; TeX output 2000.04.18:1156 y i MA\ N G cmbx12Beitr ᕕܡagezzurTheoriederdurcvhdie .TGauss'scvhezReiheg G cmmi12FYDt G G cmr17(*;F ?; ;x)zdarstellbaren RFdunctionen." BernhardzRiemann"Ë[Auszdemsieb envtenBandderAbhandlungen X$GderzK oniglicvhenGesellschaftderFZ(WissenscvhaftenzzuG ottingen.1857.]* dXQ ff cmr12TlranscribcedbyyD.R.Wilkins pPreliminaryVlersion:?Decemybcer1998 hCorrected:?April2000 * y i ~"]MDt q G cmr17Beitr Dt i G cmr17age>zurTheoriederdurcuhdieGauss'sche %Reihe>g q cmmi12F (!;t&Z; ;x)darstellbarenFaunctionen.#2 UBernhardRiemannϦ%O[AusdemsiebcenytenBandderAbhandlungenderK roniglichen >g6GesellscyhaftderWissenschaftenzuG rottingen.?1857.]-20XQ cmr12Die@ cmti12Gauss 'scheReihe g cmmi12FƲ(; O; ;x),alsF0unctionihresviertenElementsx bRetrachtet,fstelltסdieseF0unctionnurdar,solangederMoRdulvonxdieEinheit nichtzߕRubRerschreitet.(=UmdieseF0unctioninihremganzenUmfange,QbReiunbRe- schrzankterkV0erzanderlichkeitdiesesihresArguments,zuuntersuchen,bieten dieQSbisherigenArbReitenzߕRuberdieselbezweiW0egedar.MankZannnzamlichent- wedervoneinerlinezarenDierentialgleichung,,welchersiegenzߕRugt,,ausgehen, oRderAvonihremAusdruckedurchbRestimmteIntegrale. =JederdieserW0ege gewzahrteigenthzߕRumlicheV0ortheile;zjedoRchistbisjetzt,7inderreichhaltigen Abhandlung8vonKummerim15.BandedesmathematischenJournalsvon Crfgel leGund4auchindennoRchunverzoentlichtenUntersuchungenvonGauss, nur`dererstebRetreten,wohlhauptszachlichdeshalb,weildieRechnungmit bRestimmtenrIntegralenzwischencomplexenGrenzennoRchzuwenigausgebil- detwar,oRderdochnichtalseinemgrossenLeserkreisegelzaugvorausgesetzt werdenxkonnte.0InJ7derfolgendenAbhandlunghabReichdieseT0ranscendentenacheiner neuenOMethoRdebehandelt,jwelcheOimW0esentlichenOaufjedeFunction,jdie einerlinezarenDierentialgleichungmitalgebraischenCoRecientengenzߕRugt, anwendbar'bleibt.NachderselbRenlassensichdiefrzߕRuherzumTheildurch ziemlichUmzߕRuhsameRechnungengefundenenResultatefastunmittelbaraus der)Denitionableiten,UunddiesistindemhiervorliegendenTheiledie- serOAbhandlunggeschehen,hauptszachlichOinderAbsichtOfzߕRurdievielfachen Anwendungen=dieserF0unctioninphysikZalischen=undastronomischenUnter- suchungen'einebRequemeUebersicht'zߕRuberihremzoglichenDarstellungenzu gebRen.fEsistnzothig,^einigeallgemeineV0orbemerkungenzߕRuberdieBetrach- tungeinerF0unctionbReiunbeschrzankterV0erzanderlichkeitihresArguments voraufzuschicken.0BetrachtetnundenW0erthderunabhzangigverzanderlicheGrzossexUR=y + ]z i 1 ͠ y i zurleichterenAuassungihrerV0erzanderlichkeitalsvertretendurcheinen PunktbeinerunendlichenEbRene,}dessenrechtwinkligeCoRordinationyn9,zȲsind, undvdenktsichdieF0unctionwȲineinemTheiledieserEbRenegegeben,,so kZannsievondortausnacheinemleichtzubReweisendenSatzenuraufeines W0eisemOderGleichungō@ w[ z ݟ Α]T@ zQײ=Eiō33@ w33[ z ݟ ΑG@ yggemzassmOstetigfortgesetztwerden. DieseӞ F0ortsetzung+KmussselbstredendnichtinblossenLiniengeschehen,QTworaufeine partielleDierentialgleichungnichtangewandtwerdenkzonnte,\sondernin Flzachenstreifen kvonendlicherBreite.zBeiF0unctionen,F(welche,wie kdiehier zunmuntersuchende,Ϫ)" mehrwerthig \ ^0sindoRderfzߕRurdenselbenW0erthvonxje nachdemW0ege,ZaufwelchemdieF0ortsetzunggeschehenist,ZmehrereW0erthe annehmencikzonnen,giebtesgewissePunktederx-EbRene,umwelcheciherum sichdieF0unctionineineanderefortsetzt,wiez.B.bReiz !", cmsy10p (xL a),log+(x a), (x a)22 cmmi8 ,/wenn!keineganzeZahlist,/derPunkta.ݙW0ennmanvondiesem PunkteaaussicheinebReliebigeLiniegezogendenkt,sokZannderW0erthder F0unctionWinderUmgebungvonasogewzahltwerden,̑dassersichausserhalb dieserfLiniezߕRubRerallstetigzandert;\sienimmtaberdannzubeidenSeiten dieserLinieverschiedeneW0erthean,sodassdieFortsetztungderFunction zߕRubRerdieseLiniehinzߕRubereinevonderjenseitsschonvorhandenenverschiedene F0unctionxgiebt.0ZurKErleichterungdesAusdruckssollendieverschiedenenF0ortsetzungen EinereF0unctionfzߕRurdenselbRenTheilderx-Ebene)" Zweige \ ^0dieserF0unction genannt$`werdenundeinW0erthvonx,KumwelchenherumsicheinZweigeiner F0unction ineinenandernfortsetzt,#ein)" Verzweigungswerth \ ^0;fzߕRur einenWerth, inWwelchemkeineV0erzweigungstattndet,heisstdieF0unction)" einzandrigoRder monoRdrom \ ^0.+ p1.0IchxbRezeichnedurch" bôPfXu cmex108 ԍ<:fddpa*5Ob>c)=)4 OOxLp2 K cmsy80'q O20; 20fXZ9 ԍZ=Z;$! einexF0unctionvonx,welchefolgendeBedingungenerfzߕRullt: 01)xSieistfzߕRuralleW0erthevonxaussera,b,ceinzandrigundendlich.02),^ZwischenjedreiZweigendieserF0unctionPƟ20o,PƟ2008,PƟ20008ϲndeteinelinezare homogenexGleichungmitconstantenCoRecientenStatt,C T9c09PƟ0+c00rPƟ00 h+c000jPƟ000aò=UR0:03)xDieF0unctionlzasstsichindieFormenRc̶PƟ|{Y cmr8()}+c̶q% cmsy60^PƟ(-:0ǹ)圴; uc̶
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20f|wird'vorausgesetzt,dass keinederDierenzen 20Ȳ,^ O20x,
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20mWeineganzeZahlunddieSumme aller,x7+20p+T+ O20#0+
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20ʧ=UR1sei.0WiemannigfaltigdieF0unctionenseien,welchediesenBedingungengenzߕRu- gen,ymbleibt]ivorlzaugunentschiedenundwirdsichimLaufederUntersuchung (Art.4)ergebRen.ZugrzossererBequemlichkeitdesAusdruckswerdeichx dieMV0erzanderliche,l]a,b,cdenersten,zweiten,drittenV0erzweigungswerthMund ,A20Ȳ;[ O,20x;[
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20Udaserste,zweite,dritteExpRonentenpaarderP-function nennen. p2.0ZunzachstxeinigeunmittelbareF0olgerungenausderDenition.0InderF0unctionPfXķ8
ԍ<:fddpa*5Ob>c)=)4
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20uU.58Esistferner(SkwSPfXķ8
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