% This paper has been transcribed in Plain TeX by
% David R. Wilkins
% School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland
% (dwilkins@maths.tcd.ie)
%
% Trinity College, 1st June 1999.

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\centerline{\Largebf SUR UN M\'{E}MOIRE DE M.~PLANA}

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\centerline{\Largebf By}

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\centerline{\Largebf William Rowan Hamilton}

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\centerline{\largerm (Correspondance Math\'{e}matique et Physique,
   tome~8 (1834), pp. 27--30.)}

\vskip36pt

\vfill

\centerline{\largerm Transcribed by David R. Wilkins}

\vskip 12pt

\centerline{\largerm 1999}

\vskip36pt\eject

\null\vskip36pt

{\largeit\noindent
Remarques de M.~Hamilton, Directeur de l'Observatoire de Dublin,
sur un M\'{e}moire de M.~Plana ins\'{e}r\'{e} dans le Tome~VII de
la Correspondance Math. (Extrait d'une Lettre).}

\bigskip

\centerline{[{\it Correspondance Math\'{e}matique et Physique},
   8 (1834), pp. 27--30.]}

\bigbreak

Les recherches de M.~Plana sur les rayons r\'{e}fract\'{e}s ne
paraissent pas termin\'{e}es dans la
livraison\footnote{*}{2${}^{\rm e}$ livraison.}
que j'ai vue; mais sa difficult\'{e} est clairement \'{e}tablie
dans cette livraison pour le cas des rayons r\'{e}fract\'{e}s, et
si on ne pouvait la vaincre pour ce cas important, elle serait
une fatale objection contre le th\'{e}or\`{e}me des trajectoires
othogonales.  M.~Plana, lui-m\^{e}me, para\^{\i}t cependant
regarder ce th\'{e}or\`{e}me comme vrai, et il soup\c{c}onne en
cons\'{e}quence qu'il y a dans son analyse quelque vice
radical,\footnote\dag{``Il y a dans l'analyse pr\'{e}c\'{e}dente
un vice radical, qui \'{e}chappe \`{a} toutes mes
r\'{e}flexions.'' M\'{e}m.\ pag.~99.}
qu'il n'a pu reconna\^{\i}tre.  S'il me fait l'honneur de lire les
remarques suivantes, il sera convaincu, je crois, que ce
soup\c{c}on n'est pas fond\'{e}, et que son analyse ne demande
qu'\`{a} \^{e}tre pouss\'{e}e un peu plus loin, afin de
d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me avec lequel elle para\^{\i}t en
opposition.

M.~Plana d\'{e}signe par $x$~$y$~$z$, les coordonn\'{e}es du
point sur une surface r\'{e}fl\'{e}chissante
$$z = f(x, y),\quad dz = p \, dx + q \, dy,$$
o\`{u} la surface est rencontr\'{e}e par un rayon incident issu
normalement d'un point $x'$~$y'$~$z'$ d'une certaine autre
surface
$$z' = F(x', y'),\quad dz' = p' \, dx' + q' \, dy';$$
de mani\`{e}re qu'en d\'{e}signant par $r$ la portion
intercept\'{e}e de ce rayon, il a
$$r^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2,
   \leqno {\rm (II)}$$
et
$$\left. \eqalign{
x - x' + p' \, (z - z') &= 0,\cr
y - y' + q' \, (z - z') &= 0.\cr}
   \right\}
   \eqno {\rm (n)}$$

Il consid\`{e}re $x'$, $y'$ et par suite $z'$, $r$ comme
fonctions des deux variables ind\'{e}pendantes $x$,~$y$
d\'{e}termin\'{e}es par les \'{e}quations pr\'{e}c\'{e}dentes, et
prouve qu'elles donnent par la diff\'{e}rentiation
$$r {dr \over dx} = x - x' + p (z - z'),
   \leqno {\rm (III)}$$
$$r {dr \over dy} = y - y' + q (z - z').
   \leqno {\rm (IV)}$$

Il pose, par abr\'{e}viation,
$$a' = {x - x' \over z - z'},\quad
  b' = {y - y' \over z - z'},
   \leqno {\rm (a)}$$
et il suppose, pour simplifier, que le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par
le point $x$~$y$~$z$ coincide avec l'axe des $z$; auqel cas, il
prouve qu'on a
$$\eqalign{
a' (1 + p^2 + q^2) + 2p (1 - a' p - b' q) &= 0,\cr
b' (1 + p^2 + q^2) + 2q (1 - a' p - b' q) &= 0;\cr}
   \leqno {\rm (b)}$$
et finalement il d\'{e}duit, comme la condition de
l'orthogonalit\'{e} des surfaces d\'{e}veloppables form\'{e}es par
les rayons r\'{e}fl\'{e}chis, une \'{e}quation qui peut \^{e}tre
exprim\'{e}e ainsi:
$$2q ( p + a') {dx' \over dx}
      + (2 b' q - 1 - p^2 + q^2) {dy' \over dx}
    = 2p ( q + b') {dy' \over dy}
      + (2 a' p - 1 - q^2 + p^2) {dx' \over dy}:\footnote{\hbox{*}}{Ce
coefficient diff\'{e}rentiel partiel est
$\displaystyle {dy' \over dx}$
dans la livraison (page 98 derni\`{e}re ligne) mais
\'{e}videmment par une erreur typographique.}
   \leqno {\rm (c)}$$
mais M.~Plana ne voit pas de preuve analytique que cette
\'{e}quation soit vraie, except\'{e} dans des cas particuliers.

Pour \'{e}carter cette difficult\'{e}, j'observe que les
\'{e}quations (n) de M.~Plana combin\'{e}es avec les
\'{e}quations d\'{e}finitives (a) et avec la formule
$dz' = p' \, dx' + q \, dy'$, donnent
$$dz' = - (a' \, dx' + b' \, dy');$$
si l'on diff\'{e}rentie l'\'{e}quation (IV) par rapport \`{a}
$x$, et l'\'{e}quation (III) par rapport \`{a} $y$, on trouve en
comparant
$$\eqalign{
r {d^2 r \over dx \, dy} + {dr \over dx} {dr \over dy}
      - (z - z') {d^2 z \over dx \, dy} - pq
   &= a' q {dx' \over dx} + (b' q - 1) {dy' \over dx} \cr
   &= b' p {dy' \over dy} + (a' p - 1) {dx' \over dy}:\cr}
   \leqno {\rm (e)}$$
d'o\`{u} il suit facilement, \`{a} cause de (b), que
l'\'{e}quation (c) est vraie,\footnote\dag{(c) et (e) peuvent
s'\'{e}crire, \`{a} cause de (b),
$$2pq {dx' \over dx} +(1 - p^2 + q^2) {dy' \over dx}
   = 2pq {dy' \over dy} + (1 - q^2 + p^2) {dx' \over dy}.$$}
et qu'ainsi les surfaces d\'{e}veloppables des rayons
r\'{e}fl\'{e}chis sont en g\'{e}n\'{e}ral perpendiculaires les
unes aux autres; ou, en d'autres termes, que les rayons
r\'{e}fl\'{e}chis sont en g\'{e}neral normaux \`{a} une surface,
quand les rayons incidens sont normaux \`{a} une autre.

En compl\'{e}tant ainsi l'analyse de M.~Plana sur ce point
important, j'ai cru devoir, par l'estime que je lui porte,
adopter sa m\'{e}thode et sa notation.  La marche que je suis
pour d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de Huyghens, sur
l'existence d'une s\'{e}rie des surfaces perpendiculaires aux
rayons d'un syst\`{e}me ordinaire homog\`{e}ne quelconque, est
d'apr\`{e}s l'expression fondamentale que j'ai \'{e}tablie pour
la variation de ma {\it fonction
caract\'{e}ristique\/}~$V$,\footnote*{Dans un des num\'{e}ros
suivans de la {\it Correspondance}, nous donnerons un aper\c{c}u
des travaux analytiques de M.~Hamilton sur l'optique.}
la suivante
$$\delta V = \delta \int v \, ds
   =    {\delta v \over \delta \alpha} \, \delta x
      + {\delta v \over \delta \beta}  \, \delta y
      + {\delta v \over \delta \gamma} \, \delta z;$$
\'{e}quation dans laquelle $x$~$y$~$z$ sont les coordonn\'{e}es
rectangulaires d'un point quelconque sur un rayon quelconque du
syst\`{e}me; et $\alpha$~$\beta$~$\gamma$ sont les cosinus des
angles du rayon avec les demi-axes positifs de ses
coordonn\'{e}es; tandis que $v$ est la vitesse corpusculaire le
long du rayon, exprim\'{e}e comme une fonction homog\`{e}ne de la
premi\`{e}re dimension des cosinus de la direction
$\alpha$~$\beta$~$\gamma$.  Dans le fait, pour des syst\`{e}mes
ordinaires, cette formule g\'{e}n\'{e}rale se r\'{e}duit \`{a} la
suivante:
$$\delta V
   = v (\alpha \, \delta x + \beta \, \delta y + \gamma \, \delta z),$$
et elle montre que les rayons d'un pareil syst\`{e}me sont
perpendiculaires \`{a} chacune de ces surfaces pour lesquelles ma
fonction $V$ est \'{e}gale \`{a} toute quantit\'{e} constante.
Dans la th\'{e}orie ondulatoire de la lumi\`{e}re, les surfaces
perpendiculaires sont des ondes.  Quand les rayons d'un
syst\`{e}me ordinaire sont incidens sur un cristal, les rayons
r\'{e}fract\'{e}s extraordinaires ne sont pas en g\'{e}n\'{e}ral
perpendiculaires aux ondes ni \`{a} aucune autre surface commune;
les rayons extraordinaires ont, cependant, des surfaces
perpendiculaires das une certaine classe de cas,
d\'{e}termin\'{e} par une \'{e}quation diff\'{e}rentielle
partielle du second ordre, que j'ai pu int\'{e}grer pour les
cristaux \`{a} un axe.  Quelle que puisse \^{e}tre la disposition
des rayons dans le cristal, ils deviennent de nouveau
perpendiculaires aux surfaces pour lesquelles ma fonction~$V$ est
constante, quand ils \'{e}mergent dans un milieu ordinaire.

\bigskip

\line{{\it Observatoire de Dublin,}\hfill}
\line{\qquad {\it le\/} 16 {\it ao\^{u}t} 1833.\hfill}

\bye
