, \\ (N_{D} ⊗ Id)(x) = 0 \end{matrix} \} = D_{cris}(V_{n′}).

On conclut comme dans i).

Corollaire 5.7. Soit V une représentation de de Rham de G_{K}. Alors :

lim_{n→+∞} ar(V_{n})

= irr(N_{dR}(V)) + rg(N_{dR}(V)) − dim_{K′} (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} et

lim_{n→+∞} ar_{cris}(V_{n}) = irr(N_{dR}(V)) + rg(N_{dR}(V)) − dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}} .

Démonstration. Soit L/K une extension galoisienne finie telle que V_{|G_{L}} soit semi-stable. On pose D = D_{st}(V_{|G_{L}}). On rappelle que dim_{L_{a}} D^{I(L/K)} = dim_{K_{a}} D^{Gal(L/K)} car H^{1}(Gal(k_{L}/k), GL_{n}(L_{a})) est triviale (cf. [20, Ch.X, Prop.3]). On a ar(V) − sw(V) = dim_{L_{a}} D − dim_{L_{a}} D^{I(L/K)} = dim_{L_{a}} D − dim_{K_{a}} D^{Gal(L/K)} = dim_{ℚ_{p}} V − dim_{K_{a}} D_{st}(V) = rg(N_{dR}(V)) − dim_{K_{a}} D_{st}(V). Par le théorème 1.1 et le lemme 5.6-i) on obtient la première formule. On en déduit facilement la deuxième en utilisant la définition de ar_{cris}(V) et 5.6-ii).

Remarque 5.8. Le corollaire 5.7 généralise un résultat de Berger (cf. Th. 4.1 et [3, Th. 5.20] ) : l’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement si V est semi-stable (resp. cristalline) sur K_{n}, pour n assez grand. En effet V est semi-stable (resp. cristalline) sur K_{n} si et seulement si ar(V_{n}) = 0 (resp. ar_{cris}(V_{n}) = 0). L’équation N_{dR}(V) est unipotente (resp. triviale) si et seulement si rg(N_{dR}(V)) = dim_{K′} (N_{dR}(V) ⊗_{R_{K}} R_{K}[log T])^{∇_{V}} (resp. rg(N_{dR}(V)) = dim_{K′} (N_{dR}(V))^{∇_{V}}) et dans ce cas on a aussi irr(N_{dR}(V)) = 0.

Soit M une équation différentielle p-adique ayant une structure de Frobenius. Dans [7], Christol et Mebkhout associent à M une décomposition en somme directe indexée par les rationnels, la décomposition par les pentes p-adiques. C’est un théorème profond de la théorie que la hauteur du polygone de Newton associé à cette décomposition est égale à l’indice χ̃(M, A).

Corollaire 5.9. Soient V une représentation galoisienne p-adique de G_{K} et L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à G_{L} soit semi-stable.

i) On a un isomorphisme Gal(E_{L}/E_{K})-équivariant,

D_{pst}^{∞}(V) ≅ K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)).

ii) Sous l’isomorphisme du i), la décomposition de K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)) induite par les pentes p-adiques de N_{dR}(V), correspond à la décomposition par les pentes de Swan de D_{pst}^{∞}(V) (cf. [14, Ch. 1] ). Par conséquent, on a l’égalité des polygones de Newton associés.

Démonstration. On déduit l’assertion i) par restriction de l’isomorphisme (2) (prop.5.2) à Gal(L_{∞}/K_{∞}). Pour ii), soit N_{dR}(V) = ⊕_{q∈ℚ}N_{dR}(V)_{q} la décomposition par les pentes p-adiques. On pose D_{q} = K_{a}^{nr} ⊗_{L′} S_{E_{L}}(N_{dR}(V)_{q}).

C’est un facteur directe de D_{pst}^{∞}(V) de dimension égal au rang de N_{dR}(V)_{q}. C’est stable par φ et N. Par la proposition 4.7, on a sw(D_{q}) = irr(N_{dR}(V)_{q}) = q rg N_{dR}(V)_{q} = q dim_{K_{a}^{nr}} D_{q}. Pour conclure il suffit de montrer que toute pente de Swan de D_{q} est égale à q. Soient s une pente de Swan de D_{q} et D_{q,s} ≠ 0 sa partie isopentique de pente s. Par [14, Lemma 1.8] , D_{q,s} est stable par Gal(E_{L}/E_{K}). Comme φ et N commutent avec Gal(E_{L}/E_{K}), l’unique pente possible pour φ(D_{q,s}) et N(D_{q,s}) est s. Comme D_{q,s} est maximal de pente s, on a φ(D_{q,s}) ⊆ D_{q,s} et N(D_{q,s}) ⊆ D_{q,s}. On en déduit que M_{E_{L}}(D_{q,s}) est un sous-module différentiel de N_{dR}(V)_{q} muni d’un Frobenius. Donc M_{E_{L}}(D_{q,s}) a comme seule pente q. Par 4.7,

s dim_{K_{a}^{nr}} D_{q,s} = sw(D_{q,s}) = irr(M_{E_{L}}(D_{q,s})) = q rg M_{E_{L}}(D_{q,s}) = q dim_{K_{a}^{nr}} D_{q,s}.

D’où s = q.

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Adriano Marmora LAGA, Institut Galilée Université Paris 13 93430 Villetaneuse (France) marmora@math.univ-paris13.fr 434

Documenta Mathematica 9 (2004)