Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 158.40603
Autor: Erdös, Pál; Straus, E.G.
Title: Über eine geometrische Frage von Fejes-Toth. (On a geometric question of Fejes-Tóth.) (In German)
Source: Elem. Math. 23, 11-14 (1968).
Review: L. Fejes-Tóth hat bewiesen [Elem. Math. 22, 25-27 (1967; Zbl 153.52002)]: Eine ebene abgeschlossene Menge S ist eine Kreisscheibe (Halbebene) oder das Komplement einer offenen Kreis\-scheibe oder die ganze Ebene oder leer, wenn die Menge S-S\cap Si zusammenhängend ist für jedes zu S kongruente Si. Im Anschluß daran beweisen die Verff. unter Verzicht auf die Abgeschlossenheit und die Dimension 2 den (auf Hilbertsche und sphärische Räume verallgemeinerungsfähigen)
Satz 1: Eine Menge S des E3 besitzt als Rand \partial S eine Kugelfläche (evtl. entartet zu einer Ebene, einem Punkt, der leeren Menge), wenn die Menge S-S \cap Si zusammenhängend ist für jedes aus S durch Ebenenspiegelungen entstehende Si; der Randteil \partial S \cap S besteht aus einer Kugelkappe (im Fall der Ebene entartet zu einer Kreisscheibe) und deren Anteil an ihrem Randkreis aus einem (evtl. leeren) Kreisbogen. Außerdem gehen die Verff. durch transfinite Induktion einen konstruktiven Beweis für
Satz 2: Es gibt in der Ebene eine Menge S, die zugleich mit ihrem Komplement überall dicht ist, so daß S-S\cap Si zusammenhängend ist für jedes zu S gleichsinnig kongruente Si. Erwähnt wird, daß Satz 2 auch in jedem höherdimensionalen Raum gilt.
Reviewer: O.Giering
Classif.: * 52A10 Convex sets in 2 dimensions (including convex curves)
52A15 Convex sets in 3 dimensions (including convex surfaces)
Index Words: metric geometry, convex geometry, integral geometry
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