Homologie des invariants d’une algèbre de Weyl sous l’action d’un groupe fini

J. Alev^{1}, M. A. Farinati^{2}, T. Lambre^{3} & A. L. Solotar^{2}

Abstract : Let G be a finite subgroup of Sp(2n, C) acting by automorphisms in the Weyl algebra A_{n}(C). We compute the Hochschild homology and cohomology groups of the invariant algebra A_{n}(C)^{G}.

Ce texte est consacré au calcul de l’homologie et de la cohomologie de Hochschild des invariants de l’algèbre de Weyl A_{n} = A_{n}(C) sous l’action d’un sous-groupe fini G d’automorphismes contenu dans le groupe symplectique Sp(2n, C). Ce travail complète les calculs de [3], qui traitaient le cas du premier groupe d’homologie de Hochschild. Un exemple d’emploi de ce théorème est proposé en fin d’article.

1. Rappels, notations et résultat principal.

Si G est un groupe fini d’automorphismes de la C-algèbre A, le produit croisé A∗G de base G, à coefficients dans A est la C-algèbre définie par A ∗ G = ⊕_{g∈G}Ag dans laquelle le produit est défini par la règle de redressement ag · bh = ab^{g^{−1}}gh pour a, b dans A , g et h dans G.

Soit G un sous-groupe de Sp(2n, C). Le groupe G opère par automorphismes dans l’anneau de polynômes C[X_{1}, ⋯, X_{n}, Y_{1}, ⋯ Y_{n}] ainsi que dans l’algèbre de Weyl A_{n} = A_{n}(C) = C[p_{1}, ⋯, p_{n}, q_{1}, ⋯, q_{n}] définie par les relations [p_{i}, p_{j}] = [p_{i}, q_{j}] = [q_{i}, q_{j}] = 0 si i ≠ j et [p_{i}, q_{i}] = 1.

Le théorème principal s’énonce ainsi.

1.1. Théorème. Soit G un sous-groupe fini de Sp(2n, C) opérant par automorphismes dans l’algèbre de Weyl A_{n}. On désigne par A_{n}^{G} la sous-algèbre des invariants de A_{n} sous l’action de G. Pour j ∈ N, désignons par a_{j}(G) le nombre de classes de conjugaison d’éléments de G ayant la valeur propre 1 avec la multiplicité j. Alors, pour tout j ∈ N, on a

dim_{C}HH_{j}(A_{n}^{G}) = dim_{C}H^{2n−j}(A_{n}^{G}, A_{n}^{G}) = a_{j}(G).

1 Laboratoire de Mathématiques, UPRESA 6056 du CNRS, Université de Reims, 51100 Reims, France. Courriel : jacques.alev@univ-reims.fr 2 Dto de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires, Cdad Univ., Pab I, 1428, Buenos Aires, Argentina. mfarinat@dm.uba.ar, asolotar@dm.uba.ar 3 Université Paris Sud, département de Mathématiques, UMR 8628 du CNRS, 91405 Orsay, Cedex, France. Courriel : thierry.lambre@math.u-psud.fr

Ce travail a été partiellement subventionné par le projet ECOS A98E05, le CONICET et la Fundación Antorchas.

Les auteurs sont heureux de remercier Roger Carter, Christian Kassel et Mariano Suarez Alvarez.

En particulier, l’homologie et la cohomologie sont concentrées en degrés pairs et nulles en degrés supérieurs à 2n.

Preuve : puisque le groupe G est fini et l’algèbre A_{n} simple, l’algèbre d’invariants A_{n}^{G} sous l’action du groupe G est équivalente au sens de Morita à l’algèbre produit croisé A_{n} ∗ G. Le calcul des dimensions dim_{C}HH_{j}(A_{n}^{G}) et dim_{C}H^{2n−j}(A_{n}^{G}, A_{n}^{G}) se fait pour le produit croisé A_{n} ∗ G, c’est-à-dire qu’on calcule les dimensions dim_{C}HH_{j}(A_{n} ∗ G) et dim_{C}H^{2n−j}(A_{n} ∗ G, A_{n} ∗ G). Le théorème 4.1 montre dim_{C}HH_{j}(A_{n} ∗ G) = dim_{C}H^{2n−j}(A_{n} ∗ G, A_{n} ∗ G) = a_{j}(G), ce qui termine la preuve de 1.1.

Dans la suite du texte, les notations sont les suivantes. Soit G un groupe. Nous désignons par [g] la classe de conjugaison de l’élément g et par [G] l’ensemble des classes de conjugaison de G. Le centralisateur de g dans G est noté Z(g). Le tore T^{n} ≅ (C^{∗})^{n} est un sous-groupe abélien de Sp(2n, C) via l’inclusion i : (C^{∗})^{n} → Sp(2n, C) définie par i(g_{1}, ⋯, g_{n}) = diag(g_{1}, g_{1}^{−1}, ⋯, g_{n}, g_{n}^{−1}).

2. Une suite spectrale à la Grothendieck.

Soient k un anneau commutatif unitaire, A une k-algèbre et G un sous-groupe fini de Aut_{k−Alg}(A). Introduisons la catégorie A des A ∗ G-bimodules M se décomposant sous la forme M = ⊕_{g∈G}M_{g} où M_{g} sont des groupes additifs tels que AhM_{g} = M_{hg} et M_{g}Ah = M_{gh}. Prenant h = e, on en déduit que pour tout g ∈ G, M_{g} est un Abimodule. Ces conditions montrent par ailleurs que pour x ∈ G et m_{g} ∈ M_{g}, on a xm_{g}x^{−1} ∈ M_{xgx^{−1}}. Le centralisateur Z(g) de g dans G opère par conjugaison dans M_{g}.

L’isomorphisme de A-bimodules Ax ⊗_{A} M_{g} ⊗_{A} Ax^{−1} ≅ M_{xgx^{−1}} et un contexte de Morita montrent qu’on a H_{j}(A, M_{g}) ≅ H_{j}(A, M_{xgx^{−1}}). L’algèbre A étant un G-module et M_{g} un Z(g)-module, on déduit des actions de Z(g) sur les complexes définissant l’homologie et la cohomologie de Hochschild de A à coefficients dans M_{g} et par conséquent les groupes H_{j}(A, M_{g}) et H^{2n−j}(A, M_{g}) sont des Z(g)-modules.

2.1. Proposition. Soient k un anneau commutatif unitaire, A une k-algèbre, G un sous-groupe fini de Aut_{k−Alg}(A) et soit M un A ∗ G-bimodule appartenant à A. i. On a une décomposition H_{∗}(A ∗ G, M) = ⊕_{[g]∈[G]}H_{∗}(A ∗ G, M)_{[g]} ainsi qu’une suite spectrale E_{r,s,[g]}^{2} = H_{r}(Z(g), H_{s}(A, M_{g})) ⇒ HH_{r+s}(A ∗ G, M)_{[g]}. ii. On a une décomposition H^{∗}(A ∗ G, M) = ⊕_{[g]∈[G]}H^{∗}(A ∗ G, M)^{[g]}; si [G : Z(g)] est fini, il existe une suite spectrale E_{2}^{r,s,[g]} = H^{r}(Z(g), H^{s}(A, M_{g})) ⇒ H^{r+s}(A ∗ G, M)^{[g]}. Preuve : Ces suites spectrales sont des suites spectrales de Grothendieck de composition de deux foncteurs ([5], 2.4.1). Pour le cas homologique, voir [7] ; pour le cas cohomologique, voir [6] ou [8].

3. Calcul de H_{j}(A_{n}, A_{n}g) pour g ∈ T^{n}.

Posons x = 1 ⊗ p − p ⊗ 1, y = 1 ⊗ q − q ⊗ 1. Le complexe (W_{∗}) ci-dessous est une A_{1}^{e}-résolution libre de l’algèbre de Weyl A_{1}.

\xymatrix{0 \ar[r] & A_{1}^{e} \ar[r]^{d′_{2}} & A_{1}^{e} ⊕ A_{1}^{e} \ar[r]^{d′_{1}} & A_{1}^{e} \ar[r]^{μ} & A_{1} \ar[r] & 0,}

où μ est la multiplication de A_{1} et où d′_{1}(z_{1}, z_{2}) = z_{1}x + z_{2}y, d′_{2}(z) = (zy, −zx).

3.1. Proposition. Soit g ∈ T^{1} un automorphisme diagonal de l’algèbre de Weyl A_{1}. On suppose g ≠ id. Alors H_{j}(A_{1}, A_{1}g) = 0 pour j > 0, H^{k}(A_{1}, A_{1}g) = 0 pour k ≠ 2 tandis que H_{0}(A_{1}, A_{1}g) = H^{2}(A_{1}, A_{1}g) = Cg. Preuve : pour z_{1} et z_{2} dans A_{1}, on pose [z_{1}, z_{2}]_{g} := z_{1}z_{2} − z_{2}z_{1}^{g}. On a H_{j}(A_{1}, A_{1}g) = H_{j}(A_{1}g ⊗_{A_{1}^{e}} W_{∗}). L’homologie H_{j}(A_{1}, A_{1}g) est évidemment obtenue en multipliant par g l’homologie du complexe de chaînes (A_{1}g ⊗_{A_{1}^{e}} W_{∗})g^{−1}. Le complexe de Koszul gr(A_{1}g ⊗_{A_{1}^{e}} W_{∗}) est acyclique en degré strictement positif. On en déduit l’acyclicité en degré strictement positif du complexe (A_{1}g ⊗_{A_{1}^{e}} W_{∗}), soit H_{j}(A_{1}, A_{1}g) = 0 pour j > 0. L’égalité des dimensions dim_{C}H_{j}(A_{n}, M) = dim_{C}H^{2n−j}(A_{n}, M) montre qu’on a également H^{2−j}(A_{1}, A_{1}g) = 0 pour j > 0. Rappelons que d’après [2], Thm 4, on a A_{1}g = [A_{1}, A_{1}g]⊕Cg, ce qui montre H_{0}(A_{1}, A_{1}g) = Cg et par dualité H^{2}(A_{1}, A_{1}g) = Cg.

3.2. Théorème. Soit n ≥ 1 un entier et soit g ∈ T^{n} un automorphisme diagonal de l’algèbre de Weyl A_{n}. Notons 2μ(g) la multiplicité de la valeur propre 1 de g. Alors, on a H_{2μ(g)}(A_{n}, A_{n}g) = Cg et H_{j}(A_{n}, A_{n}g) = 0 si j ≠ 2μ(g). En outre, ces modules sont des Z(g)-modules triviaux. Preuve : écrivons g = (g_{1}, ⋯, g_{n}) ∈ T^{n} avec g_{i} ∈ T^{1}. Le A_{n}^{e}-bimodule A_{n}g est isomorphe à ⊗_{ℓ=1}^{n}A_{1}g_{ℓ} et la formule de Künneth conduit à

H_{j}(A_{n}, A_{n}g) = ⊕_{j_{1}+···+j_{n}=j}H_{j_{1}}(A_{1}, A_{1}g_{1}) ⊗ ⋯ ⊗ H_{j_{n}}(A_{1}, A_{1}g_{n}).

Pour que H_{j_{ℓ}}(A_{1}, A_{1}g_{ℓ}) soit non nul, il faut j_{ℓ} = 2 et g_{ℓ} = id ou j_{ℓ} = 0 et g_{ℓ} ≠ id. Ceci montre que si H_{j}(A_{n}, A_{n}g) ≠ 0, on a nécessairement j = ∑ j_{ℓ} = 2μ(g) et H_{2μ(g)}(A_{n}, A_{n}g) = Cg.

Remarque : Avec les notations du théorème, on a évidemment H^{2n−2μ(g)}(A_{n}, A_{n}g) = Cg et H^{2n−j}(A_{n}, A_{n}g) = 0 si j ≠ 2μ(g).

4. Calcul de HH_{j}(A_{n} ∗ G).

4.1. Théorème. Soit G un sous-groupe fini de Sp(2n, C) opérant par automorphismes dans l’algèbre de Weyl A_{n}. Pour j ∈ N, on désigne par a_{j}(G) le nombre de classes de conjugaison d’éléments de G ayant la valeur propre 1 avec la multiplicité j. Alors on a

dim_{C}HH_{j}(A_{n} ∗ G) = dim_{C}H^{2n−j}(A_{n} ∗ G, A_{n} ∗ G) = a_{j}(G).

Preuve : La suite spectrale citée en 2.1 s’écrit

E_{r,s,[g]}^{2} = H_{r}(Z(g), H_{s}(A_{n}, A_{n}g)) ⇒ HH_{r+s}(A_{n} ∗ G)_{[g]}.

Un lemme de diagonalisation ([3], 3.3) nous assure qu’il existe x ∈ Sp(2n, C) tel que g′ = xgx^{−1} appartienne à T^{n}. Par invariance de Morita, on a un isomorphisme H_{s}(A_{n}, A_{n}g) ≅ H_{s}(A_{n}, A_{n}g′). Le calcul effectué en 3.2 montre que ce dernier groupe est un Z(g)-module trivial car Z(g) agit trivialement (par conjugaison) sur Cg. On en déduit E_{r,s,[g]}^{2} = Cg si (r, s) = (0, 2μ(g)) et E_{r,s,[g]}^{2} = 0 sinon. En particulier, la suite spectrale dégénère, ce qui conduit à HH_{j}(A_{n}∗G)_{[g]} = Cg si j = 2μ(g) et HH_{j}(A_{n}∗G)_{[g]} = 0 sinon. Puisque HH_{j}(A_{n} ∗ G) = ⊕_{[g]∈[G]}HH_{j}(A_{n} ∗ G)_{[g]}, on obtient dim_{C}HH_{j}(A_{n} ∗ G) = a_{j}(G). Le calcul cohomologique est rigoureusement identique.

5. Un résultat de dualité.

Soit k un corps de caractéristique nulle et soit A une k-algèbre. L’algèbre A satisfait la condition de dualité de Van den Bergh ([9]) s’il existe d ∈ N et un A-bimodule inversible U ∈ P ic(A) tel que pour tout j ∈ N et tout A-bimodule M, on a un isomorphisme de k-modules φ_{j} : H_{j}(A, U ⊗_{A} M) → H^{d−j}(A, M).

Supposons de plus que G soit un groupe opérant dans A et M. Alors, il existe des opérations canoniques de G dans H_{j}(A, U ⊗_{A} M) et H^{d−j}(A, M) pour lesquelles φ_{j} est une application G-équivariante. En effet, en choisissant M = A^{e}, on voit que le Abimodule inversible U ∈ P ic(A) est nécessairement égal à Ext_{A^{e}}^{d}(A, A^{e}), sur lequel G opère canoniquement. On vérifie ensuite que les isomorphismes introduits par Van den Bergh ([9],p. 1346) dans la preuve de son théorème de dualité sont bien équivariants pour ces opérations.

Proposition 5.1. Soit A une k- algèbre satisfaisant à la condition de dualité ci dessus et soit G un sous-groupe fini de Aut_{k}(A). Alors, pour tout A∗G bimodule M de la catégorie A et pour tout j ∈ N, on a un isomorphisme

H_{j}(A ∗ G, (U ⊗_{A} M)) ≅ H^{d−j}(A ∗ G, M).

6. L’exemple D(𝔥)^{W}.

Soit 𝔤 une algèbre de Lie semi-simple de dimension n et de rang l, 𝔥 une sous-algèbre de Cartan et W le groupe de Weyl. L’algèbre duale 𝔥^{∗} est alors une W -représentation. Le groupe W agit par automorphismes linéaires dans les fonctions polynomiales sur 𝔥^{∗}, identifiée à S(𝔥) ainsi que dans l’algèbre des opérateurs différentiels sur 𝔥^{∗} notée D(𝔥^{∗}), isomorphe à l’algèbre de Weyl A_{l}(C).

L’algèbre des opérateurs différentiels W -invariants sur 𝔥^{∗} est alors isomorphe à A_{l}(C)^{G} et le théorème principal s’applique à cette dernière algèbre. Pour calculer les groupes de (co)homologie de Hochschild, nous aurons besoin des nombres a_{j}(W) pour W agissant dans la représentation 𝔥^{∗}. Le groupe W s’identifie à un sous-groupe de Sp(𝔥 ⊕ 𝔥^{∗}). La multiplicité de la valeur propre 1 d’un élément de W agissant dans la représentation 𝔥⊕𝔥^{∗} est le double de la multiplicité de la valeur propre 1 du même élément de W agissant dans la représentation 𝔥^{∗}. Cette multiplicité est aussi la dimension du sous-espace de 𝔥^{∗} invariant par l’élément considéré. Le théorème principal donne alors :

6.1. Théorème.

On a dim_{C}HH_{2j}(D(𝔥^{∗})^{W}) = a_{j}(W) pour 0 ≤ j ≤ l et dim_{C}HH_{j}(D(𝔥^{∗})^{W}) = 0 sinon. R. Carter ([4]) fournit une classification complète des classes de conjugaison des

groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de dimension finie. On obtient : Type A_{n} : a_{j}(W) = #{partitions de (n + 1) en (j + 1) parts}· Type B_{n}, C_{n} et D_{n} : Soit (λ, μ) une paire de partitions telle que | λ | + | μ |= n. La multiplicité de 1 comme valeur propre de la classe de conjugaison correspondante est donnée par le nombre de parts de la première partition. Type G_{2} : a_{0} = 3, a_{1} = 2 et a_{2} = 1. Type F_{4} : a_{0} = 9, a_{1} = 8, a_{2} = 5, a_{3} = 2 et a_{4} = 1. Type E_{6} : a_{0} = 5, a_{1} = 6, a_{2} = 7, a_{3} = 3, a_{4} = 2, a_{5} = 1 et a_{6} = 1. Type E_{7} : a_{0} = 12, a_{1} = 18, a_{2} = 13, a_{3} = 9, a_{4} = 4, a_{5} = 2, a_{6} = 1 et a_{7} = 1. Type E_{8} : a_{0} = 30, a_{1} = 31, a_{2} = 24, a_{3} = 12, a_{4} = 8, a_{5} = 3, a_{6} = 2, a_{7} = 1 et a_{8} = 1.

Bibliographie. [1], J. Alev, T. H. Hodges & J. D. Velez, Fixed rings of the Weyl algebra A_{1}(C)., J. Alg., 130, 1990, pp. 83-96. [2], J. Alev & T. Lambre, Comparaison de l’homologie de Hochschild et de l’homologie de Poisson pour une déformation des surfaces de Klein, Algebra and operator Theory, Proccedings of the Colloquium, Tashkent, Kluwer Academic publishers, 1998, pp. 25-38. [3], J. Alev & T. Lambre, Homologie des invariants d’une algèbre de Weyl, K-Theory, 18, 1999, pp. 401-411. [4], R. Carter, Conjugacy classes in the Weyl group, Comp. Math., 25-1, 1972, pp. 1-59. [5], A. Grothendieck, Sur quelques points d’algèbre homologique, Tohoku Math. J., 9, 1957, pp. 119-221. [6], A. Guichardet, Suites spectrales à la Hochschild-Serre pour les produits croisés d’algèbres et de groupes, prépublication, 1999. [7], M. Lorenz, On the homology of graded algebras, Com. Alg., 20-2, 1992, pp. 489-507. [8], D. Stefan, Hochschild cohomology on Hopf-Galois extensions, J. Pure Appl. Alg., 103-2, 1995, pp. 221-233. [9], M. Van den Bergh, A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings, Proc. Am. Math. Soc., 126-5, 1998, pp. 1345-1348.

[AMA - Algebra Montpellier Announcements - 01-2000][October, 2000]
Received May 2000.