Zur Bewegung einer Kugel

in einer zähen Flüssigkeit

Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. Starovoitov

Received: March 13, 1997

Communicated by Alfred K. Louis

Abstract. In dieser Arbeit untersuchen wir die Bewegung einer Festkugel im beschränkten Gebiet, das mit einer inkompressiblen zähen Flüssigkeit gefüllt ist. Wir beweisen, dass die Festkugel die Wand des Behälters mit der Geschwindigkeit Null erreicht. Als eine Folgerung wird die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt.

1991 Mathematics Subject Classification: 35Q30

1 Einführung und Hauptergebnisse.

Es sei Ω ein Gebiet im R^{3} mit Rand ∂Ω. Wir nehmen an, daß Ω mit einer inkompressiblen Flüssigkeit gefüllt ist, und ein Festkörper darin schwimmt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, diese Bewegung zu beschreiben. Die Hauptschwierigkeit der Aufgabe besteht darin, daß der Körper an die Wand des Behälters stoßen kann. Es ist nicht ganz klar, welche Bedingungen man in diesem Moment erhält. Daher wurde das Problem bisher mathematisch nur für solche Gebiete betrachtet, die mit dem ganzen Raum übereinstimmen ([1], [2]). Eine Übersicht über mechanische und numerische Behandlungen des Problems kann man in [3] finden. In [4] haben wir für den zweidimensionalen Fall bewiesen, daß der Körper die Wand mit der Geschwindigkeit Null erreicht, wenn sein Rand und der Rand des Gebietes zur Klasse C^{2} gehören. Als eine Folgerung wurde die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt. Jetzt wird dieses Ergebnis auf den dreidimensionalen Fall erweitert werden. Wir setzen einschränkend voraus, daß das Gebiet Ω und der Körper Kugeln sind. Die Ergebnisse gelten aber auch, wenn man mehrere Kugeln im Gebiet betrachtet. Diese Voraussetzung wird eigentlich nur im Satz 2 benutzt. Um die Berechnungen zu vereinfachen, nehmen wir außerdem an, daß die Dichten der Flüssigkeit und des Körpers beide gleich eins sind, und keine Volumenkräfte vorhanden sind.

Es seien V (t) das Gebiet, das der Festkörper einnimmt, und Γ(t) sein Rand zur Zeit t. Es ist die Aufgabe, das Geschwindigkeitsfeld v̄ der Flüssigkeit, die Geschwindigkeit ū_{∗} = dx̄_{∗}/dt des Schwerpunktes x̄_{∗} des Festkörpers (des Mittelpunktes der Kugel V) und seine Winkelgeschwindigkeit ω̄ zu finden, die den Gleichungen

\begin{matrix}v̄_{t} + (v̄ · ∇)v̄ = divP, \\ divv̄ = 0, \\ P = −pI + D(v̄), \end{matrix}  x̄ ∈ Ω\V (t)  (1.1)

\begin{matrix}m\frac{dū_{∗}}{dt} = ∫_{Γ(t)} P < n̄ > ds, \\ J_{∗} \frac{dω̄}{dt} = ∫_{Γ(t)}(x̄ − x̄_{∗}) × P < n̄ > ds, \end{matrix}  (1.2)

genügen. Hier sind m die Masse des Körpers, J_{∗} der Tensor des Inertiamomentes des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes, P der Spannungstensor, p der Druck und D(v̄) der Deformationsgeschwindigkeitstensor mit den Komponenten

D_{ij}(v̄) = \frac{1}{2} (\frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} ) .

Für das Gleichungssystem (1.1)–(1.2) stellen wir folgende Rand- und Anfangsbedingungen

t = 0 : v̄ = v̄_{0}, ū_{∗} = ū_{∗}^{0}, ω̄ = ω̄_{0}, V = V_{0},  (1.3)
Γ(t) : v̄(x̄, t) = ū_{∗}(t) + ω̄(t) × (x̄ − x̄_{∗}(t)),  (1.4)
∂Ω :  v̄ = 0.  (1.5)

Wir nennen (1.1)–(1.5) Aufgabe A. Nun definieren wir den Begriff der verallgemeinerten Lösung der Aufgabe A. Es seien

φ(x̄, t) = \{ \begin{matrix}1, & x̄ ∈ V (t), \\ 0, & x̄ ∈ Ω \ V (t), \end{matrix}

K(χ) = {ψ̄ ∈ H_{0}^{1}(Ω) | D(ψ̄)(x̄) = 0 für x̄ ∈ S(χ), divψ̄ = 0},

wobei χ die charakteristische Funktion einer Teilmenge von Ω ist, und S(χ) die Menge der Punkte mit χ = 1 bezeichnet. Mit L_{p}(0, T; K(χ)), p ≥ 1, bezeichnen wir die Menge der Funktionen aus L_{p}(0, T; H_{0}^{1}(Ω)), die für fast alle t ∈ [0, T] zu K(χ) gehören. Es seien Char(E) die Klasse der charakteristischen Funktionen aller Teilmengen einer Menge E und Q = [0, T] × Ω für T < ∞.

Definition 1. Ein Paar von Funktionen

v̄ ∈ L_{∞}(0, T; L_{2}(Ω)) ∩ L_{2}(0, T; K(φ)),

φ ∈ Char(Q) ∩ C^{1/p}(0, T; L_{p}(Ω)), 1 < p < ∞, heißt verallgemeinerte Lösung der Aufgabe A, wenn die Integralidentitäten

∫_{Q} {v̄(ψ̄_{t} + (v̄ · ∇)ψ̄) − D(v̄) : D(ψ̄)}dx̄dt = − ∫_{Ω} v̄_{0} · ψ̄_{0}dx̄,  (1.6)

∫_{Q} φ(η_{t} + v̄ · ∇η)dx̄dt = − ∫_{Ω} φ_{0}η_{0}dx̄  (1.7)

für beliebige Funktionen η ∈ C^{1}(Q), η(T) = 0, ψ̄ ∈ H^{1}(Q) ∩ L_{2}(0, T; K(φ)), ψ̄(T) = 0 gelten.

Bemerkung. Wir charakterisieren den Festkörper durch die Bedingung, daß D(v̄)(x̄) = 0 für x̄ ∈ S(φ). Das ist folgendermaßen motiviert. Der Kern des Operators D besteht aus Funktionen, die die Form v̄ = ā + ω̄ × x̄, ā, ω̄ ∈ R^{3}, haben ([5], S.18). Damit bewegt sich die Flüssigkeit wie ein Festkörper. Deshalb nennen wir solche Funktionen auch “starre” Funktionen. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der folgende Satz.

Satz 1. Sei v̄_{0} ∈ L_{2}(Ω). Wenn Ω und S(φ_{0}) Kugeln in R^{3} sind, hat die Aufgabe A mindestens eine verallgemeinerte Lösung. Außerdem gelten:

1. Es gibt eine Familie von Abbildungen A_{s,t} : R^{3} → R^{3}, s, t ∈ [0, T], so daß S(φ(t)) = A_{s,t}(S(φ(s))) (und S(φ(t)) = A_{0,t}(S(φ_{0}))), A_{s,t}(x̄) ist “starr” (im Sinne obiger Bemerkung), und A_{s,t} Lipschitz-stetig bezüglich s und t ist.

2. Wenn h(t) = dist(∂Ω, S(φ(t))) und h(t_{0}) = 0 für t_{0} ∈ [0, T], so gilt

lim_{t→t_{0}} h(t)|t − t_{0}|^{−1} = 0.

3. Für fast alle t ∈ {t ∈ [0, T] | h(t) = 0} weist ω̄(t) in Richtung von n̄_{M}, und es gilt v̄_{M} = 0. Ferner sind M = ∂Ω∩∂S(φ(t)) ein Punkt, v̄_{M} die Geschwindigkeit des Punktes des Körpers, der mit M übereinstimmt, und n̄_{M} die Normale der Fläche ∂S(φ(t)) (und ∂Ω) in M.

Bemerkung. Die zweite Behauptung des Satzes bedeutet, daß der Festkörper die Wand mit Geschwindigkeit Null erreicht.

2 Der Raum K(χ).

Hier untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen, die zum Raum K(χ) gehören. Es wird immer angenommen, daß Ω und S(χ) Kugeln sind, und 0 der Mittelpunkt von Ω ist. Es sei {A_{s}} eine Familie von Abbildungen A_{s} : R^{3} → R^{3}, die die Form

A_{s}(x̄) = ā(s) + B(s) < x̄ >  (2.1)

haben, wobei ā : R → R^{3}, B : R → R^{3} × R^{3} glatte Funktionen sind, B(s) für jedes s eine lineare orthogonale Abbildung ist, und ā(0) = 0, B(0) = I gilt.

Satz 2. Es seien χ die charakteristische Funktion einer Kugel S(χ) ⊂ Ω und χ_{s}(x̄) = χ(A_{s}^{−1}(x̄)), s ≥ 0, d.h. S(χ_{s}) = A(S(χ)). Wenn S(χ_{s}) ⊂ Ω für jedes s ∈ [0, s_{0}], s_{0} > 0, gilt, dann konvergiert K(χ_{s}) → K(χ) für s → 0 in H_{0}^{1}(Ω), d.h. für jede Funktion ψ̄ ∈ K(χ) gibt es eine Folge von Funktionen ψ̄_{s} ∈ K(χ_{s}) mit ψ̄_{s} → ψ̄ in H_{0}^{1}(Ω).

Beweis. Weil S(χ) eine Kugel ist, gibt es viele Abbildungen der Art (2.1), die S(χ) auf S(χ_{s}) abbilden. Wir nehmen ein solches A_{s}, so daß |ā(s)| minimal ist. Es sei ψ̄ eine Funktion aus K(χ). Wir müssen eine Folge von Funktionen ψ̄_{s} ∈ K(χ_{s}) konstruieren, die gegen ψ̄ in H_{0}^{1}(Ω) konvergiert. Zuerst konstruieren wir eine Folge von Funktionen ζ̄_{s} = B(s) < ψ̄(B^{−1}(s) < x̄ >) >. Es ist klar, daß ζ̄_{s} ∈ K(η_{s}) ist, und ζ̄_{s} gegen ψ̄ in H_{0}^{1}(Ω) für s → 0 konvergiert, wobei η_{s}(x̄) = χ(B^{−1}(s) < x̄ >) ist. Jetzt haben wir nur zu beweisen, daß eine Folge von Funktionen ξ̄_{s} ∈ K(μ_{s}) existiert, wobei μ_{s}(x̄) = χ(x̄−ā(s)), die gegen ψ̄ in H_{0}^{1}(Ω) konvergiert. Wir merken an, daß der Vektor ā in Richtung des Radius von Ω zeigt. Es sei ū die “starre” Funktion, die mit ψ̄ in S(χ) übereinstimmt. Wir nehmen ξ̄_{s} als die Lösung der folgenden Aufgabe:

\begin{matrix}Δξ̄_{s} = ∇q_{s} + Δψ̄, \\ divξ̄_{s} = 0, \end{matrix}  x̄ ∈ Ω \ S(μ_{s})

ξ̄_{s}(x̄) = \{ \begin{matrix}0, & x̄ ∈ ∂Ω, \\ ū(x̄), & x̄ ∈ ∂S(μ_{s}). \end{matrix}

Es ist nicht schwer zu sehen, daß ξ̄_{s} gegen ψ̄ in H_{0}^{1}(Ω) konvergiert. Wenn nämlich |ā(s)| ≠ 0, haben wir [6]:

∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(Ω\S(μ_{s}))} ≤ C∥ψ̄ − ū∥_{H^{1/2}(∂S(μ_{s}))}.  (2.2)

Aber mit dem Spursatz ([6], [7]) gilt die Abschätzung

∥ψ̄ − ū∥_{H^{1/2}(∂S(μ_{s}))} ≤ C∥ψ̄ − ū∥_{H^{1}(S(μ_{s}))} = C∥ψ̄ − ū∥_{H^{1}(S(μ_{s})\S(χ))}

mit einer von s unabhängingen Konstante C. Somit,

∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(Ω)} = ∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(Ω\(S(μ_{s})∩S(χ))} ≤
≤ ∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(Ω\S(μ_{s}))} + ∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(S(μ_{s})\S(χ))} ≤
≤ C∥ψ̄ − ξ̄_{s}∥_{H^{1}(S(μ_{s})\S(χ))}.

Die rechte Seite dieser Ungleichung konvergiert aber für s → 0 gegen Null, weil |S(μ_{s}) \ S(χ)| → 0 gilt. Damit ist der Satz bewiesen. Jetzt untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen aus K(χ), wenn der Festkörper (die Festkugel) die Wand berührt.

Satz 3. Es seien ψ̄ ∈ K(χ) und ∂S(χ) ∩ ∂Ω ≠ ∅. Dann gelten

1. ψ̄(M) = 0, wobei M der Punkt des Körpers ist, der mit ∂S(χ) ∩ ∂Ω übereinstimmt.

2. ψ̄(x̄) ist ortogonal zu n̄_{M} für alle x̄ ∈ S(χ), wobei n̄_{M} die Normale an ∂Ω im Punkt M ist.

Bemerkung. Der erste Punkt des Satzes kann schärfer formuliert werden. Nämlich, es gilt

lim_{ρ→0} |R_{ρ}|^{−1} ∫_{R_{ρ}} |ψ̄(x̄)|dx̄ = 0,

wobei R_{ρ} = {x̄ ∈ S(χ) | dist(x̄, M) ≤ ρ}. Beweis des Satzes 3. Es sei ξ̄ = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) ein solches orthogonales Koordinatensystem, so daß (0, 0, 0) = M, und der Vektor (0, 0, 1) in Richtung von n̄_{M} zeigt. Nehmen wir an, daß ∂Ω bzw. ∂S(χ) durch Funktionen g bzw. f beschrieben werden, d.h.

∂Ω = {ξ̄ ∈ R^{3} | ξ_{3} = g(ξ_{1}, ξ_{2})},

bzw.

∂S(χ) = {ξ̄ ∈ R^{3} | ξ_{3} = f(ξ_{1}, ξ_{2})}.

Es sei L_{ρ} = {(ξ_{1}, ξ_{2}) ∈ R^{2} | f(ξ_{1}, ξ_{2}) ≤ ρ}. Dann gilt:

∫_{L_{ρ}} |ψ̄(ξ_{1}, ξ_{2}, ρ)|^{2}dξ_{1}dξ_{2} = ∫_{L_{ρ}} |ψ̄(ξ_{1}, ξ_{2}, ρ) − ψ̄(ξ_{1}, ξ_{2}, 0)|^{2}dξ_{1}dξ_{2} =

= ∫_{L_{ρ}} |∫_{0}^{ρ} \frac{∂ψ̄}{∂ξ_{3}} dξ_{3}|^{2} dξ_{1}dξ_{2} ≤ Cρ ∫_{0}^{ρ} ∫_{L_{ρ}} |∇ψ̄|^{2}dξ_{1}dξ_{2}dξ_{3},

wobei ψ̄ mit Null außerhalb Ω fortgesetzt wird. Es gilt aber |L_{ρ}| ≥ Cρ. Daher erhalten wir die Beziehung

lim_{ρ→0} |L_{ρ}|^{−1} ∫_{L_{ρ}} |ψ̄|^{2}dξ_{1}dξ_{2} ≤ C lim_{ρ→0} ∫_{0}^{ρ} ∫_{L_{ρ}} |∇ψ̄|^{2}dξ_{1}dξ_{2}dξ_{3} = 0,

und der erste Punkt des Satzes ist bewiesen. Nun seien G_{ρ}^{α} = {ξ̄ ∈ R^{3}|(ξ_{1}, ξ_{2}) ∈ L_{ρ}, g(ξ_{1}, ξ_{2}) ≤ ξ_{3} ≤ f(ξ_{1}, ξ_{2}), ξ_{1} ≤ αξ_{2}} für α ∈ R, F_{ρ}^{α} = ∂G_{ρ}^{α} ∩ ∂S(χ), W_{ρ}^{α} = ∂G_{ρ}^{α} ∩ ∂Ω und V_{ρ}^{α} = ∂G_{ρ}^{α} \ (F_{ρ}^{α} ∪ W_{ρ}^{α}). Weil divψ̄ = 0 ist, haben wir

∫_{∂G_{ρ}^{α}} ψ̄ · n̄ds = 0,

und folglich

∫_{F_{ρ}^{α}} ψ̄ · n̄ds + ∫_{V_{ρ}^{α}} ψ̄ · n̄ds = 0.

Aber ψ̄ hat die Darstellung

ψ̄(ξ̄) = ω̄ × ξ̄

für ξ̄ ∈ S(χ), wobei ω̄ ein von ξ̄ unabhängiger Vektor ist. Deshalb gilt

|ω̄ · ∫_{F_{ρ}^{α}} ξ̄× n̄ds| ≤ ∫_{V_{ρ}^{α}} |ψ̄|ds.  (2.3)

Wir merken an, daß ∫_{F_{ρ}^{α}} ξ̄× n̄ds = k(ρ)τ̄_{α} ist, wobei τ̄_{α} ein von ρ unabhängiger

Tangentialvektor an die Fläche ∂Ω im Punkt M ist, und k(ρ) ≥ Cρ^{3/2} gilt. Die Integration der Ungleichung (2.3) von 0 bis σ > 0 bezüglich ρ ergibt

σ^{5/2}|ω̄ · τ̄_{α}| ≤ ∫_{G_{σ}^{α}} |ψ̄|dξ̄ ≤ |G_{σ}^{α}|^{1/2} (∫_{G_{σ}^{α}} |ψ̄|^{2}dξ̄)^{1/2} =

= |G_{σ}^{α}|^{1/2} (∫_{0}^{σ} ∫_{G_{σ}^{α}(ξ_{3})} |ψ̄|^{2}dξ_{1}dξ_{2}dξ_{3})^{1/2} ,  (2.4)

wobei G_{σ}^{α}(s) die Menge {ξ̄ ∈ G_{σ}^{α} | ξ_{3} = s} bezeichnet. Aber es ist |G_{σ}^{α}| ≤ Cσ^{2}, und, weil ψ̄ gleich Null auf ∂Ω ist, gilt die Abschätzung

∫_{G_{σ}^{α}(ξ_{3})} |ψ̄|^{2}dξ_{1}dξ_{2} ≤ C∥∇ψ̄∥_{L_{2}(Ω)}^{2}|ξ_{3}|.

So erhalten wir aus (2.4):

|ω̄ · τ̄_{α}| ≤ Cσ^{1/2}.

Weil σ eine beliebige Zahl war, ist ω̄ · τ̄_{α} = 0 für alle α ∈ R, und folglich zeigt ω̄ in Richtung von n̄_{M}. Damit ist der Satz bewiesen.

3 Beweis des Satzes 1.

Die Lösbarkeit der Aufgabe A und die erste Behauptung des Satzes können genau wie in [4] bewiesen werden. Für die Lösung gilt die folgende Abschätzung:

∫_{Ω} |v̄(x̄, t)|^{2}dx̄ + ∫_{0}^{t} ∫_{Ω} |∇v̄(x̄, s)|^{2}dx̄ds ≤ ∫_{Ω} |v̄_{0}(x̄)|^{2}dx̄.  (3.1)

Das heißt v̄ ∈ H_{0}^{1}(Ω) für fast alle t ∈ [0, T], und die Behauptung 3 des Satzes ergibt sich aus dem Satz 3. Es bleibt noch die Behauptung 2 zu beweisen. Wie in [4] (Aussage 3.4) können wir die Abschätzung

|\frac{dh(t)}{dt}| ≤ Ch^{1/2}(t)(z(t) + 1)

herleiten, wobei z(t) = ∥∇v̄(t)∥_{L_{2}(Ω)} ist. Wenn h(t_{0}) = 0 für ein t_{0} ∈ [0, T] ist, gibt uns die Integration dieser Ungleichung:

h^{1/2}(t) ≤ C |∫_{t_{0}}^{t}(z(s) + 1)ds| ≤ C|t − t_{0}|^{1/2} (∫_{t_{0}}^{t}(z(s) + 1)^{2}ds)^{1/2} .

Weil die Funktion z zu L_{2}(0, T) gehört, ist die Behauptung bewiesen.

Literatur

[1] N. V. Yudakov. On the solvability of the problem on the motion of a solid body in a viscous incompressible fluid. Dinamika Sploshnoi Sredy, 1974, v.18, s.249-253.

[2] D. Serre. Chute Libre d’un Solide dans un Fluide Visqueux Incompressible. Existence. Japan Journal of Applied Mathematics, 1987, v.4, N1, pp.99-110.

[3] R. Hsu, P. Ganatos. The motion of a rigid body in viscous fluid bounded by a plane wall. Journal of Fluid Mechanics, 1989, v.207, pp.29-72.

[4] K.-H. Hoffmann, V.N.Starovoitov. On a motion of a solid body in a viscous fluid. Two-dimensional case. Advances in Mathematical Sciences and Applications, 1999, v.9, N 2, pp.633-648.

[5] R. Temam. Mathematical problems in plasticity. 1985, BORDAS, Paris.

[6] R. Temam. Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis. 1977, North-Holland Pub. Co., Amsterdam - New York - Tokyo.

[7] J. L. Lions, E.Magenes. Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Volume I. 1972, Springer, Berlin.

Karl-Heinz Hoffmann Institut für Angewandte Mathematik und Statistik, Technische Universität München, Deutschland hoffmann@caesar.de Victor N. Starovoitov Lavrentyev Institut für Hydrodynamik, Novosibirsk, 630090 Rußland star@hydro.nsc.ru 22

Documenta Mathematica 5 (2000)