Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica Volumen 21, 1996, 101–109

ZUR QUASIKONFORMEN SPIEGELUNG

Reiner Kühnau

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, FB Mathematik und Informatik Institut für Analysis, D-06099 Halle an der Saale, Deutschland

Abstract. We define the “reflection center” of a quasicircle as the points of the interior, which occur as the image of ∞ at an extremal quasiconformal reflection w(z). We get estimates for this center. In some cases this center contains more than one point (example: square).

In this connection it is useful to study extremal quasiconformal reflections with the side condition w(∞) = fixed.

1. Einleitung

Es sei ℭ eine geschlossene Jordankurve in der komplexen w-Ebene. Die “Mitte” von ℭ läßt sich bekanntlich in mannigfacher Weise auffassen bzw. definieren. Hier soll eine “Spiegelungsmitte” von ℭ definiert werden, falls ℭ speziell ein Quasikreis ist, wobei auch die Lage der Tangente (falls vorhanden), sozusagen die Rauhigkeit von ℭ, einen Einfluß hat.

Sei nämlich w^{∗}(w) eine möglichst konforme (= extremal quasikonforme) Spiegelung an ℭ, d.h. eine orientierungsumkehrende, alle Punkte von ℭ festhaltende, quasikonforme Abbildung der Vollkugel auf sich mit kleinstmöglicher Maximaldilatation. Dann wird man w^{∗}(∞) als eine mögliche “Spiegelungsmitte” von ℭ auffassen können, weil im Falle eines Kreises ℭ tatsächlich der Mittelpunkt von ℭ entsteht. Für hinreichend glatte ℭ ist die möglichst konforme Spiegelung an ℭ nach K. Strebel [5] eindeutig bestimmt, und damit auch die Spiegelungsmitte von ℭ. Das ist aber nicht immer so—man vgl. schon das einfache Beispiel einer Quadratlinie in [2], [3]. Also wird man im allgemeinen Falle als Spiegelungsmitte von ℭ die Gesamtheit der bei allen möglichst konformen Spiegelungen w^{∗}(w) anfallenden Punkte w^{∗}(∞) definieren. In dieser Mitteilung sollen einige Aussagen über die Lage und Ausdehnung dieser Spiegelungsmitte in Bezug auf ℭ gewonnen werden.

Es erweist sich als zweckmäßig, in diesem Zusammenhange mit zu betrachten die Frage nach den möglichst konformen Spiegelungen w^{∗}(w) an ℭ unter der Nebenbedingung w^{∗}(∞) = w_{0} , wobei w_{0} ein innerhalb ℭ fest vorgegebener Punkt ist. Sei

Q(w_{0}) ≥ 1  bzw.  q(w_{0}) = \frac{Q(w_{0}) − 1}{Q(w_{0}) + 1}

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 30C75.

die zugehörige Maximaldilatation. Für die so definierte Ortsfunktion Q(w_{0}) werden wir Abschätzungen gewinnen. Es wird sich z.B. mit expliziter Abschätzung Q(w_{0}) → ∞ ergeben, falls w_{0} gegen ℭ strebt. Das gibt dann Anlaß zu einer a priori-Einschrankung für die Spiegelungsmitte von ℭ. Diese besteht aus denjenigen Punkten, in denen Q(w_{0}) das globale Minimum annimmt.

2. Äquivalente Formen der Fragestellung

Durch die Substitution W = \sqrt{w − w_{0}} entsteht aus ℭ eine zu W = 0 zentrisch symmetrische geschlossene Jordankurve ℭ′. Aus den Q-quasikonformen Spiegelungen an ℭ mit ∞ → w_{0} entstehen zu 0 zentrisch symmetrische Qquasikonforme Spiegelungen an ℭ′ mit ∞ → 0, und umgekehrt.

Ferner ergibt sich unmittelbar in Analogie zu Sektion 3 in [3] ein einfacher Zusammenhang zwischen den Q-quasikonformen Spiegelungen an ℭ mit ∞ → w_{0} und

(a) den Q-quasikonformen Fortsetzungen einer schlichten konformen Abbildung w(z) von |z| > 1 auf’s Äußere von ℭ, wobei z = ∞ in w = ∞ übergeht und von den Fortsetzungen der Übergang von z = 0 in w = w_{0} gefordert wird;

(b) den Q-quasikonformen Abbildungen des Äußeren des Einheitskreises auf’s Innere desselben bei fest gegebener Randabbildung und der Nebenbedingung ∞ → 0;

(c) den \sqrt{Q}-quasikonformen Abbildungen der Vollebene auf sich, wobei ℭ in die Einheitskreislinie übergeht, bei der Nebenbedingung ∞ → ∞, w_{0} → 0.

Durch (b) ergibt sich insbesondere also ein Zusammenhang mit den grundlegenden Untersuchungen von K. Strebel, E. Reich u.a. Insbesondere ist danach für z.B. analytische ℭ die möglichst konforme Spiegelung mit ∞ → w_{0} eindeutig bestimmt und in bekannter Weise durch quadratische Differentiale beschreibbar. Speziell für z.B. zentrisch symmetrische analytische ℭ besteht die Spiegelungsmitte von ℭ also aus einem einzigen Punkt, nämlich dem Symmetriepunkt.

3. Abschätzung von Q(w_{0}) nach unten in Randnähe

Satz 1. Existiert an ℭ eine Q-quasikonforme Spiegelung mit ∞ → w_{0} , dann gilt für den größten bzw. kleinsten Abstand M bzw. m zwischen w_{0} und ℭ mit der Eulerschen ψ -Funktion die (unscharfe) Abschätzung

(1) \frac{M}{m} ≤ Φ(Q)  mit
Φ(Q) = exp\{2ψ(\frac{1}{2} − \frac{1}{2π} arccos q) − 2ψ(\frac{1}{2π} arccos q) − π(\sqrt{Q} − \frac{1}{\sqrt{Q}})\}

< exp\{3π + \frac{π^{2}}{6} + π\sqrt{Q}\} bei q = \frac{Q − 1}{Q + 1}.

Ist weiter D noch der Durchmesser von ℭ, dann gilt für die durch M/m ≥ exp{3π + (π^{2}/6)} = 64197, 01 … beschriebene Randzone innerhalb ℭ

(2)  Q(w_{0}) ≥ (\frac{1}{π} log \frac{M}{m} − 3 − \frac{π}{6} )^{2},

außerdem noch für D/m ≥ 2 exp{3π + (π^{2}/6)} = 128394, 03 …

(3)  Q(w_{0}) ≥ (\frac{1}{π} log \frac{D}{m} − \frac{1}{π} log 2 − 3 − \frac{π}{6} )^{2}.

Beweis. Es ergibt sich (1) sofort aus [1, Satz 1], nach der Bemerkung a. in Sektion 2. Der zweite Teil der Ungleichung (1) folgt dabei noch aus der für 0 < y ≤ x ≤ \frac{1}{2} gültigen Ungleichung

ψ(x) − ψ(y) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x − y}{(x + k)(y + k)} < x ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(x + k)(y + k)}

= x[\frac{1}{xy} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(x + k)(y + k)}]

≤ \frac{1}{y} + x ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{y} + x\frac{π^{2}}{6} ≤ \frac{1}{y} + \frac{π^{2}}{12}

mit

x = \frac{1}{2} − \frac{1}{2π} arccos q, y = \frac{1}{2π} arccos q ≥ \frac{1}{2π} \sqrt{1 − q^{2}}.

Dann entsteht noch (2) aus (1) durch Umstellung nach Q und hieraus (3) bei zusätzlicher Benutzung von 2M ≥ D.

4. Abschätzung von Q(w) nach oben

Mit den Bezeichnungen m und D von Sektion 3 und Q_{ℭ} für den Spiegelungskoeffizienten von ℭ (= kleinstmögliche Maximaldilatation bei den quasikonformen Spiegelungen an ℭ = Minimum von Q(w)) gilt der

Satz 2. Für jedes w_{0} innerhalb ℭ ist

(4) Q(w_{0}) ≤ Q_{ℭ} · ℭ𝔬𝔱𝔤 ^{2}(\frac{1}{4}πK′(t)/K(t))  mit t = 1 − 2(m/(64D))^{Q_{ℭ}}.

Mit K wird hierbei noch—wie üblich—das elliptische Integral erster Gattung bezeichnet.

Beweis. Bekanntlich (vgl. z.B. [3]) gibt es eine Q_{ℭ} -quasikonforme Abbildung der w-Ebene auf die z -Ebene mit ∞ → ∞, die außerhalb ℭ konform ist, wobei ℭ in |z| = 1 übergeht. Sei dabei z_{0} = z(w_{0}). Wir schließen eine nach O. Teichmüller [6] existierende

ℭ𝔬𝔱𝔤 ^{2}(\frac{1}{4}πK′(|z_{0}|)/K(|z_{0}|))-quasikonforme Abbildung Z(z)

des Einheitskreises auf sich an, mit festen Randwerten, wobei z_{0} in Z = 0 übergeht.

Eine quasikonforme Spiegelung an ℭ mit w_{0} → ∞ und der der rechten Seite von (4) entsprechenden Dilatationsschranke konstruieren wir jetzt so. Das Innere von ℭ wird zuerst Q_{ℭ} -quasikonform durch z(w) auf |z| < 1 aufgebildet. Dann folgt die eben erwähnte Abbildung auf |Z| < 1. Sodann Spiegelung am Einheitskreis, letztlich konformer Übergang von |Z| > 1 auf’s Äußere von ℭ durch Umkehrung von z(w). Insgesamt bleiben alle Punkte von ℭ fest, und es transformiert tatsächlich w_{0} → ∞. Wir erhalten die genannte Dilatationsschranke durch Multiplikation von Q_{ℭ} mit der Dilatationsschranke der Teichmüllerschen Abbildung, wenn wir in dem hierfür angegebenen Ausdrucke noch |z_{0}| abschätzen.

Dazu betrachten wir die Kreislinie k des Radius’ 2 mit Mittelpunkt z_{0}/|z_{0}|. Diese hat ein Bild in der w-Ebene, das innerhalb eines Kreises mit Radius 4· \frac{1}{2}D = 2D liegt, da w(z) außerhalb k schlicht konform ist mit Ableitung ≤ \frac{1}{2}D in ∞. Also liegt w(k) innerhalb einer zu w(z_{0}/|z_{0}|) konzentrischen Kreisscheibe des Radius’ 4D. Auf die Q_{ℭ} -quasikonforme Abbildung w(z) des Inneren von k wenden wir nebst dem Schwarzschen Lemma den bekannten Morischen Verzerrungssatz [4] an (nach Ähnlichkeitstransformation):

\begin{aligned}\frac{m}{4D} & ≤ \frac{1}{4D} |w(z_{0}) − w(\frac{z_{0}}{|z_{0}|})| ≤ 16|\frac{1}{2}(z_{0} − \frac{z_{0}}{|z_{0}|})|^{1/Q_{ℭ}}, \\ |z_{0}| & ≤ 1 − 2(\frac{m}{64D} )^{Q_{ℭ}}. \end{aligned}

Das ist die zum Beweis von (4) noch ausstehende Ungleichung.

Bemerkung. Die somit durch (3) und (4) gewonnenen unteren und oberen Schranken für Q(w_{0}) sind für kleine Werte m, also in Randnähe, asymptotisch (für festes ℭ)

(5)  \frac{1}{π^{2}} (log \frac{1}{m})^{2}  bzw. \frac{16}{π^{4}} Q_{ℭ}^{3}(log \frac{1}{m})^{2}.

Also ist jedenfalls für m → 0

(6)  Q(w_{0})/(log \frac{1}{m})^{2}  beschränkt durch \frac{1}{π^{2}} bzw. \frac{16}{π^{4}} Q_{ℭ}^{3}

nach unten bzw. oben. Es ist die Frage, ob für diesen Quotienten in (6) ein Grenzwert existiert (von der Geometrie von ℭ abhängig).

5. Spiegelungsmitte bei kreisnahen ℭ

Wir wollen nun sehen, daß für ℭ, die einer Kreislinie in einem geeigneten Sinne nahe sind, die Spiegelungsmitte nahe dem Mittelpunkt dieses Kreises ist.

Es sei ℭ bezüglich w = 0 sternförmig und in dem Sinne kreisnahe, daß ℭ liegt in

(7)  \frac{1}{1 + ε} < |w| < 1 + ε,

ferner stückweis glatt (d.h. endlich viele Ausnahmepunkte), wobei der Winkel α(φ) zwischen dem Strahl arg w = φ = const und der (in den Ausnahmepunkten einseitigen) Tangente an ℭ im betreffenden Schnittpunkte stets erfüllt

(8)  | cos α(φ)| < δ

mit kleinem ε und δ. Ist r (= |w|) = r(φ) Darstellung von ℭ in Polarkoordinaten, dann liefert nach einer bekannten Ahlforsschen Konstruktion w^{∗}(w) = r^{2}(φ)/\overline{w} eine quasikonforme Spiegelung an ℭ mit w^{∗}(∞) = 0 und einer Maximaldilatation ≤ (1 + δ)/(1 − δ). Dadurch ist q(0) ≤ δ, also erst recht für einen Punkt w_{0} der Spiegelungsmitte

(9)  q(w_{0}) ≤ δ.

Nun gilt weiter nach (1)

(10)  \begin{aligned}\frac{1}{1 + ε} + |w_{0}| & ≤ (1 + ε − |w_{0}|)Φ(Q(w_{0})), \\ |w_{0}| & ≤ \frac{Φ − 1}{Φ + 1} + ε(1 − \frac{ε}{(1 + ε)(Φ + 1)}) < \frac{1}{2}(Φ − 1) + ε. \end{aligned}

Damit haben wir den

Satz 3. Ist ℭ nahe zum Einheitskreis |w| = 1 im Sinne von (7) und (8), dann liegen sämtliche Punkte w_{0} der Spiegelungsmitte von ℭ in der durch

(11)  |w_{0}| ≤ \frac{1}{2}(Φ(\frac{1 + δ}{1 − δ} ) − 1) + ε

beschriebenen Umgebung von 0. Diese Umgebung von 0 ergibt sich für kleine ε und δ zu

(12)  |w_{0}| ≤ \frac{8}{π} Gδ + ε + O(δ^{2})

mit G = 0, 915 … (Catalansche Konstante).

Diese Nähe der Spiegelungsmitte zu 0 folgt nicht, wenn (8) (mit kleinem δ) weggelassen wird, wie unten das Beispiel einer linear transformierter Ellipse zeigt.

6. Beispiele

(a) ℭ = Kreislinie. Wir können ℭ als |w| = 1 annehmen. Eine Spiegelung an ℭ mit ∞ → w_{0} induziert sofort eine quasikonforme Abbildung der Einheitskreisscheibe auf sich mit 0 → w_{0} bei festen Randwerten. Die zugehörige möglichst konforme Abbildung wurde von O. Teichmüller [6] (dort berühmter Fehler: auf S. 343 ist unterhalb der Mitte K durch \sqrt{K} zu ersetzen), so daß wir erhalten (vgl. [4] zum Modul des “Teichmüllerschen Extremalgebietes”)

(13)  Q(w) = ℭ𝔬𝔱𝔤 ^{2}(\frac{1}{4}πK′(|w|)/K(|w|))  für |w| < 1.

Dies ist das einzige Beispiel ℭ, bei dem Q(w) für alle Punkte w innerhalb ℭ bekannt ist.

Es gilt in Randnähe für |w| → 1

(14)  Q(w) ∼ \frac{16}{π^{4}} (log(1 − |w|))^{2}

(der Quotient beider Seiten strebt gegen 1).

Natürlich ist der einzelne Punkt w = 0 die Spiegelungsmitte dieses ℭ.

(b) ℭ = Ellipse. Ist diese a^{−2}u^{2} + b^{−2}v^{2} = 1 (a > b > 0) bei w = u + iv, dann gilt

(15)  Q(0) = a/b.

Denn nach einer Ähnlichkeitstransformation kann man annehmen, daß diese Ellipse durch

(16a)  w = z + \frac{κ}{z},  0 < κ < 1,

aus |z| = 1 entsteht. Und diese Abbildung von |z| ≥ 1 ist durch die Affinität

(16b)  w^{∗} = z + κz̄,  Umkehrung z = \frac{w^{∗} − κ\overline{w^{∗}}}{1 − κ^{2}} ,

bekanntlich nach |z| ≤ 1 möglichst konform fortsetzbar (vgl. z.B. [3]), mit der konstanten Dilatation Q = a/b. Das gibt Anlaß zur (eindeutig bestimmten) möglichst konformen Spiegelung an ℭ mit dieser Dilatation:

(17)  w = \frac{1 − κ^{2}}{\overline{w^{∗}} − κw^{∗}} + κ\frac{\overline{w^{∗}} − κw^{∗}}{1 − κ^{2}}

(Abbildung des Inneren der Ellipse ℭ auf’s Äußere). Insbesondere ist diese möglichst konforme Spiegelung eine elementare Funktion (in [3, Mitte von S. 102] Irrtum).

Ferner ist z.B. nach dem Anfang von Sektion 2

(18)  Q(±\sqrt{a^{2} − b^{2}} ) = \frac{a}{b} + \sqrt{(\frac{a}{b})^{2} − 1}  in den Brennpunkten.

Denn durch W = \sqrt{w − w_{0}} mit w_{0} = −\sqrt{a^{2} − b^{2}} entsteht aus unserer Ellipse wieder eine Ellipse mit W = 0 als Mittelpunkt, jetzt mit den Halbachsen \sqrt{a ∓ w_{0}} .

Weitere Werte von Q(w_{0}) sind noch nicht bekannt.

Die Spiegelungsmitte von ℭ ist natürlich der einzelne Symmetriepunkt w = 0.

(c) ℭ = linear transformierte Ellipse. Und zwar entstehe ℭ aus der Ellipse mit Scheiteln in ±(1+κ), ±(1−κ) bei 0 < κ < 1 (vgl. oben (b)) durch die lineare Transformation, bei der übergeht

±(1 + κ) → ±1,  w_{1} → ∞  (w_{1} > 1 + κ).

ℭ hängt also von dem Parameter w_{1} ab. Diesen lassen wir nun gegen 1 + κ streben. ℭ liegt immer innerhalb des Einheitskreises, diesen in ±1 berührend, und für w_{1} nahe 1 + κ schmiegt sich ℭ dem Einheitskreis immer mehr an (man verfolge nämlich bei dieser linearen Transformation einen die Ellipse in 1+κ von innen berührenden Kreis). Man errechnet, daß der linear transformierte Spiegelungspunkt von w_{1} bei (17) (also die Spiegelungsmitte von ℭ) gegen −κ konvergiert, wenn w_{1} gegen 1 + κ + 0 strebt. Dieser Punkt −κ ist nun noch beliebig nahe bei −1 einzurichten, wenn die Ausgangsellipse hinreichend flach gewählt wird (nämlich mit κ ≈ 1).

Also: ℭ läßt sich so einrichten, daß sich ℭ in einem konzentrischen Kreisring befindet, dessen Radienverhältnis beliebig nahe bei 1 ist, wobei die Spiegelungsmitte beliebig exzentrisch, d.h. beliebig nahe bei diesem Kreisring liegt.

Man überlegt leicht, daß diese Annäherung von ℭ an eine Kreislinie aber nicht so erfolgt, daß auch eine Annäherung bei der Tangente erfolgt; wie es nach Satz 3 sein muß.

(d) ℭ = Quadratlinie. Wenn die Seitenlänge 1 ist und ℭ zu 0 konzentrisch liegt, gibt es nach [2], [3] eine möglichst konforme 3-quasikonforme Spiegelung an ℭ, die in der durch |w| < 1 − \frac{1}{2} \sqrt{2} charakterisierten Kreisscheibe 𝔎 konform ist. Nun gibt es nach [6] (vgl. auch oben unter (a)) eine 3-quasikonforme Abbildung von 𝔎 auf sich mit festen Randwerten, bei der 0 in 0, 24249 … übergeht. Also besteht die Spiegelungsmitte von ℭ mindestens aus den Punkten von |w| ≤ 0, 24249 ….

Andererseits ergibt sich für Q = 3 aus (1)

m ≥ \frac{D}{2Φ(Q)} = \frac{D}{32} = \frac{\sqrt{2}}{32},

so daß die Spiegelungsmitte von ℭ vollständig in dem zu ℭ konzentrischen und homothetischen Quadrat liegen muß, das aus ℭ durch ähnliche Verkleinerung mit dem Faktor 1 − \frac{1}{16} \sqrt{2} = 0, 9116 … entsteht.

Diese Aussagen lassen sich durch aufwendigere feinere Betrachtungen leicht verbessern; ähnlich beim nächsten Beispiel.

Dieses Beispiel des Quadrates ℭ zeigt insbesondere auch, daß die Funktion Q(w) nicht immer reell-analytisch ist.

(e) ℭ = gleichseitiges Dreieck. Wenn die Seitenlänge 1 ist und ℭ zu 0 konzentrisch liegt, existiert nach [2], [3] eine 5-quasikonforme Spiegelung an ℭ, und es ergibt sich analog wie in (d), daß die Spiegelungsmitte von ℭ mindestens aus den Punkten w mit |w| ≤ 0, 14753 … besteht. Andererseits ergibt sich für Q = 5 aus (1)

m ≥ \frac{D}{2Φ(Q)} = D · 0, 0060299 … = 0, 0060299 …,

so daß die Spiegelungsmitte von ℭ vollständig in dem zu ℭ konzentrischen und homothetischen gleichseitigen Dreieck liegen muß, das aus ℭ durch ähnliche Verkleinerung mit dem Faktor 0, 9791119 … entsteht.

(f) ℭ = reguläres Kreisbogen-n-Eck. Wenn die Ecken z.B. die n-ten Einheitswurzeln sind, und die Innen- oder Außenwinkel zwischen den in den Ecken zusammenstoßenden Kreisbögen = απ sind, existiert nach [2] eine quasikonforme Spiegelung mit der Dilatationsschranke

(19)  (1 + |1 − α|)/(1 − |1 − α|).

Die zugehörige Konstruktion dieser Spiegelung in [2] ist dabei konform in einer zu 0 konzentrischen Kreisscheibe 𝔎, deren Radius nach 1 strebt, wenn n → ∞ bei festem α. Wenn nun noch α hinreichend nahe bei 1 liegt, liegt auch die Dilatationsschranke (19) nahe bei 1, so daß bei Festhaltung der Randpunkte von 𝔎 der Nullpunkt beliebig nahe zum Rand von 𝔎 geschoben werden kann unter Wahrung der Dilatationsschranke. Also: Wenn n hinreichend groß und α hinreichend nahe bei 1, dann macht in diesem Beispiel die Spiegelungsmitte fast das ganze Innere von ℭ aus, d.h. nicht zur Spiegelungsmitte gehören nur Punkte eines beliebig schmalen inneren Randstreifens von ℭ.

7. Zusatzbemerkungen

(a) Aus Kompaktheitsgründen bilden die Punkte der Spiegelungsmitte von ℭ immer eine abgeschlossene Menge. Was läßt sich Genaueres sagen?

(b) Man kann die ganze Problematik so verallgemeinern. Sei 𝔐 eine beschränkte Punktmenge der Ebene, an der quasikonform gespiegelt werden kann, d.h. für die eine orientierungsumkehrende quasikonforme Abbildung der Vollebene

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auf sich existiert, bei der 𝔐 punktweis festbleibt. (Eine vollständige Charakterisierung dieser Mengen existiert noch nicht; z.B. gehören alle endlichen Punktmengen dazu.) Wie steht es hier mit der (entsprechend zu definierenden) Spiegelungsmitte und der Funktion Q(w)? Wenn z.B. 𝔐 aus n Punkten besteht, gibt es sicher einen zu Satz 3 analogen Satz, falls diese Punkte annähernd auf einer Kreislinie liegen (und die Spiegelungen in entsprechender Homotopieklasse betrachtet werden). Die Spiegelungsmitte liegt übrigens nicht immer in der konvexen Hülle der n Punkte, kann sogar beliebig weit weg von diesen liegen. Triviales Beispiel ist n = 3. Dann ist die Spiegelungsmitte der Mittelpunkt des durch die drei Punkte verlaufenden Kreises.

Literatur

[1] Kühnau, R.: Eine Verschärfung des Koebeschen Viertelsatzes für quasikonform fortsetzbare Abbildungen. - Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1, 1975, 77–83.

[2] Kühnau, R.: Zur Berechnung der Fredholmschen Eigenwerte ebener Kurven. - Z. Angew. Math. Mech. 66, 1986, 193–200.

[3] Kühnau, R.: Möglichst konforme Spiegelung an einer Jordankurve. - Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 90, 1988, 90–109.

[4] Lehto, O., und K.I. Virtanen: Quasikonforme Abbildungen. - Springer-Verlag, Berlin– Heidelberg–New York, 1965.

[5] Strebel, K.: On the existence of extremal Teichmueller mappings. - J. Analyse Math. 30, 1976, 464–480.

[6] Teichmüller, O.: Ein Verschiebungssatz der quasikonformen Abbildung. - Deutsche Math. 7, 1944, 336–343 (vgl. auch die “Gesammelten Abhandlungen”, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1982).

Eingegangen am 29. Juni 1994