Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  488.10043
Autor:  Erdös, Paul; Sárközy, András
Title:  Some asymptotic formulas on generalized divisor functions. II. (In English)
Source:  J. Number Theory 15, 115-136 (1982).
Review:  Im Anschluß an ihre Arbeit ``Some asymptotic formulas on generalized divisor functions. I'', die im Turán-Gedenkband der Ungarischen Akademie der Wissenschaften erscheinen wird, beschäftigen sich die Verfasser nochmals mit der Aufgabe, für Teilmengen A\subsetN die Größenordnung von DA(x) = max1 \leq n \leq x\tau A(n), wobei \tau A(n) = sumd| n,d in A1 ist, mit Hilfe der Funktion fA(x) = suma \leq x,a in A 1/a abzuschätzen, was wegen sumn \leq x\tau A(n) = x· fA(x)+O(x) natürlich erscheint. Die Verfasser zeigen (Theorem 2)

limsupx ––> ooDA(x)·\exp{-(e/16 -\epsilon)· log2fA(x)} = oo,

falls fA(x) ––> oo geht. Dieses Ergebnis ist in einem gewissen Sinne bestmöglich, denn es gibt (Theorem 3) eine Menge A\subsetN der Dichte 1, für alle die

limsupx ––> ooDA(x)·\exp{-(½ +\epsilon)· log2fA(x)} = 0    (*)

ist. In Satz 5 wird sogar die Existenz einer Folge A nachgewiesen, für welche die Beziehung (*) mit der Konstanten (e/8 +\epsilon) an Stelle von (½ +\epsilon) richtig ist. [Dies gibt eine Antwort auf eine in der eingangs zitierten Arbeit der Verfasser geäußerten Vermutung.] In die Beweise gehen unter anderem ein: eine obere Abschätzung der Anzahl \#{n \leq x; \omega^+(n,y) \leq t} (mit \omega^+(n,y) = \#{p|n,p > y}) und die von K.K.Norton [Ill. J. Math. 20, 681-705 (1976; Zbl 329.10035)] stammende Abschätzung

\# {n \leq x, sump|n, p in E 1 > \alpha· E(x)} \leq c· x·\exp{(\alpha-1-\alpha log\alpha)E(x)},

in welcher \alpha \geq 1 ist und E(x) für sump \leq x,p in E 1/p steht.
Reviewer:  W.Schwarz
Classif.:  * 11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
                   11K65 Arithmetic functions (probabilistic number theory)
                   11B99 Sequences and sets
Keywords:  asymptotic formulas; generalized divisor functions; large values
Citations:  Zbl.329.10035

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

Books Problems Set Theory Combinatorics Extremal Probl/Ramsey Th.
Graph Theory Add.Number Theory Mult.Number Theory Analysis Geometry
Probabability Personalia About Paul Erdös Publication Year Home Page