Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 828.11006
Autor: Erdös, Paul; Nathanson, Melvyn B.; Tetali, Prasad
Title: Independence of solution sets and minimal asymptotic bases. (In English)
Source: Acta Arith. 69, No.3, 243-258 (1995).
Review: Sei A \subseteq N and 2 \leq k in N; dann bedeutet rA (n) die Anzahl der Darstellungen von n als (1) n = a1+a2+···+ak mit (2) a1 \leq a2 \leq ··· \leq ak (ai in A: i = 1, ..., k) and rA' (n) die Anzahl der eingeschränkten Darstellungen von n in der Form (1) mit (3) a1 < a2 < ··· < ak (ai in A; i = 1, ..., k). Eine Menge A heißt asymptotische Basis k-ter Ordnung, wenn es ein n1 in N gibt mit rA(n) > 0 für alle n > n1; eine Menge A heißt eingeschränkte asymptotische Basis k-ter Ordnung, wenn es ein n1 in N gibt mit rA' (n) > 0 für alle n > n1.
Eine asymptotische Basis A k-ter Ordnung heißt minimal, wenn A \ {a} für ein a in A keine asymptotische Basis k-ter Ordnungist (entsprechend für eingeschränkte asymptotische Basen). Ferner heißt eine asymptotische Basis A k-ter Ordnung \aleph0-minimal, wenn für jede endliche Teilmenge F \subset A die Menge A \ F asymptotische Basis k-ter Ordnung ist, aber für jede unendliche Teilmenge I \subset A die Menge A \ I keine asymptotische Basis k-ter Ordnung ist. Schließlich ist rA (n; a) die Anzahl der Darstellungen von n in der Form (1) mit (2), wobei ai = a für gewisse i = 1,...,k und SA(n) = {a in A| rA (n; a) > 0}.
Als ein Resultat dieser Arbeit sei genannt (Theorem 1): Sei A eine streng monoton wachsende Folge von Zahlen aus N und k \geq 2. Wenn gilt (i) limn ––> oo rA(n) = oo; (ii) rA (n; a) ist beschränkt für alle n \geq 1, a in A; (iii) |SA(m) \cap SA(n)| ist beschränkt für alle m \ne n; dann enthält A eine minimale asymptotische Basis und eine \aleph0- minimale asymptotische Basis k-ter Ordnung. Theorem 2 gibt eine entsprechende Aussage für eingeschränkte asymptotische Basen.
Reviewer: E.Härtter (Mainz)
Classif.: * 11B13 Additive bases
Keywords: minimal asymptotic bases; restricted asymptotic bases
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag