Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 114.26304
Autor: Erdös, Pál
Title: Über einige Probleme der additiven Zahlentheorie. (On some problems of additive number theory.) (In German)
Source: J. Reine Angew. Math. 206, 61-66 (1961).
Review: Eine Menge B (0 in B) nichtnegativer ganzer Zahlen heißt eine wesentliche Komponente, wenn für jede Menge A = {0 = a0 < a1 < a2 ···} nichtnegativer ganzer Zahlen mit der Dichte D(A = \alpha (0 < \alpha < 1) die Dichte D(A+B) der Summenmenge A+B größer als \alpha ist. Man kennt dabei als Abschätzung der Dichte der Summenmenge A+B nach unten D(A+B) \geq \alpha+\alpha(1-\alpha)/2r, wenn A eine Basis r-ter Ordnung ist. Zum Beweis dieser Aussage benutzt man den folgenden Hilfssatz: Gibt es für eine Menge A der Dichte \alpha zu jeder Zahl n ein k = k(n), so daß die Anzahl der Zahlen \leq n in der Menge { ai,ai+k} größer oder gleich (\alpha+\epsilon) n ist, dann sei max \epsilon = f(\alpha), und es gilt f(\alpha) \geq 1/2 \alpha(1-\alpha). Die Vermutung, daß sogar f(\alpha) \geq \alpha (1-\alpha) sei, wird in der vorliegenden Arbeit durch wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen für jedes \alpha widerlegt. Ferner wird der Beweis für f(\alpha) > \alpha-2\alpha3/2 nach einer Methode von Brauer skizziert. Schließlich werden auf Verallgemeinerung und eine Reihe von offenen Fragen hingewiesen.
Reviewer: E.Härtter
Classif.: * 11B13 Additive bases
11B83 Special sequences of integers and polynomials
Keywords: essential component; density of sum sets
Index Words: number theory
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