\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Beitr\"{a}ge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ darstellbaren Functionen.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Aus dem siebenten Band der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1857.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Beitr\"{a}ge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ darstellbaren Functionen.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Aus dem siebenten Band der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1857.]}

\maketitle

Die \emph{Gauss}'sche Reihe $F(\alpha, \beta, \gamma, x)$, als
Function ihres vierten Elements~$x$ betrachtet, stellt diese
Function nur dar, so lange der Modul von $x$ die Einheit nicht
\"{u}berschreitet.  Um diese Function in ihrem ganzen Umfange,
bei unbeschr\"{a}nkter Ver\"{a}nderlichkeit dieses ihres
Arguments, zu untersuchen, bieten die bisherigen Arbeiten
\"{u}ber dieselbe zwei Wege dar.  Man kann n\"{a}mlich entweder
von einer line\"{a}ren Differentialgleichung, welcher sie
gen\"{u}gt, ausgehen, oder von ihrem Ausdrucke durch bestimmte
Integrale.  Jeder dieser Wege gew\"{a}hrt eigenth\"{u}mliche
Vortheile; jedoch ist bis jetzt, in der reichhaltigen Abhandlung
von \emph{Kummer} im 15.~Bande des mathematischen Journals von
\emph{Crelle} und auch in den noch unver\"{o}ffentlichten
Untersuchungen von \emph{Gauss}, nur der erste betreten, wohl
haupts\"{a}chlich deshalb, weil die Rechnung mit bestimmten
Integralen zwischen complexen Grenzen noch zu wenig ausgebildet
war, oder doch nicht als einem grossen Leserkreise
gel\"{a}ufig vorausgesetzt werden konnte.

In der folgenden Abhandlung habe ich diese Transcendente nach
einer neuen Methode behandelt, welche im Wesentlichen auf jede
Function, die einer line\"{a}ren Differentialgleichung mit
algebraischen Coefficienten gen\"{u}gt, anwendbar bleibt.  Nach
derselben lassen sich die fr\"{u}her zum Theil durch ziemlich
m\"{u}hsame Rechnungen gefundenen Resultate fast unmittelbar aus
der Definition ableiten, und dies ist in dem hier vorliegenden
Theile dieser Abhandlung geschehen, haupts\"{a}chlich in der
Absicht f\"{u}r die vielfachen Anwendungen dieser Function in
physikalischen und astronomischen Untersuchungen eine bequeme
Uebersicht \"{u}ber ihre m\"{o}glichen Darstellungen zu geben.
Es ist n\"{o}thig, einige allgemeine Vorbemerkungen \"{u}ber die
Betrachtung einer Function bei unbeschr\"{a}nkter
Ver\"{a}nderlichkeit ihres Arguments voraufzuschicken.

Betrachtet nun den Werth der unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderliche
Gr\"{o}sse $x = y + zi$ zur leichteren Auffassung ihrer
Ver\"{a}nderlichkeit als vertreten durch einen Punkt einer
unendlichen Ebene, dessen rechtwinklige Coordination $y$,~$z$
sind, und denkt sich die Function $w$ in einem Theile dieser
Ebene gegeben, so kann sie von dort aus nach einem leicht zu
beweisenden Satze nur auf eine Weise der Gleichung
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}
   = i \frac{\partial w}{\partial y}$
gem\"{a}ss stetig fortgesetzt werden.  Diese Fortsetzung muss
selbstredend nicht in blossen Linien geschehen, worauf eine
partielle Differentialgleichung nicht angewandt werden
k\"{o}nnte, sondern in Fl\"{a}chenstreifen von endlicher Breite.
Bei Functionen, welche, wie die hier zu untersuchende,
\glqq mehrwerthig\grqq\ sind oder f\"{u}r denselben Werth von $x$
je nach dem Wege, auf welchem die Fortsetzung geschehen ist,
mehrere Werthe annehmen k\"{o}nnen, giebt es gewisse Punkte der
$x$-Ebene, um welche herum sich die Function in eine andere
fortsetzt, wie z.~B.\ bei
$\surd (x - a)$, $\log (x - a)$, $(x - a)^\mu$,
wenn $\mu$ keine ganze Zahl ist, der Punkt~$a$.  Wenn man von
diesem Punkte $a$ aus sich eine beliebige Linie gezogen denkt, so
kann der Werth der Function in der Umgebung von $a$ so
gew\"{a}hlt werden, dass er sich ausserhalb dieser Linie
\"{u}berall stetig \"{a}ndert; sie nimmt aber dann zu beiden
Seiten dieser Linie verschiedene Werthe an, so dass die
Fortsetztung der Function \"{u}ber diese Linie hin\"{u}ber eine
von der jenseits schon vorhandenen verschiedene Function giebt.

Zur Erleichterung des Ausdrucks sollen die verschiedenen
Fortsetzungen Einer Function f\"{u}r denselben Theil der
$x$-Ebene \glqq Zweige\grqq\ dieser Function genannt werden und
ein Werth von $x$, um welchen herum sich ein Zweig einer Function
in einen andern fortsetzt, ein \glqq Verzweigungswerth\grqq;
f\"{u}r einen Werth, in welchem keine Verzweigung stattfindet,
heisst die Function \glqq ein\"{a}ndrig oder monodrom\grqq.

\medbreak

\centerline{1.}

\nobreak\medskip

Ich bezeichne durch
\[ P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a       & b       & c       &   \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\} \]
eine Function von $x$, welche folgende Bedingungen erf\"{u}llt:

   1) Sie ist f\"{u}r alle Werthe von $x$ ausser $a$,~$b$,~$c$
ein\"{a}ndrig und endlich.

   2) Zwischen je drei Zweigen dieser Function
$P'$,~$P''$,~$P'''$ findet eine line\"{a}re homogene Gleichung
mit constanten Coefficienten Statt,
\[ c' P' + c'' P'' + c''' P''' = 0.\]

   3) Die Function l\"{a}sst sich in die Formen
\[ c_\alpha P^{(\alpha)} + c_{\alpha'} P^{(\alpha')},\quad
   c_\beta  P^{(\beta)} +  c_{\beta'}  P^{(\beta')},\quad
   c_\gamma P^{(\gamma)} + c_{\gamma'} P^{(\gamma')} \]
mit constanten
$c_\alpha, c_{\alpha'},\ldots, c_{\gamma'}$
setzen, so dass
\[ P^{(\alpha)}  (x - a)^{-\alpha},\quad
   P^{(\alpha')} (x - a)^{-\alpha'} \]
f\"{u}r $x = a$ ein\"{a}ndrig bleiben und weder Null noch
unendlich werden, und ebenso
$P^{(\beta)}   (x - b)^{-\beta}$, $P^{(\beta')}  (x - b)^{-\beta'}$
f\"{u}r $x = b$ und
$P^{(\gamma)}  (x - c)^{-\gamma}$, $P^{(\gamma')} (x - c)^{-\gamma'}$
f\"{u}r $x = c$.  In Betreff der sechs Gr\"{o}ssen
$\alpha, \alpha',\ldots, \gamma'$ wird vorausgesetzt, dass keine
der Differenzen
$\alpha - \alpha'$, $\beta - \beta'$, $\gamma - \gamma'$ eine
ganze Zahl und die Summe aller,
$\alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma' = 1$
sei.

Wie mannigfaltig die Functionen seien, welche diesen Bedingungen
gen\"{u}gen, bleibt vorl\"{a}ufig unentschieden und wird sich im
Laufe der Untersuchung (Art.~4) ergeben.  Zu gr\"{o}sserer
Bequemlichkeit des Ausdrucks werde ich $x$ die Ver\"{a}nderliche,
$a$,~$b$,~$c$ den ersten, zweiten, dritten Verzweigungswerth und
$\alpha$,~$\alpha'$; $\beta$,~$\beta'$; $\gamma$,~$\gamma'$
das erste, zweite, dritte Exponentenpaar der P-function nennen.

\medbreak

\centerline{2.}

\nobreak\medskip

Zun\"{a}chst einige unmittelbare Folgerungen aus der Definition.

In der Function
$  P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a       & b       & c       &   \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\}$
k\"{o}nnen die drei ersten Verticalreihen beliebig unter einander
vertauscht werden, sowie auch $\alpha$ mit $\alpha'$, $\beta$ mit
$\beta'$, $\gamma$ mit $\gamma'$.  Es ist ferner
\[ P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a       & b       & c       &   \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\}
   =  P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a'      & b'      & c'      &    \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x' \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\} \]
wenn man f\"{u}r $x'$ einen rationalen Ausdruck ersten Grades von
$x$ setzt, den f\"{u}r $x = a$,~$b$,~$c$ die Werthe
$a'$,~$b'$,~$c'$ annimmt.

F\"{u}r
$  P \left\{ \begin{array}{cccc}
   0       & \infty  & 1       &   \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\}$,
auf welche Function sich demzufolge alle P-functionen mit
denselben $\alpha, \alpha',\ldots, \gamma'$ zur\"{u}ckf\"{u}hren
lassen, werde ich zur Abk\"{u}rzung auch blos
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$
setzen.

In einer solchen Function k\"{o}nnen also von den Gr\"{o}ssen
$\alpha$,~$\alpha'$; $\beta$,~$\beta'$; $\gamma$,~$\gamma'$
die Gr\"{o}ssen jedes Paars unter sich, sowie auch die drei
Gr\"{o}ssenpaare beliebig mit einander vertauscht werden, wenn
man nur in der sich ergebenden P-function als Ver\"{a}nderliche
einen rationalen Ausdruck ersten Grades von $x$ substituirt,
welche f\"{u}r die zum ersten, zweiten, dritten Exponentenpaar
dieser Function geh\"{o}rigen Werthe von $x$ die Werthe
$0$,~$\infty$,~$1$ annimmt.  Auf diese Weise erh\"{a}lt man die
Function
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$
ausgedr\"{u}ckt durch P-functionen mit den Ver\"{a}nderlichen
\[ x,\quad 1 - x,\quad \frac{1}{x},\quad 1 - \frac{1}{x},\quad
   \frac{x}{x - 1},\quad \frac{1}{1 - x} \]
und denselben Exponenten in anderer Ordnung.

Aus der Definition folgt ferner:
\[ P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a       & b       & c       &   \\
   \alpha  & \beta   & \gamma  & x \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\}
   \left( \frac{x - a}{x - b} \right)^\delta
   =  P \left\{ \begin{array}{cccc}
   a       & b       & c       &   \\
   \alpha  + \delta & \beta   - \delta & \gamma  & x \\
   \alpha' + \delta & \beta'  - \delta & \gamma' &
   \end{array} \right\};\]
also auch
\[ x^\delta (1 - x)^\varepsilon
   P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)
   =  P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  + \delta & \beta   - \delta - \varepsilon & \gamma  + \varepsilon\\
   \alpha' + \delta & \beta'  - \delta - \varepsilon & \gamma' + \varepsilon
   \end{array} x \right) \]
Durch diese Umformung k\"{o}nnen zwei Exponenten verschiedener
Paare beliebig gegebene Werthe erhalten und als Werthe der
Exponenten, da zwischen ihnen die Bedingung
$\alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma' = 1$
stattfindet, jedwede andere eingef\"{u}hrt werden, f\"{u}r welche
die drei Differenzen
$\alpha - \alpha'$, $\beta - \beta'$, $\gamma - \gamma'$
dieselben sind.  Aus diesem Grunde werde ich sp\"{a}ter zur
Erleichterung der Uebersicht durch
\[ P(\alpha - \alpha, \beta - \beta', \gamma - \gamma', x) \]
s\"{a}mmtliche in der Form
$  x^\delta (1 - x)^\varepsilon
   P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$
enthaltenen Functionen bezeichnen.

\medbreak

\centerline{3.}

\nobreak\medskip

Es ist jetzt vor allen Dingen n\"{o}thig, den Verlauf der Function
etwas genauer zu untersuchen.  Zu diesem Ende denke man sich durch
s\"{a}mmtliche Verzweigungspunkte der Function eine in sich
zur\"{u}cklaufende Linie~$l$ gezogen, welche die Gesammtheit der
complexen Werthe in zwei Gr\"{o}ssengebiete scheidet.  Innerhalb
jedes von ihnen wird alsdann jeder Zweig der Function stetig und
von den \"{u}brigen gesondert verlaufen; l\"{a}ngs der
gemeinschaftlichen Grenzlinie aber werden zwischen den Zweigen
des einen und des andern Gebiets in verschiedenen
Begrenzungstheilen verschiedene Relationen stattfinden.  Zu ihrer
bequemeren Darstellung werde ich die mittels des
Coefficientensystems
$\displaystyle S
   =  \left( \begin{array}{cc}
         p, & q \\
         r, & s
      \end{array} \right)$
aus den Gr\"{o}ssen $t$,~$u$ gebildeten line\"{a}ren
Ausdr\"{u}cke $pt + qu$, $rt + su$ durch $(S) \, (t,u)$
bezeichnen.  Es m\"{o}ge ferner nach Analogie der von
\emph{Gauss} vorgeschlagenen Benennung \glqq positiv laterale
Einheit\grqq\ f\"{u}r $+i$ als
\glqq positive\grqq\ Seitenrichtung zu einer gegebenen Richtung
diejenige bezeichnet werden, welche zu ihr ebenso liegt, wie $+i$
zu $1$ (also bei der \"{u}blichen Darstellungsweise der complexen
Gr\"{o}ssen die linke).  Demgem\"{a}ss macht $x$ einen
\glqq positiven Umlauf um einen Verzweigungswerth a\grqq, wenn es
sich durch die ganze Begrenzung eines nur diesen und keinen andern
Verzweigungswerth enthaltenden Gr\"{o}ssengebiets in einer gegen
die Richtung von Innen nach Aussen positiv liegenden Richtung
bewegt.  Es gehe nun die Linie~$l$ der Reihe nach durch die
Punkte $x = c$, $x = b$, $x = a$, und in dem auf ihrer positiven
Seite liegenden Gebiete seien $P'$, $P''$ zwei in keinem
constanten Verh\"{a}ltnisse stehende Zweige der Function~$P$.
Jede andere Zweig $P'''$ l\"{a}sst sich dann, da in der
vorausgesetztermassen stattfindenden Gleichung
$c' P' + c'' P'' + c''' P''' = 0$ $c'''$ nicht verschwinden kann,
linear und mit constanten Coefficienten in $P'$ und $P''$
ausdr\"{u}cken.  Nimmt man nun an, dass $P'$, $P''$ durch
einen positiven Umlauf der Gr\"{o}sse~$x$ um $a$ in
$(A) \, (P', P'')$, um $b$ in $(B) \, (P', P'')$, um $c$ in
$(C) \, (P', P'')$ \"{u}bergehe, so wird durch die Coefficienten
der Systeme $(A)$, $(B)$, $(C)$ die Periodicit\"{a}t der Function
v\"{o}llig bestimmt sein.  Zwischen diesen finden aber noch
Relationen Statt.  Wenn n\"{a}mlich $x$ das negative Ufer der
Linie~$l$ durchl\"{a}uft, so m\"{u}ssen die Functionen $P'$,
$P''$ die vorigen Werthe wieder annehmen, da die durchlaufene Weg
negativerseits die ganze Begrenzung eines Gr\"{o}ssengebiets
bildet, innerhalb dessen diese Functionen allenthalben
ein\"{a}ndrig sind.  Es ist dies aber dasselbe, als ob der
Werth~$x$ sich von einem der Werthe $c$, $b$, $a$ bis zum
folgenden auf der positiven Seite fortbewegt, dann aber jedesmal
um diesen Werth positiv herum, wobei $(P', P'')$ der Reihe nach
in $(C) \, (P', P'')$, $(C) \, (B) \, (P', P'')$, schliesslich in
$(C) \, (B) \, (A) \, (P', P'')$ \"{u}bergeht.  Es ist daher
\begin{equation}
(C) \, (B) \, (A)
   = \left( \begin{array}{cc} 1, & 0 \\ 0, & 1 \end{array} \right),
\tag{1}
\end{equation}
welche Gleichung vier Bedingungsgleichungen zwischen den
zw\"{o}lf Coefficienten von $A$, $B$, $C$ liefert.

Bei der Discussion dieser Bedingungsgleichungen beschr\"{a}nke
ich mich, zur Fixirung der Vorstellungen, auf die Function
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$,
also auf den Fall, wo $a = 0$, $b = \infty$, $c = 1$, was die
Allgemeinheit der Resultate nicht beeintr\"{a}chtigt, und
w\"{a}hle f\"{u}r die durch $1$, $\infty$, $0$ zu ziehende
Linie~$l$ die Linie der reellen Werthe, welche, um der Reihe nach
durch $c$, $b$, $a$ zu gehen, von $-\infty$ nach $+\infty$
gerichtet sein muss.  Innerhalb des auf der positiven Seite
dieser Linie liegenden Gebiets, welches die complexen Werthe mit
positiv imagin\"{a}rem Gliede enth\"{a}lt, sind dann die oben
charakterisirten Bestandtheile der Function~$P$, die Gr\"{o}ssen
$P^\alpha$, $P^{\alpha'}$, $P^\beta$, $P^{\beta'}$,
$P^\gamma$, $P^{\gamma'}$,
ein\"{a}ndrige Functionen von $x$ und sind bis auf constante
Factoren, welche von der Wahl der Gr\"{o}ssen
$c_\alpha, c_{\alpha'},\ldots, c_{\gamma'}$
abh\"{a}ngen, v\"{o}llig bestimmt, wenn die Function~$P$
gegeben ist.  Die Functionen $P^\alpha$, $P^{\alpha'}$ gehen
durch einen positive Umlauf dieser Gr\"{o}sse um $0$ in
$P^\alpha e^{\alpha \, 2\pi i}$,
$P^{\alpha'} e^{\alpha' \, 2\pi i}$
\"{u}ber und ebenso durch einen positiven Umlauf dieser
Gr\"{o}sse um $\infty$ die Functionen
$P^\beta$, $P^{\beta'}$ in
$P^\beta e^{\beta \, 2\pi i}$,
$P^{\beta'} e^{\beta' \, 2\pi i}$
und durch einen positiven Umlauf um $1$ die Functionen
$P^\gamma$, $P^{\gamma'}$ in
$P^\gamma e^{\gamma \, 2\pi i}$,
$P^{\gamma'} e^{\gamma' \, 2\pi i}$.
Bezeichnet man den Werth, in welchem $P$ durch einen positiven
Umlauf von $x$ um $0$ \"{u}bergeht, durch $P'$, so ist, wenn
\[ P = c_\alpha P^\alpha + c_{\alpha'} P^{\alpha'},\quad
   P' = c_\alpha e^{\alpha \, 2 \pi i} P^\alpha
         + c_{\alpha'} e^{\alpha' \, 2 \pi i} P^{\alpha'}.\]
Diese Ausdr\"{u}cke haben eine von Null verschiedene
Determinante, da n.~V.\ $\alpha - \alpha'$ keine ganze Zahl ist,
und folglich k\"{o}nnen $P^\alpha$, $P^{\alpha'}$ auch umgekehrt
in $P$, $P'$ also auch in $P^\beta$, $P^{\beta'}$; $P^\gamma$,
$P^{\gamma'}$ line\"{a}r mit constanten Coefficienten
ausgedr\"{u}ckt werden.  Setzt man nun
\begin{eqnarray*}
P^\alpha
   &=&   \alpha_\beta   P^\beta  + \alpha_{\beta'}   P^{\beta'}
    =    \alpha_\gamma  P^\gamma + \alpha_{\gamma'}  P^{\gamma'},\\
P^{\alpha'}
   &=&   \alpha'_\beta  P^\beta  + \alpha'_{\beta'}  P^{\beta'}
    =    \alpha'_\gamma P^\gamma + \alpha'_{\gamma'} P^{\gamma'},
\end{eqnarray*}
und zur Abk\"{u}rzung
$\displaystyle
   \left\{ \begin{array}{cc}
      \alpha_\beta,   & \alpha_{\beta'}   \\
      \alpha'_\beta,  & \alpha'_{\beta'}
   \end{array} \right\} = (b)$,
$\displaystyle
   \left\{ \begin{array}{cc}
      \alpha_\gamma,  & \alpha_{\gamma'}  \\
      \alpha'_\gamma, & \alpha'_{\gamma'}
   \end{array} \right\} = (c)$
und die inversen Substitutionen von $(b)$ und $(c)$ bezw.
$= (b)^{-1}$ und $(c)^{-1}$, so ergeben sich f\"{u}r die
Functionen $(P^\alpha, P^{\alpha'})$ die Substitutionen
\[ (A) = \left\{ \begin{array}{cc}
         e^{\alpha \, 2 \pi i},  & 0 \\
         0, & e^{\alpha' \, 2 \pi i}
      \end{array} \right\},\quad
   (B) = (b)
      \left\{ \begin{array}{cc}
         e^{\beta  \, 2 \pi i},  & 0 \\
         0, & e^{\beta'  \, 2 \pi i}
      \end{array}  \right\} (b)^{-1},\]
\[ (C) = (c)
      \left\{ \begin{array}{cc}
         e^{\gamma \, 2 \pi i},  & 0 \\
         0, & e^{\gamma' \, 2 \pi i}
      \end{array} \right\} (c)^{-1}.\]
Aus der Gleichung
$\displaystyle (C) \, (B) \, (A)
   =  \left( \begin{array}{cc} 1, & 0  \\ 0, & 1 \end{array} \right)$
folgt nun zun\"{a}chst, da die Determinante einer
zusammengesetzten Substitution dem Producte aus den Determinanten
ihrer Componenten gleich ist,
\begin{eqnarray*}
1 &=& \mathrm{Det}(A) \, \mathrm{Det}(B) \, \mathrm{Det}(C) \\
  &=& e^{(\alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma') \, 2 \pi i}
      \mathrm{Det} (b) \, \mathrm{Det} (b)^{-1} \,
      \mathrm{Det} (c) \, \mathrm{Det} (c)^{-1}
\end{eqnarray*}
oder, da
$\mathrm{Det} (b) \, \mathrm{Det} (b)^{-1} = 1$,
$\mathrm{Det} (c) \, \mathrm{Det} (c)^{-1} = 1$,
\begin{equation}
   \alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma'
      = \mbox{einer ganzen Zahl},
\tag{2}
\end{equation}
womit die obige Annahme, dass diese Exponentensumme $= 1$ sei,
vereinbar ist.

Die \"{u}brigen drei in
$\displaystyle (C) \, (B) \, (A)
   =  \left( \begin{array}{cc} 1, & 0  \\ 0, & 1 \end{array} \right)$
enthaltenen Relationen geben drei Bedingungen f\"{u}r $(b)$ und
$(c)$, welche indess leichter auf folgendem Wege gefunden werden.

Wenn $x$ erst um $0$ und dann um $\infty$ negativ herumgeht, so
bildet der durchlaufene Weg zugleich einen positiven Umlauf
um~$1$.  Der Werth, in welchen $P^\alpha$ dadurch \"{u}bergeht,
ist daher
\[ =     \alpha_\gamma    e^{\gamma  \, 2 \pi i} P^\gamma
       + \alpha_{\gamma'} e^{\gamma' \, 2 \pi i} P^{\gamma'}
   =  (  \alpha_\beta     e^{-\beta  \, 2 \pi i} P^\beta
       + \alpha_{\beta'}  e^{-\beta' \, 2 \pi i} P^{\beta'} )
         e^{-\alpha \, 2 \pi i} \]

Multiplicirt man diese Gleichung mit einem willk\"{u}rlichen
Factor $e^{-\sigma \pi i}$ und die Gleichung
\[    \alpha_\gamma P^\gamma + \alpha_{\gamma'} P^{\gamma'}
   =  \alpha_\beta  P^\beta  + \alpha_{\beta'}  P^{\beta'} \]
mit $e^{\sigma \pi i}$ und subtrahirt, so ergiebt sich nach
Abwerfung eines allgemeinen Factors
\begin{eqnarray*}
   & &\alpha_\gamma    \sin (\sigma - \gamma) \pi
         \, e^{\gamma  \pi i} P^\gamma
    + \alpha_{\gamma'} \sin (\sigma - \gamma') \pi
         \, e^{\gamma' \pi i} P^{\gamma'} \\
   &=&\alpha_\beta     \sin (\sigma + \alpha  + \beta) \pi
         \, e^{-(\alpha  + \beta)   \pi i} P^\beta 
    + \alpha_{\beta'}  \sin (\sigma + \alpha  + \beta') \pi
         \, e^{-(\alpha  + \beta')  \pi i} P^{\beta'}
\end{eqnarray*}
Aus ganz \"{a}hnlichen Gr\"{u}nden hat man auch, wenn man
\"{u}berall $\alpha'$ f\"{u}r $\alpha$ setzt, die Gleichung
\begin{eqnarray*}
   & &\alpha'_\gamma    \sin (\sigma - \gamma) \pi
         \, e^{\gamma  \pi i} P^\gamma
    + \alpha'_{\gamma'} \sin (\sigma - \gamma') \pi
         \, e^{\gamma' \pi i} P^{\gamma'} \\
   &=&\alpha'_\beta     \sin (\sigma + \alpha' + \beta) \pi
         \, e^{-(\alpha' + \beta)   \pi i} P^\beta 
    + \alpha'_{\beta'}  \sin (\sigma + \alpha' + \beta') \pi
         \, e^{-(\alpha' + \beta')  \pi i} P^{\beta'}
\end{eqnarray*}
mit der willk\"{u}rlichen Gr\"{o}sse $\sigma$.  Befreit man beide
Gleichungen von einer der Functionen, z.~B.\ $P^{\gamma'}$, indem
man $\sigma$ demgem\"{a}ss bestimmt, so k\"{o}nnen sich die
resultirenden Gleichungen nur durch einen allgemeinen constanten
Factor unterscheiden, da
$\displaystyle \frac{P^\beta}{P^{\beta'}}$
nicht constant ist.  Diese Elimination von $P^{\gamma'}$ giebt
daher:
\begin{equation}
\frac{\alpha_\gamma}{\alpha'_\gamma}
   = \frac{
         \alpha_\beta     \sin (\alpha + \beta +\gamma') \pi
            \, e^{-\alpha  \pi i}}{
         \alpha'_\beta    \sin (\alpha' + \beta +\gamma') \pi
            \, e^{-\alpha' \pi i}}
   = \frac{
         \alpha_{\beta'}  \sin (\alpha + \beta' +\gamma') \pi
            \, e^{-\alpha  \pi i}}{
         \alpha'_{\beta'} \sin (\alpha' + \beta' +\gamma') \pi
            \, e^{-\alpha' \pi i}}
\tag{3}
\end{equation}
und die \"{a}hnliche Elimination von $P^\gamma$
\begin{equation}
\frac{\alpha_{\gamma'}}{\alpha'_{\gamma'}}
   = \frac{
         \alpha_\beta     \sin (\alpha + \beta +\gamma) \pi
            \, e^{-\alpha  \pi i}}{
         \alpha'_\beta    \sin (\alpha' + \beta +\gamma) \pi
            \, e^{-\alpha' \pi i}}
   = \frac{
         \alpha_{\beta'}  \sin (\alpha + \beta' +\gamma) \pi
            \, e^{-\alpha  \pi i}}{
         \alpha'_{\beta'} \sin (\alpha' + \beta' +\gamma) \pi
            \, e^{-\alpha' \pi i}},
\tag{3}
\end{equation}
welches die vier gesuchten Relationen sind.  Aus ihnen ergeben
sich die Verh\"{a}ltnisse der Quotienten
$\displaystyle\frac{\alpha_\beta}{\alpha'_\beta}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_{\beta'}}{\alpha'_{\beta'}}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_\gamma}{\alpha'_\gamma}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_{\gamma'}}{\alpha'_{\gamma'}}$.
Die Gleichheit der beiden aus der zweiten und vierten fliessenden
Werthe von
$\displaystyle\frac{\alpha_\beta}{\alpha'_\beta} :
              \frac{\alpha_{\beta'}}{\alpha'_{\beta'}}$,
erhellt leicht als eine Folge aus
$\alpha + \alpha' + \beta + \beta' + \gamma + \gamma' = 1$
mittelst der Identit\"{a}t
$\sin s\pi = \sin (1 - s) \pi$.

Demnach sind von den Gr\"{o}ssen
$\displaystyle\frac{\alpha_\beta}{\alpha'_\beta}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_{\beta'}}{\alpha'_{\beta'}}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_\gamma}{\alpha'_\gamma}$,
$\displaystyle\frac{\alpha_{\gamma'}}{\alpha'_{\gamma'}}$
durch eine von ihnen, z.~B.
$\displaystyle\frac{\alpha_\beta}{\alpha'_\beta}$,
die \"{u}brigen bestimmt und die drei Gr\"{o}ssen
$\alpha'_{\beta'}$, $\alpha'_\gamma$, $\alpha'_{\gamma'}$
durch die f\"{u}nf Gr\"{o}ssen
$\alpha_\beta$, $\alpha'_\beta$, $\alpha_{\beta'}$, $\alpha_\gamma$,
$\alpha_{\gamma'}$.
Diese f\"{u}nf Gr\"{o}ssen aber h\"{a}ngen von den in
$P^\alpha$, $P^{\alpha'}$, $P^\beta$, $P^{\beta'}$,
$P^\gamma$, $P^{\gamma'}$,
wenn die Function~$P$ gegeben ist, noch willk\"{u}rlichen
Factoren oder vielmehr von deren Verh\"{a}ltnissen ab, und
k\"{o}nnen durch geeignete Bestimmung derselben jedwede endliche
Werthe erhalten.

\medbreak

\centerline{4.}

\nobreak\medskip

Die soeben gemachte Bemerkung bahnt den Weg zu dem Satze, dass in
zwei P-Functionen mit gleichen Exponenten die denselben Exponenten
entsprechenden Bestandtheile sich nur durch einen constanten
Factor unterscheiden.

In der That, ist $P_1$ eine Function mit denselben Exponenten wie
$P$, so kann man die f\"{u}nf Gr\"{o}ssen
$\alpha_\beta$, $\alpha_{\beta'}$, $\alpha_\gamma$,
$\alpha_{\gamma'}$ und $\alpha'_\beta$ bei beiden gleich
annehmen und dann m\"{u}ssen auch die Gr\"{o}ssen
$\alpha'_{\beta'}$, $\alpha'_\gamma$, $\alpha'_{\gamma'}$ bei
beiden \"{u}bereinstimmen. Man hat also gleichzeitig:
\[ (P^\alpha, P^{\alpha'})
   = (b) \, (P^\beta, P^{\beta'})
   = (c) \, (P^\gamma, P^{\gamma'}) \]
und
\[ (P_1^\alpha, P_1^{\alpha'})
   = (b) \, (P_1^\beta, P_1^{\beta'})
   = (c) \, (P_1^\gamma, P_1^{\gamma'}) \]
folglich
\[ (P^\alpha P_1^{\alpha'} - P^{\alpha'} P_1^\alpha)
   = \mathrm{Det}(b)
      (P^\beta P_1^{\beta'} - P^{\beta'} P_1^\beta)
   = \mathrm{Det}(c)
      (P^\gamma P_1^{\gamma'} - P^{\gamma'} P_1^\gamma).\]
Von diesen drei Ausdr\"{u}cken bleibt der erste, mit
$x^{ - \alpha - \alpha'}$ multiplicirt, offenbar f\"{u}r $x = 0$
ein\"{a}ndrig und endlich; ebenso der zweite, mit
$x^{\beta + \beta'} = x^{- \alpha - \alpha' - \gamma - \gamma' + 1}$
multiplicirt, f\"{u}r $x = \infty$, der dritte, mit
$(1 - x)^{- \gamma - \gamma'}$ multiplicirt, f\"{u}r $x = 1$, und
dasselbe gilt von allen drei Ausdr\"{u}cken f\"{u}r alle von
$0$,~$\infty$,~$1$ verschiedenen Werthe von $x$; es ist daher
\[ (P^\alpha P_1^{\alpha'} - P^{\alpha'} P_1^\alpha)
      x^{- \alpha - \alpha'} (1 - x)^{- \gamma - \gamma'} \]
eine allenthalben stetig und ein\"{a}ndrige Function, also eine
Constante.  Sie ist ferner $= 0$ f\"{u}r $x = \infty$ und muss
folglich allenthalben $= 0$ sein.

Hieraus folgt
\begin{eqnarray*}
\frac{P_1^{\alpha'}}{P^{\alpha'}}
   &=& \frac{P_1^\alpha}{P^\alpha} \\
\frac{P_1^{\beta}}{P^\beta}
   &=& \frac{P_1^{\beta'}}{P^{\beta'}}
    =  \frac{
         \alpha_\beta P_1^\beta + \alpha_{\beta'} P_1^{\beta'}}{
         \alpha_\beta P^\beta + \alpha_{\beta'} P^{\beta'}}
    =  \frac{P_1^\alpha}{P^\alpha} \\
\frac{P_1^{\gamma}}{P^\gamma}
   &=& \frac{P_1^{\gamma'}}{P^{\gamma'}}
    =  \frac{
         \alpha_\gamma P_1^\gamma + \alpha_{\gamma'} P_1^{\gamma'}}{
         \alpha_\gamma P^\gamma + \alpha_{\gamma'} P^{\gamma'}}
    =  \frac{P_1^\alpha}{P^\alpha}.
\end{eqnarray*}

Die Function
$\displaystyle \frac{P_1^\alpha}{P^\alpha}$
ist demnach einwerthig und muss \"{u}berdies allenthalben
endlich, also, w.~z.~b.\ ist, constant sein, wenn noch bewiesen
wird, dass $P^\alpha$ und $P^{\alpha'}$ nicht zugleich f\"{u}r
einen von $0$,~$1$,~$\infty$ verschiedenen Werth von $x$
verschwinden k\"{o}nnen.

Zu diesem Ende bemerke man, dass
\begin{eqnarray*}
            P^\alpha \frac{dP^{\alpha'}}{dx}
          - P^{\alpha'} \frac{dP^\alpha}{dx}
   &=& \mathrm{Det} (b)
         \left(
            P^\beta \frac{dP^{\beta'}}{dx}
          - P^{\beta'} \frac{dP^\beta}{dx}
         \right) \\
   &=& \mathrm{Det} (c)
         \left(
            P^\gamma \frac{dP^{\gamma'}}{dx}
          - P^{\gamma'} \frac{dP^\gamma}{dx}
         \right),
\end{eqnarray*}
und folglich f\"{u}r $x = 0$,~$\infty$,~$1$ unendlich klein von
dem Ordnungen
$\alpha + \alpha' - 1$,
$\beta + \beta' + 1 = 2 - \alpha - \alpha' - \gamma - \gamma'$,
$\gamma + \gamma' - 1$ wird, \"{u}brigens aber stetig und
ein\"{a}ndrig bliebt, so dass
\[ \left(
      P^\alpha \frac{dP^{\alpha'}}{dx}
    - P^{\alpha'} \frac{dP^\alpha}{dx}
   \right)
      x^{- \alpha - \alpha' + 1} (1 - x)^{- \gamma - \gamma' + 1} \]
eine allenthalben stetige und ein\"{a}ndrige Function bildet,
folglich einen constanten Werth hat.  Dieser constante Werth
dieser Function ist nothwendig von Null verschieden, weil sonst
$\log P^\alpha - \log P^{\alpha'} = $ const., folglich
$\alpha = \alpha'$ sein w\"{u}rde gegen die Voraussetzung;
offenbar m\"{u}sste sie gleich Null werden, wenn f\"{u}r einen
von $0$, $1$, $\infty$ verschiedenen Werth von $x$ $P^\alpha$ und
$P^{\alpha'}$ gleichzeitig verschw\"{a}nden, da
$\displaystyle\frac{dP^\alpha}{dx}$
$\displaystyle\frac{dP^{\alpha'}}{dx}$
als Derivirte ein\"{a}ndrig und stetig bleibender Functionen
nicht unendlich werden k\"{o}nnen.

Es werden daher $P^\alpha$ und $P^{\alpha'}$ f\"{u}r keinen von
$0$, $1$, $\infty$ verschiedenen Werth von $x$ gleichzeitig
$= 0$, und es bleibt die einwerthige Function
\[    \frac{P_1^\alpha}{P^\alpha}
    = \frac{P_1^{\alpha'}}{P^{\alpha'}}
    = \frac{P_1^\beta}{P^\beta}
    = \frac{P_1^{\beta'}}{P^{\beta'}}
    = \frac{P_1^\gamma}{P^\gamma}
    = \frac{P_1^{\gamma'}}{P^{\gamma'}} \]
allenthalben endlich, mithin constant, w.~z.~b.~w.

Aus dem eben bewiesenen Satze folgt, dass in zwei Zweige Einer
P-Function, deren Quotient nicht constant ist, jede andere
P-function mit gleichen Exponenten sich line\"{a}r mit constanten
Coefficienten ausdr\"{u}cken l\"{a}sst und dass durch die Art.~1
geforderten Eigenschaften die zu definirende Function bis auf
zwei line\"{a}r in ihr enthaltene Constanten v\"{o}llig bestimmt
ist.  Diese werden in jedem Falle leicht aus den Werthen der
Function f\"{u}r specielle Werthe der Ver\"{a}nderlichen
gefunden, am bequemsten, indem man die Ver\"{a}nderliche einem
der Verzweigungswerthe gleich setzt.

Ob es immer eine jenen Bedingungen gen\"{u}gende Function gebe,
bleibt freilich noch unentschieden, wird sich aber sp\"{a}ter
durch die wirkliche Darstellung der Function mittelst bestimmter
Integrale und hypergeometrischer Reihen erledigen und bedarf
daher keiner besondern Untersuchung.

\medbreak

\centerline{5.}

\nobreak\medskip

Ausser den f\"{u}r jedwede Werthe der Exponenten m\"{o}glichen
Transformationen des Art.~2 ergeben sich aus der Definition noch
leicht die beiden Transformationen:
\begin{equation}
   P \left\{ \begin{array}{cccc}
   0       & \infty  & 1       &   \\
   0       & \beta   & \gamma  & x \\
   {\textstyle\frac{1}{2}}
           & \beta'  & \gamma' &
   \end{array} \right\}
   = P \left\{ \begin{array}{cccc}
   -1      & \infty  & 1       &   \\
   \gamma  & 2\beta  & \gamma  & \surd x \\
   \gamma' & 2\beta' & \gamma' &
   \end{array} \right\}
\tag{A}
\end{equation}
wo nach dem Fr\"{u}heren
$\beta + \beta' + \gamma + \gamma' = {\textstyle\frac{1}{2}}$
sein muss, und
\begin{equation}
   P \left\{ \begin{array}{cccc}
   0       & \infty  & 1       &   \\
   0       & 0       & \gamma  & x \\
   {\textstyle\frac{1}{3}} &
   {\textstyle\frac{1}{3}} &
                       \gamma' &
   \end{array} \right\}
   = P \left\{ \begin{array}{cccc}
   1       & \varrho & \varrho^2 & \\
   \gamma  & \gamma  & \gamma  & \root 3 \of x \\
   \gamma' & \gamma' & \gamma' &
   \end{array} \right\},
\tag{B}
\end{equation}
wo $\gamma + \gamma' = {\textstyle \frac{1}{3}}$ und $\varrho$
eine imagin\"{a}re dritte Wurzel der Einheit bezeichnet.  Um
s\"{a}mmtliche Functionen, welche sich mit H\"{u}lfe dieser
Transformationen auf einander zur\"{u}ckf\"{u}hren lassen, bequem
zu \"{u}bersehen, ist es zweckm\"{a}ssig, statt der Exponenten
ihre Differenzen einzuf\"{u}hren und, wie oben vorgeschlagen,
durch $P(\alpha - \alpha', \beta - \beta', \gamma - \gamma', x)$
s\"{a}mmtliche in der Form
$  x^\delta (1 - x)^\varepsilon
   P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$
enthaltenen Functionen zu bezeichnen, wobei
$\alpha - \alpha'$, $\beta - \beta'$, $\gamma - \gamma'$
die erste, zweite, dritte Exponentendifferenz genannt werden mag.

Aus den Formeln im Art.~2 folgt dann, dass in der Function
$P(\lambda, \mu, \nu, x)$
die Gr\"{o}ssen $\lambda$, $\mu$, $\nu$ beliebig in's
Entgegengesetzte verwandelt und beliebig unter einander vertauscht
werden k\"{o}nnen. Die Ver\"{a}nderliche nimmt dabei einen der 6
Werthe
\[ x,\quad 1 - x,\quad \frac{1}{x},\quad 1 - \frac{1}{x},\quad
   \frac{1}{1 - x},\quad \frac{x}{x - 1} \]
an, und zwar haben von den 48 auf diese Weise sich ergebenden
P-functionen je \emph{acht}, welche durch blosse
Zeichen\"{a}nderung der Gr\"{o}ssen $\lambda$, $\mu$, $\nu$
aus einander hervorgehen, dieselbe Ver\"{a}nderliche.

Von den in diesem Art.\ angegebenen Transformationen A und B ist
die erste anwendbar, wenn von den Exponentendifferenzen entweder
eine gleich $\frac{1}{2}$ oder zwei einander gleich sind, die
zweite, wenn von ihnen entweder zwei $= \frac{1}{3}$ oder alle
drei einander gleich sind.  Durch successive Anwendung dieser
Transformationen erh\"{a}lt man daher durch einander
ausgedr\"{u}ckt:
\begin{description}
\item[\textmd{I.}]
\[ P(\mu, \nu, {\textstyle\frac{1}{2}}, x_2),\quad
   P(\mu, 2\nu, \mu, x_1) \quad\mbox{und}\quad
   P(\nu, 2\mu, \nu, x_3),\]
wobei $\surd (1 - x_2) = 1 - 2 x_1$,
$\displaystyle \surd \left( 1 - \frac{1}{x_2} \right) = 1 - 2 x_3$,
also
\[ x_2 = 4 x_1 (1 - x_1) = \frac{1}{4 x_3 (1 - x_3)}
   \mbox{ sich ergiebt}.\]
\item[\textmd{II.}]
\[ P(\nu, \nu, \nu, x_3),\quad
   P \left( \nu, \frac{\nu}{2}, {\textstyle\frac{1}{2}}, x_2 \right),\quad
   P \left( \frac{\nu}{2}, 2\nu, \frac{\nu}{2}, x_1 \right),\]
\[ P( {\textstyle \frac{1}{3}}, \nu, {\textstyle \frac{1}{3}}, x_4),\quad
   P \left( {\textstyle \frac{1}{3}}, \frac{\nu}{2},
            {\textstyle \frac{1}{2}}, x_5 \right),\quad
   P \left( \frac{\nu}{2}, {\textstyle \frac{2}{3}},  \frac{\nu}{2},
            x_6 \right),\]
wenn
$\displaystyle 1 - \frac{1}{x_4}
   = \left( \frac{x_3 + \varrho}{x_3 + \varrho^2} \right)^3$
und folglich
$\displaystyle \frac{1}{x_4}
   = \frac{3 (\varrho - \varrho^2) x_3 (1 - x_3)}{(\varrho^2 + x_3)^3}$,
$\displaystyle x_4 (1 - x_4)
   = \frac{(\varrho + x_3)^3 (\varrho^2 + x_3)^3}{
         27 x_3^2 (1 - x_3)^2}
   = \frac{(1 - x_3 (1 - x_3))^3}{27 x_3^2 (1 - x_3)^2}$;
ferner nach I.
\[ 4 x_4 (1 - x_4) = x_5 = \frac{1}{4 x_6 (1 - x_6)},\quad
   4 x_3 (1 - x_3) = x_2 = \frac{1}{4 x_1 (1 - x_1)}.\]
\item[\textmd{III.}]
\[ P(\nu, \nu, {\textstyle\frac{1}{2}}, x_2),\quad
   P(\nu, 2\nu, \nu, x_1),\]
\[ P({\textstyle\frac{1}{4}}, \nu,  {\textstyle\frac{1}{2}}, x_3),\quad
   P({\textstyle\frac{1}{4}}, 2\nu, {\textstyle\frac{1}{4}}, x_4),\]
wenn
$\displaystyle x_3
   = {\textstyle\frac{1}{4}} \left( 2 - x_2 - \frac{1}{x_2} \right)
   = 4 x_4 (1 - x_4)$,
$x_2 = 4 x_1 (1 - x_1)$.
\end{description}
Alle diese Function k\"{o}nnen noch mittelst der allgemeinen
Transformationen umgeformt und dadurch ihre Exponentendifferenzen
beliebig vertauscht und mit beliebigen Vorzeichen versehen
werden.  Ausser den beiden Transcendenten II.\ und
III.\ l\"{a}sst, wenn eine Exponentendifferenz willk\"{u}rlich
bleiben soll, nur noch die Function
$P(\nu, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ) = P(\nu, 1, \nu)$
eine h\"{a}ufigere Wiederholung der Transformationen A und B zu,
welche indess, da
\[ P \left( \begin{array}{ccc}
   0       & 0       & 0       \\
   \nu     & - \nu   & 1
   \end{array} x \right)
   = \mbox{const.} x^\nu + \mbox{const.}',\]
auf ganz elementare Formeln f\"{u}hrt.

In der That ist die Transformation~B nur anwendbar auf
$P(\nu,\nu,\nu)$ oder $P(\frac{1}{3}, \nu, \frac{1}{3})$, also nur
auf die Transcendente II.; die Transformation A aber l\"{a}sst
sich h\"{a}ufiger als in I.\ nur wiederholen, wenn entweder von
den Gr\"{o}ssen $\mu$, $\nu$ $2\mu$, $2\nu$ eine gleich
$\frac{1}{2}$ gesetzt oder eine der Gleichunge $\mu = \nu$,
$\mu = 2 \nu$, $\nu = 2 \mu$ angenommen wird.  Von diesen
Annahmen f\"{u}hrt $\mu = 2 \nu$ oder $\nu = 2 \mu$ auf die
Transcendente II., $\mu = \nu$, sowie $2\mu$ oder
$2\nu = \frac{1}{2}$ auf die Transcendente III., endlich $\mu$
oder $\nu = \frac{1}{2}$ auf die Function
$P(\nu, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Die Anzahl der verschiedenen Ausdr\"{u}cke, welche man durch
diese Transformationen f\"{u}r jede der Transcendenten
I--III.\ erh\"{a}lt, ergiebt sich, wenn man ber\"{u}cksichtigt,
dass in den obigen P-functionen als Ver\"{a}nderliche alle
Wurzeln der Gleichungen, durch welche sie bestimmt werden,
zul\"{a}ssig sind und jede Wurzel zu einem Systeme von 6~Werthen
geh\"{o}rt, welche mittelst der allgemeinen Transformation
f\"{u}r einander als Ver\"{a}nderliche eingef\"{u}hrt werden
k\"{o}nnen.

Es f\"{u}hren aber im Falle~I. die beiden Werthe von $x_1$ und
$x_3$, welche zu einem gegebenen $x_2$ geh\"{o}ren, auf dasselbe
System von 6~Werthen, so dass jede der Functionen~I.\ durch
P-functionen mit $6 \mathbin{.} 3 = 18$ verschiedenen
Ver\"{a}nderlichen ausgedr\"{u}ckt werden kann.

Im Falle~II.\ f\"{u}hren von den zu einem gegebenen Werthe von
$x_5$ geh\"{o}rigen Werthen die beiden Werthe von $x_6$ und
$x_4$, die 6~Werthe von $x_3$ und von den 6~Werthen von $x_1$ je
zwei zu demselben Systeme von 6~Werthen, w\"{a}hrend die drei
Werthe von $x_2$ zu drei verschiedenen Systemem von je 6~Werthen
f\"{u}hren.  Es liefern also $x_1$ und $x_2$ je drei und
$x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$ je ein System von 6~Werthen, also alle
zusammen $6 \mathbin{.} 10 = 60$ Werthe, durch deren P-functionen
sich jede der Functionen~II. ausdr\"{u}cken l\"{a}sst.

Im Falle~III.\ endlich liefern $x_3$, die beiden Werthe von
$x_2$, die beiden Werthe von $x_4$, und von den vier Werthen von
$x_1$ je zwei ein System von 6~Werthen, so dass jede der
Functionen~III.\ durch P-functionen von $6 \mathbin{.} 5 = 30$
verschiedenen Ver\"{a}nderlichen darstellbar ist.

In jeder P-function k\"{o}nnen nun ohne Aenderung der
Ver\"{a}nderlichen mittelst der allgemeinen Transformationen der
Exponentendifferenzen beliebige Vorzeichen erhalten, und also
kann, da keine dieser Exponentendifferenzen $= 0$ ist, eine und
dieselbe Function auf 8 verschiedene Arten als P-function
derselben Ver\"{a}nderlichen dargestellt werden.  Die Anzahl
s\"{a}mmtliche Ausdr\"{u}cke betr\"{a}gt also
im Falle~I.\ $8 \mathbin{.} 6 \mathbin{.} 3 = 144$,
im Falle~II.\ $8 \mathbin{.} 6 \mathbin{.} 10 = 480$,
im Falle~III.\ $8 \mathbin{.} 6 \mathbin{.} 5 = 240$.

\medbreak

\centerline{6.}

\nobreak\medskip

Wenn man s\"{a}mmtliche Exponenten einer P-function um ganze
Zahlen \"{a}ndert, so bleiben in den Gleichungen (3) Art.\ 3 die
Gr\"{o}ssen
\[ \frac{
      \sin (\alpha  + \beta  + \gamma') \pi
         \, e^{- \alpha  \pi i}}{
      \sin (\alpha' + \beta  + \gamma') \pi
         \, e^{- \alpha' \pi i}},\quad
   \frac{
      \sin (\alpha  + \beta' + \gamma') \pi
         \, e^{- \alpha  \pi i}}{
      \sin (\alpha' + \beta' + \gamma') \pi
         \, e^{- \alpha' \pi i}},\]
\[ \frac{
      \sin (\alpha  + \beta  + \gamma ) \pi
         \, e^{- \alpha  \pi i}}{
      \sin (\alpha' + \beta  + \gamma ) \pi
         \, e^{- \alpha' \pi i}},\quad
   \frac{
      \sin (\alpha  + \beta' + \gamma ) \pi
         \, e^{- \alpha  \pi i}}{
      \sin (\alpha' + \beta' + \gamma ) \pi
         \, e^{- \alpha' \pi i}},\]
unge\"{a}ndert.

Sind daher in den Functionen
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$,
$P_1 \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha_1  & \beta_1   & \gamma_1  \\
   \alpha_1' & \beta_1'  & \gamma_1'
   \end{array} x \right)$
die entsprechenden Exponenten $\alpha_1$ und $\alpha$, etc., um
ganze Zahlen verschieden, so kann man die acht Gr\"{o}ssen
$(\alpha_\beta)_1$, $(\alpha'_\beta)_1$, $(\alpha_{\beta'})_1,\ldots$
den acht Gr\"{o}ssen
$\alpha_\beta$, $\alpha'_\beta$, $\alpha_{\beta'},\ldots$
gleich annehmen, da aus der Gleichheit der f\"{u}nf
willk\"{u}rlichen die Gleichheit der drei \"{u}brigen folgt.

Nach der im Art.~4 angewandten Schlussweise folgt hieraus:
\[ (P^\alpha P_1^{\alpha_1'} - P^{\alpha'} P_1^{\alpha_1})
   = \mathrm{Det}(b)
      (P^\beta P_1^{\beta_1'} - P^{\beta'} P_1^{\beta_1})
   = \mathrm{Det}(c)
      (P^\gamma P_1^{\gamma_1'} - P^{\gamma'} P_1^{\gamma_1});\]
und wenn man von den Gr\"{o}ssen $\alpha + \alpha_1'$ und
$\alpha_1 + \alpha'$, $\beta + \beta_1'$ und $\beta_1 + \beta'$,
$\gamma + \gamma_1'$ und $\gamma_1 + \gamma'$ diejenigen
Gr\"{o}ssen jedes Paars, welche um eine \emph{positive} ganze
Zahl kleiner sind, als die andern, durch $\overline{\alpha}$,
$\overline{\beta}$, $\overline{\gamma}$ bezeichnet, so ist
\[ (P^\alpha P_1^{\alpha_1'} - P^{\alpha'} P_1^{\alpha_1})
      x^{- \overline{\alpha}} (1 - x)^{- \overline{\gamma}} \]
eine Function von $x$, welche ein\"{a}ndrig und endlich bleibt
f\"{u}r $x = 0$, $x = 1$ und alle \"{u}brigen endlichen Werthe
von $x$, f\"{u}r $x = \infty$ aber unendlich wird von der Ordnung
$- \overline{\alpha} - \overline{\gamma} - \overline{\beta}$,
folglich eine ganze Function~$F$ vom Grade
$- \overline{\alpha} - \overline{\beta} - \overline{\gamma}$.

Man bezeichne nun, wie fr\"{u}her, die Exponentendifferenzen
$\alpha - \alpha'$, $\beta - \beta'$, $\gamma - \gamma'$
durch $\lambda$, $\mu$, $\nu$.  In Betreff dieser ergiebt sich
zun\"{a}chst: ihre Summe \"{a}ndert sich um eine gerade Zahl,
wenn sich s\"{a}mmtliche Exponenten um ganze Zahlen \"{a}ndern;
denn sie \"{u}bertrifft die Summe s\"{a}mmtlicher Exponenten,
welche unver\"{a}ndert $= 1$ bleibt, um
\[ - 2 (\alpha' + \beta' + \gamma'),\]
welche Gr\"{o}sse sich dabei um eine gerade Zahl \"{a}ndert.  Sie
k\"{o}nnen sich aber dabei um jedwede ganze Zahlen \"{a}ndern,
deren Summe gerade ist.  Bezeichnet man ferner
$\alpha_1 - \alpha_1'$, $\beta_1 - \beta_1'$, $\gamma_1 - \gamma_1'$,
durch $\lambda_1$, $\mu_1$, $\nu_1$ und durch
$\Delta \lambda$, $\Delta \mu$, $\Delta \nu$
die absoluten Werthe der Differenzen
$\lambda - \lambda_1$, $\mu - \mu_1$, $\nu - \nu_1$,
so ist von den Gr\"{o}ssen $\alpha + \alpha_1'$ und
$\alpha' + \alpha_1$ diejenige, welche um die positive Zahl
$\Delta \lambda$ kleiner ist als die andere
\[ = \frac{\alpha + \alpha_1' + \alpha' + \alpha_1}{2}
      - \frac{\Delta \lambda}{2},\]
also
\begin{eqnarray*}
- \overline{\alpha}
   &=& \frac{\Delta \lambda}{2}
          - \frac{\alpha + \alpha_1' + \alpha' + \alpha_1}{2}
               \mbox{ und ebenso} \\
- \overline{\beta}
   &=& \frac{\Delta \mu}{2}
          - \frac{\beta  + \beta_1'  + \beta'  + \beta_1 }{2} \\
- \overline{\gamma}
   &=& \frac{\Delta \nu}{2}
          - \frac{\gamma + \gamma_1' + \gamma' + \gamma_1}{2}.
\end{eqnarray*}
Der Grad der ganzen Function~$F$, welcher gleich der Summe dieser
Gr\"{o}ssen ist, ergiebt sich daher
\[ = \frac{\Delta \lambda + \Delta \mu + \Delta \nu}{2} - 1.\]

\medbreak

\centerline{7.}

\nobreak\medskip

Sind jetzt
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$,
$P_1 \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha_1  & \beta_1   & \gamma_1  \\
   \alpha_1' & \beta_1'  & \gamma_1'
   \end{array} x \right)$,
$P_2 \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha_2  & \beta_2   & \gamma_2  \\
   \alpha_2' & \beta_2'  & \gamma_2'
   \end{array} x \right)$
drei Functionen, in welchen sich die entsprechenden Exponenten um
ganze Zahlen unterscheiden, so fliesst aus diesem Satze mittelst
der identischen Gleichung
\[ \begin{array}{c}
      P^\alpha
         (P_1^{\alpha_1} P_2^{\alpha_2'} - P_1^{\alpha_1'} P_2^{\alpha_2})
    + P_1^{\alpha_1}
         (P_2^{\alpha_2} P^{\alpha'}     - P_2^{\alpha_2'} P^{\alpha}) \\
    + P_2^{\alpha_2}
         (P^{\alpha}     P_1^{\alpha_1'} - P^{\alpha'}     P_1^{\alpha_1})
      = 0
\end{array} \]
die wichtige Satz, das zwischen ihren entsprechende Gliedern eine
line\"{a}re homogene Gleichung stattfindet, deren Coefficienten
ganze Functionen von $x$ sind, und dass also
\begin{quote}
\glqq s\"{a}mmtliche P-functionen, deren entsprechende Exponenten
sich um ganze Zahlen unterscheiden, sich in zwei beliebige von
ihnen line\"{a}r mit rationalen Functionen von $x$ als
Coefficienten ausdr\"{u}cken lassen\grqq.
\end{quote}

Eine specielle Folge aus den Beweisgr\"{u}nden dieses Satzes ist,
dass sich die zweite Differentialquotient einer P-function
line\"{a}r mit rationalen Functionen als Coefficienten in den
ersten und die Function selbst ausdr\"{u}cken l\"{a}sst, und also
die Function einer line\"{a}ren homogenen Differentialgleichung
zweiter Ordnung gen\"{u}gt.

Beschr\"{a}nkt man sich, um ihre Ableitung m\"{o}glichst zu
vereinfachen, auf den Fall $\gamma = 0$, auf welchen der
allgemeine nach Art.~2 leicht zur\"{u}ckgef\"{u}hrt wird, und
setzt
$P = y$, $P^\alpha = y'$, $P^{\alpha'} = y''$, so ergiebt sich,
dass die Functionen
\[ y' \frac{dy''}{d \log x} - y'' \frac{dy'}{d \log x},\]
\[ \frac{d^2 y'}{d \log x^2} y'' - \frac{d^2 y''}{d \log x^2} y',\]
\[ \frac{dy'}{d \log x} \frac{d^2 y''}{d \log x^2}
    - \frac{dy''}{d \log x} \frac{d^2 y'}{d \log x^2} \]
mit
$x^{- \alpha - \alpha'} (1 - x)^{- \gamma' + 2}$
multiplicirt, endlich und ein\"{a}ndrig bleiben f\"{u}r endliche
Werthe von $x$ und unendlich von der ersten Ordnung werden
f\"{u}r $x = \infty$, und dass \"{u}berdies das erste dieser
Producte f\"{u}r $x = 1$ unendlich klein von der ersten Ordnung
wird.  F\"{u}r
\[ y = \mbox{const.}' y' + \mbox{const.}'' y'' \]
findet daher eine Gleichung von der Form statt
\[ (1 - x) \frac{d^2 y}{d \log x^2}
   - (A + Bx) \frac{dy}{d \log x}
   + (A' - B' x) y = 0,\]
in welcher $A$, $B$, $A'$, $B'$, noch zu bestimmende Constanten
bezeichnen.

Nach der Methode der unbestimmten Coefficienten l\"{a}sst sich
eine L\"{o}sung dieser Differentialgleichung nach um~$1$
steigenden oder fallenden Potenzen in eine Reihe $\sum a_n x^n$
entwickeln, und zwar wird der Exponent $\mu$ des Anfangsgliedes
im ersten Falle, wo er der niedrigste ist, durch die Gleichung
\[ \mu \mu - A \mu + A' = 0,\]
und im zweiten, wo er der h\"{o}chste ist, durch die Gleichung
\[ \mu \mu + B \mu + B' = 0,\]
bestimmt.  Die Wurzeln der ersteren Gleichung m\"{u}ssen $\alpha$
und $\alpha'$, die der letztern $- \beta$ und $-\beta'$ sein und
folglich ist
\[ A = \alpha + \alpha',\quad A' = \alpha \alpha',\]
\[ B = \beta  + \beta', \quad B' = \beta  \beta', \]
und es gen\"{u}gt die Function
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & 0       \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right) = y$
der Differentialgleichung
\[ (1 - x) \frac{d^2 y}{d \log x^2}
   - ( \alpha + \alpha' + (\beta + \beta') x )
         \frac{dy}{d \log x}
   + (\alpha \alpha' - \beta \beta' x) y = 0.\]

Es bestimmen sich ferner die Coefficienten aus einem von ihnen
mittelst der Recursionsformel
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}
   = \frac{(n + \beta)(n + \beta')}{
         (n + 1 - \alpha)(n + 1 - \alpha')},\]
welcher
\[ a_n = \frac{\mbox{Const.}}{
            \prod (n - \alpha) \, \prod (n - \alpha') \,
            \prod (-n - \beta) \, \prod (-n - \beta')} \]
gen\"{u}gt.

Demnach bildet die Reihe
\[ y = \mbox{Const.} \sum \frac{x^n}{
            \prod (n - \alpha) \, \prod (n - \alpha') \,
            \prod (-n - \beta) \, \prod (-n - \beta')},\]
sowohl wenn die Exponenten von $\alpha$ oder $\alpha'$ an um die
Einheit steigen, als auch wenn sie von $-\beta$ oder $-\beta'$ an
um die Einheit fallen, eine L\"{o}sung der Differentialgleichung
und zwar bezw.\ diejenigen particularen L\"{o}sungen, welche oben
durch $P^\alpha$, $P^{\alpha'}$, $P^\beta$, $P^{\beta'}$
bezeichnet worden sind.

Nach \emph{Gauss}, welcher durch $F(a,b,c,x)$ eine Reihe
bezeichnet, in welche der Quotient das ${(n + 1)}\,$\-ten Gliedes
in das folgende
\[ = \frac{(n + a) (n + b)}{(n + 1) (n + c)} x \]
und das erste Glied $= 1$ ist, l\"{a}sst sich dieses Resultat
f\"{u}r den einfachsten Fall, f\"{u}r $\alpha = 0$, so
ausdr\"{u}cken
\[ P^\alpha \left( \begin{array}{ccc}
   0       & \beta   & 0       \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)
  = \mbox{Const.} \, F(\beta, \beta', 1 - \alpha', x) \]
oder
\[ F(a,b,c,x)
   = P^\alpha \left( \begin{array}{ccc}
   0       & a       & 0       \\
   1 - c   & b       & c - a - b
   \end{array} x \right).\]

Aus demselben erh\"{a}lt man auch leicht einen Ausdruck der
P-function durch eine bestimmtes Integral, indem man in dem
allgemeinen Gliede der Reihe f\"{u}r die $\Pi$-functionen ein
\emph{Euler}'sches Integral zweiter Gattung einf\"{u}hrt und
dann die Ordnung der Summation und Integration vertauscht.  Auf
diese Weise findet man, dass das Integral
\[ x^\alpha (1 - x)^\gamma
      \int s^{- \alpha' - \beta' - \gamma'}
         (1 - s)^{- \alpha' - \beta - \gamma}
         (1 - xs)^{- \alpha - \beta' - \gamma} \, ds \]
von einem der vier Werthe
$0$,~$1$,~$\displaystyle\frac{1}{x}$,~$\infty$ bis zu einem
dieser vier Werthe auf beliebigem Wege erstreckt eine Function
$P \left( \begin{array}{ccc}
   \alpha  & \beta   & \gamma  \\
   \alpha' & \beta'  & \gamma'
   \end{array} x \right)$,
bildet und bei passender Wahl dieser Grenzwerthe und des Weges
von einem zum andern jede der sechs Functionen
$P^\alpha, P^\beta,\ldots, P^{\gamma'}$
darstellt.  Es l\"{a}sst sich aber auch direct zeigen, dass das
Integral die charakteristischen Eigenschaften einer solchen
Function besitzt.  Es wird dies in der Folge geschehen, wo dieser
Ausdruck der P-function durch ein bestimmtes Integral zur
Bestimmung der in $P^\alpha, P^{\alpha'},\ldots$ noch
willk\"{u}rlich gebliebenen Factoren benutzt werden soll; und ich
bemerke hier nur noch, dass es, um diesen Ausdruck allgemein
anwendbar zu machen, einer Modification des Weges der Integration
bedarf, wenn die Function unter dem Integralzeichen f\"{u}r einen
der Werthe
$0$,~$1$,~$\displaystyle\frac{1}{x}$,~$\infty$ so unendlich wird,
dass sie die Integration bis an denselben nicht zul\"{a}sst.

\medbreak

\centerline{8.}

\nobreak\medskip

Zufolge der im Art.~2 und dem vorigen erhaltenen Gleichungen
\begin{eqnarray*}
      P^\alpha \left( \begin{array}{ccc}
      \alpha  & \beta   & \gamma  \\
      \alpha' & \beta'  & \gamma'
      \end{array} x \right)
   &=& x^\alpha (1 - x)^\gamma
      P^\alpha \left( \begin{array}{ccc}
      0                & \beta  + \alpha + \gamma  & 0  \\
      \alpha' - \alpha & \beta' + \alpha + \gamma  & \gamma' - \gamma
      \end{array} x \right) \\
   & & \hspace{-72pt} =
       \mbox{Const.} x^\alpha (1 - x)^\gamma
         F( \beta + \alpha + \gamma, \beta' + \alpha + \gamma,
            \alpha - \alpha' + 1, x )
\end{eqnarray*}
fliesst aus jedem Ausdrucke einer Function durch eine P-function
eine Entwicklung derselben in eine hypergeometrische Reihe,
welche nach steigenden Potenzen der Ver\"{a}nderlichen in dieser
P-function fortschreitet. Nach Art.~5 giebt es 8~Darstellungen
einer Function durch P-functionen mit derselben
Ver\"{a}nderlichen, welche durch Vertauschung
zusammengeh\"{o}riger Exponenten aus einander erhalten werden,
also z.~B.\ 8~Darstellungen mit der Ver\"{a}nderlichen~$x$.  Von
diesen liefern aber je zwei, welche durch Vertauschung ihres
zweiten Paares, $\beta$ und $\beta'$ aus einander entstehen,
dieselbe Entwicklung; man erh\"{a}lt also vier Entwicklungen nach
steigenden Potenzen von $x$, von denen zwei, welche durch
Vertauschung von $\gamma$ und $\gamma'$ aus einander erhalten
werden, die Function $P^\alpha$, die beiden andern die Function
$P^{\alpha'}$ darstellen.  Diese vier Entwicklungen convergiren,
so lange der Modul von $x < 1$, und divergiren, wenn er
gr\"{o}sser als $1$ ist, w\"{a}hrend die vier Reihen nach
fallenden Potenzen von $x$, welche $P^\beta$ und $P^{\beta'}$
darstellen, sich umgekehrt verhalten.  F\"{u}r den Fall, wenn der
Modul von $x$ gleich $1$ ist, folgt aus der
\emph{Fourier}'schen Reihe, dass die Reihen zu convergiren
aufh\"{o}ren, wenn die Function f\"{u}r $x = 1$ unendlich von
einer h\"{o}hern Ordnung als der ersten wird, aber convergent
bleiben, wenn sie nur unendlich von einer niedrigern Ordnung
als~$1$ wird oder endlich bleibt.  Es convergirt also auch in
diesem Falle nur die H\"{a}lfte der 8~Entwicklungen nach Potenzen
von~$x$, so lange der reelle Theil von $\gamma' - \gamma$ nicht
zwischen $-1$ und $+1$ liegt, und sie convergiren s\"{a}mmtlich,
sobald dieses stattfindet.

Demnach hat man zur Darstellung einer P-function in Allgemeinen
24 verschiedene hypergeometrische Reihen, welche nach steigenden
oder fallenden Potenzen von drei verschiedenen Gr\"{o}ssen
fortschreiten, und von denen f\"{u}r einen gegebenen Werth von
$x$ jedenfalls die H\"{a}lfte, also zw\"{o}lf convergiren.  Im
Falle~I.\ Art.~5 sind alle diese Anzahlen mit 3, Im
Falle~II.\ mit 10, im Falle~III.\ mit 5 zu multipiciren.  Am
geeignetsten zur numerischen Rechnung werden von diesen Reihen
meistens diejenigen sein, deren viertes Element den kleinsten
Modul hat.

Was die Ausdr\"{u}cke einer P-function durch bestimmte Integrale
betrifft, die sich durch die am Schlusse des vorigen Art.\ aus
den Transformationen des Art.~5 ableiten lassen, so sind diese
Ausdr\"{u}cke s\"{a}mmtlich von einander verschieden.  Man
erh\"{a}lt also im Allgemeinen 48, im Falle~I.\ 144, im
Falle~II.\ 480, im Falle~III.\ 240 bestimmte Integrale, welche
dasselbe Glied einer P-function darstellen und also zu einander
ein von $x$ unabh\"{a}ngiges Verh\"{a}ltniss haben.  Von diesen
lassen sich je 24, welche durch eine gerade Anzahl von
Vertauschungen der Exponenten aus einander hervorgehen, auch in
einander transformiren durch eine solche Substitution ersten
Grades, dass f\"{u}r irgend drei von den Werthen
$0$,~$1$,~$\infty$,~$\displaystyle\frac{1}{x}$
der Integrationsver\"{a}nderlichen $s$ die neue Ver\"{a}nderliche
die Werthe $0$,~$1$,~$\infty$ annimmt.  Die \"{u}brigen
Gleichungen erfordern, soweit ich sie untersucht habe, zu ihrer
Best\"{a}tigung durch Methoden der Integralrechnung die
Transformation von vielfachen Integralen.

\end{document}

