Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica Volumen 22, 1997, 165–186

SPIEGELUNGSKOEFFIZIENT UND FREDHOLMSCHER EIGENWERT FÜR GEWISSE POLYGONE

Stephan Werner

Wiesenstraße 5, D-06862 Roßlau, Deutschland

Abstract. Die Arbeit befaßt sich mit dem Problem möglichst konformer Spiegelungen an gewissen geschlossenen Jordankurven. Diejenigen geschlossenen Jordankurven 𝒞 , für die eine quasikonforme Spiegelung, also eine Q-quasikonforme Abbildung der komplexen Ebene auf sich unter punktweiser Festhaltung von 𝒞 mit einem gewissen Q, existiert, heißen “quasikonforme Jordankurven”. Eine möglichst konforme Spiegelung ist dann eine solche mit kleinstmöglicher Dilatationsschranke Q_{𝒞} , welche Spiegelungskoeffizient genannt wird (bzw. die Größe q_{𝒞} = (Q_{𝒞} − 1)/(Q_{𝒞} + 1)). Daneben wird zu 𝒞 auch der zugehörige Fredholmsche Eigenwert λ_{𝒞} bzw. die Größe κ_{𝒞} = 1/λ_{𝒞} betrachtet.

In der vorliegenden Arbeit findet das Problem des Spiegelungskoeffizienten für beliebige Dreiecke und allgemeiner für Kreistangentenpolygone (alle Polygonseiten berühren den gleichen Kreis) seine Lösung, indem die Vermutung q_{𝒞} = κ_{𝒞} = 1 − α bewiesen wird, wobei απ die Größe eines kleinsten der Innenwinkel des Polygons ist. Dabei ist die möglichst konforme Spiegelung nicht eindeutig.

Ferner wird gezeigt, daß für Rechtecke 𝒞 des Seitenverhältnisses μ, welches 1 ≤ μ < 1,037 erfüllt, noch wie beim Quadrat q_{𝒞} = κ_{𝒞} = \frac{1}{2} gilt. Dagegen hat man bei μ > 2,76 die untere Abschätzung q_{𝒞} > \frac{1}{2} . Zur Frage der allgemeinen Abhängigkeit des Spiegelungskoeffizienten Q_{𝒞} (μ) für Rechtecke 𝒞 des Seitenverhältnisses μ ≥ 1 konnte \frac{1}{4} π < Q_{𝒞} (μ)/μ < π bewiesen werden.

1. Einleitung

Diese Arbeit befaßt sich mit dem Problem möglichst konformer (= extremal quasikonformer) Spiegelungen an gewissen geschlossenen Jordankurven 𝒞 . Unter einer Q-quasikonformen Spiegelung an 𝒞 wird eine orientierungsumkehrende Q-quasikonforme Abbildung der komplexen Ebene auf sich unter punktweiser Festhaltung von 𝒞 verstanden. Diejenigen geschlossenen Jordankurven, für die eine quasikonforme Spiegelung existiert, heißen “Quasikreise”oder “quasikonforme Jordankurven”([2], [5], [10]). Eine möglichst konforme Spiegelung ist dann eine solche mit kleinstmöglicher Dilatationsschranke. Diese Schranke Q_{𝒞} ≥ 1 bzw. q_{𝒞} = (Q_{𝒞} − 1)/(Q_{𝒞} + 1) heißt Spiegelungskoeffizient ([9]).

Daneben wird zu 𝒞 auch der zugehörige Fredholmsche Eigenwert λ_{𝒞} bzw. die Größe

κ_{𝒞} := \frac{1}{λ_{𝒞}}

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 30C62.

betrachtet. Dabei ist λ_{𝒞} für hinreichend glattes 𝒞 kleinster nichttrivialer Eigenwert > 1 der Integralgleichung (vgl. z. B. [4], [12])

u(w) = λ_{𝒞} ∫_{𝒞} K(w, t)u(t) ds_{t}

mit dem Neumannschen Kern

K(w, t) = −\frac{1}{π} \frac{∂}{∂n_{t}} log |w − t|

(n_{t} Normale in t, ds_{t} Bogenelement, für nichtglattes 𝒞 Definition von λ_{𝒞} in [12]). Nach [1] gilt die Ungleichung

κ_{𝒞} ≤ q_{𝒞} .

Falls 𝒞 eine analytische Ecke mit dem Innenwinkel πα enthält, so hat man nach [7] die Eckenbedingung

q_{𝒞} ≥ κ_{𝒞} ≥ |1 − α|.

Für konvexe Polygone folgt daraus die Abschätzung

(1)  q_{𝒞} ≥ κ_{𝒞} ≥ max{1 − α : ∃ Ecke von 𝒞 mit Innenwinkel απ}.

In dieser Arbeit wird nun das bisher nur für Spezialfälle ([8], [9]) betrachtete Problem des Spiegelungskoeffizienten für beliebige Dreiecke und allgemeiner für Kreistangentenpolygone (alle Polygonseiten berühren den gleichen Kreis) gelöst.

Satz 1. Es sei 𝒞 ein Kreistangentenpolygon und απ die Größe eines kleinsten seiner Innenwinkel. Dann gilt

q_{𝒞} = 1 − α  bzw.  Q_{𝒞} = \frac{2}{α} − 1,

also (1) mit dem Gleichheitszeichen.

Es stellt sich nebenbei heraus, daß die möglichst konforme Spiegelung hierbei nicht eindeutig bestimmt ist.

Ferner wird das allgemeine Rechteck untersucht. Nach [9] herrscht für “quadratnahe”Rechteckslinien 𝒞 noch wie beim Quadrat in (1) Gleichheit, d. h. es gilt

q_{𝒞} = κ_{𝒞} = \frac{1}{2},

nach [8] für “quadratferne”Rechteckslinien mit einem Seitenverhältnis μ > 3,31 jedoch

κ_{𝒞} > \frac{1}{2}.

Spiegelungskoeffizient und Fredholmscher Eigenwert für gewisse Polygone 167

Eine konkrete möglichst konforme Spiegelung liefert der Beweis von Satz 2. Für Rechtecke 𝒞 des Seitenverhältnisses μ, welches

1 ≤ μ < 1,037

erfüllt, gilt q_{𝒞} = κ_{𝒞} = \frac{1}{2} .

Außerdem wird die obige Schranke für quadratferne Rechtecke verbessert durch

Satz 3. Bei Rechtecken 𝒞 mit

μ > 2,76

gilt die Abschätzung

q_{𝒞} > \frac{1}{2}.

Zwar bleibt auch hier die schon in [9, S. 105] gestellte Frage nach der Monotonie von Q_{𝒞} als Funktion von μ offen, doch können wir immerhin folgenden Satz beweisen.

Satz 4. Der Spiegelungskoeffizient Q_{𝒞} (μ) für Rechtecke 𝒞 des Seitenverhältnisses μ ≥ 1 erfüllt

\frac{π}{4} < \frac{Q_{𝒞} (μ)}{μ} < π,

d. h. Q_{𝒞} (μ) = O(μ) für μ → ∞.

2. Beweis von Satz 1

Der Beweis erfolgt durch Konstruktion einer quasikonformen Spiegelung, für die als kleinste Dilatationsschranke Q_{𝒞} = (2/α) − 1 nachgewiesen wird. Zusammen mit der Eckenbedingung Q_{𝒞} ≥ (2/α) − 1 (bzw. q_{𝒞} ≥ 1 − α) folgt dann die Behauptung.

Zur Beschreibung der konkreten Abbildung entspreche der Mittelpunkt des die Polygonseiten berührenden Kreises dem Ursprung der Zahlenebene, der Fußpunkt des Lotes von diesem auf eine der Seiten dem Punkt 1 und einer der Endpunkte der betreffenden Polygonseite dem Punkt 1−(1/h)i (vgl. zum Folgenden Figur 1). Die Größe des Polygoninnenwinkels an diesem Eckpunkt sei βπ (0 < α ≤ β < 1), so daß

h = tan \frac{βπ}{2}

ist. Ferner sei

R := \frac{2}{β} − 1

gesetzt. Durch die beiden Strahlen vom Kreismittelpunkt senkrecht zur Polygonseite bzw. durch den Eckpunkt wird ein spitzer Winkelraum begrenzt, dessen

Figur 1.

innerhalb des Polygons liegender Teil auf den äußeren Teil wie folgt abgebildet wird. Für die anderen derartigen Winkelräume erfolgt die Spiegelung analog.

Die Kurven 𝒞_{1} und 𝒞_{2} mit den Parameterdarstellungen

(2)  z_{1} = 1 − \frac{1}{h}i + r(φ)e^{i((π/2)+φ)},  0 ≤ φ ≤ \frac{βπ}{2} ,
(3)  z_{2} = 1 − \frac{1}{h}i + r(φ)e^{i((π/2)−Rφ)},  0 ≤ φ ≤ \frac{βπ}{2}

mit

(4)  r = r(φ) = \frac{sin φ + sin Rφ + h(cos Rφ − cos φ)}{h sin(R + 1)φ}

teilen den Winkelraum in die Teilgebiete 𝒢_{1} bis 𝒢_{4} . Dabei sind bei φ = 0 und φ = \frac{1}{2}βπ für r natürlich die leicht ermittelbaren Grenzwerte zu nehmen. Daß jeder von 0 ausgehende und im Winkelraum verlaufende Strahl jede der Kurven 𝒞_{1} und 𝒞_{2} genau einmal schneidet, wird später bewiesen werden.

Ein Punkt z aus 𝒢_{2} hat nun als Bild genau jenen Punkt w des Gebietes 𝒢_{4} , für den gilt

(5)  |w − (1 − \frac{1}{h}i)| = |z − (1 − \frac{1}{h}i)|,
(6)  arg(w − (1 − \frac{1}{h}i)) − \frac{π}{2} = −R(arg(z − (1 − \frac{1}{h}i)) − \frac{π}{2} ),

wobei unter dem Argument jeweils der zwischen −π und π gelegene Hauptwert zu verstehen ist. Dadurch wird 𝒢_{2} schlicht auf 𝒢_{4} abgebildet.

Für die Definition der Abbildung von 𝒢_{1} auf 𝒢_{3} seien z ein beliebiger Punkt aus 𝒢_{1} und z_{1} bzw. z_{2} die Schnittpunkte des Strahles von 0 durch z mit 𝒞_{1} bzw. 𝒞_{2} , es gilt also

arg z = arg z_{1} = arg z_{2}.

Ferner werde definiert

(7)  Q := \frac{2}{α} − 1,
(8)  a := \frac{Q + \frac{1}{4}π(Q − 1) tan \frac{1}{2}απ}{1 + \frac{1}{4}π(Q − 1) tan \frac{1}{2}απ} .

Das Bild w von z in 𝒢_{3} ist dann bestimmt durch

(9)  arg w = arg z,  |w/z_{2}| = |z_{1}/z|^{a}.

Schließlich setze man die in 𝒢_{1} und 𝒢_{2} so festgelegte Abbildung noch stetig auf die Ränder fort. Dem Punkt z = 0 entspricht dabei sinngemäß w = ∞.

Die Stetigkeit der angegebenen Abbildungen im Innern der Gebiete 𝒢_{1} und 𝒢_{2} sowie das punktweise Festbleiben des Polygons (also hier der Strecke mit den Endpunkten 1 und 1−(1/h)i) ergibt sich aus (5), (6) und (9) oder noch einfacher nach Übergang zu den Logarithmus-Ebenen (siehe später). Entlang der Strecke zwischen 0 und 1−(1/h)i folgt die Stetigkeit aus der Symmetrie des betrachteten und des sich an diesen Schenkel anschließenden Winkelraumes. Für die Stetigkeit entlang der Strecke 0 ≤ z ≤ 1 beachte man, daß für diese z in (9) z_{1} = z_{2} = 1 zu nehmen ist und nach (8) a nur von α, aber nicht von β abhängt. Es ergibt sich also für den an dieser Seite benachbarten Winkelraum auf dem gemeinsamen Schenkel die gleiche Abbildung. Schließlich bleibt die Stetigkeit auf 𝒞_{1} zu zeigen. Dazu ist zu verifizieren, daß für die Punkte dieser Kurve bei Zugrundelegung der Abbildung von 𝒢_{1} auf 𝒢_{3} einerseits und von 𝒢_{2} auf 𝒢_{4} andererseits das gleiche Bild auf 𝒞_{2} entsteht, was man aber mittels (4) direkt nachrechnen kann.

Im nächsten Schritt wird die Dilatation im Gebiet 𝒢_{2} ermittelt. Wegen der Invarianz der Problemstellung gegenüber vor- oder nachgeschalteten schlichten konformen Abbildungen kann man von der z - bzw. w-Ebene durch

Z = X +iY = log(z −(1− \frac{1}{h}i))− \frac{π}{2} i, W = U +iV = log(w−(1− \frac{1}{h}i))− \frac{π}{2} i

entsprechend Figur 2 zu einer Z - bzw. W -Ebene übergehen (dabei sei unter log der Hauptwert des Logarithmus verstanden).

Aus den Bestimmungsgleichungen (5) und (6) entstehen einfach

U = X, V = −RY,

womit sich als Dilatation p einheitlich R ergibt. Wegen β ≥ α gilt folglich

(11)  p ≤ \frac{2}{α} − 1,

Figur 2.

wobei sich genau dann Gleichheit einstellt, wenn bei 1 − (1/h)i eine Ecke mit kleinstem Innenwinkel des Polygons vorliegt.

Zur Untersuchung der Dilatation im Gebiet 𝒢_{1} wird die durch

z^{∗} = x + iy = log z, w^{∗} = u + iv = log w

entstehende z^{∗} - bzw. w^{∗} -Ebene betrachtet (vgl. Figur 3). (9) geht über in

(12)  v = y,  u − u_{1} = a(x_{1} − x),

wobei x_{1} = x_{1}(y) und u_{1} = u_{1}(y) = u_{1}(v) die 𝒞_{1} und 𝒞_{2} entsprechenden Kurven sind. Diese Kurvendarstellung ist natürlich nur dann möglich, wenn x_{1} und u_{1} eindeutige Funktionen von y sind, was bedeutet, daß in der z - bzw. w-Ebene jeder Strahl von 0 aus (im vorliegenden Winkelraum) jede der Kurven 𝒞_{1} und 𝒞_{2} genau einmal trifft.

An späterer Stelle wird die Behauptung

(13) |u_{y}| ≤ \frac{1}{2}π(a − 1)  für − ∞ < x < x_{1}(y),  −(1 − β)\frac{1}{2}π < y < 0

gezeigt werden. Mit den aus (12) folgenden partiellen Ableitungen ergibt sich daraus für die Dilatation p = p(x, y)

(14)  p + \frac{1}{p} = \frac{u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}{−(u_{x}v_{y} − u_{y}v_{x})} ≤ \frac{a^{2} + 1 + \frac{1}{4}π^{2}(a − 1)^{2}}{a} .

Zum Nachweis von

(15)  p ≤ \frac{2}{α} − 1 = Q

genügt also die Verifikation von

(16)  \frac{a^{2} + 1 + \frac{1}{4}π^{2}(a − 1)^{2}}{a} ≤ Q + \frac{1}{Q},

was sich äquivalent umformen läßt in

(17)  πQ ≤ (Q − 1)(Q + 1) tan \frac{1}{2}απ + \frac{1}{4}π(Q − 1)^{2} tan^{2} \frac{1}{2}απ.

Eine nähere Untersuchung des Ausdrucks ((2/α)−2) tan \frac{1}{2}απ zeigt die Richtigkeit der Ungleichung

(18)  (Q − 1) tan \frac{απ}{2} > \frac{4}{π}  für 0 < α < 1,

womit für (17)

πQ ≤ ((Q − 1)(Q + 1) + (Q − 1)) tan \frac{1}{2}απ

oder äquivalent dazu

\frac{απ}{2} − arctan \frac{πQ}{(Q − 1)(Q + 2)} ≥ 0

hinreichend ist. Mit t := \frac{1}{2}απ ist dies gleichbedeutend mit

t − arctan \frac{πt(π − t)}{(π − 2t)(π + t)} ≥ 0 für 0 < t < \frac{π}{2} .

Eine Diskussion der linken Seite und deren Ableitung nach t zeigt die Gültigkeit der letzten Ungleichung. Damit ist also (15) bewiesen, sofern noch (13) nachgewiesen werden kann.

Zur Vereinfachung der weiteren Rechnungen wird das in (4) definierte r = r(φ) als Funktion von

γ := \frac{1}{2}βπ − φ

dargestellt. Man erhält

(19)  r = \frac{1}{sin \frac{1}{2}βπ} \frac{sin Rγ − sin γ}{sin(R + 1)γ} .

Wegen 0 ≤ γ ≤ Rγ ≤ π − γ in 0 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}βπ gilt in diesem Intervall

(20)  sin Rγ − sin γ ≥ 0,  sin(R + 1)γ ≥ 0,

womit aus (19) r > 0 folgt, was die bisher angestellten Überlegungen (angefangen mit der Definition der Spiegelung) erst korrekt macht. Ferner liefern eine leichte Rechnung

(22)  \frac{dr}{dγ} = −\frac{dr}{dφ} = \frac{1}{sin \frac{1}{2}βπ} \frac{1 + cos(R + 1)γ}{sin^{2}(R + 1)γ} (R sin γ − sin Rγ)

und einfache Eigenschaften der Sinusfunktion

(23)  R sin γ − sin Rγ ≥ 0.

Ziel ist nun ein Ausdruck für u_{y}, der nur noch von R, a und γ abhängt. Durch φ ↦ z_{1} gemäß (2) mit (4) und z_{1} ↦ y = arg z_{1} = Im log z_{1} wird eine eindeutige Funktion y = y(φ) in 0 ≤ φ ≤ \frac{1}{2}βπ definiert.

Für den Winkel δ gilt einerseits

δ = \frac{1}{2}π − |y|

und andererseits wegen der Gleichschenkligkeit des aus z_{1} , z_{2} und 1 − (1/h)i gebildeten Dreiecks

δ = φ + \frac{1}{2}(π − (R + 1)φ).

Damit folgt

(24)  y = −|y| = −\frac{1}{2}(R − 1)φ.

Aus (24) ist wegen R > 1 ersichtlich, daß auch jedem y genau ein φ entspricht, womit endlich die schon benutzte Behauptung bewiesen ist, daß 𝒞_{1} von jedem Strahl von 0 aus (im gegebenen Winkelraum) genau einmal geschnitten wird. Für 𝒞_{2} folgt die entsprechende Tatsache aus der umkehrbaren Eindeutigkeit der Zuordnung z_{2} ↦ φ ↦ z_{1} ↦ y. (12) und (24) liefern

(25)  u_{y} = −\frac{2}{R − 1}(\frac{du_{1}}{dφ} + a\frac{dx_{1}}{dφ} )

mit x_{1} = Re log z_{1}(φ) und u_{1} = Re log z_{2}(φ). Aus elementargeometrischen Überlegungen erhält man

|z_{1}||z_{2}| = 1 + \frac{1}{h^{2}} − r^{2},

also

x_{1} + u_{1} = log(1 + \frac{1}{h^{2}} − r^{2}).

Für (25) ist folglich schreibbar

u_{y} = −\frac{2}{R − 1}((a − 1)\frac{dx_{1}}{dφ} + \frac{d}{dφ} log(1 + \frac{1}{h^{2}} − r^{2})).

Rechnet man mittels

x_{1} = log |z_{1}| = \frac{1}{2} log((1 − r sin φ)^{2} + (−\frac{1}{h} + r cos φ)^{2})

unter Benutzung von (19) und (22) die auftretenden Ableitungen explizit aus, so ergibt sich nach längeren Umformungen die gewünschte Darstellung

(26)

u_{y} = −\frac{(a − 1)(−2 sin Rγ + (R + 1) sin γ + (R − 1) sin γ cos(R + 1)γ)}{(R − 1) sin γ sin(R + 1)γ}

− \frac{2(R sin γ − sin Rγ)(sin Rγ − sin γ)}{(R − 1) sin γ sin Rγ sin(R + 1)γ}.

Dabei sind natürlich bei γ = 0 und γ = \frac{1}{2}βπ die jeweiligen Grenzwerte zu nehmen. Mit (26) kann zum Beweis der Ungleichung (13) übergegangen werden, die jetzt die Gestalt

(27)

|(a − 1) sin Rγ(−2 sin Rγ + (R + 1) sin γ + (R − 1) sin γ cos(R + 1)γ)
+ 2(R sin γ − sin Rγ)(sin Rγ − sin γ)|
≤ \frac{1}{2}π(a − 1)(R − 1) sin γ sin Rγ sin(R + 1)γ für 0 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}βπ

bekommt. Statt (27) bei festem a für alle in Frage kommenden R und γ zu zeigen, soll der Beweis bei festem R > 1, also konstantem β, für alle dann möglichen a und γ erbracht werden. Aus (8) unter Berücksichtigung von (7) folgt zunächst, daß a eine streng monoton fallende Funktion von α ist. Wegen 0 < α ≤ β genügt daher der Nachweis von (27) für

(28)  a ≥ \frac{R + \frac{1}{4}π(R − 1)h}{1 + \frac{1}{4}π(R − 1)h}.

(Die rechte Seite von (28) entsteht aus derjenigen von (8) für β = α.) Da sowohl der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen auf der linken als auch die rechte Seite von (27) linear von a abhängen, gilt die Ungleichung genau dann für alle a gemäß (28), wenn

(29)

−\frac{1}{2}π(R − 1) sin γ sin(R + 1)γ ≤ −2 sin Rγ
+ (R + 1) sin γ + (R − 1) sin γ cos(R + 1)γ
≤ \frac{1}{2}π(R − 1) sin γ sin(R + 1)γ für 0 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}βπ

und die bei Ersetzung von a durch die rechte Seite von (28) aus (27) entstehende Relation

(30)

−\frac{1}{2}π(R − 1)^{2} sin γ sin Rγ sin(R + 1)γ ≤ (R − 1) sin Rγ(−2 sin Rγ
+ (R + 1) sin γ + (R − 1) sin γ cos(R + 1)γ)
+ 2(1 + \frac{1}{4}π(R − 1)h)(R sin γ − sin Rγ)(sin Rγ − sin γ)
≤ \frac{1}{2}π(R − 1)^{2} sin γ sin Rγ sin(R + 1)γ für 0 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}βπ

gültig sind. Für γ = 0 und γ = \frac{1}{2}βπ sind (29) und (30) wegen (R+1)\frac{1}{2}βπ = π und sin R\frac{1}{2}βπ = sin \frac{1}{2}βπ mit Gleichheit erfüllt. Zu zeigen bleiben also die insgesamt vier Ungleichungen für 0 < γ < \frac{1}{2}βπ.

Beweis der zweiten Ungleichung in (29):

Aus

(31)  \frac{1}{2}R + 1 tan γ < tan \frac{1}{2}R + 1γ  für 0 < γ < \frac{1}{2}βπ

folgt zunächst

(R + 1) sin γ(1 + cos(R + 1)γ) < 2 cos γ sin(R + 1)γ,

und mit

(32)  sin Rγ = cos γ sin(R + 1)γ − sin γ cos(R + 1)γ

ergibt sich hieraus

−2 sin Rγ + (R + 1) sin γ + (R − 1) sin γ cos(R + 1)γ < 0,

also erst recht die zweite Relation in (29).

Beweis der ersten Ungleichung in (29):

Wird sin Rγ mittels (32) ersetzt, so kann man die Behauptung leicht in die Form

(33)  (cot γ − \frac{1}{4}π(R − 1)) tan \frac{1}{2}R + 1γ ≤ \frac{1}{2}R + 1

bringen. Für γ → +0 geht dies in eine Gleichheit über. (33) ist demnach sicher dann erfüllt, wenn die Ableitung der linken Seite in 0 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}βπ nicht größer als 0 ist, das heißt

−\frac{1}{sin^{2} γ} tan \frac{R + 1}{2}γ + \frac{R + 1}{2}(cot γ − \frac{π}{4} (R − 1))\frac{1}{cos^{2} \frac{1}{2}(R + 1)γ} ≤ 0

oder

(34)  G(γ) := − sin(R + 1)γ + \frac{1}{2}R + 1(sin 2γ − \frac{1}{2}π(R − 1) sin^{2} γ) ≤ 0.

Wenn nun G eine Nullstelle γ_{1} in 0 < γ_{1} < \frac{1}{2}βπ hätte, so folgte nach einigen Umformungen

2 cos^{2} γ_{1} − \frac{π}{2} (R − 1) sin γ_{1} cos γ_{1} = \frac{2 sin(R + 1)γ_{1}}{(R + 1) tan γ_{1}} ,

daraus

G′(γ_{1}) = (R + 1)(− cos(R + 1)γ_{1} + cos 2γ_{1} − \frac{1}{2}π(R − 1) sin γ_{1} cos γ_{1})

= \frac{(R + 1)(1 + cos(R + 1)γ_{1})}{tan γ_{1}}(− tan γ_{1} + \frac{2}{R + 1} tan \frac{R + 1}{2}γ_{1})

und damit wegen (31)

(35)  G′(γ_{1}) > 0.

Da (18) gültig bleibt, wenn α durch β ersetzt wird, erhält man

(36)  G(\frac{1}{2}βπ) = \frac{1}{2}(R + 1) sin βπ(1 − \frac{1}{4}π(R − 1) tan \frac{1}{2}βπ) < 0.

Aus Stetigkeitsgründen kann also nicht für jede Nullstelle γ_{1} in 0 < γ_{1} < \frac{1}{2}βπ (35) gelten, so daß die Annahme falsch war. Mithin hat G in 0 < γ < \frac{1}{2}βπ einheitliches Vorzeichen, nämlich nach (36) das negative, womit (34), also (33) bewiesen ist.

Beweis der ersten Ungleichung in (30):

Die Behauptung folgt sofort aus der ersten Ungleichung (29) und der Nichtnegativität (nach (20) und (23)) von (R sin γ − sin Rγ)(sin Rγ − sin γ).

Beweis der zweiten Ungleichung in (30):

Zur Abkürzung werden für 0 < γ < \frac{1}{2}βπ eingeführt:

L = L(γ) := \frac{tan \frac{1}{2}(R + 1)γ}{tan γ} ,
k = k(γ) := \frac{sin Rγ}{sin γ}

Mit diesen Bezeichnungen ist der zweite Teil von (30) äquivalent zu

\begin{matrix}(R − 1) & (−2k + (R + 1) + (R − 1) cos(R + 1)γ) \\ + 2(1 + \frac{1}{4}π(R − 1)h)\frac{(R − k)(k − 1)}{k} ≤ \frac{1}{2}π(R − 1)^{2} sin(R + 1)γ. \end{matrix}

Der Beweis ist also erbracht, wenn

(37) (R − 1)(−2k + (R + 1) + (R − 1) cos(R + 1)γ) + 2\frac{(R − k)(k − 1)}{k} ≤ 0

und

(38)  \frac{(R − k)(k − 1)}{k sin(R + 1)γ} ≤ \frac{R − 1}{h}

gezeigt werden können.

Zur Verifikation von (37) wird von (23), das heißt

(39)  R ≥ k

ausgegangen, woraus

(40)  \frac{1}{2}R + 1(2L + 2L tan^{2} γ) ≥ (k + 1)L(1 + tan^{2} γ)

folgt. Weiterhin ergibt sich aus (32) nach einigen Umformungen

(41)  k − 1 = (L − 1)(1 + cos(R + 1)γ)

Spiegelungskoeffizient und Fredholmscher Eigenwert für gewisse Polygone 177 und weiter

2L = (k + 1) + (k − 1)L^{2} tan^{2} γ.

Setzt man letzteren Ausdruck in (40) ein, so erhält man

\frac{1}{2}(R + 1)((k + 1) + (k − 1)L^{2} tan^{2} γ + 2L tan^{2} γ) ≥ (k + 1)L(1 + tan^{2} γ) und damit \frac{1}{2}(R + 1)(k + 1)(1 + L^{2} tan^{2} γ) − (k + 1)L(1 + tan^{2} γ) − (R + 1)(L − 1)L tan^{2} γ ≥ 0. Hieraus kommt man mittels

L′ = \frac{1}{tan γ} (\frac{1}{2}(R + 1)(1 + L^{2} tan^{2} γ) − L(1 + tan^{2} γ))

und der aus (41) folgenden Beziehung

k′ = L′(1 + cos(R + 1)γ) − (R + 1)(L − 1) sin(R + 1)γ

nach etwas Rechnung schließlich auf

\frac{L′k(k − 1) + k′(L − 1)}{k^{2}} ≥ 0.

Hier steht nun auf der linken Seite gerade die Ableitung des Ausdrucks (L−1)(k− 1)/k, der für γ → +0 gegen (R − 1)^{2}/(2R) strebt, so daß

(42)  \frac{(L − 1)(k − 1)}{k} ≥ \frac{(R − 1)^{2}}{2R}

folgt. Dies ist äquivalent zu

2\frac{(R − k)(L − 1)}{k} + (R − 1)(−2(L − 1) + (R − 1)) ≤ 0.

Ersetzt man noch (L − 1) mittels (41), so resultiert (37).

Es verbleibt der Beweis von (38). Offenbar gilt

(R − 1) sin Rγ sin γ(1 + cos(R + 1)γ) + R(sin Rγ − sin γ)^{2} ≥ 0,

was nach einigen Umformungen auf (R cos Rγ sin γ − sin Rγ cos γ) sin(R + 1)γ + (R + 1)(sin^{2} Rγ − sin Rγ sin γ) ≥ 0 führt. Dividiert man durch sin^{2} γ, so steht links k′ sin(R + 1)γ + (R + 1)(k − 1)k, womit

(43)  \frac{k′}{k^{2}} tan \frac{R + 1}{2}γ + \frac{R + 1}{2}(1 − \frac{1}{k} )\frac{1}{cos^{2} \frac{1}{2}(R + 1)γ} ≥ 0

folgt. Die linke Seite von (43) ist gleich der Ableitung von

(44)  (1 − \frac{1}{k} ) tan \frac{R + 1}{2}γ = \frac{(sin Rγ − sin γ)(1 − cos(R + 1)γ)}{sin Rγ sin(R + 1)γ}.

Der Grenzwert des letzten Ausdrucks bei γ → \frac{1}{2}βπ − 0 ergibt sich nach der l’Hospitalschen Regel zu 2/h. Daher liefert (43)

(1 − \frac{1}{k} ) tan \frac{R + 1}{2}γ ≤ \frac{2}{h}

und mithin wegen (44)

(45)  0 ≤ \frac{k}{h} sin(R + 1)γ − \frac{1}{2}(k − 1)(1 − cos(R + 1)γ).

Durch Addition der aus (39) folgenden Beziehung

0 ≤ (\frac{R − 1}{2R} − \frac{k − 1}{2R})(1 + cos(R + 1)γ)

kommt man wegen (41) auf

0 ≤ \frac{k}{h} sin(R + 1)γ + \frac{R − 1}{2R}(1 + cos(R + 1)γ)

+ (L − 1)(1 + cos(R + 1)γ)(\frac{R − 1}{2R}(1 + cos(R + 1)γ) − 1).

Dies wird unter Beachtung von (41) weiter umgeformt zu

\frac{k − 1}{k sin(R + 1)γ} ≤ \frac{1}{h} + \frac{R − 1}{2R} \frac{1 + cos(R + 1)γ}{sin(R + 1)γ} .

(R − 1)/(2R) läßt sich mittels (42) nach oben abschätzen, so daß

\frac{(k − 1)(R − 1)}{k sin(R + 1)γ} − \frac{(L − 1)(k − 1)(1 + cos(R + 1)γ)}{k sin(R + 1)γ} ≤ \frac{R − 1}{h}

und wieder mit (41)

\frac{k − 1}{k sin(R + 1)γ} ((R − 1) − (k − 1)) ≤ \frac{R − 1}{h},

also (38) folgt. Damit ist der Beweis von (29) und (30) und letztendlich von (13) erledigt.

Mit der Ungleichung (11) bzw. (15) für die Gebiete 𝒢_{1} und 𝒢_{2} gilt für die konstruierte Spiegelung am Tangentenpolygon 𝒞 überall

p ≤ \frac{2}{α} − 1

und für ein gewisses Teilgebiet dabei Gleichheit. Folglich ist

Q = \frac{2}{α} − 1

die kleinste Dilatationsschranke. Nach der Eckenbedingung kann der Spiegelungskoeffizient nicht kleiner sein. Daher ist der angegebene Wert der exakte Spiegelungskoeffizient und die konstruierte Spiegelung möglichst konform, womit der Satz bewiesen ist.

Bemerkung. Im Spezialfalle regulärer Vielecke ergibt sich bei unserer im Beweis benutzten Konstruktion eine andere Extremalabbildung als die früher in [9] angegebene. Für speziell das Quadrat sind die minimalen globalen Dilatationsschranken für bestimmte Teilgebiete in Figur 5 eingetragen (links die Spiegelung nach [9], rechts nach dem eben durchgeführten Beweis (𝒞_{1} wird beim Quadrat zu einem Geradenstück)).

Figur 5.

Schon an diesem Beispiel ist zu sehen, daß die möglichst konforme Spiegelung an Tangentenpolygonen nicht eindeutig bestimmt ist. Außerdem läßt sich die in dieser Arbeit konstruierte Spiegelung noch mannigfach abändern, ohne daß die im Satz genannte Dilatationsschranke überschritten wird. In dem aus den jeweiligen Teilgebieten 𝒢_{1} bei Heranziehung aller Winkelräume zusammengesetzten einfach zusammenhängenden Gebiet 𝒢^{∗} gilt nämlich für die Dilatation

p ≤ Q^{∗} < Q_{𝒞} = \frac{2}{α} − 1

mit einer (vom vorliegenden Polygon abhängigen) Konstanten Q^{∗}, da bei genauerer Betrachtung die Ungleichung (16) für kein Q scharf ist. Schaltet man also in 𝒢^{∗} eine beliebige Q_{𝒞} /Q^{∗} -quasikonforme Abbildung auf sich vor, die den Rand von 𝒢^{∗} punktweise festläßt, so bleibt insgesamt die Dilatationsschranke Q_{𝒞} erhalten.

3. Beweis von Satz 2

Nach der Eckenbedingung gilt q_{𝒞} ≥ \frac{1}{2} bzw. Q_{𝒞} ≥ 3 bei Rechtecken. Es sei nun 𝒦 ein zum Ursprung der (X, Y)-Ebene symmetrisches, achsenparalleles Quadrat der Seitenlänge 2. Hierzu wird unten eine 3-quasikonforme Spiegelung W (Z) angegeben, bei der in einem Teilrechteck |X| ≤ a < 1, |Y | ≤ 1 sogar

p ≤ p_{0} := \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5} ) < 3

gilt und die Urbilder der Punkte mit | Re W | ≤ a, | Im W | ≥ 1 in diesem Rechteck liegen. Durch den so gewonnenen Spielraum kann dann eine 3-quasikonforme Spiegelung an Rechtecken 𝒞 mit einem Seitenverhältnis

μ = (1 − a) + a\sqrt{\frac{6}{3 + \sqrt{5}}}

wie folgt konstruiert werden (vgl. auch [9]). 𝒞 habe die Ecken μ + i, −μ + i, −μ − i und μ − i. Zunächst wird das Innere von 𝒞 durch eine Stauchung mit dem Faktor \sqrt{3 + \sqrt{5}}/\sqrt{6} parallel zur Abszissenachse im durch |X| ≤ μ − 1 + a beschriebenen Teilgebiet und eine entsprechende Verschiebung der Punkte mit μ − 1 + a ≤ |X| ≤ μ um μ − 1 ebenfalls parallel zur Abszissenachse auf das Innere von 𝒦 abgebildet. Anschließend erfolgt die Spiegelung W (Z) auf das Äußere des Quadrates und zuletzt die zur zuerst durchgeführten Abbildung des Rechtecksinneren auf das des Quadrates inverse Abbildung, aber nun bezogen auf das Äußere beider Kurven. Da bei der Hintereinanderschaltung quasikonformer Abbildungen das Produkt der einzelnen Dilatationsschranken eine obere Schranke für die Gesamtdilatation liefert, ergibt eine Betrachtung der beschriebenen Spiegelung an 𝒞 in den einzelnen Teilgebieten die globale Dilatationsschranke Q = 3. Folglich muß Q_{𝒞} = 3 gelten.

Für die Beschreibung der Spiegelung an der Quadratlinie 𝒦 mit den genannten Bedingungen sei die Ebene durch die vier Symmetrielinien des Quadrats in acht kongruente Winkelräume aufgeteilt, deren im Inneren von 𝒦 gelegener Teil quasikonform auf den jeweiligen äußeren Teil unter punktweiser Festhaltung von 𝒦 abgebildet wird. Durch die Festlegung, die Abbildung für alle acht Winkelräume in analoger Weise durchzuführen, kann man sich auf einen beschränken, der durch eine Kongruenztransformation so in eine z^{∗} - bzw. w^{∗} -Ebene gebracht werde, daß der Eckpunkt des Quadrats dem Ursprung, der Seitenmittelpunkt dem Punkt 1 und der Quadratmittelpunkt dem Punkt 1 + i entspricht. Mittels der konformen Abbildungen (vgl. Figur 6)

(46)  z = x + iy = log \frac{z^{∗}}{2 − z^{∗}} ,  w = u + iv = log \frac{w^{∗}}{2 − w^{∗}}

wird die Situation in eine z - bzw. w-Ebene überpflanzt. Dabei geht die Strecke von 0 nach 1 in die negativ-reelle Achse über, der Strahl 1 + i − ti (0 ≤ t < ∞) in die Strecke von \frac{1}{2}πi nach −πi, die Strecke von 0 nach 1 + i in die Kurve

(47)  y_{1} = y_{1}(x) = \frac{1}{2}π − \frac{1}{2} arcsin(1 − e^{2x}),  −∞ < x < 0,

und der Strahl −t(1 + i) (0 ≤ t < ∞) in

(48)  v_{1} = v_{1}(u) = −π + \frac{1}{2} arcsin(1 − e^{2u}),  −∞ < u < 0.

Die Abbildung w(z) wird nun definiert durch

(49)  u = x,  −∞ < x ≤ 0,
(50)  \frac{v}{v_{1}(u)} = \frac{y}{y_{1}(x)},  0 ≤ y ≤ y_{1}(x).

In (50) ist für u gemäß (49) x zu nehmen, so daß v durch x und y bestimmt ist. Aus (49) und (50) folgen sofort die Stetigkeit und Schlichtheit der Abbildung

Figur 6.

sowie das punktweise Festbleiben von 𝒦 (also der negativ-reellen Achse der z - bzw. w-Ebene). Für den Nachweis, daß die Urbilder der Punkte mit | Re W | ≤ a in | Re Z| ≤ a liegen, genügt es zu zeigen, daß für einander entsprechende Punkte z^{∗} und w^{∗} gilt

(51)  Re z^{∗} ≥ Re w^{∗}.

Mit den zu (46) inversen Abbildungen

z^{∗} = \frac{2e^{z}}{1 + e^{z}} , w^{∗} = \frac{2e^{w}}{1 + e^{w}}

ergibt sich

Re z^{∗} = 1 + \frac{e^{2x} − 1}{1 + 2e^{x} cos y + e^{2x}} , Re w^{∗} = 1 + \frac{e^{2u} − 1}{1 + 2e^{u} cos v + e^{2u}} ,

wobei u und v nach (49) und (50) bestimmt sind. (51) hat wegen u = x ≤ 0 also genau dann Gültigkeit, wenn cos v ≤ cos y erfüllt ist. Letzteres ist aber wahr, weil nach (47) und (48) v_{1} < −y_{1} und daher mit (50) v ≤ −y ≤ 0 einerseits und ebenfalls wegen (48) und (50) −π ≤ v_{1} ≤ v andererseits gilt.

Aus (47), (49) und (50) folgen (beachte v_{1} = −\frac{1}{2}π − y_{1} )

\begin{aligned}u_{x} & = 1, \\ u_{y} & = 0, \end{aligned}  \begin{aligned}v_{x} & = y \frac{d}{dx}(\frac{v_{1}}{y_{1}} ) = −y \frac{π}{2y_{1}^{2}} \frac{1 − sin 2y_{1}}{cos 2y_{1}} , \\ v_{y} & = \frac{v_{1}}{y_{1}} = −\frac{π}{2y_{1}} − 1. \end{aligned}

Mit 0 ≤ y ≤ y_{1} ergibt sich

(52)

p + \frac{1}{p} = \frac{u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}{−(u_{x}v_{y} − u_{y}v_{x})}

≤ \frac{1 + (\frac{π}{2y_{1}} + 1)^{2} + (\frac{π}{2y_{1}} \frac{1 − sin 2y_{1}}{cos 2y_{1}} )^{2}}{\frac{π}{2y_{1}} + 1}

= 2 + \frac{π^{2}}{(1 + sin 2y_{1})(πy_{1} + 2y_{1}^{2})}.

Nun ist

f(y_{1}) := (1 + sin 2y_{1})(πy_{1} + 2y_{1}^{2})

eine in \frac{1}{4}π ≤ y_{1} ≤ \frac{1}{2}π konkave Funktion, denn es gilt dort f′′(y_{1}) < 0, wie explizites Ausrechnen und eine nähere Diskussion des entstehenden Ausdrucks zeigen. Wegen f(\frac{1}{4}π) = \frac{3}{4}π^{2} < π^{2} = f(\frac{1}{2}π), f′(\frac{1}{2}π) < 0 und der Konkavität von f(y_{1}) muß erstens in \frac{1}{4}π ≤ y_{1} ≤ \frac{1}{2}π

f(y_{1}) ≥ f(\frac{1}{4}π) = \frac{3}{4}π^{2}

und nach (52) deshalb

p + \frac{1}{p} ≤ \frac{10}{3},

folglich p ≤ 3 im ganzen betrachteten Gebiet richtig sein. Zweitens gibt es genau ein ŷ mit \frac{1}{4}π < ŷ < \frac{1}{2}π und f(ŷ) = f(\frac{1}{2}π) = π^{2} , und mit diesem ŷ gilt

f(y_{1}) ≥ π^{2} für ŷ ≤ y_{1} ≤ \frac{1}{2}π.

Damit ist

p + \frac{1}{p} ≤ 3,

also

(53)  p ≤ \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5} )

für ŷ ≤ y_{1} ≤ \frac{1}{2}π erfüllt. Weil y_{1} streng monoton mit x wächst und nach (47) y_{1} = ŷ der Wert

x_{0} = \frac{1}{2} log(1 − sin 2ŷ)

entspricht, besteht die Abschätzung (53) in der z -Ebene für x_{0} ≤ x < 0, 0 < y < y_{1}(x). Wegen x ≤ 0 und 0 ≤ y ≤ \frac{1}{2}π gilt

Re z^{∗} = 1 + \frac{e^{2x} − 1}{1 + 2e^{x} cos y + e^{2x}} ≤ 1 + \frac{e^{2x} − 1}{(e^{x} + 1)^{2}} < \frac{2e^{x_{0}}}{e^{x_{0}} + 1}

für alle Punkte der z^{∗} -Ebene, deren Entsprechungen in der z -Ebene in x = Re z < x_{0} liegen. Dies bedeutet, daß bei w^{∗}(z^{∗}) für alle z^{∗} mit

Re z^{∗} ≥ \frac{2e^{x_{0}}}{e^{x_{0}} + 1}

\frac{1}{2}(3+\sqrt{5} ) eine Dilatationsschranke darstellt. Für die Konstante a ist daher jeder Wert mit

0 < a ≤ 1 − \frac{2e^{x_{0}}}{e^{x_{0}} + 1}

wählbar. Numerisches Ausrechnen von ŷ, x_{0} , der oberen Schranke für a und des zugehörigen μ liefert als Fazit, daß für alle Rechtecke 𝒞 mit einem Seitenverhältnis von μ ≤ 1,037 noch q_{𝒞} = \frac{1}{2} , also in der Eckenbedingung Gleichheit, gilt.

4. Beweis von Satz 3

Nach [9] sind das Problem der möglichst konformen Spiegelung an einer geschlossenen Jordankurve 𝒞 und das der möglichst konformen Fortsetzung der Abbildung w(z) der Klasse Σ, bei der 𝒞 als Rand des Bildes von |z| > 1 entsteht (bis auf eine lineare Transformation), äquivalent. Dabei umfaßt die Klasse Σ alle in |z| > 1 schlichten konformen Abbildungen w(z), die hydrodynamisch normiert sind. Ist w(z) ∈ Σ nach |z| ≤ 1 noch Q-quasikonform fortsetzbar, so gehört w(z) zur Klasse Σ(Q). Die Äquivalenz der beiden Probleme bedeutet insbesondere

Q_{𝒞} = inf{Q : 𝒞 ist das Bild von |z| = 1 bei einer Abbildung w(z) ∈ Σ(Q)},

wobei ohne Einschränkung der Allgemeinheit 𝒞 als Bild von |z| = 1 bei einer Abbildung w(z) ∈ Σ angenommen wird.

Nach [6, S. 113] gilt für den von 𝒞 umschlossenen Flächeninhalt

(55)  I ≥ π(1 − q^{2}),  q = \frac{Q − 1}{Q + 1}.

Für das Rechteck nun läßt sich die Abbildung w(z) durch die Schwarz–Christoffelsche Formel explizit angeben. Die Längen der Rechteckseiten ergeben sich dabei zu

(56)  a = a(k) = 4(E(k′) − k^{2}K(k′)),
(57)  b = b(k) = 4(E(k) − k^{′2}K(k))

mit k = sin α, k′ = cos α und den üblichen Bezeichnungen für die elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung, wobei sich das gewünschte Seitenverhältnis μ = μ(k) = a/b ≥ 1 durch passende Wahl von α aus 0 < α ≤ \frac{1}{4}π einstellt. Wenn nun die Eckenbedingung q_{𝒞} ≥ \frac{1}{2} mit Gleichheit gelten soll, so muß gemäß (55)

I = I(k) = ab ≥ \frac{3}{4}π

richtig sein. Mit Hilfe der einschlägigen Beziehungen zwischen den elliptischen Integralen erhält man

(58)  \frac{da}{dk} = −4kK(k′),  \frac{db}{dk} = 4kK(k).

Nun ist I(k) = ab eine in 0 < k < \frac{1}{2} \sqrt{2}, also in 0 < α < \frac{1}{4}π, streng monoton wachsende Funktion. Zum Beweis dieser Tatsache wird von

E(k) < K(k),  E(k′) < E(k),  K(k′) > K(k)

ausgegangen, was auf

(59)  8E(k′)(E(k) − K(k)) + 8k^{2}(E(k′)K(k) − E(k)K(k′)) < 0

führt. Die linke Seite läßt sich mittels (56), (57) und (58) auf die Form

kk^{′2} \frac{d(aK(k) − bK(k′))}{dk}

bringen, womit (59)

\frac{d(aK(k) − bK(k′))}{dk} < 0 für 0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}

ergibt. Da aK(k)−bK(k′) bei k = \frac{1}{2} \sqrt{2} verschwindet, gilt mithin in 0 < k ≤ \frac{1}{2} \sqrt{2}

aK(k) − bK(k′) ≥ 0

mit Gleichheit genau für k = \frac{1}{2} \sqrt{2}. Damit folgt weiter für 0 < k < \frac{1}{2} \sqrt{2}

0 < 4kaK(k) − 4kbK(k′) = a\frac{db}{dk} + \frac{da}{dk} = \frac{dI(k)}{dk}

und daraus die behauptete Monotonieeigenschaft.

Nach (58) fällt a und wächst b streng monoton mit k. Daher ist μ = a/b eine streng monoton fallende Funktion von k, wobei μ = 1 für k = \frac{1}{2} \sqrt{2} gilt. Zusammen mit der Monotonie von I(k) ergibt sich, daß es höchstens einen Wert μ_{1} ≥ 1 geben kann, für den I(μ_{1}) = \frac{3}{4}π gilt. Und falls ein μ_{1} mit dieser Eigenschaft existiert, so folgt weiter

I < \frac{3}{4}π für μ > μ_{1},

also nach (55) q_{𝒞} > \frac{1}{2} . Die numerische Auswertung zeigt die tatsächliche Existenz eines solchen μ_{1} und liefert dafür den im Satz angegebenen Wert von etwa 2,76.

5. Beweis von Satz 4

Mit der aus [9, S. 105] entnommenen Abschätzung

Q_{𝒞} (μ) ≤ \frac{π}{arccotμ} − 1

ist für die Behauptung Q_{𝒞} (μ)/μ < π hinreichend

π < (πμ + 1)arccotμ für μ ≥ 1,

was durch die Substitution φ = arccotμ äquivalent übergeht in

(60)  g(φ) := (π cot φ + 1)φ > π  für 0 ≤ φ ≤ \frac{1}{4}π.

Aus der im Inneren des betrachteten Intervalls gültigen Relation φ < tan φ folgt

g′′(φ) = 2π cot φ(1 + cot^{2} φ)(φ − tan φ) < 0.

Damit ist g(φ) streng konkav und nimmt daher, wenn noch g(0) = π gesetzt wird, sein Minimum in 0 ≤ φ ≤ \frac{1}{4}π an einer der Intervallgrenzen an, woraus wegen g(0) = π < (π + 1)\frac{1}{4}π = g(\frac{1}{4}π) sofort (60) resultiert.

Zum Beweis der Abschätzung \frac{1}{4}π < Q_{𝒞} (μ)/μ habe das Rechteck wieder die beim Beweis des vorigen Satzes normierte Lage, entstehe also als Bild des Einheitskreises bei einer Abbildung der Klasse Σ. Diese Abbildung ist dann bei einem Rechteck 𝒞 des Seitenverhältnisses μ ≥ 1 aus Σ(Q_{𝒞} (μ)). Mit den Bezeichnungen des letzten Abschnitts, wobei wieder 0 < k ≤ \frac{1}{2} \sqrt{2} angenommen werden kann, folgt aus (58)

(61)  \frac{d(b + \frac{1}{4}πa)}{dk} = 4k(K(k) − \frac{1}{4}πK(k′))

und aus den Beziehungen zwischen den elliptischen Integralen

\frac{d(K(k) − \frac{1}{4}πK(k′))}{dk} = \frac{1}{4kk^{′2}} (b + \frac{1}{4}πa) > 0.

K(k) − \frac{1}{4}πK(k′) wächst also streng monoton mit k. Da selbiger Ausdruck für k → 0 gegen −∞ strebt und für k = \frac{1}{2} \sqrt{2} positiv ist, gibt es nach (61) einen Wert k_{0} mit 0 < k_{0} < \frac{1}{2} \sqrt{2}, so daß b + \frac{1}{4}πa in 0 < k < k_{0} fällt und in k_{0} < k < \frac{1}{2} \sqrt{2} wächst. Wegen b + \frac{1}{4}πa → π bei k → 0 und b(\frac{1}{2} \sqrt{2} ) + \frac{1}{4}πa(\frac{1}{2} \sqrt{2} ) < π, was sich leicht nachrechnen läßt, ergibt sich damit

b + \frac{1}{4}πa < π für 0 < k ≤ \frac{1}{2} \sqrt{2}.

186 Stephan Werner

Unter Beachtung von I = ab und μ = a/b kann man weiter schließen auf

b^{2}(1 + \frac{1}{4}πμ)^{2} < π^{2}  und  I(1 + \frac{1}{4}πμ)^{2} < π^{2}μ.

Wird I mit der Bedingung (55) nach unten abgeschätzt, so erhält man

q_{𝒞}^{2} (μ) > \frac{(\frac{1}{4}πμ − 1)^{2}}{(\frac{1}{4}πμ + 1)^{2}} .

Für μ > 4/π (für 1 ≤ μ ≤ 4/π ist \frac{1}{4}π ≤ Q_{𝒞} (μ) wegen Q_{𝒞} ≥ 1 trivial) folgt schließlich

q_{𝒞} (μ) > \frac{\frac{1}{4}πμ − 1}{\frac{1}{4}πμ + 1}

und daraus die Behauptung.

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Eingegangen am 6. Oktober 1995