Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 319.10066
Autor: Erdös, Paul; Nathanson, Melvyn B.
Title: Oscillations of bases for the natural numbers. (In English)
Source: Proc. Am. Math. Soc. 53, 253-258 (1975).
Review: Eine Menge A \subseteq N heißt (asymptotische) Basis (der Ordnung 2), wenn jedes genügend große n in N als (*) n = ai+aj (ai,aj in A) darstellbar ist. Wenn unendlich viele n in N nicht in der Form (*) darstellbar sind, heißt A Nichtbasis.
Eine Basis A heißt r-minimal, wenn A \ F (F \subseteq A) Basis ist, falls |F| < r, und A \ F Nichtbasis ist, falls |F| \geq r. (Der Spezialfall r = 1 liefert den von A.Stöhr [J. Reine Angew. Math. 194, 40-65; 111-140 (1955; Zbl 066.03101)] eingeführten Minimalbasisbegriff.)
Die Verff. konstruieren für jedes r eine Klasse von r-Minimalbasen. Eine Basis A heißt \aleph0-minimal, wenn A \ F Basis ist für jede endliche Teilmenge F \subset A, aber für keine unendliche Teilmenge F \subset A.
Dann konstruieren Verff. eine Klasse von \aleph0-Minimalbasen. Weiter wird gezeigt (Satz 3): Es gibt keine Basis A = {ai }, so daß A \ {au }u in U Basis ist, falls U die (natürliche) Dichte 0 hat, und Nichtbasis ist, falls U positive Dichte hat. Dann werden entsprechende Betrachtungen für Nichtbasen durchgeführt: Eine Nichtbasis A heißt s-maximal, wenn A \cup G (G \subset N) Nichtbasis ist für |G \ A| < s, aber Basis für |G \ A| \geq s.
Es wird dann für jedes s eine Klasse von s-maximalen Nichtbasen konstruiert. Seien A,F,G \subset N mit |F| < oo, |G| < oo und F \subset A und G \cap A = Ø. Dann heißt A (r,s)-Basis, wenn (i) A \ F Basis ist genau dann, wenn |F| < r, und (ii) wenn für |F| = r gilt (A \ F) \cup G ist Nichtbasis genau dann, wenn |G| < s.
Die Verff. konstruieren eine Klasse von (r,s)-Basen. Analog werden dann (r,s)-Nichtbasen definiert und untersucht.
Reviewer: E.Härtter
Classif.: * 11B13 Additive bases
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag