Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 692.10045
Autor: Erdös, Paul; Nathanson, Melvyn B.
Title: Additive bases with many representations. (In English)
Source: Acta Arith. 52, No.4, 399-406 (1989).
Review: A\subseteq N0 heißt asymptotische Basis der Ordnung 2, falls {a+b|a in A, b in B}\supseteq [n0,+oo [\cap N0 für ein n0 in N0. Ist außerdem kein B\subsetneqq A asymptotische Basis der Ordnung 2, so heißt A minimale asymptotische Basis der Ordnung 2. Sei n in N0, so ist rA(n) = |{(a,b) in A| a+b = n, a \leq b}| die Darstellungsanzahl von n bzgl. A. Ferner heißt SA(n) = {a in A| n-a in A} die Lösungsmenge von n bzgl. A. Ein bekanntes Problem in diesem Zusammenhang ist die Frage, ob aus rA(n) ––> oo für n ––> oo folgt, daß A eine minimale asymptotische Basis der Ordnung 2 enthält.
Unter der Zusatzvoraussetzung daß für ein \delta > 0 und für alle genügend großen m,n in N0, m\ne n gilt, daß |SA(n)\cap SA(m)| < (½-\delta)|SA(n)|, wird dies auf elementarem Wege konstruktiv bewiesen. Das ist bemerkenswert, denn die beiden Autoren hatten dies in einer früheren Arbeit [Adv. Math., Suppl. Stud. 9, 97-105 (1986; Zbl 608.10050)] unter der stärkeren Zusatzvoraussetzung, daß |SA(n)\cap SA(m)| beschränkt ist für alle m\ne n, mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden gezeigt, wodurch bekanntlich nur die Existenz der Menge A bewiesen wird.
Das erwähnte Resultat wird durch vier weitere Sätze, die minimale asymptotische Basen der Ordnung 2 betreffen, ergänzt.
Reviewer: J.Zöllner
Classif.: * 11B13 Additive bases
Keywords: additive bases; minimal asymptotic basis of order 2
Citations: Zbl 608.10050
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