\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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   >\cr\noalign{\kern-8pt}<\cr}}}}

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   =\cr\noalign{\kern-8pt}<\cr}}}}

\renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr
   >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}

\title{Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.]\thanks{Diese
Abhandlung ist im Jahre 1854 von dem Verfasser behufs seiner
Habilitation an der Universit\"{a}t zu G\"{o}ttingen der
philosophischen Facult\"{a}t eingereicht.  Wiewohl der Verfasser
ihre Ver\"{o}ffentlichung, wie es scheint, nicht beabsichtigt
hat, so wird doch die hiermit erfolgende Herausgabe derselben in
g\"{a}nzlich unge\"{a}nderter Form sowohl durch das hohe
Interesse des Gegenstandes an sich als durch die in ihr
niedergelegte Behandlungsweise der wichtigsten Principien der
Infinitesimal-Analysis wohl hinl\"{a}nglich gerechtfertigt
erscheinen.\hfill\break
\hbox to \textwidth{\quad Braunschweig, im Juli 1867.\hfill
                          R. Dedekind.\quad}}}

\maketitle

Der folgende Aufsatz \"{u}ber die trigonometrischen Reihen
besteht aus zwei wesentlich verschiedenen Theilen.  Der erste
Theil enth\"{a}lt eine Geschichte der Untersuchungen und Ansichten
\"{u}ber die willk\"{u}rlichen (graphisch gegebenen) Functionen
und ihre Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen.  Bei
ihrer Zusammenstellung war es mir verg\"{o}nnt, einige Winke des
ber\"{u}hmten Mathematikers zu benutzen, welchem man die erste
gr\"{u}ndliche Arbeit \"{u}ber diesen Gegenstand verdankt.  In
zweiten Theile liefere ich \"{u}ber die Darstellbarkeit einer
Function durch eine trigonometrische Reihe eine Untersuchung,
welche auch die bis jetzt noch unerledigten F\"{a}lle umfasst.
Es war n\"{o}thig, ihr einen kurzen Aufsatz \"{u}ber den Begriff
eines bestimmten Integrales und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit
voraufzuschicken.

\begin{center}
\large\bfseries
Geschichte der Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer
willk\"{u}rlich gegebenen Function durch eine trigonometrische
Reihe.
\end{center}

\centerline{1.}

\nobreak\medskip

Die von \emph{Fourier} so genannten trigonometrischen Reihen,
d.~h. die Reihen von der Form
\[ \begin{array}{r}
         a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + a_3 \sin 3x + \cdots \\
   + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 +
         b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + b_3 \cos 3x + \cdots 
\end{array} \]
spielen in demjenigen Theile der Mathematik, wo ganz
willk\"{u}rliche Functionen vorkommen, eine bedeutende Rolle; ja,
es l\"{a}sst sich mit Grund behaupten, dass die wesentlichsten
Fortschritte in diesem f\"{u}r die Physik so wichtigen Theile der
Mathematik von der klareren Einsicht in die Natur dieser Reihen
abh\"{a}ngig gewesen sind.  Schon gleich bei den ersten
mathematischen Untersuchungen, die auf die Betrachtung
willk\"{u}rlicher Functionen f\"{u}hrten, kam die Frage zur
Sprache, ob sich eine solche ganz willk\"{u}rliche Function durch
eine Reihe von obiger Form ausdr\"{u}cken lasse.

Es geschah dies in der Mitte des vorigen Jahrhunderts bei
Gelegenheit der Untersuchungen \"{u}ber die schwingenden Saiten,
mit welchen sich damals die ber\"{u}hmtesten Mathematiker
besch\"{a}ftigten.  Ihre Ansichten \"{u}ber unsern Gegenstand
lassen sich nicht wohl darstellen, ohne auf dieses Problem
einzugehen.

Unter gewissen Voraussetzungen, die in der Wirklichkeit
n\"{a}herungsweise zutreffen, wird bekanntlich die Form einer
gespannten in einer Ebene schwingenden Saite, wenn $x$ die
Entfernung eines unbestimmten ihre Punkte von ihrem
Anfangspunkte, $y$ seine Entfernung aus der Ruhelage zur Zeit~$t$
bedeutet, durch die partielle Differentialgleichung
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
   = \alpha \alpha \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \]
bestimmt, wo $\alpha$ von $t$ und bei einer \"{u}berall gleich
dicken Saite von $x$ unabh\"{a}ngig ist.

Der erste, welcher eine allgemeine L\"{o}sung dieser
Differentialgleichung gab, war \emph{d'Alembert}.

Er zeigte\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin.  1747.
pag.~214.},
dass jede Function von $x$ und $t$, welche f\"{u}r $y$ gesetzt,
die Gleichung zu einer identischen macht, in der Form
\[ f(x + \alpha t) + \varphi(x - \alpha t) \]
enthalten sein m\"{u}sse, wie sich dies durch Einf\"{u}hrung der
unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen $x + \alpha t$,
$x - \alpha t$ anstatt $x$, $t$ ergiebt, wodurch
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
      - \frac{1}{\alpha \alpha} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
   \quad\hbox{in}\quad
   4 \frac{\displaystyle \partial
         \frac{\partial y}{\partial (x + \alpha t)}}{\partial
         (x - \alpha t)} \]
\"{u}bergeht.

Ausser dieser partiellen Differentialgleichung, welche sich aus
den allgemeinen Bewegungsgesetzen ergiebt, muss nun $y$ noch die
Bedingung erf\"{u}llen, in den Befestigungspunkten der Saite stets
$= 0$ zu sein; man hat also, wenn in dem einen dieser Punkte
$x = 0$, in dem anderen $x = l$ ist,
\[ f(\alpha t) = - \varphi( - \alpha t),\quad
   f(l + \alpha t) = - \varphi( l - \alpha t) \]
und folglich
\[ f(z) = - \varphi(-z)
        = - \varphi(l - (l + z))
        = f(2l + z),\]
\[ y = f(\alpha t + x) - f(\alpha t - x).\]

Nachdem \emph{d'Alembert} dies f\"{u}r die allgemeine
L\"{o}sung des Problems geleistet hatte, besch\"{a}ftigt er sich
in einer Fortsetzung\footnote{Ibid.\ pag.~220.}
seiner Abhandlung mit der Gleichung $f(z) = f(2l + z)$; d.~h.\ er
sucht analytische Ausdr\"{u}cke, welche unver\"{a}ndert bleiben,
wenn $z$ um $2l$ w\"{a}chst.

Es war ein wesentliches Verdienst \emph{Euler}'s, der im
folgenden Jahrgange der Berliner
Abhandlungen\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin.
1748. pag.~69.}
eine neue Darstellung dieser \emph{d'Alembert}'schen
Arbeiten gab, dass er das Wesen der Bedingungen, welchen die
Function $f(z)$ gen\"{u}gen muss, richtiger erkannte.  Er
bemerkte, dass der Natur des Problems nach die Bewegung der Saite
vollst\"{a}ndig bestimmt sei, wenn f\"{u}r irgend einen
Zeitpunkt die Form der Saite und die Geschwindigkeit jedes Punktes
$\displaystyle \left( \mbox{also $y$ und }
   \frac{\partial y}{\partial t} \right)$
gegeben seien, und zeigte, dass sich, wenn man diese beiden
Functionen sich durch willk\"{u}rlich gezogene Curven bestimmt
denkt, daraus stets durch eine einfache geometrische Construction
die \emph{d'Alembert}'sche Function $f(z)$ finden l\"{a}sst.
In der That, nimmt man an, dass f\"{u}r
\[ t = 0,\quad
   y = g(x)
   \quad{und}\quad
   \frac{\partial y}{\partial t} = h(x) \]
sei, so erh\"{a}lt man f\"{u}r die Werthe von $x$ zwischen $0$
und $l$
\[ f(x) - f(-x) = g(x),\quad
   f(x) + f(-x) = \frac{1}{\alpha} \int h(x) \, dx \]
und folglich die Function $f(z)$ zwischen $-l$ und $l$; hieraus
aber ergiebt sich ihr Werth f\"{u}r jeden andern Werth von $z$
vermittelst der Gleichung
\[ f(z) = f(2l + z). \]
Dies ist in abstracten, aber jetzt allgemein gel\"{a}ufigen
Begriffen dargestellt, die \emph{Euler}'sche Bestimmung der
Function $f(z)$.

Gegen diese Ausdehnung seiner Methode durch \emph{Euler}
verwahrte sich indess \emph{d'Alembert}
sofort\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin.  1750.
pag.~358.  En effet on ne peut ce me semble exprimer $y$
analytiquement d'une mani\`{e}re plus g\'{e}n\'{e}rale, qu'en la
supposant une fonction de $t$ et de $x$.  Mais dans cette
supposition on ne trouve la solution du probl\`{e}me que pour les
cas o\`{u} les diff\'{e}rentes figures de la corde vibrante
peuvent \^{e}tre renferm\'{e}s dans une seule et m\^{e}me
\'{e}quation.},
weil seine Methode nothwendig voraussetze, dass $y$ sich in $t$
und $x$ analytisch ausdr\"{u}cken lasse.

Ehe eine Antwort \emph{Euler}'s hierauf erfolgte, erschien eine
dritte von diesen beiden ganz verschiedene Behandlung dieses
Gegenstandes von Daniel \emph{Bernoulli}\footnote{M\'{e}moires
de l'acad\'{e}mie de Berlin.  1753. p.~147.}.
Schon vor \emph{d'Alembert} hatte
\emph{Taylor}\footnote{Taylor de methodo incrementorum.}
gesehen, dass
$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
   = \alpha \alpha \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$
und zugleich $y$ f\"{u}r $x = 0$ und f\"{u}r $x = l$ stets gleich
$0$ sei, wenn man
$\displaystyle y
   = \sin \frac{n \pi x}{l} \cos \frac{n \pi \alpha t}{l}$
und hierin f\"{u}r $n$ eine ganze Zahl setze.  Er erkl\"{a}rte
hieraus die physikalische Thatsache, dass eine Saite ausser ihrem
Grundtone auch den Grundton einer
$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots$
so langen (\"{u}brigens ebenso beschaffenen) Saite geben
k\"{o}nne, und hielt seine particul\"{a}re L\"{o}sung f\"{u}r
allgemein, d.~h.\ er glaubte die Schwingung der Saite w\"{u}rde
stets, wenn die ganze Zahl~$n$ der H\"{o}he des Tons gem\"{a}ss
bestimmt w\"{u}rde, wenigstens sehr nahe durch die Gleichung
ausgedr\"{u}ckt.  Die Beobachtung, dass eine Saite ihre
verschiedenen T\"{o}ne gleichzeitig geben k\"{o}nne, f\"{u}hrte
nun \emph{Bernoulli} zu der Bermerkung, dass die Saite (der
Theorie nach) auch der Gleichung
\[ y = \sum a_n \sin \frac{n \pi x}{l}
                \cos \frac{n \pi \alpha}{l} (t - \beta_n) \]
gem\"{a}ss schwingen k\"{o}nne, und weil sich aus dieser
Gleichung alle beobachteten Modificationen der Erscheinung
erkl\"{a}ren liessen, so hielt er sie f\"{u}r die
allgemeinste\footnote{l.~c.\ p.~157.\ art.~XIII.}.
Um diese Ansicht zu st\"{u}tzen, untersuchte er die Schwingungen
eines masselosen gespannten Fadens, der in einzelnen Punkten mit
endlichen Massen beschwert ist, und zeigte, dass die Schwingungen
desselben stets in eine der Zahl der Punkte gleiche Anzahl von
solchen Schwingungen zerlegt werden kann, deren jede f\"{u}r alle
Massen gleich lange dauert.

Diese Arbeiten \emph{Bernoulli}'s veranlassten einen neuen Aufsatz
\emph{Euler}'s, welcher unmittelbar nach ihnen unter den
Abhandlungen der Berliner Akademie abgedruckt
ist\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin.  1753.
p.~196.}.  Er h\"{a}lt darin \emph{d'Alembert} gegen\"{u}ber
fest\footnote{l.~c.\ p.~214.},
dass die Function $f(z)$ eine zwischen den Grenzen $-l$ und $l$
ganz willk\"{u}rliche sein k\"{o}nne, und
bemerkt\footnote{l.~c.\ art.\ III--X.},
dass \emph{Bernoulli}'s L\"{o}sung (welche er schon fr\"{u}her
als eine besondere aufgestellt hatte) dann allgemein sei und zwar
nur dann allgemein sei, wenn die Reihe
\[ \begin{array}{r}
\displaystyle
      a_1 \sin \frac{x \pi}{l}
         + a_2 \sin \frac{2 x \pi}{l} + \cdots  \\[6pt]
\displaystyle
   + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 +
      b_1 \cos \frac{x \pi}{l}
         + b_2 \cos \frac{2 x \pi}{l} + \cdots
\end{array} \]
f\"{u}r die Abscisse $x$ die Ordinate einer zwischen den
Abscissen $0$ und $l$ ganz willk\"{u}rlichen Curve darstellen
k\"{o}nne.  Nun wurde es damals von Niemand bezweifelt, dass alle
Umformungen, welche man mit einem analytischen Aus\-drucke---er sei
endlich oder unendlich---vornehmen k\"{o}nne, f\"{u}r jedwede
Werthe der unbestimmten Gr\"{o}ssen g\"{u}ltig seien oder doch
nur in ganz speciellen F\"{a}llen unanwendbar w\"{u}rden.  Es
schien daher unm\"{o}glich, eine algebraische Curve oder
\"{u}berhaupt eine analytisch gegebene nicht periodische Curve
durch obigen Ausdruck darzustellen, und \emph{Euler} glaubte
daher, die Frage gegen \emph{Bernoulli} entscheiden zu
m\"{u}ssen.

Der Streit zwischen \emph{Euler} und \emph{d'Alembert} was
indess noch immer unerledigt.  Dies veranlasste einen jungen,
damals noch wenig bekannten Mathematiker, \emph{Lagrange}, die
L\"{o}sung der Aufgabe auf einem ganz neuen Wege zu versuchen,
auf welchem er zu \emph{Euler}'s Resultaten gelangte.  Er
unternahm es\footnote{Miscellanea Taurinensia.  Tom~I.
Recherches sur la nature et la propagation du son.},
die Schwingungen eines masselosen Fadens zu bestimmen, welcher
mit einer endlichen unbestimmten Anzahl gleich grosser Massen in
gleich grossen Abst\"{a}nden beschwert ist, und untersuchte dann,
wie sich diese Schwingungen \"{a}ndern, wenn die Anzahl der
Massen in's Unendliche w\"{a}chst.  Mit welcher Gewandtheit, mit
welchem Aufwande analytischer Kunstgriffe er aber auch den ersten
Theil dieser Untersuchung durchf\"{u}hrte, so liess der Uebergang
vom Endlichen zum Unendlichen doch viel zu w\"{u}nschen
\"{u}brig, so dass \emph{d'Alembert} in einer Schrift, welche
er an die Spitze seiner opuscules math\'{e}matiques stellte,
fortfahren konnte, \emph{seiner} L\"{o}sung den Ruhm der
Gr\"{o}ssten Allgemeinheit zu vindiciren.  Die Ansichten der
damaligen ber\"{u}hmten Mathematiker waren und blieben daher in
dieser Sache getheilt; den auch in sp\"{a}tern Arbeiten behielt
jeder in Wesentlichen seinen Standpunkt bei.

Um also schliesslich ihre bei Gelegenheit dieses Problems
entwickelten Ansichten \"{u}ber die willk\"{u}rlichen Functionen
und \"{u}ber die Darstellbarkeit derselben durch eine
trigonometrische Reihe zusammenzustellen, so hatte \emph{Euler}
zuerst diese Functionen in die Analysis eingef\"{u}hrt und, auf
geometrische Anschauung gest\"{u}tzt, die Infinitesimalrechnung
auf sie angewandt.  \emph{Lagrange}\footnote{Miscellanea
Taurinensia.  Tom.~II.  Pars math.\ pag.~18.}
hielt \emph{Euler}'s Resultate (seine geometrische Construction
des Schwingungsverlaufs) f\"{u}r richtig; aber ihm gen\"{u}gte
die \emph{Euler}'sche geometrische Behandlung dieser Functionen
nicht.  \emph{D'Alembert} \footnote{Opuscules math\'{e}matiques
p.\ d'Alembert.  Tome premier.  1761. pag.~16.  art.~VII--XX.}
dagegen ging auf die \emph{Euler}'sche Auffassungsweise der
Differentialgleichung ein und beschr\"{a}nkte sich, die
Richtigkeit seiner Resultate anzufechten, weil man bei ganz
willk\"{u}rlichen Functionen nicht wissen k\"{o}nne, ob ihre
Differentialquotienten stetig seien.  Was die
\emph{Bernoulli}'sche L\"{o}sung betraf, so kamen alle drei
darin \"{u}berein, sie nicht f\"{u}r allgemein zu halten; aber
w\"{a}hrend \emph{d'Alembert}\footnote{Opuscules
math\'{e}matiques.  Tome~I. pag.~42.  art.~XXIV.},
um \emph{Bernoulli}'s L\"{o}sung f\"{u}r minder allgemein, als
die seinige, erkl\"{a}ren zu k\"{o}nnen, behaupten musste, dass
auch eine analytisch gegebene periodische Function sich nicht
immer durch eine trigonometrische Reihe darstellen lasse, glaubte
\emph{Lagrange}\footnote{Misc.\ Taur.  Tom.~III.  Pars math.\
pag.~221.  art.~XXV.}
diese M\"{o}glichkeit beweisen zu k\"{o}nnen.

\medbreak

\centerline{2.}

\nobreak\medskip

Fast f\"{u}nfzig Jahre vergingen, ohne dass in der Frage \"{u}ber
die analytische Darstellbarkeit willk\"{u}rlicher Functionen ein
wesentlicher Fortschritt gemacht wurde.  Da warf eine Bemerkung
\emph{Fourier}'s ein neues Licht auf diesen Gegenstand; eine
neue Epoche in der Entwicklung dieses Theils der Mathematik
begann, die sich bald auch \"{a}usserlich in grossartigen
Erweiterungen der mathematischen Physik kund that.
\emph{Fourier} bemerkte, dass in der trigonometrischen Reihe
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{r}
         a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \cdots \\
   + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 +
         b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + \cdots 
   \end{array} \right. \]
die Coefficienten sich durch die Formeln
\[ a_n = {1 \over \pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, dx,\quad
   b_n = {1 \over \pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \, dx \]
bestimmen lassen.  Er sah, dass diese Bestimmungsweise auch
anwendbar bleibe, wenn die Function $f(x)$ ganz willk\"{u}rlich
gegeben sei; er setzte f\"{u}r $f(x)$ eine so genannte
discontinuirliche Function (die Ordinate einer gebrochenen Linie
f\"{u}r die Abscisse $x$) und erhielt so eine Reihe, welche in
der That stets den Werth der Function gab.

Als \emph{Fourier} in einer seiner ersten Arbeiten \"{u}ber die
W\"{a}rme, welche er der franz\"{o}sischen Akademie
vorlegte\footnote{Bulletin des sciences p.\ la soc.\ philomatique.
Tome~I.\ p.~112.},
(21.~Dec.\ 1807) zuerst den Satz aussprach, dass eine ganz
willk\"{u}rlich (graphisch) gegebene Function sich durch eine
trigonometrische Reihe ausdr\"{u}cken lasse, war diese Behauptung
dem greisen \emph{Lagrange} so unerwartet, dass er ihr auf das
Entschiedenste entgegentrat.  Es soll\footnote{Nach einer
m\"{u}ndlichen Mittheilung des Herrn Professor Dirichlet.} sich
hier\"{u}ber noch ein Schriftst\"{u}ck im Archiv der Pariser
Akademie befinden.  Dessenungeachtet verweist\footnote{Unter
Andern in dem verbreitenen Trait\'{e} de m\'{e}chanique
Nro.~323.\ p.~638.} \emph{Poisson} \"{u}berall, wo er sich der
trigonometrischen Reihen zur Darstellung willk\"{u}rlicher
Functionen bedient, auf eine Stelle in \emph{Lagrange's}
Arbeiten \"{u}ber die schwingenden Saiten, wo sich diese
Darstellungsweise finden soll.  Um diese Behauptung, die sich nur
aus der bekannten Rivalit\"{a}t zwischen \emph{Fourier} und
\emph{Poisson} erkl\"{a}ren l\"{a}sst\footnote{Der Bericht im
bulletin des sciences \"{u}ber die von Fourier der Akademie
vorgelegte Abhandlung ist von Poisson.}, zu widerlegen, sehen wir
uns gen\"{o}thigt, noch einmal auf die Abhandlung
\emph{Lagrange}'s zur\"{u}ckzukommen; denn \"{u}ber jenen
Vorgang in der Akademie findet sich nichts ver\"{o}ffentlicht.

Man findet in der That an der von \emph{Poisson} citirten
Stelle\footnote{Misc.\ Taur.\ Tom.\ III.  Pas math.\ pag.~261.}
die Formel:
\begin{eqnarray*}
\mbox{\glqq}y
   &=& 2 \int Y \sin X\pi \, dx \times \sin x\pi
      + 2 \int Y \sin 2X\pi \, dx \times \sin 2x\pi \\
   & &+ 2 \int Y \sin 3X\pi \, dx \times \sin 3x\pi
      + \mbox{etc.}
      + 2 \int Y \sin nX\pi \, dx \times \sin nx\pi,
\end{eqnarray*}
de sorte que, lorsque $x = X$, on aura $y = Y$, $Y$ \'{e}tant
l'ordon\'{e}e qui r\'{e}pond \`{a} l'abscisse $X$.\grqq

Diese Formel sieht nun allerdings ganz so aus wie die
\emph{Fourier}'sche Reihe, so dass bei fl\"{u}chtiger Ansicht
eine Verwechselung leicht m\"{o}glich ist; aber dieser Schein
r\"{u}hrt bloss daher, weil \emph{Lagrange} das Zeichen
$\int\,dX$ anwandte, wo er heute das Zeichen $\sum \Delta X$
angewandt haben w\"{u}rde.  Sie giebt die L\"{o}sung der Aufgabe,
die endliche Sinusreihe
\[ a_1 \sin x \pi + a_2 \sin 2 x \pi + \cdots + a_n \sin n x \pi \]
so zu bestimmen, dass sie f\"{u}r die Werthe
\[ \frac{1}{n+1}, \frac{2}{n+1},\ldots, \frac{n}{n+1} \]
von $x$, welche \emph{Lagrange} unbestimmt durch $X$
bezeichnet, gegebene Werthe erh\"{a}lt.  H\"{a}tte
\emph{Lagrange} in dieser Formel $n$ unendlich gross werden
lassen, so w\"{a}re er allerdings zu dem \emph{Fourier}'schen
Resultat gelangt.  Wenn man aber seine Abhandlung durchliest, so
sieht man, dass er weit davon entfernt ist zu glauben, eine ganz
willk\"{u}rliche Function lasse sich wirklich durch eine
unendliche Sinusreihe darstellen.  Er hatte vielmehr die ganze
Arbeit gerade unternommen, weil er glaubte, diese
willk\"{u}rlichen Functionen liessen sich nicht durch eine Formel
ausdr\"{u}cken, und von der trigonometrischen Reihe glaubte er,
dass sie jede analytisch gegebene periodische Function darstellen
k\"{o}nne.  Freilich erscheint es uns jetzt kaum denkbar, dass
\emph{Lagrange} von seiner Summenformel nicht zur
\emph{Fourier}'schen Reihe gelangt sein sollte; aber dies
erkl\"{a}rt sich daraus, dass durch den Streit zwischen
\emph{Euler} und \emph{d'Alembert} sich bei ihm in Voraus
eine bestimmte Ansicht \"{u}ber den einzuschlagenden Weg gebildet
hatte.  Er glaubte das Schwingungsproblem f\"{u}r eine unbestimmte
endliche Anzahl von Massen erst vollst\"{a}ndig absolviren zu
m\"{u}ssen, bevor er seine Grenzbetrachtungen
anwandte.  Diese erfordern eine ziemlich ausgedehnte
Untersuchung\footnote{Misc.\ Taur.  Tom.~III.
Pars math.\ S.~251.}, welche unn\"{o}thig war, wenn er die
\emph{Fourier}'sche Reihe kannte.

Durch \emph{Fourier} was nun zwar die Natur der
trigonometrischen Reihen vollkommen richtig
erkannt\footnote{Bulletin d.\ sc.\ Tom.~I.\ p.~115.  Les
coefficients $a, a', a'',\ldots,$ \'{e}tant ainsi
d\'{e}termin\'{e}s etc.}; sie wurden seitdem in der
mathematischen Physik zur Darstellung willk\"{u}rlicher
Functionen vielfach angewandt, und in jedem einzelnen Falle
\"{u}berzeugte man sich leicht, dass die \emph{Fourier}'sche
Reihe wirklich gegen den Werth der Function convergire; aber es
dauerte lange, ehe dieser wichtige Satz allgemein bewiesen wurde.

Der Beweis, welchen \emph{Cauchy} in einer der Pariser Akademie
am 27.\ Febr.\ 1826 vorgelesenen Abhandlung
gab\footnote{M\'{e}moires de l'ac.\ d.\ sc.\ de Paris.
Tom.~VI.\ p.~603.},
ist unzureichend, wie \emph{Dirichlet} gezeigt
hat\footnote{Crelle Journal f\"{u}r die Mathematik.
Bd.~IV.\ p.~157 \& 158.}.
\emph{Cauchy} setzt voraus, dass, wenn man in der
willk\"{u}rlich gegebenen periodischen Function $f(x)$ f\"{u}r
$x$ ein complexes Argument $x + yi$ setzt, diese Function f\"{u}r
jeden Werth von $y$ endlich sei.  Dies findet aber \emph{nur}
Statt, wenn die Function gleich einer constanten Gr\"{o}sse ist.
Man sieht indess leicht, dass diese Voraussetzung f\"{u}r die
ferneren Schl\"{u}sse nicht nothwendig ist.  Es reicht hin, wenn
eine Function $\phi(x + yi)$ vorhanden ist, welche f\"{u}r alle
positiven Werthe von $y$ endlich ist und deren reeller Theil
f\"{u}r $y = 0$ der gegebenen periodischen Function $f(x)$ gleich
wird.  Will man diesen Satz, der in der That richtig
ist\footnote{Der Beweis findet sich in der Inauguraldissertation
des Verfassers.},
voraussetzen, so f\"{u}hrt allerdings der von \emph{Cauchy}
eingeschlagene Weg zum Ziele, wie umgekehrt dieser Satz sich aus
der \emph{Fourier}'schen Reihe ableiten l\"{a}sst.

\medbreak

\centerline{3.}

\nobreak\medskip

Erst in Januar 1829 erschien im Journal von
\emph{Crelle}\footnote{Bd.~IV.\ p.~157.}
eine Abhandlung von \emph{Dirichlet}, worin f\"{u}r Functionen,
die durchgehends eine Integration zulassen und nicht unendlich
viele Maxima und Minima haben, die Frage ihrer Darstellbarkeit
durch trigonometrische Reihen in aller Strenge entschieden wurde.

Die Erkenntniss des zur L\"{o}sung dieser Aufgabe
einzuschlagenden Weges ergab sich ihm aus der Einsicht, dass die
unendliche Reihen in zwei wesentlich verschiedene Klassen
zerfallen, je nachdem sie, wenn man s\"{a}mmtliche Glieder
positiv macht, convergent bleiben oder nicht.  In den ersteren
k\"{o}nnen die Glieder beliebig versetzt werden, der Werth der
letzteren dagegen ist von der Ordnung der Glieder abh\"{a}ngig.
In der That, bezeichnet man in einer Reihe zweiter Klasse die
positiven Glieder der Reihe nach durch
\[ a_1, a_2, a_3,\ldots, \]
die negativen durch
\[ -b_1, -b_2, -b_3,\ldots, \]
so ist klar, dass sowohl $\sum a$, als $\sum b$ unendlich sein
m\"{u}ssen; denn w\"{a}ren beide endlich, so w\"{u}rde die Reihe
auch nach Gleichmachung der Zeichen convergiren; w\"{a}re aber
\emph{eine} unendlich, so w\"{u}rde die Reihe divergiren.
Offenbar kann nun die Reihe durch geeignete Anordnung der Glieder
einen beliebig gegebenen Werth~$C$ erhalten.  Denn nimmt man
abwechselnd so lange positive Glieder der Reihe, bis ihr Werth
gr\"{o}sser als $C$ wird, und so lange negative, bis ihr Werth
kleiner als  $C$ wird, so wird die Abweichung von $C$ nie mehr
betragen, als der Werth des dem letzten Zeichenwechsel
voraufgehenden Gliedes.  Da nun sowohl die Gr\"{o}ssen $a$, als
die Gr\"{o}ssen $b$ mit wachsendem Index zuletzt unendlich klein
werden, so werden auch die Abweichungen von $C$, wenn man in der
Reihe nur hinreichend weit fortgeht, beliebig klein werden,
d.~h.\ die Reihe wird gegen $C$ convergiren.

Nur auf die Reihen erster Klasse sind die Gesetze endlicher
Summen anwendbar; nur sie k\"{o}nnen wirklich als Inbegriff ihrer
Glieder betrachtet werden, die Reihen der zweiten Klasse nicht;
ein Umstand, welcher von den Mathematikern des vorigen
Jahrhunderts \"{u}bersehen wurde, haupts\"{a}chlich wohl aus dem
Grunde, weil die Reihen, welche nach steigenden Potenzen einer
ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}sse fortschreiten, allgemein zu reden
(d.~h.\ einzelne Werthe dieser Gr\"{o}sse ausgenommen), zur
ersten Klasse geh\"{o}ren.

Die \emph{Fourier}'sche Reihe geh\"{o}rt nun offenbar nicht
nothwendig zur ersten Klasse; ihre Convergenz konnte also gar
nicht, wie \emph{Cauchy} vergeblich\footnote{Dirichlet in
Crelle's Journal.  Bd.~IV.\ pag.~158.  Quoi qu'il en soit de
cette premi\`{e}re observation,\dots\ \`{a} mesure que $n$
cro\^{i}t.}
versucht hatte, aus dem Gesetze, nach welchem die Glieder
abnehmen, abgeleitet werden.  Es musste vielmehr gezeigt werden,
dass die endliche Reihe
\[ \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \sin \alpha \, d\alpha \sin x
      + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \sin 2\alpha \, d\alpha \sin 2x
      + \cdots \]
\[    + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \sin n\alpha \, d\alpha \sin nx \]
\[    + \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \, d\alpha
      + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \cos \alpha \, d\alpha \cos x
      + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \cos 2\alpha \, d\alpha \cos 2x
      + \cdots \]
\[    + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)
            \cos n\alpha \, d\alpha \cos nx,\]
oder, was dasselbe ist, das Integral
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n + 1}{2} (x - \alpha)}{\displaystyle
      \sin \frac{x - \alpha}{2}} \, d \alpha \]
sich, wenn $n$ in's Unendliche w\"{a}chst, dem Werthe $f(x)$
unendlich ann\"{a}hert.

\emph{Dirichlet} st\"{u}tzt diesen Beweis auf die beiden
S\"{a}tze:
\begin{description}
\item[\textmd{1)}]
Wenn $0 < c \leq \frac{\pi}{2}$, n\"{a}hert sich
$\displaystyle \int\limits_0^c \varphi(\beta)
      \frac{\sin (2n + 1) \beta}{\sin \beta} \, d\beta$
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich dem Werth
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \varphi(0)$;
\item[\textmd{2)}]
wenn $0< b < c \leq \frac{\pi}{2}$, n\"{a}hert sich
$\displaystyle \int\limits_b^c \varphi(\beta)
      \frac{\sin (2n + 1) \beta}{\sin \beta} \, d\beta$
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich dem Werth~$0$,
\end{description}
vorausgesetzt, dass die Function $\varphi(\beta)$ zwischen den
Grenzen dieser Integrale entweder immer abnimmt, oder immer
zunimmt.

Mit H\"{u}lfe dieser beiden S\"{a}tze l\"{a}sst sich, wenn die
Function~$f$ nicht unendlich oft vom Zunehmen zum Abnehmen oder vom
Abnehmen zum Zunehmen \"{u}bergeht, das Integral
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n + 1}{2} (x - \alpha)}{\displaystyle
      \sin \frac{x - \alpha}{2}} \, d \alpha \]
offenbar in eine \emph{endliche} Anzahl von Gliedern zerlegen,
von denen eins\footnote{Es ist nicht schwer zu beweisen, dass der
Werth einer Function~$f$, welche nicht unendlich viele Maxima und
Minima hat, stets, sowohl wenn der Argumentwerth abnehmend, als
wenn er zunehmend gleich $x$ wird, entweder festen Grenzwerthen
$f(x + 0)$ und $f(x - 0)$ (nach Dirichlet's Bezeichnung in
Dove's Repertorium der Physik.  Bd.~1.\ pag.~170) sich
n\"{a}hern, oder unendlich gross werden m\"{u}sse.}
gegen $\frac{1}{2} f(x + 0)$, ein anderes gegen
$\frac{1}{2} f(x - 0)$, die \"{u}brigen aber gegen $0$
convergiren, wenn $n$ ins Unendliche w\"{a}chst.

Hieraus folgt, dass durch eine trigonometrische Reihe jede sich
nach dem Intervall $2\pi$ periodisch wiederholende Function
darstellbar ist, welche

1) durchgehends eine Integration zul\"{a}sst,

2) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und

3) wo ihr Werth sich sprungweise \"{a}ndert, den Mittelwerth
zwischen den beiderseitigen Grenzwerthen annimmt.

Eine Function, welche die ersten beiden Eigenschaften hat, die
dritte aber nicht, kann durch eine trigonometrische Reihe
offenbar nicht dargestellt werden; denn die trigonometrische
Reihe, die sie ausser den Unstetigkeiten darstellt, w\"{u}rde in
den Unstetigkeitspunkten selbst von ihr abweichen.  Ob und wann
aber eine Function, welche die ersten beiden Bedingungen nicht
erf\"{u}llt, durch eine trigonometrische Reihe darstellbar sei,
bleibt durch diese Untersuchung unentschieden.

Durch die Arbeit \emph{Dirichlet}'s ward einer grossen Menge
wichtiger analytischer Untersuchungen eine feste Grundlage
gegeben.  Es war ihm gelungen, indem er den Punkt, wo
\emph{Euler} irrte, in volles Licht brachte, eine Frage zu
erledigen, die so viele ausgezeichnete Mathematiker seit mehr als
siebzig Jahren (seit dem Jahre 1753) besch\"{a}ftigt hatte.  In
der That f\"{u}r alle F\"{a}lle der Natur, um welche es sich
allein handelte, war sie vollkommen erledigt, denn so gross auch
unsere Unwissenheit dar\"{u}ber ist, wie sich die Kr\"{a}fte und
Zust\"{a}nde der Materie nach Ort und Zeit um Unendlichkleinen
\"{a}ndern, so k\"{o}nnen wir doch sicher annehmen, dass die
Functionen, auf welche sich die \emph{Dirichlet}'sche
Untersuchung nicht erstreckt, in der Natur nicht vorkommen.

Dessenungeachtet scheinen diese von \emph{Dirichlet}
unerledigten F\"{a}lle aus einem zweifachen Grunde Beachtung zu
verdienen.

Erstlich steht, wie \emph{Dirichlet} selbst am Schluss seiner
Abhandlung bemerkt, dieser Gegenstand mit den Principien der
Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung und kann dazu
dienen, diese Principien zu gr\"{o}sserer Klarheit und Bestimmtheit
zu bringen.  In dieser Beziehung hat die Behandlung desselben ein
unmittelbares Interesse.

Zweitens aber ist die Anwendbarkeit der \emph{Fourier}'schen
Reihen nicht auf physikalische Untersuchungen beschr\"{a}nkt; sie
ist jetzt auch in einem Gebiet der reinen Mathematik, der
Zahlentheorie, mit Erfolg angewandt, und hier scheinen gerade
diejenigen Functionen, deren Darstellbarkeit durch eine
trigonometrische Reihe \emph{Dirichlet} nicht untersucht hat,
von Wichtigkeit zu sein.

Am Schlusse seiner Abhandlung verspricht freilich
\emph{Dirichlet}, sp\"{a}ter auf diese F\"{a}lle
zur\"{u}ckzukommen, aber dieses Versprechen ist bis jetzt
unerf\"{u}llt geblieben.  Auch die Arbeiten von
\emph{Dirksen} und \emph{Bessel} \"{u}ber die Cosinus- und
Sinusreihen leisten diese Erg\"{a}nzung nicht; sie stehen
vielmehr der \emph{Dirichlet}'schen an Strenge und
Allgemeinheit nach.  Der mit ihr fast ganz gleichzeitige Aufsatz
\emph{Dirksen}'s\footnote{Crelle's Journal.  Bd.~IV.\ p.~170.},
welcher offenbar ohne Kenntniss derselben geschrieben ist,
schl\"{a}gt zwar im Allgemeinen einen richtigen Weg ein,
enth\"{a}lt aber im Einzelnen einige Ungenauigkeiten.  Denn
abgesehen davon, dass er in einem speciellen
Falle\footnote{l.~c.\ Formel 22.}
f\"{u}r die Summe der Reihe ein falsches Resultat findet,
st\"{u}tzt er sich in einer Nebenbetrachtung auf eine nur in
besonderen F\"{a}llen m\"{o}gliche
Reihenentwicklung\footnote{l.~c.\ Art.~3.},
so dass sein Beweis nur f\"{u}r Functionen mit \"{u}berall
endlichen ersten Differentialquotienten vollst\"{a}ndig ist.
\emph{Bessel}\footnote{Schumacher.  Astronomische Nachrichten.
Nro.~374 (Bd.~16.\ p.~229)}
sucht den \emph{Dirichlet}'schen Beweis zu vereinfachen.  Aber
die Aenderungen in diesem Beweise gew\"{a}hren keine wesentliche
Vereinfachung in den Schl\"{u}ssen, sondern dienen h\"{o}chstens
dazu, ihn in gel\"{a}ufigere Begriffe zu kleiden, w\"{a}hrend
seine Strenge und Allgemeinheit betr\"{a}chtlich darunter leidet.

Die Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe ist also bis jetzt nur unter den beiden
Voraussetzungen entschieden, dass die Function durchgehends eine
Integration zul\"{a}sst und nicht unendlich viele Maxima und
Minima hat.  Wenn die letztere Voraussetzung nicht gemacht wird,
so sind die beiden Integraltheoreme \emph{Dirichlet}'s zur
Entscheidung der Frage unzul\"{a}nglich; wenn aber die erstere
wegf\"{a}llt, so ist schon die \emph{Fourier}'sche
Coefficientenbestimmung nicht anwendbar.  Der im Folgenden, wo
diese Frage ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur
der Function untersucht werden soll, eingeschlagene Weg ist
hierdurch, wie man sehen wird, bedingt; ein so directer Weg, wie
der \emph{Dirichlet}'s, ist der Natur der Sache nach nicht
m\"{o}glich.

\begin{center}
\large\bfseries
Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den
Umfang seiner G\"{u}ltigkeit.
\end{center}

\centerline{4.}

\nobreak\medskip

Die Unbestimmtheit, welche noch in einigen Fundamentalpunkten der
Lehre von den bestimmten Integralen herrscht, n\"{o}thigt uns,
Einiges voraufzuschicken \"{u}ber den Begriff eines bestimmten
Integrals und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit.

Also zuerst: Was hat man unter
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$
zu verstehen?

Um dieses festzusetzen, nehmen wir zwischen $a$ und $b$ der
Gr\"{o}sse nach auf einander folgend, eine Reihe von Werthen
$x_1, x_2,\ldots, x_{n-1}$ an und bezeichnen der K\"{u}rze wegen
$x_1 - a$ durch $\delta_1$, $x_2 - x_1$ durch $\delta_2,\ldots,$
$b - x_{n-1}$ durch $\delta_n$ und durch $\varepsilon$ einen
positiven \"{a}chten Bruch.  Es wird alsdann der Werth der Summe
\begin{eqnarray*}
S &=& \delta_1 f(a + \varepsilon_1 \delta_1)
      + \delta_2 f(x_1 + \varepsilon_2 \delta_2)
      + \delta_3 f(x_2 + \varepsilon_3 \delta_3)
      + \cdots \\
  & & + \delta_n f(x_{n-1} + \varepsilon_n \delta_n)
\end{eqnarray*}
von der Wahl der Intervalle $\delta$ und der Gr\"{o}ssen
$\varepsilon$ abh\"{a}ngen.  Hat sie nun die Eigenschaft, wie
auch $\delta$ und $\varepsilon$ gew\"{a}hlt werden m\"{o}gen,
sich einer festen Grenze $A$ unendlich zu n\"{a}hern, sobald
s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden, so heisst dieser
Werth
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$.

Hat sie diese Eigenschaft nicht, so hat
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$
keine Bedeutung.  Man hat jedoch in mehreren F\"{a}llen versucht,
diesem Zeichen auch dann eine Bedeutung beizulegen, und unter
diesen Erweiterungen des Begriffs eines bestimmten Integrals ist
\emph{eine} von allen Mathematikern angenommen.  Wenn
n\"{a}mlich die Function $f(x)$ bei Annaherung des Arguments an
einen einzelnen Werth $c$ in dem Intervalle $(a,b)$ unendlich
gross wird, so kann offenbar die Summe $S$, welchen Grad von
Kleinheit man auch den $\delta$ vorschreiben m\"{o}ge, jeden
beliebigen Werth erhalten; sie hat also keinen Grenzwerth, und
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$
w\"{u}rde nach dem Obigen keine Bedeutung haben.  Wenn aber
alsdann
\[ \int\limits_a^{c - \alpha_1} f(x) \, dx
      + \int\limits_{c + \alpha_2}^b f(x) \, dx \]
sich, wenn $\alpha_1$ und $\alpha_2$ unendlich klein werden,
einer festen Grenze n\"{a}hert, so versteht man unter
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$
diesen Grenzerth.

Andere Festsetzungen von \emph{Cauchy} \"{u}ber den Begriff des
bestimmten Integrales in den F\"{a}llen, wo es dem Grundbegriffe
nach ein solches nicht giebt, m\"{o}gen f\"{u}r einzelne Klassen
von Untersuchungen zweckm\"{a}ssig sein; sie sind indess nicht
allgemein eingef\"{u}hrt und dazu, schon wegen ihrer grossen
Willk\"{u}rlichkeit, wohl kaum geeignet.

\medbreak

\centerline{5.}

\nobreak\medskip

Untersuchen wir jetzt zweitens den Umfang der G\"{u}ltigkeit
dieses Begriffs oder die Frage: in welchen F\"{a}llen l\"{a}sst
eine Function eine Integration zu und in welchen nicht?

Wir betrachten zun\"{a}chst den Integralbegriff im engern Sinne,
d.~h.\ wir setzen voraus, dass die Summe~$S$, wenn s\"{a}mmtliche
$\delta$ unendlich klein werden, convergirt.  Bezeichnen wir also
die gr\"{o}sste Schwankung der Function zwischen $a$ und $x_1$,
d.~h.\ den Unterschied ihres gr\"{o}ssten und kleinsten Werthes
in diesem Intervalle, durch $D_1$, zwischen $x_1$ und $x_2$ durch
$D_2\ldots$, zwischen $x_{n-1}$ und $b$ durch $D_n$, so muss
\[ \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n \]
mit den Gr\"{o}ssen $\delta$ unendlich klein werden.  Wir nehmen
ferner an, dass, so lange s\"{a}mmtliche $\delta$ kleiner als $d$
bleiben, der gr\"{o}sste Werth, den diese Summe erhalten kann,
$\Delta$ sei; $\Delta$ wird alsdann eine Function von $d$ sein,
welche mit $d$ immer abnimmt und mit dieser Gr\"{o}sse unendlich
klein wird.  Ist nun die Gesammtgr\"{o}sse der Intervalle, in
welchen die Schwankungen gr\"{o}sser als $\sigma$ sind, $= s$, so
wird der Beitrag dieser Intervalle zur Summe
$\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$
offenbar $\geq \sigma s$.  Man hat daher
\[ \sigma s
   \leq \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n
   \leq \Delta,
\mbox{ folglich }
   s \leq \frac{\Delta}{\sigma}.\]
$\displaystyle \frac{\Delta}{\sigma}$
kann nun, wenn $\sigma$ gegeben ist, immer durch geeignete Wahl
von $d$ beliebig klein gemacht werden; dasselbe gilt daher von
$s$, und es ergiebt sich also:

Damit die Summe $S$, wenn s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein
werden, convergirt, ist ausser der Endlichkeit der Function
$f(x)$ noch erforderlich, dass die Gesammtgr\"{o}sse der
Intervalle, in welchen die Schwankungen $> \sigma$ sind, was auch
$\sigma$ sei, durch geeignete Wahl von $d$ beliebig klein gemacht
werden kann.

Dieser Satz l\"{a}sst sich auch umkehren:

Wenn die Function $f(x)$ immer endlich ist, und bei unendlichem
Abnehmen s\"{a}mmtlicher Gr\"{o}ssen $\delta$ die
Gesammtgr\"{o}sse $s$ der Intervalle, in welchen die Schwankungen
der Function $f(x)$ gr\"{o}sser, als eine gegebene Gr\"{o}sse
$\sigma$, sind, stets zuletzt unendlich klein wird, so convergirt
die Summe~$S$, wenn s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein
werden.

Denn diejenigen Intervalle, in welchen die Schwankungen
$> \sigma$ sind, liefern zur Summe
$\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$
einen Beitrag, kleiner als $s$, multiplicirt in die gr\"{o}sste
Schwankung der Function zwischen $a$ und $b$, welche (n.~V.)
endlich ist; die \"{u}brigen Intervalle einen Beitrag
$< \sigma (b - a)$.  Offenbar kann man nun erst $\sigma$ beliebig
klein annehmen und dann immer noch die Gr\"{o}sse der Intervalle
(n.~V.) so bestimmen, dass auch $s$ beliebig klein wird, wodurch
der Summe
$\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$
jede beliebige Kleinheit gegeben, und folglich der Werth der
Summe~$S$ in beliebig enge Grenzen eingeschlossen werden kann.

Wir haben also Bedingungen gefunden, welche nothwendig und
hinreichend sind, damit die Summe $S$ bei unendlichem Abnehmen
der Gr\"{o}ssen $\delta$ convergire und also im engern Sinne von
einem Integrale der Function $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ die Rede
sein k\"{o}nne.

Wird nun der Integralbegriff wie oben erweitert, so ist offenbar,
damit die Integration durchgehends m\"{o}glich sei, die letzte
der beiden gefundenen Bedingungen auch dann noch nothwendig; an
die Stelle der Bedingung, dass die Function immer endlich sei,
aber tritt die Bedingung, dass die Function \emph{nur} bei
Ann\"{a}herung des Arguments an \emph{einzelne} Werthe
unendlich werde, und dass sich ein bestimmter Grenzwerth ergebe,
wenn die Grenzen der Integration diesen Werthen unendlich
gen\"{a}hert werden.

\medbreak

\centerline{6.}

\nobreak\medskip

Nachdem wir die Bedingungen f\"{u}r die M\"{o}glichkeit eines
bestimmten Integrals im Allgemeinen d.~h.\ ohne besondere
Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der zu integrirenden Function,
untersucht haben, soll nun diese Untersuchung in besondern
F\"{a}llen theils angewandt, theils weiter ausgef\"{u}hrt werden,
und zwar zun\"{a}chst f\"{u}r die Functionen, welche zwischen je
zwei noch so engen Grenzen unendlich oft unstetig sind.

Da diese Functionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut
sein, von einem bestimmte Beispiele auszugehen.  Man bezeichne
der K\"{u}rze wegen durch $(x)$ den Ueberschuss von $x$ \"{u}ber
die n\"{a}chste ganze Zahl, oder, wenn $x$ zwischen zweien in der
Mitte liegt und diese Bestimmung zweideutig wird, den Mittelwerth
aus den beiden Werthen $\frac{1}{2}$ und $-\frac{1}{2}$, also die
Null, ferner durch $n$ eine ganze, durch $p$ eine ungerade Zahl
und bilde alsdann die Reihe
\[ f(x)
   = \frac{(x)}{1} + \frac{(2x)}{4} + \frac{(3x)}{9} + \cdots
   = \sum_{1,\infty} \frac{(nx)}{nn};\]
so convergirt, wie leicht zu sehen, diese Reihe f\"{u}r jeden
Werth von $x$; ihr Werth n\"{a}hert sich, sowohl, wenn der
Argumentwerth stetig abnehmend, als wenn er stetig zunehmend
gleich $x$ wird, stets einem festen Grenzwerth, und zwar ist,
wenn
$\displaystyle x = \frac{p}{2n}$
(wo $p$, $n$ relative Primzahlen)
\begin{eqnarray*}
f(x + 0)
   &=& f(x) - \frac{1}{2nn}
      (1 + {\textstyle\frac{1}{9}} + {\textstyle\frac{1}{25}}
         + \cdots )
      = f(x) - \frac{\pi \pi}{16 n n},\\
f(x - 0)
   &=& f(x) + \frac{1}{2nn}
      (1 + {\textstyle\frac{1}{9}} + {\textstyle\frac{1}{25}}
         + \cdots )
      = f(x) + \frac{\pi \pi}{16 n n},
\end{eqnarray*}
sonst aber \"{u}berall $f(x + 0) = f(x)$, $f(x - 0) = f(x)$.

Diese Function ist also f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$,
der in den kleinsten Zahlen ausgedr\"{u}ckt ein Bruch mit geradem
Nenner ist, unstetig, also zwischen je zwei noch so engen Grenzen
unendlich oft, so jedoch, dass die Zahl der Spr\"{u}nge, welche
gr\"{o}sser als eine gegebene Gr\"{o}sse sind, immer endlich ist.
Sie l\"{a}sst durchgehends eine Integration zu.  In der That
gen\"{u}gen hierzu neben ihrer Endlichkeit die beiden
Eigenschaften, dass sie f\"{u}r jeden Werth von $x$ beiderseits
einen Grenzwerth $f(x + 0)$ und $f(x - 0)$ hat, und dass die Zahl
der Spr\"{u}nge, welche gr\"{o}sser oder gleich einer gegebenen
Gr\"{o}sse $\sigma$ sind, stets endlich ist.  Denn wenden wir
unsere obige Untersuchung an, so l\"{a}sst sich offenbar in Folge
dieser beiden Umst\"{a}nde $d$ stets so klein annehmen, dass in
s\"{a}mmtlichen Intervallen, welche diese Spr\"{u}nge nicht
enthalten, die Schwankungen kleiner als $\sigma$ sind, und dass
die Gesammtgr\"{o}sse der Intervalle, welche diese Spr\"{u}nge
enthalten, beliebig klein wird.

Es verdient bemerkt zu werden, dass die Functionen, welche nicht
unendlich viele Maxima und Minima haben (zu welchen \"{u}brigens
die eben betrachtete nicht geh\"{o}rt), wo sie nicht unendlich
werden, stets diese beiden Eigenschaften besitzen und daher
allenthalben, wo sie nicht unendlich werden, eine Integration
zulassen, wie sich auch leicht direct zeigen l\"{a}sst.

Um jetzt den Fall, wo die zu integrirende Function $f(x)$ f\"{u}r
einen einzelnen Werth unendlich gross wird, n\"{a}her in Betracht
zu ziehen, nehmen wir an, dass dies f\"{u}r $x = 0$ stattfinde,
so dass bei abnehmendem positiven $x$ ihr Werth zuletzt \"{u}ber
jede gegebene Grenze w\"{a}chst.

Es l\"{a}sst sich dann leicht zeigen, dass $x f(x)$ bei
abnehmendem $x$ von einer endlichen Grenze $a$ an, nicht
fortw\"{a}hrend gr\"{o}sser als eine endliche Gr\"{o}sse $c$
bleiben k\"{o}nne.  Denn dann w\"{a}re
\[ \int\limits_x^a f(x) \, dx
   > c \int\limits_x^a \frac{dx}{x},\]
also gr\"{o}sser als
$\displaystyle c \left( \log \frac{1}{x} - \log \frac{1}{a} \right)$,
welche Gr\"{o}sse mit abnehmendem $x$ zuletzt in's Unendliche
w\"{a}chst.  Es muss also $x f(x)$, wenn diese Function nicht in
der N\"{a}he von $x = 0$ unendlich viele Maxima und Minima hat,
nothwendig mit $x$ unendlich klein werden, damit $f(x)$ einer
Integration f\"{a}hig sein k\"{o}nne.  Wenn andererseits
\[ f(x) x^\alpha
   = \frac{f(x) \, dx \, (1 - \alpha)}{d(x^{1 - \alpha})} \]
bei einem Werth von $\alpha < 1$ mit $x$ unendlich klein wird, so
ist klar, dass das Integral bei unendlichem Abnehmen der unteren
Grenze convergirt.

Ebenso findet man, dass im Falle der Convergenz des Integrals die
Functionen
\begin{eqnarray*}
f(x) x \log \frac{1}{x}
   &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle
         - d \log \log \frac{1}{x}},\\
f(x) x \log \frac{1}{x} \log \log \frac{1}{x}
   &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle
         - d \log \log \log \frac{1}{x}} \ldots,\\
f(x) x \log \frac{1}{x} \log \log \frac{1}{x} \cdots
         \log^{n-1} \frac{1}{x} \log^n \frac{1}{x}
   &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle
         - d \log^{1+n} \frac{1}{x}}
\end{eqnarray*}
nicht bei abnehmendem $x$ von einer endlichen Grenze an
fortw\"{a}hrend gr\"{o}sser als eine endliche Gr\"{o}sse bleiben
k\"{o}nnen, und also, wenn sie nicht unendlich viele Maxima und
Minima haben, mit $x$ unendlich klein werden m\"{u}ssen; dass
dagegen das Integral
$\int f(x) \, dx$
bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze convergire, sobald
\[ f(x) x \log \frac{1}{x} \cdots \log^{n-1} \frac{1}{x}
         \left( \log^n \frac{1}{x} \right)^\alpha
   = \frac{f(x) \, dx \, (1 - \alpha)}{\displaystyle
         - d \left( \log^n \frac{1}{x} \right)^{1 - \alpha}} \]
f\"{u}r $\alpha > 1$ mit $x$ unendlich klein wird.

Hat aber die Function $f(x)$ unendlich viele Maxima und Minima,
so l\"{a}sst sich \"{u}ber die Ordnung ihres Unendlichwerdens
nichts bestimmen.  In der That, nehmen wir an, die Function sei
ihrem absoluten Werthe nach, wovon die Ordnung des
Unendlichwerdens allein abh\"{a}ngt, gegeben, so wird man immer
durch geeignete Bestimmung des Zeichens bewirken k\"{o}nnen, dass
das Integral $\int f(x) \, dx$ bei unendlichem Abnehmen der
unteren Grenze convergire.  Als Beispiel einer solchen Function,
welche unendlich wird und zwar so, dass ihre Ordnung (die Ordnung
von
$\displaystyle \frac{1}{x}$
als Einheit genommen) unendlich gross ist, mag die Function
\[ \frac{\displaystyle d \left( x \cos e^{\frac{1}{x}} \right)}{dx}
   = \cos e^{\frac{1}{x}}
   + \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} \sin e^{\frac{1}{x}} \]
dienen.

Das m\"{o}ge \"{u}ber diesen im Grunde in ein anderes Gebiet
geh\"{o}rigen Gegenstand gen\"{u}gen; wir gehen jetzt an unsere
eigentliche Aufgabe, eine allgemeine Untersuchung \"{u}ber die
Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.

\newpage

\begin{center}
\large\bfseries
Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch
eine trigonometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen
\"{u}ber die Natur der Function.
\end{center}

\centerline{7.}

\nobreak\medskip

Die bisherigen Arbeiten \"{u}ber diesen Gegenstand hatten den
Zweck, die \emph{Fourier}'sche Reihe f\"{u}r die in der Natur
vorkommenden F\"{a}lle zu beweisen; es konnte daher der Beweis
f\"{u}r eine ganz willk\"{u}rlich angenommene Function begonnen,
und sp\"{a}ter der Gang der Function behufs des Beweises
willk\"{u}rlichen Beschr\"{a}nkungen unterworfen werden, wenn sie
nur jenen Zweck nicht beeintr\"{a}chtigten.  F\"{u}r unsern Zweck
darf darselbe nur den zur Darstellbarkeit der Function
nothwendigen Bedingungen unterworfen werden; es m\"{u}ssen daher
zun\"{a}chst zur Darstellbarkeit nothwendige Bedingungen
aufgesucht und aus diesen dann zur Darstellbarkeit hinreichende
ausgew\"{a}hlt werden.  W\"{a}hrend also die bisherigen Arbeiten
zeigten: wenn eine Function diese und jene Eigenschaften hat, so
ist sie durch die \emph{Fourier}'sche Reihe darstellbar;
m\"{u}ssen wir von der umgekehrten Frage ausgehen: Wenn eine
Function durch eine trigonometrische Reihe darstellbar ist, was
folgt daraus \"{u}ber ihren Gang, \"{u}ber die Aenderung ihres
Werthes bei stetiger Aenderung des Arguments?

Demnach betrachten wir die Reihe
\[ \begin{array}{r}
         a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \cdots \\
   + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 +
         b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + \cdots 
\end{array} \]
oder, wenn wir der K\"{u}rze wegen
\[ {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 = A_0,\quad
   a_1 \sin x  + b_1 \cos x    = A_1,\quad
   a_2 \sin 2x + b_2 \cos 2x   = A_2,\cdots \]
setzen, die Reihe
\[ A_0 + A_1 + A_2+ \cdots \]
als gegeben.  Wir bezeichnen diesen Ausdruck durch $\Omega$ und
seinen Werth durch $f(x)$, so dass diese Function nur f\"{u}r
diejenigen Werthe von $x$ vorhanden ist, wo die Reihe convergirt.

Zur Convergenz einer Reihe ist nothwendig, dass ihre Glieder
zuletzt unendlich klein werden.  Wenn die Coefficienten
$a_n$, $b_n$ mit wachsendem $n$ in's Unendliche abnehmen, so
werden die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r jeden Werth von $x$
zuletzt unendlich klein; andernfalls kann dies nur f\"{u}r
besondere Werthe von $x$ stattfinden.  Es ist n\"{o}thig, beide
F\"{a}lle getrennt zu behandeln.

\medbreak

\centerline{8.}

\nobreak\medskip

Wir setzen also zun\"{a}chst voraus, dass die Glieder der Reihe
$\Omega$ f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein
werden.

Unter dieser Voraussetzung convergirt die Reihe
\[ C +C' x + A_0 \frac{xx}{2} - A_1
      - \frac{A_2}{4} - \frac{A_3}{9} \dots
   = F(x),\]
welche man aus $\Omega$ durch zweimalige Integration jedes Gliedes
nach $x$ erh\"{a}lt, f\"{u}r jeden Werth von $x$.  Ihr Werth
$F(x)$ \"{a}ndert sich mit $x$ stetig, und diese Function $F$ von
$x$ l\"{a}sst folglich allenthalben eine Integration zu.

Um beides---die Convergenz der Reihe und die Stetigkeit der
Function $F(x)$---einzusehen, bezeichne man die Summe der Glieder
bis
$\displaystyle - \frac{A_n}{nn}$
einschliesslich durch $N$, den Rest der Reihe, d.~h.\ die Reihe
\[ - \frac{A_{n+1}}{(n+1)^2} - \frac{A_{n+2}}{(n+2)^2} - \cdots \]
durch $R$ und den gr\"{o}ssten Werth von $A_m$ f\"{u}r $m > n$
durch $\varepsilon$.  Alsdann bleibt der Werth von $R$, wie weit
man diese Reihe fortsetzen m\"{o}ge, offenbar abgesehen vom
Zeichen
\[ < \varepsilon \left(
      \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots
      \right) < \frac{\varepsilon}{n} \]
und kann also in beliebig kleine Grenzen eingeschlossen werden,
wenn man $n$ nur hinreichend gross annimmt; folglich convergirt
die Reihe.  Ferner ist die Function $F(x)$ stetig; d.~h.\ ihrer
Aenderung kann jede Kleinheit gegeben werden, wenn man
der entsprechenden Aenderung von $x$ eine hinreichende Kleinheit
vorschreibt.  Denn die Aenderung von $F(x)$ setzt sich zusammen
aus der Aenderung von $R$ und von $N$; offenbar kann man nun erst
$n$ so gross annehmen, dass $R$, was auch $x$ sei, und folglich
auch die Aenderung von $R$ f\"{u}r jede Aenderung von $x$
beliebig klein wird, und dann die Aenderung von $x$ so klein
annehmen, dass auch die Aenderung von $N$ beliebig klein wird.

Es wird gut sein, einige S\"{a}tze \"{u}ber diese Function
$F(x)$, deren Beweise den Faden der Untersuchung unterbrechen
w\"{u}rden, voraufzuschicken.

\medbreak

Lehrsatz~1.
Falls die Reihe $\Omega$ convergirt, convergirt
\[ \frac{   F(x + \alpha + \beta)
          - F(x + \alpha - \beta)
          - F(x - \alpha + \beta)
          + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \]
wenn $\alpha$ und $\beta$ so unendlich klein werden, dass ihr
Verh\"{a}ltniss endlich bleibt, gegen denselben Werth wie die
Reihe.

In der That wird
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{   F(x + \alpha + \beta)
          - F(x + \alpha - \beta)
          - F(x - \alpha + \beta)
          + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \\[12pt]
\displaystyle
   = A_0
      + A_1 \frac{\sin \alpha}{\alpha}   \frac{\sin \beta}{\beta}
      + A_2 \frac{\sin 2\alpha}{2\alpha} \frac{\sin 2\beta}{2\beta}
      + A_3 \frac{\sin 3\alpha}{3\alpha} \frac{\sin 3\beta}{3\beta}
      + \cdots
\end{array} \]
oder, um den einfacheren Fall, wo $\beta = \alpha$, zuerst zu
erledigen,
\[ \frac{F(x + 2 \alpha) - 2 F(x) + F(x - 2 \alpha)}{4 \alpha \alpha}
   = A_0
      + A_1 \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2
      + A_2 \left( \frac{\sin 2\alpha}{2\alpha} \right)^2
      + \cdots \]
Ist die unendliche Reihe
\[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots = f(x),\]
die Reihe
\[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{n-1} = f(x) + \varepsilon_n,\]
so muss sich f\"{u}r eine beliebig gegebene Gr\"{o}sse $\delta$
ein Werth $m$ von $n$ angeben lassen, so dass, wenn $n > m$,
$\varepsilon_n < \delta$ wird.  Nehmen wir nun $\alpha$ so klein
an, dass $m\alpha < \pi$, setzen wir mittelst der Substitution
\[ A_n = \varepsilon_{n+1} - \varepsilon_n,\]
$\displaystyle \sum_{0, \infty}
   \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 A_n$
in die Form
\[ f(x) + \sum_{1,\infty} \varepsilon_n \left\{
        \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2
      \right\},\]
und theilen wir diese letztere unendliche Reihe in drei Theile,
indem wir
\begin{description}
\item[\textmd{1)}]
die Glieder vom Index~$1$ bis $m$ einschliesslich,
\item[\textmd{2)}]
vom Index $m + 1$ bis zur gr\"{o}ssten unter
$\displaystyle \frac{\pi}{\alpha}$
liegenden ganzen Zahl, welche $s$ sei,
\item[\textmd{3)}]
von $s + 1$ bis unendlich,
\end{description}
zusammenfassen, so besteht der erste Theil aus einer endlichen
Anzahl stetig sich \"{a}ndernder Gleider und kann daher seinem
Grenzwerth $0$ beliebig gen\"{a}hert werden, wenn man $\alpha$
hinreichend klein werden l\"{a}sst; der zweite Theil ist, da der
Factor von $\varepsilon_n$ best\"{a}ndig positiv ist, offenbar
abgesehen vom Zeichen
\[ < \delta \left\{
        \left( \frac{\sin m\alpha}{m\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin s\alpha}{s\alpha} \right)^2
      \right\};\]
um endlich den dritten Theil in Grenzen einzuschliessen, zerlege
man das allgemeine Glied in
\[ \varepsilon_n \left\{
        \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{n\alpha} \right)^2
      \right\} \]
und
\[ \varepsilon_n \left\{
        \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{n\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2
      \right\}
   = - \varepsilon_n
      \frac{\sin (2n - 1)\alpha \, \sin \alpha}{(n\alpha)^2};\]
so leuchtet ein, dass es
\[ < \delta \left\{
      \frac{1}{(n-1)^2 \alpha \alpha} - \frac{1}{nn \alpha \alpha}
      \right\} + \delta \frac{1}{nn \alpha} \]
und folglich die Summe von $n = s + 1$ bis $n = \infty$
\[ < \delta \left\{
      \frac{1}{(s\alpha)^2} + \frac{1}{s\alpha}
      \right\},\]
welcher Werth f\"{u}r ein unendlich kleines $\alpha$ in
\[ \delta \left\{ \frac{1}{\pi \pi} + \frac{1}{\pi} \right\}
   \mbox{ \"{u}bergeht.} \]

Die Reihe
\[ \sum \varepsilon_n \left\{
        \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2
      \right\},\]
n\"{a}hert sich daher mit abnehmendem $\alpha$ einem Grenzwerth,
der nicht gr\"{o}sser als
\[ \delta \left\{ 1 + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi \pi} \right\} \]
sein kann, also Null sein muss, und folglich convergirt
\[ \frac{F(x + 2 \alpha) - 2 F(x) + F(x - 2 \alpha)}{4 \alpha \alpha},\]
welches
\[ = f(x) + \sum \varepsilon_n \left\{
        \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2
      - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2
      \right\},\]
mit in's Unendliche abnehmendem $\alpha$ gegen $f(x)$, wodurch
unser Satz f\"{u}r den Fall $\beta = \alpha$ bewiesen ist.

Um ihn allgemein zu beweisen, sei
\begin{eqnarray*}
F(x + \alpha + \beta) - 2 F(x) + F(x - \alpha - \beta)
   &=& (\alpha + \beta)^2 (f(x) + \delta_1) \\
F(x + \alpha - \beta) - 2 F(x) + F(x - \alpha + \beta)
   &=& (\alpha - \beta)^2 (f(x) + \delta_2),
\end{eqnarray*}
woraus
\[ \begin{array}{l}
F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta)
      - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) \\
\qquad = 4 \alpha \beta f(x)
      + (\alpha + \beta)^2 \delta_1
      - (\alpha - \beta)^2 \delta_2.
\end{array} \]
In Folge des eben Bewiesenen werden nun $\delta_1$ und $\delta_2$
unendlich klein, sobald $\alpha$ und $\beta$ unendlich klein
werden; es wird also auch
\[ \frac{(\alpha + \beta)^2}{4 \alpha \beta} \delta_1
      - \frac{(\alpha - \beta)^2}{4 \alpha \beta} \delta_2 \]
unendlich klein, wenn dabei die Coefficienten von $\delta_1$ und
$\delta_2$ nicht unendlich gross werden, was nicht stattfindet,
wenn zugleich
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$
endlich bleibt; und folglich convergirt alsdann
\[ \frac{   F(x + \alpha + \beta)
          - F(x + \alpha - \beta)
          - F(x - \alpha + \beta)
          + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \]
gegen $f(x)$, w.~z.~b.~w.

\medbreak

Lehrsatz~2.
\[ \frac{F(x + 2\alpha) + F(x - 2\alpha) - 2 F(x)}{2\alpha} \]
wird stets mit $\alpha$ unendlich klein.

Um dieses zu beweisen, theile man die Reihe
\[ \sum A_n \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \]
in drei Gruppen, von welchen die erste alle Glieder bis zu einem
festen Index $m$ enth\"{a}lt, von dem an $A_n$ immer kleiner als
$\varepsilon$ bleibt, die zweite alle folgenden Glieder, f\"{u}r
welche $n\alpha \leq$ als eine feste Gr\"{o}sse $c$ ist, die
dritte den Rest der Reihe umfasst.  Es ist dann leicht zu sehen,
dass, wenn $\alpha$ in's Unendliche abnimmt, die Summe der
ersten endlichen Gruppe endlich bleibt, d.~h.\ $<$ eine feste
Gr\"{o}sse $Q$; die der zweiten
$\displaystyle < \varepsilon \frac{c}{\alpha}$,
die der dritten
\[ < \varepsilon \sum_{c < n\alpha} \frac{1}{nn \alpha \alpha}
   < \frac{\varepsilon}{\alpha c}.\]
Folglich bleibt
\[ \frac{F(x + 2\alpha) + F(x - 2\alpha) - 2 F(x)}{2\alpha},
   \mbox{ welches }
   = 2 \alpha \sum A_n \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2,\]
\[ < 2 \left( Q\alpha
      + \varepsilon \left(c + \frac{1}{c} \right) \right),\]
woraus der z.~b. Satz folgt.

\medbreak

Lehrsatz~3.
Bezeichnet man durch $b$ und $c$ zwei beliebige Constanten, die
gr\"{o}ssere durch $c$, und durch $\lambda(x)$ eine Function,
welche nebst ihrem ersten Differentialquotienten zwischen $b$ und
$c$ immer stetig ist und an den Grenzen gleich Null wird, und von
welcher der zweiter Differentialquotient nicht unendlich viele
Maxima und Minima hat, so wird das Integral
\[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx,\]
wenn $\mu$ in's Unendliche w\"{a}chst, zuletzt kleiner als jede
gegebene Gr\"{o}sse.

Setzt man f\"{u}r $F(x)$ seinen Ausdruck durch die Reihe, so
erh\"{a}lt man f\"{u}r
\[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \]
die Reihe ($\Phi$)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle
\mu \mu \int\limits_b^c \left( C + C'x + A_0 \frac{xx}{2} \right)
         \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \\
\displaystyle \quad
      -  \sum_{1,\infty} \frac{\mu \mu}{n n}
         \int\limits_b^c A_n \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx.
\end{array} \]

Nun l\"{a}sst sich $A_n \cos \mu (x - a)$ offenbar als ein
Aggregat von
\[ \cos (\mu + n)(x - a),\enspace
   \sin (\mu + n)(x - a),\enspace
   \cos (\mu - n)(x - a),\enspace
   \sin (\mu - n)(x - a) \]
ausdr\"{u}cken, und bezeichnet man in demselben die Summe der
beiden ersten Glieder durch $B_{\mu + n}$, die Summe der beiden
letzten Glieder durch $B_{\mu - n}$, so hat man
$\cos \mu (x - a) A_n = B_{\mu + n} + B_{\mu - n}$,
\[ \frac{d^2 B_{\mu + n}}{dx^2} = - (\mu + n)^2 B_{\mu + n},\quad
   \frac{d^2 B_{\mu - n}}{dx^2} = - (\mu - n)^2 B_{\mu - n},\]
und es werden $B_{\mu + n}$ und $B_{\mu - n}$ mit wachsendem $n$,
was auch $x$ sei, zuletzt unendlich klein.

Das allgemeine Glied der Reihe ($\Phi$)
\[ - \frac{\mu \mu}{nn}
   \int\limits_b^c A_n \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \]
wird daher
\[ = \frac{\mu^2}{n^2(\mu + n)^2}
   \int\limits_b^c \frac{d^2 B_{\mu + n}}{dx^2} \lambda(x) \, dx
      + \frac{\mu^2}{n^2(\mu - n)^2}
   \int\limits_b^c \frac{d^2 B_{\mu - n}}{dx^2} \lambda(x) \, dx,\]
oder durch zweimalige partielle Integration, indem man zuerst
$\lambda(x)$, dann $\lambda'(x)$ als constant betrachtet,
\[ = \frac{\mu^2}{n^2(\mu + n)^2}
   \int\limits_b^c B_{\mu + n} \lambda''(x) \, dx
      + \frac{\mu^2}{n^2(\mu - n)^2}
   \int\limits_b^c B_{\mu - n} \lambda''(x) \, dx,\]
da $\lambda(x)$ und $\lambda'(x)$ und daher auch die aus dem
Integralzeichen tretenden Glieder an den Grenzen $= 0$ werden.

Man \"{u}berzeugt sich nun leicht, dass
$\displaystyle \int\limits_b^c B_{\mu \pm n} \lambda''(x) \, dx$,
wenn $\mu$ in's Unendliche w\"{a}chst, was auch $n$ sei,
unendlich klein wird; denn dieser Ausdruck ist gleich einem
Aggregat der Integrale
\[ \int\limits_b^c \cos (\mu \pm n) (x - a) \, \lambda''(x) \, dx,\quad
   \int\limits_b^c \sin (\mu \pm n) (x - a) \, \lambda''(x) \, dx,\]
und wenn $\mu \pm n$ unendlich gross wird, so werden diese
Integrale, wenn aber nicht, weil dann $n$ unendlich gross wird,
ihre Coefficienten in diesem Ausdrucke unendlich klein.

Zum Beweise unseres Satzes gen\"{u}gt es daher offenbar, wenn von
der Summe
\[ \sum \frac{\mu^2}{(\mu - n)^2 n^2} \]
\"{u}ber alle ganzen Werthe von $n$ ausgedehnt, welche den
Bedingungen $n < -c'$, $c'' < n < \mu - c'''$,
$\mu + c^{\rm IV} < n$ gen\"{u}gen, f\"{u}r irgend welche
positive Werthe der Gr\"{o}ssen $c$ gezeigt wird, dass sie, wenn
$\mu$ unendlich gross wird, endlich bleibt.  Denn abgesehen von
den Gliedern, f\"{u}r welche $-c' < n < c''$,
$\mu - c''' < n < \mu + c^{\rm IV}$, welche offenbar unendlich
klein werden und von endlicher Anzahl sind, bleibt die Reihe
($\Phi$) offenbar kleiner als diese Summe, multiplicirt mit dem
gr\"{o}ssten Werthe von
$\displaystyle \int\limits_b^c B_{\mu \pm n} \lambda''(x) \, dx$,
welcher unendlich klein wird.

Nun ist aber, wenn die Gr\"{o}ssen $c > 1$ sind, die Summe
\[ \sum \frac{\mu^2}{(\mu - n)^2 n^2}
   = \frac{1}{\mu} \sum
      \frac{\displaystyle \frac{1}{\mu}}{\displaystyle
         \left( 1 - \frac{n}{\mu} \right)^2
         \left( \frac{n}{\mu} \right)^2},\]
in den obigen Grenzen, kleiner als
\[ \frac{1}{\mu} \int \frac{dx}{(1 - x)^2 x^2},\]
ausgedehnt von
\[ - \infty
      \mbox{ bis }
   - \frac{c' - 1}{\mu},\quad
   \frac{c'' - 1}{\mu}
      \mbox{ bis }
   1 - \frac{c''' - 1}{\mu},\quad
   1 + \frac{c^{\rm IV} - 1}{\mu}
      \mbox{ bis }
   \infty;\]
denn zerlegt man das ganze Intervall von $-\infty$ bis $+\infty$
von Null anfangend in Intervalle von der Gr\"{o}sse
$\displaystyle \frac{1}{\mu}$,
und ersetzt man \"{u}berall die Function unter dem
Integralzeichen durch den kleinsten Werth in jedem Intervall, so
erh\"{a}lt man, da diese Function zwischen den
Integrationsgrenzen nirgends ein Maximum hat, s\"{a}mmtliche
Glieder der Reihe.

F\"{u}hrt man die Integration aus, so erh\"{a}lt man
\[ \frac{1}{\mu} \int \frac{dx}{x^2 (1 - x)^2}
   = \frac{1}{\mu} \left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}
      + 2 \log x - 2 \log (1 - x) \right) + \mbox{const.}\]
und folglich zwischen den obigen Grenzen einen Werth, der mit
$\mu$ nicht unendlich gross wird.

\medbreak

\centerline{9.}

\nobreak\medskip

Mit H\"{u}lfe dieser S\"{a}tze l\"{a}sst sich \"{u}ber die
Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe,
deren Glieder f\"{u}r jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein
werden, Folgendes feststellen:

I.  Wenn eine nach dem Intervall $2\pi$ periodisch sich
wiederholende Function $f(x)$ durch eine trigonometrische Reihe,
deren Glieder f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein
werden, darstellbar sein soll, so muss es eine stetige Function
$F(x)$ geben, von welcher $f(x)$ so abh\"{a}ngt, dass
\[ \frac{   F(x + \alpha + \beta)
          - F(x + \alpha - \beta)
          - F(x - \alpha + \beta)
          + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta},\]
wenn $\alpha$ und $\beta$ unendlich klein werden und dabei ihr
Verh\"{a}ltniss endlich bleibt, gegen $f(x)$ convergirt.

Es muss ferner
\[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx,\]
wenn $\lambda(x)$ und $\lambda'(x)$ an den Grenzen des Integrals
$= 0$ und zwischen denselben immer stetig sind und $\lambda''(x)$
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, mit wachsendem $\mu$
zuletzt unendlich klein werden.

II.  Wenn umgekehrt diese beiden Bedingungen erf\"{u}llt sind, so
giebt es eine trigonometrische Reihe, in welcher die
Coefficienten zuletzt unendlich klein werden, und welche
\"{u}berall, wo sie convergirt, die Function darstellt.

Denn bestimmt man die Gr\"{o}ssen $C'$, $A_0$ so, dass
\[ F(x) - C'x - A_0 \frac{xx}{2} \]
eine nach dem Intervall $2\pi$ periodisch wiederkehrende Function
ist und entwickelt diese nach \emph{Fourier}'s Methode in die
trigonometrische Reihe
\[ C - \frac{A_1}{1} - \frac{A_2}{4} - \frac{A_3}{9} - \cdots,\]
indem man
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \, dt
   = C,\]
\[ \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \cos n (x - t) \, dt
   = - \frac{A_n}{nn} \]
setzt, so muss (n.~V.)
\[ A_n = - \frac{nn}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \cos n (x - t) \, dt \]
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein werden; woraus nach
Satz~1 des vorigen Art.\ folgt, dass die Reihe
\[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots \]
\"{u}berall, wo sie convergirt, gegen $f(x)$ convergirt.

III.  Es sei $b < x < c$, und $\varrho(t)$ eine solche Function,
dass $\varrho(t)$ und $\varrho'(t)$ f\"{u}r $t = b$ und $t = c$
den Werth $0$ haben und zwischen diesen Werthen stetig sich
\"{a}ndern, $\varrho''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und
Minima hat, und dass ferner f\"{u}r $t = x$ $\varrho(t) = 1$,
$\varrho'(t) = 0$, $\varrho''(t) = 0$, $\varrho'''(t)$ und
$\varrho^{\rm IV}(t)$ aber endlich und stetig sind; so wird der
Unterschied zwischen der Reihe
\[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n \]
und dem Integral
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c F(t)
\frac{\displaystyle
   dd \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
      \sin \frac{(x-t)}{2}}}{dt^2}
   \varrho(t) \, dt \]
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein.  Die Reihe
\[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots \]
wird daher convergiren oder nicht convergiren, je nachdem
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c F(t)
\frac{\displaystyle
   dd \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
      \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2}
   \varrho(t) \, dt \]
sich mit wachsendem $n$ zuletzt einer festen Grenze n\"{a}hert
oder dies nicht stattfindet.

In der That wird
\[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n
   = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \sum_{1,n} - n n \cos n(x-t) \, dt,\]
oder, da
\[ 2 \sum_{1,n} - n n \cos n(x-t)
   = 2 \sum_{1,n} \frac{d^2 \cos n(x-t)}{dt^2}
   = \frac{\displaystyle
   dd \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
      \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \]
ist,
\[ = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \frac{\displaystyle
            dd \frac{\displaystyle
               \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
               \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2}
         \, dt.\]
Nun wird aber nach Satz~3 des vorigen Art.
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \frac{\displaystyle
            dd \frac{\displaystyle
               \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
               \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2}
         \lambda(t) \, dt \]
bei unendlichem Zunehmen von $n$ unendlich klein, wenn
$\lambda(t)$ nebst ihrem ersten Differentialquotienten stetig
ist, $\lambda''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat,
und f\"{u}r $t = x$ $\lambda(t) = 0$, $\lambda'(t) = 0$,
$\lambda''(t) = 0$, $\lambda'''(t)$ und $\lambda^{\rm IV}(t)$
aber endlich und stetig sind.

Setzt man hierin $\lambda(t)$ ausserhalb der Grenzen $b$, $c$
gleich $1$ und zwischen diesen Grenzen $= 1 - \varrho(t)$, was
offenbar verstattet ist, so folgt, dass die Differenz zwischen
der Reihe $A_1 + \cdots + A_n$ und dem Integral
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c
         \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \frac{\displaystyle
            dd \frac{\displaystyle
               \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
               \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2}
         \varrho(t) \, dt \]
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein wird.  Man
\"{u}berzeugt sich aber leicht durch partielle Integration, dass
\[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c
         \left( C't + A_0 \frac{tt}{2} \right)
         \frac{\displaystyle
            dd \frac{\displaystyle
               \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
               \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2}
         \varrho(t) \, dt \]
wenn $n$ unendlich gross wird, gegen $A_0$ convergirt, wodurch
man obigen Satz erh\"{a}lt.

\medbreak

\centerline{10.}

\nobreak\medskip

Aus dieser Untersuchung hat sich also ergeben, dass, wenn die
Coefficienten der Reihe $\Omega$ zuletzt unendlich klein werden,
dann die Convergenz der Reihe f\"{u}r einen bestimmten Werth von
$x$ nur abh\"{a}ngt von dem Verhalten der Function $f(x)$ in
unmittelbarer N\"{a}he dieses Werthes.

Ob nun die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein
werden, wird in vielen F\"{a}llen nicht aus ihrem Ausdrucke durch
bestimmte Integrale, sondern auf anderm Wege entschieden werden
m\"{u}ssen.  Es verdient indess \emph{ein} Fall hervorgehoben zu
werden, wo sich dies unmittelbar aus der Natur der Function
entscheiden l\"{a}sst, wenn n\"{a}mlich die Function $f(x)$
durchgehends endlich bleibt und eine Integration zul\"{a}sst.

In diesem Falle muss, wenn man das ganze Intervall von $-\pi$ bis
$\pi$ der Reihe nach in St\"{u}cke von der Gr\"{o}sse
$\delta_1, \delta_2, \delta_3,\ldots$
zerlegt, und durch $D_1$ die gr\"{o}sste Schwankung der Function
im ersten, durch $D_2$ im zweiten, u.~s.~w.\ bezeichnet,
\[ \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \delta_3 D_3 + \cdots \]
unendlich klein werden, sobald s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich
klein werden.

Zerlegt man aber das Integral
$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin n (x - a) \, dx$,
in welcher Form von dem Factor
$\displaystyle \frac{1}{\pi}$
abgesehen die Coefficienten der Reihe enthalten sind, oder was
dasselbe ist,
$\displaystyle \int\limits_a^{a + 2\pi} f(x) \sin n (x - a) \, dx$
von $x = a$ anfangend in Integrale vom Umfange
$\displaystyle {2\pi \over n}$,
so liefert jedes derselben zur Summe einen Beitrag kleiner als
$\displaystyle {2 \over n}$,
multiplicirt mit der gr\"{o}ssten Schwankung in seinem Intervall,
und ihre Summe ist also kleiner als eine Gr\"{o}sse, welche
n.~V.\ mit
$\displaystyle \frac{2\pi}{n}$
unendlich klein werden muss.

In der That: diese Integrale haben die Form
\[  \int\limits_{a + \frac{s}{n} 2 \pi}^{a + \frac{s+1}{n} 2\pi}
         f(x) \sin n (x - a) \, dx.\]
Der Sinus wird in der ersten H\"{a}lfte positiv, in der zweiten
negativ.  Bezeichnet man also den gr\"{o}ssten Werth von $f(x)$ in
dem Intervall des Integrals durch $M$, den kleinsten durch $m$,
so ist einleuchtend, dass man das Integral vergr\"{o}ssert, wenn
man in der ersten H\"{a}lfte $f(x)$ durch $M$, in der zweiten
durch $m$ ersetzt, dass man aber das Integral verkleinert, wenn
man in der ersten H\"{a}lfte $f(x)$ durch $m$ und in der zweiten
durch $M$ ersetzt.  Im ersteren Falle aber erh\"{a}lt man den
Werth
$\displaystyle \frac{2}{n} (M - m)$,
im letzteren
$\displaystyle \frac{2}{n} (m - M)$.
Es ist daher dies Integral abgesehen vom Zeichen kleiner als
$\displaystyle \frac{2}{n} (M - m)$
und das Integral
\[ \int\limits_a^{a + 2\pi} f(x) \sin n(x - a) \, dx\]
kleiner als
\[ \frac{2}{n} (M_1 - m_1) +\frac{2}{n} (M_2 - m_2)
   + \frac{2}{n} (M_3 - m_3) + \cdots,\]
wenn man durch $M_s$ den gr\"{o}ssten, durch $m_s$ den kleinsten
Werth von $f(x)$ im $s \,$\-ten Intervall bezeichnet; diese Summe
aber muss, wenn $f(x)$ einer Integration f\"{a}hig ist, unendlich
klein werden, sobald $n$ unendlich gross und also der Umfang der
Intervalle
$\displaystyle \frac{2\pi}{n}$
unendlich klein wird.

In dem vorausgesetzten Falle werden daher die Coefficienten der
Reihe unendlich klein.

\medbreak

\centerline{11.}

\nobreak\medskip

Es bleibt nun noch der Fall zu untersuchen, wo die Glieder der
Reihe $\Omega$ f\"{u}r den Argumentwerth $x$ zuletzt unendlich
klein werden, ohne dass dies f\"{u}r jeden Argumentwerth
stattfindet.  Dieser Fall l\"{a}sst sich auf den vorigen
zur\"{u}ckf\"{u}hren.

Wenn man n\"{a}mlich in den Reihen f\"{u}r den Argumentwerth
$x + t$ und $x - t$ die Glieder gleichen Ranges addirt, so
erh\"{a}lt man die Reihe
\[ 2 A_0 + 2 A_1 \cos t + 2 A_2 \cos 2t + \cdots,\]
in welcher die Glieder f\"{u}r jeden Werth von $t$ zuletzt
unendlich klein werden und auf welche also die vorige
Untersuchung angewandt werden kann.

Bezeichnet man zu diesem Ende den Werth der unendlichen Reihe
\[ C + C' x + A_0 \frac{xx}{2} + A_0 \frac{tt}{2}
   - A_1 \frac{\cos t}{1} - A_2 \frac{\cos 2t}{4}
   - A_3 \frac{\cos 3t}{9} - \cdots \]
durth $G(t)$, so dass
$\displaystyle \frac{F(x + t) + F(x - t)}{2}$
\"{u}berall, wo die Reihen f\"{u}r $F(x + t)$ und $F(x - t)$
convergiren, $= G(t)$ ist, so ergiebt sich Folgendes:

I.  Wenn die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r den Argumentwerth
$x$ zuletzt unendlich klein werden, so muss
\[ \mu \mu \int\limits_b^c G(t)
      \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt,\]
wenn $\lambda$ eine Function wie oben---Art.~9---bezeichnet, mit
wachsendem $\mu$ zuletzt unendlich klein werden.  Der Werth
dieses Integrals setzt sich zusammen aus den beiden
Bestandtheilen
$\displaystyle \mu \mu \int\limits_b^c \frac{F(x + t)}{2}
      \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt$
und
$\displaystyle \mu \mu \int\limits_b^c \frac{F(x - t)}{2}
      \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt$,
wofern diese Ausdr\"{u}cke einen Werth haben.  Das
Unendlichkleinwerden desselben wird daher bewirkt durch das
Verhalten der Function $F$ an zwei symmetrisch zu beiden Seiten
von $x$ gelegenen Stellen.  Es ist aber zu bemerken, dass hier
Stellen vorkommen m\"{u}ssen, wo jeder Bestandtheil f\"{u}r sich
nicht unendlich klein wird; denn sonst w\"{u}rden die Glieder der
Reihe f\"{u}r jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein werden.
Es m\"{u}ssen also dann die Beitr\"{a}ge der symmetrisch zu
beiden Seiten von $x$ gelegenen Stellen einander aufheben, so
dass ihre Summe f\"{u}r ein unendliches $\mu$ unendlich klein
wird.  Hieraus folgt, dass die Reihe $\Omega$ nur f\"{u}r solche
Werthe der Gr\"{o}sse $x$ convergiren kann, zu welchen die
Stellen, wo nicht
\[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x)
      \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \]
f\"{u}r ein unendliches $\mu$ unendlich klein wird, symmetrisch
liegen.  Offenbar kann daher nur dann, wenn die Anzahl dieser
Stellen unendlich gross ist, die trigonometrische Reihe mit nicht
in's Unendliche abnehmenden Coefficienten f\"{u}r eine unendliche
Anzahl von Argumentwerthen convergiren.

Umgekehrt ist
\[ A_n = -nn \frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi}
         \left( G(t) - A_0 \frac{tt}{2} \right) \cos nt \, dt \]
und wird also mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein, wenn
\[ \mu \mu \int\limits_b^c G(t)
     \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt \]
f\"{u}r ein unendliches $\mu$ immer unendlich klein wird.

II.  Wenn die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r den
Argumentwerth $x$ zuletzt unendlich klein werden, so h\"{a}ngt es
nur von dem Gange der Function $G(t)$ f\"{u}r ein unendlich
kleines $t$ ab, ob die Reihe convergirt oder nicht, und zwar wird
der Unterschied zwischen
\[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n \]
und dem Integrale
\[ \frac{1}{\pi} \int\limits_0^b G(t)
\frac{\displaystyle
   dd \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n+1}{2}t}{\displaystyle
      \sin \frac{t}{2}}}{dt^2}
   \varrho(t) \, dt \]
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein, wenn $b$ eine
zwischen $0$ und $\pi$ enthaltene noch so kleine Constante und
$\varrho(t)$ eine solche Function bezeichnet, dass $\varrho(t)$
und $\varrho'(t)$ immer stetig und f\"{u}r $t = b$ gleich Null
sind, $\varrho''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat,
und f\"{u}r $t = 0$, $\varrho(t) = 1$, $\varrho'(t) = 0$,
$\varrho''(t) = 0$, $\varrho'''(t)$ und $\varrho''''(t)$
aber endlich und stetig sind.

\medbreak

\centerline{12.}

\nobreak\medskip

Die Bedingung f\"{u}r die Darstellbarkeit einer Function durch
eine trigonometrische Reihe k\"{o}nnen freilich noch etwas
beschr\"{a}nkt und dadurch unsere Untersuchungen ohne besondere
Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der Function noch etwas weiter
gef\"{u}hrt werden.  So z.~B.\ kann in dem zuletzt erhaltenen
Satze die Bedingung, dass $\varrho''(0) = 0$ sei, weggelassen
werden, wenn man in dem Integrale
\[ \frac{1}{\pi} \int\limits_0^b G(t)
\frac{\displaystyle
   dd \frac{\displaystyle
      \sin \frac{2n+1}{2}t}{\displaystyle
      \sin \frac{t}{2}}}{dt^2}
   \varrho(t) \, dt \]
$G(t)$ durch $G(t) - G(0)$ ersetzt.  Es wird aber dadurch nichts
Wesentliches gewonnen.

Indem wir uns daher zur Betrachtung besonderer F\"{a}lle wenden,
wollen wir zun\"{a}chst der Untersuchung f\"{u}r eine Function,
welche nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, diejenige
Vervollst\"{a}ndigung zu geben suchen, deren sie nach den
Arbeiten \emph{Dirichlet}'s noch f\"{a}hig ist.

Es ist oben bemerkt, dass eine solche Function allenthalben
integrirt werden kann, wo sie nicht unendlich wird, und es ist
offenbar, dass dies nur f\"{u}r eine endliche Anzahl von
Argumentwerthen eintreten kann.  Auch l\"{a}sst der Beweis
\emph{Dirichlet}'s, dass in dem Integralausdrucke f\"{u}r das
$n \,$\-te Glied der Reihe und f\"{u}r die Summe ihrer $n$ ersten
Glieder der Beitrag aller Strecken mit Ausnahme derer, wo die
Function unendlich wird, und der dem Argumentwerth der Reihe
unendlich nahe liegenden mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich
klein wird, und dass
\[ \int\limits_x^{x + b} f(t)
            \frac{\displaystyle
               \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle
               \sin \frac{x-t}{2}} \, dt,\]
wenn $0 < b < \pi$ und $f(t)$ zwischen den Grenzen des Integrals
nicht unendlich wird, f\"{u}r ein unendliches $n$ gegen
$\pi f(x + 0)$ convergirt, in der That nichts zu w\"{u}nschen
\"{u}brig, wenn man die unn\"{o}thige Voraussetzung, dass die
Function stetig sei, wegl\"{a}sst.  Es bleibt also nur noch zu
untersuchen, in welchen F\"{a}llen in diesen
Integralausdr\"{u}cken der Beitrag der Stellen, wo die Function
unendlich wird, mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein wird.
Diese Untersuchung ist noch nicht erledigt; sondern es ist nur
gegentlich von \emph{Dirichlet} gezeigt, dass dies stattfindet
unter der Voraussetzung, dass die darzustellende Function eine
Integration zul\"{a}sst, was nicht nothwendig ist.

Wir haben oben gesehen, dass, wenn die Glieder der Reihe $\Omega$
f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein werden, die
Function $F(x)$, deren zweiter Differentialquotient $f(x)$ ist,
endlich und stetig sein muss, und dass
\[ \frac{F(x + \alpha) - 2 F(x)+ F(x - \alpha)}{\alpha} \]
mit $\alpha$ stets unendlich klein wird.  Wenn nun
$F'(x + t) - F'(x - t)$
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, so muss es, wenn $t$
Null wird, gegen einen festen Grenzwerth $L$ convergiren oder
unendlich gross werden, und es ist offenbar, dass
\[ \frac{1}{\alpha} \int\limits_0^\alpha (F'(x + t) - F'(x - t)) \, dt
   = \frac{F(x + \alpha) - 2 F(x) + F(x - \alpha)}{\alpha} \]
dann ebenfalls gegen $L$ oder gegen $\infty$ convergiren muss und
daher nur unendlich klein werden kann, wenn
$F'(x + t) - F'(x - t)$
gegen Null convergirt.  Es muss daher, wenn $f(x)$ f\"{u}r
$x = a$ unendlich gross wird, doch immer
$f(a + t) + f(a - t)$
bis an $t = 0$ integrirt werden k\"{o}nnen.  Dies reicht hin,
damit
\[ \left( \int\limits_b^{a - \varepsilon}
         + \int\limits_{a + \varepsilon}^c \right) dx \,
            \left( f(x) \cos n(x - a) \right) \]
mit abnehmendem $\varepsilon$ convergire und mit wachsendem $n$
unendlich klein werde.  Weil ferner die Function $F(x)$ endlich
und stetig ist, so muss $F'(x)$ bis an $x = a$ eine Integration
zulassen und $(x - a) F'(x)$ mit $(x - a)$ unendlich klein
werden, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und
Minima hat; woraus folgt, dass
\[ \frac{d(x - a) F'(x)}{dx} = (x - a) f(x) + F'(x) \]
und also auch $(x - a) f(x)$ bis an $x = a$ integrirt werden
kann.  Es kann daher auch
$\int f(x) \sin n(x - a) \, dx$
bis an $x = a$ integrirt werden, und damit die Coefficienten der
Reihe zuletzt unendlich klein werden, ist offenbar nur noch
n\"{o}thig, dass
\[ \int\limits_b^c f(x) \sin n(x - a) \, dx,
   \mbox{ wo } b < a < c,\]
mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein werde.  Setzt man
\[ f(x) (x - a) = \varphi(x),\]
so ist, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und
Minima hat, f\"{u}r ein unendliches $n$
\[ \int\limits_b^c f(x) \sin n(x - a) \, dx
   = \int\limits_b^c \frac{\varphi(x)}{x - a}
         \sin n(x - a) \, dx
   = \pi \frac{\varphi(a + 0) + \varphi(a - 0)}{2},\]
wie \emph{Dirichlet} gezeigt hat.  Es muss daher
\[ \varphi(a + t) + \varphi(a - t) = f(a + t) t - f(a - t) t \]
mit $t$ unendlich klein werden, und da
\[ f(a + t) + f(a - t) \]
bis an $t = 0$ integrirt werden kann und folglich auch
\[ f(a + t) t + f(a - t) t \]
mit $t$ unendlich klein wird, so muss sowohl $f(a + t) t$, als
$f(a - t) t$ mit abnehmenden $t$ zuletzt unendlich klein werden.
Von Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima haben,
abgesehen, ist es also zur Darstellbarkeit der Function $f(x)$
durch eine trigonometrische Reihe mit in's Unendliche abnehmenden
Coefficienten hinreichend und nothwendig, dass, wenn sie f\"{u}r
$x = a$ unendlich wird, $f(a + t) t$ und $f(a - t) t$ mit $t$
unendlich klein werden und
$f(a + t) + f(a - t)$ bis an $t = 0$ integrirt werden kann.

Durch eine trigonometrische Reihe, deren Coefficienten nicht
zuletzt unendlich klein werden, kann eine Function $f(x)$, welche
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, da
\[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x)
     \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dt \]
nur f\"{u}r eine endliche Anzahl von Stellen f\"{u}r ein
unendliches $\mu$ nicht unendlich klein wird, auch nur f\"{u}r
eine endliche Anzahl von Argumentwerthen dargestellt werden,
wobei es unn\"{o}thig ist l\"{a}nger zu verweilen.

\medbreak

\centerline{13.}

\nobreak\medskip

Was die Functionen betrifft, welche unendlich viele Maxima und
Minima haben, so ist es wohl nicht \"{u}berfl\"{u}ssig zu
bemerken, dass eine Function $f(x)$, welche unendlich viele
Maxima und Minima hat, einer Integration durchgehends f\"{a}hig
sein kann, ohne durch die \emph{Fourier}'sche Reihe darstellbar
zu sein.  Dies findet z.~B.\ statt, wenn $f(x)$ zwischen $0$ und
$2\pi$ gleich
\[ \frac{\displaystyle
         d \left( x^\nu \cos \frac{1}{x} \right)}{dx},
      \mbox{ und }
   0 < \nu < {\textstyle \frac{1}{2}} \]
ist.  Denn wird in dem Integral
$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx$
mit wachsendem $n$ der Beitrag derjenigen Stelle, wo $x$ nahe
$= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}}$
ist, allgemein zu reden, zuletzt unendlich gross, so dass das
Verh\"{a}ltniss dieses Integrals zu
\[ {\textstyle \frac{1}{2}} \sin
         \left( 2 \sqrt{n} - n a + \frac{\pi}{4} \right)
         \sqrt{\pi} n^{\frac{1 - 2 \nu}{4}} \]
gegen $1$ convergirt, wie man auf dem gleich anzugebenden Wege
finden wird.  Um dabei das Beispiel zu verallgemeinern, wodurch
das Wesen der Sache mehr hervortritt, setze man
\[ \int f(x) \, dx = \varphi(x) \cos \psi(x) \]
und nehme an, dass $\varphi(x)$ f\"{u}r ein unendlich kleines $x$
unendlich klein und $\psi(x)$ unendlich gross werde, \"{u}brigens
aber diese Functionen nebst ihren Differentialquotienten stetig
seien und nicht unendlich viele Maxima und Minima haben.  Es wird
dann
\[ f(x) = \varphi'(x) \cos \psi(x)
      - \varphi(x) \psi'(x) \sin \psi(x) \]
und
\[ \int f(x) \cos n(x - a) \, dx \]
gleich der Summe der vier Integrale
\[ {\textstyle \frac{1}{2}} \int
      \varphi'(x) \cos (\psi(x) \pm n(x - a)) \, dx,\]
\[ - {\textstyle \frac{1}{2}} \int
      \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) \pm n(x - a)) \, dx.\]
Man betrache nun, $\psi(x)$ positiv genommen, das Glied
\[ - {\textstyle \frac{1}{2}} \int
      \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) + n(x - a)) \, dx \]
und untersuche in diesem Integrale die Stelle, wo die
Zeichenwechsel des Sinus sich am langsamsten folgen.  Setzt man
\[ \psi(x) + n(x - a) = y,\]
so geschieht dies, wo
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0$
ist, und also,
\[ \psi'(\alpha) + n = 0 \]
gesetzt, fur $x = \alpha$.  Man untersuche also das Verhalten des
Integrals
\[ - {\textstyle\frac{1}{2}}
   \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon}
         \varphi(x) \psi'(x) \sin y \, dx \]
f\"{u}r den Fall, dass $\varepsilon$ f\"{u}r ein unendliches $n$
unendlich klein wird, und f\"{u}hre hiezu $y$ als Variable ein.
Setzt man
\[ \psi(\alpha) + n(\alpha - a) = \beta,\]
so wird f\"{u}r ein hinreichend kleines $\varepsilon$
\[ y = \beta + \psi''(\alpha) \frac{(x - \alpha)^2}{2} + \cdots \]
und zwar ist $\psi''(\alpha)$ positiv, da $\psi(x)$ f\"{u}r ein
unendlich kleines $x$ positiv unendlich wird; es wird ferner
\[ \frac{dy}{dx} = \psi''(\alpha)(x - \alpha)
   = \pm \sqrt{2 \psi''(\alpha) (y - \beta)},\]
je nachdem $x - \alpha \neq 0$, und
\begin{eqnarray*}
- {\textstyle\frac{1}{2}}
   \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon}
         \varphi(x) \psi'(x) \sin y \, dx
      \hspace{-72pt} \\
   &=& {\textstyle \frac{1}{2}} \left(
         \int\limits_{\beta + \psi''(\alpha)
               \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}}^\beta
         - \int\limits_\beta^{\beta + \psi''(\alpha)
               \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}}
         \right)
      \left( \sin y \, \frac{dy}{\sqrt{y - \beta}} \right)
      \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}} \\
   &=& - \int\limits_0^{\psi''(\alpha) \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}}
         \sin (y + \beta) \frac{dy}{\sqrt{y}}
         \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}}.
\end{eqnarray*}
L\"{a}sst man also mit wachsendem $n$ die Gr\"{o}sse
$\varepsilon$ so abnehmen, dass
$\psi''(\alpha) \varepsilon \varepsilon$
unendlich gross wird, so wird, falls
\[ \int\limits_0^\infty \sin (y + \beta) \frac{dy}{\sqrt{y}},\]
welches bekanntlich gleich ist
$\displaystyle \sin \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right) \sqrt{\pi}$,
nicht Null ist, von Gr\"{o}ssen niederer Ordnung abgesehen
\[ - {\textstyle \frac{1}{2}}
         \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon}
      \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) + n(x - a)) \, dx
   = - \sin \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right)
         \frac{\sqrt{\pi} \varphi(a) \psi'(\alpha)}{
               \sqrt{2 \psi''(\alpha)}}.\]
Es wird daher, wenn diese Gr\"{o}sse nicht unendlich klein wird,
das Verh\"{a}ltniss von
\[ \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx \]
zu dieser Gr\"{o}sse, da dessen \"{u}brige Bestandtheile
unendlich klein werden, bei unendlich Zunehmen von $n$ gegen $1$
convergiren.

Nimmt man an, dass $\varphi(x)$ und $\psi'(x)$ f\"{u}r ein
unendlich kleines $x$ mit Potenzen von $x$ von gleicher Ordnung
sind und zwar $\varphi(x)$ mit $x^\nu$ und $\psi'(x)$ mit
$x^{-\mu - 1}$ so dass $\nu > 0$ und $\mu \geq 0$ sein muss, so
wird f\"{u}r ein unendliches $n$
\[ \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}} \]
von gleicher Ordnung mit
$\displaystyle \alpha^{\nu - \frac{\mu}{2}}$
und daher nicht unendlich klein, wenn $\mu \geq 2 \nu$.
Ueberhaupt aber wird, wenn $x \psi'(x)$ oder, was damit identisch
ist, wenn
$\displaystyle \frac{\psi(x)}{\log x}$
f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ unendlich gross ist, sich
$\varphi(x)$ immer so annehmen lassen, dass f\"{u}r ein unendlich
kleines $x$ $\varphi(x)$ unendlich klein,
\[ \varphi(x) \frac{\psi'(x)}{\sqrt{2 \psi''(x)}}
   = \frac{\varphi(x)}{\displaystyle
      \sqrt{- 2 \frac{d}{dx} \frac{1}{\psi'(x)}}}
   = \frac{\varphi(x)}{\displaystyle
      \sqrt{- 2 \lim \frac{1}{x \psi'(x)}}} \]
aber unendlich gross wird, und folglich
$\int\limits_x f(x) \, dx$
bis an $x =0$ erstreckt werden kann, w\"{a}hrend
\[ \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx \]
f\"{u}r ein unendliches $n$ nicht unendlich klein wird.  Wie man
sieht, heben sich in dem Integrale
$\int\limits_x f(x) \, dx$
bei unendlichem Abnehmen von $x$ die Zuwachse des Integrals,
obwohl ihr Verh\"{a}ltniss zu den Aenderungen von $x$ sehr rasch
w\"{a}chst, wegen des raschen Zeichenwechsels der Function $f(x)$
einander auf; durch das Hinzutreten des Factors $\cos n(x - a)$
aber wird hier bewirkt, dass diese Zuwachse sich summiren.

Ebenso wohl aber, wie hienach f\"{u}r eine Function trotz der
durchg\"{a}ngigen M\"{o}glichkeit der Integration die
\emph{Fourier}'sche Reihe nicht convergiren und selbst ihr
Glied zuletzt unendlich gross werden kann,---ebsenso wohl
k\"{o}nnen trotz der durchg\"{a}ngigen Unm\"{o}glichkeit der
Integration von $f(x)$ zwischen je zwei noch so nahen Werthen
unendlich viele Werthe von $x$ liegen, f\"{u}r welche die Reihe
$\Omega$ convergirt.

Ein Beispiel liefert, ($nx$) in der Bedeutung, wie oben (Art.~6.)
genommen, die durch die Reihe
\[ \sum_{1,\infty} \frac{(nx)}{n} \]
gegebene Function, welche f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$
vorhanden ist und sich durch die triogonometrische Reihe
\[ \sum_{1,\infty}{}^n \frac{\Sigma^\theta - (-1)^\theta}{n\pi}
      \sin 2nx\pi, \]
wo f\"{u}r $\theta$ alle Theiler von $n$ zu setzen sind,
darstellen l\"{a}sst, welche aber in keinem noch so kleinen
Gr\"{o}ssenintervall zwischen endlichen Grenzen enthalten ist und
folglich nirgends eine Integration zul\"{a}sst.

Ein anderes Beispiel erh\"{a}lt man, wenn man in den Reihen
\[ \sum_{0,\infty} c_n \cos n n x,\quad
   \sum_{0,\infty} c_n \sin n n x,\]
fur $c_0, c_1, c_2,\ldots$ positive Gr\"{o}ssen setzt, welche
immer abnehmen und zuletzt unendlich klein werden, w\"{a}hrend
$\sum\limits_{1,n}^s c_s$ mit $n$ unendlich gross wird.  Denn
wenn das Verh\"{a}ltniss von $x$ zu $2\pi$ rational und in den
kleinsten Zahlen ausgedr\"{u}ckt, ein Bruch mit dem Nenner $m$
ist, so werden offenbar diese Reihen convergiren oder in's
Unendliche wachsen, je nachdem
\[ \sum_{0,m-1} \cos nnx,\quad
   \sum_{0,m-1} \sin nnx \]
gleich Null oder nicht gleich Null  sind.  Beide F\"{a}lle aber
treten nach einem bekannten Theoreme der
Kreistheilung\footnote{Disquis.\ ar.\ pag.~636 art.~356.
(Gauss Werke Bd.~I.  pag.~442.)}
zwischen je zwei noch so engen Grenzen f\"{u}r unendlich viele
Werthe von $x$ ein.

In einem eben so grossen Umfange kann die Reihe $\Omega$ auch
convergiren, ohne dass der Werth der Reihe
\[ C' + A_0 x - \sum \frac{1}{nn} \frac{dA_n}{dx},\]
welche man durch Integration jedes Gliedes aus $\Omega$
erh\"{a}lt, durch ein noch so kleines Gr\"{o}ssenintervall
integrirt werden k\"{o}nnte.

Wenn man z.~B.\ den Ausdruck
\[ \sum_{1,\infty} \frac{1}{n^3} (1 - q^n)
         \log \left( \frac{-\log (1 - q^n)}{q^n} \right),\]
wo die Logarithmen so zu nehmen sind, dass sie f\"{u}r $q = 0$
verschwinden, nach steigenden Potenzen von $q$ entwickelt und
darin $q = e^{xi}$ setzt, so bildet der imagin\"{a}re Theil eine
trigonometrische Reihe, welche zweimal nach $x$ differentiirt in
jedem Gr\"{o}ssenintervall unendlich oft convergirt, w\"{a}hrend
ihr erster Differentialquotient unendlich oft unendlich wird.

In demselben Umfange, d.~h.\ zwischen je zwei noch so nahen
Argumentwerthen unendlich oft, kann die trigonometrische Reihe
auch selbst dann convergiren, wenn ihre Coefficienten nicht
zuletzt unendlich klein werden.  Ein enfaches Beispiel einer
solchen Reihe bildet die unendliche Reihe
$\sum\limits_{1,\infty} \sin (n! x\pi)$,
wo $n!$, wie gebr\"{a}uchlich,
$ = 1.2.3 \ldots n$,
welche nicht bloss f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$
convergirt, indem sie sich in eine endliche verwandelt, sondern
auch f\"{u}r eine unendliche Anzahl von irrationalen, von denen
die einfachsten sind $\sin 1$, $\cos 1$,
$\displaystyle \frac{2}{e}$
und deren Vielfache, ungerade Vielfache von $e$,
$\displaystyle \frac{\displaystyle e - \frac{1}{e}}{4}$,
u.~s.~w.

\vfill\eject

\centerline{\large\textit{Inhalt.}}

\nobreak\medskip

\noindent
Geschichte der Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function
durch eine trigonometrische Reihe.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~1.}]
Von \emph{Euler} bis \emph{Fourier}.\newline
Ursprung der Frage in dem Streite \"{u}ber die Tragweite der
\emph{d'Alem\-bert}'schen und \emph{Bernoulli}'schen L\"{o}sung
des Problems der schwingenden Saiten im Jahre 1753.  Ansichten
von \emph{Euler}, \emph{d'Alembert}, \emph{Lagrange}.

\item[\textmd{\S.~2.}]
Von \emph{Fourier} bis \emph{Dirichlet}.\newline
Richtige Ansicht \emph{Fourier}'s, bek\"{a}mpft von
\emph{Lagrange}.  1807.\newline
\emph{Cauchy}.  1826.

\item[\textmd{\S.~3.}]
Seit \emph{Dirichlet}.\newline
Erledigung der Frage durch \emph{Dirichlet} f\"{u}r die in der
Natur vorkommenden Functionen.  1829.  \emph{Dirksen}.
\emph{Bessel}.  1839.
\end{description}

\noindent
Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang
seiner G\"{u}ltigkeit.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~4.}]
Definition eines bestimmten Integrals.

\item[\textmd{\S.~5.}]
Bedingungen der M\"{o}glichkeit eines bestimmten Integrals.

\item[\textmd{\S.~6.}]
Besondere F\"{a}lle.
\end{description}

\noindent
Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe, ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber
die Natur der Function.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~7.}]
Plan der Untersuchung.
\end{description}

\noindent
I. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe, deren Coefficienten zuletzt unendlich
klein werden.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~8.}]
Beweise einiger f\"{u}r diese Untersuchung wichtigen S\"{a}tze.

\item[\textmd{\S.~9.}]
Bedingungen f\"{u}r die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe mit in's Unendliche abnehmenden
Coefficienten.

\item[\textmd{\S.~10.}]
Die Coefficienten der \emph{Fourier}'schen Reihe werden zuletzt
unendlich klein, wenn die darzustellende Function durchgehends
endlich bleibt und eine Integration zul\"{a}sst.
\end{description}

\noindent
II.  Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine
trigonometrische Reihe mit nicht in's Unendliche abnehmenden
Coefficienten.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~11.}]
Zur\"{u}ckf\"{u}hrung dieses Falles auf den vorigen.
\end{description}

\noindent
Betrachtung besonderer F\"{a}lle.
\begin{description}

\item[\textmd{\S.~12.}]
Functionen, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima haben.

\item[\textmd{\S.~13.}]
Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima haben.
\end{description}

\end{document}
