Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 391.10004
Autor: Erdös, Paul
Title: A property of 70. (In English)
Source: Math. Mag. 51, 238-240 (1978).
Review: 70 ist die größte natürliche Zahl n mit der Eigenschaft, daß die Folge {ai}i = 0oo, wobei a0 = n und ak für k \geq 1 die kleinste zu a0.a1.....ak-1 teilerfremde Zahl > ak-1 ist, nur Primzahlen oder Primzahlpotenzen enthält. Der sehr kurze und einfache Beweis benützt den (allerdings schwieriger abzuleitenden) Satz von J.B.Rosser und L.Schoenfeld [Ill. J. Math. 6, 64-94 (1962; Zbl 122.05001)], wonach für x > 17/2 im Intervall (x,2x) mindestens drei Primzahlen liegen. Jede Primzahl > n ist ein ak und jedes ak > n2 ist prim. Es gibt also zu jedem n nur endlich viele ak, die keine Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Deren Anzahl f(n) ist für einige n in einer Liste vermerkt. f(n) = 0 gilt für n = 1,2,3,4,6,7,8,1,15,18,22,24,30,70.
Ferner ist ohne den komplizierten Beweis noch ein zweiter Satz angefürt: Für alle hinreichend große n gibt es unter den ak mindestens ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen. Wie der Verf. mitteilt, zeigte dies kürzlich C.Pomerance für n > 6000. (Auch bei n = 103,104,119 ist kein ak vom Typ p1p2, der Ref.)
Schließlich sind noch andere Sätze und Vermutungen aus diesem Problemkreis erwähnt und eine längere Arbeit darüber ist angekündigt.
Reviewer: A.Aigner
Classif.: * 11A05 Multiplicative structure of the integers
11A41 Elemementary prime number theory
11B39 Special numbers, etc.
Keywords: primes in intervals; sequences of relatively prime integers
Citations: Zbl.122.050
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