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   <\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}}

\renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr
   >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ein Beitrag zu den Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung
eines fl\"{u}ssigen gleichartigen Ellipsoides.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1861.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}

\title{Ein Beitrag zu den Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung
eines fl\"{u}ssigen gleichartigen Ellipsoides.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1861.]}

\maketitle

F\"{u}r die Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung eines
gleichartigen fl\"{u}ssigen Ellipsoides, dessen Elemente sich
nach dem Gesetze der Schwere anziehen, hat \emph{Dirichlet} durch
seine letzte von \emph{Dedekind} herausgegebene Arbeit auf
\"{u}berraschende Weise eine neue Bahn gebrochen.  Die Verfolgung
dieser sch\"{o}nen Entdeckung hat f\"{u}r den Mathematiker ihren
besondern Reiz, ganz abgesehen von der Frage nach den Gr\"{u}nden
der Gestalt der Himmelsk\"{o}rper, durch welche diese
Untersuchungen veranlasst worden sind.  \emph{Dirichlet} selbst
hat die L\"{o}sung der von ihm behandelten Aufgabe nur in den
einfachsten F\"{a}llen vollst\"{a}ndig durchgef\"{u}hrt.  F\"{u}r
die weitere Ausf\"{u}hrung der Untersuchung ist es
zweckm\"{a}ssig, den Differentialgleichungen f\"{u}r die Bewegung
der fl\"{u}ssigen Masse eine von dem gew\"{a}hlten
Anfangszeitpunkte unabh\"{a}ngige Form zu geben, was
z.~B.\ dadurch geschehen kann, dass man die Gesetze aufsucht,
nach welchen die Gr\"{o}sse der Hauptaxen des Ellipsoides und die
relative Bewegung der fl\"{u}ssigen Masse gegen dieselben sich
\"{a}ndert.  Indem wir hier die Aufgabe in dieser Weise
behandeln, werden wir zwar die \emph{Dirichlet}'sche Abhandlung
voraussetzen, m\"{u}ssen aber dabei zur Vermeidung von Irrungen
gleich bevorworten, dass es nicht m\"{o}glich gewesen ist, die
dort gebrauchten Zeichen unver\"{a}ndert beizubehalten.

\medbreak

\centerline{1.}

\nobreak\medskip

Wir bezeichnen durch $a$,~$b$,~$c$ die Hauptaxen des Ellipsoides
zur Zeit~$t$, ferner durch $x$,~$y$,~$z$ die Coordinaten eines
Elements der fl\"{u}ssigen Masse zur Zeit~$t$ und die
Anfangswerthe dieser Gr\"{o}ssen durch Anh\"{a}ngung des
Index~$0$ und nehmen an, dass f\"{u}r die Anfangszeit die
Hauptaxen des Ellipsoides mit den Coordinatenaxen zusammenfallen.

Den Ausgangspunkt f\"{u}r die Untersuchung \emph{Dirichlet}'s
bildet bekanntlich die Bemerkung, dass man den
Differentialgleichungen f\"{u}r die Bewegung der
Fl\"{u}ssigkeitstheile gen\"{u}gen kann, wenn man die Coordinaten
$x$,~$y$,~$z$ linearen Ausdr\"{u}cken von ihren Anfangswerthen
gleichsetzt, in denen die Coefficienten blosse Functionen der
Zeit sind.  Diese Ausdr\"{u}cke setzen wir in die Form
\begin{eqnarray}
x &=& l   \frac{x_0}{a_0} + m   \frac{y_0}{b_0} + n   \frac{z_0}{c_0},
   \nonumber \\
\label{eqn-1.1}
y &=& l'  \frac{x_0}{a_0} + m'  \frac{y_0}{b_0} + n'  \frac{z_0}{c_0},
   \\
z &=& l'' \frac{x_0}{a_0} + m'' \frac{y_0}{b_0} + n'' \frac{z_0}{c_0}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Bezeichnet man nun durch $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ die Coordinaten
des Punktes $(x,y,z)$ in Bezug auf ein bewegliches
Coordinatensystem, dessen Axen in jedem Augenblicke mit den
Hauptaxen des Ellipsoides zusammenfallen, so sind bekanntlich
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ gleich linearen Ausdr\"{u}cken von
$x$,~$y$,~$z$
\begin{eqnarray}
\xi   &=& \alpha   x + \beta   y + \gamma   z,
   \nonumber \\
\label{eqn-1.2}
\eta  &=& \alpha'  x + \beta'  y + \gamma'  z,
   \\
\zeta &=& \alpha'' x + \beta'' y + \gamma'' z,
   \nonumber
\end{eqnarray}
worin die Coefficienten die Cosinus der Winkel sind, welche die
Axen des einen Systems mit den Axen des andern bilden,
$\alpha = \cos \xi x$, $\beta = \cos \xi y$ etc., und zwischen
diesen Coefficienten finden sechs Bedingungsgleichungen statt,
welche sich daraus herleiten lassen, dass durch die Substitution
dieser Ausdr\"{u}cke
\[ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = x^2 + y^2 + z^2 \]
werden muss.

Da die Oberfl\"{a}che stets von denselben
Fl\"{u}ssigkeitstheilchen gebildet wird, so muss
\[ \frac{\xi^2}{a^2} + \frac{\eta^2}{b^2} + \frac{\eta^2}{c^2}
   = \frac{x_0^2}{a_0^2} + \frac{y_0^2}{b_0^2} + \frac{z_0^2}{c_0^2} \]
sein; setzt man also
\begin{eqnarray}
\frac{\xi}{a}
   &=&   \alpha_\prime   \frac{x_0}{a_0}
       + \beta_\prime    \frac{y_0}{b_0}
       + \gamma_\prime   \frac{z_0}{c_0},
   \nonumber \\
\label{eqn-1.3}
\frac{\eta}{b}
   &=&   \alpha_\prime'  \frac{x_0}{a_0}
       + \beta_\prime'   \frac{y_0}{b_0}
       + \gamma_\prime'  \frac{z_0}{c_0},
   \\
\frac{\zeta}{c}
   &=&   \alpha_\prime'' \frac{x_0}{a_0}
       + \beta_\prime''  \frac{y_0}{b_0}
       + \gamma_\prime'' \frac{z_0}{c_0},
   \nonumber
\end{eqnarray}
d.~h.\ bezeichnet man in den Ausdr\"{u}cken von
$\displaystyle \frac{\xi}{a}$,
$\displaystyle \frac{\eta}{b}$,
$\displaystyle \frac{\zeta}{c}$
durch
$\displaystyle \frac{x_0}{a_0}$,
$\displaystyle \frac{y_0}{b_0}$,
$\displaystyle \frac{z_0}{c_0}$,
welche man durch Einsetzung der Werthe~(\ref{eqn-1.1}) in die
Gleichungen~(\ref{eqn-1.2}) erh\"{a}lt, die Coefficienten durch
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$,
so bilden diese Gr\"{o}ssen
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$
ebenfalls die Coefficienten einer orthogonalen
Coordinatentransformation: sie k\"{o}nnen betrachtet werden als
die Cosinus der Winkel, welche die Axen eines beweglichen
Coordinatensystems der
$\xi_\prime$,~$\eta_\prime$,~$\zeta_\prime$
mit den Axen des festen Coordinatensystems der $x$,~$y$,~$z$
bilden.  Dr\"{u}ckt man die Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$ mit
H\"{u}lfe der Gleichungen (\ref{eqn-1.2}) und (\ref{eqn-1.3}) in
$\displaystyle \frac{x_0}{a_0}$,
$\displaystyle \frac{y_0}{b_0}$,
$\displaystyle \frac{z_0}{c_0}$
aus, so ergiebt sich
\begin{eqnarray}
l   &=&  a \alpha   \alpha_\prime
       + b \alpha'  \alpha_\prime'
       + c \alpha'' \alpha_\prime'',
   \nonumber \\
m   &=&  a \alpha   \beta_\prime
       + b \alpha'  \beta_\prime'
       + c \alpha'' \beta_\prime'',
   \nonumber \\
n   &=&  a \alpha   \gamma_\prime
       + b \alpha'  \gamma_\prime'
       + c \alpha'' \gamma_\prime'',
   \nonumber \\
l'  &=&  a \beta    \alpha_\prime
       + b \beta'   \alpha_\prime'
       + c \beta''  \alpha_\prime'',
   \nonumber \\
\label{eqn-1.4}
m'  &=&  a \beta    \beta_\prime
       + b \beta'   \beta_\prime'
       + c \beta''  \beta_\prime'',
   \\
n'  &=&  a \beta    \gamma_\prime
       + b \beta'   \gamma_\prime'
       + c \beta''  \gamma_\prime'',
   \nonumber \\
l'' &=&  a \gamma   \alpha_\prime
       + b \gamma'  \alpha_\prime'
       + c \gamma'' \alpha_\prime'',
   \nonumber \\
m'' &=&  a \gamma   \beta_\prime
       + b \gamma'  \beta_\prime'
       + c \gamma'' \beta_\prime'',
   \nonumber \\
n'' &=&  a \gamma   \gamma_\prime
       + b \gamma'  \gamma_\prime'
       + c \gamma'' \gamma_\prime''.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Wir k\"{o}nnen daher die Lage der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen oder
die Werthe der Gr\"{o}ssen $l, m,\ldots, n''$ zur Zeit~$t$ als
abh\"{a}ngig betrachten von den Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ und der
Lage zweier beweglichen Coordinatensysteme und k\"{o}nnen
zugleich bemerken, dass durch Vertauschung dieser beiden
Coordinatensysteme in dem Systeme der Gr\"{o}ssen $l$,~$m$,~$n$
die Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht werden,
also $l$,~$m'$,~$n''$ unge\"{a}ndert bleiben, w\"{a}hrend von den
Gr\"{o}ssen $m$ und $l'$, $n$ und $l''$, $n'$ und $m''$ jede in
die andere \"{u}bergeht.  Es wird nun unser n\"{a}chstes
Gesch\"{a}ft sein, die Differentialgleichungen f\"{u}r die
Ver\"{a}nderungen der Hauptaxen und die Bewegung dieser beiden
Coordinatensysteme aus der in der \emph{Dirichlet}'schen
Abhandlung (\S.~1, 1) angegebenen Grundgleichungen f\"{u}r die
Bewegung der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen abzuleiten.

\medbreak

\centerline{2.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Offenbar ist es erlaubt, in jenen Gleichungen statt der
Derivirten nach den Anfangswerthen der Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$,
welche dort durch $a$,~$b$,~$c$ bezeichnet sind, die Derivirten
nach den Gr\"{o}ssen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ zu setzen; denn die
hierdurch gebildeten Gleichungen lassen sich als Aggregate von
jenen darstellen und umgekehrt.  Wir erhalten dadurch wenn wir
f\"{u}r
$\displaystyle
   \frac{\partial x}{\partial \xi},\enspace
   \frac{\partial y}{\partial \eta},\enspace \ldots,\enspace
   \frac{\partial z}{\partial \zeta}$
ihre Werthe einsetzen,
\begin{eqnarray}
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma
   &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \xi}
       - \frac{\partial P}{\partial \xi},
   \nonumber \\
\label{eqn-2.1}
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha'
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta'
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma'
   &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \eta}
       - \frac{\partial P}{\partial \eta},
   \\
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha''
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta''
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma''
   &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \zeta}
       - \frac{\partial P}{\partial \zeta},
   \nonumber
\end{eqnarray}
worin $V$ das Potential, $P$ den Druck im Punkte $x$,~$y$,~$z$
zur Zeit~$t$ und $\varepsilon$ die Constante bezeichnet, welche
die Anziehung zwischen zwei Masseneinheiten in der
Entfernungseinheit ausdr\"{u}ckt.

Es handelt sich nun zun\"{a}chst darum, die Gr\"{o}ssen links vom
Gleichheitszeichen in die Form linearer Functionen von den
Gr\"{o}ssen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu setzen, wozu einige
Vorbereitungen n\"{o}thig sind.

Durch Differentiation der Gleichungen~(\ref{eqn-1.2}) erh\"{a}lt
man, wenn man zur Abk\"{u}rzung
\begin{eqnarray}
         \frac{\partial x}{\partial t} \alpha
       + \frac{\partial y}{\partial t} \beta
       + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma
   &=& \xi',
   \nonumber \\
\label{eqn-2.2}
         \frac{\partial x}{\partial t} \alpha'
       + \frac{\partial y}{\partial t} \beta'
       + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma'
   &=& \eta',
   \\
         \frac{\partial x}{\partial t} \alpha''
       + \frac{\partial y}{\partial t} \beta''
       + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma''
   &=& \zeta'
   \nonumber
\end{eqnarray}
setzt,
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \xi}{\partial t}
   &=&   \frac{d\alpha  }{dt} x
       + \frac{d\beta   }{dt} y
       + \frac{d\gamma  }{dt} z
       + \xi', \\
\frac{\partial \eta}{\partial t}
   &=&   \frac{d\alpha' }{dt} x
       + \frac{d\beta'  }{dt} y
       + \frac{d\gamma' }{dt} z
       + \eta', \\
\frac{\partial \zeta}{\partial t}
   &=&   \frac{d\alpha''}{dt} x
       + \frac{d\beta'' }{dt} y
       + \frac{d\gamma''}{dt} z
       + \zeta'
\end{eqnarray*}
und wenn man hierin $x$, $y$, $z$ wieder durch $\xi$, $\eta$,
$\zeta$ ausdr\"{u}ckt
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \xi}{\partial t}
   &=&   \left(
            \frac{d\alpha  }{dt} \alpha
          + \frac{d\beta   }{dt} \beta
          + \frac{d\gamma  }{dt} \gamma
         \right) \xi
       + \left(
            \frac{d\alpha  }{dt} \alpha'
          + \frac{d\beta   }{dt} \beta'
          + \frac{d\gamma  }{dt} \gamma'
         \right) \eta \\
   & & + \left(
            \frac{d\alpha  }{dt} \alpha''
          + \frac{d\beta   }{dt} \beta''
          + \frac{d\gamma  }{dt} \gamma''
         \right) \zeta
       + \xi',\\
\frac{\partial \eta}{\partial t}
   &=&   \left(
            \frac{d\alpha' }{dt} \alpha
          + \frac{d\beta'  }{dt} \beta
          + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma
         \right) \xi
       + \left(
            \frac{d\alpha' }{dt} \alpha'
          + \frac{d\beta'  }{dt} \beta'
          + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma'
         \right) \eta \\
   & & + \left(
            \frac{d\alpha' }{dt} \alpha''
          + \frac{d\beta'  }{dt} \beta''
          + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma''
         \right) \zeta
       + \eta',\\
\frac{\partial \zeta}{\partial t}
   &=&   \left(
            \frac{d\alpha''}{dt} \alpha
          + \frac{d\beta'' }{dt} \beta
          + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma
         \right) \xi
       + \left(
            \frac{d\alpha''}{dt} \alpha'
          + \frac{d\beta'' }{dt} \beta'
          + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma'
         \right) \eta \\
   & & + \left(
            \frac{d\alpha''}{dt} \alpha''
          + \frac{d\beta'' }{dt} \beta''
          + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma''
         \right) \zeta
       + \zeta'.
\end{eqnarray*}

Nun giebt aber die Differentiation der bekannten Gleichungen
\[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1,\quad
   \alpha \alpha' + \beta \beta' + \gamma \gamma' = 0,
   \mbox{ etc.} \]
\begin{eqnarray*}
         \alpha   \frac{d\alpha  }{dt}
       + \beta    \frac{d\beta   }{dt}
       + \gamma   \frac{d\gamma  }{dt}
   &=& 0,\\
         \alpha'  \frac{d\alpha' }{dt}
       + \beta'   \frac{d\beta'  }{dt}
       + \gamma'  \frac{d\gamma' }{dt}
   &=& 0,\\
         \alpha'' \frac{d\alpha''}{dt}
       + \beta''  \frac{d\beta'' }{dt}
       + \gamma'' \frac{d\gamma''}{dt}
   &=& 0,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
            \frac{d\alpha' }{dt} \alpha''
          + \frac{d\beta'  }{dt} \beta''
          + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma''
   &=& - \left(
            \frac{d\alpha''}{dt} \alpha'
          + \frac{d\beta'' }{dt} \beta'
          + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma'
         \right),
   \nonumber \\
\label{eqn-2.3}
            \frac{d\alpha''}{dt} \alpha
          + \frac{d\beta'' }{dt} \beta
          + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma
   &=& - \left(
            \frac{d\alpha  }{dt} \alpha''
          + \frac{d\beta   }{dt} \beta''
          + \frac{d\gamma  }{dt} \gamma''
         \right),
   \\
            \frac{d\alpha  }{dt} \alpha'
          + \frac{d\beta   }{dt} \beta'
          + \frac{d\gamma  }{dt} \gamma'
   &=& - \left(
            \frac{d\alpha' }{dt} \alpha
          + \frac{d\beta'  }{dt} \beta
          + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma
         \right),
   \nonumber
\end{eqnarray}
und es wird folglich, wenn man diese letzteren drei Gr\"{o}ssen
durch $p$, $q$, $r$ bezeichnet,
\begin{eqnarray}
\xi'   &=& \frac{\partial \xi}{\partial t} - r \eta + q \zeta,
   \nonumber \\
\label{eqn-2.4}
\eta'  &=& r \xi + \frac{\partial \eta}{\partial t} - p \zeta,
   \\
\zeta' &=& - q \xi + p \eta + \frac{\partial \zeta}{\partial t}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Durch ein ganz \"{a}hnliches Verfahren ergiebt sich aus den
Gleichungen~(\ref{eqn-2.2})
\begin{eqnarray}
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma
  &=& \frac{\partial \xi'}{\partial t} - r \eta' + q \zeta',
   \nonumber \\
\label{eqn-2.5}
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha'
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta'
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma'
  &=& r \xi' + \frac{\partial \eta'}{\partial t} - p \zeta',
   \\
         \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha''
       + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta''
       + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma''
  &=& - q \xi' + p \eta' + \frac{\partial \zeta'}{\partial t},
   \nonumber
\end{eqnarray}
und aus den Gleichungen Art.~1, (\ref{eqn-1.3}), wenn
$p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ die Gr\"{o}ssen bezeichnen,
welche von den Functionen
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$
ebenso abh\"{a}ngen, wie die Gr\"{o}ssen $p$,~$q$,~$r$ von den
Functionen
$\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$
\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle \partial \frac{\xi}{a}}{\partial t}
   &=& r_\prime \frac{\eta}{b}  - q_\prime \frac{\zeta}{c},
   \nonumber \\
\label{eqn-2.6}
\frac{\displaystyle \partial \frac{\eta}{b}}{\partial t}
   &=& p_\prime \frac{\zeta}{c} - r_\prime \frac{\xi}{a},
   \\
\frac{\displaystyle \partial \frac{\zeta}{c}}{\partial t}
   &=& q_\prime \frac{\xi}{a}   - p_\prime \frac{\eta}{b}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Setzt man die Werthe
$\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t}$,
$\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t}$,
$\displaystyle \frac{\partial \zeta}{\partial t}$
aus (\ref{eqn-2.6}) in (\ref{eqn-2.4}) ein, so erh\"{a}lt man
\begin{eqnarray}
\xi'   &=&  \frac{da}{dt} \frac{\xi}{a}
          + (a r_\prime - b r) \frac{\eta}{b}
          + (c q - a q_\prime) \frac{\zeta}{c},
   \nonumber \\
\label{eqn-2.7}
\eta'  &=&  (a r - b r_\prime) \frac{\xi}{a}
          + \frac{db}{dt} \frac{\eta}{b}
          + (b p_\prime - c p) \frac{\zeta}{c},
    \\
\zeta' &=&  (c q_\prime - a q) \frac{\xi}{a}
          + (b p - c p_\prime) \frac{\eta}{b}
          + \frac{dc}{dt} \frac{\zeta}{c}.
   \nonumber
\end{eqnarray}
Was die geometrische Bedeutung dieser Gr\"{o}ssen betrifft, so
sind, wie leicht ersichtlich ist, $\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ die
Geschwindigkeitscomponenten des Punktes $x$,~$y$,~$z$ der
fl\"{u}ssigen Masse parallel den Axen
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$;
$\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t}$,
$\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t}$,
$\displaystyle \frac{\partial \zeta}{\partial t}$
die ebenso zerlegten relativen Geschwindigkeiten gegen das
Coordinatensystem der $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$; ferner in den
Gleichungen~(\ref{eqn-2.1}) die Gr\"{o}ssen auf der linken Seite
die Beschleunigungen und die auf der rechten die beschleunigenden
Kr\"{a}fte parallel diesen Axen; endlich sind $p$,~$q$,~$r$ die
augenblicklichen Rotationen des Coordinatensystems der
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ um seine Axen und
$p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ haben dieselbe Bedeutung
f\"{u}r das Coordinatensystem der
$\xi_\prime$,~$\eta_\prime$,~$\zeta_\prime$.

\medbreak

\centerline{3.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wenn man nun die Werthe der Gr\"{o}ssen,
$\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ aus (\ref{eqn-2.7}) in die Gleichungen
(\ref{eqn-2.5}) substituirt und mit H\"{u}lfe der Gleichungen
(\ref{eqn-2.6}) die Derivirten von
$\displaystyle \frac{\xi}{a}$,
$\displaystyle \frac{\eta}{b}$,
$\displaystyle \frac{\zeta}{c}$
wieder durch die Gr\"{o}ssen $\xi$, $\eta$, $\zeta$
ausdr\"{u}ckt, so nehmen die Gr\"{o}ssen auf der linken Seite der
Gleichungen~(\ref{eqn-2.1}) die Form linearer Ausdr\"{u}cke von
den Gr\"{o}ssen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ an.  Auf der rechten Seite
hat $V$ die Form
\[ H - A \xi^2 - B \eta^2 - C \zeta^2,\]
worin $H$, $A$, $B$, $C$ auf bekannte Weise von den Gr\"{o}ssen
$a$, $b$, $c$ abh\"{a}ngen; und man gen\"{u}gt ihnen daher, wenn
an der Oberfl\"{a}che der Druck den constanten Werth~$Q$ hat,
indem man
\[ P = Q + \sigma \left( 1
         - \frac{\xi^2}{a^2} - \frac{\eta^2}{b^2} - \frac{\zeta^2}{c^2}
         \right) \]
setzt und die zehn Functionen der Zeit $a$,~$b$,~$c$;
$p$,~$q$,~$r$; $p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ und $\sigma$
so bestimmt, dass die neun Coefficienten der Gr\"{o}ssen $\xi$,
$\eta$, $\zeta$ auf beiden Seiten einander gleich werden und
zugleich die aus der Incompressibilit\"{a}t folgende
Bedingungsgleichung $a b c = a_0 b_0 c_0$ befriedigt wird.  Durch
Gleichsetzung der Coefficienten von
$\displaystyle \frac{\xi}{a}$,
$\displaystyle \frac{\eta}{b}$
in der ersten und von
$\displaystyle \frac{\xi}{a}$
in der zweiten Gleichung ergiebt sich
\[ \frac{d^2 a}{dt^2} + 2b r r_\prime + 2 c q q_\prime
      - a(r^2 + r_\prime^2 + q^2 + q_\prime^2)
   = 2 \frac{\sigma}{a} - 2 \varepsilon a A,\]
\begin{eqnarray*}
a \frac{dr}{dt} - b \frac{dr_\prime}{dt} + 2 \frac{da}{dt} r
      - 2 \frac{db}{dt} r_\prime + a p q + b p_\prime q_\prime
      - 2 c p q_\prime &=& 0,\\
a \frac{dr_\prime}{dt} - b \frac{dr}{dt} + 2 \frac{da}{dt} r_\prime
      - 2 \frac{db}{dt} r + a p_\prime q_\prime + b p q
      - 2 c p_\prime q &=& 0.
\end{eqnarray*}
Aus diesen Gleichungen erh\"{a}lt man die sechs \"{u}brigen durch
cyclische Versetzung der Axen, oder auch durch beliebige
Vertauschungen, wenn man nur dabei beachtet, dass durch
Vertauchung zweier Axen nicht bloss die ihnen entsprechenden
Gr\"{o}ssen vertauscht werden, sondern zugleich die sechs
Gr\"{o}ssen $p, q,\ldots, r_\prime$ ihr Zeichen \"{a}ndern.

Man kann diesen Gleichungen eine f\"{u}r die weitere Untersuchung
bequemere Form geben, wenn man statt der Gr\"{o}ssen
$p$,~$p_\prime$; $q$,~$q_\prime$; $r$,~$r_\prime$ ihre halben
Summen und Differenzen
\[ u  = \frac{p + p_\prime}{2},\quad
   v  = \frac{q + q_\prime}{2},\quad
   w  = \frac{r + r_\prime}{2},\]
\[ u' = \frac{p - p_\prime}{2},\quad
   v' = \frac{q - q_\prime}{2},\quad
   w' = \frac{r - r_\prime}{2},\]
als unbekannte Functionen einf\"{u}hrt.

Dadurch wird das System von Gleichungen, welchen die zehn
unbekannten Functionen der Zeit gen\"{u}gen m\"{u}ssen

\newpage

\begingroup
\def\theequation{$\alpha$}
\begin{equation}
\label{eqn-3.alpha}
\left\{ \!\!\!
\begin{array}{c}
\displaystyle
(a - c) v^2 + (a + c) v'^2 + (a - b) w^2 + (a + b) w'^2
      - \frac{1}{2} \frac{d^2 a}{dt^2}
   = \varepsilon a A - \frac{\sigma}{a},\\[12 pt]
\displaystyle
(b - a) w^2 + (b + a) w'^2 + (b - c) u^2 + (b + c) u'^2
      - \frac{1}{2} \frac{d^2 b}{dt^2}
   = \varepsilon b B - \frac{\sigma}{b},\\[12 pt]
\displaystyle
(c - b) u^2 + (c + b) u'^2 + (c - a) v^2 + (c + a) v'^2
      - \frac{1}{2} \frac{d^2 c}{dt^2}
   = \varepsilon c C - \frac{\sigma}{c},\\[12 pt]
\displaystyle
(b - c) \frac{du}{dt} + 2 \frac{d(b - c)}{dt} u
      + (b + c - 2a) v w + (b + c + 2a) v' w' = 0,\\[12 pt]
\displaystyle
(b + c) \frac{du'}{dt} + 2 \frac{d(b + c)}{dt} u'
      + (b - c + 2a) v w' + (b - c - 2a) v' w = 0,\\[12 pt]
\displaystyle
(c - a) \frac{dv}{dt} + 2 \frac{d(c - a)}{dt} v
      + (c + a - 2b) w u + (c + a + 2b) w' u' = 0,\\[12 pt]
\displaystyle
(c + a) \frac{dv'}{dt} + 2 \frac{d(c + a)}{dt} v'
      + (c - a + 2b) w u' + (c - a - 2b) w' u = 0,\\[12 pt]
\displaystyle
(a - b) \frac{dw}{dt} + 2 \frac{d(a - b)}{dt} w
      + (a + b - 2c) u v + (a + b + 2c) u' v' = 0,\\[12 pt]
\displaystyle
(a + b) \frac{dw'}{dt} + 2 \frac{d(a + b)}{dt} w'
      + (a - b + 2c) u v' + (a - b - 2c) u' v = 0,\\[12 pt]
a b c = a_0 b_0 c_0.
\end{array}
\right.
\end{equation}
\endgroup
Die Werthe von $A$, $B$, $C$ ergeben sich aus dem bekannten
Ausdrucke f\"{u}r $V$
\[ V = H - A \xi^2 - B \eta^2 - C \zeta^2
   = \pi \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \left( 1
          - \frac{\xi^2}{a^2 + s}
          - \frac{\eta^2}{b^2 + s}
          - \frac{\zeta^2}{c^2 + s}
         \right),\]
worin
\[ \Delta = \sqrt{\vphantom{\biggl(}}
         \left( 1 + \frac{s}{a^2} \right)
         \left( 1 + \frac{s}{b^2} \right)
         \left( 1 + \frac{s}{c^2} \right).\]

Nach ausgef\"{u}hrter Integration dieser Differentialgleichungen
hat man noch, um die Functionen
$\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$
zu bestimmen, die allgemeine L\"{o}sung
$\theta$,~$\theta'$,~$\theta''$ der Differentialgleichungen
\begingroup
\def\theequation{$\beta$}
\begin{equation}
\label{eqn-3.beta}
\frac{d\theta}{dt}
   =   r \theta' - q \theta'',\quad
\frac{d\theta'}{dt}
   = - r \theta  + p \theta'',\quad
\frac{d\theta''}{dt}
   =   q \theta  - p \theta'
\end{equation}
\endgroup
zu suchen,---von welchen, wie aus Art.~2, (\ref{eqn-2.3})
hervorgeht,
$\alpha$,~$\alpha'$,~$\alpha''$;
$\beta$,~$\beta'$,~$\beta''$;
$\gamma$,~$\gamma'$,~$\gamma''$
die drei particularen Ausl\"{o}sungen sind, die f\"{u}r $t = 0$
die Werthe
$1$,~$0$,~$0$; $0$,~$1$,~$0$; $0$,~$0$,~$1$
annehmen,---und zur Bestimmung der Functionen
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$
die allgemeine L\"{o}sung der simultanen Differentialgleichungen
\begingroup
\def\theequation{$\gamma$}
\begin{equation}
\label{eqn-3.gamma}
\frac{d\theta_\prime}{dt}
   =   r_\prime \theta_\prime' - q_\prime \theta_\prime'',\quad
\frac{d\theta_\prime'}{dt}
   = - r_\prime \theta_\prime  + p_\prime \theta_\prime'',\quad
\frac{d\theta_\prime''}{dt}
   =   q_\prime \theta_\prime  - p_\prime \theta_\prime'.
\end{equation}
\endgroup

\medbreak

\centerline{4.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Es fragt sich nun, welche H\"{u}lfsmittel f\"{u}r die Integration
dieser Differentialgleichungen
(\ref{eqn-3.alpha}), (\ref{eqn-3.beta}), (\ref{eqn-3.gamma})
die allgemeinen hydrodynamischen Principien darbieten, aus denen
\emph{Dirichlet} sieben Intergrale erster Ordnung der durch die
Functionen $l, m,\ldots, n''$ zu erf\"{u}llenden
Differentialgleichungen (\S.~1.~(a)) sch\"{o}pfte.  Die aus ihnen
fliessenden Gleichungen lassen sich mit H\"{u}lfe der oben
f\"{u}r $\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ gegebenen Ausdr\"{u}cke leicht
herleiten.

Der Satz von der Erhaltung der Fl\"{a}chen giebt
\begin{eqnarray}
(b - c)^2 u + (b + c)^2 u'
   &=& g = \alpha   g^0 + \beta   h^0 + \gamma   k^0,
   \nonumber \\
\label{eqn-4.1}
(c - a)^2 v + (c + a)^2 v'
   &=& h = \alpha'  g^0 + \beta'  h^0 + \gamma'  k^0,
   \\
(a - b)^2 w + (a + b)^2 w'
   &=& k = \alpha'' g^0 + \beta'' h^0 + \gamma'' k^0,
   \nonumber
\end{eqnarray}
worin die Constanten $g^0$, $h^0$, $k^0$, die Anfangswerthe von
$g$, $h$, $k$, mit den Constanten
$\EuFrak{R}$, $\EuFrak{R'}$, $\EuFrak{R''}$
in der Abhandlung von \emph{Dirichlet} \"{u}bereinkommen, er
liefert also das aus den sechs letzten Differentialgleichungen
(\ref{eqn-3.alpha}) leicht zu best\"{a}tigende Resultat, dass
$\theta  = g$, $\theta' = h$, $\theta'' = k$
eine L\"{o}sung der Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.beta})
ist.

Aus dem \emph{Helmholtz}'schen Princip der Erhaltung der Rotation
folgen die Gleichungen
\begin{eqnarray}
(b - c)^2 u + (b + c)^2 u'
   &=& g_\prime
      =    \alpha_\prime   g_\prime^0
         + \beta_\prime    h_\prime^0
         + \gamma_\prime   k_\prime^0,
   \nonumber \\
\label{eqn-4.2}
(c - a)^2 v + (c + a)^2 v'
   &=& h_\prime
      =    \alpha_\prime'  g_\prime^0
         + \beta_\prime'   h_\prime^0
         + \gamma_\prime'  k_\prime^0,
   \\
(a - b)^2 w + (a + b)^2 w'
   &=& k_\prime
      =    \alpha_\prime'' g_\prime^0
         + \beta_\prime''  h_\prime^0
         + \gamma_\prime'' k_\prime^0,
   \nonumber
\end{eqnarray}
in welchen die Constanten $g_\prime^0$, $h_\prime^0$,
$k_\prime^0$ den Gr\"{o}ssen
$BC \EuFrak{A}$, $CA \EuFrak{B}$, $AB \EuFrak{C}$
der genannten Abhandlung gleich sind.

Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft endlich giebt ein
Integral erster Ordnung der
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha})
\begingroup
\def\theequation{\Roman{equation}}
\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
\label{eqn-4.I}
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle
{\textstyle\frac{1}{2}}
         \left(
            \left( \frac{da}{dt} \right)^2
          + \left( \frac{db}{dt} \right)^2
          + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2
         \right) \\[12pt]
      + (b - c)^2 u^2 + (c - a)^2 v^2 + (a - b)^2 w^2 \\
      + (b + c)^2 u_\prime^2 + (c + a)^2 v_\prime^2 + (a + b)^2 w_\prime^2
\end{array} \right\}
   = 2 \varepsilon H + \mathrm{const.}
\end{equation}

Aus den Gleichungen (\ref{eqn-4.1}) und (\ref{eqn-4.2}) folgen
zun\"{a}chst noch zwei Integrale der
Gleichungen~(\ref{eqn-3.alpha})
\begin{equation}
\label{eqn-4.II}
g^2 + h^2 + k^2
   = \mathrm{const.} = \omega^2,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-4.III}
g_\prime^2 + h_\prime^2 + k_\prime^2
   = \mathrm{const.} = \omega_\prime^2.
\end{equation}
Ferner lassen sich von den Gleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) zwei
Integrale
\begin{equation}
\label{eqn-4.IV}
\theta^2 + \theta'^2 + \theta''^2 = \mathrm{const.},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-4.V}
\theta g + \theta' h + \theta'' k = \mathrm{const.}
\end{equation}
\endgroup
angeben, wodurch ihre Integration \emph{allgemein} auf eine
Quadratur zur\"{u}ckgef\"{u}hrt wird.  Zur Aufstellung ihrer
allgemeinen L\"{o}sung ist es jedoch, da sie linear und homogen
sind, nur n\"{o}thig, noch zwei von der L\"{o}sung $g$, $h$, $k$
verschiedene \emph{particulare} L\"{o}sungen zu suchen, f\"{u}r
welchen Zweck man die willk\"{u}rlichen Constanten in diesen
beiden Integralgleichungen so w\"{a}hlen kann, dass sich die
Rechnung vereinfacht.  Giebt man beiden den Werth Null, so hat
man
\setcounter{equation}{2}
\begin{equation}
\label{eqn-4.3}
\theta' h + \theta'' k = - g \theta,
\end{equation}
und ferner erh\"{a}lt man, wenn man diese Gleichung quadrirt und
dazu die Gleichung
\[ - \theta'^2 - \theta''^2 = \theta^2 \]
multiplicirt mit $h^2 + k^2$, addirt
\[ - (\theta' k - \theta'' h)^2 = \omega^2 \theta^2,\]
folglich
\begin{equation}
\label{eqn-4.4}
\theta' k - \theta'' h = \omega i \theta.
\end{equation}

Durch Aufl\"{o}sung dieser beiden linearen Gleichungen
(\ref{eqn-4.3}) und (\ref{eqn-4.4}) findet sich
\begin{equation}
\label{eqn-4.5}
\theta' = - \frac{-gh + k \omega i}{h^2 + k^2} \theta,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-4.6}
\theta'' = - \frac{-gk - h \omega i}{h^2 + k^2} \theta
\end{equation}
und durch Einsetzung dieser Werthe in die erste der
Gleichungen~(\ref{eqn-3.beta})
\[ \frac{1}{\theta} \frac{d\theta}{dt}
   = \frac{\displaystyle -g \frac{dg}{dt}}{h^2 + k^2}
      + \frac{rk + qh}{h^2 + k^2} \omega i,\]
\begin{equation}
\label{eqn-4.7}
\log \theta = {\textstyle\frac{1}{2}} \log (h^2 + k^2)
      + \omega i \int \frac{qh + rk}{h^2 + k^2} \, dt
      + \mathrm{const.}
\end{equation}

Aus dieser in (\ref{eqn-4.5}), (\ref{eqn-4.6}) und (\ref{eqn-4.7})
enthaltenen L\"{o}sung der
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) erh\"{a}lt man eine
dritte, indem man f\"{u}r $\sqrt{-1}$ \"{u}berall $- \sqrt{-1}$
setzt, und es ist dann leicht aus den gefundenen drei
particularen L\"{o}sungen die Ausdr\"{u}cke f\"{u}r die
Functionen $\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$ zu bilden.

Die geometrische Bedeutung jeder reellen L\"{o}sung der
Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.beta}) besteht darin, dass
sie, mit einem geeigneten constanten Factor multiplicirt, die
Cosinus der Winkel ausdr\"{u}ckt, welche die Axen der
$\xi$, $\eta$, $\zeta$ zur Zeit~$t$ mit einer festen Linie
machen.  Diese feste Linie wird f\"{u}r die erste der drei eben
gefundenen L\"{o}sungen durch die Normale auf der
unver\"{a}nderlichen Ebene der ganzen bewegten Masse gebildet,
f\"{u}r den reellen und den imagin\"{a}ren Bestandtheil der
beiden andern durch zwei in dieser Ebene enthaltene und auf
einander senkrechte Linien.  Die Cosinus der Winkel zwischen den
Axen und jener Normalen sind demnach
$\displaystyle \frac{g}{\omega}$,
$\displaystyle \frac{h}{\omega}$,
$\displaystyle \frac{k}{\omega}$;
die Lage der Axen gegen diese Normale ergiebt sich also nach
Aufl\"{o}sung der Gleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) ohne weitere
Integration und zur vollst\"{a}ndigen Bestimmung ihrer Lage
gen\"{u}gt eine einzige Quadratur, z.~B.\ die Integration
\[ \omega \int\limits_0^t \frac{qh + rk}{h^2 + k^2} \, dt,\]
welche die Drehung der durch die Normale und die Axe der $\xi$
gehenden Ebene um die Normale giebt.

Ganz Aehnliches gilt von den
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.gamma}).  Man kann auf
demselben Wege aus den beiden Integralen
\begingroup
\def\theequation{\Roman{equation}}
\setcounter{equation}{5}
\begin{equation}
\label{eqn-4.VI}
\theta_\prime^2 + \theta_\prime'^2 + \theta_\prime''^2
   = \mathrm{const.},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-4.VII}
\theta_\prime g_\prime + \theta_\prime' h_\prime + \theta_\prime'' k_\prime
   = \mathrm{const.}
\end{equation}
\endgroup
ihre allgemeine L\"{o}sung und folglich auch die Werthe der
Gr\"{o}ssen
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$
zur Zeit~$t$ ableiten, und es wird dabei nur eine Quadratur
erforderlich sein.  Es ergiebt sich dann schliesslich der Ort
eines beliebigen Fl\"{u}ssigkeitstheilchens zur Zeit~$t$ aus den
oben (Art.~1, (\ref{eqn-1.1}) und (\ref{eqn-1.4})) f\"{u}r die
Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$ und die Functionen $l, m,\ldots,n''$
gegebenen Ausdr\"{u}cken.

\medbreak

\centerline{5.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wir wollen uns jetzt Rechenschaft dar\"{u}ber geben, was durch
die Zur\"{u}ckf\"{u}hrung der Differentialgleichungen zwischen
den Functionen $l, m,\ldots, n''$ (der Differentialgleichungen
(a) \S.~1 bei \emph{Dirichlet}) auf unsere
Differentialgleichungen f\"{u}r das Gesch\"{a}ft der Integration
gewonnen ist.  Das System der Differentialgleichungen (a) ist von
der sechszehnten Ordnung, und man kennt von denselben sieben
Integrale erster Ordnung, wodurch es auf ein System der neunten
Ordnung zur\"{u}ckgef\"{u}hrt wird.  Das
System~(\ref{eqn-3.alpha}) ist nur von der zehnten Ordnung, und
man kennt von demselben noch drei Integrale erster Ordnung.
Durch die hier bewirkte Umformung jener Differentialgleichung ist
also die Ordnung des noch zu integrirenden Systems von
Differentialgleichungen um zwei Einheiten erniedrigt, und man hat
statt dessen nur schliesslich noch zwei Quadraturen
auszuf\"{u}hren.  Diese Umformung leistet also dasselbe, wie die
Auffindung von zwei Integralen erster Ordnung.

Wir bemerken indess ausdr\"{u}cklich, dass hierdurch unsere Form
der Differentialgleichungen nur f\"{u}r die Integration und die
wirkliche Bestimmung der Bewegung einen Vorzug erh\"{a}lt.
F\"{u}r die allgemeinsten Untersuchungen \"{u}ber diese Bewegung
ist dagegen diese Form der Differentialgleichungen weniger
geeignet, nicht bloss, weil ihre Herleitung weniger einfach ist,
sondern auch deshalb, weil der Fall der Gleichheit zweier Axen
eine besondere Betrachtung erfordert.  Bei Gleichheit zweier Axen
tritt n\"{a}mlich der besondere Umstand ein, dass die ihnen zu
gebende Lage durch die Gestalt der fl\"{u}ssigen Masse nicht
v\"{o}llig bestimmt ist; sie h\"{a}ngt dann im Allgemeinen auch
von der augenblicklichen Bewegung ab und bleibt nur dann
willk\"{u}rlich, wenn diese Bewegung so beschaffen ist, dass die
Axen fortw\"{a}hrend einander gleich bleiben.  Die Untersuchung
dieses Falles ist zwar immer leicht und bedarf daher keiner
weiteren Ausf\"{u}hrung, kann aber in speciellen F\"{a}llen noch
wieder besondere Formen annehmen, und die allgemeinen
Untersuchungen, wie z.~B.\ der allgemeine Nachweis der
M\"{o}glichkeit der Bewegung (\S.~2 bei \emph{Dirichlet}),
w\"{u}rden daher wegen der Menge von besonders zu behandelnden
F\"{a}llen ziemlich weitl\"{a}ufig werden.

Ehe wir zur Behandlung von speciellen F\"{a}llen schreiten, in
welchen sich die Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha})
integriren lassen, ist es zweckm\"{a}ssig, zu bemerken, dass in
einer L\"{o}sung dieser Differentialgleichungen, wie unmittelbar
aus der Form dieser Gleichungen hervorgeht, jede
Zeichen\"{a}nderung der Functionen $u, v,\ldots, w'$ zul\"{a}ssig
ist, bei welcher $u v w$, $u v' w'$, $u' v w'$, $u' v' w$
unge\"{a}ndert bleiben.  Es k\"{o}nnen also erstens die Zeichen
der Functionen $u'$, $v'$, $w'$ gleichzeitig ge\"{a}ndert werden,
und dadurch werden die Gr\"{o}ssen
$\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$
mit den Gr\"{o}ssen
$\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$,
also in dem System der Gr\"{o}ssen
$l, m,\ldots, n''$
die Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht.  Zweitens
k\"{o}nnen gleichzeitig zwei der Gr\"{o}ssenpaare
$u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$
mit den entgegengesetzten Zeichen versehen werden, und diese
Aenderung l\"{a}sst sich auf eine Aenderung in dem Zeichen einer
Coordinatenaxe zur\"{u}ckf\"{u}hren, wobei die Bewegung in eine
ihr symmetrisch gleiche \"{u}bergeht.  In dieser Bemerkung ist
der von \emph{Dedekind} gefundene Reciprocit\"{a}tssatz
enthalten.

\medbreak

\centerline{6.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wir wollen nun den Fall untersuchen, in welchem eins der
Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ fortw\"{a}hrend
gleich Null ist, also z.~B.\ $u = u' = 0$; die geometrische
Bedeutung dieser Voraussetzung ist diese, dass die Hauptaxe stets
in der unver\"{a}nderlichen Ebene der ganzen bewegten Masse liegt
und die augenblickliche Rotationsaxe auf dieser Hauptaxe
senkrecht steht.

Aus den sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha})
folgt sogleich, dass in diesem Falle die Gr\"{o}ssen
\begingroup
\def\theequation{$\mu$}
\begin{equation}
\label{eqn-6.mu}
(c - a)^2 v,\quad (c + a)^2 v',\quad
(a - b)^2 w,\quad (a + b)^2 w'
\end{equation}
constant sind und die Gleichungen
\def\theequation{$\nu$}
\begin{equation}
\label{eqn-6.nu}
\begin{array}{c}
(b + c - 2a) v w  + (b + c + 2a) v' w' = 0,\\
(b - c + 2a) v w' + (b - c - 2a) v' w  = 0
\end{array}
\end{equation}
\endgroup
stattfinden m\"{u}ssen.

\setcounter{equation}{0}

Bei der weiteren Untersuchung ist zu unterscheiden, ob noch ein
zweites der drei Gr\"{o}ssenpaare Null ist oder nicht, und wir
k\"{o}nnen im Allgemeinen nur noch bemerken, dass in Folge der
Gleichungen~(\ref{eqn-6.mu}) die Gr\"{o}ssen
$h$, $k$, $h_\prime$, $k_\prime$ constant sind und folglich auch
die Winkel zwischen den Hauptaxen und der unver\"{a}nderlichen
Ebene der ganzen bewegten Masse, und dass dann ferner aus der
Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.beta}) und
(\ref{eqn-3.gamma}) die Verh\"{a}ltnissgleichungen
\[ g : h : k = p : q : r \]
\[ g_\prime : h_\prime : k_\prime = p_\prime : q_\prime : r_\prime \]
folgen, wodurch die L\"{o}sungen dieser Gleichungen sich
vereinfachen.

\medbreak

{\noindent \itshape \normalsize Erster Fall.  Nur eins der drei
Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ ist gleich
Null.}

\nobreak\medskip

Wenn weder zugleich $v$ und $v'$, noch zugleich $w$ und $w'$ Null
sind, folgt aus den Gleichungen (\ref{eqn-6.mu}) und
(\ref{eqn-6.nu})
\begin{equation}
\label{eqn-6.1}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{v'^2}{v^2}
   = \frac{(2a - b - c)(2a + b - c)}{(2a + b + c)(2a - b + c)}
   = \left( \frac{a - c}{a + c} \right)^4 \mathrm{const.},\\[12 pt]
\displaystyle
\frac{w'^2}{w^2}
   = \frac{(2a - b - c)(2a - b + c)}{(2a + b + c)(2a + b - c)}
   = \left( \frac{a - b}{a + b} \right)^4 \mathrm{const.},
\end{array}
\end{equation}
woraus sich mit Hinzuziehung von
\[ abc = \mathrm{const.} \]
ergiebt, dass $a$, $b$, $c$ und folglich auch $v$, $v'$, $w$,
$w'$ constant sind.

Setzen wir nun
\begin{equation}
\label{eqn-6.2}
\begin{array}{c}
\displaystyle
      \frac{v^2 }{(2a + b + c)(2a - b + c)}
   =  \frac{v'^2}{(2a - b - c)(2a + b - c)}
   =  S,\\[12 pt]
\displaystyle
      \frac{w^2 }{(2a + b + c)(2a + b - c)}
   =  \frac{w'^2}{(2a - b - c)(2a - b + c)}
   =  T,
\end{array}
\end{equation}
so erhalten wir aus den drei ersten
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) die drei Gleichungen
\begin{equation}
\label{eqn-6.3}
(4 a^2 - b^2 - 3 c^2) S + (4 a^2 - 3 b^2 - c^2) T
   = \frac{\varepsilon A}{2} - \frac{\sigma^2}{2 a^2},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-6.4}
\left\{
\begin{array}{c}
\displaystyle
(b^2 - c^2) T
   = \frac{\varepsilon B}{2} - \frac{\sigma^2}{2 b^2}, \\[12 pt]
\displaystyle
(c^2 - b^2) S
   = \frac{\varepsilon C}{2} - \frac{\sigma^2}{2 c^2}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Um hieraus die Werthe von $S$, $T$ und $\sigma$ abzuleiten, beide
man aus den Gleichungen~(\ref{eqn-6.4}) die Gleichungen
\[ b^2 T + c^2 S
   =  \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty
         \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s) (c^2 + s)},\]
\[ T + S
   = \frac{\sigma}{2 b^2 c^2} - \frac{\varepsilon \pi}{2}
         \int\limits_0^\infty
         \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s) (c^2 + s)},\]
und substituire diese Werthe in der Gleichung (\ref{eqn-6.3})
\[ (4 a^2 - b^2 - c^2) (T + S) - 2 (b^2 T + c^2 S)
   = \frac{\varepsilon A}{2} - \frac{\sigma}{2 a^2},\]
wodurch man
\begin{equation}
\label{eqn-6.5}
\frac{D\sigma}{2 a^2 b^2 c^2}
   =  \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \left(
            \frac{2s + 4 a^2 - b^2 - c^2}{(b^2 + s)(c^2 + s)}
          + \frac{1}{a^2 + s}
         \right)
\end{equation}
erh\"{a}lt, wenn zur Abk\"{u}rzung
\begin{equation}
\label{eqn-6.6}
4 a^4 - a^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 = D
\end{equation}
gesetzt wird.

Durch Einsetzung des Werthes von $\sigma$ in die Gleichungen
(\ref{eqn-6.4}) findet sich dann
\begin{eqnarray}
\label{eqn-6.7}
\frac{b^2 - c^2}{b^2 - a^2} DS
  &=& \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty
         \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s)}
         \left(
            \frac{4 a^2 - c^2 + b^2}{c^2 + s}
          - \frac{b^2}{a^2 + s}
         \right),\\
\label{eqn-6.8}
\frac{c^2 - b^2}{c^2 - a^2} DT
  &=& \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty
         \frac{s \, ds}{\Delta (c^2 + s)}
         \left(
            \frac{4 a^2 - b^2 + c^2}{b^2 + s}
          - \frac{c^2}{a^2 + s}
         \right).
\end{eqnarray}

Es bleibt nun noch zu untersuchen, welchen Bedingungen $a$, $b$,
$c$ gen\"{u}gen m\"{u}ssen, damit sich aus den Gleichungen
(\ref{eqn-6.7}) und (\ref{eqn-6.8}) und den
Gleichungen~(\ref{eqn-6.2}) f\"{u}r $v$, $v'$, $w$, $w'$ reelle
Werthe ergeben.

Damit
$\displaystyle \left( \frac{v'}{v} \right)^2$
und
$\displaystyle \left( \frac{w'}{w} \right)^2$
nicht negativ werden, ist es nothwendig und hinreichend, dass die
Gr\"{o}sse
\[ (4 a^2 - (b + c)^2)(4 a^2 - (b - c)^2) \geq 0 \]
sei.  Es muss also $a^2$ entweder
$\displaystyle \geq \left( \frac{b + c}{2} \right)^2$
oder
$\displaystyle \leq \left( \frac{b - c}{2} \right)^2$
sein.

Wenn
$\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$,
m\"{u}ssen die Gr\"{o}ssen $S$ und $T$ beide $\geq 0$ sein, damit
die Gleichungen (\ref{eqn-6.2}) f\"{u}r $v$, $v'$, $w$, $w'$
reelle Werthe liefern.  Man kann nun aber leicht zeigen, dass,
wenn
$\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$,
$D$ und die beiden Integrale auf der rechten Seite der
Gleichungen (\ref{eqn-6.7}) und (\ref{eqn-6.8}) immer positiv
sind.  Man hat dazu nur n\"{o}thig, $D$ in die Form zu setzen
\[ a^2 (4 a^2 - (b + c)^2) + bc (2 a^2 + bc) \]
und das in (\ref{eqn-6.7}) enthaltene Integral in die Form
\[ \frac{\varepsilon \pi}{2 a^2 b^2 c^2} \int\limits_0^\infty
         \frac{s \, ds}{\Delta^3}
         ((4 a^2 - c^2) s + a^2 (4 a^2 + b^2 - c^2) - b^2 c^2),\]
und dann zu bemerken, dass aus
$\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$
die folgenden Ungleichheiten fliessen:
$4 a^2 - (b + c)^2 \geq 0$, $4 a^2 - c^2 > 0$, ferner
\[ 4 a^2 + b^2 - c^2 \geq (b + c)^2 + b^2 - c^2 = 2b (b + c),\]
und folglich
\[ a^2 (4 a^2 + b^2 - c^2) \geq 2b (b + c) a^2
   \geq {\textstyle\frac{1}{2}} b (b + c)^3 > b^2 c^2.\]
Aus diesen Ungleichheiten folgt, dass sowohl $D$, als das
betrachtete Integral nur positive Bestandtheile hat, und dasselbe
gilt auch von dem Integral auf der rechten Seite der
Gleichung~(\ref{eqn-6.8}), welches aus diesem durch Vertauschung
von $b$ und $c$ erhalten wird.  Lassen wir nun $a$ die Werthe von
$\displaystyle \frac{b + c}{2}$
bis $\infty$ durchlaufen, so wird, wenn $b > c$, $T$ immer
positiv bleiben, $S$ aber nur so lange $a < b$.  Die Bedingungen
f\"{u}r diesen Fall sind also, wenn $b$ die gr\"{o}ssere der
beiden Axen $b$ und $c$ bezeichnet,
\begingroup
\def\theequation{\Roman{equation}}
\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
\label{eqn-6.I}
\frac{b + c}{2} \leq a \leq b.
\end{equation}

F\"{u}r die Untersuchung des zweiten Falles, wenn
$\displaystyle a^2 \leq \left( \frac{b - c}{2} \right)^2$,
wollen wir annehmen, dass $b$ die gr\"{o}ssere der beiden Axen
$b$ und $c$ sei, so dass
$\displaystyle a \leq \frac{b - c}{2}$.
Es muss dann, damit $v$, $v'$, $w$, $w'$ reell werden, $S \leq 0$
und $T \geq 0$ sein.  Da aus den Ungleichheiten
\[ b^2 \geq (2a + c)^2 > 4a^2 + c^2 \]
hervorgeht, dass das Integral auf der rechten Seite der
Gleichung~(\ref{eqn-6.8}) in unserm Falle stets negativ ist, so
wird die letztere Bedingung $T \geq 0$ nur erf\"{u}llt werden,
wenn $D (c^2 - a^2) \geq 0$, also $c^2$ entweder
$\displaystyle < \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2}$,
oder $\geq a^2$ ist.  Dieser Fall spaltet sich also wieder in
zwei F\"{a}lle, und diese sind, da
$\displaystyle \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2} < a^2$,
durch einen endlichen Zwischenraum getrennt, so dass von einem
zum andern kein stetiger Uebergang stattfindet.  Da das Integral
in der Gleichung~(\ref{eqn-6.7}), so lange $c^2 \leq a^2$ ist,
wegen der beiden Ungleichheiten $c^2 + s \leq a^2 + s$,
$4 a^2 - c^2 + b^2 > b^2$ nur positiv sein kann, so reduciren
sich die zu erf\"{u}llenden Bedingungen im ersten dieser
F\"{a}lle auf
$\displaystyle a \leq \frac{b - c}{2}$
oder
\begin{equation}
\label{eqn-6.II}
c \leq b - 2a
   \quad\mbox{und}\quad
c^2 < \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2}
\end{equation}
und im zweiten auf
\begin{equation}
\label{eqn-6.III}
a \leq \frac{b - c}{2}
   \quad\mbox{und}\quad
\int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s)}
         \left(
            \frac{4 a^2 - c^2 + b^2}{c^2 + s}
          - \frac{b^2}{a^2 + s}
         \right)
   \leq 0.
\end{equation}
\endgroup
Es ist leicht zu sehen, dass das Integral auf der linken Seite
der letzten Ungleichheit, wenn $a$ die Werthe von $0$ bis $c$
durchl\"{a}uft, negativ bleibt, so lange
$\displaystyle a \leq \frac{c}{2}$
ist, w\"{a}hrend er f\"{u}r $a = c$ einen positiven Werth
annimmt; die genaue Bestimmung der Grenzen aber, innerhalb deren
diese Ungleichheit erf\"{u}llt ist, h\"{a}ngt, wie man sieht, von
der Aufl\"{o}sung einer transcendenten Gleichung ab.

In Bezug auf das Zeichen von $\sigma$, welches bekanntlich
entscheidet, ob die Bewegung ohner \"{a}ussern Druck m\"{o}glich
ist, k\"{o}nnen wir bemerken, dass sich der oben gefundene Werth
dieser Gr\"{o}sse in die Form
\[ \frac{\varepsilon \pi}{D} \int\limits_0^\infty
         \frac{3 s^2 + 6 a^2 s + D}{\Delta^3} \, ds \]
setzten l\"{a}sst, und also in den F\"{a}llen I und III, wo
$D > 0$, jedenfalls positiv ist, f\"{u}r einen negativen Werth
von $D$ aber, wenigstens so lange dieser Werth absolut genommen
unter einer gewissen Grenze liegt, negativ wird.

\medbreak

\centerline{7.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

{\noindent \itshape \normalsize Zweiter Fall.  Zwei der
Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ sind gleich
Null.}

\nobreak\medskip

Wir haben nun noch den Fall zu behandeln, wenn zwei der
Gr\"{o}ssenpaare
$u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$
fortw\"{a}hrend Null sind, und also nur um eine Hauptaxe eine
Rotation stattfindet.

Wenn ausser $u$ und $u'$ auch $v$ und $v'$ fortw\"{a}hrend Null
sind, so reduciren sich die Gleichungen (\ref{eqn-6.mu}) und
(\ref{eqn-6.nu}) auf
\[ (a - b)^2 w = \mathrm{const.} = \tau
   \quad\mbox{und}\quad
   (a + b)^2 w' = \mathrm{const.} = \tau' \]
und die ersten drei Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha})
liefern daher die Gleichungen
\begin{eqnarray}
\frac{\tau^2}{(a - b)^3} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^3}
      - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 a}{dt^2}
   &=& \varepsilon a A - \frac{\sigma}{a},
   \nonumber \\
\label{eqn-7.1}
\frac{\tau^2}{(b - a)^3} + \frac{\tau'^2}{(b + a)^3}
      - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 b}{dt^2}
   &=& \varepsilon b B - \frac{\sigma}{b},
   \\
      - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 c}{dt^2}
   &=& \varepsilon c C - \frac{\sigma}{c},
   \nonumber
\end{eqnarray}
welche verbunden mit
\[ abc = a_0 b_0 c_0 \]
die Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$ und $\sigma$ als Functionen der
Zeit bestimmen.  Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft
giebt f\"{u}r diese Differentialgleichungen das Integral erster
Ordnung
\begin{equation}
\label{eqn-7.2}
{\textstyle\frac{1}{2}}
      \left(
         \left( \frac{da}{dt} \right)^2
       + \left( \frac{db}{dt} \right)^2
       + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2
      \right)
      + \frac{\tau^2}{(a - b)^2} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^2}
   =  2 \varepsilon H + \mathrm{const.},
\end{equation}
woraus unmittelbar hervorgeht, dass wenn $\tau$ nicht Null ist,
die Hauptaxen $a$ und $b$ nie einander gleich werden k\"{o}nnen.

Ausser den schon von \emph{Mac Laurin} und \emph{Dirichlet}
untersuchten F\"{a}llen, wenn $a = b$, l\"{a}sst noch der Fall,
wenn die Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ constant sind, eine Bestimmung
der Bewegung in geschlossenen Ausdr\"{u}cken zu.  In diesem Falle
erh\"{a}lt man aus (\ref{eqn-7.1}) durch Elimination von $\sigma$
die beiden Gleichungen
\begin{equation}
\label{eqn-7.3}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{\tau'^2}{(b + a)^3} + \frac{\tau^2}{(b - a)^3}
   = \frac{\varepsilon \pi}{b} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \frac{(b^2 - c^2) s}{(b^2 + s)(c^2 + s)}
   = K,\\
\displaystyle
\frac{\tau'^2}{(b + a)^3} - \frac{\tau^2}{(b - a)^3}
   = \frac{\varepsilon \pi}{a} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \frac{(a^2 - c^2) s}{(a^2 + s)(c^2 + s)}
   = L,
\end{array}
\end{equation}
worin die Integrale auf der rechten Seite durch $K$ und $L$
bezeichnet werden m\"{o}gen; sie lassen sich auch in die Form
setzen
\begin{eqnarray}
\label{eqn-7.4}
w'^2
  &=& \frac{\tau'^2}{(b + a)^4}
   =  \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \left(
            \frac{s + ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)}
          - \frac{c^2}{ab (c^2 + s)}
         \right),
   \\
\label{eqn-7.5}
w^2
  &=& \frac{\tau^2}{(b - a)^4}
   =  \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
         \left(
            \frac{s - ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)}
          + \frac{c^2}{ab (c^2 + s)}
         \right).
\end{eqnarray}

Nehmen wir an, dass $b$, wie in den fr\"{u}her betrachteten
F\"{a}llen, die gr\"{o}ssere der beiden Axen $a$ und $b$
bezeichne, so liefern diese beiden Gleichungen dann und auch nur
dann f\"{u}r $\tau^2$ und $\tau'^2$ positive Werthe, wenn $K$
positiv und abgesehen vom Zeichen gr\"{o}sser als $L$ ist; und es
ist klar, dass die erste Bedingung erf\"{u}llt ist, so lange
$c < b$.  Der zweiten Bedingung wird gen\"{u}gt, wenn $c = a$,
also $L = 0$ ist, und folglich auch, da $K$ und $L$ sich mit $c$
stetig \"{a}ndern, innerhalb eines endlichen Gebiets zu beiden
Seiten dieses Werthes.  Dieses erstreckt sich aber nicht bis zu
den Werthen $b$ und $0$; denn f\"{u}r $c = b$ w\"{u}rde $\tau'^2$
negativ werden, f\"{u}r ein unendlich kleines $c$ aber $\tau^2$,
da dann
\[ \frac{K}{c} = \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty
      \frac{ds}{\displaystyle
         s^{\frac{1}{2}} (1 + s)^{\frac{3}{2}}
         \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} s \right)^{\frac{1}{2}}},\quad
   \frac{L}{c} = \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty
      \frac{ds}{\displaystyle
         s^{\frac{1}{2}} (1 + s)^{\frac{3}{2}}
         \left( 1 + \frac{a^2}{b^2} s \right)^{\frac{1}{2}}} \]
und folglich $L > K$ wird.  W\"{a}chst $b$, w\"{a}hrend $a$ und
$c$ endlich bleiben, in's Unendliche, so kann $L$ nur dann
kleiner als $K$ bleiben, wenn zugleich $a^2 - c^2$ in's
Unendliche abnimmt; beide Grenzen f\"{u}r $c$ sind also dann nur
unendlich wenig von $a$ verschieden.  Wenn dagegen $b$ seiner
unteren Grenze $a$ unendlich nahe kommt, so convergirt die obere
Grenze f\"{u}r $c$, wo $\tau'^2 = 0$ wird, gegen $a$, die untere
Grenze aber gegen einen Werth, f\"{u}r welchen das Integral auf
der rechten Seite von (\ref{eqn-7.5}) verschwindet.  Zur
Bestimmung dieses Werthes erh\"{a}lt man, wenn man
$\displaystyle \frac{c}{a} = \sin \psi$
setzt, die Gleichung
\[ (-5 + 2 \cos 2 \psi + \cos 4 \psi)(\pi - 2 \psi)
      + 10 \sin 2 \psi + 2 \sin 4 \psi = 0,\]
und diese hat zwischen $\psi = 0$ und
$\displaystyle \psi = \frac{\pi}{2}$
nur eine Wurzel, welche
\[ \frac{c}{a} = 0,303327\ldots \]
giebt.  F\"{u}r $b = a$ kann freilich $c$ jeden Werth zwischen
$0$ und $b$ annehmen, da dann $\tau^2$ wegen des Factors $b - a$
immer Null wird.  Man erh\"{a}lt dann den von \emph{Mac Laurin}
untersuchten Fall, w\"{a}hrend sich f\"{u}r $w^2 = w'^2$ die
beiden von \emph{Jacobi} und \emph{Dedekind} gefundenen F\"{a}lle
ergeben.

Der eben behandelte Fall f\"{a}llt f\"{u}r $b = a$ mit der
Falle (\ref{eqn-6.I}) des vorigen Artikels zusammen und, wenn
\[    \frac{w^2 }{(b + c + 2a)(b - c + 2a)}
   =  \frac{w'^2}{(b + c - 2a)(b - c - 2a)},\]
mit dem Falle~(\ref{eqn-6.III}).  Von den bisher gefundenen vier
F\"{a}llen, in denen das fl\"{u}ssige Ellipsoid w\"{a}hrend der
Bewegung seine Form nicht \"{a}ndert, h\"{a}ngen also diese drei
F\"{a}lle stetig unter einander zusammen, w\"{a}hrend der
Fall~(\ref{eqn-6.II}) isolirt bleibt.

\medbreak

\centerline{8.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Die Untersuchung, ob ausser diesen vier F\"{a}llen noch andere
vorhanden sind, in denen die Hauptaxen w\"{a}hrend der Bewegung
constant bleiben, f\"{u}hrt auf eine ziemlich weitl\"{a}ufige
Rechnung, welche wir nur kurz andeuten wollen, da sie nur ein
negatives Resultat liefert.

Aus der Voraussetzung, dass $a$, $b$, $c$, constant sind, kann
man zun\"{a}chst leicht folgern, dass $\sigma$ constant ist,
indem man die drei ersten
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}), multiplicirt mit
$a$, $b$, $c$, zu einander addirt und dann die
Integralgleichung~\ref{eqn-4.I}, Art.~4. also den Satz von der
Erhaltung der lebendigen Kraft, benutzt.

Durch Differentiation dieser drei Gleichungen erh\"{a}lt man dann
ferner, wenn man die Werthe von
$\displaystyle \frac{du}{dt}$,
$\displaystyle \frac{du'}{dt},\ldots$,
$\displaystyle \frac{dw'}{dt}$,
aus den sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha})
einsetzt, die drei Gleichungen
\begin{eqnarray}
(b - c) u ( v w - v' w' ) + (b + c) u' ( v' w - v w' ) &=& 0,
   \nonumber \\
\label{eqn-8.1}
(c - a) v ( w u - w' u' ) + (c + a) v' ( w' u - w u' ) &=& 0,
   \\
(a - b) w ( u v - u' v' ) + (a + b) w' ( u' v - u v' ) &=& 0,
   \nonumber
\end{eqnarray}
von denen eine eine Folge der \"{u}brigen ist.

I.  Wenn nun keine von den sechs Gr\"{o}ssen $u, u',\ldots, w'$
Null ist, folgt aus diesen Gleichungen die Gleichheit der
folgenden drei Gr\"{o}ssenpaare, deren Werthe wir durch
$2a'$, $2b'$, $2c'$ bezeichnen wollen:
\begin{eqnarray*}
(a - c) \frac{v}{v'} + (a + c) \frac{v'}{v}
   &=& (a - b) \frac{w}{w'} + (a + b) \frac{w'}{w} = 2 a',\\
(b - a) \frac{w}{w'} + (b + a) \frac{w'}{w}
   &=& (b - c) \frac{u}{u'} + (b + c) \frac{u'}{u} = 2 b',\\
(c - b) \frac{u}{u'} + (c + b) \frac{u'}{u}
   &=& (c - a) \frac{v}{v'} + (c + a) \frac{v'}{v} = 2 c'.
\end{eqnarray*}
Es ergiebt sich dann
$a'^2 - b'^2 = a^2 - b^2$,
$b'^2 - c'^2 = b^2 - c^2$,
so dass wir
\[ a  a - a' a' = b b - b' b' = c c - c' c' = \theta \]
setzen k\"{o}nnen, und aus den drei ersten
Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha})
\[ 2 \varpi a' = \mathrm{const.},\quad
   2 \chi b' = \mathrm{const.},\quad
   2 \varrho c' = \mathrm{const.},\]
wenn wir $v v' + w w'$, $w w' + u u'$, $u u' + v v'$ zur
Abk\"{u}rzung durch $\varpi$, $\chi$, $\varrho$ bezeichnen.  Aus
diesen Gleichungen und der aus den Integralgleichungen
\ref{eqn-4.II} und \ref{eqn-4.III} leicht herzuleitenden
Gleichung
\[    (a^2 - b^2)(a^2 - c^2) \varpi
    + (b^2 - a^2)(b^2 - c^2) \chi
    + (c^2 - b^2)(c^2 - b^2) \varrho
   = {\textstyle\frac{1}{4}} (\omega^2 - \omega_\prime^2) \]
folgt, wenn nicht $a = b = c$, dass $\theta$ und folglich
$u, u',\ldots, w'$ constant sein m\"{u}ssen.  Es ergiebt sich
aber leicht, dass dann die sechs letzten Differentialgleichungen
(\ref{eqn-3.alpha}) nicht erf\"{u}llt werden k\"{o}nnen; und
hierdurch ist, wenn nicht alle drei Axen einander gleich sind,
die Unzul\"{a}ssigkeit der Annahme, dass $u, u',\ldots, w'$
s\"{a}mmtlich von Null verschieden sind, erwiesen.

Die Annahme $a = b = c$ w\"{u}rde auf den Fall einer ruhenden
Kugel f\"{u}hren; $u'$, $v'$, $w'$ ergeben sich $= 0$,
$u$, $v$, $w$ aber bleiben ganz willk\"{u}rlich, was davon
herr\"{u}hrt, dass die Lage der Axen in jedem Augenblicke
willk\"{u}rlich ge\"{a}ndert werden kann.

II.  Es bleibt also nur die Annahme \"{u}brig, dass eine der
Gr\"{o}ssen $u, u',\ldots, w'$ Null ist, und diese zieht, wie wir
gleich sehen werden, immer die fr\"{u}her untersuchte
Voraussetzung nach sich, dass eins der drei Gr\"{o}ssenpaare
$u$, $u'$; $v$, $v'$; $w$, $w'$ verschwinde.

1.  Wenn eine der Gr\"{o}ssen $u'$, $v'$, $w'$, z.~B.\ $u' = 0$
ist, folgen aus (\ref{eqn-8.1}) die Gleichungen
\[ (b - c) u v w = 0,\quad (b - c) u v' w' = 0 \]
und diese lassen nur eine von den folgenden Annahmen zu: erstens
die fr\"{u}her untersuchte Voraussetzung, zweitens $b = c$,
drittens $v = 0$ und $w' = 0$ oder $v' = 0$ und $w = 0$, was
nicht wesentlich verschieden ist.

Wenn $b = c$, bleibt $u$ ganz willk\"{u}rlich und kann also auch
$= 0$ gesetzt werden, wodurch der fr\"{u}her untersuchte Fall
eintritt.

Wenn $v = 0$ und $w' = 0$, erh\"{a}lt man aus den
Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha})
\begin{eqnarray*}
(b - c - 2a) u v' w &=& 0,\\
(c + a - 2b) u v' w &=& 0,\\
(a - b + 2c) u v' w &=& 0,
\end{eqnarray*}
und, wenn man die erste dieser Gleichungen zur zweiten addirt,
\[ - (a + b) u v' w = 0;\]
es muss also ausser den Gr\"{o}ssen $u'$, $v$, $w'$ noch eine der
Gr\"{o}ssen $u$, $v'$, $w$ Null sein, wodurch wieder der
fr\"{u}her untersuchte Fall eintritt.

2.  Wenn endlich eine der Gr\"{o}ssen $u$, $v$, $w$, z.~B. $u =
0$ ist, folgt aus den Gleichungen~(\ref{eqn-8.1})
\[ u' v' w = 0,\quad u' v w' = 0 \]
und diese Gleichungen f\"{u}hren entweder zu unserer fr\"{u}heren
Voraussetzung, oder zu der Annahme, $u' = v' = w' = 0$, welche
von der eben untersuchten $u' = v = w' = 0$ nicht wesentlich
verschieden ist, oder endlich zu der Annahme $u = v = w = 0$.
Unter dieser Voraussetzung aber geben die Differentialgleichungen
(\ref{eqn-3.alpha}) $v' w' = w' u' = u' v' = 0$, und es
m\"{u}ssen also noch zwei von den Gr\"{o}ssen $u'$, $v'$, $w'$
Null sein, was wieder den fr\"{u}her behandelten Fall liefert.

Es hat sich also ergeben, dass mit der Best\"{a}ndigkeit der
Gestalt nothwendig eine Best\"{a}ndigkeit des Bewegungszustandes
verbunden ist d.~h., dass allemal, wenn die fl\"{u}ssige Masse
fortw\"{a}hrend denselben K\"{o}rper bildet, auch die relative
Bewegung aller Theile dieses K\"{o}rpers immerfort dieselbe
bleibt.  Die absolute Bewegung im Raume kann man sich in diesem
Falle aus zwei einfacheren zusammengesetzt denken, indem man sich
zuerst der fl\"{u}ssigen Masse eine innere Bewegung ertheilt
denkt, bei welcher sich die Fl\"{u}ssigkeitstheilchen in
\"{a}hnlichen, parallelen und auf einem Hauptschnitte senkrechten
Ellipsen bewegen, und dann dem ganzen System eine
gleichf\"{o}rmige Rotation um eine in diesem Hauptschnitte
liegende Axe.  Wenn dieser Hauptschnitt, wie oben angenommen,
senkrecht zur Hauptaxe $a$ ist, so sind die Cosinus der
Winkel zwischen der Umdrehungsaxe und den Hauptaxen $0$,
$\displaystyle \frac{h}{\omega}$,
$\displaystyle \frac{k}{\omega}$
und die Umdrehungszeit
$\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{q^2 + r^2}}$.
Ferner sind $0$,
$\displaystyle b \frac{h_\prime}{\omega_\prime}$,
$\displaystyle c \frac{k_\prime}{\omega_\prime}$
die auf die Hauptaxen bezogenen Coordinaten des Endpunkts der
augenblicklichen Rotationsaxe, und bei der innern Bewegung sind
die elliptischen Bahnen der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen der in
diesem Punkte an das Ellipsoid gelegten Tangentialebene parallel,
so dass ihre Mittelpunkte in dieser Rotationsaxe liegen.  Die
Theilchen bewegen sich in diesen Bahnen so, dass die nach den
Mittelpunkten gezogenen Radienvectoren in gleichen Zeiten gleiche
Fl\"{a}chen durchstreichen, und durchlaufen sie in der Zeit
$\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{q_\prime^2 + r_\prime^2}}$.

\medbreak

\centerline{9.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wir kehren jetzt zur\"{u}ck zur Betrachtung der Bewegung der
fl\"{u}ssigen Masse in dem Falle, wenn $u$,~$u'$; $v$,~$v'$
fortw\"{a}hrend Null sind und also nur um eine Hauptaxe eine
Rotation stattfindet, und bemerken zun\"{a}chst, dass sich den
Gleichungen~(\ref{eqn-7.1}) Art.~7, nach welchen sich die
Hauptaxen in diesem Falle \"{a}ndern, noch eine andere
anschaulichere mechanische Bedeutung geben l\"{a}sst.  Man kann
sie n\"{a}mlich betrachten als die Gleichungen f\"{u}r die
Bewegung eines materiellen Punktes $(a, b, c)$ von der Masse~$1$,
der gezwungen ist auf einer durch die Gleichung
$abc = \mathrm{const.}$ bestimmten Fl\"{a}che zu bleiben und von
Kr\"{a}ften getrieben wird, deren Potentialfunction der
Gr\"{o}sse
\[ \frac{\tau^2}{(a - b)^2} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^2}
      - 2 \varepsilon H \]
dem Werthe nach gleich und dem Zeichen nach entgegengesetzt ist.

Bezeichnen wir diese Gr\"{o}sse mit $G$, so lassen sich die
Gleichungen f\"{u}r beide Bewegungen in die Form setzen:
\begin{equation}
\label{eqn-9.1}
      \frac{d^2 a}{dt^2} \, \delta a
    + \frac{d^2 b}{dt^2} \, \delta b
    + \frac{d^2 c}{dt^2} \, \delta c
    + \delta G = 0
\end{equation}
f\"{u}r alle unendlich kleinen Werthe von
$\delta a$, $\delta b$, $\delta c$,
welche der Bedingung $a b c = \mathrm{const.}$ gen\"{u}gen; und
der Satz von der Erhaltung der mechanischen Kraft giebt
\[ {\textstyle\frac{1}{2}}
      \left(
         \left( \frac{da}{dt} \right)^2
       + \left( \frac{db}{dt} \right)^2
       + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2
      \right) + G
   = \mathrm{const.},\]
wonach der von der Form\"{a}nderung der fl\"{u}ssigen Masse
unabh\"{a}ngige Theil der mechanischen Kraft $= G$ ist.

Damit $a$, $b$, $c$ und folglich Form und Bewegungszustand des
fl\"{u}ssigen Ellipsoids constant bleiben, wenn
$\displaystyle \frac{da}{dt}$,
$\displaystyle \frac{db}{dt}$,
$\displaystyle \frac{dc}{dt}$
Null sind, ist es offenbar nothwendig und hinreichend, dass die
Variation erster Ordnung der Function~$G$ von den
ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$, zwischen welchen
die Bedingung $a b c = \mathrm{const.}$ stattfindet, verschwinde,
was auf die Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) oder (\ref{eqn-7.4}) und
(\ref{eqn-7.5}) des Art.~7 f\"{u}hrt.  Diese Best\"{a}ndigkeit
des Bewegungszustandes wird aber nur eine labile sein, wenn der
Werth der Function kein Minimumwerth ist; es lassen sich dann
immer beliebig kleine Aenderungen des Zustandes der fl\"{u}ssigen
Masse angeben, welche eine v\"{o}llige Aenderung desselben zur
Folge haben.

Die directe Untersuchung der Variation zweiter Ordnung f\"{u}r
den Fall, wenn die Variation erster Ordnung der Function~$G$
verschwindet, w\"{u}rde sehr verwickelt werden; es l\"{a}sst sich
jedoch die Frage, ob die Function f\"{u}r diesen Fall einen
Minimumwerth habe, auf folgendem Wege entscheiden.

Zun\"{a}chst l\"{a}sst sich leicht zeigen, dass die Function
immer, welche Werthe auch $\tau^2$, $\tau'^2$ und $a$, $b$, $c$
haben m\"{o}gen, f\"{u}r ein System von Werthen der
unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen ein Minimum haben
m\"{u}sse; es folgt dies offenbar aus den drei Umst\"{a}nden,
dass erstens die Function~$G$ f\"{u}r den Grenzfall, wenn die
Axen unendlich klein oder unendlich gross werden, sich einem
Grenzwerth n\"{a}hert, der nicht negativ ist, dass zweitens sich
immer Werthe von $a$, $b$, $c$ angeben lassen, f\"{u}r welche $G$
negativ wird und das drittens $G$ nie negative unendlich werden
kann.  Diese drei Eigenschaften der Function~$G$ ergeben sich
aber aus bekannten Eigenschaften der Function~$H$.  Die
Function~$H$ erh\"{a}lt ihren gr\"{o}ssten Werth in dem Fall,
wenn die fl\"{u}ssige Masse die Gestalt einer Kugel annimmt,
n\"{a}mlich den Werth $2 \pi \varrho^2$, wenn $\varrho$ den
Radius dieser Kugel, also $\root 3 \of {abc}$ bezeichnet; ferner
wird $H$ unendlich klein, wenn eine der Axen unendlich gross und
folglich wenigstens Eine andere unendliche klein wird, jedoch so,
dass, wenn $b$ in's Unendliche w\"{a}chst, $Hb$ nicht unendlich
klein wird, und folglich in der Function~$G$, wenn nicht zugleich
$a$ in's Unendliche w\"{a}chst, der negative Bestandtheil
schliesslich immer den positiven \"{u}berwiegt.

Wenn $\tau^2$ nicht Null ist, muss schon unter den Werthen von
$a$, $b$, $c$, welche der Bedingung $b > a$ gen\"{u}gen, ein
Werthensystem enthalten sein, f\"{u}r welches die Function ein
Minimum wird; denn dann sind die obigen drei Bedingungen, aus
welchen die Existenz eines Minimums folgt, schon f\"{u}r dieses
Gr\"{o}ssengebiet erf\"{u}llt, da $G$ auch f\"{u}r den Grenzfall
$a = b$ nicht negativ wird.

Man kann nun ferner untersuchen, wie viele L\"{o}sungen die
Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) Art.~7 zulassen, welche das
Verschwinden der Variation erster Ordnung bedingen.  Diese
Untersuchung l\"{a}sst sich leicht f\"{u}hren, wenn man die
Werthe der aus ihnen sich ergebenden Ausdr\"{u}cke f\"{u}r
$\tau^2$ und $\tau'^2$ auch f\"{u}r complexe Werthe der
Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$ in Betracht zieht.  Wir k\"{o}nnen
jedoch diese Untersuchung in die gegenw\"{a}rtige Abhandlung
nicht aufnehmen und m\"{u}ssen uns begn\"{u}gen, das Resultat
derselben anzugeben, dessen wir in der Folge bed\"{u}rfen.

Wenn $\tau^2$ nicht Null ist, lassen die Gleichungen
(\ref{eqn-7.3}) auf jeder Seite von $b = a$ nur Eine L\"{o}sung
zu; die Variation erster Ordnung verschwindet also auf jeder
Seite dieser Gleichung nur f\"{u}r ein Werthensystem und die
Function~$G$ muss f\"{u}r dieses ihr Minimum haben, welches wir
durch $G^*$ bezeichnen wollen.

Wenn $\tau^2$ Null ist, verschwindet die Variation erster Ordnung
immer f\"{u}r $b = a$ und einen Werth von $c$, der f\"{u}r
$\tau'^2 = 0$ gleich $a$ ist und mit wachsendem $\tau'^2$
best\"{a}ndig abnimmt.  Die Variation zweiter Ordnung l\"{a}sst
sich f\"{u}r dieses Werthensystem leicht in die Form eines
Aggregats von $(\delta a + \delta b)^2$ und
$(\delta a - \delta b)^2$ setzen, und hierin ist der Coefficient
von $(\delta a + \delta b)^2$ immer positiv, da die Function, wie
aus den fr\"{u}heren Untersuchungen bekannt ist, unter allen
Werthen, die sie f\"{u}r $b = a$ annehmen kann, hier ihren
kleinsten Werth hat.

Der Coefficient von $(\delta a - \delta b)^2$ aber ist
\[ \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta}
      \left(
         \frac{s - ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)}
       + \frac{c^2}{ab (c^2 + s)}
      \right),\]
also nur positiv, wenn
$\displaystyle \frac{c}{a} > 0,303327\ldots$ und folglich
$\tau'^2 < \varepsilon \pi \varrho^4 \mathbin{.} 8,64004\ldots$,
aber negativ, wenn
$\displaystyle \frac{c}{a}$
diesen Werth \"{u}berschreitet.

Die Function~$G$ hat also f\"{u}r dieses Werthensystem nur im
ersten Falle ein Minimum ($G^*$), und die Untersuchung der
Gleichungen~(\ref{eqn-7.3}) zeigt, dass die Variation erster
Ordnung dann nur f\"{u}r dieses Werthensystem verschwindet; in
letztern Falle aber hat sie einen Sattelwerth; sie muss dann
nothwendig noch f\"{u}r zwei Werthensysteme ein Minimum ($G^*$)
haben, und aus der Untersuchung der Gleichungen (\ref{eqn-7.3})
folgt, dass die Variation erster Ordnung nur noch f\"{u}r zwei
Werthensysteme verschwindet, welche durch Vertauschung von $b$
und $a$ aus einander erhalten werden.

Aus dieser Untersuchung ergiebt sich also, dass in dem schon seit
\emph{Mac Laurin} bekannten Falle der Rotation eines
abgeplatteten Umdrehungsellipsoids um seine kleinere Axe die
Best\"{a}ndigkeit des Bewegungszustandes nur labil ist, sobald
das Verh\"{a}ltniss der kleinern Axe zu den andern kleiner ist
als $0,303327\ldots$; bei der geringsten Verschiedenheit der
beiden andern w\"{u}rde in diesem Falle die fl\"{u}ssige Masse
Form und Bewegungszustand v\"{o}llig \"{a}ndern und ein
fortw\"{a}hrendes Schwanken um den Zustand eintreten, welcher dem
Minimum der Function~$G$ entspricht.  Dieser besteht in einer
gleichf\"{o}rmigen Umdrehung eines ungleichaxigen Ellipsoids um
seine kleinste Axe verbunden mit einer gleichgerichteten innern
Bewegung, bei welcher die Theilchen sich in einander
\"{a}hnlichen zur Umdrehungsaxe senkrechten Ellipsen bewegen.
Die Umlaufszeit ist dabei der Umdrehungszeit gleich, so dass
jedes Theilchen schon nach einer halben Umdrehung des Ellipsoids
in seine Anfangslage zur\"{u}ckkehrt.

\medbreak

\centerline{10.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wenn die mechanische Kraft des Systems,
\[ {\textstyle\frac{1}{2}}
      \left(
         \left( \frac{da}{dt} \right)_0^2
       + \left( \frac{db}{dt} \right)_0^2
       + \left( \frac{dc}{dt} \right)_0^2
      \right) + G_0
   = \Omega,\]
welche offenbar nicht kleiner als $G^*$ sein kann, negativ ist,
so kann die Form des Ellipsoids nur innerhalb eines endlichen
durch die Ungleichheit $G \leq \Omega$ begrenzten Gebiets
fortw\"{a}hrend schwanken.

F\"{u}r den Fall, dass $\Omega - G^*$ als unendlich klein
betrachtet werden kann, k\"{o}nnen wir diese Schwankungen leicht
untersuchen.

Denken wir uns in der Function~$G$ f\"{u}r $c$ seinen Werth aus
der Gleichung $abc = a_0 b_0 c_0$ substituirt, so giebt die
Gleichung~(\ref{eqn-9.1}) des vorigen Artikels
\[    \frac{d^2 a}{dt^2}
    - \frac{c}{a} \frac{d^2 c}{dt^2}
    + \frac{\partial G}{\partial a}
   = 0,\quad
      \frac{d^2 b}{dt^2}
    - \frac{c}{b} \frac{d^2 c}{dt^2}
    + \frac{\partial G}{\partial b}
   = 0.\]
Die Werthe von $a$, $b$, $c$ k\"{o}nnen nun stets nur unendlich
wenig von den Werthen, die dem Minimum von $G$ entsprechen,
abweichen, und wenn wir die Abweichungen zur Zeit~$t$ mit
$\delta a$, $\delta b$, $\delta c$ bezeichnen und die Glieder
h\"{o}herer Ordnung vernachl\"{a}ssigen, so erhalten wir zwischen
diesen die Gleichungen
\begin{eqnarray}
      \frac{\delta a}{a}
    + \frac{\delta b}{b}
    + \frac{\delta c}{c}
   &=& 0,
   \nonumber \\
\label{eqn-10.1}
      \frac{d^2 \delta a}{dt^2}
    - \frac{c}{a} \frac{d^2 \delta c}{dt^2}
    + \frac{\partial^2 G}{\partial a^2} \, \delta a
    + \frac{\partial^2 G}{\partial a \, \partial b} \, \delta b
   &=& 0,
   \\
      \frac{d^2 \delta b}{dt^2}
    - \frac{c}{b} \frac{d^2 \delta c}{dt^2}
    + \frac{\partial^2 G}{\partial b^2} \, \delta b
    + \frac{\partial^2 G}{\partial a \, \partial b} \, \delta a
   &=& 0,
   \nonumber
\end{eqnarray}
welchen man bekanntlich gen\"{u}gen kann, wenn man
\[ \frac{d^2 \delta a}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta a,\quad
   \frac{d^2 \delta b}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta b,\]
also auch
\[ \frac{d^2 \delta c}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta c \]
setzt und dann die Constante $\mu \mu$ so bestimmt, dass Eine
eine Folge der \"{u}brigen wird.  Die letztere Bedingung f\"{u}r
$\mu \mu$ kommt mit der Bedingung \"{u}berein, den Ausdruck
zweiten Grades von den Gr\"{o}ssen $\delta a$, $\delta b$
\[ 2 \, \delta^2 G
      - \mu \mu ( \delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2) \]
zu einem Quadrat eines linearen Ausdrucks von diesen Gr\"{o}ssen
zu machen; und dieser gen\"{u}gen, da $\delta^2 G$ und
$\delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2$
wesentlich positiv sind, immer zwei positive Werthe von
$\mu \mu$, welche einander gleich werden, wenn $\delta^2 G$ und
$\delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2$
sich nur durch einen constanten Factor unterscheiden.  Diese
beiden Werthe von $\mu \mu$ geben zwei L\"{o}sungen der
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-10.1}), bei denen sich
$\delta a$, $\delta b$, $\delta c$ einer periodischen Function
der Zeit von der Form $\sin (\mu t + \mathrm{const.})$
proportional \"{a}ndern, und aus denen sich ihre allgemeine
L\"{o}sung zusammensetzen l\"{a}sst.

Jede einzeln genommen liefert periodische unendlich kleine
Oscillationen der Gestalt und des Bewegungszustandes.  Hieraus
w\"{u}rde freilich nur folgen, dass es zwei Arten von
Oscillationen giebt, welche sich desto mehr periodischen
n\"{a}hern, je kleiner sie sind; es ergiebt sich jedoch die
Existenz von endlichen periodischen Schwingungen aus folgender
Betrachtung.

Wenn $\Omega$ negativ ist, muss offenbar $a$ einen und denselben
Werth mehr als einmal annehmen, und betrachten wir die Bewegung
von dem Augenblicke an, wo $a$ einem solchen Werth zum erstenmal
annimmt, so wird die Bewegung durch die Anfangswerthe
$\displaystyle \frac{da}{dt}$,
$\displaystyle \frac{db}{dt}$
und $b$ v\"{o}llig bestimmt sein; es sind also auch die Werthe,
welche diese Gr\"{o}ssen erhalten, wenn $a$ sp\"{a}ter wieder
diesen Werth annimmt, Functionen von ihren Anfangswerthen.  Diese
Functionen wollen wir zusammengenommen durch $\chi$ bezeichnen.
Die Bewegung wird periodisch sein, wenn ihre Werthe den
Anfangswerthen gleich sind.  In Folge der Gleichung
$a b c = \mathrm{const.}$
und des Satzes von der lebendigen Kraft m\"{u}ssen aber, wenn $b$
und
$\displaystyle \frac{da}{dt}$
ihre Anfangswerthe wieder annehmen, auch $c$,
$\displaystyle \frac{db}{dt}$
und
$\displaystyle \frac{dc}{dt}$
wieder ihren Anfangswerthen gleich werden.  Es sind also hierzu
nur zwei Bedingungen zu erf\"{u}llen; und man kann, indem man die
Derivirten der Functionen $\chi$ f\"{u}r den Fall unendlich
kleiner Schwingungen bildet, zeigen, dass diese
Bedingungsgleichungen sich nicht widersprechen und innerhalb
eines endlichen Gebiets reelle Wurzeln haben.

Die Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ lassen sich f\"{u}r diesen Fall
periodischer Schwingungen als Function der Zeit durch
\emph{Fourier}'sche Reihen ausdr\"{u}cken, in welchen
freilich s\"{a}mmtliche Constanten, den von \emph{Dirichlet}
behandelten Fall ausgenommen, nur n\"{a}herungsweise bestimmt
werden k\"{o}nnen.  Dieses kann z.~B. dadurch geschehen, das man
die oben f\"{u}r den Fall unendlich kleiner Schwingungen gemachte
Entwicklung auf Glieder h\"{o}herer Ordnung ausdehnt.

Es schien uns der M\"{u}he werth, diese Bewegungen, welche den
Bewegungen, bei denen Gestalt und Bewegungszustand constant sind,
an Einfachheit zun\"{a}chst stehen, wenigstens einer
oberfl\"{a}chlichen Betrachtung zu unterwerfen.  Wir wollen nun
die Untersuchung, welche wir im vorigen Artikel f\"{u}r den Fall,
wenn nur um eine Hauptaxe eine Rotation stattfindet,
ausgef\"{u}hrt haben, auf alle der \emph{Dirichlet}'schen
Voraussetzung gen\"{u}genden Bewegungen ausdehnen.

\medbreak

\centerline{11.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Um f\"{u}r diesen Zweck die
Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) in eine
\"{u}bersichtlichere Form zu bringen, wollen wir statt der
Gr\"{o}ssen $u, v,\ldots, w'$ die Gr\"{o}ssen
$g, h,\ldots, k_\prime$ einf\"{u}hren und die Bedeutung von $G$
dahin verallgemeinern, dass wir dadurch den Ausdruck
\begin{eqnarray*}
 & &{\textstyle\frac{1}{4}}
   \left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle
      \mathbin{\phantom{+}}
      \left( \frac{g + g_\prime}{b - c} \right)^2
    + \left( \frac{h + h_\prime}{c - a} \right)^2
    + \left( \frac{k + k_\prime}{a - b} \right)^2 \\[12 pt]
\displaystyle
    + \left( \frac{g - g_\prime}{b + c} \right)^2
    + \left( \frac{h - h_\prime}{c + a} \right)^2
    + \left( \frac{k - k_\prime}{a + b} \right)^2
\end{array} \right\} \\
 & &\qquad
      - 2 \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty
         \frac{a_0 b_0 c_0 \, ds}{\sqrt{(a^2 + s)(b^2 + s)(c^2 + s)}},
\end{eqnarray*}
also auch jetzt den von der Form\"{a}nderung unabh\"{a}ngigen
Theil der mechanischen Kraft bezeichnen.

Es wird dann
\[ \begin{array}{c}
\displaystyle
   p = \frac{\partial G}{\partial g},\quad
   q = \frac{\partial G}{\partial h},\quad
   r = \frac{\partial G}{\partial k},\\[12 pt]
\displaystyle
   p_\prime = \frac{\partial G}{\partial g_\prime},\quad
   q_\prime = \frac{\partial G}{\partial h_\prime},\quad
   r_\prime = \frac{\partial G}{\partial k_\prime},
\end{array} \]
und die letzten sechs Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha})
lassen sich daher in die Form setzen
\begin{equation}
\label{eqn-11.1}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{dg}{dt} 
  =   h \frac{\partial G}{\partial k}
    - k \frac{\partial G}{\partial h},\quad
\frac{dg_\prime}{dt} 
  =   h_\prime \frac{\partial G}{\partial k_\prime}
    - k_\prime \frac{\partial G}{\partial h_\prime},
   \\[12 pt]
\displaystyle
\frac{dh}{dt} 
  =   k \frac{\partial G}{\partial g}
    - g \frac{\partial G}{\partial k},\quad
\frac{dh_\prime}{dt} 
  =   k_\prime \frac{\partial G}{\partial g_\prime}
    - g_\prime \frac{\partial G}{\partial k_\prime},
   \\[12 pt]
\displaystyle
\frac{dk}{dt} 
  =   g \frac{\partial G}{\partial h}
    - h \frac{\partial G}{\partial g},\quad
\frac{dk_\prime}{dt} 
  =   g_\prime \frac{\partial G}{\partial h_\prime}
    - h_\prime \frac{\partial G}{\partial g_\prime},
\end{array}
\end{equation}
w\"{a}hrend die drei ersten in
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 a}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial a} - 2 \frac{\sigma}{a}
   &=& 0,
   \nonumber \\
\label{eqn-11.2}
\frac{d^2 b}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial b} - 2 \frac{\sigma}{b}
   &=& 0,
   \\
\frac{d^2 c}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial c} - 2 \frac{\sigma}{c}
   &=& 0
   \nonumber
\end{eqnarray}
\"{u}bergehen.  Wir bemerken zugleich, dass aus der
Integralgleichung~\ref{eqn-4.II}, wenn $\omega = 0$, drei
Integralgleichungen, $g = 0$, $h = 0$, $k = 0$, folgen, d.~h.,
dass diese Gr\"{o}ssen immer Null bleiben, wenn sie anfangs Null
sind.  Dasselbe gilt nat\"{u}rlich auch von den Gr\"{o}ssen
$g_\prime$, $h_\prime$, $k_\prime$.

Aus den Differentialgleichungen (\ref{eqn-11.1}) und
(\ref{eqn-11.2}) ist nun leicht ersichtlich, dass das
Verschwinden der Variation erster Ordnung der Function~$G$ von
den neun ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen
$a, b,\ldots, k_\prime$,
zwischen welchen die drei Bedingungen
\[ a b c = \mathrm{const.},\quad
   g^2 + h^2 + k^2 = \omega^2,\quad
   g_\prime^2 + h_\prime^2 + k_\prime^2 = \omega_\prime^2 \]
stattfinden, nothwendig und hinreichend ist, damit
\[ \frac{d^2 a}{dt^2},\quad
   \frac{d^2 b}{dt^2},\quad
   \frac{d^2 c}{dt^2},\quad
   \frac{dg}{dt},\enspace\ldots,\enspace
   \frac{dk_\prime}{dt} \]
Null werden und also Gestalt und Bewegungszustand des Ellipsoids
constant bleiben, wenn
$\displaystyle \frac{da}{dt}$,
$\displaystyle \frac{db}{dt}$,
$\displaystyle \frac{dc}{dt}$
Null sind.  Die F\"{a}lle, in denen dieses stattfindet, haben wir
fr\"{u}her vollst\"{a}ndig er\"{o}rtert.  Es ergiebt sich nun
aber auch hier wieder leicht, dass die Function~$G$ wenigstens
f\"{u}r Ein System von Werthen der unabh\"{a}ngig
ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen ein Minimum haben m\"{u}sse, da
sie f\"{u}r den alleinigen Grenzfall, wenn die Axen unendlich
gross oder unendlich klein werden, gegen einen Grenzwerth
convergirt, der nicht negativ ist, und, wie wir schon gesehen
haben, immer f\"{u}r gewisse Werthe der unabh\"{a}ngig
ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen negativ wird, ohne je negativ
unendlich zu werden.  F\"{u}r den einem solchen Minimum
entsprechenden constanten Bewegungszustand folgt aus dem Satz von
der Erhaltung der lebendigen Kraft, dass jede der
\emph{Dirichlet}'schen Voraussetzung gen\"{u}gende unendlich
kleine Abweichung von demselben nur unendlich kleine Schwankungen
zur Folge hat, w\"{a}hrend in jedem andern Falle die
Best\"{a}ndigkeit der Gestalt und des Bewegungszustandes nur
labil ist.  Die Aufsuchung der einem Minimum von $G$
entsprechenden Bewegungszust\"{a}nde ist nicht bloss f\"{u}r die
Bestimmung der m\"{o}glichen stabilen Formen einer bewegten
fl\"{u}ssigen und schweren Masse wichtig, sondern w\"{u}rde auch
f\"{u}r die Integration unserer Differentialgleichungen durch
unendliche Reihen die Grundlage bilden m\"{u}ssen; wir wollen
daher jetzt untersuchen, in welchen von den F\"{a}llen, wo ihre
Variation erster Ordnung verschwindet, die Function~$G$ ein
Minimum hat.  Aus jedem von den fr\"{u}her gefundenen F\"{a}llen,
in denen das Ellipsoid seine Form beh\"{a}lt, erh\"{a}lt man zwar
durch Vertauschung der Axen und Aenderungen in den Zeichen der
Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ mehrere Systeme von Werthen
der Gr\"{o}ssen $a, b,\ldots, k_\prime$, welche das Verschwinden
der Variation erster Ordnung der Function~$G$ bewirken; wir
k\"{o}nnen aber diese hier zusammenfassen, da die Function~$G$
f\"{u}r alle denselben Werth hat und in Bezug auf unsere Frage
von allen dasselbe gilt.

Ehe wir die einzelnen F\"{a}lle betrachten, m\"{u}ssen wir ferner
noch bemerken, dass die Untersuchung, wenn $\omega$ oder
$\omega_\prime$ Null ist, eine besondere einfachere Gestalt
annimmt, indem dann $g$, $h$, $k$ oder $g_\prime$, $h_\prime$,
$k_\prime$ aus der Function~$G$ ganz herausfallen.  Die
fr\"{u}here Untersuchung der constanten Bewegungszust\"{a}nde
giebt nur zwei wesentlich verschiedene F\"{a}lle, in denen eine
dieser beiden Gr\"{o}ssen Null wird.  In dem im Art.~6
behandelten Falle kann dies nur eintreten, wenn
\[ \frac{w'^2}{w^2}
   = \frac{(2a - b - c)(2a - b + c)}{(2a + b + c)(2a + b - c)}
   = \left( \frac{a - b}{a + b} \right)^4,\]
also der Ausdruck
\begin{equation}
\label{eqn-11.3}
b^2 c^2 + a^2 b^2 + a^2 c^2 - 3 a^4,
\end{equation}
den wir durch $E$ bezeichnen wollen, Null ist; und dann ergiebt
sich in der That $\omega$ oder $\omega_\prime$ gleich Null.  Die
Gleichung $E = 0$ liefert aber nach $a$ aufgel\"{o}st nur eine
positive Wurzel, die zwischen
$\displaystyle \frac{b + c}{2}$
und $b$ liegt, und kann also nur in Falle~(I) erf\"{u}llt werden.
Ausser diesem Falle giebt noch der im Art.~7 untersuchte Fall
$\omega$ oder $\omega_\prime$ gleich Null, wenn
$\tau^2 = \tau'^2$.

Es l\"{a}sst sich nun zun\"{a}chst zeigen, dass in den F\"{a}llen
(I), (II) und (III) die Function~$G$ keinen Minimumwerth haben
kann, weil sich immer, w\"{a}hrend $a$, $b$, $c$ constant
bleiben, die Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ so \"{a}ndern
lassen, dass der Werth der Function noch abnimmt.  Da $g$ und
$g_\prime$ Null und $h$, $h_\prime$, $k$, $k_\prime$, den Fall
$E = 0$ ausgenommen, nicht Null sind, so finden zwischen den
Variationen dieser Gr\"{o}ssen die Bedingungen statt
\[ \delta g^2 + 2 h \, \delta h + 2 k \, \delta k = 0,\quad
   \delta g_\prime^2 + 2 h_\prime \, \delta h_\prime
      + 2 k_\prime \, \delta k_\prime = 0 \]
und die Variation von $G$ wird
\[ {\textstyle\frac{1}{4}}
      \left(
         \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2
       + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2
      \right)
    + \frac{\partial G}{\partial h} \, \delta h
    + \frac{\partial G}{\partial k} \, \delta k
    + \frac{\partial G}{\partial h_\prime} \, \delta h_\prime
    + \frac{\partial G}{\partial k_\prime} \, \delta k_\prime \]
oder da
\[ \frac{\partial G}{\partial h} : \frac{\partial G}{\partial k}
   = h : k,\quad
   \frac{\partial G}{\partial h_\prime} : \frac{\partial G}{\partial k_\prime}
   = h_\prime : k_\prime \]
\begin{equation}
\label{eqn-11.4}
\delta G = {\textstyle\frac{1}{4}}
      \left(
         \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2
       + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2
      \right)
      - \frac{1}{2h} \frac{\partial G}{\partial h}
            \, \delta g^2
      - \frac{1}{2h_\prime} \frac{\partial G}{\partial h_\prime}
            \, \delta g_\prime^2.
\end{equation}

Bildet man die Determinante dieses Ausdrucks zweiten Grades von
$\delta g$ und $\delta g_\prime$ und substituirt darin die aus
Art.~6 (\ref{eqn-6.1}) sich ergebenden Werthe
\begin{equation}
\label{eqn-11.5}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{2h}{q}
   = b^2 + c^2 - 2 a^2
      \pm \surd ( 4 a^2 - (b + c)^2 ) ( 4a^2 - (b - c)^2 )
   \\[12 pt]
\displaystyle
\frac{2h_\prime}{q_\prime}
   = b^2 + c^2 - 2 a^2
      \mp \surd ( 4 a^2 - (b + c)^2 ) ( 4a^2 - (b - c)^2 )
\end{array}
\end{equation}
und folglich
$\displaystyle \frac{h h_\prime}{q q_\prime} = E$,
so findet sich diese
\[ = \frac{3 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2)}{4 E (b^2 - c^2)^2}.\]
Sie ist also positiv im Falle~(I), wenn $E < 0$, und im
Falle~(III), aber negativ im Falle~(I), wenn $E = 0$, und im
Falle~(II).  In den beiden ersteren F\"{a}llen kann daher der
Ausdruck~(\ref{eqn-11.4}) sowohl positive, als negative Werthe
annehmen, in den beiden andern aber entweder nur positive, oder
nur negative.  Er erh\"{a}lt aber f\"{u}r
$\delta g_\prime = - \delta g$
den Werth
\[ \delta g^2 \, \left( \frac{1}{(b + c)^2}
      - \frac{b^2 + c^2 - 2 a^2}{2E} \right),\]
welcher unter den in diesen F\"{a}llen geltenden Voraussetzungen
immer negativ ist, wie man leicht sieht, wenn man ihn in die
Form setzt
\[ - \frac{(b^2 + c^2 - 2 a^2) (b^2 + 4bc + c^2 + 2 a^2)
      + (4 a^2 - (b + c)^2) (4 a^2 - (b - c)^2)}{4 (b + c)^2 E}
      \, \delta g^2 \]
und bemerkt, dass $b^2 + c^2 - 2 a^2$ stets positiv ist, wenn
$E \geq 0$.

Wenn eine der beiden Gr\"{o}ssen $\omega$ oder $\omega_\prime$,
z.~B.\ $\omega_\prime = 0$ ist, wird die Bedingungsgleichung
zwischen $\delta g_\prime$, $\delta h_\prime$, $\delta k_\prime$
\[ \delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2 + \delta k_\prime^2 = 0;\]
der Ausdruck der Variation von $G$ reducirt sich folglich auf
\[ \delta G = {\textstyle\frac{1}{2}}
      \left( \frac{b^2 + c^2}{(b^2 - c^2)^2} - \frac{q}{h} \right)
      \, \delta g^2 \]
und aus (\ref{eqn-11.5}) erh\"{a}lt man, da
$\displaystyle \frac{2 h_\prime}{q_\prime} = 0$,
\[ \frac{h}{q} = b^2 + c^2 - 2 a^2. \]
Durch Einsetzung dieses Werthes ergiebt sich
\[ \delta G = - \frac{(b^2 + c^2) (4 a^2 - (b + c)^2)
       + (b - c)^2 (b^2 + 4 b c + c^2)}{
      4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2 - 2 a^2)} \delta g^2 \]
also negativ, da $b^2 + c^2 - 2 a^2$ und $4 a^2 - (b + c)^2$ in
diesem Falle positiv sind.

In allen diesen F\"{a}llen hat also die Function~$G$ keinen
Minimumwerth, und wir haben nun nur noch den Fall des Art.~7 zu
betrachten, wobei wir den singul\"{a}ren Fall, wo $b = a$ und
$\tau'^2 > \varepsilon \pi \varrho^4 \mathbin{.} 8,64004\ldots$,
ganz ausschliessen k\"{o}nnen.  Wenn eine der beiden Gr\"{o}ssen
$\omega^2$ oder $\omega_\prime^2$ Null ist, liefert dieser Fall
f\"{u}r jeden gegebenen Werth der andern Gr\"{o}sse nur Einen
constanten Bewegungszustand, f\"{u}r welchen $\tau^2 = \tau'^2$,
und die Function~$G$ muss dann f\"{u}r diesem ihr Minimum haben.
F\"{u}r je zwei gegebene von Null verschiedene Werthe von
$\omega^2$ und $\omega_\prime^2$ aber liefert dieser Fall zwei
constante Bewegungszust\"{a}nde der fl\"{u}ssigen Masse, die
durch Vertauschung von $\tau^2$ und $\tau'^2$ in einander
\"{u}bergehen; denn man kann, um $\tau^2$ und $\tau'^2$ aus
$\omega^2$ und $\omega_\prime^2$ zu bestimmen,
\[ \tau  = \frac{\omega + \omega_\prime}{2},\quad
   \tau' = \frac{\omega - \omega_\prime}{2} \]
setzen und dabei die Zeichen von $\omega$ und $\omega_\prime$
beliebig w\"{a}hlen.

Man kann aber leicht zeigen, dass in dem einen Falle wenn
$\omega$ und $\omega_\prime$ gleiche Zeichen haben und also
$\tau^2$ den gr\"{o}sseren Werth hat, kein Minimum von $G$
stattfindet.  Die Bedingungen aus den Variationen der Gr\"{o}ssen
$g, h,\ldots, k_\prime$ sind jetzt
\[ \delta g^2 + \delta h^2 + 2 k \, \delta k = 0,\quad
   \delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2
      + 2 k_\prime \, \delta k_\prime = 0,\]
und die Variation von $G$ wird daher
\begin{eqnarray*}
  & &{\textstyle\frac{1}{4}}
   \left\{
   \begin{array}{c}
         \displaystyle
         \mathbin{\phantom{+}}
         \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2
       + \left( \frac{\delta h + \delta h_\prime}{c - a} \right)^2
   \\[12 pt]
         \displaystyle
       + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2
       + \left( \frac{\delta h - \delta h_\prime}{c + a} \right)^2
   \end{array}
   \right\}
   \\
  & &\qquad - {\textstyle\frac{1}{4}}
   \left\{
   \begin{array}{c}
         \displaystyle
         \mathbin{\phantom{+}}
         \left(
            \frac{\displaystyle
               1 + \frac{\omega_\prime}{\omega}}{(a - b)^2}
          + \frac{\displaystyle
               1 - \frac{\omega_\prime}{\omega}}{(a + b)^2}
         \right)
         (\delta g^2 + \delta h^2)
   \\[24 pt]
         \displaystyle
       + \left(
            \frac{\displaystyle
               1 + \frac{\omega}{\omega_\prime}}{(a - b)^2}
          + \frac{\displaystyle
               1 - \frac{\omega}{\omega_\prime}}{(a + b)^2}
         \right)
         (\delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2)
   \end{array}
   \right\}.
\end{eqnarray*}
Diese aber erh\"{a}lt einen negativen Werth, wenn $\omega$ und
$\omega_\prime$ gleiche Zeichen haben und
$\delta h = \delta h_\prime = 0$,
$\delta g_\prime = - \delta g$
angenommen wird; denn es ergiebt sich
\[ \delta G
   =  \left\{
         \frac{1}{(b + c)^2} - \frac{1}{(b + a)^2}
       + \left( \frac{1}{(b + a)^2} - \frac{1}{(b - a)^2} \right)
         \frac{(\omega + \omega_\prime)^2}{4 \omega \omega_\prime}
      \right\} \, \delta g^2 \]
und hierin ist
\[ \frac{1}{(b + a)^2} < \frac{1}{(b - a)^2}
   \quad\mbox{und auch}\quad
   \frac{1}{(b + c)^2} < \frac{1}{(b + a)^2},\]
da f\"{u}r $c \leq a$ nach Art.~7 (\ref{eqn-7.3})
\[ \frac{\tau'^2}{(b + a)^2} \geq \frac{\tau^2}{(b - a)^2},\]
folglich $\tau'^2 > \tau^2$ ist und also $\tau^2$ nur gr\"{o}sser
als $\tau'^2$ sein kann, wenn $c > a$.

Die Function hat also auch in diesem Falle kein Minimum und muss
folglich in dem allein noch \"{u}brig bleibenden Falle ihre
Minimum haben.

   Dieses findet demnach statt f\"{u}r die im Art.~7 betrachtete
Bewegung, wenn $\tau^2 \leq \tau'^2$ (den oben angegebenen
singul\"{a}ren Fall ausgenommen); und in diesem Falle w\"{u}rde
daher, w\"{a}hrend in allen andern F\"{a}llen die
Best\"{a}ndigkeit der Gestalt und des Bewegungszustandes nur
labil ist, jede der \emph{Dirichlet}'schen Voraussetzung
gen\"{u}gende unendlich kleine Aenderung in der Gestalt und dem
Bewegungszustande der fl\"{u}ssigen Masse nur unendlich kleine
Schwankungen zur Folge haben.  Hieraus folgt freilich nicht, dass
der Zustand der fl\"{u}ssigen Masse in diesem Falle stabil ist.
Die Untersuchung, unter welchen Bedingungen dieses stattfindet,
w\"{u}rde sich wohl, da sie auf lineare Differentialgleichungen
f\"{u}hrt, mit bekannten Mitteln ausf\"{u}hren lassen.  Wir
m\"{u}ssen jedoch auf die Behandlung dieser Frage in dieser
Abhandlung verzichten, die nur der weiteren Entwicklung des
sch\"{o}nen Gedankens gewidmet ist, mit welchem \emph{Dirichlet}
seine wissenschaftliche Th\"{a}tigkeit gekr\"{o}nt hat.

\end{document}

