Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 115.26501
Autor: Erdös, Pál; Stein, Sherman
Title: Sums of distinct unit fractions (In English)
Source: Proc. Am. Math. Soc. 14, 126-131 (1963).
Review: Eine Folge S = {n1 < n2 < ···} natürlicher Zahlen ist eine R-Basis, wenn jede natürliche Zahl als Summe von endlich vielen verschiedenen ni-1 darstellbar ist. H.S.Wilf [Bull. Am. Math. Soc. 67, 488-489 (1961; Zbl 100.07001)] hat folgende Fragen aufgestellt: Ist die Folge der ungeraden Zahlen eine R-Basis? – Ist jede arithmetische Progression eine R-Basis? – Hat eine R-Basis notwendig die Dichte > 0?
Wenn S die Folge aller natürlichen Zahlen und f(n) die kleinste Anzahl der für eine Darstellung von n nötigen Summanden ist, welches ist das Verhalten von f(n)?
Die Verff. geben Antwort auf die zwei letzten Fragen und beweisen:
1. Es existiert eine Folge S der Dichte = 0 so, daß jede positive rationale Zahl die Summe von endlich vielen Reziproken verschiedener Glieder von S ist. Sie verschärfen sogar: Wenn a1 < a2 < ··· eine Folge natürlicher Zahlen ist und sum 1/an divergiert, dann existiert eine Folge b1 < b2 < ···, an < bn für n = 1,2,... so, daß jede positive rationale Zahl die Summe von endlich vielen Reziproken verschiedener bn ist.
2. Es ist limn ––> oo f(n) e-n = e-\gamma, wo \gamma die Eulersche Konstante bezeichnet. Außerdem werden noch einige weitere verwandte Resultate gegeben.
Reviewer: K.Cerný
Classif.: * 11A67 Representation systems for integers and rationals
11B75 Combinatorial number theory
Index Words: number theory
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