Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 135.10202
Autor: Erdös, Pál; Volkmann, B.
Title: Additive Gruppen mit vorgegebener Hausdorffscher Dimension. (Additive groups with prescribed Hausdorff dimension.) (In German)
Source: J. Reine Angew. Math. 221, 203-208 (1966).
Review: Die Verf. untersuchen die folgenden beiden Fragen: 1. Gibt es zu einer vorgegebenen Zahl \alpha (0 < \alpha < 1) immer eine (additive) Gruppe reeller Zahlen, deren Hausdorffsche Dimension gleich \alpha ist? 2. Sei H eine additive Gruppe reeller Zahlen mit dimH = 1. Besitzt H zu vorgegebenem \alpha (0 < \alpha < 1) eine Untergruppe U mit dimU = \alpha? Die Frage 1, die für reelle Zahlkörper statt Gruppen nach wie vor ungelöst ist, wird durch Konstruktion von Beispielen positiv beantwortet und in folgender Weise verallgemeinert: Ist F eine Schar von Maßfunktionen mit gewissen Eigenschaften und n eine natürliche Zahl, dann gibt es immer Untergruppen U des n-dimensionalen reellen Raumes, deren Dimension bezüglich F einen vorgegebenen n-dimensionalen reellen Raum, deren Dimension bezüglich F einen vorgegebenen Wert hat. Durch Konstruktion (Verwendung der Kontinuumshypothese) einer Gruppe reeller Zahlen, die positives äußeres Lebesguesches Maß besitzt, deren sämtliche Untergruppen vom Maß 0 aber abzählbar sind, wird gezeigt, daß Frage 2 im allgemeinen verneint werden muß. Jedoch vermuten die Verff. eine positive Antwort für den Fall, daß H eine Borelmenge ist.
Reviewer: H.Wegmann
Classif.: * 11B99 Sequences and sets
28A78 Hausdorff measures
Index Words: number theory
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