\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
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\hyphenation{Werthe}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ueber die Fl\"{a}che vom kleinsten Inhalt bei gegebener
Begrenzung.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Aus Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke und
wissenschaftlicher Nachlass.  Zweite Auflage, bearbeitet von
Heinrich Weber.  B. G. Teubner, Leipzig, 1892,  S.~301--333.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Ueber die Fl\"{a}che vom kleinsten Inhalt bei gegebener
Begrenzung.\thanks{Dieser Abhandlung liegt ein Manuscript
\emph{Riemann}'s zu Grunde, welches nach der eigenen Aeusserung
des Verfassers in den Jahren 1860 und 1861 entstanden ist.
Dieses Manuscript, welches in gedr\"{a}ngte K\"{u}rze nur die
Formeln und keinen Text enth\"{a}lt, wurde mir von
\emph{Riemann} im April 1866 zur Bearbeitung anvertraut.  Es
ist daraus die Abhandlung hervorgegangen, welche ich am 6.~Januar
1867 der K\"{o}niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu
G\"{o}ttingen eingereicht habe, und welche im 13.~Band der
Abhandlungen dieser Gesellschaft abgedruckt ist.  Diese
Abhandlung kommt hier in sorgf\"{a}ltiger Ueberarbeitung zum
zweiten Male zum Abdruck.\hfil K.~Hattendorff.\break}}
\author{Bernhard Riemann}
\date{\ }
\date{[Aus Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke und
wissenschaftlicher Nachlass.  Zweite Auflage, bearbeitet von
Heinrich Weber.  B. G. Teubner, Leipzig, 1892,  S.~301--333.]}

\maketitle


\centerline{1.}

\nobreak\medskip

Eine Fl\"{a}che l\"{a}sst sich im Sinne der analytischen
Geometrie darstellen, indem man die rechwinkligen Coordinaten
$x$,~$y$,~$z$ eines in ihr beweglichen Punktes als eindeutige
Functionen von zwei unabh\"{a}ngigen ver\"{a}nderlichen
Gr\"{o}ssen $p$ und $q$ angiebt.  Nehmen dann $p$ und $q$
bestimmte constante Werthe an, so entspricht dieser einen
Combination immer nur ein einziger Punkt der Fl\"{a}che.  Die
unabh\"{a}ngigen Variabeln $p$ und $q$ k\"{o}nnen in sehr
mannigfacher Weise gew\"{a}hlt werden.  F\"{u}r eine einfach
zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che geschieht dies zweckm\"{a}ssig
wie folgt.  Man l\"{a}sst die Fl\"{a}che l\"{a}ngs der ganzen
Begrenzung abnehmen um einen Fl\"{a}chenstreifen, dessen Breite
\"{u}berall unendlich klein in derselben Ordnung ist.  Durch
Wiederholung dieses Verfahrens die Fl\"{a}che fortw\"{a}hrend
verkleinert, bis sie in einen Punkt \"{u}bergeht.  Die hierbei
der Reihe nach auftretenden Begrenzungscurven sind in sich
zur\"{u}cklaufende, von einander getrennte Linien.  Man kann sie
dadurch unterscheiden, dass man in jeder von ihnen der
Gr\"{o}sse~$p$ einen besondern constanten Werth beilegt, der um
ein Unendlichkleines zu- oder abnimmt, je nachdem man zu der
benachbarten umschliessenden oder umschlossenen
Curve \"{u}bergeht.  Die Function~$p$ hat dann einen constanten
Maximalwerth in der Begrenzung der Fl\"{a}che und einen
Minimalwerth in dem einen Punkte im Innern, in welchen die
allm\"{a}hlich abnehmende Fl\"{a}che zuletzt zusammenschrumpft.
Den Uebergang von einer Begrenzung der abnehmenden Fl\"{a}che zur
n\"{a}chsten kann man dadurch hergestellt denken, dass man jeden
Punkt der Curve $(p)$ in einen bestimmten unendlich nahen Punkt
der Curve $(p + dp)$ \"{u}bergehen l\"{a}sst.  Die Wege der
einzelnen Punkte bilden dann ein zweites System von Curven, die
von dem Punkte des Minimalwerthes von $p$ strahlenf\"{o}rmig nach
der Begrenzung der Fl\"{a}che verlaufen.  In jeder dieser Curven
legt man $q$ einen besondern constanten Werth bei, der in einer
beliebig gew\"{a}hlten Anfangscurve am kleinsten ist und von da
beim Uebergange von einer Curve des zweiten Systems zur andern
stetig w\"{a}chst, wenn man zum Zweck des Ueberganges irgend eine
Curve $(p)$ in bestimmter Richtung durchl\"{a}uft.  Beim
Uebergange von der letzten Curve $(q)$ zur Anfangscurve
\"{a}ndert sich $q$ sprungweise um eine endlich Constante.

Um eine mehrfach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che ebenso zu
behandeln, kann man sie zuvor durch Querschnitte in eine einfach
zusammenh\"{a}ngende zerlegen.

Irgend ein Punkt der Fl\"{a}che l\"{a}sst sich hiernach als
Durchschnitt einer bestimmten Curve des Systems $(p)$ mit einer
bestimmten Curve des Systems $(q)$ auffassen.  Die in dem Punkte
$(p,q)$ errichtete Normale verl\"{a}uft von der Fl\"{a}che aus in
zwei entgegengesetzten Richtungen, der positiven und der
negativen.  Zu ihrer Unterscheidung hat man \"{u}ber die
gegenseitige Lage der wachsenden positiven Normale, der
wachsenden $p$ und der wachsenden $q$ eine Bestimmung zu treffen.
Ist nicht anderes festgesetzt, so m\"{o}ge, von der positiven
$x$-Axe aus gesehen, die positive $y$-Axe auf dem k\"{u}rzesten
Wege in die positive $z$-Axe \"{u}bergef\"{u}hrt werden durch
eine Drehung von rechts nach links.  Und die Richtung der
wachsenden positiven Normale liege zu den Richtungen der
wachsenden $p$ und der wachsenden $q$, wie die positive $x$-Axe
zur positive $y$-Axe und zur positiven $z$-Axe.  Die Seite der
Fl\"{a}che, auf welcher die positive Normale liegt, soll die
positive Seite der Fl\"{a}che genannt werden.

\medbreak

\centerline{2.}

\nobreak\medskip

Ueber das Gebiet der Fl\"{a}che sei ein Integral zu erstrecken,
dessen Element gleich ist dem Element $dp \, dq$ multiplicirt in
eine Functionaldeterminante, also
\[ \int \!\!\! \int
      \left(
         \frac{\partial f}{\partial p}
         \frac{\partial g}{\partial q}
       - \frac{\partial f}{\partial q}
         \frac{\partial g}{\partial p}
      \right) \, dp \, dq,\]
wof\"{u}r zur Abk\"{u}rzung geschrieben werden soll
\[ \int \!\!\! \int (df \, dg).\]

Denkt man sich $f$ und $g$ als unabh\"{a}ngige Variable
eingef\"{u}hrt, so geht das Integral \"{u}ber in
$\int \!\! \int df \, dg$, und es l\"{a}sst sich die
Integration nach $f$ oder nach $g$ ausf\"{u}hren.  Die wirkliche
Einsetzung von $f$ und $g$ als unabh\"{a}ngigen Variabeln
verursacht aber Schwierigkeiten oder wenigstens weitl\"{a}ufige
Unterscheidungen, wenn dieselbe Werthecombination von $f$ und $g$
in mehreren Punkten der Fl\"{a}che oder in einer Linie vorhanden
ist.  Sie ist ganz unm\"{o}glich, wenn $f$ und $g$ complex sind.

Es ist daher zweckm\"{a}ssig, zur Ausf\"{u}hrung der Integration
nach $f$ oder $g$ das Verfahren von \emph{Jacobi} (Crelle's
Journal Bd.~27 p.~208) anzuwenden, bei welchem $p$ und $q$ als
unabh\"{a}ngige Variable beibehalten werden.  Um in Beziehung auf
$f$ zu integriren, hat man die Functiondeterminate in die Form zu
bringen
\[    \frac{\displaystyle \partial
        \left( f \frac{\partial g}{\partial q} \right)}{
        \partial p}
    - \frac{\displaystyle \partial
        \left( f \frac{\partial g}{\partial p} \right)}{
        \partial q} \]
und erh\"{a}lt zun\"{a}chst
\[ \int \frac{\displaystyle \partial
        \left( f \frac{\partial g}{\partial p} \right)}{
        \partial q} \, dq = 0,\]
weil die Integration durch eine in sich zur\"{u}cklaufende Linie
erstreckt wird.  Dagegen ist
\[ \int \frac{\displaystyle \partial
        \left( f \frac{\partial g}{\partial q} \right)}{
        \partial p} \, dp \]
in der Richtung der wachsenden $p$ zu nehmen, d.~h.\ von dem
Minimalpunkte im Innern durch eine Curve $(q)$ bis zur
Begrenzung.  Man erh\"{a}lt
$\displaystyle f \frac{\partial g}{\partial q}$
und zwar den Werth, den dieser Ausdruck in der Begrenzung
annimmt, da an der untern Grenze des Integrals
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial q} = 0$
ist.  Folglich wird
\[ \int \!\!\! \int (df \, dg)
      = \int f \frac{\partial g}{\partial q} \, dq
      = \int f \, dg \]
und das einfache Integral rechts ist in der Richtung der
wachsenden $q$ durch die Begrenzung erstreckt.  Andererseits hat
man nach der eingef\"{u}hrten Bezeichnung
$(df \, dg) = - (dg \, df)$, und daher
\[ \int \!\!\! \int (df \, dg)
      = - \int \!\!\! \int (dg \, df)
      = - \int g \, df,\]
wobei das einfache Integral rechts ebenfalls in der Richtung der
wachsenden $q$ durch die Begrenzung der Fl\"{a}che zu nehmen ist.

\medbreak

\centerline{3.}

\nobreak\medskip

Die Fl\"{a}che, deren Punkte durch die Curvensysteme $(p)$, $(q)$
festgelegt sind, soll in der folgenden Weise auf einer Kugel vom
Radius~$1$ abgebildet werden.  Im Punkte $(p,q)$ der Fl\"{a}che,
dessen rechtwinklige Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ sind, ziehe man die
positive Normale und lege zu ihr eine Parallele durch den
Mittelpunkt der Kugel.  Der Endpunkt dieser Parallelen auf der
Kugeloberfl\"{a}che ist die Abbildung des Punktes $(x, y, z)$.
Durchl\"{a}uft der Punkt $(x, y, z)$ auf der stetig
gekr\"{u}mmten Fl\"{a}che eine zusammenh\"{a}ngende Linie, so
wird auch die Abbildung derselben auf der Kugel eine
zusammenh\"{a}ngende Linie sein.  Auf dieselbe Weise erh\"{a}lt
man als Abbildung eines Fl\"{a}chenst\"{u}cks ein
Fl\"{a}chenst\"{u}ck, als Abbildung der ganzen Fl\"{a}che eine
Fl\"{a}che, welche die Kugel oder einen Theil derselben einfach
oder mehrfach bedeckt.

Der Punkt auf der Kugel, welcher die Richtung der positiven
$x$-Axe angiebt, werde zum Pol gew\"{a}hlt und der
Anfangsmeridian durch den Punkt gelegt, welcher der positiven
$y$-Axe entspricht.  Die Abbildung des Punktes $(x, y, z)$ wird
dann auf der Kugel festgelegt durch ihre Poldistanz~$r$ und den
Winkel~$\varphi$, welchen ihr Meridian mit dem Anfangsmeridian
einschliesst.  F\"{u}r das Vorzeichen von $\varphi$ gilt die
Bestimmung, dass der der positiven $z$-Axe entsprechende Punkt
die Coordinaten
$\displaystyle r = \frac{\pi}{2}$,
$\displaystyle \varphi = + \frac{\pi}{2}$
haben soll.

\medbreak

\centerline{4.}

\nobreak\medskip

Hiernach erh\"{a}lt man als Differential-Gleichung der Fl\"{a}che
\begin{equation}
\label{eqn-1}
\cos r \, dx + \sin r \, \cos \varphi \, dy
             + \sin r \, \sin \varphi \, dz
   = 0.
\end{equation}

Sind $y$ und $z$ die unabh\"{a}ngigen Variabeln, so ergeben sich
f\"{u}r $r$ und $\varphi$ die Gleichungen
\begin{eqnarray*}
\cos r &=&
      \frac{1}{\displaystyle
            \pm \sqrt{ 1
          + \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)^2
          + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^2 }},\\
\sin r \, \cos \varphi &=&
      \frac{\displaystyle
            \frac{\partial x}{\partial y}}{\displaystyle
            \mp \sqrt{ 1
          + \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)^2
          + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^2 }},\\
\sin r \, \sin \varphi &=&
      \frac{\displaystyle
            \frac{\partial x}{\partial z}}{\displaystyle
            \mp \sqrt{ 1
          + \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)^2
          + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^2 }},
\end{eqnarray*}
in welchen gleichzeitig entweder die oberen oder die unteren
Vorzeichen gelten.

Ein Parallelogramm auf der positiven Seite der Fl\"{a}che,
begrenzt von den Curven $(p)$ und $(p + dp)$, $(q)$ und
$(q + dq)$, projicirt sich auf der $yz$-Ebene in einem
Fl\"{a}chenelemente, dessen Inhalt gleich dem absoluten Werthe
von $(dy \, dz)$ ist.  Das Vorzeichen dieser
Functionaldeterminante ist verschieden, je nachdem die im Punkte
$(p, q)$ errichtete positive Normale mit der positiven $x$-Axe
einen spitzen oder stumpfen Winkel einschliesst.  In dem ersten
Falle liegen n\"{a}mlich die Projectionen von $dp$ und $dq$ in
der $yz$-Ebene ebenso zu einander wie die positive $y$-Axe zur
positiven $z$-Axe, im zweiten Falle umgekehrt.  Daher ist die
Functionaldeterminante im ersten Falle positiv, im zweiten
negativ.  Und der Ausdruck
\[ \frac{1}{\cos r} (dy \, dz) \]
ist immer positiv.  Er giebt den Inhalt des unendlich kleinen
Parallelogramms auf der Fl\"{a}che.  Um also den Inhalt der
Fl\"{a}che selbst zu erhalten, hat man das Doppelintegral
\[ S = \int \!\!\! \int \frac{1}{\cos r} (dy \, dz) \]
\"{u}ber die ganze Fl\"{a}che zu erstrecken.

Soll dieser Inhalt ein Minimum sein, so ist die erste Variation
des Doppelintegrals $= 0$ zu setzen.  Man erh\"{a}lt
\[ \int \!\!\! \int \frac{\displaystyle \;
         \frac{\partial x}{\partial y}
         \frac{\partial \delta x}{\partial y}
       + \frac{\partial x}{\partial z}
         \frac{\partial \delta x}{\partial z} \;}{\displaystyle
            \pm \sqrt{ 1
          + \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)^2
          + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^2 }}
      (dy \, dz)
   = 0,\]
und es gilt das obere oder das untere Zeichen vor der Wurzel, je
nachdem $(dy, dz)$ positiv oder negativ ist.  Die linke Seite
l\"{a}sst sich schreiben
\begin{eqnarray*}
 & &\mathrel{\phantom{+}}
      \int \!\!\! \int \frac{\partial}{\partial y}
         (-\sin r \, \cos \varphi \, \delta x) (dy \, dz)\\
 & &+ \int \!\!\! \int \frac{\partial}{\partial z}
         (-\sin r \, \sin \varphi \, \delta x) (dy \, dz)\\
 & &- \int \!\!\! \int \delta x \, \frac{\partial}{\partial y}
         (-\sin r \, \cos \varphi) (dy \, dz)\\
 & &- \int \!\!\! \int \delta x \, \frac{\partial}{\partial z}
         (-\sin r \, \sin \varphi) (dy \, dz).
\end{eqnarray*}
Die beiden ersten Integrale reduciren sich auf einfache
Integrale, die in der Richtung der wachsenden $q$ durch die
Begrenzung der Fl\"{a}che zu nehmen sind, n\"{a}mlich
\[ \int \delta x \, ( - \sin r \, \cos \varphi \, dz
                      + \sin r \, \sin \varphi \, dy ).\]
Der Werth ist $= 0$, da in der Begrenzung $\delta x = 0$ ist.
Die Bedingung des Minimum lautet also
\[ \int \!\!\! \int \delta x \,
         \left(
            \frac{\delta (\sin r \, \cos \varphi)}{\delta y}
          + \frac{\delta (\sin r \, \sin \varphi)}{\delta z}
         \right) (dy \, dz) = 0.\]
Sie wird erf\"{u}llt, wenn
\begin{equation}
\label{eqn-2}
   - \sin r \, \sin \varphi \, dy
   + \sin r \, \cos \varphi \, dz
   = d\EuFrak{x}
\end{equation}
ein vollst\"{a}ndiges Differential ist.

\medbreak

\centerline{5.}

\nobreak\medskip

Die Coordinaten $r$ und $\varphi$ auf der Kugel lassen sich
ersetzen durch eine complexe Gr\"{o}sse
$\displaystyle \eta = \mathrm{tg} \frac{r}{2} e^{\varphi i}$,
deren geometrische Bedeutung leicht zu erkennen ist.  Legt man
n\"{a}mlich an die Kugel im Pol eine Tangentialebene, deren
positive Seite von der Kugel abgekehrt ist, und zieht vom
Gegenpol eine Gerade durch den Punkt $(r, \varphi)$, so trifft
diese die Tangentialebene in einem Punkte, der die complexe
Gr\"{o}sse $2\eta$ repr\"{a}sentirt.  Dem Pol entspricht
$\eta = 0$, dem Gegenpol $\eta = \infty$.  F\"{u}r die Punkte,
welche die Richtungen der positiven $y$- und der positiven
$z$-Axe angeben, ist $\eta = +1$ und resp.\ $= +i$.

F\"{u}hrt man noch die complexen Gr\"{o}ssen
\[ \eta' = \mathrm{tg} \frac{r}{2} e^{-\varphi i},\quad
   s = y + zi,\quad s' = y - zi \]
ein, so gehen die Gleichungen (\ref{eqn-1}) und (\ref{eqn-2})
\"{u}ber in folgende:
\begingroup
\def\theequation{\arabic{equation}*}\setcounter{equation}{0}
\begin{eqnarray}
\label{eqn-1*}
(1 - \eta \eta') \, dx + \eta' \, ds + \eta \, ds' &=& 0,\\
\label{eqn-2*}
(1 + \eta \eta') \, d\EuFrak{x} \, i - \eta' \, ds + \eta \, ds' &=& 0.
\end{eqnarray}
\endgroup
Diese lassen sich durch Addition und Subtraction verbinden.
Dabei werde
\[ x + \EuFrak{x}i = 2X,\quad
   x - \EuFrak{x}i = 2X' \]
gesetzt, so dass umgekehrt $x = X + X'$ ist.  Das Problem findet
dann seinen analytischen Ausdruck in den beiden Gleichungen
\begin{eqnarray}
\label{eqn-3}
ds  - \eta \, dX + \frac{1}{\eta'} \, dX' &=& 0,\\
\label{eqn-4}
ds' + \frac{1}{\eta} \, dX - \eta' \, dX' &=& 0.
\end{eqnarray}

Betrachtet man $X$ und $X'$ als unabh\"{a}ngige Variable und
stellt die Bedingungen daf\"{u}r auf, das $ds$ und $ds'$
vollst\"{a}ndige Differentiale sind, so findet sich
\[ \frac{\partial \eta}{\partial X'} = 0,\quad
   \frac{\partial \eta'}{\partial X} = 0,\]
d.~h.\ es ist $\eta$ nur von $X$, $\eta'$ nur von $X'$
abh\"{a}ngig, und deshalb umgekehrt $X$ eine Function nur von
$\eta$, $X'$ eine Function nur von $\eta'$.

Hiernach ist die Aufgabe darauf zur\"{u}ckgef\"{u}hrt, $\eta$ als
Function der complexen Variabeln~$X$ oder umgekehrt $X$ als
Function der complexen Variabeln~$\eta$ so zu bestimmen, dass
zugleich den Grenzbedingungen Gen\"{u}ge geleistet werde.  Kennt
man $\eta$ als Function von $X$, so ergiebt sich daraus $\eta'$,
indem man in dem Ausdrucke von $\eta$ jede complexe Zahl in die
conjugirte verwandelt.  Alsdann hat man nur noch die Gleichungen
(\ref{eqn-3}) und (\ref{eqn-4}) zu integriren, um die
Ausdr\"{u}cke f\"{u}r $s$ und $s'$ zu erlangen.  Aus diesen
erh\"{a}lt man endlich durch Elimination von $\EuFrak{x}$ eine
Gleichung zwischen $x$,~$y$,~$z$, die Gleichung der
Minimalfl\"{a}che.

\medbreak

\centerline{6.}

\nobreak\medskip

Sind die Gleichungen (\ref{eqn-3}) und (\ref{eqn-4}) integrirt,
so l\"{a}sst sich auch der Inhalt der Minimalfl\"{a}che selbst
leicht angeben, n\"{a}mlich
\[ S = \int \!\!\! \int \frac{1}{\cos r} (dy \, dz)
     = \int \!\!\! \int \frac{1 + \eta \eta'}{1 - \eta \eta'}
         (dy \, dz).\]
Die Functionaldeterminate $(dy \, dz)$ formt sich in folgender
Weise um
\begin{eqnarray*}
(dy \, dz)
  &=& \left(
         \frac{\partial y}{\partial s}
         \frac{\partial z}{\partial s'}
       - \frac{\partial y}{\partial s'}
         \frac{\partial z}{\partial s}
      \right) (ds \, ds') \\
  &=& \frac{i}{2} (ds \, ds') \\
  &=& \frac{i}{2} \left( \eta \eta' - \frac{1}{\eta \eta'} \right)
         \frac{\partial x}{\partial \eta}
         \frac{\partial x}{\partial \eta'}
         (d\eta \, d\eta').
\end{eqnarray*}
Danach erh\"{a}lt man
\begin{eqnarray*}
2iS &=& \int \!\!\! \int
         \left( 2 + \eta \eta' + \frac{1}{\eta \eta'} \right)
         \frac{\partial x}{\partial \eta}
         \frac{\partial x}{\partial \eta'}
         (d\eta \, d\eta') \\
  &=& \int \!\!\! \int
         \left(
          2 \frac{\partial x}{\partial \eta}
            \frac{\partial x}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial s}{\partial \eta}
            \frac{\partial s'}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial s}{\partial \eta'}
            \frac{\partial s'}{\partial \eta}
         \right)
         (d\eta \, d\eta') \\
  &=& 2 \int \!\!\! \int
         \left(
            \frac{\partial x}{\partial \eta}
            \frac{\partial x}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial y}{\partial \eta}
            \frac{\partial y}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial z}{\partial \eta}
            \frac{\partial z}{\partial \eta'}
         \right)
         (d\eta \, d\eta').
\end{eqnarray*}

Zur weiteren Umformung dieses Ausdruckes kann man $y$ aus $Y$ und
$Y'$, $z$ aus $Z$ und $Z'$ ebenso zusammensetzen wie $x$ aus $X$
und $X'$, so dass die Gleichungen gelten
\[ \begin{array}{ll}
\displaystyle
X  = \int \frac{\partial x}{\partial \eta}  \, d\eta,  &
\displaystyle
X' = \int \frac{\partial x}{\partial \eta'} \, d\eta',\\[12 pt]
\displaystyle
Y  = \int \frac{\partial y}{\partial \eta}  \, d\eta,  &
\displaystyle
Y' = \int \frac{\partial y}{\partial \eta'} \, d\eta',\\[12 pt]
\displaystyle
Z  = \int \frac{\partial z}{\partial \eta}  \, d\eta,  &
\displaystyle
Z' = \int \frac{\partial z}{\partial \eta'} \, d\eta'.\\[12 pt]
x = X + X' & \EuFrak{x} i = X - X', \\
y = Y + Y' & \EuFrak{y} i = Y - Y', \\
z = Z + Z' & \EuFrak{z} i = Z - Z'.
\end{array} \]
Alsdann erh\"{a}lt man schliesslich
\begin{eqnarray}
\label{eqn-5}
S &=& -i \int \!\!\!  \int
         [ (dX \, dX') + (dY \, dY') + (dZ \, dZ')] \\
  &=& {\textstyle\frac{1}{2}} \int \!\!\! \int
         [  (dx \, d\EuFrak{x})
          + (dy \, d\EuFrak{y})
          + (dz \, d\EuFrak{z}) ]. \nonumber
\end{eqnarray}

\medbreak

\centerline{7.}

\nobreak\medskip

Die Minimalfl\"{a}che und ihre Abbildungen auf der Kugel wie in
den Ebenen, deren Punkte resp.\ die complexen Gr\"{o}ssen
$\eta$, $X$,~$Y$,~$Z$ repr\"{a}sentiren, sind einander in den
kleinsten Theilen \"{a}hnlich.  Man erkennt dies sofort, wenn man
das Quadrat des Linearelementes in diesen Fl\"{a}chen
ausdr\"{u}ckt.  Dasselbe ist
\begin{quote}
\begin{tabular}{ll}
auf der Kugel
   &\quad $\sin r^2 \, d \log \eta \, d \log \eta'$,\\[12 pt]
in der Ebene der $\eta$
   &\quad $d\eta \, d\eta'$,\\[12 pt]
in der Ebene der $X$
   &\quad $\displaystyle
         \frac{\partial x}{\partial \eta}
         \frac{\partial x}{\partial \eta'}
         d\eta \, d\eta'$,\\[12 pt]
in der Ebene der $Y$
   &\quad $\displaystyle
         \frac{\partial y}{\partial \eta}
         \frac{\partial y}{\partial \eta'}
         d\eta \, d\eta'$,\\[12 pt]
in der Ebene der $Z$
   &\quad $\displaystyle
         \frac{\partial z}{\partial \eta}
         \frac{\partial z}{\partial \eta'}
         d\eta \, d\eta'$,
\end{tabular}
\end{quote}
in der Minimalfl\"{a}che selbst
\begin{eqnarray*}
dx^2 + dy^2 + dz^2
  &=&  (dX + dX')^2 + (dY + dY')^2 + (dZ + dZ')^2 \\
  &=&  2 (dX \, dX' + dY \, dY' + dZ \, dZ') \\
  &=&  2 \left(
            \frac{\partial x}{\partial \eta}
            \frac{\partial x}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial y}{\partial \eta}
            \frac{\partial y}{\partial \eta'}
          + \frac{\partial z}{\partial \eta}
            \frac{\partial z}{\partial \eta'}
         \right)
         d\eta \, d\eta'.
\end{eqnarray*}
Es ist n\"{a}mlich nach den Gleichungen (\ref{eqn-3}) und
(\ref{eqn-4}), wenn man darin $\eta$ und $\eta'$ als
unabh\"{a}ngige Variable ansieht:
\[ \eta  \frac{\partial X}{\partial \eta}
    = \frac{\partial s}{\partial \eta}
    = - \eta^2 \frac{\partial s'}{\partial \eta},\]
\[ \eta' \frac{\partial X'}{\partial \eta'}
    = \frac{\partial s'}{\partial \eta'}
    = - \eta'^2 \frac{\partial s}{\partial \eta'} \]
und deshalb
\begin{eqnarray*}
dX^2  + dY^2  + dZ^2  &=& 0,\\
dX'^2 + dY'^2 + dZ'^2 &=& 0.\\
\end{eqnarray*}
Das Verh\"{a}ltniss von irgend zwei der obigen Quadrate von
Linearelementen ist unabh\"{a}ngig von $d\eta$ und $d\eta'$,
d.~h.\ von der Richtung des Elementes, und darin beruht die in
den kleinsten Theilen \"{a}hnliche Abbilding.  Da die
Linearvergr\"{o}sserung bei der Abbildung in irgend einem Punkte
nach allen Richtungen dieselbe ist, so erh\"{a}lt man die
Fl\"{a}chenvergr\"{o}sserung gleich dem Quadrat der
Linearvergr\"{o}sserung.  Das Quadrat des Linearelementes in der
Minimalfl\"{a}che ist aber gleich der doppelten Summe der
Quadrate der entsprechenden Linearelemente in den Ebenen der $X$,
der $Y$ und der $Z$.  Daher ist auch das Fl\"{a}chenelement in
der Minimalfl\"{a}che gleich der doppelten Summe der
entsprechenden Fl\"{a}chenelemente in jenen Ebenen.  Dasselbe
gilt von der ganzen Fl\"{a}che und ihren Abbildungen in den
Ebenen der $X$, $Y$, $Z$.

\medbreak

\centerline{8.}

\nobreak\medskip

Eine wichtige Folgerung l\"{a}sst sich noch aus dem Satze von der
Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen ziehen, wenn man eine neue
complexe Variable $\eta_1$ dadurch einf\"{u}hrt, dass man auf der
Kugel den Pol in einen beliebigen Punkte $(\eta = \alpha)$
verlegt und den Anfangsmeridian beliebig w\"{a}hlt.  Hat dann
$\eta_1$ f\"{u}r das neue Coordinatensystem dieselbe Bedeutung
wie $\eta$ f\"{u}r das alte, so kann man jetzt ein unendlich
kleines Dreieck auf der Kugel sowohl in der Ebene der $\eta$ als
in der der $\eta_1$ abbilden.  Die beiden Bilder sind dann auch
Abbildung von einander und in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich.
F\"{u}r den Fall der directen Aehnlichkeit ergiebt sich ohne
Weiteres, dass
$\displaystyle \frac{d\eta_1}{d\eta}$
unabh\"{a}ngig ist von der Richtung der Verschiebung von $\eta$,
d.~h.\ dass $\eta_1$ eine Function der complexen Variabeln $\eta$
ist.  Den Fall der inversen (symmetrischen) Aehnlichkeit kann man
auf den vorigen zur\"{u}ckf\"{u}hren, indem man statt $\eta_1$ die
conjugirte complexe Gr\"{o}sse nimmt.  Um nun $\eta_1$ als
Function von $\eta$ auszudr\"{u}cken, hat man zu beachten, dass
$\eta_1 = 0$ ist dem einen Punkte der Kugel, f\"{u}r welchen
$\eta = \alpha$, und $\eta_1 = \infty$ in dem diametral
gegen\"{u}berliegenden Punkte, d.~h.\ f\"{u}r
$\displaystyle \eta = - \frac{1}{\alpha'}$.
Danach ergiebt sich
$\displaystyle \eta_1 = c \frac{\eta - \alpha}{1 + \alpha' \eta}$.
Zur Bestimmung der Constanten~$c$ dient die Bemerkung, dass, wenn
$\eta_1 = \beta$ ist f\"{u}r $\eta = 0$, daraus
$\displaystyle \eta_1 = - \frac{1}{\beta'}$ gefunden wird f\"{u}r
$\eta = \infty$.  Es ist also $\beta = - c \alpha$ und
$\displaystyle - \frac{1}{\beta'} = \frac{c}{\alpha'}$,
d.~h.\ $\displaystyle \beta = - \frac{\alpha}{c'}$.
Hieraus ergiebt sich $c c' = 1$ und daher $c = e^{\theta i}$
f\"{u}r ein reelles $\theta$.  Die Gr\"{o}ssen $\alpha$ und
$\theta$ k\"{o}nnen beliebige Werthe erhalten: $\alpha$ h\"{a}ngt
von der Lage des neuen Pols, $\theta$ von der Lage des neuen
Anfangsmeridians ab.  Diesem neuen Coordinatensystem auf der
Kugel entsprechen die Richtungen den Axen eines neuen
rechtwinkligen Systems.  Es m\"{o}gen in dem neuen System~$x_1$,
$s_1$,~$s_1'$ dasselbe bezeichnen wie~$x$, $s$,~$s'$ in dem
alten.  Dann erlangt man die Transformationsformeln
\[ \eta_1 = \frac{\eta - \alpha}{1 + \alpha' \eta} e^{\theta i},\]
\begin{eqnarray}
\label{eqn-6}
(1 + \alpha \alpha') x_1
  &=& (1 - \alpha \alpha') x + \alpha' s + \alpha s',\\
(1 + \alpha \alpha') s_1 e^{-\theta i}
  &=& - 2 \alpha x + s - \alpha^2 s', \nonumber \\
(1 + \alpha \alpha') s_1' e^{\theta i}
  &=& - 2 \alpha' x - \alpha'^2 s + s'. \nonumber
\end{eqnarray}

\medbreak

\centerline{9.}

\nobreak\medskip

Aus den Transformationsformeln (\ref{eqn-6}) berechnen wir
\[ \left( \frac{d \eta_1}{d \eta} \right)^2
         \frac{\partial x_1}{\partial \eta_1}
   = \frac{\eta_1}{\eta} \frac{\partial x}{\partial \eta} \]
oder
\[ (d \log \eta_1)^2 \frac{dx_1}{\partial \log \eta_1}
   = (d \log \eta)^2 \frac{\partial x}{\partial \log \eta}.\]
Hiernach empfiehlt es sich, eine neue complexe Gr\"{o}sse $u$
einzuf\"{u}hren, welche durch die Gleichung definirt wird
\begin{equation}
\label{eqn-7}
u = \int \sqrt{ i \frac{\partial x}{\partial \log \eta} }
      \, d \log \eta,
\end{equation}
und die von der Lage des Coordinatensystems $(x,y,z)$
unabh\"{a}ngig ist.  Gelingt es dann, $u$ als Function von $\eta$
zu bestimmen, so erh\"{a}lt man
\begin{equation}
\label{eqn-8}
x =   - i \int \left( \frac{du }{d \log \eta } \right)^2 d \log \eta
      + i \int \left( \frac{du'}{d \log \eta'} \right)^2 d \log \eta'.
\end{equation}
$x$ ist der Abstand des zu $\eta$ geh\"{o}rigen Punktes der
Minimalfl\"{a}che von einer Ebene, die durch den Anfangspunkt der
Coordinaten rechtwinklig zur Richtung $\eta = 0$ gelegt ist.  Man
erh\"{a}lt den Abstand desselben Punktes der Minimalfl\"{a}che
von einer durch den Anfangspunkt der Coordinaten gelegten Ebene,
die rechtwinklig auf der Richtung $\eta = \alpha$ steht, indem
man in (\ref{eqn-8})
$\displaystyle \frac{\eta - \alpha}{1 + \alpha' \eta} e^{\theta i}$
statt $\eta$ setzt.  Speciell also f\"{u}r $\alpha = 1$ und
$\alpha = i$
\begin{eqnarray}
\label{eqn-9}
y &=& - \frac{i}{2} \int \left( \frac{du }{d \log \eta } \right)^2
         \left( \eta  - \frac{1}{\eta } \right) d \log \eta \\
  & & + \frac{i}{2} \int \left( \frac{du'}{d \log \eta'} \right)^2
         \left( \eta' - \frac{1}{\eta'} \right) d \log \eta'.
   \nonumber \\
\label{eqn-10}
z &=& - \frac{1}{2} \int \left( \frac{du }{d \log \eta } \right)^2
         \left( \eta  + \frac{1}{\eta } \right) d \log \eta \\
  & & - \frac{1}{2} \int \left( \frac{du'}{d \log \eta'} \right)^2
         \left( \eta' + \frac{1}{\eta'} \right) d \log \eta'.
   \nonumber
\end{eqnarray}

\medbreak

\centerline{10.}

\nobreak\medskip

Die Gr\"{o}sse~$u$ ist als Function von $\eta$ zu bestimmen,
d.~h.\ als einwerthige Function des Ortes in derjenigen
Fl\"{a}che, welche, \"{u}ber die $\eta$-Ebene ausgebreitet, die
Minimalfl\"{a}che in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich abbildet.
Daher kommt es vor allen Dingen auf die Unstetigkeiten und
Verzweigungen in dieser Abbildung an.  Bei der Untersuchung
derselben hat man Punkte im Innern der Fl\"{a}che von
Begrenzungspunkten zu unterscheiden.

Handelt es sich um einen Punkt im Innern der Minimalfl\"{a}che,
so lege man in ihn der Anfangspunkt des Coordinatensystems
$(x,y,z)$, die Axe der positiven $x$ in die positive Normale,
folglich die $yz$-Ebene tangential.  Dann fehlen in der
Entwicklung von $x$ das freie Glied und die in $y$ und $z$
multiplicirten Glieder.  Durch geeignet gew\"{a}hlte Richtung der
$y$-Axe und der $z$-Axe kann man auch das in $yz$
multiplicirte Glied verschwinden lassen.  Die partielle
Differentialgleichung der Minimalfl\"{a}che reducirt sich unter
dieser Voraussetzung f\"{u}r endlich kleine Werthe von $y$ und
$z$ auf
\[    \frac{\partial^2 x}{\partial y^2}
    + \frac{\partial^2 x}{\partial z^2}
   = 0.\]
Das Kr\"{u}mmungsmass ist also negativ, die
Haupt-Kr\"{u}mmungsradien sind einander entgegengesetzt gleich.
Die Tangentialebene theilt die Fl\"{a}che in vier Quadranten,
wenn die Kr\"{u}mmungshalbmesser nicht $\infty$ sind.  Diese
Quadranten liegen abwechselnd \"{u}ber und unter der
Tangentialebene.  Beginnt die Entwicklung von $x$ erst mit den
Gliedern $n \,$\-ter Ordnung ($n > 2$), so sind die
Kr\"{u}mmungsradien $\infty$, und die Tangentialebene theilt die
Fl\"{a}che in $2n$ Sectoren, die abwechselnd \"{u}ber und unter
jene Ebene liegen und von den Kr\"{u}mmungslinien halbirt werden.

Will man nun $X$ als Function der complexen Variabeln $Y$
ansehen, so ergiebt sich in dem Falle der vier Sectoren
\[ \log X = 2 \log Y + \mbox{funct.\ cont.}, \]
in dem Falle der $2n$ Sectoren
\[ \log X = n \log Y + \mbox{f.~c.} \]
Und da nach (\ref{eqn-8}) und (\ref{eqn-9})
\[ \frac{dX}{dY} = \frac{-2 \eta}{1 - \eta \eta} \]
ist, so beginnt die Entwicklung von $\eta$ im ersten Falle mit
der ersten, im zweiten mit der ${(n - 1)} \,$\-ten Potenz von $Y$.
Umgekehrt wird also, wenn $Y$ als Function von $\eta$ angesehen
werden soll, die Entwicklung im ersten Falle nach ganzen Potenzen
von $\eta$, im zweiten nach ganzen Potenzen von
$\eta^{\frac{1}{n-1}}$ fortschreiten.  D.~h.\ die Abbildung auf
der $\eta$-Ebene hat an der betreffenden Stelle keinen oder einen
${(n-2)} \,$\-fachen Verzweigungspunkt, je nachdem der erste oder
der zweite Fall eintritt.

Was $u$ betrifft, so ergiebt sich
\[ \frac{du}{d \log Y}
   = \frac{du}{d \log \eta} \frac{d \log \eta}{d \log Y},\]
also mit H\"{u}lfe der Gleichung (\ref{eqn-9})
\[ \left( \frac{du}{d \log Y} \right)^2
  = - 2i \frac{dY}{d\eta} \frac{\eta^2}{1 - \eta^2}
         \left( \frac{d\eta}{dY} \right)^2 \frac{Y^2}{\eta^2}.\]
Demnach ist in einem ${(n - 2)} \,$\-fachen Verzweigungspunkte der
Abbildung auf der $\eta$-Ebene
\[ \log \frac{du}{d \log Y}
   = \frac{n}{2} \log Y + \mbox{f.~c.} \]
oder
\[ \log \frac{du}{dY}
   = \left( \frac{n}{2} - 1 \right) \log Y + \mbox{f.~c.} \]

\medbreak

\centerline{11.}

\nobreak\medskip

Die weitere Untersuchung soll zun\"{a}chst auf den Fall
beschr\"{a}nkt werden, dass die gegebene Begrenzung aus geraden
Linien besteht.  Dann l\"{a}sst sich die Abbildung der Begrenzung
auf der $\eta$-Ebene wirklich herstellen.  Die in irgend welchen
Punkten einer geraden Begrenzungslinie errichteten Normalen
liegen in parallelen Ebenen, und daher ist die Abbildung auf der
Kugel ein Bogen eines gr\"{o}ssten Kreises.

Um einen Punkt im Innern einer geraden Begrenzungslinie zu
untersuchen, legt man wie vorher in ihn den Anfangspunkt der
Coordinaten, die positive $x$-Axe in die positive Normale.  Dann
f\"{a}llt die ganze Begrenzungslinie in die $yz$-Ebene.  Der
reelle Theil von $X$ ist demnach in der ganzen Begrenzungslinie
$= 0$.  Geht man also durch das Innere der Minimalfl\"{a}che um
den Anfangspunkt der Coordinaten herum von einem vorangehenden
bis zu einem nachfolgenden Begrenzungspunkte, so muss dabei der
Arcus von $X$ sich \"{a}ndern um $n \pi$, ein ganzes Vielfaches
von $\pi$.  Der Arcus von $Y$ \"{a}ndert sich gleichzeitig um
$\pi$.  Man hat also, wie vorher
\begin{eqnarray*}
\log X &=& n \log Y + \mbox{f.~c.}, \\
\log \eta &=& (n - 1) \log Y + \mbox{f.~c.}, \\
\log \frac{du}{dY} &=& \left( \frac{n}{2} - 1 \right) \log Y + \mbox{f.~c.}
\end{eqnarray*}
Dem betrachteten Begrenzungspunkte entspricht ein
${(n - 2)} \,$\-facher Verzweigungspunkt in der Abbildung auf der
$\eta$-Ebene.  In dieser Abbildung macht das auf den Punkt
folgende Begrenzungsst\"{u}ck mit dem ihm vorhergehenden den
Winkel $(n - 1)\pi$.

\medbreak

\centerline{12.}

\nobreak\medskip

Bei dem Uebergange von einer Begrenzungslinie zur folgenden
hat man zwei F\"{a}lle zu unterscheiden.  Entweder treffen sie
zusammen in einem in Endlichen liegenden Schnittpunkte, oder sie
erstrecken sich ins Unendliche.

Im ersten Falle sei $\alpha \pi$ der im Innern der
Minimalfl\"{a}che liegende Winkel der beiden Begrenzungslinien.
Legt man den Anfangspunkt der Coordinaten in den zu
untersuchenden Eckpunkt, die positive $x$-Axe in die positive
Normale, so ist in beiden Begrenzungslinien der reelle Theil von
$X = 0$.  Beim Uebergange von der ersten Begrenzungslinie zur
folgenden \"{a}ndert sich also der Arcus von $X$ um $m \pi$, ein
ganzes Vielfaches von $\pi$, der Arcus von $Y$ um $\alpha \pi$.
Man hat daher
\begin{eqnarray*}
\frac{\alpha}{m} \log X &=& \log Y + \mbox{f.~c.},\\
\left( 1 - \frac{\alpha}{m} \right) \log X &=& \log \eta + \mbox{f.~c.},\\
\log \frac{du}{dY}
   &=& \left( \frac{m}{2\alpha} - 1 \right) \log Y + \mbox{f.~c.}
\end{eqnarray*}

Erstreckt sich die Fl\"{a}che zwischen zwei auf einander
folgenden Begrenzungsgeraden ins Unendliche, so lege man die
positive $x$-Axe in ihre k\"{u}rzeste Verbindungslinie, parallel
der positiven Normalen im Unendlichen.  Die L\"{a}nge der
k\"{u}rzesten Verbindungslinie sei $A$, und $\alpha \pi$ der
Winkel, welchen die Projection der Minimalfl\"{a}che in der
$yz$-Ebene ausf\"{u}llt.  Dann bleiben die reellen Theile von
$X$ und $i \log \eta$ im Unendlichen endlich und stetig und
nehmen in den begrenzenden Geraden constante Werthe an.  Hieraus
ergiebt sich (f\"{u}r $y = \infty$, $z = \infty$)
\begin{eqnarray*}
X &=& - \frac{Ai}{2\alpha \pi} \log \eta + \mbox{f.~c.},\\
u &=& \sqrt{\frac{A}{2\alpha \pi}} \log \eta + \mbox{f.~c.},\\
Y &=& - \frac{Ai}{4\alpha \pi} \frac{1}{\eta} + \mbox{f.~c.}
\end{eqnarray*}

Legt man die $x_1$-Axe eines Coordinatensystems in eine
begrenzende Gerade, die $x_2$-Axe eines andern Systems in die
zweite begrenzende Gerade u.~s.~f., so ist in der ersten Linie
$\log \eta_1$, in der zweiten $\log \eta_2$ u.~s.~f.\ rein
imagin\"{a}r, da die Normale zu der betreffenden Axe der $x_1$,
der $x_2$ u.~s.~f.\ senkrecht steht.  Es ist also
$\displaystyle i \frac{\partial x_1}{\partial \log \eta_1}$
in der ersten Begrenzungslinie reell,
$\displaystyle i \frac{\partial x_2}{\partial \log \eta_2}$
in der zweiten u.~s.~f.  Da aber auch f\"{u}r ein beliebiges
Coordinatensystem $(x,y,z)$ immer
\[    \sqrt{ i \frac{\partial x  }{\partial \log \eta  }}
         d \log \eta
   =  \sqrt{ i \frac{\partial x_1}{\partial \log \eta_1}}
         d \log \eta_1
   =  \sqrt{ i \frac{\partial x_2}{\partial \log \eta_2}}
         d \log \eta_2
   \ldots \]
ist, so findet sich, dass in jeder geraden Begrenzungslinie
\[ du = \sqrt{ i \frac{\partial x  }{\partial \log \eta  }}
         d \log \eta \]
entweder reelle oder rein imagin\"{a}re Werthe besitzt.

\medbreak

\centerline{13.}

\nobreak\medskip

Die Minimalfl\"{a}che ist bestimmt, sobald man eine der
Gr\"{o}ssen $u$, $\eta$, $X$, $Y$, $Z$ durch eine der \"{u}brigen
ausgedr\"{u}ckt hat.  Dies gelingt in vielen F\"{a}llen.
Besondere Beachtung verdienen darunter diejenigen, in welchen
$\displaystyle \frac{du}{d \log \eta}$
eine algebraische Function von $\eta$ ist.  Dazu ist n\"{o}thig
und hinreichend, dass die Abbildung auf der Kugel und
ihre symmetrischen und congruenten Fortsetzungen eine geschlossene
Fl\"{a}che bilden, welche die ganze Kugel einfach oder mehrfach
bedeckt.

Im Allgemeinen aber wird es schwierig sein, direct eine der
Gr\"{o}ssen $u$, $\eta$, $X$, $Y$, $Z$ durch eine der \"{u}brigen
auszudr\"{u}cken.  Statt dessen kann man aber auch jede von ihnen
als Function einer neuen zweckm\"{a}ssig gew\"{a}hlten
unabh\"{a}ngigen Variabeln bestimmen.  Wir f\"{u}hren eine solche
unabh\"{a}ngige Variable~$t$ ein, dass die Abbilding der
Fl\"{a}che auf der $t$-Ebene die halbe unendliche Ebene einfach
bedeckt, und zwar diejenige H\"{a}lfte, f\"{u}r welche der
imagin\"{a}re Theil von $t$ positiv ist.  In der That ist es
immer m\"{o}glich, $t$ als Function von $u$ (oder von irgend
einer der \"{u}brigen Gr\"{o}ssen $\eta$, $X$, $Y$, $Z$) in der
Fl\"{a}che so zu bestimmen, dass der imagin\"{a}re Theil in der
Begrenzung $= 0$ ist, und dass sie in einem beliebigen
Begrenzungspunkte ($u= b$) unendlich von der ersten Ordnung wird,
d.~h.
\[ t = \frac{\mathrm{const.}}{u - b} + \mbox{f.~c.}
   \quad (u = b).\]
Der Arcus des Factors von
$\displaystyle \frac{1}{u - b}$
ist durch die Bedingung bestimmt, dass der imagin\"{a}re Theil
von $t$ in der Begrenzung $= 0$, im Innern der Fl\"{a}che positiv
sein soll.  Es bleibt also in dem Ausdrucke von $t$ nur der Modul
dieses Factors und eine additive Constante willk\"{u}rlich.

Es sei $t = a_1, a_2,\ldots,$ f\"{u}r die Verzweigungspunkte im
Innern der Abbildung auf der $\eta$-Ebene, $t = b_1, b_2,\ldots$
f\"{u}r die Verzweigungspunkte in der Begrenzung, die nicht
Eckpunkte sind, $t = c_1, c_2,\ldots$ f\"{u}r die Eckpunkte,
$t = e_1, e_2,\ldots$ f\"{u}r die ins Unendliche sich
erstreckenden Sectoren.  Wir wollen der Einfachheit wegen
voraussetzen, dass die s\"{a}mmtlichen Gr\"{o}ssen
$a$, $b$, $c$, $e$ im endlichen Gebiete der $t$-Ebene liegen.

Dan hat man
\begin{quote}
\begin{tabular}{cll}
f\"{u}r&$t = a$&\quad $\displaystyle
   \log \frac{du}{dt}
   = \left( \frac{n}{2} - 1 \right) \log (t - a) + \mbox{f.~c.}$,\\[12 pt]
,,&$t = b$&\quad $\displaystyle
   \log \frac{du}{dt}
   = \left( \frac{n}{2} - 1 \right) \log (t - b) + \mbox{f.~c.}$,\\[12 pt]
,,&$t = c$&\quad $\displaystyle
   \log \frac{du}{dt}
   = \left( \frac{m}{2} - 1 \right) \log (t - c) + \mbox{f.~c.}$,\\[12 pt]
,,&$t = e$&\quad $\displaystyle
   u = \sqrt{\frac{A \alpha}{2 \pi}} \log (t - e) + \mbox{f.~c.}$
\end{tabular}
\end{quote}

Man kann die Untersuchung auf den Fall $n = 3$, $m = 1$
beschr\"{a}nken, d.~h.\ auf einfache Verzweigungspunkte, und den
allgemeinen Fall aus diesem dadurch ableiten, dass man mehrere
einfache Verzweigungspunkte zusammenfallen l\"{a}sst.

Um den Ausdruck f\"{u}r
$\displaystyle \frac{du}{dt}$
zu bilden, hat man zu beachten, dass l\"{a}ngs der Begrenzung
$dt$ reell, $du$ entweder reell oder rein imagin\"{a}r ist.
Demnach ist
$\displaystyle \left( \frac{du}{dt} \right)^2$
reell, wenn $t$ reell ist.  Diese Function kann man \"{u}ber die
Linie der reellen Werthe von $t$ hin\"{u}ber stetig fortsetzen,
indem man die Bestimmung trifft, dass f\"{u}r conjugirte Werthe
$t$ und $t'$ der Variabeln auch die Function conjugirte Werthe
haben soll.  Alsdann ist
$\displaystyle \left( \frac{du}{dt} \right)^2$
f\"{u}r die ganze $t$-Ebene bestimmt und zeigt sich einwerthig.

Es seien $a_1', a_2',\ldots$ die conjugierten Werthe zu
$a_1, a_2,\ldots$, und das Product
$(t - a_1) (t - a_2) \ldots$ werde mit $\prod (t - a)$
bezeichnet.  Alsdann ist
\begin{equation}
\label{eqn-11}
u = \mathrm{const.} + \int \sqrt{
      \frac{\prod (t - a) \prod (t - a') \prod (t - b)}{\prod (t - c)} }
      \frac{\mathrm{const.} \, dt}{\prod (t - e)}.
\end{equation}

Die Constanten $a$, $b$, $c$ etc.\ m\"{u}ssen so bestimmt werden,
dass f\"{u}r
\[ t = e,\quad
   u = \sqrt{\frac{A \alpha}{2 \pi}} \log (t - e) + \mbox{f.~c.} \]
wird.  Damit $u$ f\"{u}r alle Werthe von $t$ ausser $a$, $b$,
$c$, $e$ endlich und stetig bleibe, muss f\"{u}r die Anzahl
dieser letztgenannten Werthe eine Relation bestehen.  Es muss die
Differenz der Anzahl der Eckpunkte und der in der Begrenzung
liegenden Verzweigungspunkte um $4$ gr\"{o}sser sein als die
doppelte Differenz der Anzahl der innern Verzweigungspunkte und
der ins Unendliche verlaufenden Sectoren.  Setzt man zur
Abk\"{u}rzung
\[ \prod (t - a) \prod (t - a') \prod (t - b) = \varphi(t),\]
\[ \prod (t - c) \prod (t - e)^2 = \chi(t),\]
d.~h.
\[ \frac{du}{dt}
   = \mathrm{const.} \sqrt{\frac{\varphi(t)}{\chi(t)}},\]
so ist die ganze Function $\varphi(t)$ vom Grade $\nu - 4$, wenn
$\chi(t)$ vom Grade $\nu$ ist.  Hier bedeutet $\nu$ die Anzahl
der Eckpunkte vermehrt um die doppelte Anzahl der ins Unendliche
verlaufenden Sectoren.

\medbreak

\centerline{14.}

\nobreak\medskip

Es ist noch $\eta$ als Function von $t$ auszudr\"{u}cken.  Direct
gelangt man dazu nur in den einfachsten F\"{a}llen.  Im
Allgemeinen ist der folgende Weg einzuschlagen.  Es sei $v$ eine
noch n\"{a}her zu bestimmende Function von $t$, die als bekannt
vorausgesetzt wird.  In den Gleichungen (\ref{eqn-8}),
(\ref{eqn-9}), (\ref{eqn-10}) kommt es wesentlich an auf
$\displaystyle \frac{du}{d\log \eta}$,
wof\"{u}r man auch schreiben kann
$\displaystyle \frac{du}{dv} \frac{dv}{d \log \eta}$.
Der letzte Factor l\"{a}sst sich ansehen als Product der beiden
Factoren
\begin{equation}
\label{eqn-12}
k_1 = \sqrt{\frac{dv}{d\eta}},\quad
k_2 = \eta \sqrt{\frac{dv}{d\eta}},
\end{equation}
die der Differentialgleichung erster Ordung gen\"{u}gen
\begin{equation}
\label{eqn-13}
k_1 \frac{dk_2}{dv} - k_2 \frac{dk_1}{dv} = 1,
\end{equation}
sowie der Differentialgleichung zweiter Ordnung
\begin{equation}
\label{eqn-14}
\frac{1}{k_1} \frac{d^2 k_1}{dv^2}
   = \frac{1}{k_2} \frac{d^2 k_2}{dv^2}.
\end{equation}

Gelingt es also, die eine oder die andere Seite dieser letzten
Gleichung als Function von $t$ auszudr\"{u}cken, so l\"{a}sst
sich eine homogene line\"{a}re Differentialgleichung zweiter
Ordnung herstellen, von welcher $k_1$ und $k_2$ particul\"{a}re
Integrale sind.  Es sei $k$ das vollst\"{a}ndige Integral.  Wir
ersetzen
$\displaystyle \frac{d^2 k}{dv^2}$
durch das ihm gleichbedeutende
\[ \frac{\displaystyle
         \frac{dv}{dt} \frac{d^2 k}{dt^2}
       - \frac{dk}{dt} \frac{d^2 v}{dt^2}}{\displaystyle
         \left( \frac{dv}{dt} \right)^3} \]
und erhalten f\"{u}r $k$ die Differentialgleichung
\begin{equation}
\label{eqn-15}
      \frac{dv}{dt} \frac{d^2 k}{dt^2}
    - \frac{d^2 v}{dt^2} \frac{dk}{dt}
    - \left( \frac{dv}{dt} \right)^3
      \left\{ \frac{1}{k_1} \frac{d^2 k_1}{dv^2} \right\} k
   = 0.
\end{equation}

Von der Gleichung (\ref{eqn-15}) seien zwei von einander
unabh\"{a}ngige particul\"{a}re Integrale $K_1$ und $K_2$
gefunden, deren Quotient $K_2 : K_1 = H$ ein von B\"{o}gen
gr\"{o}sster Kreise begrenztes Abbild der positiven $t$-Halbebene
auf der Kugelfl\"{a}che leifert.  Dasselbe leistet dann jeder
Ausdruck von der Form
\begin{equation}
\label{eqn-16}
\eta = e^{\theta i} \frac{H - \alpha}{1 + \alpha' H},
\end{equation}
worin $\theta$ reell und $\alpha$, $\alpha'$ conjugirte complexe
Gr\"{o}ssen sind.

Die Function $v$ ist so zu w\"{a}hlen, dass f\"{u}r endliche
Werthe von $t$ die Unstetigkeiten von
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
nicht ausserhalb der Punkte $a$, $a'$, $b$, $c$, $e$ liegen.

Setzt man
\begin{equation}
\label{eqn-17}
\frac{dv}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\varphi(t) \chi(t)}}
   = \frac{1}{\sqrt{f(t)}},
\end{equation}
so wird die Function
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
im Endlichen unstetig nur f\"{u}r die Punkte $a$, $a'$, $b$, $c$,
und zwar f\"{u}r jeden unendlich in erster Ordnung.  Man
erh\"{a}lt n\"{a}mlich f\"{u}r $t = c$
\[ v - v_c = \frac{2\sqrt{t - c}}{\sqrt{f'(c)}},\]
\[ \eta - \eta_c
   = \mathrm{const.} \, (t - c)^\gamma.\]

Folglich:
\[ k_1 = \sqrt{\frac{dv}{d\eta}}
   = \mathrm{const.} \, (v - v_c)^{\frac{1}{2} -\gamma}.\]
und hieraus:
\[ \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}
    = {\textstyle \frac{1}{4}}
         \frac{(\gamma \gamma - \frac{1}{4}) f'(c)}{t - c}.\]
Entsprechende Ausdr\"{u}cke erh\"{a}lt man f\"{u}r $t = a$, $a'$,
$b$, in denen $c$ resp.\ durch $a$, $a'$, $b$, und $\gamma$ durch
$2$ zu ersetzen ist.

Eine \"{a}hnliche Betrachtung lehrt, dass f\"{u}r $t = e$ die
Function
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
stetig bleibt.

F\"{u}r $t = \infty$ ergiebt sich
\[ \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}
    = \left( - \frac{\nu}{2} + 2 \right)
      \left( \frac{\nu}{2} - 1 \right) t^{2\nu - 6}.\]
Demnach lautet der Ausdruck f\"{u}r
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
wie folgt:
\[ \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2} = {\textstyle\frac{1}{4}}
      \sum \frac{(\gamma \gamma - \frac{1}{4}) f'(g)}{(t - g)}
      + F(t).\]
Die Summe bezieht sich auf alle Punkte $g = a$, $a'$, $b$, $c$,
und bei $a$, $a'$, $b$ ist $2$ statt $\gamma$ zu setzen.  $F(t)$
ist eine ganze Function vom Grade $(2\nu - 6)$, in der die ersten
beiden Coefficienten sich folgendermassen bestimmen.  Man bringe
$dv$ in die Form
\[ dv = \frac{\displaystyle t^{-\nu + 4} \frac{dt}{tt}}{
            \sqrt{f(t) t^{-2\nu+4}}}
   = t^{-\nu + 4} dv_1 \]
oder k\"{u}rzer $= \alpha \, dv_1$.

Dann ergiebt sich durch Differentiation
\[ \frac{d^2}{dv^2}
      \left[ \left( \frac{d\eta}{dv} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
   = \alpha^{-\frac{3}{2}} \frac{d^2}{dv_1^2}
         \left[ \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
       + \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{-\frac{1}{2}}
         \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2},\]
folglich
\[ \left( \frac{d\eta}{dv} \right)^{\frac{1}{2}}
         \frac{d^2}{dv^2}
         \left[ \left( \frac{d\eta}{dv} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
   = \alpha^{-2}
         \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{\frac{1}{2}}
         \frac{d^2}{dv_1^2}
         \left[ \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
       + \alpha^{-\frac{1}{2}}
         \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2},\]
oder
\[       \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{\frac{1}{2}}
         \frac{d^2}{dv_1^2}
         \left[ \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
   = t^{-2\nu + 8} \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}
      - \alpha^{\frac{3}{2}}
         \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2},\]
oder
\begin{eqnarray*}
         \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{\frac{1}{2}}
         \frac{d^2}{dv_1^2}
         \left[ \left( \frac{d\eta}{dv_1} \right)^{-\frac{1}{2}} \right]
 &=& t^{-2\nu + 8} \sum {\textstyle\frac{1}{4}}
            \frac{(\gamma \gamma - \frac{1}{4}) f'(g)}{t - g} \\
 & &  + t^{-2\nu + 8} F(t)
      - \alpha^{\frac{3}{2}}
         \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2}.
\end{eqnarray*}

Die Function auf der linken Seite ist endlich f\"{u}r $t =
\infty$.  Folglich hat man rechts in der Entwicklung von
$t^{-2\nu + 8} F(t)$ und von
$\displaystyle
   \alpha^{\frac{3}{2}} \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2}$
die Coefficienten von $t^2$ und resp.\ von $t$ einander gleich zu
setzen.  Die Entwickelung von
$\displaystyle
   \alpha^{\frac{3}{2}} \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2}$
giebt nach einfacher Rechnung
\[ \alpha^{\frac{3}{2}} \frac{d^2(\alpha^{\frac{1}{2}})}{dv^2}
   = {\textstyle\frac{1}{2}} \left( - \frac{\nu}{2} + 2 \right)
      t^{- \nu + 5} \frac{d ( t^{-\nu + 2} f(t) )}{dt}.\]

Hiernach bleiben in $F(t)$ noch $2\nu - 7$ unbestimmte
Coefficienten.  Es ist aber wichtig zu bemerken, dass dieselben
reell sein m\"{u}ssen.  Denn wir haben in \S.~12 gefunden, dass
$du$ reell oder rein imagin\"{a}r ist in allen geraden
Begrenzungslinien der Minimalfl\"{a}che und folglich auch an
jeder Stelle in der Begrenzung der Abbildungen.  Verm\"{o}ge der
Gleichung (\ref{eqn-17}) gilt dasselbe von $dv$.  Daraus
l\"{a}sst sich beweisen, dass f\"{u}r reelle Werthe von $t$ die
Function
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
nothwendigerweise reelle Werthe besitzt.

Um diesen Beweis zu f\"{u}hren, betrachten wir die Abbildung auf
der Kugel vom Radius~1 und nehmen irgend einen Theil der
Begrenzung, also den Bogen eines gewissen gr\"{o}ssten Kreises.
Im Pole dieses gr\"{o}ssten Kreises legen wir die
Tangential-Ebene an und bezeichnen sie als die Ebene der
$\eta_1$.  Dann lassen sich die constanten Gr\"{o}ssen
$\alpha_1$, $\alpha_1'$, $\theta_1$ so bestimmen, dass
\[ \eta_1 = e^{\theta_1 i} \frac{H - \alpha_1}{1 + \alpha_1' H} \]
ist, und wir erhalten zwei Functionen
\[ k_1' = \sqrt{\frac{dv}{d\eta_1}}
   \quad\mbox{und}\quad
   k_2' = \eta_1 \sqrt{\frac{dv}{d\eta_1}},\]
die particul\"{a}re Integrale der Differentialgleichung
(\ref{eqn-15}) sind.  Folglich haben wir
\[ \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}
   = \frac{1}{k_1'} \frac{d^2 k_1'}{dv^2}.\]

Der eben betrachtete Theil der Begrenzung bildet sich in der
$\eta_1$-Ebene ab durch die Gleichung
\[ \eta_1 = e^{\varphi_1 i},\]
und wenn man diese in $k_1'$ einf\"{u}hrt, so erkennt man leicht,
dass in dem fraglichen Begrenzungstheile
$\displaystyle \frac{1}{k_1'} \frac{d^2 k_1'}{dv^2}$
reell ausf\"{a}llt.  Folglich gilt dasselbe von
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$,
und diese Betrachtung f\"{u}r jedes einzelne Begrenzungsst\"{u}ck
angestellt werden kann, so ist
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
reell in der ganzen Begrenzung.

Nun f\"{a}llt aber bei einem reellen oder rein imagin\"{a}ren
$dv$ die Function
$\displaystyle \frac{1}{k_1'} \frac{d^2 k_1'}{dv^2}$
auch dann reell aus, wenn man allgemeiner
\[ \eta_1 = \varrho_1 e^{\varphi_1 i} \]
setzt und den Modul $\varrho_1$ constant nimmt.  Damit also die
Axe der reellen $t$ sich auf der Kugel vom Radius~$1$ wirklich in
B\"{o}gen \emph{gr\"{o}sster} Kreise abbilde, muss f\"{u}r jeden
Begrenzungstheil $\varrho_1 = 1$ sein.  Dies liefert ebenso viele
Bedingungsgleichungen, als einzelne Begrenzungslinien gegeben
sind.

Bei der Untersuchung ist, wie schon in vorigen Paragraphen,
vorausgesetzt,  dass die Werthe $a$, $b$, $c$, $e$ s\"{a}mmtlich
endlich seien.  Trifft dies nicht zu, so bedarf die Betrachtung
einer geringen Modification.

\medskip

\begingroup\footnotesize
\emph{Anmerkung}.
Die Aufgabe ist hiermit vollst\"{a}ndig formulirt.  Im einzelnen
Falle kommt es nur darauf an, die Differentialgleichung
(\ref{eqn-15}) wirklich aufzustellen und zu integriren.
Uebrigens ist es nicht unwichtig, zu bemerken, dass die Anzahl
der in der L\"{o}sung auftretenden willk\"{u}rlichen reellen
Constanten ebenso gross ist wie die Anzahl der
Bedingungsgleichungen, welche verm\"{o}ge der Natur der Aufgabe
und verm\"{o}ge der Daten des Problems erf\"{u}llt sein
m\"{u}ssen.  Wir bezeichnen die Anzahl der Punkte $a$, $b$, $c$,
$e$ resp.\ mit $A$, $B$, $C$, $E$ und beachten, dass
$2A + B + 4 = C + 2E = \nu$ ist.  In der Differentialgleichung
(\ref{eqn-15}) treten $2A + B + 4C + 5E - 10$ willk\"{u}rliche
reelle Constanten auf, n\"{a}mlich: die Winkel~$\gamma$, deren
Anzahl $C$ ist; die $2\nu - 7$ Constanten der Function $F(t)$;
die reellen Gr\"{o}ssen $b$, $c$, $e$, von denen man dreien
beliebige Werthe geben kann, indem man f\"{u}r $t$ eine lineare
Substitution mit reellen Coefficienten macht; die reellen und
imagin\"{a}ren Theile der Gr\"{o}ssen~$a$.  Zu diesen
willk\"{u}rlichen Constanten kommen bei der Integration noch 10
hinzu, n\"{a}mlich, wenn
\[ \eta = \frac{\alpha k_1 + \beta k_2}{\gamma k_1 + \delta k_2} \]
ist, die drei complexen Verh\"{a}ltnisse
$\alpha : \beta : \gamma : \delta$,
die f\"{u}r $6$ reelle Constanten zu z\"{a}hlen sind, ein (reeller
oder rein imagin\"{a}rer) Factor von $du$, und je eine additive
reelle Constante in den Ausdr\"{u}cken f\"{u}r $x$, $y$, $z$.  Diese
Constanten m\"{u}ssen aber noch Bedingungsgleichungen unterworfen
werden, die erf\"{u}llt sein m\"{u}ssen, wenn unsere Formeln
wirklich eine Minimalfl\"{a}che darstellen sollen.  Von diesen
Bedingungsgleichungen sind $2A + B$ den Punkten $a$, $a'$, $b$
entsprechend, die aussagen, dass in den in der Umgebung dieser
Punkte g\"{u}ltigen Entwicklungen der L\"{o}sungen der
Differentialgleichung (\ref{eqn-15}) keine Logarithmen auftreten
(vergl.\ Anmerkung (4)), und $C + E$, die besagen, dass die
zwischen den einzelnen Punkten $c$, $e$ gelegenen St\"{u}cke der
Axe der reellen $t$ sich auf der Kugel mit dem Radius~$1$ in
$C + E$ B\"{o}gen gr\"{o}sster Kreise abbilden.  Sonach ist die
Anzahl der in der L\"{o}sung \"{u}brig bleibenden unbestimmten
Constanten $3C + 4E$.

Die Daten des Problems bestehen in den Coordinaten der Eckpunkte,
und in den Winkeln, die die Richtungen der ins Unendliche
verlaufenden Begrenzungslinien festlegen.  Diese Daten sprechen
sich in $3C + 4E$ Gleichungen, aus, zu deren Erf\"{u}llung man
ebenso grosse Zahl verf\"{u}gbarer Constanten hat.
\par\endgroup

\medbreak

\centerline{\itshape Beispiele}

\renewcommand{\theequation}{\alph{equation}}
\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

\centerline{15.}

\nobreak\medskip

Die Begrenzung bestehe aus zwei unendlichen geraden Linien, die
nicht in einer Ebene liegen.  Ihre k\"{u}rzeste
Verbindungslinie habe die L\"{a}nge~$A$, und es sei $\alpha \pi$
der Winkel, welchen die Projection der Fl\"{a}che auf der
rechtwinklig gegen jene Verbindungslinie gelegten Ebene
ausf\"{u}llt.

Nimmt man die k\"{u}rzeste Verbindingslinie zur $x$-Axe, so hat
in jeder der beiden Begrenzungsgeraden $x$ einen constanten
Werth.  Ebenso ist $\varphi$ in jeder der beiden
Begrenzungsgeraden constant.  In unendlicher Entfernung ist die
positive Normale f\"{u}r den einen Sector parallel der positiven,
f\"{u}r den andern Sector parallel der negativen $x$-Axe.  Die
Begrenzung bildet sich auf der Kugel in zwei gr\"{o}ssten Kreisen
ab, die durch die Pole $\eta = 0$ und $\eta = \infty$ gehen und
den Winkel $\alpha \pi$ einschliessen.

Hiernach hat man
\begin{eqnarray*}
X  &=& - \frac{iA}{2 \alpha \pi} \log \eta \\
s  &=& - \frac{iA}{2 \alpha \pi} \left( \eta - \frac{1}{\eta'} \right) \\
s' &=& - \frac{iA}{2 \alpha \pi} \left( \frac{1}{\eta} - \eta' \right),
\end{eqnarray*}
folglich
\begin{equation}
\label{eqn-a}
x = - i \frac{A}{2 \alpha \pi} \log \left( \frac{\eta}{\eta'} \right)
  = - i \frac{A}{2 \alpha \pi} \log \left( - \frac{s}{s'} \right),
\end{equation}
worin man die Gleichung der Schraubenfl\"{a}che erkennt.

\medbreak

\centerline{16.}

\nobreak\medskip

Die Begrenzung bestehe aus drei geraden Linien, von denen zwei
sich scheiden und die dritte zur Ebene der beiden ersten parallel
l\"{a}uft.

Legt man die Anfangspunkt der Coordinaten in den Schnittpunkt der
beiden ersten Geraden, die positive $x$-Axe in die negative
Normale, so bildet jener Schnittpunkt auf der Kugel sich ab im
Punkte $\eta = \infty$.  Die Abbildung der beiden ersten Geraden
sind gr\"{o}sste Halbkreise, die von $\eta = \infty$ bis
$\eta = 0$ laufen.  Ihr Winkel sei $\alpha \pi$.  Die Abbildung
der dritten Linie ist der Bogen eines gr\"{o}ssten Kreises, der
von $\eta = 0$ ausgeht, an einer gewissen Stelle umkehrt und in
sich selbst bis zum Punkte $\eta = 0$ zur\"{u}ckl\"{a}uft.
Dieser Bogen bilde mit den beiden ersten gr\"{o}ssten Halbkreisen
die Winkel $-\beta \pi$ und $\gamma \pi$, so dass $\beta$ und
$\gamma$ absolute Zahlen sind und $\beta + \gamma = \alpha$ sich
ergiebt.  Um die Abbildung auf der halben $t$-Ebene zu erhalten,
setzen wir fest, dass $t = \infty$ sein soll f\"{u}r
$\eta = \infty$, dass dem unendlichen Sector zwischen der ersten
und dritten Linie $t = b$, dem unendlichen Sector zwischen der
zweiten und dritten Linie $t = c$, dem Umkehrpunkte der Normalen
auf der dritten Linie $t = a$ entsprechen soll.  Dabei sind $a$,
$b$, $c$ reell und $c > a > b$.  Diesen Bestimmungen entspricht
$\eta = (t - b)^\beta (t - c)^\gamma$.  Der Werth~$a$ h\"{a}ngt
von $b$ und $c$ ab.  Man hat n\"{a}mlich
\[ \frac{d \log \eta}{dt}
   = \frac{\beta(t - c) + \gamma(t - b)}{(t - b)(t - c)} \]
und dieses muss f\"{u}r die Umkehrpunkt $= 0$ sein, also
\[ a = \frac{c \beta + b \gamma}{\beta + \gamma}.\]
Man hat weiter nach Art.\ 12 und 13
\[ du = \sqrt{ \frac{A(c - b)(\beta + \gamma)}{2\pi} }
     \frac{ (t - a)^{\frac{1}{2}} \, dt}{(t - b)(t - c)},\]
oder wenn man
$\displaystyle c - b = \frac{2\pi}{A}$
annimmt
\[ du = \sqrt{\beta + \gamma}
     \frac{ (t - a)^{\frac{1}{2}} \, dt}{(t - b)(t - c)},\]
\[ \frac{du}{d \log \eta} = \frac{1}{\sqrt{(\beta + \gamma) (t - a)}},\]
\[ \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2 d \log \eta
   = \frac{dt}{(t - b)(t - c)}.\]
Folglich
\begin{eqnarray}
x &=& - i \int \frac{dt}{(t - b)(t - c)}
      + i \int \frac{dt'}{(t' - b)(t' - c)},
   \nonumber \\
y &=& - \frac{i}{2} \int \frac{
            (t - b)^\beta (t - c)^\gamma
          - (t - b)^{-\beta} (t - c)^{-\gamma}}{(t - b)(t - c)} \, dt
   \nonumber \\
\label{eqn-b}
  & & + \frac{i}{2} \int \frac{
            (t' - b)^\beta (t' - c)^\gamma
          - (t' - b)^{-\beta} (t' - c)^{-\gamma}}{(t' - b)(t' - c)} \, dt',
   \\
z &=& - \frac{1}{2} \int \frac{
            (t - b)^\beta (t - c)^\gamma
          + (t - b)^{-\beta} (t - c)^{-\gamma}}{(t - b)(t - c)} \, dt
   \nonumber \\
  & & - \frac{1}{2} \int \frac{
            (t' - b)^\beta (t' - c)^\gamma
          + (t' - b)^{-\beta} (t' - c)^{-\gamma}}{(t' - b)(t' - c)} \, dt'.
   \nonumber
\end{eqnarray}

\medbreak

\centerline{17.}

\nobreak\medskip

Die Begrenzung bestehe aus drei einander kreuzender geraden
Linien, deren k\"{u}rzeste Abst\"{a}nde $A$, $B$, $C$ sein
m\"{o}gen.  Zwischen je zwei begrenzenden Linien erstreckt sich
die Fl\"{a}che ins Unendliche.  Es seien $\alpha \pi$, $\beta
\pi$, $\gamma \pi$ die Winkel der Richungen, in welchen die
Grenzlinien des ersten, des zweiten, des dritten Sectors ins
Unendliche verlaufen.  Setzt man fest, dass f\"{u}r die drei
Sectoren der Minimalfl\"{a}che im Unendlichen die Gr\"{o}sse $t$
resp.\ $= 0$,~$\infty$,~$1$ sein soll, so erh\"{a}lt man
\[ \frac{du}{dt} = \frac{\sqrt{\varphi(t)}}{t(1 - t)}.\]

$\varphi(t)$ ist eine ganze Function zweiten Grades.  Ihre
Coefficienten bestimmen sich daraus, dass
\begin{quote}
\begin{tabular}{ll}
f\"{u}r $t = 0$&\quad $\displaystyle
   \frac{du}{d \log t} = \sqrt{\frac{A\alpha}{2\pi}}$,\\[12 pt]
f\"{u}r $t = \infty$&\quad $\displaystyle
   \frac{du}{d \log t} = \sqrt{\frac{B\beta}{2\pi}}$,\\[12 pt]
f\"{u}r $t = 1$&\quad $\displaystyle
   \frac{du}{d \log (1 - t)} = \sqrt{\frac{C\gamma}{2\pi}}$
\end{tabular}
\end{quote}
sein muss.

Danach ergiebt sich
\[ \varphi(t)
   =  \frac{A\alpha}{2\pi} (1 - t)
    + \frac{C\gamma}{2\pi} t
    - \frac{B\beta }{2\pi} t (1 - t).\]

Je nachdem die Wurzeln der Gleichung $\varphi(t) = 0$
imagin\"{a}r oder reell sind, hat die Abbildung auf der Kugel
einen Verzweigungspunkt im Innern oder zwei Umkehrpunkte der
Normalen auf der Begrenzung.

Die Functionen
$\displaystyle k_1 = \sqrt{\frac{dv}{d\eta}}$
und
$\displaystyle k_2 = \eta \sqrt{\frac{dv}{d\eta}}$
werden nur f\"{u}r die drei Sectoren unstetig, wenn man
$\displaystyle \frac{dv}{d\eta} = \varphi(t)$
nimmt.  Und zwar ist die Unstetigkeit von $k_1$ der Art, dass
\begin{quote}
\begin{tabular}{ll}
f\"{u}r $t = 0$&\quad $\displaystyle
   t^{-\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{2}} k_1$,\\
f\"{u}r $t = \infty$&\quad $\displaystyle
   t^{-\frac{3}{2} - \frac{\beta}{2}} k_1$,\\
f\"{u}r $t = 1$&\quad $\displaystyle
   (1 - t)^{-\frac{1}{2} + \frac{\gamma}{2}} k_1$
\end{tabular}
\end{quote}
ein\"{a}ndrig und verschieden von $0$ und $\infty$ wird.  $k_1$
und $k_2$ sind particul\"{a}re Integrale einer homogenen
line\"{a}ren Differentialgleichung zweiter Ordnung, die sich
ergiebt, wenn man
$\displaystyle \frac{1}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}$
aus seinen Unstetigkeiten als Function von $t$ darstellt und $t$
statt $v$ als unabh\"{a}ngige Variable in
$\displaystyle \frac{d^2 k}{dv^2}$
einf\"{u}hrt.  Hat man das particul\"{a}re Integral $k_1$
gefunden, so ergiebt sich $k_2$ aus der Differentialgleichung
erster Ordnung
\begin{equation}
\label{eqn-c}
k_1 \frac{dk_2}{dt} - k_2 \frac{dk_1}{dt} = \varphi(t).
\end{equation}

Das vollst\"{a}ndige Integral der homogenen line\"{a}ren
Differentialgleichung zweiter Ordnung werde mit
\begin{equation}
\label{eqn-d}
k = Q \left\{ \begin{array}{ccc}
      \displaystyle
         \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2} &
      \displaystyle
       - \frac{3}{2} - \frac{\beta }{2} &
      \displaystyle
         \frac{1}{2} - \frac{\gamma}{2} \\[12 pt]
      \displaystyle
         \frac{1}{2} + \frac{\alpha}{2} &
      \displaystyle
       - \frac{3}{2} + \frac{\beta }{2} &
      \displaystyle
         \frac{1}{2} + \frac{\gamma}{2}
      \end{array} t \right\}
\end{equation}
bezeichnet.  Diese Function gen\"{u}gt wesentlich denselben
Bedingungen, die in der Abhandlung \"{u}ber die \emph{Gauss}'sche
Reihe $F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ als Definition der
$P$-Function ausgesprochen sind\footnote{Beitr\"{a}ge zur
Theorie der durch die \emph{Gauss}'sche Reihe
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$
darstellbaren Functionen.}.
Sie weicht von der $P$-Function darin ab, dass die Summe der
Exponenten $-1$ ist, nicht $+1$ wie bei $P$.

Man kann die Function~$Q$ mit H\"{u}lfe einer Function~$P$ und
ihrer ersten Derivirten ausdr\"{u}cken.  Zun\"{a}cht ist
n\"{a}mlich
\[ k = t^{\frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2}}
      (1 - t)^{\frac{1}{2} - \frac{\gamma}{2}}
      Q \left\{ \begin{array}{ccc}
      \displaystyle
         0 &
      \displaystyle
         \frac{-\alpha - \beta - \gamma - 1}{2} &
      \displaystyle
         0 \\[12 pt]
      \displaystyle
         \alpha &
      \displaystyle
         \frac{-\alpha + \beta - \gamma - 1}{2} &
      \displaystyle
         \gamma
      \end{array} t \right\}.\]
Setzt man nun
\[ \sigma
   =  P \left\{ \begin{array}{ccc}
      \displaystyle
         0 &
      \displaystyle
         \frac{-\alpha - \beta - \gamma + 1}{2} &
      \displaystyle
         0 \\[12 pt]
      \displaystyle
         \alpha &
      \displaystyle
         \frac{-\alpha + \beta - \gamma + 1}{2} &
      \displaystyle
         \gamma
      \end{array} t \right\},\]
so lassen sich die Constanten $a$, $b$, $c$ so bestimmen, dass
\begin{equation}
\label{eqn-e}
k  =  t^{\frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2}}
      (1 - t)^{\frac{1}{2} - \frac{\gamma}{2}}
      \left( (a + bt) \sigma + ct (1 - t)
         \frac{d\sigma}{dt} \right)
\end{equation}
wird.  In der That hat man nur diesen Ausdruck in die
Differentialgleichung (\ref{eqn-c}) einzusetzen und die
Differentialgleichung zweiter Ordnung f\"{u}r $\sigma$ zu
beachten, um zu der Gleichung zu gelangen
\[ \varphi(t)
   = t^{1 - \alpha} (1 - t)^{1 - \gamma}
         \left(
            \sigma_1 \frac{d\sigma_2}{dt}
          - \sigma_2 \frac{d\sigma_1}{dt}
         \right)
         F(t),\]
\begin{eqnarray*}
F(t) &=& a(a + c \alpha)(1 - t) + (a + b)(a + b - c \gamma) t \\
     & &- t (1 - t)
         \left( b - \frac{\alpha + \beta + \gamma - 1}{2} c \right)
         \left( b - \frac{\alpha - \beta + \gamma - 1}{2} c \right).
\end{eqnarray*}
Verm\"{o}ge der Eigenschaften der Function~$\sigma$ kann man
setzen
\[ t^{1 - \alpha} (1 - t)^{1 - \gamma}
         \left(
            \sigma_1 \frac{d\sigma_2}{dt}
          - \sigma_2 \frac{d\sigma_1}{dt}
         \right)
   = 1,\]
und folglich muss $F(t) = \varphi(t)$ sein.  Hieraus ergeben sich
drei Bedingungsgleichungen f\"{u}r $a$, $b$, $c$, die eine sehr
einfache Form annehmen, wenn man
\[ a + \frac{\alpha}{2} c = p,\quad
   b - \frac{\alpha + \gamma - 1}{2} c = q,\quad
   a + b - \frac{\gamma}{2} c = -r \]
setzt.  Die Bedingungsgleichungen lauten dann
\begin{eqnarray*}
pp - \alpha \alpha (p + q + r)^2 &=& \frac{A \alpha}{2 \pi},\\
qq - \beta  \beta  (p + q + r)^2 &=& \frac{B \beta }{2 \pi},\\
rr - \gamma \gamma (p + q + r)^2 &=& \frac{C \gamma}{2 \pi}.
\end{eqnarray*}

Mit H\"{u}lfe der Function
\[ \lambda
   =  P \left\{ \begin{array}{rrr}
      \displaystyle
         - \frac{\alpha}{2} &
      \displaystyle
         - \frac{\beta}{2} &
      \displaystyle
         \frac{1}{2} - \frac{\gamma}{2} \\[12 pt]
      \displaystyle
         \frac{\alpha}{2} &
      \displaystyle
         \frac{\beta}{2} &
      \displaystyle
         \frac{1}{2} + \frac{\gamma}{2}
      \end{array} t \right\},\]
deren Zweige $\lambda_1$ und $\lambda_2$ der
Differentialgleichung gen\"{u}gen
\[    \lambda_1 \frac{d\lambda_2}{d \log t}
    - \lambda_2 \frac{d\lambda_1}{d \log t}
   = 1,\]
kann man $k$ noch einfacher ausdr\"{u}cken, n\"{a}mlich
\begin{equation}
\label{eqn-f}
k = t^{\frac{1}{2}} \left( (p + qt) \lambda + ct(1 - t)
         \frac{d\lambda}{dt} \right).
\end{equation}

Es w\"{u}rde nicht schwer sein, die einzelnen Zweige der
Function~$k$ in der Form von bestimmten Integralen herzustellen.
Der Weg dazu ist in Art.~7 der Abhandlung \"{u}ber die
Function~$P$ vorgezeichnet.

In den besondern Falle, dass die drei begrenzenden geraden Linien
den Coordinatenaxen parallel laufen, ist
$\alpha = \beta = \gamma = \frac{1}{2}$.
Dann erh\"{a}lt man
\[ \lambda
   =  P \left( \begin{array}{rrr}
      \displaystyle
         - \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         - \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         \frac{1}{4} \\[12 pt]
      \displaystyle
         \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         \frac{3}{4}
      \end{array} t \right)
   = \left( \frac{t - 1}{t} \right)^{\frac{1}{4}}
      P \left( \begin{array}{rrr}
      \displaystyle
         0 &
      \displaystyle
         - \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         0 \\[12 pt]
      \displaystyle
         \frac{1}{2} &
      \displaystyle
         \frac{1}{4} &
      \displaystyle
         \frac{1}{2}
      \end{array} t \right).\]
Der Zweig $\lambda_1$ dieser Function ist
\[ = \left( \frac{t - 1}{t} \right)^{\frac{1}{4}}
      \sqrt{ t^{\frac{1}{2}} + (t - 1)^{\frac{1}{2}} }
      \mathrm{const.},\]
und daraus ergiebt sich
\begin{eqnarray*}
k_1 &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \sqrt{2} t^{\frac{1}{4}} (t - 1)^{\frac{1}{4}}
         \sqrt{t^{\frac{1}{2}} + (t - 1)^{\frac{1}{2}}} 
         \left\{ p + qt - \frac{c}{4}
               - \frac{c}{4} \sqrt{t (t - 1)} \right\},\\
k_2 &=& - \sqrt{2} t^{\frac{1}{4}} (t - 1)^{\frac{1}{4}}
         \sqrt{t^{\frac{1}{2}} - (t - 1)^{\frac{1}{2}}} 
         \left\{ p + qt - \frac{c}{4}
               + \frac{c}{4} \sqrt{t (t - 1)} \right\}.
\end{eqnarray*}
Mit H\"{u}lfe dieser beiden Functionen lassen sich $dX$, $dY$,
$dZ$ folgendermassen ausdr\"{u}cken
\begin{eqnarray*}
dX &=& - i k_1 k_2 \frac{dt}{t^2 (1 - t)^2},\\
dY &=& - \frac{i}{2} (k_2^2 - k_1^2) \frac{dt}{t^2 (1 - t)^2},\\
dZ &=& - \frac{1}{2} (k_2^2 + k_1^2) \frac{dt}{t^2 (1 - t)^2}.
\end{eqnarray*}

\penalty-1000

\begin{eqnarray}
iX &=& (p + q - r)^2 \sqrt{\frac{t}{t - 1}}
         + (-p + q + r)^2 \sqrt{\frac{t - 1}{t}}
   \nonumber \\
   & & + {\textstyle\frac{1}{2}} (p + 3q + r)(p - q + r)
         \log \frac{t^{\frac{1}{2}} + (t - 1)^{\frac{1}{2}}}{
                    t^{\frac{1}{2}} - (t - 1)^{\frac{1}{2}}},
   \nonumber \\
\label{eqn-g}
iY &=&  - (p - q + r)^2 t^{\frac{1}{2}}
        - (- p + q + r)^2 t^{-\frac{1}{2}}
   \\
   & &  - {\textstyle\frac{1}{2}} (p + q + 3r) (p + q - r)
            \log \frac{1 + t^{\frac{1}{2}}}{1 - t^{\frac{1}{2}}},
   \nonumber \\
iZ &=&  - (p - q + r)^2 (1 - t)^{\frac{1}{2}}
        + (p + q - r)^2 (1 - t)^{-\frac{1}{2}}
   \nonumber \\
   & &  + {\textstyle\frac{1}{2}} (3p + q + r) ( -p + q + r)
            \log \frac{1 + \sqrt{1 - t}}{1 - \sqrt{1 - t}}.
   \nonumber
\end{eqnarray}

Wenn $p$, $q$, $r$ reell sind, so geben die doppelten
Coefficienten von $i$ in den drei Gr\"{o}ssen rechts die
rectwinkligen Coordinaten eines Punktes der Fl\"{a}che.

\medbreak

\centerline{18.}

\nobreak\medskip

Die Begrenzung bestehe aus vier sich schneidenden geraden Linien,
die man erh\"{a}lt, wenn von den Kanten eines beliebigen
Tetraedes zwei nicht zusammenstossende weggelassen werden.  Die
Abbildung auf der Kugeloberfl\"{a}che ist ein sph\"{a}risches
Viereck, dessen Winkel
$\alpha \pi$, $\beta \pi$, $\gamma \pi$, $\delta \pi$
sein m\"{o}gen.  Es ergiebt sich
\[ du = \frac{C \, dt}{\sqrt{(t - a)(t - b)(t - c)(t - d)}}
      = \frac{C \, dt}{\sqrt{\Delta(t)}},\]
wenn die reellen Werthe $t = a$,~$b$,~$c$,~$d$ die Punkte der
$t$-Ebene bezeichnen, in welchen sich die Eckpunkte des Vierecks
abbilden.

Soll die in \S.~14 entwickelte Methode zur Bestimmung von $\eta$
angewandt werden, so hat man hier speciell $\varphi(t) = 1$,
$\chi(t) = \Delta(t)$, folglich
$\displaystyle v = \frac{u}{C}$
und
\[ k_1 =      \sqrt{\frac{dv}{d\eta}},\quad
   k_2 = \eta \sqrt{\frac{dv}{d\eta}}.\]
Die Functionen $k_1$ und $k_2$ gen\"{u}gen der
Differentialgleichung
\[ k_1 \frac{dk_2}{dv} - k_2 \frac{dk_1}{dv} = 1 \]
und sind particul\"{a}re Integrale der Differentialgleichung
zweiter Ordnung
\begin{eqnarray*}
\frac{4}{k} \frac{d^2 k}{dv^2}
 &=& \mathbin{\phantom{+}}
       \frac{(\alpha \alpha - \frac{1}{4}) \Delta'(a)}{t - a}
     + \frac{(\beta  \beta  - \frac{1}{4}) \Delta'(b)}{t - b} \\
 & & + \frac{(\gamma \gamma - \frac{1}{4}) \Delta'(c)}{t - c}
     + \frac{(\delta \delta - \frac{1}{4}) \Delta'(d)}{t - d}
     + h.
\end{eqnarray*}
Die Function $F(t)$ des \S.~14 ist hier vom zweiten Grade, aber
die Coefficienten von $t^2$ und von $t$ sind gleich Null, also
$h$ eine Constante.  In der letzten Gleichung hat man auf der
linken Seite~$t$ als unabh\"{a}ngige Variable einzuf\"{u}hren und
erh\"{a}lt
\begin{eqnarray}
\label{eqn-h}
\frac{4}{k} \left( \Delta(t) \frac{d^2 k}{dt^2}
         + {\textstyle\frac{1}{2}} \Delta'(t) \frac{dk}{dt} \right)
 &=& \mathbin{\phantom{+}}
       \frac{(\alpha \alpha - \frac{1}{4}) \Delta'(a)}{t - a}
     + \frac{(\beta  \beta  - \frac{1}{4}) \Delta'(b)}{t - b} \\
 & & + \frac{(\gamma \gamma - \frac{1}{4}) \Delta'(c)}{t - c}
     + \frac{(\delta \delta - \frac{1}{4}) \Delta'(d)}{t - d}
     + h
   \nonumber
\end{eqnarray}
als die Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche $k$
Gen\"{u}ge leisten muss.

Sind $x$, $y$, $z$ als Functionen von $t$ wirklich
ausgedr\"{u}ckt, so treten in der L\"{o}sung noch 16 unbestimmte
reelle Constanten auf, n\"{a}mlich die vier Gr\"{o}ssen $a$, $b$,
$c$, $d$, von denen wie oben drei beliebig angenommen werden
k\"{o}nnen, die vier Gr\"{o}ssen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
$\delta$, die Gr\"{o}sse~$h$, ferner 6 reelle Constanten in dem
Ausdrucke f\"{u}r $\eta$, ein constanter Factor in $du$ und je
eine additive Constante in $x$, $y$, $z$.  Zur Bestimmung dieser
16 Gr\"{o}ssen sich 16 Bedingungsgleichungen vorhanden,
n\"{a}mlich 4 Gleichungen, welche ausdr\"{u}cken, dass die vier
Begrenzungslinien in der Ebene der $\eta$ sich auf der Kugel in
gr\"{o}ssten Kreisen abbilden, und 12 Gleichungen, welche
aussagen, dass $x$, $y$, $z$ in den 4 Eckpunkten gegebene Werthe
haben.

In dem speciellen Falle eines regul\"{a}ren Tetraedes ist die
Abbildung auf der Kugel ein regelm\"{a}ssiges Viereck, in welchem
jeder Winkel $= \frac{2}{3} \pi$.  Die Diagonalen halbiren sich
und stehen rechtwinklig auf einander.  Die den Eckpunkten
diametral gegen\"{u}berliegenden Punkte der Kugeloberfl\"{a}che
sind die Ecken eines congruenten Vierecks.  Zwischen beiden
liegen vier dem urspr\"{u}nglichen ebenfalls congruente Vierecke,
die je zwei Eckpunkte mit dem urspr\"{u}nglichen, zwei mit dem
gegen\"{u}berliegenden gemein haben.  Diese sechs Vierecke
f\"{u}llen die Kugeloberfl\"{a}che einfach aus.  Es wird also
$\displaystyle \frac{du}{d \log \eta}$
eine algebraische Function von $\eta$ sein.

Man kann die gesuchte Minimalfl\"{a}che \"{u}ber ihre
urspr\"{u}ngliche Begrenzung dadurch stetig fortsetzen, dass man
die um jede ihrer Grenzlinien als Drehungsaxe um $180^\circ$
dreht.  L\"{a}ngs einer solchen Grenzlinie haben dann die
urspr\"{u}ngliche Fl\"{a}che und die Fortsetzung
gemeinschaftliche Normalen.  Wiederholt man die Construction an
den neuen Fl\"{a}chenteilen, so l\"{a}sst sich die
urspr\"{u}ngliche Fl\"{a}che beliebig weit fortsetzen.  Welche
Fortsetzung man aber auch betrachte, immer bildet sie sich auf
der Kugel in einem der sechs congruenten Vierecke ab.  Und zwar
haben die Abbildungen zon zwei Fl\"{a}chenteilen eine Seite
gemein oder sie liegen einander gegen\"{u}ber, je nachdem die
Fl\"{a}chentheile selbst in einer Grenzlinie an einander stossen
oder an gegen\"{u}berliegenden Grenzlinien eines mittleren
Fl\"{a}chentheils gelegen sind.  In dem letzteren Falle
k\"{o}nnen die betreffenden Fl\"{a}chentheile durch parallele
Verschiebung zur Deckung gebracht werden.  Daher muss
$\displaystyle \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2$
unver\"{a}ndert bleiben, wenn $\eta$ mit
$\displaystyle - \frac{1}{\eta}$
vertauscht wird.

Legt man den Pol ($\eta = 0$) in den Mittelpunkt eines Vierecks,
der Anfangsmeridian durch die Mitte einer Seite, so ist f\"{u}r
die Eckpunkte dieses Vierecks
\[ \eta = \mathop\mathrm{tg} \frac{c}{2} e^{\pm \frac{\pi i}{4}},\quad
        = \mathop\mathrm{tg} \frac{c}{2} e^{\pm \frac{3 \pi i}{4}},\]
und
\[ \mathop{\mathrm{tg}} \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}.\]
Punkte, deren entgegengesetzte Werthe von $\eta$ angeh\"{o}ren,
haben dieselbe $x$-Coordinate.  Es muss also
$\displaystyle \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2$
bei der Vertauschung von $\eta$ mit $-\eta$ unver\"{a}ndert
bleiben.  Hiernach erh\"{a}lt man
\[ \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2
   = \frac{C_1}{\sqrt{\eta^4 + \eta^{-4} + 14}}.\]

Die Constante~$C_1$ muss reell sein, damit $du^2$ in der
Begrenzung reelle Werthe besitze.

Zu demselben Resultate gelangt man auf dem folgenden Wege.  Die
Substitution
\[    \left\{ \frac{
         \eta^2 + \eta^{-2} - 2 \sqrt{3} i}{
         \eta^2 + \eta^{-2} + 2 \sqrt{3} i}
      \right\}^3
   = \left( \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \right)^2 \]
liefert auf der $t$-Ebene eine Abbildung, die von einer
geschlossenen \"{u}berall stetig gekr\"{u}mmten Linie begrenzt
wird.  Die Rechnung zeigt, dass $d \log t$ in der Begrenzung rein
imagin\"{a}r ist.  Folglich ist die Abbildung der Begrenzung in
der $t$-Ebene ein Kreis um den Mittelpunkt $t = 0$.  Der Radius
dieses Kreises ist $= 1$.  Den Eckpunkten
\[ \eta = \pm \mathop{\mathrm{tg}} \frac{c}{2} e^{\frac{\pi i}{4}} \]
entspricht $t = \pm 1$, den Eckpunkten
\[ \eta = \pm \mathop{\mathrm{tg}} \frac{c}{2} e^{-\frac{\pi i}{4}} \]
entspricht $t = \pm i$.  Geht man an irgend einer dieser vier
Stellen durch das Innere der Minimalfl\"{a}che von einer
Grenzlinie zur folgenden, so \"{a}ndert sich dabei der Arcus von
$dt$ um $\pi$.  Daher kann man, wie in \S.~13, auch hier setzen
\[ \frac{du}{dt} = \frac{C_2}{\sqrt{(t^2 - 1)(t^2 + 1)}},\]
und es muss $C_2^2$ rein imagin\"{a}r sein, damit $du^2$ in der
Begrenzung reell ausfalle.  Es findet sich
$C_1 = 3 \sqrt{3} C_2^2 i$.

Dieser Ausdruck stimmt mit der vorher aufgestellten f\"{u}r
$\displaystyle \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2$.
Zur weitern Vereinfachung nehme man
\[ \left( \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \right)^2 = \omega^3,\quad
   \eta^2 + \eta^{-2} = 2 \lambda \]
und beachte, dass
\[ \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2 \, d \log \eta
   = \left( \frac{du}{d\lambda} \right)^2
         \frac{d\lambda}{d\log \eta} \, d\lambda.\]
Dann ergiebt eine sehr einfache Rechnung
\begin{eqnarray}
X &=& -i \int \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2 \, d \log \eta
   =  C \int \frac{d\omega}{\sqrt{\omega
            (1 - \varrho \omega) (1 - \varrho^2 \omega)}},
   \nonumber \\
Y &=& -\frac{i}{2} \int \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2
         \left( \eta - \frac{1}{\eta} \right) \, d \log \eta
   \nonumber \\
\label{eqn-i}
  &=& C \varrho^2 \int \frac{d\omega}{\sqrt{\omega
            (1 - \omega) (1 - \varrho^2 \omega)}},
   \\
Z &=& -\frac{1}{2} \int \left( \frac{du}{d \log \eta} \right)^2
         \left( \eta + \frac{1}{\eta} \right) \, d \log \eta
   \nonumber \\
  &=& C \varrho \int \frac{d\omega}{\sqrt{\omega
            (1 - \omega) (1 - \varrho \omega)}},
   \nonumber
\end{eqnarray}
wenn
$\varrho = - \frac{1}{2} (1 - i \sqrt{3})$
eine dritte Wurzel der Einheit bezeichnet.  Die reelle Constante
$C = \frac{1}{8} C_1$ bestimmt sich aus der gegebenen L\"{a}nge
der Tetraederkanten.

\medbreak

\centerline{19.}

\addtocounter{equation}{1}

\nobreak\medskip

Endlich soll noch die Aufgabe der Minimalfl\"{a}che f\"{u}r den
Fall behandelt werden, dass die Begrenzung aus zwei beliebigen
Kreisen besteht, die in parallelen Ebenen liegen.  Dann kennt man
die Richtung der Normalen in der Begrenzung nicht.  Daher
l\"{a}sst sich diese auch nicht auf der Kugel abbilden.  Man
gelangt aber zur L\"{o}sung der Aufgabe durch die Annahme, dass
alle zu den Ebenen der Grenzkreise parallel gelegten ebenen
Schnitte Kreise seien.  Und es wird sich zeigen, dass unter
dieser Annahme der Minimalbedingung Gen\"{u}ge geleistet werden
kann.

Legt man die $x$-Axe rechtwinklig gegen die Ebenen der
Grenzkreise, so ist die Gleichung der Schnittcurve in einer
parallelen Ebene
\begin{equation}
\label{eqn-k}
F = y^2 + z^2 + 2 \alpha y + 2 \beta z + \gamma = 0,
\end{equation}
und $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sind als Functionen von $x$ zu
bestimmen.  Zur Abk\"{u}rzung werde
\[ \sqrt{
         \left( \frac{\partial F}{\partial x} \right)^2
       + \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)^2
       + \left( \frac{\partial F}{\partial z} \right)^2 }
   = \frac{1}{n} \]
gesetzt, so dass
\[ \cos r
   = n \frac{\partial F}{\partial x},\quad
   \sin r \, \cos \varphi
   = n \frac{\partial F}{\partial y},\quad
   \sin r \, \sin \varphi
   = n \frac{\partial F}{\partial z} \]
ist.  Dann l\"{a}sst sich die Bedingung des Minimum in die Form
bringen
\[    \frac{\displaystyle \partial \left(
            n \frac{\partial F}{\partial x} \right)}{\partial x}
    + \frac{\displaystyle \partial \left(
            n \frac{\partial F}{\partial y} \right)}{\partial y}
    + \frac{\displaystyle \partial \left(
            n \frac{\partial F}{\partial z} \right)}{\partial z}
   = 0 \]
oder nach Ausf\"{u}hrung der Differentiation
\begin{eqnarray*}
4 \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
         (F + \alpha^2 + \beta^2 - \gamma)
   + 4 \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial x}
   - 4 \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x}
         (F + \alpha^2 + \beta^2 - \gamma) & & \\
   + 4 \cdot 2 (F + \alpha^2 + \beta^2 - \gamma) &=& 0.
\end{eqnarray*}

Schreibt man $\alpha^2 + \beta^2 - \gamma = -q$ und beachtet,
dass $F = 0$ ist, so geht die letzte Gleichung \"{u}ber in
\begin{equation}
\label{eqn-l}
q \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
      - \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial q}{\partial x}
      + 2q = 0
\end{equation}
und giebt nach einmaliger Integration
\[ \frac{1}{q} \frac{\partial F}{\partial x}
      + 2 \int \frac{dx}{q} + \mathrm{const.} = 0.\]
Die Integrationsconstante ist von $x$ unabh\"{a}ngig.  Nimmt man
andererseits 
$\displaystyle \int \frac{dx}{q}$
unabh\"{a}ngig von $y$ und $z$, so muss die Integrationsconstante
eine line\"{a}re Function von $y$ und $z$ sein, weil
$\displaystyle \frac{1}{q} \frac{\partial F}{\partial x}$
eine solche ist.  Man hat also
\[ \frac{1}{q} \frac{\partial F}{\partial x}
      + 2 \int \frac{dx}{q}
      + 2 a y + 2 b z + \mathrm{const.} = 0.\]
Vergleich man damit das Resultat der directen Differentiation von
$F$, n\"{a}mlich
\[ \frac{\partial F}{\partial x}
   = 2y \frac{d\alpha}{dx} + 2z \frac{d\beta}{dz}
      + \frac{d\gamma}{dx},\]
so ergiebt sich
\[ \frac{d\alpha}{dx} = - a q,\quad
   \frac{d\beta}{dx}  = - b q,\]
und wenn man $\int q \, dx = m$ setzt:
\[ \alpha = - a m + d,\quad \beta = - b m + e.\]
Hiernach hat man
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial F}{\partial x}
   &=& - 2 a q y - 2 b q z + \frac{d\gamma}{dx},\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
   &=& - 2 a y \frac{dq}{dx} - 2 b z \frac{dq}{dx} + \frac{d^2\gamma}{dx^2},
\end{eqnarray*}
und diese Ausdr\"{u}cke sind in die Gleichung (\ref{eqn-l})
einzuf\"{u}hren.  Nach geh\"{o}riger Hebung erh\"{a}lt man
\[ q \frac{d^2 \gamma}{dx^2} - \frac{dq}{dx} \frac{d\gamma}{dx}
      + 2q = 0,\]
eine Gleichung, die sich weiter vereinfacht, wenn man beachtet,
dass
\[ \gamma = q + \alpha^2 + \beta^2 = q + f(m)
      = \frac{dm}{dx} + f(m),\]
\[ f(m) = (a^2 + b^2) m^2 - 2 (ad + be) m + d^2 + e^2.\]

Nimmt man hieraus
$\displaystyle \frac{d\gamma}{dx}$
und
$\displaystyle \frac{d^2 \gamma}{dx^2}$,
so geht die Differentialgleichung, welche die Bedingung des
Minimum ausdr\"{u}ckt, \"{u}ber in folgende
\begin{equation}
\label{eqn-m}
q \frac{d^2 q}{dx^2} - \left( \frac{dq}{dx} \right)^2 + 2q
   + 2 (a^2 + b^2) q^3 = 0.
\end{equation}

Zur Ausf\"{u}hrung der Integration setze man
$\displaystyle \frac{dq}{dx} = p$
und betrachte $q$ als unabh\"{a}ngige Variable.  Dadurch
erh\"{a}lt man f\"{u}r $p^2$ als Function von $q$ eine
line\"{a}re Differentialgleichung erster Ordung, n\"{a}mlich
\[ \frac{1}{2} q \frac{d (p^2)}{dq} - p^2 + 2q
      + 2 (a^2 + b^2)q^3 = 0 \]
oder
\[ \frac{q^2 d(p^2) - p^2 d (q^2)}{q^4}
   = - \left( \frac{4}{q^2} + 4 (a^2 + b^2) \right) \, dq.\]
Das Integral lautet
\begin{equation}
\label{eqn-n}
\frac{p^2}{q^2} = \frac{4}{q} - 4 (a^2 + b^2) q + 8c.
\end{equation}
Darin ist f\"{u}r $p$ wieder
$\displaystyle \frac{dq}{dx}$
zu setzen, wodurch man erh\"{a}lt
\begin{eqnarray*}
dx &=& \frac{dq}{2 \sqrt{ q + 2 c q^2 - (a^2 + b^2) q^3 }},\\
dm &=& \frac{q \, dq}{2 \sqrt{ q + 2 c q^2 - (a^2 + b^2) q^3 }}.
\end{eqnarray*}
Also ergiebt sich
\begin{eqnarray}
x &=& \int \frac{dq}{2 \sqrt{ q + 2 c q^2 - (a^2 + b^2) q^3 }},
   \nonumber \\
\label{eqn-o}
m &=& \int \frac{q \, dq}{2 \sqrt{ q + 2 c q^2 - (a^2 + b^2) q^3 }},
   \\
y &=& am - d + \sqrt{-q} \cos \psi,
   \nonumber \\
z &=& bm - e + \sqrt{-q} \sin \psi.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Man hat demnach $x$, $y$, $z$ als Functionen von zwei reellen
Variabeln $q$ und $\psi$ ausgedr\"{u}ckt.  Die Ausdr\"{u}cke
sind, abgesehen von algebraischen Gleidern, elliptische Integrale
mit der obern Grenze~$q$.  Nach der oben entwickelten allgemeinen
Methode h\"{a}tte man $x$,~$y$,~$z$ erhalten als Summen von zwei
conjugirten Functionen zweier conjugierter complexer Variabeln.
Danach liegt die Vermuthung nahe, dass diese complexen
Ausdr\"{u}cke mit H\"{u}lfe der Additionstheoreme der
elliptischen Functionen sich je in einen einzigen
Integralausdruck mit der Variabeln $q$ zusammenziehen lassen.

Und dies ist leicht zu best\"{a}tigen.  Man hat n\"{a}mlich aus
den Formeln f\"{u}r die Richtungscoordinaten $r$ und $\varphi$
der Normalen
\[ \frac{\eta}{\eta'} = e^{2 \varphi i}
   = \frac{\displaystyle
            \frac{\partial F}{\partial y}
          + \frac{\partial F}{\partial z} i}{\displaystyle
            \frac{\partial F}{\partial y}
          - \frac{\partial F}{\partial z} i}
   = \frac{y + zi + \alpha + \beta i}{y - zi + \alpha - \beta i}
   = e^{2 \psi i}.\]
Verbindet man damit die Definitionsgleichung von $q$, n\"{a}mlich
\[    (y + zi + \alpha + \beta i)
      (y - zi + \alpha - \beta i)
   = - q,\]
so ergiebt sich
\begin{eqnarray*}
(y + zi) + (\alpha + \beta i)
   &=& (-q)^{\frac{1}{2}} \eta^{\frac{1}{2}} \eta'^{-\frac{1}{2}},\\
(y - zi) + (\alpha - \beta i)
   &=& (-q)^{\frac{1}{2}} \eta^{-\frac{1}{2}} \eta'^{\frac{1}{2}}.
\end{eqnarray*}

Ferner hat man
\[ \mathop{\mathrm{cotg}} r
   = \frac{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}}{\displaystyle
      \sqrt{
         \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)^2
       + \left( \frac{\partial F}{\partial z} \right)^2 }}
   = \frac{1}{2 \sqrt{-q}}
         \{ p - 2 a q ( y + \alpha) - 2 b q ( z + \beta) \} \]
oder
\[ \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}} - \sqrt{\eta \eta'}
   = \frac{\displaystyle
         \cos \frac{r^2}{2} - \sin \frac{r^2}{2}}{\displaystyle
         \sin \frac{r}{2} \cos \frac{r}{2}}
   = \frac{1}{\sqrt{-q}}
         \{ p - 2 a q ( y + \alpha) - 2 b q ( z + \beta) \}.\]
Auf der rechten Seite sind f\"{u}r $y + \alpha$ und $z + \beta$
die eben gefundenen Ausdr\"{u}cke in $\eta$ und $\eta'$
einzuf\"{u}hren.  Dadurch geht die Gleichung \"{u}ber in
folgende:
\[ \frac{p}{q}
   = (-q)^{\frac{1}{2}}
      \left[
         (a + bi) \left( \frac{\eta'}{\eta} \right)^{\frac{1}{2}}
       + (a - bi) \left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^{\frac{1}{2}}
      \right]
      + (-q)^{-\frac{1}{2}}
         \left(
            \sqrt{\eta \eta'}
          - \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
         \right).\]
Quadrirt man beide Seiten dieser Gleichung und setzt f\"{u}r
$\displaystyle \frac{p^2}{q^2}$
seinen Werth aus (\ref{eqn-n}), so ergiebt sich nach
geh\"{o}riger Reduction
\begin{eqnarray}
\label{eqn-p}
  & & (-q)
      \left[
         (a + bi) \left( \frac{\eta'}{\eta} \right)^{\frac{1}{2}}
       - (a - bi) \left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^{\frac{1}{2}}
      \right]
     + \frac{1}{(-q)}
         \left[
            \sqrt{\eta \eta'}
          + \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
         \right]^2 \\
  &=& 8c - 2 (a + bi) \left( \eta' - \frac{1}{\eta} \right)
         - 2 (a - bi) \left( \eta - \frac{1}{\eta'} \right).
   \nonumber
\end{eqnarray}
Die so gefundene Gleichung, welche die Zusammenhang von $q$,
$\eta$, $\eta'$ angiebt, kann man als Integral einer
Differentialgleichung f\"{u}r $\eta$ und $\eta'$ ansehen und $q$
als Integrationsconstante auffassen.  Die Differentialgleichung
ergiebt sich durch unmittelbare Differentiation in folgender Form
\begin{eqnarray*}
0 &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \frac{d\eta}{\eta}
         \biggl[
            \frac{1}{\sqrt{-q}}
            \left(
               \sqrt{\eta \eta'} + \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
            \right) \\
   & &\hskip 3em
          - \sqrt{-q}
            \left(
               (a + bi) \left( \frac{\eta'}{\eta} \right)^{\frac{1}{2}}
             - (a - bi) \left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^{\frac{1}{2}}
            \right)
         \biggr] \\
  & &  + \frac{d\eta'}{\eta'}
         \biggl[
            \frac{1}{\sqrt{-q}}
            \left(
               \sqrt{\eta \eta'} + \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
            \right) \\
   & &\hskip 3em
          + \sqrt{-q}
            \left(
               (a + bi) \left( \frac{\eta'}{\eta} \right)^{\frac{1}{2}}
             - (a - bi) \left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^{\frac{1}{2}}
            \right)
         \biggr].
\end{eqnarray*}
Mit H\"{u}lfe der primitiven Gleichung~(\ref{eqn-p}) lassen sich
aber die Factoren von
$\displaystyle \frac{d\eta}{\eta}$
und
$\displaystyle \frac{d\eta'}{\eta'}$
anders ausdr\"{u}cken.  Man braucht nur die linke Seite von
(\ref{eqn-p}) in zweifacher Weise zu einem vollst\"{a}ndigen
Quadrat zu erg\"{a}nzen, indem man das fehlende doppelte Product
das eine mal positiv, das andere mal negativ hinzuf\"{u}gt.
Dadurch erh\"{a}lt man
\begin{eqnarray*}
 & & \frac{1}{\sqrt{-q}}
            \left(
               \sqrt{\eta \eta'} + \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
            \right)
          + \sqrt{-q}
            \left(
               (a + bi) \sqrt{\frac{\eta'}{\eta}}
             - (a - bi) \sqrt{\frac{\eta}{\eta'}}
            \right) \\
 & &\qquad = \pm 2 \sqrt{
            \left[
               2c + (a + bi) \frac{1}{\eta} - (a - bi) \eta
	       \right]},\\
 & & \frac{1}{\sqrt{-q}}
            \left(
               \sqrt{\eta \eta'} + \frac{1}{\sqrt{\eta \eta'}}
            \right)
          - \sqrt{-q}
            \left(
               (a + bi) \sqrt{\frac{\eta'}{\eta}}
             - (a - bi) \sqrt{\frac{\eta}{\eta'}}
            \right) \\
 & &\qquad = \pm 2 \sqrt{
            \left[
               2c + (a - bi) \frac{1}{\eta'} - (a + bi) \eta'
	       \right]}.
\end{eqnarray*}
Nimmt man die Quadratwurzeln mit gleichen Vorzeichen, so geht die
Differentialgleichung \"{u}ber in
\begin{eqnarray}
\label{eqn-q}
0 &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \frac{d\eta}{2\eta
            \sqrt{\displaystyle
                2c + (a + bi) \frac{1}{\eta} - (a - bi) \eta }} \\
  & &  + \frac{d\eta'}{2\eta'
            \sqrt{\displaystyle
                2c + (a - bi) \frac{1}{\eta'} - (a + bi) \eta' }}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Ihr Integral in algebraischer Form ist in der Gleichung
(\ref{eqn-p}) ausgesprochen oder, was auf dasselbe hinauskommt,
in den beiden Gleichungen
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{-q}} (1 + \eta \eta')
  &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \sqrt{\eta' [ (a + bi) + 2 c \eta  - (a - bi) \eta^2  ]}
   \nonumber \\
\label{eqn-r}
  & & + \sqrt{\eta  [ (a - bi) + 2 c \eta' - (a + bi) \eta'^2 ]},
   \\
\sqrt{-q} \left( (a + bi) \eta' - (a - bi) \eta \right)
  &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \sqrt{\eta' [ (a + bi) + 2 c \eta  - (a - bi) \eta^2  ]}
   \nonumber \\
  & & - \sqrt{\eta  [ (a - bi) + 2 c \eta' - (a + bi) \eta'^2 ]}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
In transcendenter Form lautet das Integral
\begin{eqnarray}
\label{eqn-s}
\mathrm{const.}
  &=& \mathbin{\phantom{+}}
         \int \frac{d\eta}{2
            \sqrt{\eta  [ (a + bi) + 2 c \eta  - (a - bi) \eta^2 ]}} \\
  & &  + \int \frac{d\eta'}{2
            \sqrt{\eta' [ (a - bi) + 2 c \eta' - (a + bi) \eta'^2 ]}},
   \nonumber
\end{eqnarray}
und die Integrationsconstante l\"{a}sst sich ausdr\"{u}cken
\[ \mathrm{const.}
   = \int \frac{dq}{2
            \sqrt{q  [ 1 + 2 c q  - (a^2 + b^2) q^2 ]}},\]
was aus der Gleichung~(\ref{eqn-r}) leicht hervorgeht, wenn man
$\eta$ oder $\eta'$ constant und zwar $= 0$ nimmt.  Man erkennt
darin das Additionstheorem der elliptischen Integrale erster
Gattung.

\end{document}
