Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Bernhard Riemann (Auszug aus einem Schreiben Riemann’s an Herrn Weierstrass) [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 71. (1870), S. 197–200.] Transcribed by D. R. Wilkins Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2n fach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Bernhard Riemann (Auszug aus einem Schreiben Riemann’s an Herrn Weierstrass) [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 71. (1870), S. 197–200.] … Den Beweis des Satzes, auf welchen Sie neulich die Unterhaltung lenk- ten, dass eine einwerthige mehr als 2n fach periodische Function von n Ver- änderlichen unmöglich ist, habe ich im Gespräch wohl nicht ganz klar ausge- drückt, auch nur die Grundgedanken angegeben; ich theile ihn Ihnen daher hier noch einmal mit. Es sei f eine 2n fach periodische Function von n Veränderlichen x_{1}, x_{2}, …, xn und—ich darf wohl meine Ihnen bekannten Benennungen gebrauchen—der Periodicitätmodul von x_{ν} für die μ te Periode a_{ν μ}. Es lassen sich dann be- kanntlich die Grössen x in die Form x_{ν} = _{μ=2n ∑ μ=1} a_{ν μ}ξ_{μ} für ν = 1, 2, …, n setzen^{1}, so dass die Grössen ξ reell sind. Lässt man nun die Grössen ξ die Werthe von 0 bis 1 mit Ausschluss eines von diesen Grenzwerthen durch- laufen, so hat das dadurch entstehende 2n fach ausgedehnte Grössengebiet die Eigenschaft, dass jedes System von Werthen der n Veränderlichen einem und nur einem Werthsysteme innerhalb dieses Grössengebiets nach den 2n^{1}Dies ist nicht immer der Fall, sondern nur, wenn die 2n Gleichungen, durch welche die Grössen ξ bestimmt werden, von einander unabhängig sind; die Ausnahmen sind aber leicht zu behandeln. 1 Modulsystemen congruent ist. Ich werde, um mich später kürzer ausdrücken zu können, dieses Gebiet ”dass bei diesen 2n Modulsystemen periodisch sich wiederholende Grössengebiet“ nennen. Hat die Function nun noch ein 2n + 1^{tes} Modulsystem, welches sich nicht aus den 2n ersten Modulsystemen zusammensetzen lässt, so kann man die einem Grössensysteme nach diesem Modulsysteme congruenten Grössensy- steme auf innerhalb dieses Gebiets liegende nach den 2n ersten Modulsy- stemen ihnen congruente zurückführen und dadurch offenbar beliebig viele innerhalb dieses Gebiets liegende und nach den 2n + 1 Modulsystemen ein- ander congruente Grössensysteme erhalten, wenn nicht zwei von den nach dem (2n + 1) ten Modulsysteme congruente Grössensysteme auch nach den 2n ersten Modulsystemen congruent sind. In diesem Falle würden zwischen den 2n + 1 Modulsystemen n Gleichungen von der Form_{μ=2n+1 ∑ μ=1} a_{ν μ}m_{μ} = 0, worin die Grössen m ganze Zahlen wären, stattfinden, und folglich, wie ich später zeigen werde, die 2n + 1 Modulsysteme sich aus 2n Modulsystemen zusammensetzen lassen. Man theile nun für jede der Grössen ξ die Strecke von 0 bis 1 in q gleiche Theile, wodurch das bei den 2n ersten Modulsystemen periodisch wieder- kehrende Gebiet in q^{2n} Gebiete zerfällt, in deren jedem sich die Grössen ξ nur um 1q ändern. Offenbar müssen dann von mehr als q^{2n} nach den 2n + 1 Modulsystemen einander congruenten und in jenem Gebiete liegenden Grös- sensystemen nothwendig zwei in dasselbe Theilgebiet fallen, so dass sich die Werthe derselben Grösse ξ in beiden keinenfalls um mehr als 1q von einander unterscheiden. Die Function bleibt also dann ungeändert, während keine der Grössen ξ um mehr als 1q geändert wird, und ist folglich, da q beliebig gross genommen werden kann, wenn sie stetig ist, eine Function von weniger als n linearen Ausdrücken der Grössen x. Es ist nun noch zu zeigen, dass sich 2n+1 Modulsysteme, zwischen denen die n Gleichungen _{μ=2n+1 ∑ μ=1} a_{ν μ}m_{μ} = 0 stattfinden, aus 2n Modulsystemen zusammensetzen lassen. Man kann zunächst leicht beweisen, dass sich zu einem Modulsysteme_{μ=2n ∑ μ=1} a_{ν μ}m_{μ} = b_{ν 1}, 2

worin die Grössen m ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler sind, immer 2n − 1 andere Modulsysteme b_{2}, b_{3}, …, b_{2n} so finden lassen, dass Con- gruenz nach den Modulsystemen a mit Congruenz nach den Modulsystemen b identisch ist. Es seien θ_{1} der grösste gemeinschaftliche Theiler von m_{1} und m_{2} und α, β zwei der Gleichung βm_{1} − αm_{2} = θ1 genügende ganze Zahlen. Setzt man dann a_{ν 1}m_{1} + a_{ν 2}m_{2} = c_{ν 1}θ1 und  αa_{ν 1} + βa_{ν 2} = b_{ν 2n}, so hat man  a_{ν 1} = βc_{ν 1} − m2 θ1 b_{ν 2n}, a_{ν 2} = −αc_{ν 1} + m1 θ1 b_{ν 2n}. Es lassen sich also auch umgekehrt die Modulsysteme a_{1} und a_{2} aus den Modulsystemen b_{2n} und c_{1} zusammensetzen, und folglich ist Congruenz nach jenen mit Congruenz nach diesen gleichbedeutend. Man kann daher die Mo- dulsysteme a_{1} und a_{2} durch die Modulsysteme c_{1} und b_{2n} ersetzen. Auf dieselbe Weise kann man nun, wenn θ_{2} der grösste gemeinschaftliche Theiler von θ_{1} und m_{2} ist, die Modulsysteme c_{1} und a_{3} durch das Modulsystem 1 θ2 (θ_{1}c_{ν 1} + m_{3}a_{ν 3}) = c^{ν} 2 und durch ein Modulsystem b_{2n−1} ersetzen. Durch Fortsetzung dieses Verfah- rens erhält man offenbar den zu beweisenden Satz. Der Inhalt des periodisch sich wiederholenden Gebiets ist für die neuen Modulsysteme b derselbe wie für die alten. Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich in den n Gleichungen_{2n+1 ∑ 1} a_{ν μ}m_{μ} = 0 die 2n ersten Modulsysteme so durch 2n neue b_{1}, b_{2}, …, b_{2n} ersetzen, dass diese Gleichungen die Form pb_{ν 1} − qa_{ν 2n+1} = 0 annehmen, worin p und q ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler sind. Sind nun γ, δ zwei der Gleichungpδ + qγ = 1 3

genügende ganze Zahlen, so lassen sich offenbar die beiden Modulsysteme b1 und a_{2n+1} durch das eine Modulsystem γb^{ν 1} + δa^{ν 2n+1} = ^{aν 2n+1} p = b^{ν} 1 q ersetzen. Sämmtliche Modulsysteme, welche sich aus den Modulsystemen a_{1}, a_{2}, …, a_{2n+1} zusammensetzen lassen, können also auch aus den 2n Mo- dulsystemen b1 q , b_{2}, b_{3}, …, b2n zusammengesetzt werden, und umgekehrt. Der Inhalt des periodische wieder- kehrenden Gebiets beträgt für diese 2n Modulsysteme nur 1q von dem für die 2n ersten Modulsysteme a. Hat die Function nun ausser diesen Modulsyste- men noch ein durch ähnliche ganzzahlige Gleichungen mit ihnen verbundenes, so lassen sich wieder 2n neue Modulsysteme finden, aus welchen sich alle die- se Modulsysteme zusammensetzen lassen, und der Inhalt des periodisch sich wiederholenden Gebiets wird dabei wieder auf einen aliquoten Theil reducirt. Wenn dieses Gebiet unendlich klein wird, so wird die Function eine Functi- on von weniger als n linearen Ausdrücken der Veränderlichen und zwar von n − 1 oder n − 2 oder n − m, jenachdem nur eine, oder zwei oder m Di- mensionen dieses Grössengebiets unendlich klein werden. Soll dies aber nicht eintreten, so muss die Operation schliesslich abbrechen, und man wird also zu 2n Modulsystemen gelangen, aus welchen sich sämmtliche Modulsysteme der Function zusammensetzen lassen. Göttingen, den 26. October 1859. 4