Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il dì 21 Gennaio 1864 al Sig.

Professore Enrico Betti.

Bernhard Riemann

[Annali di Matematica, Ser. 1, T. VII., pp. 281–283.]

Transcribed by D. R. Wilkins

Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000

Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il dì 21 Gennaio 1864 al Sig. Professore Enrico Betti.

Bernhard Riemann

[Annali di Matematica, Ser. 1, T. VII., pp. 281–283.]

Carissimo Amico

… Per trovare l’attrazione di un cilindro omogeneo retto ellisoidale qualunque, io considero, introducendo coordinate rettangolari x, y, z, il cilindro infinito limitato della diseguaglianza:

1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} > 0

ripieno di massa di densità costante +1, se z < 0, e di densità −1, se z > 0. Allora se poniamo, come è solito, il potenziale nel punto x, y, z eguale a V e:

\frac{∂V}{∂x} = X, \frac{∂V}{∂y} = Y, \frac{∂V}{∂z} = Z,

si ha per z = 0, V = 0, X = 0, Y = 0.

Z è eguale al potenziale dell’ellisse:

1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} > 0

colla densità 2, e si trova col metodo di Dirichlet, se denotiomo con σ la radice maggiore dell’equazione:

1 − \frac{x^{2}}{a^{2} + s} − \frac{y^{2}}{b^{2} + s} − \frac{z^{2}}{s} = F = 0,

e

\sqrt{(1 + \frac{s}{a^{2}} ) (1 + \frac{s}{b^{2}} ) s}

con D:

4 ∫_{σ}^{∞} \frac{\sqrt{F} ds}{D}.

X ed Y si possono determinare dalle equazioni:

\frac{∂X}{∂z} = \frac{∂Z}{∂x} , \frac{∂Y}{∂z} = \frac{∂Z}{∂y}

e dalle condizioni:

X = 0, Y = 0

per z = 0.

Per effettuare questa determinazione conviene di sostituire invece di 4 ∫_{σ}^{∞},

2 ∫_{∞}^{∞} esteso per il contorno intero di un pezzo del Piano degli s, che contiene il

valore σ senza contenere verun altro valore di diramazione o di discontinuità della funzione sotto il segno integrale. Se denotiamo le radici di F = 0 in ordine di grandezza con σ, σ′, σ′′ questi valori sono tutti reali e in ordine di grandezza:

σ, 0, σ′, −b^{2}, σ′′, −a^{2},

in modo che:

σ > 0 > σ′ > −b^{2} > σ′′ > −a^{2}.

Posto:

F = t − \frac{z^{2}}{s} ,

viene

Z = 2 ∫_{∞}^{∞} \frac{\sqrt{ts − z^{2}}}{D\sqrt{s}} ds,

\frac{∂X}{∂z} = \frac{∂Z}{∂x} = ∫_{∞}^{∞} \frac{s\frac{∂t}{∂x}(ts − z^{2})^{− \frac{1}{2}}}{D\sqrt{s}} ds;

ma:

∫_{0}^{z}(ts − z^{2})^{− \frac{1}{2}} dz = ∫_{0}^{\frac{z}{\sqrt{ts}}}(1 − ξ^{2})^{− \frac{1}{2}} dξ = ∫_{0}^{\frac{z}{\sqrt{ts}}}(\frac{1}{ξ^{2}} − 1)^{− \frac{1}{2}} d log ξ,

e:

\frac{s\frac{∂t}{∂x} ds}{D\sqrt{s}} = −2abx(a^{2} + s)^{− \frac{3}{2}} (b^{2} + s)^{− \frac{1}{2}} ds = \frac{4abx}{b^{2} − a^{2}} d\sqrt{\frac{b^{2} + s}{a^{2} + s}}.

Dunque si trova per integrazione parziale:

X = \frac{2abxz}{b^{2} − a^{2}} ∫_{∞}^{∞}\sqrt{\frac{b^{2} + s}{a^{2} + s}} (ts − z^{2})^{− \frac{1}{2}} d log ts.

Se si prende la via dell’ integrazione come nella espressione di Z il valore dell’ integrale sodisfa sempre alla condizione:

\frac{∂X}{∂z} = \frac{∂Z}{∂x};

ma può differire di funzioni di x e di y, la funzione sotto segno integrale essendo discontinua anche per t = 0. Dunque occorre una determinazione olteriore della via dell’ integrazione.

Nella espressione di \frac{∂X}{∂z} = \frac{∂Z}{∂x} la funzione sotto segno integrale è continua per s = 0; dunque il pezzo del piano degli s, per il cui contorno l’integrale è esteso, deve contenere s = σ e può contenere o no s = 0, ma nessuno altro dei valori supra notati. Nella espressioni di X questo pezzo deve essere determinato in modo che X sia = 0 per z = 0: e affinchè ciò avvenga, dovendo contenere s = σ, deve anche contenere la maggiore radice di ts = 0 (la quale è la maggiore radice di t = 0, se

1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} < 0,

ed è = 0, se:

1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} > 0)

ma nessun altra radice di ts = 0. Perchè per z = 0 le radici di F = 0 coincidono colle radici di ts = 0, e se la via dell’ integrazione passasse tra due valori di discontinuità che coincidono per z = 0, doverebbe per z = 0 passare per questo valore in modo che l’integrale nella espressione di X diverrebbe infinito ed il valore nonostante il fattore z rimarrebbe finito. …

Vostro aff^{mo} Amico Riemann.