Sur les Formes Quadratiques de Hauteur 3

et de Degré au Plus 2

Ahmed Laghribi^{1}

Received: December 9, 1998 Revised: May 12, 1999

Communicated by Ulf Rehmann

Abstract. Let F be a commutative field of characteristic not 2. In this paper, we give some results on the classification of F -quadratic forms of height 3 and degree ≤ 2.

Résumé. Soit F un corps commutatif de caractéristique différente de

2. Dans ce papier, on donne certains résultats sur la classification des F -formes quadratiques de hauteur 3 et de degré ≤ 2.

1991 Mathematics Subject Classification: 11E04, 11E81

Keywords and Phrases: Quadratic form, Generic splitting of a quadratic form, height and degree of a quadratic form

1. Introduction

A une F -forme quadratique φ de dimension ≥ 3, on associe la quadrique projective X_{φ} d’équation φ = 0. On désigne par F (φ) le corps des fonctions de X_{φ}. Lorsque φ est anisotrope de dimension 2 (resp. φ est isotrope de dimension 2 ou dim φ ≤ 1), on pose F (φ) = F (\sqrt{− det(φ)}) (resp. F (φ) = F).

D’après [19], on associe à une forme quadratique φ ≁ 0 une suite de formes quadratiques et d’extensions de F, appelée la tour de déploiement générique de φ, de la manière suivante: φ_{0} = φ_{an} (la partie anisotrope de φ), F_{0} = F et pour n ≥ 1, on définit par récurrence F_{n} = F_{n−1}(φ_{n−1}) et φ_{n} = ((φ_{n−1})_{F_{n}})_{an}. La hauteur de φ, noté h = h(φ), est le plus petit entier tel que dim φ_{h} ≤ 1. Pour j ∈ {0, ⋯, h}, on note i_{j}(φ) l’indice de Witt de φ_{F_{j}}. Clairement, on a 0 ≤ i_{0}(φ) < ⋯ < i_{h}(φ). La suite {i_{0}(φ), ⋯, i_{h}(φ)} s’appelle la suite des indices de déploiement de φ (splitting pattern [14]). Si dim φ est impaire, alors dim φ_{h} = 1 et φ est dite de degré 0; sinon dim φ_{h} = 0 et donc φ_{h−1} devient hyperbolique sur F_{h−1}(φ_{h−1}), ce qui implique par un résultat de Knebusch [19, Theorem 5.8] et Wadsworth [32], que φ_{h−1} est semblable à une forme de Pfister ρ ∈ P_{d}F_{h−1}, qu’on appelle la forme dominante (leading form) de φ. L’entier d s’appelle le degré de φ qu’on note deg(φ). La forme φ est dite bonne si sa forme dominante ρ ∈ P_{d}F_{h−1} est définie sur F, i.e. s’il existe une F -forme quadratique τ telle que ρ ≅ τ_{F_{h−1}} (dans ce cas τ est unique à isométrie près [20, Proposition 9.2]). Lorsque φ est bonne de forme dominante τ, on dit que φ est fortement bonne (resp. faiblement bonne) si φ_{F (τ)} est anisotrope (resp. φ_{F (τ)} est isotrope).

1Soutenu par les fonds FDS de l’Université Catholique de Louvain, Belgique.

Ce procédé de déploiement générique d’une forme quadratique motive le problème suivant, dit “problème de classification des formes quadratiques par hauteur et degré”.

Problème: Etant donné deux entiers positifs h et d, quelles sont les F -formes quadratiques φ telles que h(φ) = h et deg(φ) = d?

Jusqu’à présent, on a certaines réponses à ce problème. En effet, la caractérisation d’une forme quadratique anisotrope de hauteur 1 a été faite par Knebusch [19, Theorem 5.8] et de manière indépendante par Wadsworth [32]. Une telle forme quadratique est une voisine de codimension 0 ou 1. Dans [20, Lemma 10.1], Knebusch a caractérisé une forme quadratique anisotrope et excellente de hauteur 2 et de degré d en démontrant qu’une telle forme quadratique est de la forme aρ ⊗ π′ pour a ∈ F^{∗}, ρ ∈ P_{d}F et π = ⟨1⟩ ⊥ π′ ∈ P_{n}F avec n ≥ 2, et il a démontré qu’une forme quadratique anisotrope de hauteur 2 et de degré 1 qui n’est pas excellente est nécessairement de dimension 4 et de discriminant ≠ 1 [20, Theorem 10.3]. Fitzgerald [8, 1.6] et Knebusch [20, Lemma10.1, Proposition 10.8] ont obtenu certains résultats sur les formes quadratiques anisotropes et bonnes de hauteur et de degré 2. Dans [17], Kahn a caractérisé de manière complète une forme quadratique de hauteur et de degré 2 en démontrant qu’une telle forme quadratique φ est excellente, ou une forme d’Albert (i.e. dim φ = 6 et d_{±}φ = 1), ou φ ∈ I^{2}F de dimension 8 telle que ind c(φ) = 2. Pour les formes quadratiques anisotropes de hauteur 2 et de degré ≥ 3, Hurrelbrink et Rehmann [15, 3.4] ont montré qu’une forme quadratique anisotrope de hauteur 2, de degré 3 qui est bonne mais non excellente est de dimension 16. Ce résultat a été généralisé par Hoffmann [11] qui a montré qu’une forme quadratique anisotrope de hauteur 2, de degré d qui est bonne mais non excellente est de dimension 2^{d+1}. Pour le moment, on n’a pas une caractérisation complète des formes quadratiques de hauteur 2 et de degré ≥ 3. Dans ce sens, Kahn a posé la conjecture suivante.

Conjecture 1. (Kahn [17, Conjecture 7])

(1) Une forme quadratique φ anisotrope qui est bonne mais non excellente, est de hauteur 2 et de degré d ≥ 1 si et seulement si φ ≅ ρ ⊗ ψ pour ρ ∈ P_{d−1}F et dim ψ = 4.

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(2) Une forme quadratique φ anisotrope qui n’est pas bonne, est de hauteur 2 et de degré d ≥ 2 si et seulement si φ ≅ ρ ⊗ γ pour γ une forme d’Albert et ρ ∈ P_{d−2}F.

Théorème 1. ([17, Théorème 2.12]) La conjecture 1(1) est vraie en degré d = 3.

Dans [18], Kahn a obtenu certains résultats sur la caractérisation des formes quadratiques de hauteur 3 et de degré 1.

Théorème 2. (Kahn [18, Corollary 1]) Soit φ une forme quadratique anisotrope de hauteur 3 et de degré 1. Alors:

(1) La forme φ est de l’un des quatres types (s’excluant mutuellement):

(i) φ est excellente; (ii) φ n’est pas excellente mais voisine de forme complémentaire une forme de dimension 4 et de discriminant ≠ 1; (iii) φ n’est ni voisine ni une forme d’Albert et dim φ = 6; (iv) φ n’est pas voisine et dim φ > 6. Dans ce cas, (φ_{F (φ)})_{an} est excellente.

(2) Si φ n’est pas voisine telle que dim(φ_{F (φ)})_{an} = 6, alors dim φ ≤ 16.

1.1. Les formes quadratiques de hauteur 3, de degré 1 et de dimension > 6 (resp. de hauteur 3, de degré 2 et de dimension > 16). Les formes quadratiques anisotropes de hauteur 3 et de degré 1 qui ont la plus petite dimension sont celles de type (iii) comme dans le théorème 2, i.e. de dimension 6. Dans cette section, on va s’intéresser à la caractérisation des formes quadratiques de hauteur 3, de degré 1 et de dimension > 6 (resp. de hauteur 3, de degré 2 et de dimension > 16). Les formes quadratiques de hauteur 3, de degré 2 et de dimension ≤ 16 seront traitées dans la section 1.2.

Les formes quadratiques φ anisotropes de hauteur 3 et de degré 1 telles que dim φ > 6 (resp. de hauteur 3 et de degré 2 telles que dim φ > 16), se partagent en quatre types qui s’excluent mutuellement:

Type I: Les formes quadratiques excellentes. Ces formes quadratiques sont décrites dans la proposition suivante.

Proposition 1. Soit φ une forme quadratique anisotrope. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ est excellente de hauteur 3 et de degré d ≥ 1;

(2) Il existe a ∈ F^{∗}, des formes de Pfister τ ∈ P_{d}F, λ_{1} = ⟨1⟩ ⊥ λ′_{1}, λ_{2} telles que deg(λ_{1}) ≥ 1, deg(λ_{2}) ≥ 2 et φ ≅ aτ ⊗ (λ′_{1} ⊗ λ_{2} ⊥ ⟨1⟩).

Type II: Les formes quadratiques voisines mais non excellentes. Ces formes quadratiques sont décrites dans la proposition suivante.

Proposition 2. Soit φ une forme quadratique anisotrope qui n’est pas excellente, de degré 1 ou 2. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ est voisine de hauteur 3;

(2) • Si deg(φ) = 1: φ est voisine de forme complémentaire une forme quadratique de dimension 4 et de discriminant ≠ 1. En particulier, dim φ = 2^{n} − 4 pour un certain entier n ≥ 4.

• Si deg(φ) = 2: φ est voisine de forme complémentaire une forme quadratique ψ telle que ψ est d’Albert ou bien ψ ∈ I^{2}F de dimension 8 avec ind c(ψ) = 2. En particulier, il existe un entier m ≥ 5 qui vérifie dim φ = 2^{m} − 6 ou 2^{m} − 8.

Type III: Les formes quadratiques φ anisotropes mais non voisines, de dimension différente de 2^{deg(φ)}k pour tout entier k impair. Ces formes quadratiques sont décrites dans le théorème suivant.

Théorème 3. Soit φ une forme quadratique anisotrope qui n’est pas voisine, de degré d = 1 ou 2 telle que dim φ ≠ 2^{d}k pour tout entier k impair. On suppose que dim φ > 6 lorsque d = 1, et que dim φ > 16 lorsque d = 2. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ est de hauteur 3;

(2) φ ∈ GP′_{n,d}F pour un certain entier n ≥ d + 2 (voir définition 3).

Type IV: Les formes quadratiques φ anisotropes mais non voisines, de dimension 2^{deg(φ)}k pour un certain entier k impair. Pour le moment, on n’a pas une caractérisation complète de ces formes quadratiques. D’après la proposition 3, on obtient que ces formes quadratiques sont celles qui sont faiblement bonnes, et par conséquent les formes quadratiques décrites dans le théorème 3 sont celles qui sont fortement bonnes.

Proposition 3. Soit φ une forme quadratique anisotrope qui n’est pas voisine, de degré 1 ou 2 telle que dim φ > 6 lorsque deg(φ) = 1, et que dim φ > 16 lorsque deg(φ) = 2. Supposons que φ soit de hauteur 3. Alors, φ est bonne. De plus, on a équivalence entre:

(1) φ est faiblement bonne (resp. fortement bonne);

(2) Il existe un entier k impair tel que dim φ = 2^{deg(φ)}k (resp. dim φ ≠ 2^{deg(φ)}k pour tout entier k impair);

(3) φ_{F (τ)} ∼ 0 (resp. φ_{F (τ)} est semblable à une forme de Pfister anisotrope) où τ est la forme dominante de φ.

Le théorème suivant donne une caractérisation d’une forme quadratique φ anisotrope et faiblement bonne, de hauteur 3 et de degré 1 telle que dim φ ≤ 16. En particulier, on raffine le théorème 2(2) lorsqu’il s’agit d’une forme quadratique faiblement bonne.

Théorème 4. Soit φ une forme quadratique anisotrope de discriminant à signe d ≠ 1. Supposons que φ ne soit pas voisine et dim φ > 6. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ est faiblement bonne de hauteur 3 et de dimension ≤ 16;

(2) φ est faiblement bonne de hauteur 3 et dim(φ_{F (φ)})_{an} = 6;

(3) φ ≅ ⟨1, −d⟩ ⊗ ξ pour ξ une forme quadratique de dimension 5.

1.2. Les formes quadratiques de hauteur 3, de degré 2 et de dimension au plus 16.

• Cas des formes quadratiques de dimension 8. La proposition suivante donne une caractérisation des formes quadratiques anisotropes de dimension 8, de hauteur 3 et de degré 2.

Proposition 4. ([13], [15]) Une forme quadratique φ anisotrope de dimension 8 est de hauteur 3 et de degré 2 si et seulement si φ ∈ I^{2}F et ind c(φ) ≥ 4.

• Cas des formes quadratiques de dimension 10. Pour les formes quadratiques de dimension 10, de hauteur 3 et de degré 2, on a la caractérisation suivante.

Proposition 5. ([13]) Soit φ une forme quadratique anisotrope de dimension 10 qui n’est pas voisine. On a équivalence entre:

(1) φ est de hauteur 3 et de degré 2;

(2) Il existe π = ⟨1⟩ ⊥ π′ ∈ P_{3}F, τ = ⟨1⟩ ⊥ τ′ ∈ P_{2}F telles que φ ≅ a(π′ ⊥ −τ′) pour a ∈ F^{∗} convenable;

(3) φ ∈ I^{2}F et ind c(φ) = 2.

• Cas des formes quadratiques de dimension 12. On n’a pas d’énoncé, même conjecturale, sur la caractérisation des formes quadratiques de dimension 12 fortement bonnes de hauteur 3 et de degré 2. Par contre pour celles qui sont faiblement bonnes, on pose la conjecture suivante.

Conjecture 2. Soit φ une forme quadratique anisotrope de dimension 12 qui n’est pas voisine. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ est faiblement bonne, de hauteur 3 et de degré 2;

(2) Il existe δ ∈ I^{2}F de dimension 8 telle que ind c(δ) = 2 et φ ⊥ δ ∈ I^{4}F.

La conjecture 2 est liée à la conjecture 3 sur le problème d’isotropie d’une forme quadratique sur le corps des fonctions d’une quadrique (Théorème 5).

Conjecture 3. Soient π ∈ P_{3}F, τ ∈ P_{2}F. Supposons que δ := (π ⊥ −τ)_{an} soit de dimension 10. Si ψ est une forme quadratique telle que δ_{F (ψ)} soit isotrope, alors dim ψ ≤ dim δ.

Théorème 5. La conjecture 3 implique la conjecture 2.

• Cas des formes quadratiques de dimension 14 ou 16. On commence par un résultat général.

Proposition 6. Soit φ une forme quadratique anisotrope de dimension 14 ou 16, de hauteur 3 et de degré 2. Alors, on a les assertions suivantes:

(1) φ est fortement bonne.

(2) Soit τ ∈ P_{2}F la forme dominante de φ. On a:

(i) Si dim φ = 14, alors φ_{F (τ)} est anisotrope de hauteur 2 et de degré 3. (ii) Si dim φ = 16, alors φ_{F (τ)} est anisotrope de hauteur 1 ou de hauteur 2 et de degré 3.

La proposition 6 permet de ramener la caractérisation des formes quadratiques de hauteur 3, de degré 2 et de dimension 14 ou 16 à celle des formes quadratiques de hauteur ≤ 2.

Jusqu’à présent, on ne connait pas un exemple d’une forme quadratique anisotrope de dimension 14, de hauteur 3 et de degré 2. Le théorème 6 précise de manière conjecturale qu’il n’existe pas une telle forme quadratique.

Théorème 6. Supposons que toute forme quadratique anisotrope de hauteur 2, de degré 3 qui n’est pas bonne soit de dimension 12. Alors:

(1) Il n’existe pas de forme quadratique anisotrope de hauteur 3, de degré 2 et de dimension 14.

(2) Une forme quadratique anisotrope φ de dimension 16 qui n’est pas voisine est de hauteur 3 et de degré 2 si et seulement si φ ∈ GP_{4,2}F.

Remarque. L’hypothèse qui a été faite dans le théorème 6 est motivée par la conjecture 1(2) en degré d = 3.

Remerciements. Ce travail a été fait à l’institut de mathématiques de l’Université Catholique de Louvain, et a été révisé durant mon séjour à la Faculté Jean Perrin. Je remercie ces deux institutions pour l’aide et l’hospitalité que j’ai eues. Je tiens à remercier B. Kahn pour ses commentaires intéressants. Aussi, je remercie le referee pour les différentes suggestions concernant la rédaction.

2. Définitions et rappels de résultats

Toutes les notations et définitions concernant les formes quadratiques se trouvent dans [23] et [29].

La somme orthogonale et le produit de deux formes quadratiques φ et ψ, sont notés respectivement φ ⊥ ψ et φ ⊗ ψ.

Si a ∈ F^{∗}, on note ⟨a⟩ ⊗ φ = aφ. On dit que ψ est une sous-forme de φ et on note ψ < φ s’il existe une forme quadratique ρ telle que φ ≅ ψ ⊥ ρ où ≅ désigne l’isométrie des formes quadratiques. On dit que φ et ψ sont semblables s’il existe a ∈ F^{∗} tel que φ ≅ aψ. Une forme quadratique φ est dite isotrope (resp. hyperbolique) si ℍ := ⟨1, −1⟩ < φ (resp. φ ≅ ℍ ⊥ ⋯ ⊥ ℍ). L’indice de Witt i_{W} (φ) de φ est le plus grand entier n tel que n × ℍ := \underbrace{ℍ ⊥ ⋯ ⊥ ℍ}_{n fois} < φ.

Deux formes quadratiques φ et ψ sont dites équivalentes et on note φ ∼ ψ, si φ ⊥ −ψ est hyperbolique. La partie anisotrope de φ est l’unique forme quadratique anisotrope, notée φ_{an}, telle que φ ∼ φ_{an}.

Une n-forme de Pfister est une forme de type ⟨1, −a_{1}⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ⟨1, −a_{n}⟩, qu’on note ⟨⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩⟩. On note P_{n}F (resp. GP_{n}F) l’ensemble des n-formes de Pfister à isométrie près (resp. l’ensemble des formes quadratiques qui sont semblables à des n-formes de Pfister). Une forme quadratique φ est dite voisine s’il existe une n-forme de Pfister π tel que dim φ > 2^{n−1} et aπ ≅ φ ⊥ ψ pour un certain a ∈ F^{∗} et une certaine forme quadratique ψ qu’on appelle la forme complémentaire de φ; dim ψ est dite la codimension de φ. Les formes quadratiques π et ψ sont uniques à isométrie près.

On note I^{n}F = (IF)^{n} où IF est l’idéal fondamental de W (F) formé des formes quadratiques de dimension paire. On utilisera fréquemment le résultat, dit le Hauptsatz d’Arason-Pfister, qui affirme que si φ ∈ I^{n}F anisotrope, alors dim φ ≥ 2^{n} [29, Chapter 4, 5.6].

L’ensemble J_{n}(F) = {φ ∈ W (F) | deg(φ) ≥ n} est un idéal de W (F) qui vérifie I^{n}F ⊂ J_{n}(F) pour tout n ≥ 0 [19, Theorem 6.4, Corollary 6.6].

L’invariant de Clifford c(φ) de φ est la classe dans le groupe de Brauer Br(F) de F, de C(φ) (algèbre de Clifford de φ) ou C_{0}(φ) (algèbre de Clifford paire de φ) suivant que dim φ est paire ou non. On désigne par ind c(φ) l’indice de Schur de C(φ) ou C_{0}(φ) suivant que dim φ est paire ou non.

Théorème 7. (1) (Théorème de la sous-forme de Cassels-Pfister [29, Chapter 4, 5.4(ii)]) Soient ψ = ⟨1⟩ ⊥ ψ′, φ deux formes quadratiques telles que φ soit anisotrope et que φ_{F (ψ)} ∼ 0. Alors pour tout α ∈ D_{F} (φ), on a αψ < φ. En particulier, dim φ ≥ dim ψ.

(2) Soit τ une forme de Pfister. Alors: (2.1) (Pfister [29, Chapter 4, 1.5]) On a que τ est isotrope si et seulement si τ ∼ 0. De plus, τ est multiplicative, i.e. D_{F} (τ) = G_{F} (τ). (2.2) ([29, Chapter 4, 5.4(iv)]) Ker(W (F) ⟶ W (F (τ))) = τW (F).

Définition 1. [20, Definition 7.7] Toute forme quadratique de dimension ≤ 1 est dite excellente. Une forme quadratique de dimension ≥ 2 est dite excellente si elle est voisine et sa forme complémentaire est excellente.

Définition 2. Soit K/F une extension de corps.

(1) On dit qu’une K-forme quadratique φ est définie sur F s’il existe une F - forme quadratique ψ telle que φ ≅ ψ_{K}.

(2) ([20]) On dit que K/F est excellente si pour toute F -forme quadratique φ, la K-forme quadratique (φ_{K})_{an} est définie sur F.

(3) ([17]) Soit n ≥ 1 un entier. On dit que K/F satisfait à la descente pour les n-formes de Pfister si pour toute K-forme quadratique φ ∈ P_{n}K − {0} qui est définie sur F, il existe ψ ∈ P_{n}F telle que ψ_{K} ≅ φ.

Proposition 7. (1) ([29, Chapter 2, 5.1] pour d = 1; [2] pour d = 2) Soit π ∈ GP_{d}F avec d ≤ 2. Alors, l’extension F (π)/F est excellente.

(2) ([6, 2.10]) Si K/F est une extension excellente, alors elle satisfait à la descente pour les n-formes de Pfister quel que soit n ≥ 1.

Définition 3. Soient n > m ≥ 1 deux entiers, φ une forme quadratique anisotrope de dimension 2^{n}. On dit que φ appartient à GP′_{n,m}F (resp.

GP_{n,m}F) s’il existe τ ∈ GP_{m}F telle que φ ⊥ τ ∈ J_{n}(F) (resp. (φ ⊥ τ)_{an} ∈ GP_{n}F).

L’ensemble GP_{n,m}F a été introduit par Hoffmann [10]. Il est clair que GP_{n,m}F ⊂ GP′_{n,m}F. Dans [10, Conjecture 3.9], Hoffmann a conjecturé que GP_{n,m}F = GP′_{n,m}F (la notation GP′_{n,m}F n’a pas été introduite dans [10]).

Proposition 8. ([10, Proposition 3.6]) Soient n > m ≥ 1 deux entiers. Alors:

(1) Toute forme quadratique de GP′_{n,m}F est fortement bonne.

(2) Si de plus n ≥ m + 2 , alors toute forme quadratique de GP′_{n,m}F est de hauteur 3 et de degré m.

Pour tout n ≥ 0 entier, H^{n}F est le groupe de cohomologie galoisienne H^{n}(G_{s}, Z/2) où G_{s} est le groupe de Galois d’une clôture séparable de F. Par la théorie de Kummer, on a H^{0}F ≃ Z/2, H^{1}F ≃ F^{∗}/F^{∗2} et H^{2}F est isomorphe à la 2-torsion de Br(F).

D’après Arason [1, Satz 1.6], il existe une application ẽ^{n} de P_{n}F vers H^{n}F, définie par ẽ^{n}(⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩) = (a_{1}) · . . . · (a_{n}) ∈ H^{n}F où · est le cup produit de l’algèbre de cohomologie H^{∗}F.

Pour n = 0, 1, 2, l’application ẽ^{n} se prolonge en un homomorphisme e^{n} de I^{n}F/I^{n+1}F vers H^{n}F. Les homomorphismes e^{0}, e^{1}, e^{2} correspondent à e^{0}(φ) = dim φ (mod 2), e^{1}(φ) = d_{±}φ (mod F^{∗2}) et e^{2}(φ) = c(φ).

On a que e^{0} et e^{1} sont des isomorphismes. L’homomorphisme e^{2} est un isomorphisme d’après Merkur’ev [24]; ẽ^{3} se prolonge en un homomorphisme e^{3} de I^{3}F/I^{4}F vers H^{3}F d’après Arason [1], et e^{3} est un isomorphisme d’après Merkur’ev-Suslin [26] et Rost [28]; ẽ^{4} se prolonge en un homomorphisme e^{4} de I^{4}F/I^{5}F vers H^{4}F d’après Jacob-Rost [16] et Szyjewski [30], et e^{4} est un isomorphisme d’après Rost (non publié). Récemment, Orlov, Vishik et Voevodsky ont montré que ẽ^{n} se prolonge en un isomorphisme e^{n} de I^{n}F/I^{n+1}F vers H^{n}F pour tout n [27].

3. Démonstrations

Le long de cette section et pour une F -forme quadratique φ, on note φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an}.

Le lemme suivant est bien connu. On en aura besoin pour la suite.

Lemme 1. Soient φ une forme quadratique bonne, de degré d ≥ 1 et de forme dominante τ. Si ρ est une forme quadratique telle que φ ∼ ρ ⊗ τ, alors la dimension de ρ est impaire.

Démonstration. Si la dimension de ρ était paire, on aurait ρ ∈ IF. Puisque τ ∈ I^{d}F, on aurait φ ∈ I^{d+1}F et donc φ serait de degré ≥ d + 1, ceci est absurde.

3.1. Démonstration de la proposition 1. La démonstration de la proposition 1 se déduit de [18, Proposition 7.17] et [8, Proposition 1.2].

3.2. Démonstration de la proposition 2. La démonstration de la proposition 2 est une conséquence du lemme 2 et de la caractérisation des formes quadratiques de hauteur 2 et de degré ≤ 2.

Lemme 2. Soient φ une forme quadratique voisine anisotrope et φ′ sa forme complémentaire. Alors, deg(φ) = deg(φ′) et h(φ) = h(φ′) + 1.

Démonstration. D’après [15], les formes quadratiques φ′ et φ′_{F (φ)} ont la même suite des indices de déploiement. En particulier, h(φ′) = h(φ′_{F (φ)}) et deg(φ′) = deg(φ′_{F (φ)}). On a φ_{F (φ)} ∼ −φ′_{F (φ)}. D’après [9, Theorem 1], on obtient que φ′_{F (φ)} est anisotrope. Par conséquent, φ_{1} = ((φ)_{F (φ)})_{an} = −φ′_{F (φ)}. Ainsi, h(φ) = h(φ_{1}) + 1 = h(φ′_{F (φ)}) + 1 = h(φ′) + 1 et deg(φ) = deg(φ_{1}) = deg(φ′_{F (φ)}) = deg(φ′).

3.3. Un résultat sur les formes quadratiques de hauteur 3 et de degré 2. On aura besoin de la proposition suivante dans les démonstrations de la proposition 3 et du théorème 3.

Proposition 9. Soit φ une forme quadratique anisotrope qui n’est pas voisine. Supposons que φ soit de hauteur 3, de degré 2 et de dimension ≥ 10. Soient φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an} et τ la forme dominante de φ. Alors:

(1) La forme φ est bonne, i.e. on peut supposer que τ ∈ P_{2}F. En particulier, c(φ) = c(τ) et ind c(φ) = 2.

(2) La forme φ_{1} satisfait l’une des deux conditions suivantes: (2.1) φ_{1} est voisine dont la forme complémentaire est semblable à τ_{F (φ)}. En particulier, φ_{F (φ)(τ)} ∼ 0. (2.2) dim φ_{1} = 8, c(φ_{1}) = c(τ_{F (φ)}) et ind c(φ_{1}) = 2.

(3) Si dim φ > 16, alors le cas (2.2) est impossible.

Démonstration. (1) Cette assertion a été prouvée dans [18, Corollary 1(f)].

(2) D’après (1), la forme φ_{1} est bonne de hauteur 2 et de forme dominante τ_{F (φ)} ∈ P_{2}F (φ). En utilisant la caractérisation des formes quadratiques de hauteur et de degré 2 [17], on déduit que l’une des assertions (2.1) et (2.2) est vérifiée.

(3) Supposons que dim φ > 16 et que φ_{1} vérifie la condition (2.2). On aura besoin du résultat suivant.

Théorème 8. ([22]) Soient φ une forme quadratique de dimension > 16, K = F (φ) et ψ ∈ I^{2}K de dimension 8 telle que ind c(ψ) = 2. On suppose que ψ ∈ Im(W (F) ⟶ W (K)). Alors ψ est définie sur F.

Ce théorème permet de déduire que φ_{1} est définie sur F. D’après [20, Theorem 7.13], la forme φ est voisine, ceci est absurde.

3.4. Démonstration de la proposition 3. On a que φ est bonne (évident pour deg(φ) = 1 et c’est la proposition 9 pour deg(φ) = 2). Soit τ la forme dominante de φ.

• Si deg(φ) = 1, alors on obtient par le théorème 2(iv) que φ_{1} est excellente de hauteur 2. Ainsi, φ_{F (φ)(τ)} ∼ 0.

• Si deg(φ) = 2, alors on obtient par la proposition 9(3) que φ_{F (φ)(τ)} ∼ 0.

(i) D’après [19, Theorem 5.8] et si φ_{F (τ)} est anisotrope, alors φ_{F (τ)} est semblable à une forme de Pfister anisotrope, en particulier φ est de dimension une puissance de 2.

(ii) Lorsque φ_{F (τ)} est isotrope, on déduit que φ_{F (τ)} ∼ 0, et donc dim φ = 2^{deg(φ)}k pour un certain entier k impair (Lemme 1).

On déduit les équivalences de la proposition en combinant (i) et (ii).

3.5. Démonstration du théorème 3. (1) ⟹ (2) D’après la proposition 3, la forme φ est bonne et que φ_{F (τ)} est semblable à une forme de Pfister anisotrope où τ ∈ P_{d}F est la forme dominante de φ. Par la proposition 7, il existe une forme π ∈ GP_{n}F telle que φ_{F (τ)} ≅ π_{F (τ)}. Les hypothèses du théorème impliquent que n ≥ d + 2. Puisque φ ⊥ −π ∈ Ker(W (F) ⟶ W (F (τ))), on obtient que φ ⊥ −π ∼ τ ⊗ρ pour une forme ρ de dimension impaire (Lemme 1). Ainsi, φ ≡ τ ⊗ ρ (mod J_{n}(F)). Par conséquent, φ ∈ P_{n,d}^{w}F au sens de [10, Definition 3.4(ii)]. D’après [10, Corollary 3.7], on obtient que i_{W} (φ_{F (φ)}) = 2^{d−1}. Par conséquent, dim φ_{1} = 2^{n} − 2^{d}. D’après le théorème 2(iv) et la proposition 9, on déduit que φ_{1} est voisine et que sa forme complémentaire est semblable à la forme τ_{F (φ)} qui est de dimension 2^{d}. Par conséquent, il existe a ∈ F (φ)^{∗} tel que φ_{1} ⊥ a(τ_{F (φ)}) ∈ GP_{n}F (φ) ⊂ I^{n}F (φ) ⊂ I^{d+2}F (φ). D’autre part, φ ⊥ kτ ∼ π ⊥ τ ⊗ (ρ ⊥ ⟨k⟩) ∈ I^{d+2}F, avec k ∈ F^{∗} qui vérifie ρ ⊥ ⟨k⟩ ∈ I^{2}F. Par conséquent, a(τ_{F (φ)}) ≡ k(τ_{F (φ)}) (mod I^{d+2}F (φ)). Par le Hauptsatz d’Arason-Pfister, on obtient que a(τ_{F (φ)}) ≅ k(τ_{F (φ)}). Ainsi, φ_{1} ⊥ k(τ_{F (φ)}) ∈ GP_{n}F (φ). Par conséquent, φ_{2} = (φ_{F (φ)(φ_{1})})_{an} = (−kτ)_{F (φ)(φ_{1})} est définie sur F. D’après [18, Proposition 3(iii)], on obtient que deg(φ ⊥ kτ) = n. Par conséquent, φ ≡ −kτ (mod J_{n}(F)).

(2) ⟹ (1) C’est une conséquence de la proposition 8(2).

3.6. Démonstration du théorème 4. On aura besoin du résultat suivant.

Proposition 10. (Rost) Soient φ et τ = ⟨⟨a, b⟩⟩ deux formes quadratiques anisotropes. Alors, on a équivalence entre:

(1) i_{W} (φ_{F (τ)}) ≥ 2k et φ_{F (\sqrt{a})} ∼ 0;

(2) Il existe deux formes quadratiques λ, γ telles que φ ≅ ⟨⟨a, b⟩⟩⊗λ ⊥ ⟨⟨a⟩⟩⊗γ avec dim λ = k.

Démonstration. Le résultat a été prouvé par Rost [12, Lemma 2.6] lorsque k = 1. Le cas général se déduit par une simple récurrence sur k.

Démonstration du théorème 4. Soit d = d_{±}φ.

(3) ⟹ (1) Evident.

(2) ⟹ (3) D’après la proposition 3, on a φ_{F (\sqrt{d})} ∼ 0. Ainsi, φ ≅ ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ η avec dim η ≥ 4. Par le théorème 2(2), on a dim η ≤ 8. Puisque la dimension de η est impaire (Lemme 1), on a dim η = 5 ou 7. Si dim η = 5, alors le théorème est démontré. Supposons que dim η = 7. Soit b ∈ F^{∗} tel que ⟨⟨b⟩⟩ soit semblable à une sous-forme de η. Alors, τ ≅ ⟨⟨d, b⟩⟩ est semblable à une sous-forme de φ. Par conséquent, φ_{F (τ)} est isotrope et i_{W} (φ_{F (τ)}) ≥ i_{W} (φ_{F (φ)}) = 4. Par la proposition 10, φ ≅ ⟨⟨d, b⟩⟩ ⊗ λ ⊥ ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ γ avec dim λ = 2. On a bien que dim γ = 3. Ecrivons γ = ⟨k⟩ ⊥ μ avec dim μ = 2. Soit ξ = ⟨k⟩ ⊥ ⟨⟨b⟩⟩ ⊗ λ. On a φ = ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ (ξ ⊥ μ). Clairement, ξ est voisine de dimension 5. Ainsi, il existe une forme quadratique ξ′ de dimension 3 telle que ξ ⊥ ξ′ ∈ GP_{3}F. On peut supposer que 1 ∈ D_{F} (ξ′), et donc ξ ⊥ ξ′ ∈ P_{3}F. Par conséquent, π := ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ (ξ ⊥ ξ′) ∈ P_{4}F. On a φ ⊥ ν ∼ π, où ν = ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ (−μ ⊥ ξ′). Clairement, dim ν = 10. Si ν est isotrope, alors dim(π_{F (φ)})_{an} = dim((φ ⊥ ν)_{F (φ)})_{an} ≤ 6 + 8 < 16. Ainsi, π_{F (φ)} ∼ 0, et donc φ est voisine, ceci est absurde. Si ν est anisotrope, alors ν admet la propriété de déploiement maximal (maximal splitting property; voir [13, Theorem 5.1]). Puisque φ ⊥ ν ∼ π ∈ P_{4}F, on obtient que φ_{F (π)} ∼ −ν_{F (π)}. Puisque dim ν < dim φ, la forme φ_{F (π)} est isotrope. On a dim(ν_{F (π)})_{an} = dim(φ_{F (π)})_{an} ≤ dim(φ_{F (φ)})_{an} = 6. Ainsi, ν_{F (π)} est isotrope. D’après [9, Corollary 3], ν est voisine de π. Puisque 1 ∈ D_{F} (ν), on a ν ⊂ π. Ainsi, dim(π ⊥ −ν)_{an} = 16 − 10 = 6. Puisque φ ∼ π ⊥ −ν, on obtient que dim φ_{an} = 6, ceci est absurde.

(1) ⟹ (2) Comme dans le début de la preuve de l’implication (2) ⟹ (3), on obtient que φ ≅ ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ η pour η de dimension 5 ou 7. Par le théorème 2(iv), la forme quadratique φ_{1} est excellente de hauteur 2 et de degré 1. Ainsi, dim φ_{1} = 2^{n} − 2 pour un certain entier n ≥ 3. Puisque dim φ_{1} ≤ dim φ − 2 ≤ 2 · 7 − 2 = 12, on déduit que n = 3 et donc dim φ_{1} = 6.

3.7. Démonstration du théorème 5. On commence par un lemme.

Lemme 3. Soient φ ∈ I^{2}F anisotrope, τ ∈ P_{2}F −{0} telles que dim(φ_{F (φ)})_{an}= 8 et c(φ) = c(τ). Alors, on a les assertions suivantes:

(1) Si φ_{F (τ)} est isotrope, alors il existe η ∈ GP_{3}F, r ∈ F^{∗} tels que φ ⊥ η ⊥ rτ ∈ I^{4}F. Si de plus, dim φ ∈ {14, 16}, alors φ_{F (η)} est isotrope.

(2) Supposons que φ_{F (τ)} soit anisotrope de hauteur ≥ 2, dim φ = 16 et qu’il existe δ ∈ GP_{3}F, s ∈ F^{∗} tels que φ ⊥ δ ⊥ sτ ∈ I^{4}F. Alors, φ_{F (δ)} est anisotrope.

Démonstration. (1) Supposons que φ_{F (τ)} soit isotrope. On obtient que i_{W} (φ_{F (τ)}) ≥ i_{W} (φ_{F (φ)}). Puisque F (τ)/F est excellente et que dim(φ_{F (φ)})_{an} = 8, il existe η une forme de dimension 8 telle que φ_{F (τ)} ∼ −η_{F (τ)}. Puisque c(η)_{F (τ)} = 0, on peut supposer par la proposition 7 que η ∈ GP_{3}F. Puisque φ ⊥ η ∈ Ker(W (F) ⟶ W (F (τ))), on déduit que φ ⊥ η ∼ ρ ⊗ τ pour ρ une forme de dimension impaire (Lemme 1). Soit r ∈ F^{∗} tel que ρ ⊥ ⟨r⟩ ∈ I^{2}F. Ainsi,

φ ⊥ η ⊥ rτ ∈ I^{4}F  (1)

Supposons, de plus, que dim φ ∈ {14, 16}. On déduit par l’équation (1) et le Hauptsatz d’Arason-Pfister que φ_{F (τ)(η)} ∼ 0. Si la forme φ_{F (η)} est anisotrope, on obtient que φ_{F (η)} ≅ τ ⊗ γ pour γ une forme de dimension 4. Ainsi, dim φ = 16 et c(φ)_{F (η)} = 0. Par le théorème de réduction d’indice ([31], [25]), on déduit que c(φ) = 0, ceci est absurde. Ainsi, φ_{F (η)} est isotrope.

(2) Supposons que φ_{F (τ)} soit anisotrope de hauteur ≥ 2, dim φ = 16 et qu’il existe δ ∈ GP_{3}F, s ∈ F^{∗} tels que φ ⊥ δ ⊥ sτ ∈ I^{4}F. Si φ_{F (δ)} est isotrope, alors i_{W} (φ_{F (δ)}) ≥ i_{W} (φ_{F (φ)}) = 4. Par le Hauptsatz d’Arason-Pfister φ_{F (δ)(τ)} ∼ 0. Puisque φ_{F (τ)} est anisotrope, on déduit que φ_{F (τ)} ≅ δ ⊗ ρ pour ρ une forme de dimension 2. Ainsi, φ_{F (τ)} ∈ GP_{4}F (τ) − {0} et donc elle est de hauteur 1, ceci est absurde.

Démonstration du théorème 5. Supposons que la conjecture 3 soit vraie. Soit φ une forme quadratique de dimension 12 qui n’est pas voisine.

(1) ⟹ (2) Supposons que φ soit faiblement bonne, de hauteur 3 et de degré 2. Soit τ ∈ P_{2}F la forme dominante de φ. On a φ_{F (τ)} ≁ 0 car sinon φ serait divisible par τ et donc serait une voisine. Par la proposition 9, on a dim φ_{1} = 8 et c(φ) = c(τ). Puisque φ_{F (τ)} est isotrope, on déduit par le lemme 3 l’existence de η ∈ GP_{3}F, r ∈ F^{∗} tels que

φ ⊥ η ⊥ rτ ∈ I^{4}F  (2)

Par le Hauptsatz d’Arason-Pfister et l’équation (2), on déduit que (φ_{1} ⊥ rτ)_{F (φ)(η)} ∼ 0. Par conséquent φ_{1} ⊥ (rτ)_{F (φ)} ∼ λη pour λ ∈ F (φ)^{∗} convenable. Puisque dim φ_{1} = 8, on obtient i_{W} ((−rτ)_{F (φ)} ⊥ λη) ≥ 2. Par la multiplicativité d’une forme de Pfister, il existe α ∈ F (φ)^{∗} tel que (−rτ)_{F (φ)} ⊥ λη ∼ α(η′ ⊥ −τ′)_{F (φ)} ([5, Theorem 4.5], [10, Lemma 3.2]). Puisque i_{W} ((−rτ)_{F (φ)} ⊥ λη) ≥ 2, on déduit que (η′ ⊥ −τ′)_{F (φ)} est isotrope. Par la conjecture 3, η′ ⊥ −τ′ est isotrope. Soit δ := −r(η′ ⊥ −τ′)_{an} ∈ I^{2}F. On affirme que dim δ = 8, car sinon dim δ = 6 ou 4. Or si dim δ = 6, alors δ est une forme d’Albert anisotrope et donc ind c(δ) = 4, ceci contredit l’hypothèse c(δ) = c(τ). Si dim δ = 4, alors en remplaçant dans l’équation (2) η par −rη, on obtient φ ⊥ δ ∈ GP_{4}F, et donc φ est voisine, ceci est absurde.

(2) ⟹ (1) D’après [20, Example 9.12], il existe a ∈ F^{∗} tel que δ_{F (\sqrt{a})} ∼ 0. Puisque φ ⊥ δ ∈ I^{4}F, on obtient par le Hauptsatz d’Arason-Pfister que φ_{F (\sqrt{a})} ∼ 0. Par conséquent, pour toute extension L/F, on obtient que (φ_{L})_{an} ≅ ⟨⟨a⟩⟩ ⊗ μ pour une certaine L-forme quadratique μ de dimension ≤ 6. Puisque φ ∈ I^{2}F, on déduit que la dimension de μ est paire. Ainsi, dim(φ_{L})_{an} ∈ {0, 4, 8, 12}. La classification des formes quadratiques de hauteur et de degré ≤ 2 implique que h(φ) ≠ 1, 2. Par conséquent, φ est de hauteur 3 et de degré 2. Soit τ ∈ P_{2}F telle que c(τ) = c(δ). Par la proposition 9, φ est bonne de forme dominante τ. Puisque δ_{F (τ)} ∈ GP_{3}F (τ), on obtient que δ_{F (τ)(δ)} ∼ 0. Par le Hauptsatz d’Arason-Pfister on déduit que φ_{F (τ)(δ)} ∼ 0. Ainsi, φ_{F (τ)} est isotrope, i.e. φ est faiblement bonne.

3.8. Démonstration de la proposition 6. D’après la proposition 9, la forme φ est bonne et φ_{1} est de dimension 8 ou est excellente de dimension 12, avec c(φ) = c(τ) où τ ∈ P_{2}F est la forme dominante de φ.

(1) Supposons que φ_{F (τ)} soit isotrope.

• Supposons que φ_{1} soit excellente de dimension 12. Par la proposition 9, φ_{F (τ)(φ)} ∼ 0. Ainsi, φ ∈ Ker(W (F) ⟶ W (F (τ))). Si dim φ = 14, alors φ est isotrope, ceci est absurde. Si dim φ = 16, on déduit que φ est divisible par τ et donc c(φ) = 0, ceci est absurde. Ainsi, φ_{1} ne peut être une forme excellente de dimension 12.

• Supposons dim φ_{1} = 8: Par le lemme 3, il existe r ∈ F^{∗}, η ∈ GP_{3}F tels que φ ⊥ η ⊥ rτ ∈ I^{4}F et φ_{F (η)} isotrope. Ainsi, i_{W} (φ_{F (η)}) ≥ i_{W} (φ_{F (φ)}). Par le Hauptsatz d’Arason-Pfister, (φ ⊥ rτ)_{F (η)} ∼ 0. Ainsi, φ ⊥ rτ ∼ ρ ⊗ η pour ρ de dimension 2. En particulier, φ ⊥ rτ ∈ I^{4}F. De nouveau par le Hauptsatz d’Arason-Pfister, φ_{F (τ)} ∼ 0. Si dim φ = 14 (resp. dim φ = 16), on obtient que φ est isotrope (resp. φ est divisible par τ), ceci est absurde car φ est anisotrope (resp. car c(φ) ≠ 0).

Ainsi, dans tous les cas φ est fortement bonne.

(2)

• Si dim φ_{1} = 12, alors φ_{F (φ)(τ)} ∼ 0. Puisque φ_{F (τ)} est anisotrope, on déduit que φ_{F (τ)} est de hauteur 1. Dans ce cas, dim φ = 16.

• Si dim φ_{1} = 8, alors d’après [21, Théorème 4], (φ_{1})_{F (φ)(τ)} ∈ GP_{3}F (φ)(τ) − {0}. Par conséquent, φ_{F (τ)} est de hauteur 2 et de degré 3.

3.9. Démonstration du théorème 6. Soient φ une forme quadratique anisotrope qui n’est pas voisine, de hauteur 3 et de degré 2 et τ ∈ P_{2}F sa forme dominante. Supposons que l’hypothèse suivante, appelée hypothèse (H), soit vraie:

Hypothèse (H): Toute forme quadratique anisotrope qui n’est pas bonne, de hauteur 2 et de degré 3 est de dimension 12.

(1) Supposons que dim φ = 14. Par la proposition 6, on a que φ_{F (τ)} est anisotrope de hauteur 2 et de degré 3. D’après l’hypothèse (H), φ_{F (τ)} est bonne. Ceci est absurde d’après un résultat de Hurrelbrink et Rehmann sur la dimension des formes quadratiques bonnes de hauteur 2 et de degré 3 [15, 3.4]. Par conséquent, il n’existe pas de forme quadratique anisotrope de hauteur 3, de degré 2 et de dimension 14.

(2) Supposons que dim φ = 16. Par la proposition 9, on a que dim φ_{1} = 8 ou φ_{1} est excellente de dimension 12.

• Supposons que dim φ_{1} = 12. D’après la démonstration de la proposition 6, on a φ_{F (τ)} ∈ GP_{4}F (τ) − {0}. D’après la proposition 7, il existe η ∈ GP_{4}F telle que φ_{F (τ)} ≅ η_{F (τ)}. Ainsi, φ ⊥ −η ∼ ρ ⊗ τ pour ρ une forme quadratique de dimension impaire (Lemme 1). Par conséquent, φ ⊥ bτ ∈ I^{4}F avec b ∈ F^{∗} qui vérifie ρ ⊥ ⟨b⟩ ∈ I^{2}F. D’après [12] et puisque dim(φ ⊥ bτ)_{an} ≤ 20, on obtient que φ ∈ GP_{4,2}F.

• Supposons que dim φ_{1} = 8. Toujours par la démonstration de la proposition 6, on a que φ_{F (τ)} est de hauteur 2 et de degré 3. Soit π ∈ P_{3}F (τ)(φ) la forme dominante de φ_{F (τ)}. D’après l’hypothèse (H), π est définie sur F (τ). D’après [20, Theorem 9.6], on déduit que φ_{F (τ)} ≡ π (mod J_{4}(F (τ))). D’après [18, Proposition 4], π est définie sur F par une forme de Pfister. Par conséquent, e^{3}(φ ⊥ −π ⊥ τ) ∈ Ker(H^{3}F ⟶ H^{3}F (τ)). D’après [1, Satz 5.5], il existe c ∈ F^{∗} tel que e^{3}(φ ⊥ −π ⊥ τ) = e^{3}(τ ⊥ −cτ). Par la bijectivité de e^{3}, on a

φ ⊥ −π ⊥ cτ ∈ I^{4}F  (3)

Par le lemme 3, φ_{F (π)} est anisotrope. Par l’équation (3), on a φ_{F (π)} ≡ −cτ_{F (π)} (mod I^{4}F (π)). D’après [10, Proposition 3.6], on obtient que i_{W} (φ_{F (π)(φ)}) = 2. Ceci contredit la condition i_{W} (φ_{F (φ)}) = 4.

Réciproquement si φ ∈ GP_{4,2}F, alors on déduit que φ est de hauteur 3 et de degré 2 (Proposition 8(2)).

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Ahmed Laghribi Faculté Jean Perrin Rue Jean Souvraz - SP 18 F-62307 Lens Cedex France laghribi@euler.univartois.fr