Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  146.05305
Autor:  Erdös, Pál; Lint, J.H.van
Title:  On the number of positive integers \leq x and free of prime factors < y (In English)
Source:  Simon Stevin 40, 73-76 (1966).
Review:  Es bedeute \psi(x,y) die Anzahl der positiven, ganzen Zahlen \leq x, deren sämtliche Primteiler p der Ungleichung p \leq y genügen. Zweck der vorliegenden Arbeit ist der Beweis der (auch aus einem vor kurzem von {\it N.G.de Bruijn bewiesenen Resultate [Zbl 139.27203] folgenden) Formel

log \psi (x,y) ~ log{\pi(y)+u \choose u}, wo u = [{(log x) \over (log y)}].

Der Beweis von {\pi(y)+u \choose u} < \psi(x,y) beruht auf der einfachen Beobachtung, daß {\pi(y)+u \choose u} die Lösungszahl von sump \leq y \alpha\nu \leq u (0 \leq \alpha\nu in Z) dargestellt, mithin nicht größer sein kann als \psi(x,y) (defintionsmäßig die Anzahl der Lösungen der Ungleichung sump \leq y \alpha\nu log p \leq log x). Der Beweis der entgegengesetzten Ungleichung \psi(x,y) \leq {\pi(y)+u \choose u}1+\epsilon (für x \geq x0(\epsilon), \epsilon > 0), der auch kurz, aber schwieriger ist, ist sehr scharfsinnig geführt und beruht auf mehreren Fallunterscheidungen, je nach der Größe von y.
Im Wortlaut des Hauptsatzes ist die (irrtümlicherweise ausgelassene) Bedingung 2 < y \leq x\delta(x), \delta(x) = o(1) hinzuzufügen. (Der Ref. wurde darauf durch eine briefliche Mitteilung des ersten der Verf. aufmerksam gemacht.)
Reviewer:  E.Grosswald
Classif.:  * 11N25 Distribution of integers with specified multiplicative constraints
Index Words:  number theory

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